「数列、等差数列」というテーマのレッスンとプレゼンテーション

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では、等差数列とは何でしょうか?

2 番目から始まる各項が、前の項と固定数の和に等しい数列を等差数列と呼びます。

等差数列は再帰的に与えられる数値数列です。

再帰形式を書いてみましょう: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$、数値 d は進行の差です。 a と d は特定の数値です。

例。 1,4,7,10,13,16… $a=1, d=3$ の等差数列。

例。 3,0,-3,-6,-9… $a=3, d=-3$ の等差数列。

例。 5,5,5,5,5… $a=5、d=0$の等差数列。

等差数列には単調性の特性があり、数列の差が 0 より大きい場合、数列は増加し、数列の差が 0 より小さい場合、数列は減少します。

等差数列内の要素の数が有限である場合、その数列は有限等差数列と呼ばれます。

シーケンス $a_(n)$ が与えられ、それが等差数列である場合、通常は $a_(1)、a_(2)、…、a_(n)、…$ と表します。

等差数列の n 番目の要素の式

例に戻って、それぞれの例の式を書き留めてみましょう。

例。 1,4,7,10,13,16… a=1、d=3の等差数列。 $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$。

例。 3,0,-3,-6,-9… a=3、d=-3の等差数列。 $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$。

例。 等差数列を指定すると、$a_(1)、a_(2)、…、a_(n)、…$ となります。
a) $a_(1)=5$、$d=3$ であることがわかっています。 $a_(23)$ を見つけます。
b) $a_(1)=4$、$d=5$、$a_(n)=109$ であることがわかっています。 n を見つけます。
c) $d=-1$、$a_(22)=15$ であることがわかっています。 $a_(1)$ を見つけます。
d) $a_(1)=-3$、$a_(10)=24$ であることがわかっています。 dを見つけます。
解決。
a) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$。
b) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$。
$5n=110=>n=22$。
c) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$。
d) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$。

例。 等差数列の第 9 項を第 2 項で割ると商は 7 のままで、第 9 項を第 5 項で割ると商は 2 となり、余りは 5 になります。数列の第 30 項を求めます。
解決。
数列の項の公式 2、5、9 を続けて書き留めてみましょう。
$a_(2)=a_(1)+d$。
$a_(5)=a_(1)+4d$。
$a_(9)=a_(1)+8d$。
条件からも次のことがわかります。
$a_(9)=7a_(2)$。
$a_(9)=2a_(5)+5$。
または：
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$。
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$。
連立方程式を作ってみましょう。
$\begin(cases)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end(cases)$。
$\begin(cases)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end(cases)$。
この系を解くと、$d=6, a_(1)=1$ が得られます。
$a_(30)$ を見つけます。
$a_(30)=a_(1)+29d=175$。

有限等差数列の和

等差数列 1、2、3、4、5…100 を与えてみましょう。
その項の合計は次のように表すことができます。
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
ただし、同様の公式があらゆる等差数列に適用されます。
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$。
一般的なケースで式を書いてみましょう: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$、ここで $k<1$.
等差数列の項の合計を計算する式を導き出しましょう。式を異なる順序で 2 回書きます。
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$。
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$。
これらの式を足し合わせてみましょう。
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_(n)+a_(1))$。
等式の右側には n 個の項があり、それぞれが $a_(1)+a_(n)$ に等しいことがわかっています。
それから：
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$。
また、式は次のように書き直すこともできます。 $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$ なので、
$S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$ となります。
ほとんどの場合、この特定の公式を使用する方が便利なので、覚えておくと良いでしょう。

例。 有限の等差数列が与えられたとします。
探す：
a) $s_(22)、a_(1)=7 の場合、d=2$。
b) d) $a_(1)=9$、$s_(8)=144$ の場合。
解決。
a) 2 番目の合計式 $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2)*22=616$ を使用してみましょう。
b) この例では、最初の式 $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$ を使用します。
$144=36+4a_(8)$。
$a_(8)=27$。
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$。
$d=2\frac(4)(7)$。

例。 すべての奇数 2 桁の数値の合計を求めます。
解決。
進行条件は次のとおりです: $a_(1)=11$、$a_(2)=13$、…、$a_(n)=99$。
進行の最後のメンバーの番号を見つけてみましょう。
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$。
$99=11+2(n-1)$。
$n=45$。
次に、合計を求めてみましょう: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$。

例。 少年たちはハイキングに行きました。 最初の1時間で彼らは500メートル歩き、その後は最初の1時間よりも25メートル少なく歩き始めたことが知られています。 2975メートルを何時間で移動するでしょうか?
解決。
各時間に移動した経路は等差数列として表すことができます。
$a_(1)=500$、$a_(2)=475$、$a_(3)=450…$。
等差数列の差は $d=-25$ に等しくなります。
2975 メートルで移動する経路は、等差数列のメンバーの合計です。
$S_(n)=2975$、n は移動に費やした時間です。
それから：
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$、$n=2975$。
$1000n-25(n-1)n=5950$。
両方の部分を 25 で割ります。
$40n-(n-1)n=238$。
$n^2-41n+238=0$。
$n_(1)=7$、$n_(2)=34$。
$n=7$ を選択する方が論理的であることは明らかです。
答え。 彼らは7時間も旅を続けた。

等差数列の特徴的な性質

数列が有限である場合、この等価性は最初と最後の項を除くすべての項に当てはまります。
シーケンスの型が事前に不明であるが、$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$ であることがわかっている場合。
そうすれば、これは等差数列であると言えるでしょう。

この数列の各メンバーが数列の 2 つの隣接するメンバーの算術平均に等しい場合、数列は等差数列になります (有限数列の場合、この条件は数列の最初と最後のメンバーでは満たされないことを忘れないでください)。

例。 $3x+2$ となる x を見つけます。 $x-1$; $4x+3$ は、等差数列の連続する 3 つの項です。
解決。 私たちの公式を使ってみましょう:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$。
$2x-2=7x+5$。
$-5x = 7$。
$x=-1\frac(2)(5)=-1.4$。
確認してみましょう。式は次の形式になります。 -2,2; -2.4; -2.6。
明らかに、これらは等差数列のメンバーであり、$d=-0.2$ です。

独立した解決策のタスク

中等学校 (9 年生) で代数を勉強する場合、重要なトピックの 1 つは、幾何学的および算術的な数列を含む数列の研究です。 この記事では、等差数列と解決策を含む例を検討します。

等差数列とは何ですか?

これを理解するには、問題を解決する際にさらに使用される基本的な公式を与えるだけでなく、検討中の数列の定義を与える必要があります。

一部の代数数列では、第 1 項が 6 に等しく、第 7 項が 18 に等しいことが知られています。その差を見つけて、この数列を第 7 項に復元する必要があります。

公式を使用して未知の項を決定してみましょう: a n = (n - 1) * d + a 1 。 条件からの既知のデータ、つまり数値 a 1 と a 7 を代入すると、18 \u003d 6 + 6 * d になります。 この式から、差を簡単に計算できます: d = (18 - 6) / 6 = 2。したがって、問題の最初の部分は答えられました。

シーケンスを 7 番目のメンバーに復元するには、代数数列の定義、つまり、a 2 = a 1 + d、a 3 = a 2 + d などを使用する必要があります。 その結果、シーケンス全体が復元されます: a 1 = 6、a 2 = 6 + 2=8、a 3 = 8 + 2 = 10、a 4 = 10 + 2 = 12、a 5 = 12 + 2 = 14、a 6 = 14 + 2 = 16、a 7 = 18。

例 #3: 進行を行う

問題の状況をさらに複雑にしてみましょう。 次に、等差数列を見つける方法という質問に答える必要があります。 次の例が考えられます。2 つの数値、たとえば 4 と 5 が与えられています。これらの間にさらに 3 つの項が収まるように代数級数を作成する必要があります。

この問題を解決し始める前に、指定された数値が将来の進行においてどのような位置を占めるかを理解する必要があります。 それらの間にはさらに 3 つの項があるため、1 \u003d -4 と 5 \u003d 5 になります。これを確立したら、前のタスクと同様のタスクに進みます。 繰り返しますが、n番目の項については、次の式を使用します。a 5 \u003d a 1 + 4 * dが得られます。 から: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25。 ここでの差は整数値ではなく有理数であるため、代数級数の公式は同じままです。

次に、見つかった差異を 1 に追加し、進行の欠落しているメンバーを復元しましょう。 次の結果が得られます: a 1 = - 4、a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75、a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5、a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75、a 5 = 2.75 + 2.25 = 5。これは問題の条件と一致します。

例 #4: 進行の最初のメンバー

引き続き、解を伴う等差数列の例を示します。 これまでの問題では、代数級数の最初の数がわかっていました。 ここで、別のタイプの問題を考えてみましょう。15 = 50 と 43 = 37 という 2 つの数値が与えられたとします。このシーケンスがどの数値から始まるかを見つける必要があります。

これまで使用されてきた公式は、a 1 と d の知識を前提としています。 問題の状況では、これらの数値については何もわかっていません。 それでも、情報が得られている各項の式を書き出してみましょう: a 15 = a 1 + 14 * d および a 43 = a 1 + 42 * d。 2 つの未知の量 (a 1 と d) が含まれる 2 つの方程式が得られました。 これは、問題が連立一次方程式を解くことに帰着することを意味します。

各方程式で 1 ​​を表し、結果の式を比較すると、指定されたシステムを解くのが最も簡単になります。 最初の方程式: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; 2番目の方程式：a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d。 これらの式を等価すると、50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * dが得られ、差はd \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464になります（小数点以下3桁のみが与えられます）。

d がわかれば、 1 に対して上記の 2 つの式のいずれかを使用できます。 たとえば、最初: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496。

結果に疑問がある場合は、たとえば、条件で指定されている進行の 43 番目のメンバーを決定するなどして、結果を確認できます。 得られる値：a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008。 計算では 1000 分の 1 への四捨五入が使用されているため、小さな誤差が生じます。

例 #5: 合計

次に、等差数列の和の解を含むいくつかの例を見てみましょう。

次の形式の数列が与えられるとします: 1、2、3、4、...、。 これらの数値の 100 の合計を計算するにはどうすればよいでしょうか?

コンピュータ技術の発展のおかげで、この問題は解決できます。つまり、すべての数値を順番に加算することで、人が Enter キーを押すとすぐにコンピュータが実行します。 ただし、提示された一連の数値が代数級数であり、その差が 1 であることに注意すれば、この問題は頭で解決できます。和の公式を適用すると、S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050 となります。

興味深いのは、この問題が「ガウス」と呼ばれていることです。18 世紀初頭に、まだ 10 歳だった有名なドイツ人が、頭の中で数秒でこの問題を解くことができたからです。 少年は代数列の和の公式を知りませんでしたが、数列の端にある数値のペアを加算すると、常に 1 つの結果が得られます。つまり、1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... であり、これらの和はちょうど 50 (100 / 2) になるため、正しい答えを得るには 50 に 101 を掛けるだけで十分であることに気づきました。

例6: n から m までの項の合計

等差数列の合計のもう 1 つの典型的な例は次のとおりです。3、7、11、15 などの一連の数値が与えられた場合、8 から 14 までの項の合計がいくらになるかを見つける必要があります。

この問題は 2 つの方法で解決されます。 1 つ目は、8 から 14 までの未知の用語を見つけて、それらを順番に合計することです。 項が少ないため、この方法はそれほど手間がかかりません。 それにもかかわらず、より普遍的な 2 番目の方法によってこの問題を解決することが提案されています。

アイデアは、項 m と n の間の代数級数の和の公式を取得することです (n > m は整数)。 どちらの場合も、合計を求める 2 つの式を作成します。

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2。
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2。

n > m であるため、2 の和には最初の和が含まれることは明らかです。 最後の結論は、これらの合計の差を取り、それに項 a m を追加すると (差を取る場合、合計 S n から減算されます)、問題に対する必要な答えが得られることを意味します。 S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2)。 この式に a n と a m の式を代入する必要があります。 すると、S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2 が得られます。

結果として得られる式はやや複雑ですが、合計 S mn は n、m、a 1、および d のみに依存します。 この例では、a 1 = 3、d = 4、n = 14、m = 8 です。これらの数値を代入すると、S mn = 301 となります。

上記の解決策からわかるように、すべての問題は、n 番目の項の式と最初の項のセットの合計の公式の知識に基づいています。 これらの問題の解決を開始する前に、条件を注意深く読み、何を見つけたいのかを明確に理解してから、解決策に進むことをお勧めします。

もう 1 つのヒントは、単純さを追求することです。つまり、複雑な数学的計算を使用せずに質問に答えることができる場合は、この場合は間違いを犯す可能性が低いため、そのままにする必要があります。 たとえば、解番号 6 の等差数列の例では、式 S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m で停止し、一般的なタスクを個別のサブタスクに分割できます (この場合、最初に項 a n と a m を見つけます)。

得られた結果に疑問がある場合は、示された例のいくつかで行われたように、それを確認することをお勧めします。 等差数列の求め方、判明。 一度理解すれば、それほど難しいことではありません。

決断を始める前に 等差数列の問題等差数列は数列の特殊なケースであるため、数列とは何かを考えてみましょう。

数値シーケンスは数値セットであり、その各要素には独自の値があります。 シリアルナンバー 。 このセットの要素はシーケンスのメンバーと呼ばれます。 シーケンス要素の序数はインデックスによって示されます。

シーケンスの最初の要素。

シーケンスの 5 番目の要素。

- シーケンスの「n 番目」の要素、つまり 番号 n の「キューに並んでいる」要素。

シーケンス要素の値とその序数の間には依存関係があります。 したがって、シーケンスは、引数がシーケンスの要素の序数である関数と考えることができます。 言い換えれば、次のように言えます。 シーケンスは自然引数の関数です。

シーケンスは次の 3 つの方法で指定できます。

1 . 順序はテーブルを使用して指定できます。この場合、シーケンスの各メンバーの値を設定するだけです。

たとえば、ある人が個人的な時間管理を行うことに決め、まず、1週間にVKontakteに費やす時間を計算することにしました。 時間を表に書き込むと、7 つの要素で構成されるシーケンスが得られます。

テーブルの最初の行には曜日の数字が含まれ、2 行目には分単位の時間が含まれます。 つまり、月曜日には誰かがVKontakteに125分を費やし、木曜日には248分、金曜日にはわずか15分しか費やさなかったことがわかります。

2 . 順序は、n 番目のメンバー式を使用して指定できます。

この場合、シーケンス要素の値のその番号への依存性が式として直接表現されます。

たとえば、 の場合、

指定された番号を持つシーケンス要素の値を見つけるには、要素番号を n 番目のメンバーの式に代入します。

引数の値がわかっている場合に関数の値を見つける必要がある場合も、同じことを行います。 関数の方程式の代わりに引数の値を代入します。

たとえば、 、 それか

繰り返しになりますが、シーケンスでは、任意の数値関数とは対照的に、引数にできるのは自然数のみであることに注意してください。

3 。 シーケンスは、番号 n のシーケンスのメンバーの値の、前のメンバーの値への依存性を表す式を使用して指定できます。 この場合、シーケンス メンバーの値を見つけるには、その番号だけを知っているだけでは十分ではありません。 シーケンスの最初のメンバーまたは最初のいくつかのメンバーを指定する必要があります。

たとえば、次のシーケンスを考えてみましょう ,

シーケンスのメンバーの値を見つけることができます 順番通りに、3番目から:

つまり、シーケンスの n 番目のメンバーの値を見つけるたびに、前の 2 つに戻ります。 この順序付けの方法はと呼ばれます 再発する、ラテン語から 繰り返し- 戻ってくる。

これで等差数列を定義できるようになりました。 等差数列は、数値シーケンスの単純な特殊なケースです。

等差数列 は数値シーケンスと呼ばれ、2 番目から始まる各メンバーは前のメンバーと等しく、同じ番号が追加されます。

番号が呼ばれます 等差数列の違い。 等差数列の差は、正、負、またはゼロになります。

if title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} 増加する.

たとえば、2; 5; 8; 十一;...

の場合、等差数列の各項は前の項より小さく、数列は次のようになります。 衰退する.

たとえば、2; -1; -4; -7;...

の場合、進行のすべてのメンバーは同じ番号に等しく、進行は次のようになります。 定常.

たとえば、2;2;2;2;...

等差数列の主な特性:

写真を見てみましょう。

それがわかります

、そして同時に

これら 2 つの等式を追加すると、次のようになります。

.

方程式の両辺を 2 で割ります。

したがって、2 番目から始まる等差数列の各要素は、隣接する 2 つの要素の算術平均に等しくなります。

さらに、以来、

、そして同時に

、 それか

、 それゆえ

title="k>l で始まる等差数列の各メンバー">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

番目のメンバー式。

等差数列のメンバーについては、次の関係が成り立つことがわかります。

そして最後に

得た n項の公式。

重要！等差数列の任意の要素は、 と で表現できます。 最初の項と等差数列の違いがわかれば、その要素を見つけることができます。

等差数列の n 個の要素の合計。

任意の等差数列では、極値から等間隔にある項の和は互いに等しくなります。

n 個のメンバーを持つ等差数列を考えてみましょう。 この数列の n 要素の合計が に等しいとします。

数列の項を最初に数値の昇順に並べ、次に降順に並べます。

ペアリングしましょう:

各括弧内の合計は 、ペアの数は n です。

我々が得る：

それで、 等差数列の n 個の要素の合計は、次の式を使用して求めることができます。

検討 等差数列の問題を解く.

1 . 数列は、n 番目の項の式で与えられます。 . この数列が等差数列であることを証明してください。

シーケンスの 2 つの隣接するメンバーの差が同じ数に等しいことを証明しましょう。

シーケンスの 2 つの隣接するメンバーの差は、その数に依存せず、定数であることがわかりました。 したがって、定義上、このシーケンスは等差数列です。

2 . 等差数列 -31 を指定すると、 -27;...

a) 数列の 31 項を見つけます。

b) この数列に数字 41 が含まれているかどうかを判断します。

A)それがわかります。

進行のための n 項の式を書き留めてみましょう。

一般に

私たちの場合には 、 それが理由です

等差数列一連の数字 (数列のメンバー) に名前を付ける

後続の各項は、鋼鉄項によって前の項と異なります。これは鋼鉄項とも呼ばれます。 ステップまたは進行の違い.

したがって、数列のステップとその最初の項を設定すると、次の公式を使用してその要素を見つけることができます。

等差数列の性質

1) 2 番目の数値から始まる等差数列の各メンバーは、数列の前後のメンバーの算術平均です。

逆もまた真です。 数列の隣接する奇数 (偶数) 要素の算術平均がそれらの間にある要素と等しい場合、この数列は算術数列になります。 この主張により、シーケンスをチェックするのは非常に簡単になります。

また、等差数列の性質により、上記の式は次のように一般化できます。

これは、等号の右側に用語を書くと簡単に検証できます。

実際には、問題の計算を簡素化するためによく使用されます。

2) 等差数列の最初の n 個の要素の合計は、次の式で計算されます。

等差数列の和の公式をよく覚えておいてください。これは計算に不可欠であり、単純な生活の状況でも非常に一般的です。

3) 全体の合計ではなく、k 番目のメンバーから始まるシーケンスの一部を見つける必要がある場合は、次の合計の公式が役に立ちます。

4) k 番目の数から始まる等差数列の n 個の要素の合計を見つけることは実際的に興味深いです。 これを行うには、次の式を使用します

これで理論的な内容は終了し、実際によくある問題の解決に進みます。

例 1. 等差数列 4;7;... の 40 番目の項を見つけます。

解決：

状況に応じて、

進行ステップを定義する

よく知られている公式によれば、数列の第 40 項が求められます。

例2. 等差数列は、その 3 番目と 7 番目のメンバーによって与えられます。 数列の最初の項と 10 の合計を求めます。

解決：

数列の指定された要素を公式に従って書きます

2 番目の方程式から最初の方程式を減算し、その結果進行ステップを求めます。

見つかった値をいずれかの式に代入して、等差数列の最初の項を求めます。

数列の最初の 10 項の合計を計算します

複雑な計算を適用することなく、必要な値をすべて見つけることができました。

例 3. 等差数列は、分母とそのメンバーの 1 つによって与えられます。 数列の最初の項、50 から始まる 50 項の合計、および最初の 100 の合計を求めます。

解決：

数列の 100 番目の要素の式を書いてみましょう

そして最初のものを見つけてください

最初の項に基づいて、数列の 50 番目の項を見つけます。

進行部分の合計を求める

そして最初の100の合計

進行度の合計は 250 です。

例 4

次の場合に、等差数列のメンバーの数を求めます。

a3-a1=8、a2+a4=14、Sn=111。

解決：

最初の項と数列のステップで方程式を書き、定義します。

得られた値を合計の式に代入して、合計の項の数を決定します

単純化する

そして二次方程式を解きます

見つかった 2 つの値のうち、問題の状況に適しているのは数値 8 だけです。 したがって、数列の最初の 8 項の合計は 111 になります。

例5

方程式を解く

1+3+5+...+x=307。

解決策: この方程式は等差数列の合計です。 その最初の項を書き出して、進行の違いを見つけます

たとえば、シーケンス \(2\); \(5\); \(8\); \（十一\）; \(14\)… は、次の各要素が前の要素と 3 つ異なるため、等差数列です (前の要素から 3 を追加することで取得できます)。

この数列では、差 \(d\) は正であるため (\(3\) に等しい)、次の各項は前の項よりも大きくなります。 このような進行はと呼ばれます 増加する.

ただし、 \(d\) は負の数になることもあります。 例えば, 等差数列 \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)…進行の差 \(d\) はマイナス 6 に等しくなります。

この場合、次の各要素は前の要素よりも小さくなります。 これらの進行はと呼ばれます 減少する.

等差数列表記

進行は小さなラテン文字で示されます。

数列を形成する数字をそれと呼びます メンバー(または要素)。

それらは等差数列と同じ文字で表されますが、順番に要素番号に等しい数値インデックスが付けられます。

たとえば、等差数列 \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) は要素 \(a_1=2\) で構成されます。 \(a_2=5\); \(a_3=8\) など。

つまり、数列 \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) の場合、

等差数列で問題を解く

原則として、上記の情報は、等差数列に関するほぼすべての問題 (OGE で提供される問題を含む) を解決するのに十分です。

例 (OGE)。 等差数列は条件 \(b_1=7; d=4\) で与えられます。 \(b_5\) を見つけます。
解決：

答え： \(b_5=23\)

例 (OGE)。 等差数列の最初の 3 つの項は次のように与えられます: \(62; 49; 36…\) この数列の最初の負の項の値を求めます。
解決：

答え： \(-3\)

例 (OGE)。 等差数列のいくつかの連続する要素が与えられます: \(...5; x; 10; 12.5...\) 文字 \(x\) で示される要素の値を求めます。
解決：

答え： \(7,5\).

例 (OGE)。 与えられた等差数列 以下の条件: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) この数列の最初の 6 項の合計を求めます。
解決：

答え： \(S_6=9\)。

例 (OGE)。 等差数列では \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\)。 この進行の違いを見つけてください。
解決：

答え： \(d=7\)。

重要な等差数列の公式

ご覧のとおり、等差数列の問題の多くは、主要なことを理解するだけで解決できます。つまり、等差数列は数値の連鎖であり、この連鎖の次の各要素は、前の要素に同じ数値を加算することによって取得されます (数列の差)。

ただし、「額で」解決するのが非常に不便な状況が時々あります。 たとえば、最初の例で、5 番目の要素 \(b_5\) ではなく、386 番目の要素 \(b_(386)\) を見つける必要があると想像してください。 4 を \(385\) 回追加するとはどういうことですか? あるいは、最後から 2 番目の例で、最初の 73 個の要素の合計を見つける必要があると想像してください。 数えるのがめんどくさい…

したがって、このような場合は、「額の上で」解くのではなく、等差数列で導かれた特別な公式を使用します。 そして主なものは、数列の n 項の公式と最初の項の和 \(n\) の公式です。

\(n\) 番目のメンバーの式: \(a_n=a_1+(n-1)d\)、ここで \(a_1\) は数列の最初のメンバーです。
\(n\) – 必要な要素の番号。
\(a_n\) は、番号 \(n\) を持つ数列のメンバーです。

この公式を使用すると、最初と数列の違いだけを知っていれば、少なくとも 300 番目、さらには 100 万番目の要素をすばやく見つけることができます。

例。 等差数列は次の条件で与えられます: \(b_1=-159\); \(d=8,2\)。 \(b_(246)\) を見つけます。
解決：

答え： \(b_(246)=1850\)。

最初の n 項の合計の式は次のとおりです: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\)。

\(a_n\) は最後に合計された項です。

例 (OGE)。 等差数列は条件 \(a_n=3.4n-0.6\) で与えられます。 この数列の最初の \(25\) 項の合計を求めます。
解決：

答え： \(S_(25)=1090\)。

最初の項の合計 \(n\) については、別の式を得ることができます。 \(a_n\) の代わりに \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) を \(a_n=a_1+(n-1)d\) の式に置き換えるだけです。 我々が得る：

最初の n 項の合計の式は次のとおりです: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)

\(S_n\) – 最初の要素の必要な合計 \(n\)。
\(a_1\) は合計される最初の項です。
\(d\) – 進行の差。
\(n\) - 合計の要素の数。

例。 等差数列の最初の \(33\)-ex 項の和を求めます: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
解決：

答え： \(S_(33)=-231\)。

より複雑な等差数列問題

これで、ほぼすべての等差数列問題を解くために必要な情報がすべて揃いました。 公式を適用するだけでなく、少し考える必要がある問題を考えてこのトピックを終えましょう（数学ではこれは役立ちます☺）

例 (OGE)。 数列のすべての負の項の合計を求めます: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
解決：

答え： \(S_(65)=-630.5\)。

例 (OGE)。 等差数列は次の条件で与えられます: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\)。 \(26\) 番目から \(42\) 番目の要素までの合計を求めます。
解決：

答え： \(S=1683\)。

等差数列については、実際の有用性が低いため、この記事では考慮していない公式がさらにいくつかあります。 ただし、簡単に見つけることができます。