Правила график функции модуль х 2. Графики линейной функции с модулями
Знак модуля, пожалуй, одно из самых интересных явлений в математике. В связи с этим у многих школьников возникает вопрос, как строить графики функций, содержащих модуль. Давайте подробно разберем этот вопрос.
1. Построение графиков функций, содержащих модуль
Пример 1.
Построить график функции y = x 2 – 8|x| + 12.
Решение.
Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. Строим график функции y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для отрицательных x (рис. 1).
Пример 2.
Следующий график вида y = |x 2 – 8x + 12|.
– Какова область значений предложенной функции? (y ≥ 0).
– Как расположен график? (Над осью абсцисс или касаясь ее).
Это значит, что график функции получают следующим образом: строят график функции y = x 2 – 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно оси Ox (рис. 2).
Пример 3.
Для построения графика функции y = |x 2 – 8|x| + 12| проводят комбинацию преобразований:
y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Ответ: рисунок 3.
Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу:
2. Построение графиков функций, содержащих в формуле «вложенные модули»
Мы уже познакомились с примерами квадратичной функции, содержащей модуль, а так же с общими правилами построения графиков функций вида y = f(|x|), y = |f(x)| и y = |f(|x|)|. Эти преобразования помогут нам при рассмотрении следующего примера.
Пример 4.
Рассмотрим функцию вида y = |2 – |1 – |x|||. Выражение, задающее функцию, содержит «вложенные модули».
Решение.
Воспользуемся методом геометрических преобразований.
Запишем цепочку последовательных преобразований и сделаем соответствующий чертеж (рис. 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Рассмотрим случаи, когда преобразования симметрии и параллельного переноса не являются основным приемом при построении графиков.
Пример 5.
Построить график функции вида y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .
Решение.
Прежде чем строить график, преобразуем формулу, которой задана функция, и получим другое аналитическое задание функции (рис. 5).
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
Раскроем в знаменателе модуль:
При x > -2, y = x – 2, а при x < -2, y = -(x – 2).
Область определения D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Область значений E(y) = (-4; +∞).
Точки, в которых график пересекает с оси координат: (0; -2) и (2; 0).
Функция убывает при всех x из интервала (-∞; -2), возрастает при x от -2 до +∞.
Здесь нам пришлось раскрывать знак модуля и строить график функции для каждого случая.
Пример 6.
Рассмотрим функцию y = |x + 1| – |x – 2|.
Решение.
Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков подмодульных выражений.
Возможны четыре случая:
{x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 и x ≥ 2;
{-x – 1 + x – 2 = -3, при x < -1 и x < 2;
{x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 и x < 2;
{-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, при x < -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Тогда исходная функция будет иметь вид:
{3, при x ≥ 2;
y = {-3, при x < -1;
{2x – 1, при -1 ≤ x < 2.
Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 6.
3. Алгоритм построения графиков функций вида
y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b.
В предыдущем примере было достаточно легко раскрыть знаки модуля. Если же сумм модулей больше, то рассмотреть всевозможные комбинации знаков подмодульных выражений проблематично. Как же в этом случае построить график функции?
Заметим, что графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и 2. При x = -1 и x = 2 подмодульные выражения равны нулю. Практическим путем мы приблизились к правилу построения таких графиков:
Графиком функции вида y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b является ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все ее вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной контрольной точке на левом и правом бесконечных звеньях.
Задача.
Построить график функции y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и найти ее наименьшее значение.
Решение:
Нули подмодульных выражений: 0; -1; 1. Вершины ломаной (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольная точка справа (2; 6), слева (-2; 6). Строим график (рис. 7). min f(x) = 2.
Остались вопросы? Не знаете, как построить график функции с модулем?
Чтобы получить помощь репетитора – .
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Знак модуля, пожалуй, одно из самых интересных явлений в математике. В связи с этим у многих школьников возникает вопрос, как строить графики функций, содержащих модуль. Давайте подробно разберем этот вопрос.
1. Построение графиков функций, содержащих модуль
Пример 1.
Построить график функции y = x 2 – 8|x| + 12.
Решение.
Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. Строим график функции y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для отрицательных x (рис. 1).
Пример 2.
Следующий график вида y = |x 2 – 8x + 12|.
– Какова область значений предложенной функции? (y ≥ 0).
– Как расположен график? (Над осью абсцисс или касаясь ее).
Это значит, что график функции получают следующим образом: строят график функции y = x 2 – 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно оси Ox (рис. 2).
Пример 3.
Для построения графика функции y = |x 2 – 8|x| + 12| проводят комбинацию преобразований:
y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Ответ: рисунок 3.
Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу:
2. Построение графиков функций, содержащих в формуле «вложенные модули»
Мы уже познакомились с примерами квадратичной функции, содержащей модуль, а так же с общими правилами построения графиков функций вида y = f(|x|), y = |f(x)| и y = |f(|x|)|. Эти преобразования помогут нам при рассмотрении следующего примера.
Пример 4.
Рассмотрим функцию вида y = |2 – |1 – |x|||. Выражение, задающее функцию, содержит «вложенные модули».
Решение.
Воспользуемся методом геометрических преобразований.
Запишем цепочку последовательных преобразований и сделаем соответствующий чертеж (рис. 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Рассмотрим случаи, когда преобразования симметрии и параллельного переноса не являются основным приемом при построении графиков.
Пример 5.
Построить график функции вида y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .
Решение.
Прежде чем строить график, преобразуем формулу, которой задана функция, и получим другое аналитическое задание функции (рис. 5).
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
Раскроем в знаменателе модуль:
При x > -2, y = x – 2, а при x < -2, y = -(x – 2).
Область определения D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Область значений E(y) = (-4; +∞).
Точки, в которых график пересекает с оси координат: (0; -2) и (2; 0).
Функция убывает при всех x из интервала (-∞; -2), возрастает при x от -2 до +∞.
Здесь нам пришлось раскрывать знак модуля и строить график функции для каждого случая.
Пример 6.
Рассмотрим функцию y = |x + 1| – |x – 2|.
Решение.
Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков подмодульных выражений.
Возможны четыре случая:
{x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 и x ≥ 2;
{-x – 1 + x – 2 = -3, при x < -1 и x < 2;
{x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 и x < 2;
{-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, при x < -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Тогда исходная функция будет иметь вид:
{3, при x ≥ 2;
y = {-3, при x < -1;
{2x – 1, при -1 ≤ x < 2.
Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 6.
3. Алгоритм построения графиков функций вида
y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b.
В предыдущем примере было достаточно легко раскрыть знаки модуля. Если же сумм модулей больше, то рассмотреть всевозможные комбинации знаков подмодульных выражений проблематично. Как же в этом случае построить график функции?
Заметим, что графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и 2. При x = -1 и x = 2 подмодульные выражения равны нулю. Практическим путем мы приблизились к правилу построения таких графиков:
Графиком функции вида y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b является ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все ее вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной контрольной точке на левом и правом бесконечных звеньях.
Задача.
Построить график функции y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и найти ее наименьшее значение.
Решение:
Нули подмодульных выражений: 0; -1; 1. Вершины ломаной (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольная точка справа (2; 6), слева (-2; 6). Строим график (рис. 7). min f(x) = 2.
Остались вопросы? Не знаете, как построить график функции с модулем?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Песочница
Барак Адама 3 марта 2013 в 19:43ГИА - построение графиков функций со знаком модуля
Всем привет! Хотел бы сегодня объяснить такую тему, как построение графиков. Вероятно большинство знает, как строить простые графики функций, такие как y=x^2 или y=1/x. А как строить графики со знаком модуля?
Задача 1.
Построить графики функций y=|x| y=|x-1|.
Решение.
Сравним его с графиком функции y=|x|.При положительных x имеем |x|=x. Значит, для положительных значений аргумента график y=|x| совпадает с графиком y=x, то есть эта часть графика является лучём, выходящим из начала координат под углом 45 градусов к оси абсцисс. При x< 0 имеем |x|= -x; значит, для отрицательных x график y=|x| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.
Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y=|x| - чётная, так как |-a|=|a|. Значит, график функции y=|x| симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:
Для построения берём точки (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2).
Теперь график y=|x-1|. Если А - точка графика у=|x| с координатами (a;|a|), то точкой графика y=|x-1| с тем же значением ординаты Y будет точка A1(a+1;|a|). (Почему?) Эту точку второго графика можно получить из точки А(a;|a|) первого графика сдвигом параллельно оси Ox вправо. Значит, и весь график функции y=|x-1|получается из графика функции y=|x| сдвигом параллельно оси Ox вправо на 1.
Построим графики:
Y=|x-1|
Для построения берём точки (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1).
Это была простенькая задачка. Теперь то, что многих приводит в ужас.
Задача 2.
Постройте график функции y=3*|x-4| - x + |x+1|.
Решение.
Найдем точки, в которых подмодульные выражения обращаются в нуль, т.е. так называемые «критические» точки функции. Такими точками будут х=-1 и х=4. В этих точках подмодульные выражения могут изменить знак.
Пусть x<-1.
Тогда х+1<0, |x+1|=-x-1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(-х-1)= -5х+11.
Пусть -1< = x < = 4.
Тогда х+1>0, |x+1|=x+1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(х+1)= -3х+13.
Пусть х>4.
Тогда х+1>0, |x+1|=x+1, x-4>0; |x-4|=x-4; Следовательно у= 3(х-4)-х+х+1= 3х-11.
Значит, нам нужно построить график функции (именно один)
{ у= -5х+11, при x<-1
{ y= -3х+13, при -1< = x < = 4.
{ y= 3х-11, при х>4
Для построения первого берём точки (1; 6) (2; 1)
Для построения второго берём точки (3; 4) (4; 1)
Для построения третьего берём точки (3; -2) (4; 1)
Ну и последняя на сегодня задача, которую мы разберём.
Задача 3.
Построить график функции y= |1/4 x^2 - |x| - 3|.
Решение.
Функция y= |f(|x|)| чётная. Нужно построить для x>=0 y= f(x) график функции, затем его симметрично отразить относительно оси Oy(это график y= |1/4 x^2 - x - 3|.), и, наконец, ту часть полученного графика, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отразить относительно оси Ox (y= 1/4 x^2 - |x| - 3.).
Вот что из этого выйдет:
Y= |1/4 x^2 - |x| - 3|
Итак, всем спасибо! Теперь мы получили ту базу знаний, необходимую для построения графиков со знаком модуля! А то его так все боятся.
Теги: математика