ルート抽出操作を実際に適切に使用するには、この操作の特性をよく理解する必要があります。
すべてのプロパティは、ルートの符号の下に含まれる変数の非負の値に対してのみ定式化および証明されます。

定理1. 2 つの非負チップの積の n 乗根 (n=2、3、4、...) は、次の数値の n 乗根の積に等しくなります。

コメント：

1. 定理 1 は、根号式が 3 つ以上の非負数の積である場合にも有効です。

定理2.もし, n が 1 より大きい自然数の場合、等式は真になります。

定理 1 により、t を乗算できます。 同次数の根のみ 、つまり 同じインデックスを持つルートのみ。

定理3.If ,k が自然数、n が 1 より大きい自然数の場合、等式は真です。

つまり、自然の力に根を張るには、その力に過激な表現を高めれば十分なのです。
これは定理 1 の結果です。実際、たとえば k = 3 の場合、次のことが得られます。指数 k の他の自然値の場合でも、まったく同じ方法で推論できます。

定理4.If ,k、n が 1 より大きい自然数の場合、等式は真です

つまり、根から根を抽出するには、根の指標を乗算すれば十分です。
例えば、

気をつけて！根に対しては、乗算、除算、べき乗、および根からの抽出という 4 つの演算を実行できることを学びました。 しかし、ルートの加算と減算はどうなるでしょうか? とんでもない。
たとえば、「Really」と書く代わりに、しかしそれは明らかです。

定理5.If ルートと根号式の指標が同じ自然数で乗算または除算される場合、ルートの値は変わりません。つまり、

問題解決の例

例2。計算する
解決。帯分数を仮分数に変換します。
ルートの 2 番目のプロパティを使用します ( 定理2 ）、 我々が得る：

例 3.計算します:

解決。ご存知のとおり、代数の公式は「左から右」だけでなく「右から左」にも使用されます。 したがって、ルートの最初の特性は、ルートを形式で表現できること、また逆に式で置き換えることができることを意味します。 同じことがルートの 2 番目のプロパティにも当てはまります。 これを考慮して計算してみましょう。

おめでとうございます: 今日は、8 年生で最も衝撃的なトピックの 1 つであるルーツについて見ていきます。:)

多くの人がルートについて混乱するのは、ルートが複雑だからではなく (何がそんなに複雑なのかというと、いくつかの定義とさらにいくつかのプロパティがあるからです)、ほとんどの学校の教科書では、ルートはその教科書の著者だけが理解できるようなジャングルの中で定義されているからです。彼ら自身がこの文章を理解することができます。 それも、良いウイスキーのボトルがあればです。:)

したがって、ここで私はルートの最も正確で最も有能な定義を与えます - あなたが本当に覚えておくべき唯一の定義です。 そして、なぜこれが必要なのか、そしてそれを実際に適用する方法について説明します。

しかしその前に、多くの教科書編纂者が何らかの理由で「忘れている」重要な点を 1 つ思い出してください。

根は偶数次 (私たちのお気に入りの $\sqrt(a)$ だけでなく、あらゆる種類の $\sqrt(a)$ や偶数の $\sqrt(a)$) と奇数次 (あらゆる種類の $\sqrt(a)$) にすることができます。 (a)$、$\ sqrt(a)$ など)。 また、奇数次の根の定義は偶数次の根とは多少異なります。

おそらく、ルートに関連するすべての間違いや誤解の 95% は、このクソ「なんだか違う」ところに隠されています。 それでは、用語を完全に整理しましょう。

意味。 偶数根 n数値 $a$ は任意です 非負数値 $b$ は $((b)^(n))=a$ となります。 そして、同じ数 $a$ の奇数根は、通常、同じ等式が成り立つ任意の数 $b$ です: $((b)^(n))=a$。

いずれの場合も、ルートは次のように表されます。

\(a)\]

このような表記法における数値 $n$ は根指数と呼ばれ、数値 $a$ は根数式と呼ばれます。 特に、$n=2$ の場合は「お気に入り」の平方根 (ちなみに、これは偶数次の根です) が得られ、$n=3$ の場合は立方根 (奇数次) が得られます。問題や方程式でもよく見られます。

例。 平方根の典型的な例:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16。 \\ \終了(整列)\]

ちなみに$\sqrt(0)=0$、$\sqrt(1)=1$です。 $((0)^(2))=0$ および $((1)^(2))=1$ であるため、これは非常に論理的です。

立方根も一般的です - それらを恐れる必要はありません。

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7。 \\ \終了(整列)\]

そうですね、「珍しい例」をいくつか挙げます。

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2。 \\ \終了(整列)\]

偶数次数と奇数次数の違いがわからない場合は、定義をもう一度読んでください。 それは非常に重要です！

それまでの間、根の不快な特徴を 1 つ検討します。そのため、偶数指数と奇数指数に別個の定義を導入する必要がありました。

そもそもなぜルートが必要なのでしょうか？

定義を読んだ後、多くの生徒は「数学者たちはこれを思いついたとき何を吸っていましたか?」と尋ねます。 そして実際、なぜこれらすべてのルートが必要なのでしょうか?

この質問に答えるために、少し小学校に戻ってみましょう。 覚えておいてください。木々が青く、団子が美味しかった遠い昔、私たちの主な関心は数値を正しく掛けることでした。 まあ、「5×5 – 25」のようなもの、それだけです。 ただし、数値の乗算はペアではなく、3 つ、4 つ、一般的には整数で行うことができます。

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

ただし、これが重要ではありません。 コツは異なります。数学者は怠け者なので、次のように 10 の 5 の掛け算を書き出すのに苦労しました。

だからこそ彼らは学位を考え出したのです。 因数の数を長い文字列ではなく上付き文字として書いてみませんか? このようなもの：

とても便利ですよ！ すべての計算が大幅に削減され、5,183 項目を書き留めるために何枚もの羊皮紙やノートを無駄にする必要がなくなりました。 この記録は数の累乗と呼ばれ、その中には多くの特性が見つかりましたが、幸福は長くは続かなかったことが判明しました。

度数の「発見」のためだけに開催された盛大な飲み会の後、特に頑固な数学者が突然こう尋ねました。「数値の次数はわかっているが、数値自体が不明だったらどうなるでしょうか?」 さて、確かに、特定の数値 $b$ が、たとえば 5 乗すると 243 になることがわかっている場合、数値 $b$ 自体が何に等しいかをどうやって推測できるでしょうか?

この問題は、一見したよりもはるかにグローバルであることが判明しました。 なぜなら、ほとんどの「既製」パワーにはそのような「初期」数値が存在しないことが判明したからです。 自分で判断してください:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4。 \\ \終了(整列)\]

$((b)^(3))=50$ の場合はどうなるでしょうか? 3 回掛けると 50 になる特定の数値を見つける必要があることがわかりました。しかし、この数値は何でしょうか? 3 3 = 27 であるため、これは明らかに 3 より大きくなります。< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50.つまり この数字は 3 から 4 の間のどこかにありますが、それが何に等しいかはわかりません。

まさにこれが、数学者が $n$ 番目の根を思いついた理由です。 これがまさに根号記号 $\sqrt(*)$ が導入された理由です。 $b$ という数値を指定すると、指定された程度まで既知の値が得られます。

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

私は議論しません。多くの場合、これらの根は簡単に計算できます。上でそのような例をいくつか見ました。 しかし、それでも、ほとんどの場合、任意の数を考えて、そこから任意の次数の根を抽出しようとすると、ひどい失敗に見舞われることになります。

そこにあるもの！ 最も単純で最も馴染みのある $\sqrt(2)$ でさえ、通常の形式 (整数や分数) で表現することはできません。 この数値を電卓に入力すると、次のように表示されます。

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

ご覧のとおり、小数点の後には、いかなる論理にも従わない数字が無限に続きます。 もちろん、この数値を四捨五入して他の数値とすばやく比較することもできます。 例えば：

\[\sqrt(2)=1.4142...\約 1.4 \lt 1.5\]

または、別の例を次に示します。

\[\sqrt(3)=1.73205...\約 1.7 \gt 1.5\]

しかし、これらすべての丸めは、第一に、非常に大まかです。 次に、近似値を扱うことができる必要もあります。そうしないと、明白でないエラーを大量に検出する可能性があります (ちなみに、プロファイルの統一国家試験でテストされるには、比較と丸めのスキルが必要です)。

したがって、本格的な数学ではルートなしで行うことはできません。ルートは、私たちに長い間親しまれてきた分数や整数と同じように、すべての実数 $\mathbb(R)$ の集合を等しく表すものです。

ルートを $\frac(p)(q)$ 形式の分数として表すことができないということは、このルートが有理数ではないことを意味します。 このような数は無理数と呼ばれ、根号またはこのために特別に設計されたその他の構造 (対数、累乗、極限など) を使用しない限り、正確に表すことができません。 しかし、それについてはまた別の機会に。

すべての計算の後、無理数が依然として答えに残る例をいくつか考えてみましょう。

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\約 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\およそ -1.2599... \\ \end(align)\]

当然のことながら、ルートの外観から、小数点の後にどのような数字が来るかを推測することはほとんど不可能です。 ただし、電卓を頼りにすることはできますが、最も高度な日付計算機でも、無理数の最初の数桁しか得られません。 したがって、$\sqrt(5)$ および $\sqrt(-2)$ の形式で答えを書く方がはるかに正確です。

まさにこれが発明された理由です。 回答を便利に記録するため。

なぜ 2 つの定義が必要なのでしょうか?

注意深い読者は、例で示されているすべての平方根が正の数から取得されていることにはすでに気づいているでしょう。 まあ、少なくとも最初から。 しかし、立方根は、正であろうと負であろうと、あらゆる数値から冷静に抽出することができます。

なぜこうなった？ 関数 $y=((x)^(2))$ のグラフを見てください。

このグラフを使って $\sqrt(4)$ を計算してみましょう。 これを行うには、グラフ (赤でマーク) 上に水平線 $y=4$ を描きます。この線は $((x)_(1))=2$ と $((x) の 2 点で放物線と交差します。 )_(2)) =-2$。 これは非常に論理的です。

最初の数字を見ればすべてが明らかです。これは正なので、ルートになります。

しかし、それでは 2 番目の点をどうすればよいでしょうか? 4 つは同時に 2 つのルートを持っているようなものですか? 結局のところ、数値 −2 を 2 乗すると、4 も得られます。それでは、$\sqrt(4)=-2$ と書かないのはなぜでしょうか。 そして、なぜ教師はあなたを食べたいかのようにそのような投稿を見るのですか?:)

問題は、追加の条件を課さない場合、クワッドには正と負の 2 つの平方根が存在することです。 そして、どんな正の数にもそれらが 2 つあります。 しかし、負の数には根がまったくありません。これは、放物線が軸を下回ることがないため、同じグラフからもわかります。 y、つまり 負の値は受け入れられません。

同様の問題は、偶数の指数を持つすべての根でも発生します。

1. 厳密に言えば、それぞれの正の数には偶数の指数 $n$ を持つ 2 つの根があります。
2. 負の数からは、$n$ が偶数のルートはまったく抽出されません。

そのため、偶数次根 $n$ の定義では、答えが負でない数でなければならないと特に規定されています。 これが曖昧さを取り除く方法です。

しかし、奇数 $n$ の場合、そのような問題はありません。 これを確認するために、関数 $y=((x)^(3))$ のグラフを見てみましょう。

このグラフから 2 つの結論が導き出されます。

1. 立方体の放物線の枝は、通常の放物線とは異なり、上下の両方向に無限に伸びます。 したがって、水平線をどの高さに引いても、この線は必ずグラフと交差します。 したがって、立方根は常にあらゆる数値から抽出できます。
2. さらに、そのような交差は常に一意であるため、どの数値が「正しい」ルートとみなされ、どの数値が無視されるかを考える必要はありません。 これが、奇数次数の根の決定が偶数次数の場合よりも簡単である理由です (非負である必要はありません)。

こうした単純なことがほとんどの教科書で説明されていないのは残念です。 その代わりに、私たちの脳はあらゆる種類の算術演算根とその性質で飛躍し始めます。

はい、私は議論しません。算術根が何であるかを知る必要もあります。 これについては、別のレッスンで詳しく説明します。 今日はそれについても話します。それがなければ、$n$ 番目の多重度の根についてのすべての考えが不完全になるからです。

しかし、最初に、上で示した定義を明確に理解する必要があります。 そうしないと、用語が多すぎるため、頭の中で混乱が始まり、最終的には何も理解できなくなります。

必要なのは、偶数インジケーターと奇数インジケーターの違いを理解することだけです。 したがって、ルートについて本当に知っておくべきことをもう一度集めてみましょう。

1. 偶数次の根は非負の数からのみ存在し、それ自体は常に非負の数です。 負の数の場合、ルートは未定義です。
2. しかし、奇数の次数の根は任意の数から存在し、それ自体は任意の数になります。正の数の場合は正であり、キャップが示唆しているように、負の数の場合は負です。

難しいですか？ いいえ、難しいことではありません。 それは明らかだ？ はい、それは完全に明白です! それでは、計算を少し練習してみましょう。

基本的なプロパティと制限事項

ルートには多くの奇妙な特性と制限があります。これについては別のレッスンで説明します。 したがって、ここでは、インデックスが偶数のルートにのみ適用される最も重要な「トリック」のみを検討します。 このプロパティを式として書いてみましょう。

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\右|\]

言い換えれば、数値を偶数乗してから同じべき乗の根を抽出すると、元の数値ではなくその係数が得られます。 これは簡単に証明できる単純な定理です (負でない $x$ を個別に考慮し、次に負の $x$ を個別に考慮するだけで十分です)。 教師たちは常にこのことについて話しており、どの学校の教科書にも載っています。 しかし、無理数方程式 (根号を含む方程式) を解くことになるとすぐに、生徒は一斉にこの公式を忘れてしまいます。

この問題を詳しく理解するために、少しの間すべての式を忘れて、2 つの数値を直接計算してみましょう。

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

これらは非常に単純な例です。 ほとんどの人は最初の例を解決しますが、多くの人は 2 番目の例で行き詰まってしまいます。 このような問題を問題なく解決するには、常に次の手順を考慮してください。

1. まず、数値を 4 乗します。 まあ、それは簡単です。 九九でも見つけられる新しい数字が得られます。
2. そしてこの新しい数値から 4 番目の根を抽出する必要があります。 それらの。 ルートとパワーの「縮小」は発生しません。これらは逐次的なアクションです。

最初の式 $\sqrt(((3)^(4)))$ を見てみましょう。 明らかに、最初にルートの下の式を計算する必要があります。

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

次に、数値 81 の 4 番目の根を抽出します。

2 番目の式でも同じことをやってみましょう。 まず、数値 -3 の 4 乗を行います。これには、それ自体を 4 回乗算する必要があります。

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \左(-3 \右)=81\]

製品内のマイナスの合計数は 4 であり、それらはすべて互いに打ち消し合うため、正の数値が得られます (結局のところ、マイナスに対するマイナスはプラスになります)。 次に、ルートを再度抽出します。

原理的には、答えが同じになることは明らかなので、この行を書くことはできません。 それらの。 同じ偶数パワーの偶数ルートはマイナスを「燃やし」ます。この意味で、結果は通常のモジュールと区別できません。

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3。 \\ \終了(整列)\]

これらの計算は、偶数次根の定義とよく一致しています。結果は常に非負であり、根号の符号にも常に非負の数が含まれます。 それ以外の場合、ルートは未定義です。

手続き上の注意

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ という表記は、まず数値 $a$ を 2 乗し、次に結果の値の平方根を取ることを意味します。 したがって、どのような場合でも $((a)^(2))\ge 0$ であるため、ルート記号の下には常に非負の数があることがわかります。
2. しかし、表記 $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ は、逆に、まず特定の数値 $a$ の根を求め、その後でその結果を 2 乗することを意味します。 したがって、数値 $a$ は決して負の値にはなりません。これは定義に含まれる必須の要件です。

したがって、いかなる場合でも、ルートと次数を軽率に削減して、元の式を「単純化」することはできません。 なぜなら、根が負の数であり、その指数が偶数である場合、多くの問題が発生するからです。

ただし、これらの問題はすべて偶数のインジケーターにのみ関係します。

ルート記号の下からマイナス記号を削除する

当然のことながら、奇数の指数を持つ根にも独自の特徴があり、偶数の指数には原理的に存在しません。 つまり:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

つまり、奇数次根の符号の下からマイナスを取り除くことができます。 これは、すべての欠点を「取り除く」ことができる非常に便利なプロパティです。

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6。 \終了(整列)\]

この単純な特性により、多くの計算が大幅に簡素化されます。 心配する必要はありません。ルートの下に否定的な表現が隠されていたが、ルートの次数が偶数であることが判明した場合はどうなるでしょうか? ルートの外側にあるすべてのマイナスを「捨てる」だけで十分です。その後、それらは互いに乗算されたり、除算されたりして、一般に多くの疑わしい動作を行うことができます。「古典的な」ルートの場合、これは確実に次のような結果をもたらします。エラー。

そしてここで、別の定義が登場します。ほとんどの学校で不合理な表現の研究を始めるのと同じ定義です。 そしてそれがなければ、私たちの推論は不完全になります。 会う！

算術根

ここで、根号の下には正の数のみ、または極端な場合にはゼロしか存在できないと仮定してみましょう。 偶数/奇数のインジケーターや上記のすべての定義は忘れてください。負ではない数値のみを扱います。 じゃあ何？

そして、算術根を取得します。これは、「標準」定義と部分的に重複しますが、それでもそれらとは異なります。

意味。 非負の数 $a$ の $n$ 次の算術根は、$((b)^(n))=a$ となる非負の数 $b$ です。

ご覧のとおり、私たちはもはやパリティには興味がありません。 代わりに、新しい制限が登場しました。根次式は常に非負になり、ルート自体も非負になりました。

算術根が通常のものとどのように異なるかをよりよく理解するために、すでによく知られている正方形および立方体の放物線のグラフを見てみましょう。

ご覧のとおり、今後は、座標 $x$ と $y$ が正 (または少なくとも 0) である、最初の座標の四半期に位置するグラフの部分のみに興味を持ちます。 ルートの下に負の数値を置く権利があるかどうかを理解するためにインジケーターを見る必要はもうありません。 負の数は原則として考慮されなくなったためです。

「では、なぜそのような中立的な定義が必要なのでしょうか?」と疑問に思うかもしれません。 または、「なぜ上記の標準定義では対応できないのでしょうか?」

さて、新しい定義が適切になる特性を 1 つだけ挙げておきます。 たとえば、べき乗のルールは次のようになります。

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

注意してください: 根号式を任意の累乗にし、同時にルート指数に同じ累乗を掛けることができます。結果は同じ数値になります。 以下に例を示します。

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

では、何が大変なのでしょうか？ なぜもっと早くこれを行うことができなかったのでしょうか? その理由は次のとおりです。 簡単な式を考えてみましょう: $\sqrt(-2)$ - この数値は、古典的な理解ではごく普通ですが、算術根の観点からは絶対に受け入れられません。 変換してみましょう:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

ご覧のとおり、最初のケースでは根号の下からマイナスを削除し (指数は奇数なので、すべての権利があります)、2 番目のケースでは上記の式を使用しました。 それらの。 数学的な観点から見ると、すべてはルールに従って行われます。

なんと?! 同じ数字が正と負の両方になるのはなぜですか? とんでもない。 ただ、べき乗の公式は、正の数とゼロにはうまく機能しますが、負の数の場合には完全な異端を生み出し始めます。

このような曖昧さを取り除くために算術根が発明されました。 それらについては別の大きなレッスンが用意されており、そこではそれらのすべての特性を詳細に検討します。 したがって、ここではこれについては触れません。レッスンが長すぎることが判明しました。

代数ルート：さらに詳しく知りたい方へ

このトピックを別の段落に置くかどうか、長い間考えました。 結局ここに残しておくことにしました。 この教材は、そのルーツをさらに深く理解したい人、つまり平均的な「学校」レベルではなく、オリンピックレベルに近い人を対象としています。

つまり、数値の $n$ 乗根とそれに関連する偶数と奇数の指数への分割に関する「古典的な」定義に加えて、パリティやその他の微妙な点にまったく依存しない、より「大人の」定義があります。 これを代数ルートと呼びます。

意味。 任意の $a$ の代数 $n$th root は、$((b)^(n))=a$ となるすべての数値 $b$ の集合です。 このようなルートには確立された指定がないため、先頭にダッシュを付けるだけです。

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

レッスンの最初に示した標準定義との基本的な違いは、代数ルートは特定の数ではなく、集合であるということです。 また、実数を扱うため、このセットには次の 3 つのタイプしかありません。

1. 空集合。 負の数から偶数次の代数根を見つける必要がある場合に発生します。
2. 1 つの単一の要素で構成されるセット。 すべての奇数乗根、およびゼロの偶数乗根は、このカテゴリに分類されます。
3. 最後に、セットには 2 つの数値を含めることができます - で見たのと同じ $((x)_(1))$ と $((x)_(2))=-((x)_(1))$グラフの二次関数。 したがって、このような配置は、正の数から偶数次の根を抽出する場合にのみ可能です。

最後のケースは、より詳細に検討する価値があります。 違いを理解するために、いくつかの例を数えてみましょう。

例。 式を評価します。

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

解決。 最初の式は単純です。

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

セットの一部である 2 つの数字です。 なぜなら、それぞれの二乗は 4 になるからです。

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

ここでは、1 つの数値のみで構成されるセットが見られます。 ルート指数が奇数であるため、これは非常に論理的です。

最後に、最後の式:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

空のセットを受け取りました。 なぜなら、4 乗 (つまり偶数!) したときに負の数 -16 となる実数は 1 つも存在しないからです。

最後のメモ。 注: 実数を扱うことに私が随所で注目したのは偶然ではありません。 複素数もあるので、そこで $\sqrt(-16)$ を計算したり、その他多くの奇妙なことを計算したりすることは十分に可能です。

しかし、現代の学校の数学の授業では複素数はほとんど出てきません。 当局がこのテーマを「理解するのが難しすぎる」と考えているため、それらはほとんどの教科書から削除されています。

それだけです。 次のレッスンでは、ルートのすべての重要なプロパティを見て、最後に無理数式を単純化する方法を学びます。:)

弊社ウェブサイトに掲載しております。 数値の根をとることはさまざまな計算でよく使用されますが、当社の電卓はそのような数学的計算に優れたツールです。

根を含むオンライン計算機を使用すると、根の抽出を含むあらゆる計算を迅速かつ簡単に行うことができます。 3 番目の根は、数値の平方根、負の数の根、複素数の根、円周率の根などと同じくらい簡単に計算できます。

数値の根を手動で計算することができます。 数値の全根を計算できる場合は、根の表を使用して根号式の値を単純に見つけます。 他の場合では、ルートの近似計算は、根号式をより単純な因子の積に分解することになります。これらの因子は累乗であり、ルートの符号によって削除でき、ルートの下の式を可能な限り単純化します。

ただし、この根本的な解決策は使用しないでください。 だからこそ。 まず、そのような計算には多くの時間を費やす必要があります。 根の数値、より正確には式は非常に複雑になる場合があり、次数は必ずしも 2 次や 3 次であるとは限りません。 第二に、そのような計算の精度は必ずしも満足できるものではありません。 そして 3 番目に、オンラインのルート計算ツールがあり、ルートの抽出を数秒で実行します。

数値から根を抽出するということは、n 乗したときに根号式の値と等しくなる数値を見つけることを意味します。ここで、n は根のべき乗であり、数値自体が根です。根。 2次の根は単純または平方根、3次の根は立方体と呼ばれ、いずれも次数の表示を省略します。

オンライン計算機でルートを解くには、入力行に数式を書き込むだけです。 電卓でのルートの抽出は sqrt と呼ばれ、平方根 sqrt(x)、立方根 sqrt3(x)、n 乗根 sqrt(x,y) の 3 つのキーを使用して実行されます。 コントロールパネルの詳細については、このページに記載されています。

平方根

このボタンをクリックすると、入力行に平方根エントリ sqrt(x) が挿入されます。必要なのは、根数式を入力して括弧を閉じることだけです。

電卓で平方根を解く例:

根が負の数で根の次数が偶数の場合、答えは虚数単位 i の複素数として表されます。

負の数の平方根:

第三根

立方根を取得する必要がある場合は、このキーを使用します。 エントリ sqrt3(x) を入力行に挿入します。

3次根:

次数 n の根

当然のことながら、オンラインの根計算ツールを使用すると、数値の平方根と立方根だけでなく、n 次の根も抽出できます。 このボタンをクリックすると、sqrt(x x,y) のようなエントリが表示されます。

4番目のルート:

数値の正確な n 乗根は、数値自体が正確な n 乗根である場合にのみ抽出できます。 それ以外の場合、オンライン計算機の計算精度は小数点以下 14 桁に達するため、理想に非常に近いとはいえ、計算は近似値になることがあります。

5 乗根と近似結果:

分数の根

電卓は、さまざまな数値や式から根を計算できます。 分数の根を求めるには、分子と分母の根を別々に抽出することになります。

分数の平方根:

根から根

式のルートがルートの下にある場合、ルートの特性により、それらは 1 つのルートに置き換えることができ、その次数は両方の次数の積に等しくなります。 簡単に言えば、ルートからルートを抽出するには、ルートの指標を乗算するだけで十分です。 図示の例では、２次根の３次根という表現は、１つの６次根に置き換えることができる。 必要に応じて式を指定します。 いずれの場合でも、電卓はすべてを正しく計算します。

度数式複雑な式を削減および単純化するプロセス、方程式や不等式を解く際に使用されます。

番号 cは n数値の - 乗 あるいつ：

度数を伴う操作。

1. 同じ基数で度数を乗算することにより、それらの指標が追加されます。

午前·a n = a m + n 。

2. 同じ基数で度数を割る場合、それらの指数が減算されます。

3. 2 つ以上の因子の積の次数は、次の因子の次数の積に等しい。

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. 分数の次数は、被除数と除数の次数の比に等しくなります。

(a/b) n = a n /b n 。

5. べき乗を累乗すると、指数が乗算されます。

(a m) n = a m n 。

上記の各式は、左から右、またはその逆の方向に当てはまります。

例えば. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

ルートを使用した操作。

1. いくつかの因子の積の根は、次の因子の根の積と等しくなります。

2. 比率の根は、配当と根の約数の比率に等しいです。

3. ルートを累乗する場合は、根号をこの累乗するだけで十分です。

4. ルートの次数を増やすと、 n一度に同時に構築する n乗が根数の場合、根の値は変わりません。

5. 根元の次数を減らすと n根も同時に抜きます n根号の 乗の場合、根の値は変わりません。

マイナスの指数をもつ学位。非正 (整数) 指数を持つ特定の数値の累乗は、非正の指数の絶対値に等しい指数を持つ同じ数値の累乗で除算されたものとして定義されます。

式 午前:a n =a m - nだけでなく使用できます メートル> n、だけでなく、 メートル< n.

例えば. ある4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

式へ 午前:a n =a m - nいつ公平になった m=n、ゼロ度の存在が必要です。

インデックスがゼロの学位。指数がゼロのゼロに等しくない数値の累乗は 1 に等しくなります。

例えば. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

小数部の指数を伴う次数。実数を上げるには あ程度まで 月/日、ルートを抽出する必要があります nの第 学位 メートルこの数値の - 乗 あ.

例:

\(\sqrt(16)=2\)、\(2^4=16\) なので
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) 、 \((-\frac(1)(5) ) なので^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

n乗根を計算するにはどうすればよいですか?

\(n\) 乗根を計算するには、「ルートの下に \(n\) 乗根が与えられるのは何ですか?」という質問を自問する必要があります。

例えば。 \(n\) 乗根を計算します: a)\(\sqrt(16)\); b) \(\sqrt(-64)\); c) \(\sqrt(0.00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); e) \(\sqrt(\frac(1)(81))\)。

a) \(16\) になる \(4\) 乗の数は何ですか? 明らかに \(2\) です。 それが理由です：

b) \(3\) 乗の数は \(-64\) になりますか?

\(\sqrt(-64)=-4\)

c) \(0.00001\) となる \(5\) 乗の数は何ですか?

\(\sqrt(0.00001)=0.1\)

d) \(8000\) となる \(3\) 乗の数は何ですか?

\(\sqrt(8000)=20\)

e) \(\frac(1)(81)\) を求める \(4\) 乗の数は何ですか?

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

\(n\) 番目のルートを使用した最も単純な例を見ていきました。 \(n\) 次根に関するより複雑な問題を解決するには、それらを知ることが重要です。

例。 計算します:

n乗根と平方根には関係があるのでしょうか？

いずれにせよ、どの次数の根も、たとえ見慣れない形式で書かれていても、単なる数字です。

n乗根特異点

\(n\) が奇数の \(n\) 次の根は、負の数を含む任意の数から抽出できます (冒頭の例を参照)。 ただし、\(n\) が偶数 (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…) の場合、そのようなルートは次の場合にのみ抽出されます。 \( a ≥ 0\) (ちなみに平方根も同様)。 これは、ルートの抽出がべき乗することの逆であるという事実によるものです。

そして偶数乗すると負の数も正になります。 確かに、 \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\) です。 したがって、根の下の負の数の偶数乗を求めることはできません。 これは、負の数からそのような根を抽出することはできないことを意味します。

奇数乗にはそのような制限はありません。負の数を奇数乗しても、負の数は残ります: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (- 2) \ cdot (-2)=-32\)。 したがって、奇数乗根では負の数を得ることができます。 つまり、負の数からも抽出できるということです。