レッスンの種類: 新しい教材を学習するレッスン。

授業の目的: 数列の種類の 1 つである等差数列の概念の形成、n 番目の項の式の導出、等差数列の要素の特徴的な性質に慣れる。 問題解決。

レッスンの目標:

• 教育的- 等差数列の概念を導入します。 n番目の項の式。 等差数列のメンバーが持つ特有の性質。
• 発達- 数学的概念を比較し、類似点と相違点を見つけ、観察し、パターンに気づき、類推して推論する能力を開発します。 実際の状況の数学的モデルを構築して解釈する能力を開発します。
• 教育的- 数学とその応用、活動、コミュニケーション能力、理性を持って自分の意見を守ることへの関心を促進します。

設備：コンピュータ、マルチメディアプロジェクター、プレゼンテーション（付録1）

教科書: Algebra 9、Yu.N. Makarychev、N.G. Mindyuk、K.N. Neshkov、S.B. Suvorov、S.A. Telyakovsky 編、モスクワ教科書 OJSC、2010 年

レッスンプラン：

1. 組織化の瞬間、タスクの設定
2. 知識の更新、口述作業
3. 新しい教材の学習
4. 一次連結
5. レッスンのまとめ
6. 宿題

教材の明瞭さと扱いやすさを高めるために、レッスンにはプレゼンテーションが付いています。 ただし、これは必須ではなく、マルチメディア機器のない教室でも同じ授業を行うことができます。 この目的のために、必要なデータはボード上、または表やポスターの形式で準備できます。

授業中

I. 組織の瞬間、問題の表明。

ごきげんよう。

今日の授業のテーマは等差数列です。 このレッスンでは、等差数列とは何か、その一般的な形式は何かを学び、等差数列を他の数列と区別する方法を見つけ、等差数列の特性を使用する問題を解決します。

II. 知識の更新、口頭研究。

シーケンス () は式 = で与えられます。 この数列のメンバーが 144 の場合、その番号は何になりますか? 225? 100? 数字はこの数列のメンバー 48 ですか? 49? 168?

シーケンス () については、次のことが知られています。 。 この順序を指定する方法は何と呼ばれますか? この数列の最初の 4 つの項を見つけます。

シーケンス () については、 が知られています。 この順序を指定する方法は何と呼ばれますか? 見つけたら?

Ⅲ． 新しい教材を学ぶ。

進行は一連の数量であり、次の各量は前の量に一定の依存関係にあり、進行全体に共通です。 この用語は現在ではほとんど時代遅れであり、「等差数列」と「等差数列」の組み合わせでのみ使用されています。

「進歩」という用語はラテン語に由来し（「前進」を意味する「進歩」）、ローマの作家ボエティウス（6 世紀）によって導入されました。 数学では、この用語は以前は、この数列が一方向に無限に継続することを可能にする法則に従って構築された任意の数列を指すために使用されていました。 現在、「進歩」という言葉は本来、 広い意味で使用されていない。 2 つの重要な特定のタイプの数列 - 算術数列と幾何数列 - はその名前を保持しています。

一連の数字を考えてみましょう。

• 2, 6, 10, 14, 18, :.
• 11, 8, 5, 2, -1, :.
• 5, 5, 5, 5, 5, :.

最初の数列の第 3 項は何ですか? 後続のメンバーは？ 前のメンバー？ 二期と一期の違いは何ですか？ 3人目と2人目のメンバーは？ 4番目と3番目？

数列が同じ法則に従って構築される場合、最初の数列の第 6 項と第 5 項の違いは何になるでしょうか? 7時から6時の間でしょうか？

各数列の次の 2 つの項に名前を付けます。 どうしてそう思うの？

（生徒たちの答え）

何 共有財産これらのシーケンスにはありますか? この性質を述べてください。

（生徒たちの答え）

この性質を持つ数列を等差数列と呼びます。 生徒たちに自分自身で定義を組み立てるように勧めます。

等差数列の定義: 等差数列とは、2 番目から始まる各メンバーが、同じ数値に加算された前のメンバーと等しいシーケンスです。

( - 等差数列、 if 、ここで は数値です。

番号 dシーケンスの次のメンバーが前のメンバーとどれだけ異なっているかを示すものは、進行差と呼ばれます。

シーケンスをもう一度見て、違いについて話しましょう。 各シーケンスにはどのような特徴があり、何と関係があるのでしょうか?

等差数列の差が正の場合、数列は 2、6、10、14、18、: のように増加しています。 (

等差数列で差が負の場合 ( )、数列は減少します: 11、8、5、2、-1、:. (

差がゼロ () で、数列のすべての項が同じ数に等しい場合、その数列は定常 (5, 5, 5, 5, :) と呼ばれます。

等差数列を設定するにはどうすればよいですか? 次の問題を考えてみましょう。

タスク。 １日、倉庫には５０トンの石炭があった。 1 か月間毎日、3 トンの石炭を積んだトラックが倉庫に到着します。 この間に倉庫から石炭が消費されなかった場合、30 日に倉庫にある石炭の量はどれくらいになりますか。

貯蔵されている石炭の量を数値ごとに書き留めると、等差数列が得られます。 この問題を解決するにはどうすればよいでしょうか? 本当に月ごとに石炭の量を計算する必要があるのでしょうか? これを使わずに何とかすることは可能でしょうか？ 30 日までに、石炭を積んだ 29 台の車が倉庫に到着する予定です。 したがって、30 日には 50 + 329 = 137 トンの石炭が倉庫にあることになります。

したがって、等差数列の最初の項とその差だけがわかれば、数列の任意の項を見つけることができます。 これはいつもそうなのでしょうか？

数列の各項が最初の項にどのように依存するのか、その違いを分析してみましょう。

このようにして、等差数列の第 n 項の式が得られました。

例1. Sequence () は等差数列です。 if と を求めます。

n項の公式を使ってみましょう ,

答え：260。

次の問題を考えてみましょう。

等差数列で、偶数項が消去されました: 3、:、7、:、13: 失われた数字を復元することは可能ですか?

学生はおそらく最初に数列の差を計算し、次に数列の未知の項を見つけるでしょう。 次に、シーケンスの未知のメンバー、前のメンバーと次のメンバーの間の関係を見つけるように依頼できます。

解決：等差数列では、隣接する項間の差が一定であるという事実を利用しましょう。 シーケンスの目的のメンバーとする。 それから

コメント。等差数列のこの性質がその特徴的な性質です。 これは、あらゆる等差数列において、2 番目から始まる各項が前後の項の算術平均に等しいことを意味します ( 。 逆に、2 番目から始まる各項が前後の項の算術平均に等しい順序は等差数列です。

IV. 一次統合。

• No. 575 ab - 経口
• No. 576 avd - 経口
• No. 577b - 独立して検証あり

シーケンス (等差数列です。if と

n番目の項の公式を使ってみましょう。

答え: -24.2。

等差数列 -8 の 23 番目と n 番目の項を見つけます。 -6.5; :

解決：等差数列の最初の項は -8 です。 等差数列の差を見つけてみましょう。これを行うには、数列の後続の項から前の数列を減算する必要があります: -6.5-(-8) = 1.5。

n項の公式を使ってみましょう。

「数列、等差数列」というテーマのレッスンとプレゼンテーション

追加資料
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9年生教科書のオンラインストア「Integral」の教育支援ツール
マカリチェヴァ Yu.N. アリモバ Sh.A. モルドコビッチ A.G. ムラヴィーナ合同会社

では、等差数列とは何でしょうか?

2 番目から始まる各項が、前の項とある固定数の和に等しい数列を等差数列と呼びます。

等差数列– 繰り返し与えられる数値進行。

$a_(1)=a$; という繰り返し形式を書き留めてみましょう。 $a_(n)=a_(n-1)+d$、数値 d – 進行の差。 a と d は特定の数値です。

例。 1,4,7,10,13,16... $a=1, d=3$ の等差数列。

例。 3,0,-3,-6,-9... $a=3, d=-3$ の等差数列。

例。 5,5,5,5,5... $a=5、d=0$の等差数列。

等差数列には単調性の特性があります。数列の差が 0 より大きい場合、数列は増加し、数列の差が 0 より小さい場合、数列は減少します。

等差数列に有限数の要素がある場合、その数列は有限等差数列と呼ばれます。

シーケンス $a_(n)$ が与えられ、それが等差数列である場合、通常は $a_(1)、a_(2)、…、a_(n)、…$ と表します。

等差数列の n 項の公式

例に戻って、各例の式を書き留めてみましょう。

例。 1,4,7,10,13,16... a=1、d=3の等差数列。 $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$。

例。 3,0,-3,-6,-9... a=3、d=-3の等差数列。 $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$。

例。 等差数列を指定すると、$a_(1)、a_(2)、…、a_(n)、…$ となります。
a) $a_(1)=5$、$d=3$ であることがわかっています。 $a_(23)$ を見つけます。
b) $a_(1)=4$、$d=5$、$a_(n)=109$ であることがわかっています。 n を見つけます。
c) $d=-1$、$a_(22)=15$ であることがわかっています。 $a_(1)$ を見つけます。
d) $a_(1)=-3$、$a_(10)=24$ であることがわかっています。 dを見つけます。
解決。
a) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$。
b) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$。
$5n=110=>n=22$。
c) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$。
d) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$。

例。 等差数列の第 9 項を第 2 項で割ると商は 7 のままで、第 9 項を第 5 項で割ると商は 2 となり、余りは 5 になります。数列の第 30 項を求めます。
解決。
数列の式 2、5、9 項を順番に書いてみましょう。
$a_(2)=a_(1)+d$。
$a_(5)=a_(1)+4d$。
$a_(9)=a_(1)+8d$。
条件からも次のことがわかります。
$a_(9)=7a_(2)$。
$a_(9)=2a_(5)+5$。
または：
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$。
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$。
連立方程式を作成しましょう。
$\begin(cases)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end(cases)$。
$\begin(cases)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end(cases)$。
この系を解くと、$d=6, a_(1)=1$ が得られます。
$a_(30)$ を探してみましょう。
$a_(30)=a_(1)+29d=175$。

有限等差数列の和

等差数列 1,2,3,4,5...100 を与えてみましょう。
次に、そのメンバーの合計を次のように表示してみましょう。
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
ただし、同様の公式はあらゆる等差数列に適用できます。
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$。
一般的なケースで式を書いてみましょう: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$、ここで $k<1$.
等差数列の項の合計を計算する式を導き出しましょう。式を異なる順序で 2 回書きます。
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$。
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$。
これらの式を足し合わせてみましょう。
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$。
等式の右側には n 個の項があり、それぞれが $a_(1)+a_(n)$ に等しいことがわかっています。
それから：
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$。
この式は、次の形式で書き直すこともできます。 $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$ なので、
$S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$ となります。
ほとんどの場合、この特定の公式を使用する方が便利なので、覚えておくと良いでしょう。

例。 有限の等差数列が与えられます。
探す：
a) $s_(22)、a_(1)=7 の場合、d=2$。
b) d、$a_(1)=9$ の場合、$s_(8)=144$。
解決。
a) 2 番目の合計式 $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) を使用してみましょう。 *22 = 616 ドル。
b) この例では、最初の式 $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$ を使用します。
$144=36+4a_(8)$。
$a_(8)=27$。
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$。
$d=2\frac(4)(7)$。

例。 すべての奇数 2 桁の数値の合計を求めます。
解決。
進行条件は次のとおりです: $a_(1)=11$、$a_(2)=13$、…、$a_(n)=99$。
数列の最後の項の数を求めてみましょう。
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$。
$99=11+2(n-1)$。
$n=45$。
次に、合計を求めてみましょう: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$。

例。 男たちはハイキングに行きました。 最初の1時間で彼らは500メートル歩き、その後は最初の1時間よりも25メートル少なく歩き始めたことが知られています。 2975メートルを移動するには何時間かかりますか?
解決。
各時間に移動した経路は等差数列として表すことができます。
$a_(1)=500$、$a_(2)=475$、$a_(3)=450…$。
等差数列の差は $d=-25$ です。
2975 メートルでカバーされる距離は、等差数列の項の合計です。
$S_(n)=2975$、n は移動に費やした時間です。
それから：
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$、$n=2975$。
$1000n-25(n-1)n=$5950。
両辺を25で割ります。
$40n-(n-1)n=$238。
$n^2-41n+238=0$。
$n_(1)=7$、$n_(2)=34$。
明らかに、$n=7$ を選択する方が論理的です。
答え。 彼らは7時間も旅を続けた。

等差数列の特徴的な性質

数列が有限である場合、この等価性は最初と最後の項を除くすべての項に当てはまります。
シーケンスの形式が事前に不明であるが、$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$ であることがわかっている場合。
そうすれば、これは等差数列であると言えるでしょう。

この数列の各メンバーが数列の 2 つの隣接するメンバーの算術平均に等しい場合、数列は等差数列になります (有限数列の場合、この条件は数列の最初と最後のメンバーでは満たされないことを忘れないでください)。 。

例。 $3x+2$ となる x を見つけます。 $x-1$; $4x+3$ – 等差数列の連続する 3 項。
解決。 私たちの公式を使ってみましょう:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$。
$2x-2=7x+5$。
$-5x = 7$。
$x=-1\frac(2)(5)=-1.4$。
確認してみましょう。式は次の形式になります。 -2,2; -2.4; -2.6。
明らかに、これらは等差数列の項であり、$d=-0.2$ です。

自主的に解決すべき問題

注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）

等差数列とは、各数値が前の数値よりも同じ量だけ大きい (または小さい) 一連の数値です。

このトピックは複雑で理解できないように思えることがよくあります。 文字のインデックス、数列の n 番目の項、数列の差 - これはすべてどういうわけか混乱しています、そうです...等差数列の意味を理解しましょう。そうすればすべてがすぐに良くなります。)

等差数列の概念。

等差数列は非常に単純かつ明確な概念です。 何か疑問はありますか？ 無駄です。) 自分の目で確かめてください。

未完成の一連の数字を書きます。

1, 2, 3, 4, 5, ...

このシリーズを拡張してもらえますか？ 5 の次に来る数字は何ですか? 皆さん…えーっと、つまり、次は６、７、８、９…という数字が来るということは皆さんわかります。

タスクを複雑にしてみましょう。 未完成の一連の数字をあげます。

2, 5, 8, 11, 14, ...

パターンを把握し、シリーズを拡張し、名前を付けることができるようになります 7番目行番号?

この数字が 20 であることがわかった方は、おめでとうございます。 感じただけでなく、 等差数列の重要なポイントビジネスでもうまく活用できました！ よく分からない場合は、読み続けてください。

では、感覚から得た重要なポイントを数学に変換してみましょう。）

最初のキーポイント。

等差数列は一連の数値を扱います。これは最初は混乱します。 私たちは方程式を解いたり、グラフを描いたりすることに慣れています...しかしここでは級数を拡張し、級数の数を求めます...

大丈夫です。 ただ、数列は数学の新しい分野に初めて出会うものです。 このセクションは「シリーズ」と呼ばれ、特に一連の数値と式を処理します。 それに慣れる。）

2 番目の重要なポイント。

等差数列では、どの数値も前の数値とは異なります 同額で。

最初の例では、この違いは 1 です。 どの数字を選んでも、前の数字より 1 つ増えます。 2番目から3番目。 どの数字も前の数字より 3 つ大きくなります。 実際、この瞬間こそがパターンを把握し、その後の数字を計算する機会を与えてくれます。

3つ目のキーポイント。

この瞬間は、驚くべきものではありません、そうです...しかし、それは非常に非常に重要です。 彼はこうです。 各進行番号はその場所にあります。最初の番号、7 番目の番号、45 番目の番号などがあります。 ランダムに混ぜると模様が消えてしまいます。 等差数列も消えてしまいます。 残っているのは単なる数字の羅列です。

それが要点です。

もちろん、新しいトピックには新しい用語や名称が登場します。 それらを知る必要があります。 そうしないと、そのタスクを理解できなくなります。 たとえば、次のようなことを決定する必要があります。

a 2 = 5、d = -2.5 の場合、等差数列 (a n) の最初の 6 項を書き留めます。

インスピレーションを与えてくれますか?) 手紙、いくつかのインデックス...ちなみに、その作業はこれ以上に簡単なものではありません。 用語と名称の意味を理解する必要があるだけです。 さて、この問題をマスターして、タスクに戻ります。

用語と名称。

等差数列それぞれの数字が前の数字とは異なる一連の数字です 同額で。

この量はと呼ばれます 。 この概念をさらに詳しく見てみましょう。

等差数列の違い。

等差数列の違い任意の累進数の量です。 もっと前回のもの。

重要な点が 1 つあります。 という言葉に注目してください "もっと"。数学的には、これは各数列数が次のとおりであることを意味します。 追加することで前の数値との等差数列の差。

計算するには、次のようにします。 2番シリーズの番号を指定する必要があります。 初め番号 追加まさにこの等差数列の違いです。 計算用 5番目- 違いは必要です 追加に 第4、まあ、など

等差数列の違い多分 ポジティブ、そうすれば、シリーズ内の各数字は実数であることがわかります 前作よりも。この進行はと呼ばれます 増加しています。例えば：

8; 13; 18; 23; 28; .....

ここで各数値が得られます 追加することで正の数、前の数値に +5。

違いは次のとおりです。 ネガティブ、この場合、系列内の各数値は次のようになります。 前回よりも少ないです。この進行は (信じられないでしょう!) と呼ばれます。 減少しています。

例えば：

8; 3; -2; -7; -12; .....

ここでも各数値を取得します 追加することで前の値に戻りますが、すでに負の数 -5 になっています。

ちなみに、進行状況を扱う場合、その性質、つまり増加しているのか減少しているのかを即座に判断するのは非常に便利です。 これは、決断を下し、手遅れになる前に間違いを見つけて修正するのに非常に役立ちます。

等差数列の違い通常は文字で表されます d.

見つけ方 d? とてもシンプルです。 系列内の任意の数値から減算する必要があります 前の番号。 引き算します。 ちなみに引き算した結果を「差分」といいます。）

たとえば、次のように定義しましょう。 d等差数列を増やす場合:

2, 5, 8, 11, 14, ...

たとえば 11 など、系列内の任意の数値を取得します。そこから減算します。 前の番号それらの。 8:

これが正解です。 この等差数列では、その差は 3 です。

あなたはそれを取ることができます 任意の進行番号、なぜなら 特定の進行のために d-いつも同じ。少なくとも行の先頭のどこか、少なくとも真ん中、少なくともどこか。 一番最初の番号だけを取得することはできません。 単純に最初の数字だから 以前のものはありません。)

ちなみに、それを知ると、 d=3, この数列の 7 番目の数字を見つけるのは非常に簡単です。 5 番目の数字に 3 を足してみましょう - 6 番目の数字が得られ、それは 17 になります。 6 番目の数字に 3 を足すと、7 番目の数字 - 20 が得られます。

定義しましょう d降順等差数列の場合:

8; 3; -2; -7; -12; .....

兆候に関係なく、決定する必要があることを思い出してください。 d何からでも必要です 前のを取り除きます。任意のプログレッション番号 (-7 など) を選択します。 彼の以前の番号は -2 です。 それから：

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

等差数列の差は、整数、分数、無理数など、任意の数にすることができます。

その他の用語および指定。

系列の各番号は次のように呼ばれます。 等差数列のメンバー。

進行の各メンバー 独自の番号を持っています。数字は厳密に順序どおりに並べられており、トリックはありません。 1 番目、2 番目、3 番目、4 番目など。 たとえば、数列 2、5、8、11、14、... では、2 が最初の項、5 が 2 番目の項、11 が 4 番目の項です、まあ、わかります...) はっきりと理解してください - 数字そのもの全体、分数、負など何でも構いませんが、 数字の番号付け- 厳密に順序通りに！

一般的な形式で進行を書くにはどうすればよいですか? 問題ない！ 一連の数字はそれぞれ文字として書かれます。 等差数列を表すには、通常、文字が使用されます。 ある。 会員番号は右下のインデックスで表示されます。 次のように用語をカンマ (またはセミコロン) で区切って記述します。

1、2、3、4、5、....

1- これは最初の数字です、 3- 3番目など 何も派手なことはありません。 このシリーズは次のように簡単に書くことができます。 (a n).

進歩が起こる 有限と無限。

究極のプログレッションにはメンバーの数が限られています。 5人でも38人でも何でもいい。 しかし、それは有限な数です。

無限進行 - ご想像のとおり、メンバーの数は無限です。)

次のような一連のすべての用語と最後にドットを使用して、最終的な進行を書くことができます。

1、2、3、4、5。

または、メンバーが多い場合は次のようになります。

1、2、... 14、15。

短いエントリでは、メンバーの数を追加で指定する必要があります。 たとえば (20 人のメンバーの場合)、次のようになります。

(a n)、n = 20

このレッスンの例のように、無限進行は行の最後にある省略記号によって認識できます。

これでタスクを解決できるようになりました。 タスクは単純で、純粋に等差数列の意味を理解するためのものです。

等差数列に関するタスクの例。

上記のタスクを詳しく見てみましょう。

1. a 2 = 5、d = -2.5 の場合、等差数列 (a n) の最初の 6 項を書き出します。

私たちはタスクをわかりやすい言語に翻訳します。 無限等差数列が与えられます。 この数列の 2 番目の数は既知です。 a 2 = 5。進行の違いは次のとおりです。 d = -2.5。この数列の第 1 項、第 3 項、第 4 項、第 5 項、および第 6 項を見つける必要があります。

わかりやすくするために、問題の条件に応じてシリーズを書き留めます。 最初の 6 つの項 (2 番目の項は 5 つ):

1、5、3、4、5、6、...

3 = 2 + d

式に代入 a 2 = 5そして d = -2.5。 マイナスも忘れずに！

3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

第 3 期は第 2 期より短いことが判明した。 すべてが論理的です。 数値が前の数値より大きい場合 ネガティブこれは、数値自体が前の数値よりも小さくなるということを意味します。 進行度は減少しています。 さて、それを考慮に入れてみましょう。) シリーズの 4 番目の項を数えます。

4 = 3 + d

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + d

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + d

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

そこで、第 3 項から第 6 項までを計算しました。 結果は次のシリーズになります。

a 1、5、2.5、0、-2.5、-5、...。

最初の項を見つけることが残っています 1有名な第二の話によると。 これは反対方向、つまり左へのステップです。) つまり、等差数列の違いは次のとおりです。 dに追加すべきではありません 2、A 取り除く：

1 = 2 - d

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

それでおしまい。 課題の答え:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

ついでに、このタスクを解決したことを記しておきます。 再発する方法。 この恐ろしい言葉は、進行中のメンバーを探すことだけを意味します 前の（隣接する）番号に応じて。以下では、進行を処理する他の方法を見ていきます。

この単純なタスクから 1 つの重要な結論を導き出すことができます。

覚えて：

少なくとも 1 つの項と等差数列の違いがわかっていれば、この数列の任意の項を見つけることができます。

覚えていますか？ この単純な結論により、このトピックに関する学校のコースの問題のほとんどを解決できます。 すべてのタスクは、次の 3 つの主要なパラメータを中心に展開します。 等差数列のメンバー、数列の差、数列のメンバーの数。全て。

もちろん、それまでの代数がすべてキャンセルされるわけではありません。） 不等式、方程式、その他のものは数列に付加されます。 しかし 進行そのものに従って- すべては 3 つのパラメータを中心に展開します。

例として、このトピックに関する人気のあるタスクをいくつか見てみましょう。

2. n=5、d = 0.4、および a 1 = 3.6 の場合、有限等差数列を級数として書きます。

ここではすべてがシンプルです。 すべてはすでに与えられています。 等差数列のメンバーがどのように数えられるかを覚えて、数えて、書き留める必要があります。 タスク条件の「最終」と「」という単語を見逃さないことをお勧めします。 n=5"。顔が完全に青くなるまで数えないようにしてください。) この進行にはメンバーが 5 人しかいません:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

4 = 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

5 = 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

答えを書き留める必要があります。

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

別のタスク:

3. 数値 7 が等差数列 (a n) のメンバーになるかどうかを判断します。 a 1 = 4.1; d = 1.2。

うーん...誰にも分かりません。 何かをどうやって判断するのでしょうか？

どうやって... 進行状況をシリーズ形式で書き留めて、そこに 7 があるかどうかを確認してください。 数えます：

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

4 = 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

今では私たちがまだ7歳であることがはっきりとわかります すり抜けた 6.5と7.7の間です！ 7 は一連の数字に当てはまらないため、7 は指定された数列のメンバーにはなりません。

答え: いいえ。

そして、これは GIA の実際のバージョンに基づいた問題です。

4. 等差数列のいくつかの連続した項が書き出されます。

...; 15; バツ; 9; 6; ...

これは終わりも始まりもなく書かれたシリーズです。 会員番号なしでも違いはありません d。 大丈夫です。 この問題を解くには、等差数列の意味を理解するだけで十分です。 何が可能なのか見てみましょう 知ることこのシリーズから？ 3 つの主なパラメータは何ですか?

会員番号？ ここには単一の数字はありません。

ただし、数字が 3 つあり、注意してください。 - 言葉 "一貫性のある"状態で。 これは、数値が厳密に順序通りであり、隙間がないことを意味します。 この列には2つありますか？ 隣の既知の数字？ はい、あります！ これらは 9 と 6 です。したがって、等差数列の差を計算できます。 6から引く 前の番号、つまり 九：

ほんの些細なことが残っています。 X の前の番号は何になりますか? 15。 これは、X が単純な足し算で簡単に見つかることを意味します。 等差数列の差を 15 に加算します。

それだけです。 答え： x=12

以下の問題を私たち自身で解決します。 注: これらの問題は公式に基づいていません。 純粋に等差数列の意味を理解するためです。) 一連の数字と文字を書き留めて、見て理解するだけです。

5. a 5 = -3 の場合、等差数列の最初の正の項を見つけます。 d = 1.1。

6. 数字 5.5 は等差数列 (a n) のメンバーであることが知られています。ここで、a 1 = 1.6。 d = 1.3。 この項の数 n を求めます。

7. 等差数列では、a 2 = 4 であることが知られています。 a 5 = 15.1。 3 を見つけます。

8. 等差数列のいくつかの連続した項が書き出されます。

...; 15.6; バツ; 3.4; ...

文字 x で示される数列の項を見つけます。

9. 列車は駅から動き始め、毎分 30 メートルずつ速度を均一に上げました。 5分後の電車の速度はいくらになりますか? 答えをkm/時単位で答えてください。

10. 等差数列では、a 2 = 5 であることが知られています。 a 6 = -5。 1 を見つける.

回答 (混乱中): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

すべてうまくいきましたか？ すばらしい！ 次のレッスンでは、より高いレベルで等差数列をマスターできます。

すべてがうまくいきませんでしたか？ 問題ない。 特別セクション 555 では、これらすべての問題が少しずつ整理されています。) そしてもちろん、そのようなタスクの解決策を一目で明確に、明確に強調表示する簡単な実践的なテクニックが説明されています。

ところで、電車パズルにはつまずきやすい問題が2つあります。 1 つは純粋に進行に関するもので、2 つ目は数学や物理の問題全般に適用されます。 これは、ある次元から別の次元への変換です。 これらの問題をどのように解決すべきかを示します。

このレッスンでは、等差数列とその主なパラメータの基本的な意味を見ていきました。 これで、このトピックに関するほとんどすべての問題を解決できます。 追加 d数字に合わせて、シリーズを書けば、すべてが解決します。

このレッスンの例のように、フィンガー ソリューションは行の非常に短い部分に適しています。 シリーズが長くなると、計算はより複雑になります。 たとえば、質問の問題 9 で次のように置き換える場合、 "五分"の上 「35分」問題は大幅に悪化するでしょう。)

また、本質的には単純ですが、計算という点では不合理なタスクもあります。たとえば、次のとおりです。

等差数列 (a n) が与えられます。 a 1 =3 および d=1/6 の場合、121 を求めます。

それで、何回も 1/6 を追加するのですか?! 自殺してもいいの!?

できます。) このようなタスクを 1 分で解決できる簡単な公式を知らない場合。 この式は次のレッスンで説明します。 そしてこの問題はそこで解決されます。 すぐに。）

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さて、友人の皆さん、もしあなたがこの文章を読んでいるなら、内部のキャップ証拠は、あなたが等差数列が何であるかをまだ知らないが、本当に（いや、そのように：すっごい！）知りたいと思っていることを示しています。 したがって、長い前置きであなたを苦しめるつもりはなく、すぐに本題に入ります。

まず、いくつかの例を示します。 いくつかの数値セットを見てみましょう。

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

これらすべてのセットに共通するものは何でしょうか? 一見すると何もありません。 しかし、実際には何かがあります。 つまり: 次の各要素は前の要素と同じ番号だけ異なります.

自分で判断してください。 最初のセットは単純に連続した番号で、次の各セットは前のセットより 1 つ大きくなります。 2 番目のケースでは、隣接する数値の差はすでに 5 ですが、この差は依然として一定です。 3 番目のケースでは、根が完全に存在します。 ただし、$2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ および $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$、つまり この場合、次の各要素は単に $\sqrt(2)$ ずつ増加します (この数値が非合理的であることを恐れないでください)。

したがって、このようなシーケンスはすべて等差数列と呼ばれます。 厳密な定義を与えてみましょう。

意味。 次の各数値が前の数値とまったく同じ量だけ異なる一連の数値を等差数列と呼びます。 数値が異なるまさにその量は進行差と呼ばれ、ほとんどの場合、文字 $d$ で示されます。

表記法: $\left(((a)_(n)) \right)$ は進行そのもの、$d$ はその差分です。

そして、重要な注意事項がいくつかあります。 まず、進行のみが考慮されます 順序付けられました数値のシーケンス: 書き込まれた順序で厳密に読み取ることが許可されており、それ以外は許可されません。 番号を並べ替えたり交換したりすることはできません。

第二に、シーケンス自体は有限または無限のいずれかになります。 たとえば、集合 (1; 2; 3) は明らかに有限の等差数列です。 しかし、精神（1; 2; 3; 4; ...）で何かを書くと、これはすでに無限の進歩です。 4 の後の省略記号は、さらに多くの数字が来ることを示唆しているようです。 たとえば、無限にたくさんあります。:)

また、進行状況が増加または減少する可能性があることにも注意してください。 増加するもの、つまり同じセット (1; 2; 3; 4; ...) がすでに見られました。 減少進行の例を次に示します。

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

わかりました、わかりました。最後の例は複雑すぎるように思えるかもしれません。 しかし、残りの部分は、あなたも理解していると思います。 したがって、新しい定義を導入します。

意味。 等差数列は次のように呼ばれます。

1. 次の各要素が前の要素より大きい場合は増加します。
2. 逆に、後続の各要素が前の要素よりも小さい場合は減少します。

さらに、いわゆる「静止」シーケンスがあり、それらは同じ繰り返し番号で構成されます。 たとえば、(3; 3; 3; ...)。

残る疑問は 1 つだけです。増加の進行と減少の進行をどのように区別するかです。 幸いなことに、ここでのすべては数値 $d$ の符号のみに依存します。 進行の違い:

1. $d \gt 0$ の場合、進行度は増加します。
2. $d \lt 0$ の場合、進行度は明らかに減少しています。
3. 最後に、$d=0$ の場合があります。この場合、数列全体は、(1; 1; 1; 1; ...) などの同じ数字の静止したシーケンスに縮小されます。

上記の 3 つの減少数の差 $d$ を計算してみましょう。 これを行うには、隣接する 2 つの要素 (たとえば、1 番目と 2 番目) を取得し、右側の数値から左側の数値を減算するだけで十分です。 次のようになります。

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$。

ご覧のとおり、3 つのケースすべてで、その差は実際にはマイナスであることが判明しました。 定義がほぼわかったので、今度は進行がどのように記述され、どのような特性があるかを理解します。

進行項と漸化式

シーケンスの要素は交換できないため、番号を付けることができます。

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) ））、... \右\）\]

このセットの個々の要素は、進行のメンバーと呼ばれます。 これらは、最初のメンバー、2 番目のメンバーなどの番号で示されます。

さらに、すでにご存知のとおり、数列の隣接する項は次の式で関連付けられます。

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

つまり、数列の $n$ 番目の項を見つけるには、 $n-1$ 番目の項とその差 $d$ を知る必要があります。 この式はリカレントと呼ばれます。この式を使用すると、前の番号 (実際には前のすべての番号) を知っているだけで任意の番号を見つけることができるからです。 これは非常に不便なので、計算を最初の項と差に換算する、より巧妙な公式があります。

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

おそらく、あなたはすでにこの公式に出会ったことがあるでしょう。 彼らはあらゆる種類の参考書やソリューションブックでそれを与えることを好みます。 そして、賢明な数学の教科書の中で、これは最初のものの1つです。

ただし、少し練習することをお勧めします。

タスクその1。 $((a)_(1))=8,d=-5$ の場合、等差数列 $\left(((a)_(n)) \right)$ の最初の 3 項を書き留めます。

解決。 したがって、最初の項 $((a)_(1))=8$ と数列の差 $d=-5$ がわかります。 先ほど与えた式を使用して、$n=1$、$n=2$、$n=3$ を代入してみましょう。

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \終了(整列)\]

答え: (8; 3; −2)

それだけです！ 注意してください: 私たちの進歩は減少しています。

もちろん、$n=1$ を代入することはできません。最初の項はすでにわかっています。 しかし、unity を代用することで、最初の項でも式が機能することを確信しました。 他のケースでは、すべてが平凡な算術に終わった。

タスクその2。 等差数列の第 7 項が -40 に等しく、第 17 項が -50 に等しい場合、その最初の 3 つの項を書き留めます。

解決。 問題の状況を馴染みのある言葉で書いてみましょう。

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \右。\]

これらの要件を同時に満たす必要があるため、システム記号を付けました。 ここで、2 番目の方程式から最初の式を引くと (システムがあるので、これを行う権利があります)、次の結果が得られることに注意してください。

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1。 \\ \終了(整列)\]

これで、進行度の違いを見つけるのがとても簡単になります。 残っているのは、見つかった数値をシステムの方程式のいずれかに代入することだけです。 たとえば、最初の例では次のようになります。

\[\begin(行列) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \下矢印 \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34。 \\ \エンド(行列)\]

最初の項と違いがわかったので、残りは 2 番目と 3 番目の項を見つけることです。

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36。 \\ \終了(整列)\]

準備ができて！ 問題は解決された。

答え: (−34; −35; −36)

私たちが発見した数列の興味深い特性に注目してください。$n$th と $m$th の項を取り、それらを相互に減算すると、数列の差に $n-m$ の数値を乗算した値が得られます。

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

シンプルですが、必ず知っておく必要がある非常に便利なプロパティです。このプロパティを利用すると、多くの進行上の問題の解決を大幅にスピードアップできます。 これの明確な例を次に示します。

タスクその3。 等差数列の第 5 項は 8.4、第 10 項は 14.4 です。 この数列の第 15 項を求めます。

解決。 $((a)_(5))=8.4$、$((a)_(10))=14.4$ であり、$((a)_(15))$ を見つける必要があるため、次の点に注意します。

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d。 \\ \終了(整列)\]

しかし、条件 $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ により、$5d=6$ となり、次のようになります。

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4。 \\ \終了(整列)\]

答え: 20.4

それだけです！ 連立方程式を作成したり、最初の項と差を計算したりする必要はなく、すべてがわずか数行で解決されました。

次に、別の種類の問題、つまり進行の否定的な項と肯定的な項の検索を見てみましょう。 進行が増加し、その最初の項が否定的な場合、遅かれ早かれ肯定的な項がその中に現れることは周知の事実です。 そしてその逆も同様です。減少進行の条件は遅かれ早かれマイナスになります。

同時に、要素を順番に通過して、この瞬間を「正面から」見つけることが常に可能であるとは限りません。 多くの場合、問題は、公式を知らなければ計算に数枚の紙が必要になるような方法で書かれており、答えを見つけるまでにただ眠ってしまうだけです。 したがって、これらの問題をより迅速に解決できるようにしてみましょう。

タスクその4。 等差数列 -38.5 には負の項がいくつありますか。 -35.8; ...?

解決。 したがって、$((a)_(1))=-38.5$、$((a)_(2))=-35.8$ となり、ここから違いがすぐにわかります。

差が正であるため、進行度が増加することに注意してください。 最初の項は負であるため、実際、ある時点で正の数に遭遇するでしょう。 唯一の問題は、それがいつ起こるかということです。

項の負性がどのくらいの期間 (つまり、自然数 $n$ まで) 残るかを調べてみましょう。

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \そうです。 \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15。 \\ \終了(整列)\]

最後の行については説明が必要です。 したがって、$n \lt 15\frac(7)(27)$ であることがわかります。 一方、数値の整数値のみ (さらに $n\in \mathbb(N)$) で満足するため、許容される最大の数値は正確に $n=15$ となり、決して 16 ではありません。 。

タスクNo.5。 等差数列では $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ となります。 この数列の最初の正の項の数を求めます。

これは前の問題とまったく同じ問題になりますが、$((a)_(1))$ はわかりません。 しかし、隣接する項 $((a)_(5))$ と $((a)_(6))$ は既知であるため、進行の違いを簡単に見つけることができます。

さらに、標準的な公式を使用して、第 5 項から第 1 項までとその差を表現してみましょう。

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162。 \\ \終了(整列)\]

ここで、前のタスクと同様に作業を進めます。 シーケンスのどの時点で正の数が現れるかを調べてみましょう。

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56。 \\ \終了(整列)\]

この不等式の最小整数解は 56 です。

注意してください: 最後のタスクでは、すべてが厳密な不等式に帰着したため、オプション $n=55$ は適していません。

単純な問題を解決する方法を学んだので、より複雑な問題に移りましょう。 しかしその前に、等差数列のもう 1 つの非常に便利な特性を勉強しましょう。これにより、将来的に多くの時間を節約し、不等セルを節約できるようになります。:)

算術平均と等しいインデント

増加する等差数列 $\left(((a)_(n)) \right)$ のいくつかの連続する項を考えてみましょう。 それらを数直線上にマークしてみましょう。

$((a)_(1)) ,\ ではなく、任意の用語 $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ を特にマークしました。 ((a)_(2))、\ ((​​a)_(3))$ など なぜなら、これから説明するルールはどの「セグメント」にも同じように機能するからです。

そしてルールはとても簡単です。 漸化式を覚えて、マークされたすべての用語について書き留めてみましょう。

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \終了(整列)\]

ただし、これらの等式は別の方法で書き直すことができます。

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \終了(整列)\]

さて、それで何ですか？ そして、項 $((a)_(n-1))$ と $((a)_(n+1))$ が $((a)_(n)) $ から同じ距離にあるという事実。 そして、この距離は $d$ に等しくなります。 $((a)_(n-2))$ と $((a)_(n+2))$ という項についても同じことが言えます - これらは $((a)_(n) からも削除されます)$ は $2d$ に等しい同じ距離にあります。 私たちは無限に続けることができますが、その意味は絵によってよく示されています

これは私たちにとって何を意味するのでしょうか？ これは、隣接する数値がわかっていれば $((a)_(n))$ を見つけることができることを意味します。

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

私たちは、等差数列のすべての項が、隣接する項の算術平均に等しいという素晴らしいステートメントを導き出しました。 さらに: $((a)_(n))$ から 1 ステップではなく、$k$ ステップずつ左右に後退することができます。その場合でも、式は正しいままです。

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

それらの。 $((a)_(100))$ と $((a)_(200))$ がわかっていれば、いくつかの $((a)_(150))$ を簡単に見つけることができます。 (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$。 一見すると、この事実は何の役にも立たないように思えるかもしれません。 ただし、実際には、多くの問題は算術平均を使用するように特別に調整されています。 ご覧ください:

タスクその6。 数値 $-6((x)^(2))$、$x+1$、および $14+4((x)^(2))$ が連続する項である $x$ の値をすべて検索します。等差数列 (示された順序で)。

解決。 これらの数値は数列のメンバーであるため、算術平均条件が満たされます。中心要素 $x+1$ は隣接する要素で表すことができます。

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \終了(整列)\]

結果は古典的な二次方程式になります。 その根、$x=2$ と $x=-3$ が答えです。

答え: -3; 2.

タスクNo.7。 数値 $-1;4-3;(()^(2))+1$ が等差数列を形成する $$ の値を (この順序で) 見つけます。

解決。 再び、隣接する項の算術平均を通じて中間項を表現してみましょう。

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \右。; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \終了(整列)\]

またまた二次方程式。 ここでも、$x=6$ と $x=1$ という 2 つのルートがあります。

答え: 1; 6.

問題を解決する過程で、ひどい数字が出てきた場合、または見つかった答えの正しさについて完全に確信が持てない場合は、問題を正しく解決できたかどうかを確認できる素晴らしいテクニックがあります。

問題番号 6 で、答え 3 と 2 を受け取ったとします。これらの答えが正しいことをどのように確認できるでしょうか。 それらを元の状態に接続して、何が起こるか見てみましょう。 3 つの数値 ($-6(()^(2))$、$+1$、$14+4(()^(2))$) があることを思い出してください。これらは等差数列を形成する必要があります。 $x=-3$ を代入してみましょう。

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50。 \終了(整列)\]

−54という数字が得られました。 −2; 50 と 52 の差は間違いなく等差数列です。 $x=2$ についても同じことが起こります。

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30。 \終了(整列)\]

再び進行しますが、差は 27 です。したがって、問題は正しく解決されました。 2 番目の問題をご自身で確認したい場合は、すぐに言っておきますが、そこもすべて正しいです。

一般に、最後の問題を解決しているときに、覚えておく必要がある別の興味深い事実に遭遇しました。

3 つの数値が 2 番目の数値が最初と最後の数値の算術平均である場合、これらの数値は等差数列を形成します。

将来的には、このステートメントを理解することで、問題の状況に基づいて必要な展開を文字通り「構築」できるようになります。 しかし、そのような「構築」に取り組む前に、すでに議論したことから直接派生するもう1つの事実に注意を払う必要があります。

要素のグループ化と合計

もう一度数値軸に戻りましょう。 おそらくその間に、進行の何人かのメンバーがいることに注目してみましょう。 他のメンバーにとっても価値があります:

$((a)_(n))$ と $d$ で「左のしっぽ」を、$((a)_(k))$ と $d$ で「右のしっぽ」を表現してみます。 それはとても簡単です:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d。 \\ \終了(整列)\]

ここで、次の金額が等しいことに注意してください。

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \終了(整列)\]

簡単に言うと、進行の 2 つの要素 (合計で $S$ に等しい) を開始点として考え、次にこれらの要素から反対方向 (互いに近づくか、逆に遠ざかる) にステップを開始すると、次のようになります。それから 私たちがつまずくであろう要素の合計も等しいでしょう$S$。 これは、次の図で最も明確に表すことができます。

この事実を理解することで、上で検討した問題よりも根本的により複雑なレベルの問題を解決できるようになります。 たとえば、次のようなものがあります。

タスクNo.8。 最初の項が 66 で、2 番目と 12 番目の項の積が可能な限り最小となる等差数列の差を求めます。

解決。 知っていることをすべて書き留めてみましょう。

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min 。 \終了(整列)\]

したがって、進行の差 $d$ はわかりません。 実際には、積 $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ は次のように書き換えることができるため、ソリューション全体はその違いを中心に構築されます。

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)。 \終了(整列)\]

タンク内の人々へ: 私は 2 番目の括弧から合計乗数 11 を取り出しました。 したがって、目的の積は、変数 $d$ に関する二次関数になります。 したがって、関数 $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ を考えます。そのグラフは上に枝がある放物線になります。 括弧を展開すると、次のようになります。

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

ご覧のとおり、最高項の係数は 11 です。これは正の数なので、実際には上向きの枝を持つ放物線を扱っていることになります。

二次関数のグラフ - 放物線

注意してください: この放物線は、横軸 $((d)_(0))$ の頂点で最小値をとります。 もちろん、この横軸は標準スキーム ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ という式があります) を使用して計算できますが、次の点に注意する方がはるかに合理的です。目的の頂点が放物線の軸対称上にあるため、点 $((d)_(0))$ は方程式 $f\left(d \right)=0$ の根から等距離にあります。

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6。 \\ \終了(整列)\]

だからこそ、私はブラケットを開くことを特に急いでいませんでした。元の形では、ルートは非常に簡単に見つけることができました。 したがって、横軸は数値 -66 と -6 の算術平均に等しくなります。

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

発見された数字は何をもたらすのでしょうか? これを使用すると、必要な積は最小値になります (ちなみに、$((y)_(\min ))$ を計算したことはありません。これは必要ありません)。 同時に、この数値は元の進行との差です。 私たちは答えを見つけました。:)

答え: −36

タスクNo.9。 数値 $-\frac(1)(2)$ と $-\frac(1)(6)$ の間に 3 つの数値を挿入して、これらの数値と一緒に等差数列を形成します。

解決。 基本的に、最初と最後の数字がすでにわかっている 5 つの数字のシーケンスを作成する必要があります。 欠落している数値を変数 $x$、$y$、$z$ で表しましょう。

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

数値 $y$ は数列の「中間」であることに注意してください。数値 $x$ と $z$、および数値 $-\frac(1)(2)$ と $-\frac から等距離にあります。 (1)(6)$。 そして、現時点で数値 $x$ と $z$ から $y$ を取得できない場合、進行の終端では状況が異なります。 算術平均を思い出してみましょう。

$y$ がわかったので、残りの数値を求めます。 $x$ は数値 $-\frac(1)(2)$ と先ほど見つけた $y=-\frac(1)(3)$ の間にあることに注意してください。 それが理由です

同様の推論を使用して、残りの数を求めます。

準備ができて！ 3 つの数字がすべて見つかりました。 元の数字の間に入れる順番で答えに書きましょう。

答え: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

タスクNo.10。 挿入された数値の最初、2 番目、最後の数値の合計が 56 であることがわかっている場合、数値 2 と 42 の間にいくつかの数値を挿入し、これらの数値と一緒に等差数列を形成します。

解決。 さらに複雑な問題ですが、これは前述のものと同じスキームに従って、算術平均によって解決されます。 問題は、正確にいくつの数値を挿入する必要があるかがわからないことです。 したがって、すべてを挿入した後は正確に $n$ の数値が存在し、それらの最初の数値は 2 で、最後の数値は 42 であると明確にするために仮定します。この場合、必要な等差数列は次の形式で表すことができます。

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

ただし、数値 $((a)_(2))$ と $((a)_(n-1))$ は、端の数値 2 と 42 から互いに 1 ステップずつ取得されることに注意してください。つまり 。 シーケンスの中心に移動します。 そして、これが意味するのは、

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

ただし、上に書いた式は次のように書き換えることができます。

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \終了(整列)\]

$((a)_(3))$ と $((a)_(1))$ がわかれば、進行の違いを簡単に見つけることができます。

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\右矢印 d=5。 \\ \終了(整列)\]

残っているのは、残りの項を見つけることだけです。

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \終了(整列)\]

したがって、すでに 9 番目のステップで、シーケンスの左端、つまり数値 42 に到達します。合計で、挿入する必要がある数値は 7 つだけです。 12; 17; 22; 27; 32; 37.

答え: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

進行を伴う文章の問題

最後に、いくつかの比較的単純な問題について考えてみたいと思います。 そうですね、とても単純なことです。学校で数学を勉強していて、上に書かれていることを読んでいないほとんどの生徒にとって、これらの問題は難しいように思えるかもしれません。 ただし、これらは OGE や数学の統一州試験で出題されるタイプの問題なので、よく理解しておくことをお勧めします。

タスクNo.11。 チームは 1 月に 62 個の部品を製造し、その後の各月では前月よりも 14 個多くの部品を製造しました。 チームは 11 月に何個のパーツを作成しましたか?

解決。 明らかに、月ごとにリストされる部品の数は等差数列の増加を表します。 さらに：

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

11 月は年の 11 番目の月なので、$((a)_(11))$ を見つける必要があります。

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

したがって、11月に202個の部品が生産されることになります。

タスクNo.12。 製本ワークショップでは、1月に216冊の本を製本し、その後の各月では前月よりも4冊多く製本しました。 12月のワークショップで何冊製本しましたか？

解決。 全く同じです:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

12 月は 1 年の最後の 12 月であるため、$((a)_(12))$ を探しています。

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

これが答えです。12 月には 260 冊の本が製本されます。

さて、ここまで読んでいただいた方には、急いでお祝いを申し上げたいと思います。あなたは等差数列における「若手戦士のコース」を無事に完了しました。 次のレッスンに進んでいただいても問題ありません。そこでは、進行の合計の公式と、そこから得られる重要で非常に役立つ結果について学びます。

決断を始める前に 等差数列の問題, 等差数列は数列の特殊なケースであるため、数列とは何かを考えてみましょう。

数値シーケンスは数値セットであり、その各要素には独自のシリアル番号があります。。 このセットの要素はシーケンスのメンバーと呼ばれます。 シーケンス要素のシリアル番号はインデックスによって示されます。

シーケンスの最初の要素。

シーケンスの 5 番目の要素。

- シーケンスの「n 番目」の要素、つまり 番号 n の要素「キューに待機中」。

シーケンス要素の値とそのシーケンス番号の間には関係があります。 したがって、シーケンスは、引数がシーケンスの要素の序数である関数と考えることができます。 言い換えれば、次のように言えます。 シーケンスは自然引数の関数です。

シーケンスは次の 3 つの方法で設定できます。

1 . 順序はテーブルを使用して指定できます。この場合、シーケンスの各メンバーの値を設定するだけです。

たとえば、ある人が個人的な時間管理を始めることにし、まず、1 週間に VKontakte にどれだけの時間を費やしたかを数えてみることにしました。 時間をテーブルに記録すると、次の 7 つの要素からなるシーケンスが得られます。

表の最初の行は曜日を示し、2 行目は時間を分単位で示します。 つまり、月曜日には誰かがVKontakteに125分を費やし、木曜日には248分、金曜日にはわずか15分を費やしたことがわかります。

2 . 数列は、n 項の式を使用して指定できます。

この場合、シーケンス要素の値のその番号への依存性は、式の形式で直接表現されます。

たとえば、 の場合、

与えられた番号を持つシーケンス要素の値を求めるには、要素番号を n 番目の項の式に代入します。

引数の値がわかっている場合に関数の値を見つける必要がある場合にも、同じことを行います。 引数の値を関数方程式に代入します。

たとえば、 、 それ

任意の数値関数とは異なり、シーケンスでは引数は自然数のみであることにもう一度注意してください。

3 。 シーケンスは、シーケンスのメンバー番号 n の値の、前のメンバーの値への依存性を表す式を使用して指定できます。 この場合、シーケンス メンバーの値を見つけるには、その番号だけを知っているだけでは十分ではありません。 シーケンスの最初のメンバーまたは最初のいくつかのメンバーを指定する必要があります。

たとえば、次のシーケンスを考えてみましょう ,

シーケンスメンバーの値を見つけることができます 順番通りに、3番目から:

つまり、シーケンスの n 番目の項の値を見つけるたびに、前の 2 つの項に戻ります。 シーケンスを指定するこのメソッドは次のように呼ばれます。 再発する、ラテン語から 繰り返し- 戻ってくる。

これで等差数列を定義できるようになりました。 等差数列は、数列の単純な特殊なケースです。

等差数列 は数値シーケンスであり、2 番目から始まる各メンバーは、同じ番号に前のメンバーを加算したものと等しくなります。

番号が呼ばれます 等差数列の違い。 等差数列の差は、正、負、またはゼロに等しくなります。

if title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} 増加する.

たとえば、2; 5; 8; 十一;...

の場合、等差数列の各項は前の項より小さく、数列は次のようになります。 減少する.

たとえば、2; -1; -4; -7;...

の場合、数列のすべての項は同じ数値に等しく、数列は次のようになります。 定常.

たとえば、2;2;2;2;...

等差数列の主な特性:

図面を見てみましょう。

それがわかります

、そして同時に

これら 2 つの等式を追加すると、次のようになります。

.

等式の両辺を 2 で割ってみましょう。

したがって、2 番目から始まる等差数列の各要素は、隣接する 2 つの要素の算術平均に等しくなります。

さらに、以来、

、そして同時に

、 それ

、 したがって

title="k>l で始まる等差数列の各項">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

第 3 項の式。

等差数列の項が次の関係を満たすことがわかります。

そして最後に

得た n項の公式。

重要！等差数列の任意の要素は、and を使用して表現できます。 最初の項と等差数列の違いがわかれば、どの項も見つけることができます。

等差数列の n 項の合計。

任意の等差数列では、極値の項から等距離にある項の合計は互いに等しくなります。

n 項の等差数列を考えてみましょう。 この数列の n 項の合計が に等しいとします。

最初に数列の項を数値の昇順に並べ、次に降順に並べてみましょう。

ペアで追加しましょう:

各括弧内の合計は 、ペアの数は n です。

我々が得る：

それで、 等差数列の n 項の合計は、次の式を使用して求めることができます。

考えてみましょう 等差数列の問題を解く.

1 . 数列は、n 番目の項の式で与えられます。 . この数列が等差数列であることを証明してください。

数列の 2 つの隣接する項間の差が同じ数に等しいことを証明しましょう。

シーケンスの 2 つの隣接するメンバー間の差は、その数に依存せず、定数であることがわかりました。 したがって、定義上、このシーケンスは等差数列です。

2 . 等差数列 -31 を指定すると、 -27;...

a) 進行の 31 項を見つけます。

b) この数列に数字 41 が含まれているかどうかを判断します。

A)それがわかります。

進行のための n 項の式を書き留めてみましょう。

一般的に

私たちの場合には 、 それが理由です