Что значит под корнем. Квадратный корень

Довольно часто при решении задач мы сталкиваемся с большими числами, из которых надо извлечь квадратный корень . Многие ученики решают, что это ошибка, и начинают перерешивать весь пример. Ни в коем случае нельзя так поступать! На то есть две причины:

  1. Корни из больших чисел действительно встречаются в задачах. Особенно в текстовых;
  2. Существует алгоритм, с помощью которого эти корни считаются почти устно.

Этот алгоритм мы сегодня и рассмотрим. Возможно, какие-то вещи покажутся вам непонятными. Но если вы внимательно отнесетесь к этому уроку, то получите мощнейшее оружие против квадратных корней .

Итак, алгоритм:

  1. Ограничить искомый корень сверху и снизу числами, кратными 10. Таким образом, мы сократим диапазон поиска до 10 чисел;
  2. Из этих 10 чисел отсеять те, которые точно не могут быть корнями. В результате останутся 1—2 числа;
  3. Возвести эти 1—2 числа в квадрат. То из них, квадрат которого равен исходному числу, и будет корнем.

Прежде чем применять этот алгоритм работает на практике, давайте посмотрим на каждый отдельный шаг.

Ограничение корней

В первую очередь надо выяснить, между какими числами расположен наш корень. Очень желательно, чтобы числа были кратны десяти:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Получим ряд чисел:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Что нам дают эти числа? Все просто: мы получаем границы. Возьмем, например, число 1296. Оно лежит между 900 и 1600. Следовательно, его корень не может быть меньше 30 и больше 40:

[Подпись к рисунку]

То же самое — с любым другим числом, из которого можно найти квадратный корень. Например, 3364:

[Подпись к рисунку]

Таким образом, вместо непонятного числа мы получаем вполне конкретный диапазон, в котором лежит исходный корень. Чтобы еще больше сузить область поиска, переходим ко второму шагу.

Отсев заведомо лишних чисел

Итак, у нас есть 10 чисел — кандидатов на корень. Мы получили их очень быстро, без сложных размышлений и умножений в столбик. Пора двигаться дальше.

Не поверите, но сейчас мы сократим количество чисел-кандидатов до двух — и снова без каких-либо сложных вычислений! Достаточно знать специальное правило. Вот оно:

Последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры исходного числа .

Другими словами, достаточно взглянуть на последнюю цифру квадрата — и мы сразу поймем, на что заканчивается исходное число.

Существует всего 10 цифр, которые могут стоять на последнем месте. Попробуем выяснить, во что они превращаются при возведении в квадрат. Взгляните на таблицу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
1 4 9 6 5 6 9 4 1 0

Эта таблица — еще один шаг на пути к вычислению корня. Как видите, цифры во второй строке оказались симметричными относительно пятерки. Например:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Как видите, последняя цифра в обоих случаях одинакова. А это значит, что, например, корень из 3364 обязательно заканчивается на 2 или на 8. С другой стороны, мы помним ограничение из предыдущего пункта. Получаем:

[Подпись к рисунку]

Красные квадраты показывают, что мы пока не знаем этой цифры. Но ведь корень лежит в пределах от 50 до 60, на котором есть только два числа, оканчивающихся на 2 и 8:

[Подпись к рисунку]

Вот и все! Из всех возможных корней мы оставили всего два варианта! И это в самом тяжелом случае, ведь последняя цифра может быть 5 или 0. И тогда останется единственный кандидат в корни!

Финальные вычисления

Итак, у нас осталось 2 числа-кандидата. Как узнать, какое из них является корнем? Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем.

Например, для числа 3364 мы нашли два числа-кандидата: 52 и 58. Возведем их в квадрат:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

Вот и все! Получилось, что корень равен 58! При этом, чтобы упростить вычисления, я воспользовался формулой квадратов суммы и разности. Благодаря чему даже не пришлось умножать числа в столбик! Это еще один уровень оптимизации вычислений, но, разумеется, совершенно не обязательный:)

Примеры вычисления корней

Теория — это, конечно, хорошо. Но давайте проверим ее на практике.

[Подпись к рисунку]

Для начала выясним, между какими числами лежит число 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Теперь смотрим на последнюю цифру. Она равна 6. Когда это происходит? Только если корень заканчивается на 4 или 6. Получаем два числа:

Осталось возвести каждое число в квадрат и сравнить с исходным:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Отлично! Первый же квадрат оказался равен исходному числу. Значит, это и есть корень.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Смотрим на последнюю цифру:

1369 → 9;
33; 37.

Возводим в квадрат:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.

Вот и ответ: 37.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

Ограничиваем число:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Смотрим на последнюю цифру:

2704 → 4;
52; 58.

Возводим в квадрат:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;

Получили ответ: 52. Второе число возводить в квадрат уже не потребуется.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

Ограничиваем число:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Смотрим на последнюю цифру:

4225 → 5;
65.

Как видим, после второго шага остался лишь один вариант: 65. Это и есть искомый корень. Но давайте все-таки возведем его в квадрат и проверим:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225;

Все правильно. Записываем ответ.

Заключение

Увы, не лучше. Давайте разберемся в причинах. Их две:

  • На любом нормальном экзамене по математике, будь то ГИА или ЕГЭ, пользоваться калькуляторами запрещено. И за пронесенный в класс калькулятор могут запросто выгнать с экзамена.
  • Не уподобляйтесь тупым американцам. Которые не то что корни — они два простых числа сложить не могут. А при виде дробей у них вообще начинается истерика.

Возведение числа в степень - это сокращенная форма записи операции многократного умножения, в котором все множители равны исходному числу. А извлечение корня означает обратную операцию - определение множителя, который должен быть задействован в операции многократного умножения, чтобы в ее результате получилось подкоренное число. Как показатель степени, так и показатель корня указывают на одно и то же - сколько сомножителей должно быть в такой операции умножения.

Вам понадобится

  • Доступ в интернет.

Инструкция

  • Если к числу или выражению требуется применить одновременно и операцию извлечения корня, и возведения его в степень, сведите оба действия в одно - в возведение в степень с дробным показателем. В числителе дроби должен стоять показатель степени, а в знаменателе - корня. Например, если нужно возвести в квадрат кубический корень , то две эти операции будут эквивалентны одному возведению числа в степень ⅔.
  • Если в условиях требуется возвести в квадрат корень с показателем степени, равным двойке, это задача не на вычисление, а на проверку ваших знаний. Воспользуйтесь способом из первого шага, и вы получите дробь 2/2, т.е. 1. Это значит, что результатом возведения в квадрат квадратного корня из любого числа будет само это число.
  • При необходимости возвести в квадрат корень с четным показателем степени, всегда есть возможность упростить операцию. Так как у двойки (числителя дробного показателя степени) и любого четного числа (знаменателя) есть общий делитель, то после упрощения дроби в числителе останется единица, а это значит, что возводить в степень при расчетах не требуется, достаточно извлечь корень с половинным показателем степени. Например, возведение в квадрат корня шестой степени из восьмерки можно свести к извлечению из нее кубического корня, т.к. 2/6=1/3.
  • Для вычисления результата при любых показателях степени корня воспользуйтесь, например, калькулятором, встроенным в поисковую систему Google. Это, пожалуй, самый легкий способ расчетов при наличии выхода в интернет с вашего компьютера. Общепринятым заменителем знака операции возведения в степень является вот такая «крышка»: ^. Используйте ее при вводе в Google поискового запроса. Например, если требуется возвести в квадрат корень пятой степени из числа 750, сформулируйте запрос так: 750^(2/5). После его ввода поисковик даже без нажатия кнопки отправки на сервер покажет результат вычислений с точностью до семи знаков после запятой: 750^(2 / 5) = 14,1261725.

До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.

Шаги

Разложение на простые множители

    Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

    • Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
    • Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).
  1. Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b. Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

    • В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
      • √(25 х 16)
      • √25 х √16
      • 5 х 4 = 20
  2. Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.

    • Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
      • = √(49 х 3)
      • = √49 х √3
      • = 7√3
  3. Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.

    • Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
      • Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 - мы были правы.
  4. Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители . Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.

    • Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
    • Рассмотрим другой пример: √88.
      • = √(2 х 44)
      • = √ (2 х 4 х 11)
      • = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
      • = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.

    Вычисление квадратного корня вручную

    При помощи деления в столбик

    1. Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде "7 80, 14". Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.
    2. Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.

      • В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4 < 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
    3. Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).

      • В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.
    4. Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением "_×_=".

      • В нашем примере второй парой чисел является "80". Запишите "80" после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите "4_×_=" снизу справа.
    5. Заполните прочерки справа.

      • В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 - слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа - это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.
    6. Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.

      • В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.
    7. Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением "_×_=".

      • В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите "54_×_=" снизу справа.
    8. Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.

      • В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 - 4941 = 173.
    9. Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).

    Понимание процесса

      Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.

      Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C - третьей и так далее.

      Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через S a первую пару цифр в значении S, через S b - вторую пару цифр и так далее.

      Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).

    1. Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен S a (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa < (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
    2. Мысленно представьте квадрат, площадь которого вам нужно вычислить. Вы ищите L, то есть длину стороны квадрата, площадь которого равна S. A, B, C - цифры в числе L. Записать можно иначе: 10А + B = L (для двузначного числа) или 100А + 10В + С = L (для трехзначного числа) и так далее.

      • Пусть (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B² . Запомните, что 10A+B - это такое число, у которого цифра B означает единицы, а цифра A - десятки. Например, если A=1 и B=2, то 10A+B равно числу 12.(10A+B)² - это площадь всего квадрата, 100A² - площадь большого внутреннего квадрата, - площадь малого внутреннего квадрата, 10A×B - площадь каждого из двух прямоугольников. Сложив площади описанных фигур, вы найдете площадь исходного квадрата.
Рациональные числа

Неотрицательный квадратный корень из положительного числа называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала .

Комплексные числа

Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из комплексного числа часто обозначают как , однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространённая ошибка:

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

, ,

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k=0 и k=1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.


Обобщения

Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида и для других объектов: матриц , функций , операторов и т. п. В качестве операции при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция .

Квадратный корень в информатике

Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

Разложение в ряд Тейлора

при .

Арифметическое извлечение квадратного корня

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:

Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.

Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.

Грубая оценка

Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем

Два и шесть используются потому, что и

При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку (здесь D это число двоичных цифр).

Геометрическое извлечение квадратного корня

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком . Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями - целая часть дополняется слева, дробная справа. Так 31234.567 можно представить, как 03 12 34 . 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.

Наглядное описание алгоритма:

Факт 1.
\(\bullet\) Возьмем некоторое неотрицательное число \(a\) (то есть \(a\geqslant 0\) ). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа \(a\) называется такое неотрицательное число \(b\) , при возведении которого в квадрат мы получим число \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2\] Из определения следует, что \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\) . Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Чему равен \(\sqrt{25}\) ? Мы знаем, что \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то \(-5\) не подходит, следовательно, \(\sqrt{25}=5\) (так как \(25=5^2\) ).
Нахождение значения \(\sqrt a\) называется извлечением квадратного корня из числа \(a\) , а число \(a\) называется подкоренным выражением.
\(\bullet\) Исходя из определения, выражения \(\sqrt{-25}\) , \(\sqrt{-4}\) и т.п. не имеют смысла.

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от \(1\) до \(20\) : \[\begin{array}{|ll|} \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2=400\\ \hline \end{array}\]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
\(\bullet\) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\) , то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\) и \(\sqrt{49}\) , а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) при сложении \(\sqrt a+\sqrt b\) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt 2+ \sqrt {49}\) мы можем найти \(\sqrt{49}\) – это \(7\) , а вот \(\sqrt 2\) никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7\) . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя \(\bullet\) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл )
Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8\) ; \(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\) ; \(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}= 5\cdot 8=40\) . \(\bullet\) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\) . Так как \(44100:100=441\) , то \(44100=100\cdot 441\) . По признаку делимости число \(441\) делится на \(9\) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\) , то есть \(441=9\cdot 49\) .
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}= \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}= \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{ \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
\(\bullet\) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\) (сокращенная запись от выражения \(5\cdot \sqrt2\) ). Так как \(5=\sqrt{25}\) , то \ Заметим также, что, например,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число \(\sqrt2\) мы не можем. Представим, что \(\sqrt2\) – это некоторое число \(a\) . Соответственно, выражение \(\sqrt2+3\sqrt2\) есть не что иное, как \(a+3a\) (одно число \(a\) плюс еще три таких же числа \(a\) ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам \(a\) , то есть \(4\sqrt2\) .

Факт 4.
\(\bullet\) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака \(\sqrt {} \ \) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа \(16\) можно, потому что \(16=4^2\) , поэтому \(\sqrt{16}=4\) . А вот извлечь корень из числа \(3\) , то есть найти \(\sqrt3\) , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\) .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) и т.д.
\(\bullet\) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\) .
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

Факт 5.
\(\bullet\) Модуль вещественного числа \(a\) – это неотрицательное число \(|a|\) , равное расстоянию от точки \(a\) до \(0\) на вещественной прямой. Например, \(|3|\) и \(|-3|\) равны 3, так как расстояния от точек \(3\) и \(-3\) до \(0\) одинаковы и равны \(3\) .
\(\bullet\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\) .
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число \(0\) , модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\) (или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: \(|x|\) . \(\bullet\) Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что \(\sqrt{a^2}\) и \((\sqrt a)^2\) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда \(a\) – положительное число или ноль. А вот если \(a\) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо \(a\) число \(-1\) . Тогда \(\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\) , а вот выражение \((\sqrt {-1})^2\) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что \(\sqrt{a^2}\) не равен \((\sqrt a)^2\) ! Пример: 1) \(\sqrt{\left(-\sqrt2\right)^2}=|-\sqrt2|=\sqrt2\) , т.к. \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom{00000}\) 2) \((\sqrt{2})^2=2\) . \(\bullet\) Так как \(\sqrt{a^2}=|a|\) , то \[\sqrt{a^{2n}}=|a^n|\] (выражение \(2n\) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) \(\sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt{(-25)^2}=|-25|=25\) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен \(-25\) ; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) \(\sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8\) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
\(\bullet\) Для квадратных корней верно: если \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(a Пример:
1) сравним \(\sqrt{50}\) и \(6\sqrt2\) . Для начала преобразуем второе выражение в \(\sqrt{36}\cdot \sqrt2=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}\) . Таким образом, так как \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Между какими целыми числами находится \(\sqrt{50}\) ?
Так как \(\sqrt{49}=7\) , \(\sqrt{64}=8\) , а \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Сравним \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Предположим, что \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin{aligned} &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text{(прибавим единицу к обеим частям)}\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text{(возведем обе части в квадрат)}\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end{aligned}\] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Следует запомнить, что \[\begin{aligned} &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! \(\bullet\) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем \(\sqrt{28224}\) . Мы знаем, что \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) и т.д. Заметим, что \(28224\) находится между \(10\,000\) и \(40\,000\) . Следовательно, \(\sqrt{28224}\) находится между \(100\) и \(200\) .
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между \(120\) и \(130\) ). Также из таблицы квадратов знаем, что \(11^2=121\) , \(12^2=144\) и т.д., тогда \(110^2=12100\) , \(120^2=14400\) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\) . Таким образом, мы видим, что \(28224\) находится между \(160^2\) и \(170^2\) . Следовательно, число \(\sqrt{28224}\) находится между \(160\) и \(170\) .
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце \(4\) ? Это \(2^2\) и \(8^2\) . Следовательно, \(\sqrt{28224}\) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Следовательно, \(\sqrt{28224}=168\) . Вуаля!

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

  1. Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
  2. Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.