คุณสมบัติของการกระจายทวินาม กฎการกระจายทวินาม

แน่นอน เมื่อคำนวณฟังก์ชันการแจกแจงแบบสะสม เราควรใช้ความสัมพันธ์ที่กล่าวถึงระหว่างการแจกแจงแบบทวินามและการแจกแจงแบบเบต้า วิธีนี้ดีกว่าการบวกโดยตรงเมื่อ n > 10

ในตำราคลาสสิกเกี่ยวกับสถิติ เพื่อให้ได้ค่าของการแจกแจงแบบทวินาม มักแนะนำให้ใช้สูตรตามทฤษฎีบทจำกัด (เช่น สูตร Moivre-Laplace) ควรสังเกตว่า จากมุมมองการคำนวณอย่างหมดจดค่าของทฤษฎีบทเหล่านี้มีค่าใกล้เคียงกับศูนย์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในปัจจุบัน เมื่อมีคอมพิวเตอร์ที่มีประสิทธิภาพในเกือบทุกโต๊ะ ข้อเสียเปรียบหลักของการประมาณข้างต้นคือความแม่นยำไม่เพียงพออย่างสมบูรณ์สำหรับค่า n ทั่วไปสำหรับแอปพลิเคชันส่วนใหญ่ ข้อเสียไม่น้อยไปกว่ากันคือการไม่มีคำแนะนำที่ชัดเจนเกี่ยวกับการบังคับใช้ของการประมาณหนึ่งหรืออย่างอื่น (เฉพาะสูตรซีมโทติคเท่านั้นที่มีให้ในข้อความมาตรฐาน ไม่ได้มาพร้อมกับการประมาณค่าที่แม่นยำ ดังนั้นจึงมีประโยชน์น้อย) ฉันจะบอกว่าทั้งสองสูตรใช้ได้กับ n เท่านั้น< 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.

ฉันไม่พิจารณาปัญหาในการค้นหาควอนไทล์ที่นี่: สำหรับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องมันเป็นเรื่องเล็กน้อยและในปัญหาเหล่านั้นที่การแจกแจงดังกล่าวเกิดขึ้นตามกฎแล้วจะไม่เกี่ยวข้องกัน หากยังต้องการปริมาณ ฉันแนะนำให้จัดรูปแบบปัญหาในลักษณะที่ทำงานกับค่า p (ความสำคัญที่สังเกตได้) นี่คือตัวอย่าง: เมื่อใช้อัลกอริธึมการแจงนับ ในแต่ละขั้นตอน จำเป็นต้องตรวจสอบสมมติฐานทางสถิติเกี่ยวกับตัวแปรสุ่มแบบทวินาม ตามแนวทางดั้งเดิม ในแต่ละขั้นตอนจำเป็นต้องคำนวณสถิติของเกณฑ์และเปรียบเทียบค่ากับขอบเขตของชุดวิกฤต อย่างไรก็ตาม เนื่องจากอัลกอริทึมเป็นแบบแจกแจง จึงจำเป็นต้องกำหนดขอบเขตของชุดวิกฤตในแต่ละครั้งใหม่ (หลังจากนั้น ขนาดตัวอย่างจะเปลี่ยนจากขั้นหนึ่งไปอีกขั้นหนึ่ง) ซึ่งเพิ่มต้นทุนด้านเวลาอย่างไม่เกิดผล วิธีการสมัยใหม่แนะนำให้คำนวณนัยสำคัญที่สังเกตได้และเปรียบเทียบกับความน่าจะเป็นที่มั่นใจ ประหยัดในการค้นหาควอนไทล์

ดังนั้น โค้ดต่อไปนี้จะไม่คำนวณฟังก์ชันผกผัน แต่ให้ฟังก์ชัน rev_binomialDF แทน ซึ่งคำนวณความน่าจะเป็น p ของความสำเร็จในการทดลองครั้งเดียวโดยพิจารณาจากจำนวน n ของการทดลอง จำนวน m ของความสำเร็จในการทดลองเหล่านั้น และค่า y ของความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จเหล่านี้ สิ่งนี้ใช้ความสัมพันธ์ดังกล่าวข้างต้นระหว่างการแจกแจงทวินามและเบต้า

ในความเป็นจริง ฟังก์ชันนี้ช่วยให้คุณได้รับขอบเขตของช่วงความเชื่อมั่น อันที่จริง สมมติว่าเราประสบความสำเร็จในการทดลองทวินาม n ครั้ง ดังที่คุณทราบ ขอบเขตด้านซ้ายของช่วงความเชื่อมั่นสองด้านสำหรับพารามิเตอร์ p ที่มีระดับความเชื่อมั่นคือ 0 ถ้า m = 0 และ for คือคำตอบของสมการ . ในทำนองเดียวกัน ขอบเขตด้านขวาคือ 1 ถ้า m = n และ for คือคำตอบของสมการ . นี่ก็หมายความว่าเพื่อที่จะหาขอบเขตด้านซ้าย เราต้องแก้สมการ และเพื่อค้นหาสมการที่เหมาะสม . ซึ่งแก้ไขได้ในฟังก์ชัน binom_leftCI และ binom_rightCI ซึ่งจะคืนค่าขอบเขตบนและล่างของช่วงความเชื่อมั่นสองด้านตามลำดับ

ฉันต้องการทราบว่าหากไม่ต้องการความแม่นยำที่น่าทึ่งอย่างยิ่ง สำหรับ n ที่ใหญ่พอ คุณสามารถใช้ค่าประมาณต่อไปนี้ [B.L. van der Waerden สถิติทางคณิตศาสตร์ M: IL, 1960, ช. 2 วินาที 7]: โดยที่ g คือควอไทล์ของการแจกแจงแบบปกติ ค่าของการประมาณนี้คือมีการประมาณแบบง่ายๆ ที่ให้คุณคำนวณปริมาณของการแจกแจงแบบปกติ (ดูข้อความเกี่ยวกับการคำนวณการแจกแจงแบบปกติและส่วนที่เกี่ยวข้องของข้อมูลอ้างอิงนี้) ในทางปฏิบัติของฉัน (ส่วนใหญ่สำหรับ n > 100) การประมาณนี้ให้ตัวเลขประมาณ 3-4 หลักซึ่งตามกฎแล้วค่อนข้างเพียงพอ

การคำนวณด้วยรหัสต่อไปนี้ต้องใช้ไฟล์ betaDF.h , betaDF.cpp (ดูหัวข้อการแจกแจงเบต้า) รวมทั้ง logGamma.h , logGamma.cpp (ดูภาคผนวก A) คุณยังสามารถดูตัวอย่างการใช้ฟังก์ชัน

ไฟล์ binomialDF.h

#ifndef __BINOMIAL_H__ #include "betaDF.h" double binomialDF(การทดลองสองครั้ง ความสำเร็จสองครั้ง double p); /* * ให้มี "การทดลอง" ของการสังเกตอิสระ * ด้วยความน่าจะเป็น "p" ของความสำเร็จในแต่ละข้อ * คำนวณความน่าจะเป็น B(successes|trials,p) ที่จำนวน * ของความสำเร็จอยู่ระหว่าง 0 และ "สำเร็จ" (รวม) */ double rev_binomialDF(การทดลองสองครั้ง, สำเร็จสองครั้ง, double y); /* * ให้ความน่าจะเป็น y ของความสำเร็จอย่างน้อย m * เป็นที่รู้จักในการทดลองของโครงการ Bernoulli ฟังก์ชันค้นหาความน่าจะเป็น p * ของความสำเร็จในการทดลองครั้งเดียว * * ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ใช้ในการคำนวณ * * 1 - p = rev_Beta(การทดลอง-ความสำเร็จ| ความสำเร็จ+1, y) */ double binom_leftCI(การทดลองสองครั้ง ความสำเร็จสองครั้ง ระดับสองเท่า); /* ให้มี "การทดลอง" ของการสังเกตอิสระ * โดยมีความน่าจะเป็น "p" ของความสำเร็จในแต่ละ * และจำนวนของความสำเร็จคือ "ความสำเร็จ" * ขอบเขตด้านซ้ายของช่วงความเชื่อมั่นสองด้าน * คำนวณด้วยระดับระดับนัยสำคัญ */ double binom_rightCI(double n, double สำเร็จ, double level); /* ให้มี "การทดลอง" ของการสังเกตอิสระ * โดยมีความน่าจะเป็น "p" ของความสำเร็จในแต่ละ * และจำนวนของความสำเร็จคือ "ความสำเร็จ" * ขอบเขตด้านขวาของช่วงความเชื่อมั่นสองด้าน * คำนวณด้วยระดับระดับนัยสำคัญ */ #endif /* สิ้นสุด #ifndef __BINOMIAL_H__ */

ไฟล์ binomialDF.cpp

/************************************************ **** **********/ /* การกระจายทวินาม */ /**************************** **** ***************************/ #ได้แก่ #รวม #include "betaDF.h" ENTRY double binomialDF(double n, double m, double p) /* * ปล่อยให้มี "n" การสังเกตอิสระ * ด้วยความน่าจะเป็น "p" ของความสำเร็จในแต่ละรายการ * คำนวณความน่าจะเป็น B(m|n,p) ที่จำนวนความสำเร็จคือ * ระหว่าง 0 ถึง "m" (รวม) เช่น * ผลรวมของความน่าจะเป็นแบบทวินามตั้งแต่ 0 ถึง m: * * m * -- (n) j n-j * > () p (1-p) * -- (j) * j=0 * * การคำนวณไม่ได้หมายความถึงการบวกที่เป็นใบ้ - * ใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้กับการแจกแจงเบต้าส่วนกลาง: * * B(m|n,p) = Beta(1-p|n-m,m+1) * * อาร์กิวเมนต์ต้องเป็นค่าบวก โดยมี 0<= p <= 1. */ { assert((n >0) && (p >= 0) && (หน้า<= 1)); if (m < 0) return 0; else if (m == 0) return pow(1-p, n); else if (m >= n) กลับ 1; มิฉะนั้นจะส่งคืน BetaDF(n-m, m+1).value(1-p); )/* binomialDF */ ENTRY double rev_binomialDF(double n, double m, double y) /* * ให้ความน่าจะเป็น y ของความสำเร็จอย่างน้อย m * เป็นที่รู้จักในการทดลอง n ครั้งของแผน Bernoulli ฟังก์ชันค้นหาความน่าจะเป็น p * ของความสำเร็จในการทดลองครั้งเดียว * * ใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ในการคำนวณ * * 1 - p = rev_Beta(y|n-m,m+1) */ ( ยืนยัน((n > 0) && (m >= 0) && (ม<= n) && (y >= 0) && (ย<= 1)); return 1-BetaDF(n-m, m+1).inv(y); }/*rev_binomialDF*/ ENTRY double binom_leftCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется левая граница двухстороннего доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (ม. >= 0) && (ม<= n) && (y >= 0.5) && (ย< 1)); return BetaDF(m, n-m+1).inv((1-y)/2); }/*binom_leftCI*/ ENTRY double binom_rightCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется правая граница доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (ม. >= 0) && (ม<= n) && (y >= 0.5) && (ย< 1)); return BetaDF(m+1, n-m).inv((1+y)/2); }/*binom_rightCI*/

- (การแจกแจงแบบทวินาม) การแจกแจงที่ช่วยให้คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์สุ่มใด ๆ ที่ได้รับจากการสังเกตเหตุการณ์อิสระจำนวนหนึ่ง หากความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นขององค์ประกอบพื้นฐานที่เป็นส่วนประกอบ ...... พจนานุกรมเศรษฐกิจ

- (การแจกแจงแบบแบร์นูลลี) การแจกแจงความน่าจะเป็นของจำนวนการเกิดเหตุการณ์บางอย่างในการทดลองอิสระซ้ำๆ หากความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์นี้ในการทดลองแต่ละครั้งเท่ากับ p(0 p 1) เป๊ะเบอร์? มีเหตุการณ์นี้เกิดขึ้น ... ... พจนานุกรมสารานุกรมเล่มใหญ่

การกระจายทวินาม- - หัวข้อโทรคมนาคม แนวคิดพื้นฐาน EN การกระจายทวินาม ...

- (การแจกแจงแบบแบร์นูลลี) การแจกแจงความน่าจะเป็นของจำนวนการเกิดเหตุการณ์บางอย่างในการทดลองอิสระซ้ำๆ หากความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์นี้ในการทดลองแต่ละครั้งคือ p (0≤p≤1) กล่าวคือ จำนวน μ ของเหตุการณ์นี้เกิดขึ้น… … พจนานุกรมสารานุกรม

การกระจายทวินาม- 1.49 น. การแจกแจงทวินาม การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X แบบไม่ต่อเนื่อง รับค่าจำนวนเต็มใดๆ จาก 0 ถึง n เพื่อให้ x = 0, 1, 2, ..., n และพารามิเตอร์ n = 1, 2, ... และ 0< p < 1, где Источник … หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมของเงื่อนไขของเอกสารเชิงบรรทัดฐานและทางเทคนิค

การแจกแจงแบบแบร์นูลลี การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ซึ่งรับค่าจำนวนเต็มด้วยความน่าจะเป็นตามลำดับ (ค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม; p พารามิเตอร์ B. R. เรียกว่าความน่าจะเป็นของผลบวก ซึ่งรับค่า ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

การแจกแจงความน่าจะเป็นของจำนวนเหตุการณ์บางอย่างในการทดลองอิสระซ้ำๆ หากในการทดลองแต่ละครั้งความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์เท่ากับ p และ 0 ≤ p ≤ 1 ดังนั้นจำนวน μ ของการเกิดเหตุการณ์นี้กับ n อิสระ ...... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

- (การแจกแจงแบบแบร์นูลลี) การแจกแจงความน่าจะเป็นของจำนวนการเกิดเหตุการณ์บางอย่างในการทดลองอิสระซ้ำๆ หากความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์นี้ในการทดลองแต่ละครั้งคือ p (0<или = p < или = 1). Именно, число м появлений … วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินาม- (การแจกแจงแบบทวินาม) การกระจายที่สังเกตได้ในกรณีที่ผลลัพธ์ของการทดลองอิสระแต่ละครั้ง (การสังเกตทางสถิติ) ใช้หนึ่งในสองค่าที่เป็นไปได้: ชัยชนะหรือความพ่ายแพ้ การรวมหรือการยกเว้น บวกหรือ ... พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินาม- การกระจายที่สังเกตได้ในกรณีที่ผลลัพธ์ของการทดลองอิสระแต่ละครั้ง (การสังเกตทางสถิติ) ใช้หนึ่งในสองค่าที่เป็นไปได้: ชัยชนะหรือความพ่ายแพ้ การรวมหรือการยกเว้น บวกหรือลบ 0 หรือ 1 นั่นคือ ... ... คู่มือนักแปลทางเทคนิค

หนังสือ

ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ในโจทย์ปัญหา. มากกว่า 360 งานและแบบฝึกหัด D. A. Borzykh คู่มือที่เสนอประกอบด้วยงานที่มีความซับซ้อนหลายระดับ อย่างไรก็ตาม การเน้นหลักอยู่ที่งานที่มีความซับซ้อนปานกลาง สิ่งนี้ทำขึ้นโดยเจตนาเพื่อส่งเสริมให้นักเรียน ...
ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ในปัญหามากกว่า 360 ปัญหาและแบบฝึกหัด Borzykh D. คู่มือที่เสนอประกอบด้วยปัญหาที่มีความซับซ้อนหลายระดับ อย่างไรก็ตาม การเน้นหลักอยู่ที่งานที่มีความซับซ้อนปานกลาง สิ่งนี้ทำขึ้นโดยเจตนาเพื่อส่งเสริมให้นักเรียน ...

พิจารณาการดำเนินการ แผนการของแบร์นูลลี, เช่น. มีการทดลองอิสระซ้ำหลายครั้ง ซึ่งแต่ละเหตุการณ์ A ที่กำหนดมีความน่าจะเป็นเท่ากัน โดยไม่ขึ้นกับหมายเลขการทดลอง และสำหรับการทดลองแต่ละครั้ง มีเพียงสองผลลัพธ์:

1) เหตุการณ์ A - ความสำเร็จ;

2) เหตุการณ์ - ความล้มเหลว

ด้วยความน่าจะเป็นคงที่

ให้เราแนะนำตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X - "จำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ที่ พีการทดสอบ” และค้นหากฎการกระจายของตัวแปรสุ่มนี้ ค่า X สามารถรับค่า

ความน่าจะเป็น ที่ตัวแปรสุ่ม X รับค่า x กหาได้จากสูตรเบอร์นูลลี

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่กำหนดโดยสูตร Bernoulli (1) เรียกว่า กฎการกระจายทวินาม. ถาวร พี และ ร (คิว=1-พี)รวมอยู่ในสูตร (1) เรียกว่า พารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบทวินาม

ชื่อ "การแจกแจงแบบทวินาม" เกิดจากการที่ด้านขวาในความเท่าเทียมกัน (1) เป็นคำทั่วไปของการขยายตัว ทวินามของนิวตัน,เหล่านั้น.

(2)

และตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา พี+คิว=1แล้วด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (2) เท่ากับ 1

มันหมายความว่า

(4)

ในความเสมอภาค (3) เทอมแรก คิว เอ็นทางด้านขวาหมายถึงความน่าจะเป็นใน พีเหตุการณ์การทดสอบ A จะไม่ปรากฏแม้แต่ครั้งเดียวในเทอมที่สอง ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น 1 ครั้ง เทอมที่สามคือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น 2 ครั้ง และสุดท้ายคือเทอมสุดท้าย r พีคือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นพอดี พีครั้งหนึ่ง.

กฎทวินามของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องถูกนำเสนอในรูปแบบของตาราง:

เอ็กซ์	0	1	…	เค	…	น
ร	คิว เอ็น		…		…	r พี

ลักษณะตัวเลขหลักของการแจกแจงแบบทวินาม:

1) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (5)

2) การกระจายตัว (6)

3) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (7)

4) จำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้มากที่สุด k 0เป็นจำนวนที่กำหนดให้ พีสอดคล้องกับความน่าจะเป็นทวินามสูงสุด

สำหรับ พีและ รจำนวนนี้ถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน

(8)

ถ้าหมายเลข ราคา+รไม่ใช่จำนวนเต็มแล้ว k 0เท่ากับส่วนจำนวนเต็มของจำนวนนี้ ถ้า ราคา+รเป็นจำนวนเต็มแล้ว k 0มีสองความหมาย

กฎทวินามของการแจกแจงความน่าจะเป็นถูกนำมาใช้ในทฤษฎีการยิง ในทฤษฎีและการปฏิบัติเกี่ยวกับการควบคุมคุณภาพผลิตภัณฑ์ทางสถิติ ในทฤษฎีการจัดคิว ในทฤษฎีความน่าเชื่อถือ ฯลฯ กฎหมายนี้สามารถใช้ได้ในทุกกรณีที่มีลำดับของการพิจารณาคดีอิสระ

ตัวอย่างที่ 1:ก่อตั้งขึ้นโดยการควบคุมคุณภาพว่าจากอุปกรณ์ทุกๆ 100 ชิ้น โดยเฉลี่ยแล้ว 90 ชิ้นจะไม่มีข้อบกพร่อง รวบรวมการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินามสำหรับจำนวนอุปกรณ์คุณภาพที่ซื้อโดยการสุ่ม 4

สารละลาย:เหตุการณ์ A - เหตุการณ์ที่กำลังถูกทดสอบ - คือ "อุปกรณ์ที่ได้มาโดยการสุ่มมีคุณภาพดี" ตามเงื่อนไขของปัญหา พารามิเตอร์หลักของการแจกแจงแบบทวินามคือ:

ตัวแปรสุ่ม X คือจำนวนอุปกรณ์คุณภาพสูงจาก 4 รายการซึ่งหมายถึงค่าของ X - ค้นหาความน่าจะเป็นของค่า X โดยใช้สูตร (1):

ดังนั้น กฎการกระจายค่า X คือจำนวนอุปกรณ์คุณภาพสูงจาก 4 รายการ:

เอ็กซ์	0	1	2	3	4
ร	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

ในการตรวจสอบความถูกต้องของการสร้างการแจกแจง ให้ตรวจสอบว่าผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับเท่าใด

คำตอบ:กฎหมายการกระจาย

เอ็กซ์	0	1	2	3	4
ร	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

ตัวอย่างที่ 2:วิธีการรักษาที่ใช้นำไปสู่การฟื้นตัวใน 95% ของกรณี ผู้ป่วยห้ารายใช้วิธีนี้ ค้นหาจำนวนผู้ป่วยที่หายเป็นปกติที่เป็นไปได้มากที่สุด รวมถึงลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม X - จำนวนผู้ป่วยที่หายจาก 5 รายที่ใช้วิธีนี้

สวัสดี! เรารู้แล้วว่าการกระจายความน่าจะเป็นคืออะไร อาจเป็นแบบไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่องก็ได้ และเราได้เรียนรู้ว่ามันเรียกว่าการแจกแจงความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ตอนนี้มาสำรวจการแจกแจงทั่วไปอีกสองสามรายการ สมมุติว่าฉันมีเหรียญอยู่หนึ่งเหรียญ และเหรียญที่ถูกต้อง ฉันจะพลิกมัน 5 ครั้ง ฉันจะกำหนดตัวแปรสุ่ม X แทนด้วยอักษรตัวใหญ่ X มันจะเท่ากับจำนวนของ "นกอินทรี" ในการโยน 5 ครั้ง บางทีฉันมีเหรียญ 5 เหรียญ ฉันจะโยนมันทั้งหมดพร้อมกันแล้วนับจำนวนหัวที่ฉันได้ หรือผมจะมีเหรียญเดียวก็พลิกได้ 5 ครั้งแล้วนับว่าออกหัวกี่ครั้ง มันไม่สำคัญจริงๆ แต่สมมุติว่าผมมีเหรียญ 1 เหรียญและผมพลิกมัน 5 ครั้ง แล้วเราจะไม่มีความแน่นอน นี่คือนิยามของตัวแปรสุ่มของฉัน ดังที่เราทราบ ตัวแปรสุ่มแตกต่างจากตัวแปรปกติเล็กน้อย มันเหมือนกับฟังก์ชันมากกว่า มันกำหนดค่าบางอย่างให้กับการทดสอบ และตัวแปรสุ่มนี้ค่อนข้างง่าย เราแค่นับจำนวนครั้งที่ "นกอินทรี" ตกลงมาหลังจากการโยน 5 ครั้ง - นี่คือตัวแปรสุ่มของเรา X ลองคิดดูว่าความน่าจะเป็นของค่าต่างๆ ในกรณีของเราเป็นอย่างไร แล้วความน่าจะเป็นที่ X (ตัวพิมพ์ใหญ่ X) เป็น 0 คืออะไร? เหล่านั้น. ความน่าจะเป็นที่หลังจากการโยน 5 ครั้งจะไม่ออกหัวเป็นเท่าใด อันที่จริงแล้ว นี่ก็เหมือนกับความน่าจะเป็นที่จะได้ "ก้อย" (ถูกต้องแล้ว เป็นภาพรวมเล็กๆ ของทฤษฎีความน่าจะเป็น) คุณควรได้รับ "หาง" บ้าง ความน่าจะเป็นของ "หาง" แต่ละอันคืออะไร? นี่คือ 1/2 เหล่านั้น. มันควรจะเป็น 1/2 คูณ 1/2, 1/2, 1/2 และ 1/2 อีกครั้ง เหล่านั้น. (1/2)⁵. 1⁵=1 หารด้วย 2⁵ เช่น ที่ 32 ค่อนข้างมีเหตุผล ดังนั้น... ฉันจะพูดซ้ำถึงสิ่งที่เราทำเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็น นี่เป็นสิ่งสำคัญในการทำความเข้าใจว่าตอนนี้เรากำลังเคลื่อนที่ไปที่ใด และแท้จริงแล้ว การกระจายความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องเกิดขึ้นได้อย่างไร แล้วความน่าจะเป็นที่เราออกหัวครั้งเดียวเป็นเท่าไหร่? อาจจะหัวขึ้นมาในการโยนครั้งแรก เหล่านั้น. อาจเป็นเช่นนี้: "อินทรี", "หาง", "หาง", "หาง", "หาง" หรือหัวจะขึ้นมาในการโยนครั้งที่สอง เหล่านั้น. อาจมีชุดค่าผสมดังกล่าว: "หาง", "หัว", "หาง", "หาง", "หาง" และอื่น ๆ "นกอินทรี" หนึ่งตัวอาจตกลงมาหลังจากการโยนใดๆ ใน 5 ครั้ง ความน่าจะเป็นของแต่ละสถานการณ์เป็นเท่าใด ความน่าจะเป็นที่จะออกหัวคือ 1/2 จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ "ก้อย" เท่ากับ 1/2 คูณด้วย 1/2, 1/2, 1/2 เหล่านั้น. ความน่าจะเป็นของแต่ละสถานการณ์เหล่านี้คือ 1/32 เช่นเดียวกับความน่าจะเป็นของสถานการณ์ที่ X=0 ในความเป็นจริง ความน่าจะเป็นของลำดับพิเศษของหัวและก้อยจะเป็น 1/32 ความน่าจะเป็นคือ 1/32 และความน่าจะเป็นของสิ่งนี้คือ 1/32 และสถานการณ์เช่นนี้เกิดขึ้นเพราะ “อินทรี” สามารถตกลงบนการโยนใด ๆ ใน 5 ครั้ง ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ "นกอินทรี" หนึ่งตัวจะตกลงมาเท่ากับ 5 * 1/32 นั่นคือ 5/32 ค่อนข้างมีเหตุผล ตอนนี้สิ่งที่น่าสนใจเริ่มต้นขึ้น ความน่าจะเป็นคืออะไร… (ฉันจะเขียนแต่ละตัวอย่างด้วยสีที่ต่างกัน)… ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มของฉันคือ 2 คืออะไร เหล่านั้น. ฉันจะโยนเหรียญ 5 ครั้ง และความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัว 2 ครั้งเป็นเท่าใด นี่น่าสนใจกว่าใช่ไหม? สามารถผสมอะไรได้บ้าง? อาจเป็นหัว หัว หาง ก้อย ก้อย อาจเป็นหัว หาง หัว หาง ก้อยก็ได้ และถ้าคุณคิดว่า "นกอินทรี" สองตัวนี้สามารถยืนอยู่ในที่ต่างๆ ของชุดค่าผสมได้ คุณอาจจะสับสนเล็กน้อย คุณไม่สามารถคิดเกี่ยวกับตำแหน่งในแบบที่เราทำไว้ข้างต้นได้อีกต่อไป แม้ว่า ... คุณทำได้ แต่คุณเสี่ยงที่จะสับสน คุณต้องเข้าใจสิ่งหนึ่ง สำหรับแต่ละชุดค่าผสมเหล่านี้ ความน่าจะเป็นคือ 1/32 ½*½*½*½*½. เหล่านั้น. ความน่าจะเป็นของชุดค่าผสมแต่ละชุดคือ 1/32 และเราควรคิดว่ามีชุดค่าผสมดังกล่าวกี่ชุดที่ตรงตามเงื่อนไขของเรา (2 "นกอินทรี")? เหล่านั้น. ในความเป็นจริงคุณต้องจินตนาการว่ามีการโยนเหรียญ 5 ครั้งและคุณต้องเลือก 2 อันที่ "นกอินทรี" ตกลงมา สมมติว่าการโยน 5 ครั้งของเราเป็นวงกลม และจินตนาการว่าเรามีเก้าอี้แค่ 2 ตัว และเราพูดว่า:“ โอเคคุณคนไหนจะนั่งบนเก้าอี้เหล่านี้สำหรับนกอินทรี? เหล่านั้น. คุณจะเป็น "อินทรี" คนไหน? และเราไม่สนใจลำดับที่พวกเขานั่งลง ฉันยกตัวอย่างดังกล่าวโดยหวังว่าจะชัดเจนยิ่งขึ้นสำหรับคุณ และคุณอาจต้องการดูบทเรียนเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นในหัวข้อนี้ เมื่อฉันพูดถึงทวินามของนิวตัน เพราะที่นั่นฉันจะเจาะลึกรายละเอียดทั้งหมดนี้ แต่ถ้าคุณให้เหตุผลแบบนี้ คุณจะเข้าใจว่าสัมประสิทธิ์ทวินามคืออะไร เพราะถ้าคุณคิดแบบนี้ โอเค ฉันมีทอย 5 ครั้ง ทอยไหนจะออกหัวก่อน? นี่คือความเป็นไปได้ 5 ประการที่การพลิกจะลงจอดหัวแรก และมีโอกาสกี่ครั้งสำหรับ "นกอินทรี" ตัวที่สอง? การโยนครั้งแรกที่เราใช้ไปนั้นทำให้โอกาสออกหัวหายไป 1 ครั้ง เหล่านั้น. ตำแหน่งศีรษะหนึ่งตำแหน่งในคอมโบถูกครอบครองโดยหนึ่งในทอย ตอนนี้เหลือการโยน 4 ครั้ง ซึ่งหมายความว่า "นกอินทรี" ตัวที่สองสามารถล้มหนึ่งใน 4 การโยนได้ และคุณเห็นมันที่นี่ ฉันเลือกที่จะออกหัวในการโยนครั้งที่ 1 และสันนิษฐานว่าในการโยน 1 ใน 4 ครั้งที่เหลือ หัวควรจะขึ้นมาด้วย ดังนั้นจึงมีความเป็นไปได้เพียง 4 ประการที่นี่ ทั้งหมดที่ฉันพูดก็คือสำหรับหัวแรกคุณมี 5 ตำแหน่งที่แตกต่างกันซึ่งสามารถลงจอดได้ และสำหรับตำแหน่งที่สองเหลือเพียง 4 ตำแหน่ง ลองคิดดูสิ เมื่อเราคำนวณเช่นนี้ คำสั่งซื้อจะถูกนำมาพิจารณา แต่สำหรับเราตอนนี้ไม่สำคัญว่า "หัว" และ "ก้อย" จะตกลงมาในลำดับใด เราไม่ได้บอกว่าเป็น "อินทรี 1" หรือเรียกว่า "อินทรี 2" ในทั้งสองกรณีเป็นเพียง "นกอินทรี" เราถือว่านี่คือหัว 1 และนี่คือหัว 2 หรืออาจเป็นอีกทางหนึ่ง: อาจเป็น "นกอินทรี" ตัวที่สอง และนี่คือ "ตัวแรก" และฉันพูดเช่นนี้เพราะสิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าจะใช้ตำแหน่งใดและตำแหน่งใดควรใช้ชุดค่าผสม เราไม่สนใจลำดับ แท้จริงแล้วที่มาของงานของเรามีเพียง 2 ทางเท่านั้น ลองหารมันด้วย 2 แล้วคุณจะเห็นว่ามันคือ 2! ที่มาของการจัดงานของเรา ถ้ามี 3 หัว ก็จะมี 3 หัว! แล้วฉันจะแสดงให้ดูว่าทำไม นั่นคือ... 5*4=20 หารด้วย 2 ได้ 10 ดังนั้นจึงมีชุดค่าผสมที่แตกต่างกัน 10 ชุดจากทั้งหมด 32 ชุดที่คุณจะมี 2 หัวอย่างแน่นอน แล้ว 10*(1/32) เท่ากับ 10/32 นั่นเท่ากับอะไร? 5/16 ฉันจะเขียนผ่านค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม นี่คือค่าตรงนี้ด้านบน ถ้าลองคิดดู มันก็เหมือนกับ 5! หารด้วย ... 5 * 4 นี่แปลว่าอะไร? 5! คือ 5*4*3*2*1 เหล่านั้น. ถ้าฉันต้องการแค่ 5 * 4 ที่นี่ ฉันหาร 5 ได้! สำหรับ 3! นี่เท่ากับ 5*4*3*2*1 หารด้วย 3*2*1 และเหลือเพียง 5 * 4 มันจึงเหมือนกับตัวเศษนี้ แล้วเพราะ เราไม่สนใจลำดับ เราต้องการ 2 ตรงนี้ ที่จริง 2!. คูณด้วย 1/32 นี่จะเป็นความน่าจะเป็นที่เราจะโดน 2 หัวพอดี ความน่าจะเป็นที่เราจะได้หัว 3 ครั้งเป็นเท่าใด เหล่านั้น. ความน่าจะเป็นที่ x=3 ดังนั้น ด้วยตรรกะเดียวกัน การเกิดหัวครั้งแรกอาจเกิดขึ้นได้ในการพลิก 1 ครั้งจาก 5 ครั้ง การเกิดหัวครั้งที่สองอาจเกิดขึ้นจากการโยน 1 ใน 4 ครั้งที่เหลือ และอาจเกิดหัวครั้งที่สามบน 1 ใน 3 การโยนที่เหลือ การจัดทอย 3 ครั้งมีกี่วิธี? โดยทั่วไปมีกี่วิธีในการจัดเรียงวัตถุ 3 ชิ้นให้เข้าที่ ตี 3! และคุณสามารถเข้าใจได้ หรือคุณอาจต้องการทบทวนบทช่วยสอนที่ฉันอธิบายอย่างละเอียดอีกครั้ง แต่ถ้าคุณใช้ตัวอักษร A, B และ C เป็นต้น มี 6 วิธีที่คุณสามารถจัดเรียงได้ คุณสามารถคิดว่าสิ่งเหล่านี้เป็นหัวข้อ นี่อาจเป็น ACB, CAB อาจเป็น BAC, BCA และ... ตัวเลือกสุดท้ายที่ฉันไม่ได้ระบุชื่อคืออะไร พธม. มี 6 วิธีในการจัดเรียง 3 รายการที่แตกต่างกัน เราหารด้วย 6 เพราะเราไม่ต้องการนับ 6 วิธีที่แตกต่างกันอีกเพราะเราถือว่ามันเท่ากัน ที่นี่เราไม่สนใจว่าการโยนจะได้หัวเป็นจำนวนเท่าใด 5*4*3… สามารถเขียนใหม่เป็น 5!/2! แล้วหารด้วย 3 ต่อ!. นี่คือสิ่งที่เขาเป็น 3! เท่ากับ 3*2*1 ทั้งสามกำลังหดตัว นี่กลายเป็น 2 นี่กลายเป็น 1 อีกครั้ง 5*2 นั่นคือ คือ 10 แต่ละสถานการณ์มีความน่าจะเป็นเป็น 1/32 ดังนั้นนี่คือ 5/16 อีกครั้ง และมันน่าสนใจ ความน่าจะเป็นที่ออก 3 หัวเท่ากับความน่าจะเป็นที่ออก 2 หัว และเหตุผลนั้น... ก็มีหลายสาเหตุที่มันเกิดขึ้น แต่ถ้าคุณลองคิดดู ความน่าจะเป็นที่จะได้หัว 3 ตัวก็เท่ากับความน่าจะเป็นที่จะได้ก้อย 2 ตัว และความน่าจะเป็นที่จะได้ 3 หางควรจะเท่ากับความน่าจะเป็นที่จะออก 2 หัว และเป็นเรื่องดีที่ค่าทำงานเช่นนี้ ดี. ความน่าจะเป็นที่ X=4 คืออะไร? เราสามารถใช้สูตรเดิมที่เราเคยใช้ อาจเป็น 5*4*3*2 ในที่นี้เราเขียน 5 * 4 * 3 * 2 ... การจัดเรียงวัตถุ 4 ชิ้นมีกี่วิธี? ตี 4!. 4! - อันที่จริงแล้ว ส่วนนี้ ตรงนี้ นี่คือ 4*3*2*1 นี่จึงตัดออกเหลือ 5 จากนั้นแต่ละชุดจะมีโอกาสเป็น 1/32 เหล่านั้น. นี่เท่ากับ 5/32 โปรดทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะออกหัว 4 ครั้งจะเท่ากับความน่าจะเป็นที่จะออกหัว 1 ครั้ง และนี่ก็สมเหตุสมผลเพราะ 4 หัวเท่ากับ 1 ก้อย คุณจะพูดว่า: อืมแล้ว "หาง" ตัวนี้จะหลุดออกมาจากการโยนแบบไหน? ใช่ มี 5 ชุดค่าผสมที่แตกต่างกันสำหรับสิ่งนั้น และแต่ละตัวมีความน่าจะเป็น 1/32 และสุดท้าย ความน่าจะเป็นที่ X=5 เป็นเท่าใด เหล่านั้น. ขึ้นหัว 5 ครั้งติดต่อกัน ควรเป็นดังนี้: "นกอินทรี", "นกอินทรี", "นกอินทรี", "นกอินทรี", "นกอินทรี" แต่ละหัวมีความน่าจะเป็น 1/2 คุณคูณพวกมันแล้วได้ 1/32 คุณสามารถไปทางอื่น หากมี 32 วิธีที่คุณจะได้หัวและก้อยในการทดลองเหล่านี้ นี่ก็เป็นเพียงหนึ่งในนั้น ที่นี่มี 5 จาก 32 วิธีดังกล่าว ที่นี่ - 10 จาก 32 อย่างไรก็ตามเราได้ทำการคำนวณแล้วและตอนนี้เราพร้อมที่จะวาดการแจกแจงความน่าจะเป็นแล้ว แต่เวลาของฉันหมดแล้ว ให้ฉันดำเนินการต่อในบทเรียนถัดไป และถ้าคุณอยู่ในอารมณ์ก็อาจจะวาดก่อนที่จะดูบทเรียนต่อไป? แล้วพบกันใหม่!

คุณสมบัติของการกระจายทวินาม กฎการกระจายทวินาม

ไฟล์ binomialDF.h

ไฟล์ binomialDF.cpp

หนังสือ

อ่านเพิ่มเติมในหัวข้อ: