Тази статия ще обсъди една от основните геометрични фигури - ъгъл. След общо въведение в това понятие, ще се спрем на конкретен тип такава фигура. Правият ъгъл е важна концепция в геометрията, която ще бъде основната тема на тази статия.

Въведение в геометричния ъгъл

В геометрията има редица обекти, които формират основата на цялата наука. Ъгълът се отнася за тях и се определя с помощта на концепцията за лъч, така че нека започнем с него.

Освен това, преди да започнете да определяте самия ъгъл, трябва да запомните няколко еднакво важни обекта в геометрията - това е точка, права линия в равнина и самата равнина. Правата линия е най-простата геометрична фигура, която няма нито начало, нито край. Равнината е повърхност, която има две измерения. Е, лъч (или полуправа) в геометрията е част от линия, която има начало, но няма край.

Използвайки тези понятия, можем да направим твърдение, че ъгълът е геометрична фигура, която лежи изцяло в определена равнина и се състои от два различни лъча с общ произход. Такива лъчи се наричат ​​страни на ъгъл, а общото начало на страните е неговият връх.

Видове ъгли и геометрия

Знаем, че ъглите могат да бъдат напълно различни. Ето защо, малко по-долу ще бъде малка класификация, която ще ви помогне да разберете по-добре видовете ъгли и техните основни характеристики. И така, в геометрията има няколко вида ъгли:

1. Прав ъгъл. Характеризира се със стойност от 90 градуса, което означава, че страните му винаги са перпендикулярни една на друга.
2. Остър ъгъл. Тези ъгли включват всички техни представители, които са по-малки от 90 градуса.
3. Тъп ъгъл. Тук може да има всякакви ъгли, вариращи от 90 до 180 градуса.
4. Разгънат ъгъл. Той има размер строго 180 градуса и външно страните му образуват една права линия.

Концепцията за прав ъгъл

Сега нека разгледаме завъртения ъгъл по-подробно. Това е случаят, когато двете страни лежат на една и съща права линия, което може ясно да се види на фигурата малко по-долу. Това означава, че можем да кажем с увереност, че в обърнат ъгъл едната му страна по същество е продължение на другата.

Струва си да запомните факта, че такъв ъгъл винаги може да бъде разделен с помощта на лъч, който излиза от върха му. В резултат на това получаваме два ъгъла, които в геометрията се наричат ​​съседни.

Освен това разгънатият ъгъл има няколко характеристики. За да говорите за първия от тях, трябва да запомните понятието "ъглополовяща". Спомнете си, че това е лъч, който разделя всеки ъгъл точно наполовина. Що се отнася до разгънатия ъгъл, неговата ъглополовяща го разделя по такъв начин, че се образуват два прави ъгъла от 90 градуса. Това е много лесно за изчисляване математически: 180˚ (градус на завъртяния ъгъл): 2 = 90˚.

Ако разделим завъртян ъгъл с напълно произволен лъч, тогава в резултат винаги получаваме два ъгъла, единият от които ще бъде остър, а другият тъп.

Свойства на завъртени ъгли

Ще бъде удобно да разгледаме този ъгъл, обединявайки всичките му основни свойства, което направихме в този списък:

1. Страните на завъртяния ъгъл са антиуспоредни и образуват права линия.
2. Ъгълът на завъртане винаги е 180˚.
3. Два съседни ъгъла заедно винаги образуват прав ъгъл.
4. Пълният ъгъл, който е 360˚, се състои от два разгънати и е равен на техния сбор.
5. Половината от прав ъгъл е прав ъгъл.

И така, знаейки всички тези характеристики на този тип ъгли, можем да ги използваме за решаване на редица геометрични проблеми.

Проблеми със завъртени ъгли

За да видите дали сте разбрали концепцията за прав ъгъл, опитайте да отговорите на следните няколко въпроса.

1. Каква е големината на прав ъгъл, ако страните му образуват вертикална линия?
2. Ще бъдат ли два ъгъла съседни, ако първият е 72˚, а другият е 118˚?
3. Ако пълен ъгъл се състои от два обратни ъгъла, тогава колко прави ъгъла има?
4. Правият ъгъл е разделен от лъч на два ъгъла, така че градусните им мерки да са в съотношение 1:4. Изчислете получените ъгли.

Решения и отговори:

1. Без значение как е разположен завъртеният ъгъл, той винаги по дефиниция е равен на 180˚.
2. Съседните ъгли имат една обща страна. Следователно, за да изчислите размера на ъгъла, който сключват заедно, просто трябва да добавите стойността на техните градуси. Това означава 72 +118 = 190. Но по дефиниция обърнат ъгъл е 180˚, което означава, че два дадени ъгъла не могат да бъдат съседни.
3. Правият ъгъл съдържа два прави ъгъла. И тъй като пълният има две разгънати, това означава, че ще има 4 прави линии.
4. Ако наречем желаните ъгли a и b, то нека x е коефициентът на пропорционалност за тях, което означава, че a=x, и съответно b=4x. Ъгълът на завъртане в градуси е 180˚. И според неговите свойства, че градусната мярка на ъгъл винаги е равна на сумата от градусните мерки на тези ъгли, на които е разделен от произволен лъч, който минава между страните му, можем да заключим, че x + 4x = 180˚ , което означава 5x = 180˚ . От тук намираме: x = a = 36˚ и b = 4x = 144˚. Отговор: 36˚ и 144˚.

Ако сте успели да отговорите на всички тези въпроси без подкани и без да надничате в отговорите, значи сте готови да преминете към следващия урок по геометрия.

Нека започнем, като дефинираме какво е ъгъл. Първо, той е Второ, той се образува от два лъча, които се наричат ​​страни на ъгъла. Трето, последните излизат от една точка, която се нарича връх на ъгъла. Въз основа на тези характеристики можем да създадем определение: ъгълът е геометрична фигура, която се състои от два лъча (страни), излизащи от една точка (върх).

Те се класифицират по степенна стойност, по местоположение един спрямо друг и спрямо кръга. Да започнем с видовете ъгли според тяхната големина.

Има няколко разновидности от тях. Нека разгледаме по-подробно всеки тип.

Има само четири основни вида ъгли - прави, тъпи, остри и прави ъгли.

Направо

Изглежда така:

Неговата градусна мярка винаги е 90 o, с други думи, прав ъгъл е ъгъл от 90 градуса. Само такива четириъгълници като квадрат и правоъгълник ги имат.

Тъп

Изглежда така:

Градусната мярка винаги е повече от 90 o, но по-малко от 180 o. Може да се намери в четириъгълници като ромб, произволен успоредник и в многоъгълници.

Пикантен

Изглежда така:

Градусната мярка на остър ъгъл винаги е по-малка от 90°. Намира се във всички четириъгълници, с изключение на квадрата и всеки успоредник.

Разширено

Разгънатият ъгъл изглежда така:

Не се среща в многоъгълници, но е не по-малко важен от всички останали. Правият ъгъл е геометрична фигура, чиято градусна мярка винаги е 180º. Можете да надграждате върху него, като начертаете един или повече лъчи от върха му във всяка посока.

Има няколко други второстепенни вида ъгли. Те не се изучават в училищата, но е необходимо поне да се знае за тяхното съществуване. Има само пет вторични вида ъгли:

1. Нула

Изглежда така:

Името на самия ъгъл вече показва неговия размер. Вътрешната му площ е 0°, а страните лежат една върху друга, както е показано на фигурата.

2. Наклонен

Наклоненият ъгъл може да бъде прав ъгъл, тъп ъгъл, остър ъгъл или прав ъгъл. Основното му условие е да не е равно на 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Изпъкнал

Изпъкналите ъгли са нулев, прав, тъп, остър и прав ъгъл. Както вече разбрахте, градусната мярка на изпъкнал ъгъл е от 0° до 180°.

4. Неконвексен

Ъглите с градусна мярка от 181° до 359° включително са неизпъкнали.

5. Пълен

Пълният ъгъл е 360 градуса.

Това са всички видове ъгли според тяхната големина. Сега нека разгледаме видовете им според разположението им в равнината един спрямо друг.

1. Допълнителна

Това са два остри ъгъла, образуващи една права линия, т.е. техният сбор е 90 o.

2. Съседни

Съседни ъгли се образуват, ако лъч премине през разгънатия ъгъл или по-скоро през неговия връх във всяка посока. Сборът им е 180 o.

3. Вертикално

Вертикалните ъгли се образуват, когато две прави линии се пресичат. Градусните им мерки са равни.

Сега нека да преминем към видовете ъгли, разположени спрямо окръжността. Има само два от тях: централен и вписан.

1. Централна

Централен ъгъл е ъгъл, чийто връх е в центъра на окръжността. Неговата градусна мярка е равна на градусната мярка на по-малката дъга, сложена от страните.

2. Вписан

Вписан ъгъл е ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност и чиито страни я пресичат. Неговата градусна мярка е равна на половината от дъгата, върху която лежи.

Това е всичко за ъглите. Сега знаете, че освен най-известните - остри, тъпи, прави и разгънати - в геометрията има много други видове.

Ъгълът е геометрична фигура, която се състои от два различни лъча, излизащи от една точка. В този случай тези лъчи се наричат ​​страни на ъгъла. Точката, която е началото на лъчите, се нарича връх на ъгъла. На снимката можете да видите ъгъла с върха в точката ОТНОСНО, и страните кИ м.

Върху страните на ъгъла са отбелязани точки A и C. Този ъгъл може да се означи като ъгъл AOC. В средата трябва да има името на точката, в която се намира върхът на ъгъла. Има и други обозначения, ъгъл O или ъгъл km. В геометрията вместо думата ъгъл често се изписва специален символ.

Развит и неразгънат ъгъл

Ако двете страни на ъгъл лежат на една и съща права линия, тогава такъв ъгъл се нарича разширенаъгъл. Тоест, едната страна на ъгъла е продължение на другата страна на ъгъла. Фигурата по-долу показва разширения ъгъл O.

Трябва да се отбележи, че всеки ъгъл разделя равнината на две части. Ако ъгълът не е разгънат, тогава една от частите се нарича вътрешна област на ъгъла, а другата се нарича външна област на този ъгъл. Фигурата по-долу показва неразвит ъгъл и маркира външната и вътрешната област на този ъгъл.

В случай на развит ъгъл, всяка от двете части, на които той разделя равнината, може да се счита за външна област на ъгъла. Можем да говорим за позицията на точка спрямо ъгъл. Една точка може да лежи извън ъгъла (във външната област), може да бъде разположена от едната му страна или може да лежи вътре в ъгъла (във вътрешната област).

На фигурата по-долу точка A лежи извън ъгъл O, точка B лежи от едната страна на ъгъла, а точка C лежи вътре в ъгъла.

Измерване на ъгли

За измерване на ъгли има устройство, наречено транспортир. Единицата за ъгъл е степен. Трябва да се отбележи, че всеки ъгъл има определена градусна мярка, която е по-голяма от нула.

В зависимост от градусната мярка ъглите се делят на няколко групи.

Учениците се запознават с понятието ъгъл в началното училище. Но като геометрична фигура, която има определени свойства, започват да я изучават от 7 клас по геометрия. Изглежда, доста проста фигура, какво да кажа за нея. Но, придобивайки нови знания, учениците все повече разбират, че могат да научат доста интересни факти за това.

Във връзка с

При изучаване

Училищният курс по геометрия е разделен на два раздела: планиметрия и стереометрия. Във всяка от тях има значително внимание се дава на ъглите:

• В планиметрията се дава основното им понятие и се прави запознаване с видовете им по големина. По-подробно се изучават свойствата на всеки тип триъгълник. За учениците се появяват нови определения - това са геометрични фигури, образувани от пресичането на две прави една с друга и пресичането на няколко прави с напречни.
• В стереометрията се изучават пространствени ъгли – двустенни и тристенни.

внимание!Тази статия обсъжда всички видове и свойства на ъглите в планиметрията.

Определение и измерване

Когато започвате да учите, първо определете какво е ъгълв планиметрията.

Ако вземем определена точка от равнината и изчертаем от нея два произволни лъча, получаваме геометрична фигура - ъгъл, състоящ се от следните елементи:

• връх - точката, от която са изтеглени лъчите, обозначена с главна буква на латинската азбука;
• страните са полуправи линии, изтеглени от върха.

Всички елементи, които образуват фигурата, която разглеждаме, разделят равнината на две части:

• вътрешен - в планиметрията не надвишава 180 градуса;
• външен.

Принципът на измерване на ъгли в планиметриятаобяснено на интуитивна основа. Като начало учениците се запознават с концепцията за завъртян ъгъл.

важно!Казва се, че ъгълът е развит, ако полуправите, излизащи от върха му, образуват права линия. Неразвитият ъгъл е всички останали случаи.

Ако е разделена на 180 равни части, тогава е обичайно да се счита, че мярката на една част е равна на 10. В този случай те казват, че измерването се извършва в градуси, а градусната мярка на такава фигура е 180 степени.

Основни видове

Видовете ъгли са разделени според критерии като градуси, естеството на образуването им и категориите, представени по-долу.

По размер

Като се има предвид големината, ъглите се разделят на:

• разширени;
• прав;
• тъп;
• пикантен.

Кой ъгъл се нарича разгънат беше представен по-горе. Нека дефинираме понятието директен.

Може да се получи чрез разделяне на разширеното на две равни части. В този случай е лесно да се отговори на въпроса: колко градуса е прав ъгъл?

Разделяме 180 градуса от разгънатото на 2 и получаваме това прав ъгъл е 90 градуса. Това е прекрасна фигура, тъй като много факти в геометрията са свързани с нея.

Той също има свои собствени характеристики в обозначението. За да се покаже прав ъгъл на фигурата, той се обозначава не с дъга, а с квадрат.

Ъгли, които се получават при разделяне на права линия с произволен лъч, се наричат ​​остри.Логично следва, че остър ъгъл е по-малък от прав ъгъл, но неговата мярка е различна от 0 градуса. Тоест има стойност от 0 до 90 градуса.

Тъпият ъгъл е по-голям от правия ъгъл, но по-малък от правия ъгъл. Неговата градусна мярка варира от 90 до 180 градуса.

Този елемент може да бъде разделен на различни видове разглеждани фигури, с изключение на разширения.

Независимо от това как е разделен ъгъл без завъртане, винаги се използва основната аксиома на планиметрията - „основното свойство на измерването“.

При разделяне на ъгъл с един лъчили няколко, градусната мярка на дадена фигура е равна на сбора от мерките на ъглите, на които е разделена.

На ниво 7. клас свършват видовете ъгли според големината им. Но за да увеличим ерудицията, можем да добавим, че има и други разновидности, които имат градусна мярка по-голяма от 180 градуса.Те се наричат ​​изпъкнали.

Фигури в пресечната точка на линиите

Следващите видове ъгли, с които се запознават учениците, са елементи, образувани от пресичането на две прави. Фигурите, които са разположени една срещу друга, се наричат ​​вертикални. Тяхната отличителна черта е, че са равни.

Елементите, които са съседни на една и съща линия, се наричат ​​съседни. Теоремата, отразяваща тяхното свойство, казва това съседните ъгли се събират до 180 градуса.

Елементи в триъгълник

Ако разглеждаме фигура като елемент в триъгълник, тогава ъглите се разделят на вътрешни и външни. Триъгълникът е ограничен от три сегмента и се състои от три върха. Ъглите, разположени вътре в триъгълника във всеки връх, са наречени вътрешни.

Ако вземем всеки вътрешен елемент във всеки връх и разширим която и да е страна, тогава ъгълът, който се образува и е съседен на вътрешния, се нарича външен. Тази двойка елементи има следното свойство: тяхната сума е равна на 180 градуса.

Пресечна точка на две прави линии

Пресечна точка на линии

Когато две прави линии се пресичат с напречна, също се образуват ъгли., които обикновено се разпределят по двойки. Всяка двойка елементи има свое име. Изглежда така:

• вътрешно напречно разположени: ∟4 и ∟6, ∟3 и ∟5;
• вътрешни едностранни: ∟4 и ∟5, ∟3 и ∟6;
• съответстващи: ∟1 и ∟5, ∟2 и ∟6, ∟4 и ∟8, ∟3 и ∟7.

В случай, че секансът пресича две прави, всички тези двойки ъгли имат определени свойства:

1. Вътрешните кръстосано разположени и съответните фигури са равни една на друга.
2. Вътрешните еднопосочни елементи добавят до 180 градуса.

Изучаваме ъгли в геометрията, техните свойства

Видове ъгли в математиката

Заключение

В тази статия са представени всички основни видове ъгли, които се срещат в планиметрията и се изучават в седми клас. Във всички следващи курсове свойствата, свързани с всички разглеждани елементи, са основа за по-нататъшно изучаване на геометрията. Например, когато изучавате, ще трябва да запомните всички свойства на ъглите, образувани при пресичане на две успоредни прави с напречна. Когато изучавате характеристиките на триъгълниците, е необходимо да запомните какви са съседните ъгли. Преминавайки към стереометрията, всички обемни фигури ще бъдат изучавани и конструирани въз основа на планиметрични фигури.