در مقاله ای که در نظر خواهیم گرفت حل نابرابری ها. ما به شما به وضوح در مورد چگونه برای نابرابری ها راه حل بسازیم، با مثال های واضح!

قبل از اینکه به حل نابرابری ها با استفاده از مثال نگاه کنیم، بیایید مفاهیم اساسی را درک کنیم.

اطلاعات کلی در مورد نابرابری ها

نابرابریعبارتی است که در آن توابع با علائم رابطه >، . نابرابری ها می توانند هم عددی و هم حرفی باشند.
نابرابری های دارای دو علامت نسبت را دو، سه - سه و غیره می نامند. مثلا:
a(x) > b(x)،
a(x) a(x) b(x)،
a(x) b(x).
a(x) نابرابری های حاوی علامت > یا یا - سختگیر نیستند.
حل نابرابریهر مقدار از متغیری است که این نابرابری برای آن صادق خواهد بود.
"حل نابرابری"به این معنی است که ما باید مجموعه ای از راه حل های آن را پیدا کنیم. متفاوت است روش های حل نابرابری ها. برای راه حل های نابرابریآنها از خط اعداد استفاده می کنند که بی نهایت است. مثلا، راه حل برای نابرابری x > 3 بازه 3 تا + است و عدد 3 در این بازه گنجانده نشده است، بنابراین نقطه روی خط با یک دایره خالی نشان داده می شود، زیرا نابرابری سخت است
+
پاسخ این خواهد بود: x (3; +).
مقدار x=3 در مجموعه راه حل گنجانده نشده است، بنابراین پرانتز گرد است. علامت بی نهایت همیشه با یک پرانتز برجسته می شود. علامت به معنای "تعلق" است.
بیایید به نحوه حل نابرابری ها با استفاده از مثال دیگری با علامت نگاه کنیم:
x 2
-+
مقدار x=2 در مجموعه راه حل ها گنجانده شده است، بنابراین براکت مربع است و نقطه روی خط با یک دایره پر نشان داده می شود.
پاسخ این خواهد بود: x "title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

برای حل یک سیستم، به هر یک از نابرابری های تشکیل دهنده آن نیاز دارید. فقط تصمیم گرفته شد که جداگانه ننویسیم، بلکه با هم بنویسیم و آنها را با یک بریس مجعد ترکیب کنیم.

در هر یک از نابرابری های سیستم، مجهولات را به یک سمت، مجهولات را به سمت دیگر با علامت مخالف حرکت می دهیم:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

پس از ساده سازی، هر دو طرف نابرابری باید بر عدد مقابل X تقسیم شود. نابرابری اول را بر عدد مثبت تقسیم می کنیم، بنابراین علامت نابرابری تغییر نمی کند. نابرابری دوم را بر عدد منفی تقسیم می کنیم، بنابراین علامت نابرابری باید معکوس شود:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

راه حل نابرابری ها را روی خطوط اعداد مشخص می کنیم:

در پاسخ، محل تلاقی راه حل ها را می نویسیم، یعنی قسمتی که روی هر دو خط سایه وجود دارد.

پاسخ: x∈[-2;1).

در نابرابری اول، از کسر خلاص می شویم. برای انجام این کار، هر دو طرف ترم به جمله را در کمترین مخرج مشترک 2 ضرب می کنیم. وقتی در یک عدد مثبت ضرب شود، علامت نابرابری تغییر نمی کند.

در نابرابری دوم براکت ها را باز می کنیم. حاصل ضرب مجموع و تفاضل دو عبارت برابر است با اختلاف مجذورهای این عبارات. در سمت راست مربع تفاوت بین دو عبارت است.

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

مجهول ها را به یک طرف، مجهول ها را با علامت مخالف به طرف دیگر منتقل می کنیم و ساده می کنیم:

دو طرف نامساوی را بر عدد مقابل X تقسیم می کنیم. در نابرابری اول بر یک عدد منفی تقسیم می کنیم پس علامت نابرابری معکوس می شود. در دومی، بر یک عدد مثبت تقسیم می کنیم، علامت نابرابری تغییر نمی کند:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

هر دو نابرابری علامت «کمتر از» دارند (مهم نیست که یک علامت به شدت «کمتر از» باشد، دیگری شل، «کمتر یا مساوی» باشد). ما نمی توانیم هر دو راه حل را علامت گذاری کنیم، اما از قانون " " استفاده می کنیم. کوچکتر 1 است، بنابراین سیستم به نابرابری کاهش می یابد

حل آن را روی خط عدد علامت گذاری می کنیم:

پاسخ: x∈(-∞;1].

باز کردن پرانتز. در نابرابری اول - . برابر است با مجموع مکعب های این عبارات.

در دومی حاصل ضرب مجموع و تفاضل دو عبارت که برابر است با اختلاف مربع ها. از آنجایی که در اینجا یک علامت منفی در جلوی براکت ها وجود دارد، بهتر است آنها را در دو مرحله باز کنید: ابتدا از فرمول استفاده کنید و فقط سپس براکت ها را باز کنید و علامت هر عبارت را به عکس تغییر دهید.

مجهولات را در یک جهت و مجهولات را در جهت دیگر با علامت مخالف حرکت می دهیم:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

هر دو بزرگتر از نشانه هستند. با استفاده از قانون "بیشتر از بیشتر"، سیستم نابرابری ها را به یک نابرابری کاهش می دهیم. بزرگتر از این دو عدد 5 است، بنابراین،

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

جواب نامساوی را روی خط عدد مشخص می کنیم و جواب را می نویسیم:

پاسخ: x∈(5;∞).

از آنجایی که در جبر منظومه نابرابری های خطیرخ می دهد نه تنها به عنوان وظایف مستقل، بلکه در حل انواع معادلات، نابرابری ها و غیره نیز تسلط به موقع به این مبحث حائز اهمیت است.

دفعه بعد مثال هایی از حل سیستم نامساوی خطی را در مواردی خاص که یکی از نامساوی ها جواب ندارد یا جواب آن هر عددی باشد را بررسی می کنیم.

نابرابری ها و سیستم های نابرابری یکی از موضوعاتی است که در آن به آن پرداخته شده است دبیرستاندر جبر از نظر سطح دشواری، سخت ترین نیست، زیرا قوانین ساده ای دارد (در مورد آنها کمی بعدا بیشتر توضیح می دهیم). به عنوان یک قاعده، دانش آموزان مدرسه می آموزند که سیستم های نابرابری را به راحتی حل کنند. این نیز به این دلیل است که معلمان به سادگی دانش آموزان خود را در مورد این موضوع "آموزش" می دهند. و آنها نمی توانند از انجام این کار خودداری کنند، زیرا در آینده با استفاده از مقادیر ریاضی دیگر مورد مطالعه قرار می گیرد و همچنین در آزمون دولتی واحد و آزمون دولتی واحد آزمایش می شود. در کتب درسی مدارس، مبحث نابرابری ها و سیستم های نابرابری با جزئیات کامل مطرح شده است، بنابراین اگر قصد مطالعه آن را دارید، بهتر است به آنها متوسل شوید. این مقاله فقط مطالب بزرگتر را خلاصه می کند و ممکن است مواردی از قلم افتاده باشد.

مفهوم سیستم نابرابری

اگر به زبان علمیسپس می‌توان مفهوم «نظام نابرابری‌ها» را تعریف کرد. این یک مدل ریاضی است که چندین نابرابری را نشان می دهد. این مدل البته نیاز به یک راه حل دارد و این پاسخ کلی برای تمام نابرابری های سیستم ارائه شده در کار خواهد بود (معمولاً در آن نوشته می شود، به عنوان مثال: "حل سیستم نابرابری ها 4 x + 1 > 2 و 30 - x > 6... "). با این حال، قبل از رفتن به انواع و روش های راه حل، باید چیز دیگری را درک کنید.

سیستم های نابرابری ها و سیستم های معادلات

هنگام یادگیری یک موضوع جدید، اغلب سوء تفاهم ایجاد می شود. از یک طرف، همه چیز روشن است و شما می خواهید در اسرع وقت شروع به حل وظایف کنید، اما از طرف دیگر، برخی از لحظات در "سایه" باقی می مانند و به طور کامل درک نمی شوند. همچنین، برخی از عناصر دانش از قبل به دست آمده ممکن است با عناصر جدید در هم تنیده شوند. در نتیجه این "همپوشانی"، اغلب خطاها رخ می دهد.

بنابراین، قبل از شروع به تجزیه و تحلیل موضوع خود، باید تفاوت بین معادلات و نابرابری ها و سیستم های آنها را به خاطر بسپاریم. برای انجام این کار، باید یک بار دیگر توضیح دهیم که این مفاهیم ریاضی چه چیزی را نشان می دهند. یک معادله همیشه یک برابر است و همیشه با چیزی برابر است (در ریاضیات این کلمه با علامت "=" نشان داده می شود). نابرابری مدلی است که در آن یک مقدار یا بزرگتر یا کوچکتر از مقدار دیگر است یا حاوی عبارتی است مبنی بر اینکه آنها یکسان نیستند. بنابراین، در مورد اول، مناسب است در مورد برابری صحبت کنیم، و در مورد دوم، هر چقدر هم که از نام خود واضح به نظر برسد، در مورد نابرابری داده های اولیه. سیستم های معادلات و نابرابری ها عملاً با یکدیگر تفاوتی ندارند و روش های حل آنها یکسان است. تنها تفاوت این است که در حالت اول از برابری ها استفاده می شود و در حالت دوم از نابرابری ها استفاده می شود.

انواع نابرابری ها

دو نوع نامساوی وجود دارد: عددی و با متغیر مجهول. نوع اول مقادیر ارائه شده (اعداد) را نشان می دهد که با یکدیگر نابرابر هستند، به عنوان مثال، 8 > 10. دومی نابرابری هایی هستند که حاوی یک متغیر مجهول هستند (که با یک حرف الفبای لاتین، اغلب X مشخص می شود). این متغیر باید پیدا شود. بسته به تعداد آنها، مدل ریاضی بین نابرابری ها با یک (آنها سیستمی از نابرابری ها را با یک متغیر می سازند) یا چندین متغیر (یک سیستم نابرابری با چندین متغیر را می سازند) تمایز قائل می شود.

دو نوع آخر با توجه به درجه ساخت و میزان پیچیدگی راه حل به ساده و پیچیده تقسیم می شوند. ساده ها را نابرابری خطی نیز می گویند. آنها به نوبه خود به سختگیرانه و غیر سختگیرانه تقسیم می شوند. سختگیران به طور خاص "می گویند" که یک کمیت لزوما باید یا کمتر یا بیشتر باشد، بنابراین این در شکل خالصنابرابری. چندین مثال می توان ارائه داد: 8 x + 9 > 2، 100 - 3 x > 5، و غیره. موارد غیر دقیق نیز شامل برابری می شوند. یعنی یک مقدار می تواند بزرگتر یا مساوی با مقدار دیگری باشد (علامت «≥») یا کمتر یا مساوی با مقدار دیگری (علامت «≤»). حتی در نابرابری های خطی، متغیر در ریشه، مربع یا بر هیچ چیز قابل تقسیم نیست، به همین دلیل است که آنها را "ساده" می نامند. متغیرهای پیچیده شامل متغیرهای ناشناخته ای هستند که برای یافتن آنها به ریاضیات بیشتری نیاز دارند. آنها اغلب در یک مربع، مکعب یا زیر یک ریشه قرار دارند، می توانند مدولار، لگاریتمی، کسری و غیره باشند. اما از آنجایی که وظیفه ما نیاز به درک حل سیستم های نابرابری است، در مورد سیستم نابرابری های خطی صحبت خواهیم کرد. . هرچند قبل از آن باید چند کلمه در مورد خواص آنها گفت.

ویژگی های نابرابری ها

خواص نابرابری ها شامل موارد زیر است:

1. اگر از عملیاتی برای تغییر ترتیب اضلاع استفاده شود، علامت نابرابری معکوس می شود (به عنوان مثال، اگر t 1 ≤ t 2، سپس t 2 ≥ t 1).
2. هر دو طرف نابرابری به شما امکان می دهد همان عدد را به خودش اضافه کنید (به عنوان مثال، اگر t 1 ≤ t 2، سپس t 1 + عدد ≤ t 2 + عدد).
3. دو یا چند نابرابری با علامتی در یک جهت اجازه می‌دهند که طرف چپ و راست آنها اضافه شود (به عنوان مثال، اگر t 1 ≥ t 2، t 3 ≥ t 4، سپس t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. هر دو بخش نابرابری را می توان در یک عدد مثبت ضرب یا تقسیم کرد (به عنوان مثال، اگر t 1 ≤ t 2 و یک عدد ≤ 0، آنگاه عدد · t 1 ≥ عدد · t 2).
5. دو یا چند نابرابری که دارای جملات مثبت و علامت در یک جهت هستند به خود اجازه می دهند در یکدیگر ضرب شوند (مثلاً اگر t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 سپس t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. هر دو بخش نابرابری به خود اجازه ضرب یا تقسیم بر یک عدد منفی مشابه را می دهند، اما در این مورد علامت نابرابری تغییر می کند (به عنوان مثال، اگر t 1 ≤ t 2 و یک عدد ≤ 0، آنگاه عدد · t 1 ≥ عدد · t 2).
7. همه نابرابری ها دارای خاصیت گذر هستند (به عنوان مثال، اگر t 1 ≤ t 2 و t 2 ≤ t 3، سپس t 1 ≤ t 3).

حال پس از مطالعه اصول اولیه نظریه مربوط به نابرابری ها، می توان مستقیماً به بررسی قواعد حل سیستم های آنها پرداخت.

حل سیستم های نابرابری اطلاعات کلی. راه حل ها

همانطور که در بالا ذکر شد، راه حل مقادیر متغیری است که برای همه نابرابری های سیستم داده شده مناسب است. حل سیستم های نابرابری، اجرای عملیات ریاضی است که در نهایت منجر به حل کل سیستم می شود یا ثابت می کند که هیچ راه حلی ندارد. در این حالت، متغیر به یک مجموعه عددی خالی تعلق دارد (به صورت زیر نوشته می شود: حرفی که یک متغیر را نشان می دهد∈ (علامت «تعلق دارد») ø (علامت «مجموعه خالی»)، به عنوان مثال، x ∈ ø (بخوانید: «متغیر «x» متعلق به مجموعه خالی است»). روش های مختلفی برای حل سیستم های نابرابری وجود دارد: روش گرافیکی، جبری، روش جایگزینی. شایان ذکر است که آنها به آن دسته از مدل های ریاضی اشاره می کنند که دارای چندین متغیر مجهول هستند. در موردی که فقط یکی وجود دارد، روش فاصله مناسب است.

روش گرافیکی

به شما امکان می دهد یک سیستم نابرابری را با چند کمیت مجهول (از دو به بالا) حل کنید. به لطف این روش، سیستم نابرابری های خطی را می توان به راحتی و به سرعت حل کرد، بنابراین رایج ترین روش است. این با این واقعیت توضیح داده می شود که رسم نمودار میزان نوشتن عملیات ریاضی را کاهش می دهد. زمانی که کار زیادی انجام شده است و کمی تنوع می خواهید، کمی استراحت کردن از قلم، برداشتن یک مداد با خط کش و شروع اقدامات بعدی با کمک آنها بسیار لذت بخش می شود. با این حال این روشبرخی از مردم آن را دوست ندارند زیرا باید از کار جدا شوند و فعالیت ذهنی خود را به نقاشی تغییر دهند. با این حال، این یک روش بسیار موثر است.

برای حل یک سیستم از نابرابری ها با استفاده از روش گرافیکی، لازم است تمام عبارت های هر نابرابری به سمت چپ آنها منتقل شود. علائم معکوس خواهند شد، صفر باید در سمت راست نوشته شود، سپس هر نابرابری باید جداگانه نوشته شود. در نتیجه توابع از نابرابری ها به دست خواهند آمد. پس از این، می توانید یک مداد و یک خط کش بیرون بیاورید: اکنون باید نموداری از هر تابع به دست آمده بکشید. کل مجموعه اعدادی که در بازه تقاطع آنها خواهد بود راه حلی برای سیستم نامساوی ها خواهد بود.

راه جبری

به شما امکان می دهد یک سیستم نابرابری را با دو متغیر مجهول حل کنید. همچنین، نابرابری‌ها باید علامت نابرابری یکسانی داشته باشند (یعنی فقط علامت «بزرگتر» یا فقط علامت «کمتر از» و غیره داشته باشند.) این روش با وجود محدودیت‌هایی که دارد، پیچیده‌تر نیز هست. در دو مرحله اعمال می شود.

اولی شامل اقداماتی برای خلاص شدن از شر یکی از متغیرهای ناشناخته است. ابتدا باید آن را انتخاب کنید، سپس وجود اعداد در مقابل این متغیر را بررسی کنید. اگر آنها وجود نداشته باشند (پس متغیر شبیه یک حرف واحد به نظر می رسد)، پس ما چیزی را تغییر نمی دهیم، اگر وجود دارد (نوع متغیر مثلاً 5y یا 12y خواهد بود)، پس لازم است که مطمئن شوید که در هر نابرابری عدد مقابل متغیر انتخاب شده یکسان است. برای این کار باید هر جمله نابرابری ها را در یک عامل مشترک ضرب کنید، برای مثال اگر در نامعادله اول 3y و در دومی 5y نوشته شده باشد، باید تمام عبارت های نامعادله اول را در 5 ضرب کنید. و دومی با 3. به ترتیب 15 و 15 سال دریافت می کنید.

مرحله دوم حل. لازم است سمت چپ هر نابرابری را به سمت راست آنها منتقل کرده و علامت هر جمله را برعکس تغییر داده و در سمت راست صفر بنویسیم. سپس بخش سرگرم کننده می آید: خلاص شدن از متغیر انتخاب شده (که در غیر این صورت به عنوان "کاهش" شناخته می شود) در حالی که نابرابری ها را اضافه می کنید. این منجر به نابرابری با یک متغیر می شود که باید حل شود. پس از این، شما باید همین کار را انجام دهید، فقط با یک متغیر ناشناخته دیگر. نتایج به دست آمده راه حل سیستم خواهد بود.

روش تعویض

به شما امکان می دهد در صورت امکان یک متغیر جدید، یک سیستم نابرابری را حل کنید. معمولاً از این روش زمانی استفاده می شود که متغیر مجهول در یک جمله نابرابری به توان چهارم و در جمله دیگر مجذور شود. بنابراین، این روش با هدف کاهش درجه نابرابری در سیستم است. نابرابری نمونه x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 به این ترتیب حل می شود. یک متغیر جدید معرفی شده است، به عنوان مثال t. آنها می نویسند: "بگذارید t = x 2"، سپس مدل به شکل جدیدی بازنویسی می شود. در مورد ما، t 2 - t - 1 ≤0 را دریافت می کنیم. این نابرابری باید با استفاده از روش بازه حل شود (کمی بعد در مورد آن توضیح خواهیم داد)، سپس به متغیر X برگردید، سپس همین کار را با نابرابری دیگر انجام دهید. پاسخ های دریافتی راه حل سیستم خواهد بود.

روش فاصله

این ساده ترین راه برای حل سیستم های نابرابری است و در عین حال جهانی و گسترده است. در مدارس متوسطه و حتی در مدارس عالی استفاده می شود. ماهیت آن در این واقعیت نهفته است که دانش آموز به دنبال فواصل نابرابری در یک خط عددی است که در یک دفترچه رسم شده است (این یک نمودار نیست، بلکه فقط یک خط معمولی با اعداد است). در جایی که فواصل نابرابری ها تلاقی می کنند، راه حل سیستم پیدا می شود. برای استفاده از روش فاصله، باید مراحل زیر را دنبال کنید:

1. تمام عبارات هر نابرابری با تغییر علامت به سمت چپ (در سمت راست صفر نوشته شده است) به سمت چپ منتقل می شوند.
2. نابرابری ها به طور جداگانه نوشته می شوند و راه حل هر یک از آنها مشخص می شود.
3. تقاطع نابرابری ها روی خط اعداد پیدا می شود. تمام اعداد واقع در این تقاطع ها یک راه حل خواهند بود.

از کدام روش استفاده کنم؟

بدیهی است که ساده ترین و راحت ترین به نظر می رسد، اما مواردی وجود دارد که وظایف به روش خاصی نیاز دارند. اغلب آنها می گویند که شما باید با استفاده از نمودار یا روش فاصله حل کنید. روش جبری و جایگزینی به ندرت استفاده می شود یا اصلاً استفاده نمی شود ، زیرا کاملاً پیچیده و گیج کننده هستند و علاوه بر این ، بیشتر برای حل سیستم معادلات به جای نامساوی استفاده می شوند ، بنابراین باید به رسم نمودارها و فواصل متوسل شوید. آنها وضوح را به ارمغان می آورند، که نمی تواند به اجرای کارآمد و سریع عملیات ریاضی کمک کند.

اگر چیزی درست نشد

هنگام مطالعه یک موضوع خاص در جبر، طبیعتاً ممکن است مشکلاتی در درک آن ایجاد شود. و این طبیعی است، زیرا مغز ما به گونه ای طراحی شده است که قادر به درک مطالب پیچیده در یک حرکت نیست. اغلب شما نیاز دارید که یک پاراگراف را دوباره بخوانید، از معلم کمک بگیرید یا حل تکالیف استاندارد را تمرین کنید. در مورد ما، به عنوان مثال، آنها به این شکل به نظر می رسند: "سیستم نابرابری ها 3 x + 1 ≥ 0 و 2 x - 1 > 3 را حل کنید." بنابراین، میل شخصی، کمک از خارج و تمرین به درک هر موضوع پیچیده کمک می کند.

حل کننده؟

کتاب راه حل هم خیلی مناسبه ولی نه برای کپی تکالیف بلکه برای خودیاری. در آنها می توانید سیستم های نابرابری را با راه حل ها پیدا کنید، به آنها نگاه کنید (به عنوان الگو)، سعی کنید دقیقاً بفهمید نویسنده راه حل چگونه با این کار کنار آمده است و سپس سعی کنید به تنهایی همین کار را انجام دهید.

نتیجه گیری

جبر یکی از سخت ترین درس ها در مدرسه است. خوب، چه کاری می توانید انجام دهید؟ ریاضیات همیشه اینگونه بوده است: برای برخی آسان است، اما برای برخی دیگر دشوار است. اما در هر صورت باید به خاطر داشت که برنامه آموزش عمومی به گونه ای است که هر دانش آموزی بتواند با آن کنار بیاید. علاوه بر این، باید در نظر داشت مقدار زیادیدستیاران برخی از آنها در بالا ذکر شده است.