rutor geometriska former- numeriska värden som kännetecknar deras storlek i tvådimensionellt utrymme. Detta värde kan mätas i systemenheter och icke-systemenheter. Så, till exempel, en enhet utanför systemet är hundra, en hektar. Detta är fallet om den uppmätta ytan är en bit mark. Systemenheten för area är kvadraten på längden. I SI-systemet är det vanligt att tänka på att enhetsarean för en plan yta är kvadratmeter. I CGS uttrycks areaenheten i kvadratcentimeter.

Geometri och areaformler är oupplösligt sammanlänkade. Detta samband ligger i det faktum att beräkningen av arean för platta figurer baseras just på deras tillämpning. För många figurer härleds flera alternativ, enligt vilka deras kvadratstorlekar beräknas. Baserat på data från problembeskrivningen kan vi bestämma det enklaste sättet att lösa det. Detta underlättar beräkningen och minskar sannolikheten för beräkningsfel till ett minimum. För att göra detta, överväga huvudområdet för figurer i geometri.

Formler för att hitta arean av en triangel presenteras på flera sätt:

1) Arean av en triangel beräknas från basen a och höjden h. Basen är den sida av figuren på vilken höjden sänks. Då är arean av triangeln:

2) Arean av en rätvinklig triangel beräknas på exakt samma sätt om hypotenusan anses vara basen. Om dock benet tas som bas, kommer arean av den rätvinkliga triangeln att vara lika med produkten av benen som halveras.

Formlerna för att beräkna arean av en triangel slutar inte där. Ett annat uttryck innehåller sidorna a,b och den sinusformade funktionen av vinkeln γ mellan a och b. Värdet på sinus finns i tabellerna. Den kan också hittas med hjälp av en miniräknare. Då är arean av triangeln:

Enligt denna jämlikhet kan du också se till att arean av en rätvinklig triangel bestäms genom benens längder. Därför att vinkeln γ är en rät vinkel, så arean av en rätvinklig triangel beräknas utan att multipliceras med sinusfunktionen.

3) Tänk på ett specialfall - en vanlig triangel, där sidan a är känd av tillståndet eller dess längd kan hittas vid lösning. Inget mer är känt om figuren i geometriproblemet. Hur hittar man då området under detta tillstånd? I det här fallet tillämpas formeln för arean av en vanlig triangel:

Rektangel

Hur hittar man arean på en rektangel och använder måtten på sidorna som har en gemensam vertex? Uttrycket för beräkningen är:

Om du vill använda längderna på diagonalerna för att beräkna arean av en rektangel, behöver du sinusfunktionen för vinkeln som bildas när de skär varandra. Formeln för arean av en rektangel är:

Fyrkant

Arean av en kvadrat definieras som andra potensen av sidolängden:

Beviset följer av definitionen att en rektangel kallas en kvadrat. Alla sidor som bildar en kvadrat har samma dimensioner. Därför reduceras beräkningen av arean för en sådan rektangel till att multiplicera den ena med den andra, det vill säga till sidans andra potens. Och formeln för att beräkna arean av en kvadrat kommer att ha den önskade formen.

Arean av en kvadrat kan hittas på ett annat sätt, till exempel om du använder en diagonal:

Hur beräknar man arean av en figur som bildas av en del av ett plan som begränsas av en cirkel? För att beräkna arean är formlerna:

Parallellogram

För ett parallellogram innehåller formeln de linjära dimensionerna för sidan, höjden och den matematiska operationen - multiplikation. Om höjden är okänd, hur hittar man då parallellogrammets yta? Det finns ett annat sätt att beräkna. Det kommer att ta ett visst värde, som kommer att ta trigonometrisk funktion vinkeln som bildas av intilliggande sidor, såväl som deras längd.

Formlerna för arean av ett parallellogram är:

Romb

Hur hittar man området för en fyrhörning som kallas en romb? Arean av en romb bestäms med enkla matematiska operationer med diagonaler. Beviset bygger på det faktum att de diagonala segmenten vid d1 och d2 skär varandra i räta vinklar. Tabellen över sinus visar att för rätt vinkel denna funktion är lika med en. Därför beräknas arean av en romb enligt följande:

Området för en romb kan också hittas på ett annat sätt. Det är inte heller svårt att bevisa detta, med tanke på att dess sidor är lika långa. Ersätt sedan deras produkt med ett liknande uttryck för ett parallellogram. När allt kommer omkring är ett specialfall av denna speciella figur en romb. Här är γ rombens inre vinkel. Arean av en romb bestäms enligt följande:

Trapets

Hur hittar man arean av en trapets genom baserna (a och b), om deras längder anges i problemet? Här, utan ett känt värde på höjdlängden h, kommer det inte att vara möjligt att beräkna arean av en sådan trapets. Därför att detta värde innehåller uttrycket för beräkning:

Den kvadratiska storleken på en rektangulär trapets kan också beräknas på samma sätt. Samtidigt tas hänsyn till att i en rektangulär trapetsoid kombineras begreppen höjd och sida. Därför, för en rektangulär trapets, måste du ange längden på sidan istället för höjden.

Cylinder och parallellepiped

Tänk på vad som behövs för att beräkna ytan på hela cylindern. Arean av denna figur är ett par cirklar som kallas baser, och sidoyta. Cirklar som bildar cirklar har radielängder lika med r. För arean av en cylinder görs följande beräkning:

Hur hittar man arean av en parallellepiped som består av tre par ansikten? Dess mått överensstämmer med ett visst par. Ansikten som är motsatta har samma parametrar. Hitta först S(1), S(2), S(3) - kvadratiska dimensioner av ojämna ytor. Sedan ytan på parallellepipeden:

Ringa

Två cirklar med gemensamt centrum bildar en ring. De begränsar också ringens yta. I det här fallet tar båda beräkningsformlerna hänsyn till dimensionerna för varje cirkel. Den första, som beräknar ringens area, innehåller större R och mindre r-radier. Oftare kallas de externa och interna. I det andra uttrycket beräknas ringarean med hjälp av de större D- och mindre d-diametrarna. Således beräknas ringens area enligt kända radier enligt följande:

Ringens area, med hjälp av diametrarnas längder, bestäms enligt följande:

Polygon

Hur hittar man arean av en polygon vars form inte är korrekt? Det finns ingen generell formel för området för sådana figurer. Men om det är avbildat på ett koordinatplan, till exempel, kan det vara rutigt papper, hur hittar man då ytan i det här fallet? Här använder man en metod som inte kräver att man ungefär mäter figuren. De gör så här: om de hittar punkter som faller in i hörnet av cellen eller har heltalskoordinater, så tas bara hänsyn till dem. För att sedan ta reda på vad området är, använd formeln som bevisats av Pick. Det är nödvändigt att lägga till antalet punkter som ligger inuti polylinjen med hälften av punkterna som ligger på den, och subtrahera en, det vill säga det beräknas på detta sätt:

där C, D - antalet punkter placerade inuti och på hela polylinjen, respektive.

Alla formler för arean av planfigurer

Arean av en likbent trapets

1. Formeln för arean av en likbent trapets i termer av sidor och vinkel

a - nedre bas

b - toppbas

c - lika sidor

α - vinkel vid den nedre basen

Formeln för arean av en likbent trapets i termer av sidorna, (S):

Formeln för arean av en likbent trapets i termer av sidor och vinkel, (S):

2. Formeln för arean av en likbent trapets i termer av radien för den inskrivna cirkeln

R- radien för den inskrivna cirkeln

D- diameter av den inskrivna cirkeln

O - inskrivet cirkelcentrum

H- trapetsens höjd

α, β - trapetsvinklar

Formeln för arean av en likbent trapets i termer av radien för den inskrivna cirkeln, (S):

FAIR, för en inskriven cirkel i en likbent trapets:

3. Formeln för arean av en likbent trapets i termer av diagonalerna och vinkeln mellan dem

d-diagonal för en trapets

α,β- vinklar mellan diagonaler

Formeln för arean av en likbent trapets i termer av diagonalerna och vinkeln mellan dem, (S):

4. Formeln för arean av en likbent trapets genom mittlinjen, sidosidan och vinkeln vid basen

c-sidan

m- trapetsens mittlinje

α, β - vinklar vid basen

Formeln för arean av en likbent trapets i termer av mittlinjen, laterala sidan och vinkeln vid basen,

(S):

5. Formeln för arean av en likbent trapets i termer av baser och höjd

a - bottenbas

b - toppbas

h - trapetsens höjd

Formeln för arean av en likbent trapets i termer av baser och höjd, (S):

Arean av en triangel givet en sida och två vinklar, formel.

a, b, c - triangelns sidor

α, β, γ - motsatta vinklar

Arean av en triangel genom en sida och två vinklar (S):

Formeln för arean av en vanlig polygon

a - polygon sida

n - antal sidor

Arean av en vanlig polygon, (S):

(Heronian) formeln för arean av en triangel i termer av halvperimetern (S):

Arean av en liksidig triangel är:

Formler för att beräkna arean av en liksidig triangel.

a - sida av triangeln

h - höjd

Hur beräknar man arean av en likbent triangel?

b - basen av triangeln

a - lika sidor

h - höjd

3. Formeln för arean av en trapets i termer av fyra sidor

a - bottenbas

b - toppbas

c, d - sidor

Radien för trapetsens omskrivna cirkel på sidorna och diagonalerna

a - trapetsens sidor

c - bottenbas

b - toppbas

d - diagonal

h - höjd

Formeln för radien för den omskrivna cirkeln av en trapets, (R)

hitta radien för den omskrivna cirkeln i en likbent triangel längs sidorna

Genom att känna till sidorna i en likbent triangel kan du använda formeln för att hitta radien för den omskrivna cirkeln runt denna triangel.

a, b - triangelns sidor

Radie för den omskrivna cirkeln i en likbent triangel (R):

Radie av en inskriven cirkel i en hexagon

a - sida av hexagonen

Radie av en inskriven cirkel i en hexagon, (r):

Radie av en inskriven cirkel i en romb

r - radien för den inskrivna cirkeln

a - sida av romben

D, d - diagonaler

h - diamanthöjd

Radie av en inskriven cirkel i en likbent trapets

c - nedre bas

b - toppbas

a - sidor

h - höjd

Radie av en inskriven cirkel i en rätvinklig triangel

a, b - ben i en triangel

c - hypotenusa

Radie av en inskriven cirkel i en likbent triangel

a, b - triangelns sidor

Bevisa att arean av den inskrivna fyrhörningen är

\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d),

där p är halvomkretsen och a, b, c och d är sidorna av fyrhörningen.

Bevisa att arean av en fyrhörning inskriven i en cirkel är

1/2 (ab + cb) sin α, där a, b, c och d är sidorna på fyrhörningen och α är vinkeln mellan sidorna a och b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Läs mer på FB.ru:

Arean av en godtycklig fyrhörning (Fig. 1.13) kan uttryckas i termer av dess sidor a, b, c och summan av ett par motsatta vinklar:

där p är fyrhörningens halvperimeter.

Arean av en fyrkant inskriven i en cirkel () (Fig. 1.14, a) beräknas med hjälp av Brahmagupta-formeln

och beskrivs (Fig. 1.14, b) () - enligt formeln

Om fyrhörningen är inskriven och beskriven samtidigt (fig. 1.14, c), blir formeln ganska enkel:

Toppformel

För att uppskatta arean av en polygon på rutigt papper räcker det att beräkna hur många celler denna polygon täcker (vi tar arean av en cell som en enhet). Mer exakt, om S är polygonens area, är antalet celler som ligger helt inuti polygonen, och är antalet celler som har minst en gemensam punkt med polygonens inre.

Vi kommer nedan endast att betrakta sådana polygoner, vars alla hörn ligger vid noderna rutiga papper- i de där rutnätslinjerna skär varandra. Det visar sig att för sådana polygoner kan du ange följande formel:

var är arean, r är antalet noder som ligger strikt innanför polygonen.

Denna formel kallas "Toppformeln" efter matematikern som upptäckte den 1899.

Mer än 10 formler för att beräkna arean av en triangel kan hittas på Internet. Många av dem används i problem med kända sidor och vinklar i en triangel. Det finns dock ett antal svåra exempel där, enligt tilldelningens tillstånd, endast en sida och vinklar för triangeln, eller radien för den omskrivna eller inskrivna cirkeln, och ytterligare en egenskap är kända. I sådana fall kan en enkel formel inte användas.

Formlerna nedan kommer att lösa 95 procent av problemen där du behöver hitta arean av en triangel.
Låt oss gå vidare till övervägandet av formler för gemensamma område.
Betrakta triangeln som avbildas i figuren nedan

I figuren och vidare i formlerna introduceras de klassiska beteckningarna för alla dess egenskaper
a,b,c är triangelns sidor,
R är radien för den omskrivna cirkeln,
r är radien för den inskrivna cirkeln,
h[b],h[a],h[c] - höjder ritade i enlighet med sidorna a,b,c.
alfa, beta, hamma - hörn nära hörnen.

Grundläggande formler för arean av en triangel

1. Arean är lika med halva produkten av triangelns sida och höjden sänkt till denna sida. I formelspråk kan denna definition skrivas som

Således, om sidan och höjden är kända, kommer varje elev att hitta området.
Förresten, ett användbart förhållande mellan höjder kan härledas från denna formel

2. Om vi ​​tar hänsyn till att triangelns höjd genom den intilliggande sidan uttrycks av beroendet

Sedan från den första formeln för området följer samma typ av den andra

Titta noga på formlerna - de är lätta att komma ihåg, eftersom verket har två sidor och en vinkel mellan dem. Om vi ​​korrekt betecknar triangelns sidor och vinklar (som i figuren ovan), får vi två sidor a, b och vinkeln är relaterad till den tredje C (hamma).

3. För vinklarna i en triangel, relationen

Beroende låter dig tillämpa följande formler för arean av en triangel i beräkningar

Exempel på detta beroende är extremt sällsynta, men du måste komma ihåg att det finns en sådan formel.

4. Om sidan och två angränsande vinklar är kända, så hittas arean av formeln

5. Formeln för arean i termer av en sida och cotangensen för intilliggande vinklar är följande

Genom att ordna om indexen kan du få beroenden för de andra sidorna.

6. Areaformeln nedan används i uppgifter när en triangels hörn anges på planet med koordinater. I detta fall är arean lika med halva modulo-determinanten.

7. Herons formel används i exempel med kända sidor i en triangel.
Hitta först triangelns halvomkrets

Och bestäm sedan arean med formeln

eller

Det används ofta i koden för kalkylatorprogram.

8. Om alla höjder på triangeln är kända, så bestäms arean av formeln

Det är svårt att räkna på en miniräknare, men i paketen MathCad, Mathematica, Maple är arean "en två".

9. Följande formler använder kända radier för inskrivna och omskrivna cirklar.

I synnerhet om radien och sidorna av en triangel, eller dess omkrets, är kända, beräknas arean enligt formeln

10. I exempel där sidorna och radien eller diametern för den omskrivna cirkeln anges, hittas arean av formeln

11. Följande formel bestämmer arean av en triangel i form av sidan och vinklarna på triangeln.

Och slutligen - specialfall:
Arean av en rätvinklig triangel med ben a och b är lika med hälften av deras produkt

Formeln för arean av en liksidig (regelbunden) triangel=

\u003d en fjärdedel av produkten av kvadraten på sidan och roten av de tre.

Geometriskt område- en numerisk egenskap hos en geometrisk figur som visar storleken på denna figur (en del av ytan avgränsad av en sluten kontur av denna figur). Storleken på området uttrycks av antalet kvadratenheter som det innehåller.

Formler för triangelarea

1. Triangelarea formel för sida och höjd
   Arean av en triangel lika med halva produkten av längden av en sida i en triangel och längden av höjden som dras till denna sida
   
2. Formeln för arean av en triangel givet tre sidor och radien för den omskrivna cirkeln
   
3. Formeln för arean av en triangel med tre sidor och radien för en inskriven cirkel
   Arean av en triangelär lika med produkten av triangelns halva omkrets och radien av den inskrivna cirkeln.
   
där S är arean av triangeln,
- längden på triangelns sidor,
- triangelns höjd,
- vinkeln mellan sidorna och,
- radien för den inskrivna cirkeln,
R - radien för den omskrivna cirkeln,

Formler för kvadratyta

1. Formeln för arean av en kvadrat givet längden på en sida
   kvadratisk ytaär lika med kvadraten på dess sidolängd.
2. Formeln för arean av en kvadrat givet längden på diagonalen
   kvadratisk yta lika med halva kvadraten av längden på dess diagonal.
   

   S=	1	2
   	2

där S är kvadratens area,
är längden på sidan av kvadraten,
är längden på kvadratens diagonal.

Formel för rektangelyta

Rektangelområdeär lika med produkten av längderna av dess två intilliggande sidor

där S är arean av rektangeln,
är längden på rektangelns sidor.

Formler för arean av ett parallellogram

1. Parallelogramareaformel för sidlängd och höjd
   Parallelogramområde
2. Formeln för arean av ett parallellogram givet två sidor och vinkeln mellan dem
   Parallelogramområdeär lika med produkten av längderna på dess sidor multiplicerat med sinus av vinkeln mellan dem.
   

   a b sinα

där S är parallellogrammets area,
är längden på parallellogrammets sidor,
är höjden på parallellogrammet,
är vinkeln mellan parallellogrammets sidor.

Formler för området av en romb

1. Rhombus area formel given sidolängd och höjd
   Rombus områdeär lika med produkten av längden på dess sida och längden på höjden sänkt till denna sida.
2. Formeln för arean av en romb givet längden på sidan och vinkeln
   Rombus områdeär lika med produkten av kvadraten av längden på dess sida och sinus av vinkeln mellan rombens sidor.
3. Formeln för arean av en romb från längden på dess diagonaler
   Rombus områdeär lika med hälften av produkten av längderna på dess diagonaler.
där S är arean av romben,
- längden på sidan av romben,
- längden på rombens höjd,
- vinkeln mellan sidorna av romben,
1, 2 - längderna på diagonalerna.

Formler för trapezområde

1. Herons formel för en trapets

   Där S är arean av trapetsen,
   - längden på trapetsens baser,
   - längden på trapetsens sidor,
   

För att lösa geometriproblem behöver du känna till formler - såsom arean av en triangel eller arean av en parallellogram - samt enkla knep som vi kommer att prata om.

Låt oss först lära oss formlerna för figurernas områden. Vi har speciellt samlat dem i ett bekvämt bord. Skriv ut, lär och tillämpa!

Naturligtvis finns inte alla geometriformler i vår tabell. Till exempel att lösa problem inom geometri och stereometri i den andra delen profilprov i matematik används också andra formler för arean av en triangel. Vi kommer definitivt att berätta om dem.

Men vad händer om du inte behöver hitta arean av en trapets eller triangel, utan arean av en komplex figur? Äta universella sätt! Vi kommer att visa dem med hjälp av exempel från FIPI-uppgiftsbanken.

1. Hur hittar man området för en icke-standardfigur? Till exempel en godtycklig fyrhörning? En enkel teknik - låt oss dela upp den här figuren i de som vi alla känner till, och hitta dess yta - som summan av dessa figurers arealer.

Dela denna fyrhörning med en horisontell linje i två trianglar med en gemensam bas lika med . Höjden på dessa trianglar är lika med och . Då är fyrhörningens area lika med summan av de två trianglarnas area: .

Svar: .

2. I vissa fall kan området för figuren representeras som skillnaden mellan alla områden.

Det är inte så lätt att räkna ut vad basen och höjden i denna triangel är lika med! Men vi kan säga att dess area är lika med skillnaden mellan ytorna på en kvadrat med en sida och tre rätvinkliga trianglar. Ser du dem på bilden? Vi får: .

Svar: .

3. Ibland i en uppgift är det nödvändigt att hitta arean inte av hela figuren, utan av dess del. Vanligtvis talar vi om arean av en sektor - del av en cirkel. Hitta arean av en sektor av en cirkel med radie , vars båglängd är lika med .

På den här bilden ser vi en del av en cirkel. Arean av hela cirkeln är lika med , eftersom . Det återstår att ta reda på vilken del av cirkeln som är avbildad. Eftersom längden på hela cirkeln är (eftersom) och längden på bågen för denna sektor är lika, därför är längden på bågen flera gånger mindre än längden på hela cirkeln. Vinkeln som denna båge vilar på är också gånger mindre än en hel cirkel (det vill säga grader). Detta innebär att området för sektorn kommer att vara flera gånger mindre än hela cirkelns yta.