§ 2. Wyrażenia identyczne, tożsamość. Identyczna transformacja wyrażenia. Dowody tożsamości

Znajdźmy wartości wyrażeń 2(x - 1) 2x - 2 dla podanych wartości zmiennej x. Zapiszmy wyniki w tabeli:

Możemy dojść do wniosku, że wartości wyrażeń 2(x - 1) 2x - 2 dla każdej podanej wartości zmiennej x są sobie równe. Zgodnie z rozdzielnością mnożenia względem odejmowania, 2(x - 1) = 2x - 2. Dlatego dla dowolnej innej wartości zmiennej x wartość wyrażenia 2(x - 1) 2x - 2 będzie również sobie równi. Takie wyrażenia nazywane są identycznie równymi.

Na przykład wyrażenia 2x + 3x i 5x są synonimami, ponieważ dla każdej wartości zmiennej x wyrażenia te uzyskują te same wartości (wynika to z rozdzielnej właściwości mnożenia względem dodawania, ponieważ 2x + 3x = 5x).

Rozważmy teraz wyrażenia 3x + 2y i 5xy. Jeśli x = 1 i b = 1, wówczas odpowiednie wartości tych wyrażeń są sobie równe:

3x + 2y =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Można jednak określić wartości x i y, dla których wartości tych wyrażeń nie będą sobie równe. Na przykład, jeśli x = 2; y = 0, zatem

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

W rezultacie istnieją wartości zmiennych, dla których odpowiednie wartości wyrażeń 3x + 2y i 5xy nie są sobie równe. Dlatego wyrażenia 3x + 2y i 5xy nie są identyczne.

W oparciu o powyższe tożsamościami są w szczególności równości: 2(x - 1) = 2x - 2 i 2x + 3x = 5x.

Tożsamość to każda równość opisująca znane właściwości operacji na liczbach. Na przykład,

za + b = b + za; (a + b) + do = za + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Tożsamości obejmują następujące równości:

za + 0 = za; za ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; za ∙ 1 = za; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Jeśli połączymy podobne terminy w wyrażeniu -5x + 2x - 9, otrzymamy, że 5x + 2x - 9 = 7x - 9. W tym przypadku mówią, że wyrażenie 5x + 2x - 9 zostało zastąpione identycznym wyrażeniem 7x - 9.

Identyczne przekształcenia wyrażeń ze zmiennymi wykonujemy wykorzystując właściwości operacji na liczbach. W szczególności identyczne przekształcenia z nawiasami otwierającymi, konstruowanie podobnych terminów i tym podobne.

Identycznych przekształceń należy dokonać przy upraszczaniu wyrażenia, czyli zastępowaniu danego wyrażenia identycznie równym wyrażeniem, co powinno skrócić zapis.

Przykład 1. Uprość wyrażenie:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 X - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - A + 2 B + 3 B - A= 3a + 5b + 2.

Aby udowodnić, że równość jest tożsamością (innymi słowy, aby udowodnić identyczność, stosuje się identyczne przekształcenia wyrażeń).

Możesz potwierdzić tożsamość na jeden z następujących sposobów:

• wykonaj identyczne przekształcenia po jego lewej stronie, redukując go w ten sposób do postaci prawej strony;
• wykonaj identyczne przekształcenia po jego prawej stronie, redukując ją w ten sposób do postaci lewej strony;
• wykonać identyczne przekształcenia na obu jego częściach, podnosząc w ten sposób obie części do tych samych wyrażeń.

Przykład 2. Udowodnij tożsamość:

1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

R a s i z a n i .

1) Przekształć lewą stronę tej równości:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Za pomocą przekształceń tożsamościowych wyrażenie po lewej stronie równości zostało sprowadzone do postaci prawej strony i tym samym udowodniono, że ta równość jest tożsamością.

2) Przekształć prawą stronę tej równości:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10 a - 15 B - 14a + 35 B= 20b - 4a.

Za pomocą przekształceń tożsamościowych prawą stronę równości sprowadzono do postaci lewej, udowadniając w ten sposób, że ta równość jest tożsamością.

3) W takim przypadku wygodnie jest uprościć lewą i prawą stronę równości i porównać wyniki:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;

13(2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.

W wyniku identycznych przekształceń lewa i prawa strona równości zostały sprowadzone do tej samej postaci: 26x - 44. Zatem ta równość jest tożsamością.

Jakie wyrażenia nazywane są identycznymi? Podaj przykład identycznych wyrażeń. Jaki rodzaj równości nazywa się tożsamością? Podaj przykład tożsamości. Co nazywa się transformacją tożsamościową wyrażenia? Jak udowodnić tożsamość?

1. (Ustnie) Lub istnieją wyrażenia, które są identycznie równe:

1) 2a + a i 3a;

2) 7x + 6 i 6 + 7x;

3) x + x + x i x 3 ;

4) 2(x - 2) i 2x - 4;

5) m - n i n - m;

6) 2a ∙ p i 2p ∙ a?

1. Czy wyrażenia są jednakowo równe:

1) 7x - 2x i 5x;

2) 5a – 4 i 4 – 5a;

3) 4m + n i n + 4m;

4) a + a i a 2;

5) 3(a – 4) i 3a – 12;

6) 5m ∙ n i 5m + n?

1. (Ustnie) to równość tożsamości Lee:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7р - 1 = -1 + 7р;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

1. Otwórz nawias:

1. Otwórz nawias:

1. Połącz podobne terminy:

1. Wymień kilka wyrażeń identycznych z wyrażeniem 2a + 3a.
2. Uprość wyrażenie, korzystając z permutacji i łączników mnożenia:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4р ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

1. Uprość wyrażenie:

1) -2р ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

1. (Ustnie) Uprość wyrażenie:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a – 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

1. Połącz podobne terminy:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2р - 7) - 2(r - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

1. Otwórz nawiasy i połącz podobne terminy:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6 x + 0,4 (x - 20), jeśli x = 2,4;

2) 1,3(2a - 1) - 16,4, jeśli a = 10;

3) 1,2(m - 5) - 1,8(10 - m), jeśli m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, jeśli x = -1, y = 1.

1. Uprość wyrażenie i znajdź jego znaczenie:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4), jeśli x = -0,7;

2) 1,7(y - 11) - 16,3, jeśli b = 20;

3) 0,6(2a - 14) - 0,4(5a - 1), jeśli a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, jeśli m = 1,8; n = -0,9.

1. Udowodnij tożsamość:

1) -(2x - y)=y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) do - 2 = 5(c + 2) - 4(c + 3).

1. Udowodnij tożsamość:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

1. Długość jednego z boków trójkąta wynosi 1 cm, a długość każdego z dwóch pozostałych boków jest od niej o 2 cm większa. Zapisz obwód trójkąta jako wyrażenie i uprość wyrażenie.
2. Szerokość prostokąta wynosi x cm, a długość jest o 3 cm większa od szerokości. Zapisz obwód prostokąta jako wyrażenie i uprość wyrażenie.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4р - (3р - (2р - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a – b) – (4 a – 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

1. Otwórz nawiasy i uprość wyrażenie:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5 lat - (6 lat - (7 lat - (8 lat - 1)));

6) (2.1 a - 2.8 b) - (1a - 1b).

1. Udowodnij tożsamość:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) -(- 3p) - (-(8 - 5p)) = 2(4 - r);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

1. Udowodnij tożsamość:

1) 12a - ((8a - 16)) = -4(4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Udowodnić, że znaczenie wyrażenia

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) nie zależy od wartości zmiennej.

1. Udowodnić, że dla dowolnej wartości zmiennej wartość wyrażenia

a - (a - (5a + 2)) - 5(a - 8)

jest tą samą liczbą.

1. Udowodnić, że suma trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 6.
2. Udowodnij, że jeśli n jest liczbą naturalną, to wartość wyrażenia -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) jest liczbą parzystą.

Ćwiczenia do powtórzenia

1. Stop o masie 1,6 kg zawiera 15% miedzi. Ile kg miedzi zawiera ten stop?
2. Jaki procent stanowi liczba 20 z jej:

1) kwadrat;

1. Turysta chodził przez 2 godziny i jechał na rowerze przez 3 godziny. W sumie turysta pokonał 56 km. Znajdź prędkość, z jaką turysta jechał na rowerze, jeśli jest ona o 12 km/h większa od prędkości, z jaką szedł.

Ciekawe zadania dla leniwych uczniów

1. W mistrzostwach miasta w piłce nożnej bierze udział 11 drużyn. Każda drużyna gra jeden mecz przeciwko drugiej. Udowodnij, że w dowolnym momencie rozgrywek istnieje drużyna, która w tym momencie rozegrała parzystą liczbę meczów lub jeszcze żadnego nie rozegrała.

Zacznijmy mówić o tożsamościach, podamy definicję pojęcia, wprowadzimy oznaczenia i rozważymy przykłady tożsamości.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Czym jest tożsamość

Zacznijmy od zdefiniowania pojęcia tożsamości.

Definicja 1

Tożsamość to równość, która jest prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych. W rzeczywistości każda równość liczbowa jest tożsamością.

Analizując temat, możemy doprecyzować i uzupełnić tę definicję. Na przykład, jeśli przypomnimy sobie pojęcia dopuszczalnych wartości zmiennych i VA, wówczas definicję tożsamości można podać w następujący sposób.

Definicja 2

Tożsamość jest prawdziwą równością liczbową, a także równością, która będzie prawdziwa dla wszystkich dopuszczalnych wartości zmiennych wchodzących w jej skład.

Wszelkie wartości zmiennych przy ustalaniu tożsamości są omawiane w podręcznikach i podręcznikach matematyki dla klasy 7, ponieważ program nauczania dla siódmoklasistów obejmuje wykonywanie działań wyłącznie z pełnymi wyrażeniami (mono- i wielomianami). Mają sens dla dowolnych wartości zmiennych, które je zawierają.

Program dla klasy 8 został rozszerzony o uwzględnienie wyrażeń, które mają sens tylko dla wartości zmiennych z DL. W tym zakresie zmienia się definicja tożsamości. W rzeczywistości tożsamość staje się szczególnym przypadkiem równości, ponieważ nie każda równość jest tożsamością.

Znak tożsamości

Notacja równości zakłada obecność znaku równości „=”, od którego po prawej i lewej stronie znajdują się niektóre liczby lub wyrażenia. Znak tożsamości wygląda jak trzy równoległe linie „≡”. Nazywa się go również identycznym znakiem równości.

Zazwyczaj pisanie tożsamości nie różni się od pisania zwykłej równości. Znakiem tożsamości można podkreślić, że nie jest to zwykła równość, ale tożsamość.

Przykłady tożsamości

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 1

Równości numeryczne 2 ≡ 2 i - 3 ≡ - 3 to przykłady tożsamości. Zgodnie z definicją podaną powyżej, każda prawdziwa równość liczbowa jest z definicji tożsamością, a podane równości są prawdziwe. Można je również zapisać w następujący sposób 2 ≡ 2 i - 3 ≡ - 3 .

Przykład 2

Tożsamości mogą zawierać nie tylko liczby, ale także zmienne.

Przykład 3

Weźmy równość 3 (x + 1) = 3 x + 3. Ta równość jest prawdziwa dla dowolnej wartości zmiennej x. Fakt ten potwierdza właściwość rozdzielności mnożenia względem dodawania. Oznacza to, że podana równość jest tożsamością.

Przykład 4

Weźmy tożsamość y · (x - 1) ≡ (x - 1) · x: x · y 2: y . Rozważmy zakres dopuszczalnych wartości zmiennych x i y. Są to dowolne liczby z wyjątkiem zera.

Przykład 5

Weźmy równości x + 1 = x - 1, a + 2 b = b + 2 a I | x | = x. Istnieje wiele wartości zmiennych, dla których te równości nie są prawdziwe. Na przykład kiedy x = 2 równość x + 1 = x - 1 zamienia się w fałszywą równość 2 + 1 = 2 − 1 . I w ogóle równość x + 1 = x - 1 nie jest osiągane dla żadnej wartości zmiennej x.

W drugim przypadku równość za + 2 b = b + 2 a false w każdym przypadku, gdy zmienne a i b mają różne wartości. Weźmy a = 0 I b = 1 i otrzymujemy niepoprawną równość 0 + 2 1 = 1 + 2 0.

Równość, w której | x |- moduł zmiennej x również nie jest tożsamością, ponieważ nie jest to prawdą w przypadku ujemnych wartości x.

Oznacza to, że podane równości nie są tożsamościami.

Przykład 6

W matematyce stale mamy do czynienia z tożsamościami. Rejestrując czynności wykonywane na liczbach, pracujemy z tożsamościami. Tożsamości są zapisami właściwości potęg, właściwości pierwiastków i innych.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Słownik objaśniający języka rosyjskiego. S.I.Ozhegov, N.Yu.Shvedova.

tożsamość

A także TOŻSAMOŚĆ. -a, zob.

Kompletne podobieństwo, zbieg okoliczności. G. poglądy.

(tożsamość). W matematyce: równość obowiązująca dla dowolnych wartości liczbowych wielkości w niej zawartych. || przym. identyczne, -aya, -oe i identyczne, -aya, -oe (do 1 znaczenia). Identyczne wyrażenia algebraiczne. TAKŻE [nie mylić z kombinacją zaimka „to” i partykuły „taka sama”].

1. przysł. W ten sam sposób, tak jak ktokolwiek inny. Jesteś zmęczony, ja...

   unia. Tak samo jak również. Ty wyjeżdżasz, a bracie? - T.

cząstka. Wyraża nieufną lub negatywną, ironiczną postawę (proste). *T. Znalazłem mądrego faceta! On jest poetą. - Poeta t. (do mnie)!

Nowy słownik objaśniający języka rosyjskiego, T. F. Efremova.

tożsamość

1. Absolutny zbieg okoliczności z kimś lub czymś. zarówno w swej istocie, jak i w zewnętrznych znakach i przejawach.

   Dokładne dopasowanie czegoś. coś

Poślubić Równość obowiązująca dla wszystkich wartości liczbowych zawartych w niej liter (w matematyce).

Słownik encyklopedyczny, 1998

tożsamość

związek między przedmiotami (przedmiotami rzeczywistości, percepcji, myśli) uważanymi za „jeden i ten sam”; „ograniczający” przypadek relacji równości. W matematyce tożsamość to równanie, które jest spełnione w identyczny sposób, tj. obowiązuje dla wszelkich dopuszczalnych wartości zawartych w nim zmiennych.

Tożsamość

podstawowe pojęcia z zakresu logiki, filozofii i matematyki; używany w językach teorii naukowych do formułowania definiujących zależności, praw i twierdzeń. W matematyce T. ≈ jest równaniem spełnianym identycznie, to znaczy ważnym dla dowolnych dopuszczalnych wartości zawartych w nim zmiennych. Z logicznego punktu widzenia T. ≈ jest predykatem reprezentowanym wzorem x = y (czytaj: „x jest takie samo jak y”, „x jest takie samo jak y”), któremu odpowiada funkcja logiczna, prawdziwa gdy zmienne x i y oznaczają różne wystąpienia „tego samego” obiektu, w przeciwnym razie wartość false. Z filozoficznego (epistemologicznego) punktu widzenia T. jest relacją opartą na ideach lub sądach na temat tego, czym jest „ten sam” przedmiot rzeczywistości, percepcji i myśli. Logiczne i filozoficzne aspekty teorii uzupełniają się: pierwszy dostarcza formalnego modelu pojęcia teorii, drugi stanowi podstawę do stosowania tego modelu. W pierwszym aspekcie mieści się pojęcie „tego samego” przedmiotu, jednak znaczenie modelu formalnego nie zależy od treści tego pojęcia: procedur identyfikacyjnych i zależności wyników identyfikacji od warunków czy metod identyfikacji, od abstrakcje przyjęte w tym przypadku w sposób jawny lub dorozumiany są ignorowane. W drugim (filozoficznym) aspekcie rozważań podstawy stosowania modeli logicznych T. są związane ze sposobem identyfikacji obiektów, według jakich kryteriów i już zależą od punktu widzenia, od warunków i sposobów identyfikacji. Rozróżnienie pomiędzy logicznymi i filozoficznymi aspektami teorii powraca do dobrze znanego stanowiska, że ​​sąd o tożsamości przedmiotów i teoria jako pojęcia to nie to samo (zob. Platon, Soch., t. 2, Moskwa, 1970). , s. 36) . Należy jednak podkreślić niezależność i spójność tych aspektów: pojęcie T. wyczerpuje się w znaczeniu odpowiadającej mu funkcji logicznej; nie wywodzi się z rzeczywistej tożsamości przedmiotów, „nie jest z niej wydobywana”, lecz jest abstrakcją, uzupełnianą w „odpowiednich” warunkach doświadczenia lub, w teorii, poprzez założenia (hipotezy) o faktycznie dopuszczalnych identyfikacjach; jednocześnie, gdy spełnione jest podstawienie (patrz aksjomat 4 poniżej) w odpowiednim przedziale abstrakcji identyfikacji, „w” tym przedziale, rzeczywista T. obiektów pokrywa się dokładnie z T. w sensie logicznym. Znaczenie pojęcia teorii doprowadziło do potrzeby specjalnych teorii teorii, których najpowszechniejszym sposobem konstruowania jest aksjomatyczny. Jako aksjomaty można podać na przykład następujące (niekoniecznie wszystkie):

x = y É y = x,

x = y i y = z É x = z,

ZA (x) É (x = y É A (y)),

gdzie A (x) ≈ dowolny predykat zawierający x swobodnie i swobodnie dla y oraz A (x) i A (y) różnią się jedynie występowaniem (co najmniej jednym) zmiennych x i y.

Aksjomat 1 postuluje własność zwrotności T. W logice tradycyjnej uznawano go za jedyne prawo logiczne T., do którego zwykle dodawano aksjomaty 2 i 3 jako „postulaty nielogiczne” (w arytmetyce, algebrze, geometrii). Aksjomat 1 można uznać za epistemologicznie uzasadniony, gdyż jest to rodzaj logicznego wyrazu indywiduacji, na którym z kolei opiera się „dana” obiektów w doświadczeniu, możliwość ich rozpoznania: aby mówić o przedmiocie „jako dany”, trzeba go jakoś odizolować, odróżnić od innych obiektów, a w przyszłości nie mylić z nimi. W tym sensie T., bazując na aksjomacie 1, jest szczególną relacją „samotożsamości”, która łączy każdy przedmiot tylko ze sobą, a nie z żadnym innym przedmiotem.

Aksjomat 2 postuluje własność symetrii T. Stwierdza niezależność wyniku identyfikacji od porządku w parach identyfikowanych obiektów. Aksjomat ten ma również dobrze znane uzasadnienie w doświadczeniu. Na przykład kolejność odważników i towarów na skali jest inna od lewej do prawej dla kupującego i sprzedającego stojących naprzeciwko siebie, ale wynik – w tym przypadku równowaga – jest taki sam dla obu.

Aksjomaty 1 i 2 razem służą jako abstrakcyjny wyraz teorii nierozróżnialności, teorii, w której idea „tego samego” przedmiotu opiera się na faktach nieobserwowalności różnic i w istotny sposób zależy od kryteriów rozróżnialności, na środkach (instrumentach) odróżniających jeden przedmiot od drugiego, ostatecznie ≈ od abstrakcji nierozróżnialności. Ponieważ zależność od „progu rozróżnienia” jest w praktyce zasadniczo nieusuwalna, idea T spełniająca aksjomaty 1 i 2 jest jedynym naturalnym wynikiem, jaki można uzyskać w eksperymencie.

Aksjomat 3 postuluje przechodniość T. Stwierdza, że ​​superpozycja T. jest także T. i jest pierwszym nietrywialnym stwierdzeniem o tożsamości obiektów. Przechodniość T. jest albo „idealizacją doświadczenia” w warunkach „malejącej dokładności”, albo abstrakcją, która uzupełnia doświadczenie i „tworzy” nowe, różne od nierozróżnialności znaczenie T.: nierozróżnialność gwarantuje tylko T. w przedziale abstrakcji nierozróżnialności, a ta ostatnia nie, wiąże się ze spełnieniem Aksjomatu 3. Aksjomaty 1, 2 i 3 łącznie służą jako abstrakcyjny wyraz teorii T. jako równoważności.

Aksjomat 4 postuluje, że warunkiem koniecznym przekształcenia obiektów jest zbieżność ich cech. Z logicznego punktu widzenia aksjomat ten jest oczywisty: wszystkie jego atrybuty należą do „tego samego” przedmiotu. Ponieważ jednak idea „tego samego” nieuchronnie opiera się na pewnych założeniach lub abstrakcjach, aksjomat ten nie jest trywialny. Nie da się tego zweryfikować „w ogóle” – według wszelkich możliwych znaków, lecz jedynie w pewnych ustalonych odstępach abstrakcji identyfikacji lub nierozróżnialności. Dokładnie tak to jest stosowane w praktyce: obiekty porównuje się i identyfikuje nie według wszelkich możliwych cech, a jedynie według jakichś ≈ podstawowych (początkowych) cech teorii, w której chcą mieć pojęcie „tego samego” przedmiotu w oparciu o te cechy i aksjomat 4. W takich przypadkach schemat aksjomatów 4 zostaje zastąpiony skończoną listą jego aloform ≈ zgodnych z nim „znaczących” aksjomatów T. Na przykład w aksjomatycznej teorii mnogości aksjomaty Zermelo ≈ Frenkla ≈:

4.1 z Î x É (x = y É z Î y),

4,2 x Î z É (x = y y Î z),

określenie, pod warunkiem, że wszechświat zawiera tylko zbiory, przedziału abstrakcji identyfikacji zbiorów przez „przynależność do nich” i „własną przynależność”, z obowiązkowym dodaniem aksjomatów 1≈3, definiujących T. jako równoważność.

Wymienione powyżej aksjomaty 1≈4 należą do tzw. praw T. Z nich, korzystając z reguł logiki, można wyprowadzić wiele innych praw, nieznanych w logice przedmatematycznej. Rozróżnienie pomiędzy logicznymi i epistemologicznymi (filozoficznym) aspektami teorii nie ma znaczenia, dopóki mówimy o ogólnych abstrakcyjnych sformułowaniach praw teorii, jednak sprawa ulega istotnej zmianie, gdy prawa te zostaną użyte do opisu rzeczywistości. Definiując pojęcie „jednego i tego samego” przedmiotu, aksjomatyka teorii z konieczności wpływa na kształtowanie się wszechświata „w obrębie” odpowiedniej teorii aksjomatycznej.

Dosł.: Tarski A., Wprowadzenie do logiki i metodologii nauk dedukcyjnych, przeł. z języka angielskiego, M., 1948; Novoselov M., Tożsamość, w książce: Encyklopedia Filozoficzna, t. 5, M., 1970; przez niego, O niektórych koncepcjach teorii relacji, w książce: Cybernetyka i współczesna wiedza naukowa, M., 1976; Shreider Yu.A., Równość, podobieństwo, porządek, M., 1971; Kleene S.K., Logika matematyczna, przeł. z języka angielskiego, M., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, B., 1973.

M. M. Nowoselow.

Wikipedia

Tożsamość (matematyka)

Tożsamość(w matematyce) - równość obowiązująca dla całego zbioru wartości zmiennych w nim zawartych, na przykład:

itp. Czasami równość, która nie zawiera żadnych zmiennych, nazywana jest także tożsamością; np 25 = 625.

Identyczną równość, gdy chcą ją szczególnie podkreślić, oznacza się symbolem „ ≡ ”.

Tożsamość

Tożsamość, tożsamość- określenia niejednoznaczne.

• Tożsamość to równość obowiązująca dla całego zbioru wartości zawartych w niej zmiennych.
• Tożsamość to całkowita zbieżność właściwości przedmiotów.
• Tożsamość w fizyce to cecha obiektów, w której zastąpienie jednego z obiektów drugim nie powoduje zmiany stanu układu przy zachowaniu zadanych warunków.
• Prawo tożsamości jest jednym z praw logiki.
• Zasada tożsamości to zasada mechaniki kwantowej, zgodnie z którą stany układu cząstek, uzyskane od siebie poprzez przestawianie identycznych cząstek w miejscach, nie mogą być rozróżnione w żadnym eksperymencie, a stany takie należy uznać za jeden stan fizyczny .
• „Tożsamość i rzeczywistość” – książka E. Meyersona.

Tożsamość (filozofia)

Tożsamość- kategoria filozoficzna wyrażająca równość, identyczność przedmiotu, zjawiska samo w sobie lub równość kilku przedmiotów. Mówi się, że obiekty A i B są identyczne, takie same wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie właściwości. Oznacza to, że tożsamość jest nierozerwalnie związana z różnicą i ma charakter względny. Wszelka tożsamość rzeczy jest tymczasowa, przejściowa, lecz ich rozwój i zmiana są absolutne. W naukach ścisłych natomiast stosuje się pojęcie abstrakcyjne, czyli tożsamość wyabstrahowana z rozwoju rzeczy, zgodnie z prawem Leibniza, gdyż w procesie poznania idealizacja i upraszczanie rzeczywistości są możliwe i konieczne pod pewnymi warunkami. Logiczne prawo tożsamości formułowane jest z podobnymi ograniczeniami.

Tożsamość należy odróżnić od podobieństwa, podobieństwa i jedności.

Nazywamy podobne obiekty, które mają jedną lub więcej wspólnych właściwości; Im bardziej wspólne właściwości mają przedmioty, tym bardziej ich podobieństwo zbliża się do tożsamości. Dwa przedmioty uważa się za identyczne, jeśli ich cechy są całkowicie podobne.

Należy jednak pamiętać, że w świecie obiektywnym nie może być tożsamości, gdyż dwa przedmioty, niezależnie od tego, jak podobne są jakościowo, nadal różnią się liczbą i zajmowaną przestrzenią; możliwość tożsamości pojawia się dopiero tam, gdzie natura materialna zostaje wzniesiona do rangi duchowej.

Warunkiem koniecznym tożsamości jest jedność: gdzie nie ma jedności, nie może być tożsamości. Świat materialny, podzielny w nieskończoność, nie ma jedności; jedność przychodzi z życiem, szczególnie z życiem duchowym. O tożsamości organizmu mówimy w tym sensie, że jego pojedyncze życie trwa pomimo ciągłej zmiany cząstek tworzących organizm; gdzie jest życie, tam jest jedność, ale w prawdziwym znaczeniu tego słowa nie ma jeszcze tożsamości, gdyż życie przybiera i zanika, pozostając niezmiennym jedynie w idei.

To samo można powiedzieć o osobowości- najwyższy przejaw życia i świadomości; a w osobowości jedynie zakładamy tożsamość, ale w rzeczywistości jej nie ma, ponieważ sama treść osobowości stale się zmienia. Prawdziwa tożsamość jest możliwa tylko w myśleniu; poprawnie sformułowane pojęcie ma wieczną wartość niezależnie od warunków czasu i przestrzeni, w których jest myślane.

Leibniz w swoim principium indiscernibilium ustanowił pogląd, że nie mogą istnieć dwie rzeczy całkowicie podobne pod względem jakościowym i ilościowym, gdyż takie podobieństwo byłoby niczym innym jak tożsamością.

Filozofia tożsamości jest centralną ideą w twórczości Friedricha Schellinga.

Przykłady użycia słowa tożsamość w literaturze.

Na tym właśnie polega wielka psychologiczna zaleta zarówno starożytnego, jak i średniowiecznego nominalizmu, że całkowicie rozpuścił on prymitywne magiczne lub mistyczne tożsamość słowa z przedmiotem - zbyt solidne nawet dla typu, którego podstawą nie jest trzymanie się rzeczy, ale abstrahowanie idei i umieszczanie jej ponad rzeczami.

Ten tożsamość subiektywność i obiektywność i stanowi właśnie uniwersalność osiągniętą obecnie przez samoświadomość, wznoszącą się ponad obie strony, czyli partykularności, i rozpuszczającą je w sobie.

Na tym etapie skorelowane ze sobą samoświadome podmioty wzniosły się więc poprzez przeniesienie ich nierównej specyfiki indywidualności do świadomości ich prawdziwej uniwersalności – wolności tkwiącej w każdym z nich – i tym samym do kontemplacji pewnego tożsamości je ze sobą.

Półtora wieku później Inta, prapra-prawnuczka kobiety, której Sarp ustąpił miejsca na statku kosmicznym, zdumiona jej niewytłumaczalnym tożsamość z Vellą.

Ale kiedy się okazało, że przed śmiercią dobry pisarz Kamanin przeczytał rękopis KRASNOGOROWA i jednocześnie tego samego, którego kandydaturę omawiał okrutny fizyk Szerstniew na sekundę przed jego Szerstniewem, PODOBNA śmierć - wtedy: wiesz, coś już nie było dla mnie proste. Przypadkowo pojawił się zapach TOŻSAMOŚĆ!

Zasługą Kłossowskiego jest to, że pokazał, że te trzy formy łączą się już na zawsze, ale nie poprzez przemiany dialektyczne tożsamość przeciwieństwa, ale dzięki ich rozproszeniu na powierzchni rzeczy.

Klossowski rozwija w tych dziełach teorię znaku, znaczenia i nonsensu, a także daje głęboko oryginalną interpretację Nietzschejskiej idei wiecznego powtarzania, rozumianej jako ekscentryczna umiejętność afirmacji rozbieżności i dysjunkcji, nie pozostawiając miejsca na żadne z nich. tożsamość W obu tożsamość pokój lub tożsamość Bóg.

Podobnie jak w przypadku każdego innego rodzaju identyfikacji osoby na podstawie wyglądu, tak i w badaniu fotograficznym identyfikowanym obiektem jest zawsze konkretna osoba, tożsamość który jest zainstalowany.

Teraz z ucznia wyłonił się nauczyciel i przede wszystkim jako nauczyciel sprostał wielkiemu zadaniu pierwszego okresu studiów magisterskich, odnosząc zwycięstwo w walce o władzę i całkowitą tożsamość osoba i stanowisko.

Ale we wczesnych klasykach tak jest tożsamość myśliciel i to, co możliwe do pomyślenia, interpretowano jedynie intuicyjnie i tylko opisowo.

Dla Schellinga tożsamość Natura i Duch to naturalna zasada filozoficzna, która poprzedza wiedzę empiryczną i determinuje zrozumienie jej wyników.

Oparte na tym tożsamości minerałów i doszedł do wniosku, że ta szkocka formacja jest współczesna z najniższymi formacjami Wallis, ponieważ ilość dostępnych danych paleontologicznych jest zbyt mała, aby poprzeć lub obalić takie stanowisko.

Teraz to już nie początek ustępuje miejsca historyczności, ale sama tkanka historyczności ujawnia potrzebę początku, który byłby zarówno wewnętrzny, jak i zewnętrzny, jak jakiś hipotetyczny wierzchołek stożka, gdzie wszelkie różnice, wszelkie rozproszenie, wszelkie nieciągłości są skompresowane w jednym punkcie tożsamości, w ten bezcielesny obraz Tego samego, zdolnego jednak rozdzielić się i zamienić w Innego.

Wiadomo, że często zdarza się, że obiekt identyfikowany z pamięci nie posiada wystarczającej liczby zauważalnych cech, które pozwalałyby na jego identyfikację tożsamość.

Jest zatem jasne, że nie powinno być żadnych zasłon ani powstań w Moskwie przeciwko ludziom, którzy chcieli uciec przed Tatarami, w Rostowie przeciwko Tatarom, w Kostromie, Niżnym, Torzhoku przeciwko bojarom, wechach zwoływanych przez wszystkie dzwony , jeden po drugim tożsamość nazwy, które należy mylić z veches Nowogrodu i innych starych miast: Smoleńsk, Kijów, Połock, Rostów, gdzie mieszkańcy, według kronikarza, jak w Dumie gromadzili się na veches i, jak postanowili starsi, na przedmieściach zgodził się na.

to, przez co jedna rzecz jest absolutnie podobna do drugiej. Zrozumienie zwykle polega na włączeniu („identyfikacji”) nowej wiedzy do tego, co już wiemy. W tym sensie tożsamość jest formą wszelkiego zrozumienia. W syntezie wszelkiej wiedzy o wszechświecie, w jej redukcji do tożsamości, Meyerson widział ideał nauki: właśnie nauka powinna prowadzić do jednej formuły (reprezentowanej dziś przez formułę względności), z której można wyprowadzić wszystkie szczegółowe prawa nauki. Ideał ten jawi się bardziej filozoficznie niż naukowo, gdyż postęp naukowy prowadzi raczej do nieskończonego różnicowania metod nauki (specjalizacji), a jego bezpośrednim celem jest wieczna możliwość poznania nowych przedmiotów, a nie ujednolicenie metod (to dzieło unifikacji jest celowe refleksje nad nauką, epistemologia).

Doskonała definicja

Niekompletna definicja ↓

TOŻSAMOŚĆ

Koncepcja T. jest koncepcja główna. pojęcie filozofii, logiki i matematyki, zatem obejmuje wszelkie trudności związane z wyjaśnianiem i definiowaniem początkowych (podstawowych, fundamentalnych) pojęć nauki. W zespole pytań związanych z pojęciem T. na szczególną uwagę zasługują dwa: pytanie T. „... samo w sobie. Czy uznajemy, że istnieje, czy go nie rozpoznajemy?” (Platon, Phaed. 74 b; tłumaczenie rosyjskie. Soch., t. 2, 1970) i ​​kwestia T. rzeczy. (T. rzeczy wyraża się zwykle za pomocą symbolu „=”, który po raz pierwszy spotyka się u R. Recorda w jego „Osełce Witte”, L., 1557.) Pierwsze z tych pytań jest częścią pytania ontologiczne. status obiektów abstrakcyjnych (patrz na przykład Relacja, Uniwersalia), drugi ma niezależność. oznaczający. Bez względu na to, jak te kwestie są rozwiązywane w filozofii, dla logiki i matematyki ich rozwiązanie jest zawsze równoznaczne z rozwiązaniem kwestii zdefiniowania pojęcia T. Nietrudno jednak przekonać się, analizując którąkolwiek ze znanych definicji logicznych (matematycznych) T (zamiast sposobu jej uzasadnienia), że „idea T.” i w ten czy inny sposób pewna „koncepcja T”. – to nie to samo. Ideę T. poprzedza dowolna definicja pojęcia (predykatu) T., a także wprowadzone przez definicję pojęcie „rzeczy identycznych”. Wynika to z faktu, że wyrok w sprawie T. k.-l. obiektów zawsze zakłada, że ​​jakieś inne, pomocnicze, ale konieczne – i bynajmniej nie obce temu osądowi – identyfikacji zostały już dokonane (lub powinny zostać dokonane). Wiąże się to z problemem „dopuszczalnych identyfikacji” tej filozofii. analiza może służyć jako użyteczny warunek wstępny logiki i matematyki. analiza pojęcia T. Zasada indywiduacji. Zgodnie z filozofią t.zr. należy rozróżnić ontologiczne i epistemologiczne. i semantyczne problemy T. rzeczy. Problemem ontologicznym T. jest problem T. rzeczy „w sobie” lub w se – zgodnie z ich „sytuacją wewnętrzną” (G. Cantor). Jest ona ustalana i rozstrzygana w oparciu o zasadę indywiduacji (principium individuationis): każda rzecz we wszechświecie jest jednością. rzecz; dwie różne rzeczy, z których każda byłaby tym samym, co druga, nie istnieją. To „...zgodnie z zasadami indywiduacji, które wywodzą się z materii” akceptujemy, że „...każda samoistna rzecz, złożona z materii i formy, składa się z indywidualnej formy i indywidualnej materii” (Thomas Akwinata, cytowany w książce: „Anthology of World Philosophy”, t. 1, część 2, M., 1969, s. 847, 862). Zasada indywiduacji nie zawiera żadnej wskazówki, jak indywidualizować przedmioty wszechświata lub jak są one indywidualizowane „w sobie”, gdyż to już ma miejsce; postuluje jedynie abstrakcyjną możliwość takiej indywiduacji. I jest to naturalne, o ile rozumiemy to jako zasadę czysto ontologiczną. Pytanie, jak zindywidualizować obiekty wszechświata, ma już charakter epistemologiczny. pytanie. Ale w tym przypadku żadna możliwa indywidualizacja nie wyprowadza nas poza ten przedział abstrakcji, który definiuje wszechświat rozumowania (patrz Wszechświat). Chociaż zasada indywiduacji jest starożytną filozofią. stwierdzenie o świecie, jego odpowiedniki można znaleźć w (nowoczesnych) teoriach naukowych (matematycznych, fizycznych itp.). W tym względzie możemy nawiązać do idei punktów „istotnych” lub światowych (punktów przestrzennych w określonym momencie) w czterowymiarowym (abstrakcyjnym) „świecie Minkowskiego” i związanej z nią idei przestrzeni -czasowy model nauk fizycznych. rzeczywistości, która pozwala zindywidualizować każdy z jej obiektów, czy też na zasadzie Pauliego, czy wreszcie na hipotezie G. Cantora, że ​​dowolne dwa elementy dowolnego zbioru można od siebie odróżnić. Można nawet uznać, że zasada indywiduacji leży u podstaw całej literatury klasycznej. matematyka z jej – w pewnym sensie ontologicznym – „oczywistym” postulatem uporządkowanego (wielkościowo) kontinuum numerycznego. Zasada T. nie do odróżnienia. Przyjmując zasadę indywiduacji, niemniej jednak zarówno w codziennej praktyce, jak i w teorii, stale identyfikujemy różne przedmioty, tj. mówimy o różnych przedmiotach, jakby były jedną i tą samą rzeczą. Abstrakcję identyfikacji inności, która się pojawia, po raz pierwszy wyraźnie zauważył Leibniz w swojej słynnej zasadzie T. indiscernibles (Principium identitatis indiscernibilium). Pozorna sprzeczność pomiędzy zasadą indywiduacji a zasadą T. indiscernibles jest łatwa do wyjaśnienia. Sprzeczność powstaje tylko wtedy, gdy sądząc, że np. x i y są różnymi rzeczami, formułując zasadę T. indistinguishables, mamy na myśli ich absolutną, czyli ontologiczną, nierozróżnialność, a mianowicie, gdy uważa się, że nierozróżnialność x i y zakłada, że ​​x i y „same w sobie” są nierozróżnialne według żadnego kryterium. Jeśli jednak weźmiemy pod uwagę na przykład względną lub epistemologiczną nierozróżnialność x i y. ich nierozróżnialność „dla nas”, przynajmniej taką, z którą możemy się spotkać w wyniku praktycznie wykonalnego porównania x i y (więcej o tym w artykule Porównanie), wówczas nie pojawia się żadna sprzeczność. Jeśli rozróżnimy pojęcia „rzeczy”, czyli przedmiotu wszechświata „w sobie”, od „obiektu”, czyli przedmiotu wszechświata w poznaniu, w praktyce w odniesieniu do innych przedmiotów, to zgodność zasada T. nierozróżnialne, a zasada indywiduacji powinna oznaczać, że nie ma rzeczy identycznych, ale są identyczne przedmioty. Oczywiście z ontologicznym T. Z., wyrażona w zasadzie indywiduacji, T. wydaje się być abstrakcją, a zatem idealizacją. Niemniej jednak ma to obiektywne uzasadnienie w warunkach istnienia rzeczy: praktyka przekonuje nas, że istnieją sytuacje, w których „różne” rzeczy zachowują się jak „to samo”. W tym sensie zasada T. indiscernibles wyraża empirycznie potwierdzony, oparty na doświadczeniu fakt naszej abstrahującej działalności. Dlatego też „identyfikacji różnych rzeczy” według zasady Leibniza nie należy rozumieć jako uproszczenia lub zgrubienia rzeczywistości, która w ogólności nie odpowiada prawdziwemu porządkowi natury. Przedział abstrakcji identyfikacji. Nierozróżnialność obiektów identyfikowanych zgodnie z zasadą T. nierozróżnialnego można wyrazić operacyjnie – w ich „zachowaniu”, zinterpretować w kategoriach właściwości i ogólnie określić zbiorem pewnych poprawek. warunki nieodróżnialności. Ten zbiór warunków (funkcji lub predykatów), względem których s.-l. obiekty wszechświata są nie do odróżnienia, wyznacza przedział abstrakcji od identyfikacji tych obiektów. Zatem, jeśli właściwość A jest zdefiniowana na zbiorze obiektów i obiekt x ją posiada, to aby zidentyfikować x i y w przedziale abstrakcji określonym przez właściwość A, konieczne i wystarczające jest, aby przedmiot y posiadał także właściwość A, którą można symbolicznie przedstawić wyrażone następującym aksjomatem: A( x)?((x=y)?A(y)). Należy zwrócić uwagę, że w obecności „zbędnych” informacji o oczywistych (naturalnie „poza” danego przedziału abstrakcji) różnicach pomiędzy obiektami, ich identyfikacja „w” danym przedziale abstrakcji może wydawać się wręcz paradoksalna. Typowym przykładem z teorii mnogości jest paradoks Skolema. Jeśli spojrzeć „od wewnątrz” na przedział abstrakcji określony przez właściwość A, wówczas x i y są absolutnie tym samym obiektem, a nie dwoma obiektami, jak założono w powyższym rozumowaniu. Rzecz w tym, że wnioskowanie o dwóch, a więc różnych obiektach x, jest możliwe jedynie w pewnym metaprzedziale, co wskazuje także na możliwość indywidualizacji x i y. Oczywiście nierozróżnialność x i y jest tutaj równoznaczna z ich wymiennością w odniesieniu do właściwości A, ale oczywiście nie w odniesieniu do żadnej właściwości. W tym miejscu zwrócę uwagę na abstrakcję faktycznej odróżnialności, która wynika z zasady indywiduacji i wiąże się z taką interpretacją tej zasady, która sprowadza się do stwierdzenia o istnieniu warunków, w których indywiduacja zawsze zachodzi. wykonalne (np. , warunki, w których x i y nie będą już wymienne, co w naturalny sposób pozwoli nam mówić o ich indywidualności). W tym sensie zasada indywiduacji ma taki sam charakter jak tzw „czyste” postulaty istnienia w matematyce i można je uznać za abstrakcję indywidualizacji. Nie mówiąc już o matematyce „abstrakcyjnej”. obiektów, jest oczywiste, że dla „konkretnych” obiektów fizycznych. obiektów przyrody, nie zawsze w tej klasie można znaleźć lub jednoznacznie wskazać warunki indywidualizacji któregokolwiek z nich. w konstruktywnym sensie. Co więcej, zadanie ich znalezienia jest czasami zasadniczo niemożliwe, o czym świadczy na przykład zasada „niepodzielności stanów kwantowych” i wynikająca z niej niepewność, przepisana przez samą naturę, w naszym opisie „indywidualnego zachowania” cząstek elementarnych . Wzbogacenie. Przedział abstrakcji identyfikacji może być taki (ale nie tak szeroki, jak jest to pożądane), aby obejmował wszystkie (początkowe) pojęcia (funkcje lub predykaty) rozważanej teorii w konkretnym przypadku. Następnie mówią, że x = y dla dowolnego pojęcia A. W tym przypadku zarówno kwantyfikator „dla dowolnego”, jak i T. mają charakter względny - identyfikuje się je poprzez zbiór pojęć teorii. To z kolei jest ograniczone , przez sensowność tych pojęć (przedział znaczeniowy) w odniesieniu do obiektów uniwersum danej teorii. Na przykład predykat „czerwony” nie jest zdefiniowany na zbiorze liczb naturalnych i dlatego słowa „dla dowolnego predykatu” nie mogą się do niego odnosić, gdy mówimy o T w arytmetyce. Takie ograniczenia semantyczne zasadniczo zawsze mają miejsce w zastosowaniach teorii, co eliminuje sprzeczności związane z naruszeniem przedziału abstrakcji identyfikacji. Ponieważ w identyfikacji chodzi tylko o predykaty danej teorii, przedział abstrakcji identyfikacji jest stały. Obiekty wszechświata, nierozróżnialne pod względem każdego orzeczenia teorii, są absolutnie nierozróżnialne w danej abstrakcji przedziałowej i można je uważać za „ten sam” obiekt, co dokładnie odpowiada zwykłej interpretacji T. Jeśli ze względu na każdy taki predykat wszystkie obiekty wszechświata są nierozróżnialne, to ostatni w W tym przypadku będzie nam się wydawał zbiorem jednoczłonowym, choć w innym przedziale abstrakcji może takim nie być. Jeśli więc warunek A jest tautologią, to w domniemanym obszarze przedmiotowym wszystkie obiekty są identyczne w przedziale A. Innymi słowy, tautologie nie mogą służyć jako kryterium rozróżnialności obiektów, wydają się rzutować wszechświat na punkt, tworząc abstrakcję identyfikacji elementów zbioru dowolnej potęgi, „przekształcając” różne elementy w „ten sam” abstrakcyjny przedmiot. Nic więc dziwnego, że do aksjomatów „czystych” predykatów rachunku pierwszego stopnia można bez sprzeczności dodać wzór?xA(x)^/xA(x), wyrażający identyczność (lub absolutną nierozróżnialność ) wszystkich obiektów wszechświata. Najwyraźniej ta niezupełność czystego rachunku predykatów (logiki elementarnej) wynika właśnie z jego neoontologicznego charakteru.W stosowanych rachunkach logicznych, zwłaszcza w teorii mnogości, wychodząc ze sfery „czystej logiki”, zmuszeni jesteśmy – aby uniknąć paradoksy – ustalenie przedziału abstrakcji identyfikacji. W tych przypadkach T., ponieważ mówimy o identyfikacji tylko w danym systemie pojęć, można wprowadzić za pomocą skończonej listy aksjomatów T. dla określonych funkcji i predykatów rozważanej teorii. Ale postulując w ten sposób. pewnych identyfikacji, tworzymy niejako wszechświat zgodnie z zasadą T. indistinguishables. Oznacza to, że wszechświat w tym sensie jest epistemologiczny. pojęcie zależne od naszych abstrakcji. Pytanie o to, co uważa się za „ten sam” przedmiot, jaka jest liczba „różnych” jednostek w domenie podmiotowej (jaka jest siła domeny jednostek) jest w pewnym sensie pytaniem o to, w jaki sposób możemy zastosować nasze abstrakcje i jakie, a także jaki jest obiektywny obszar ich zastosowania. W szczególności zawsze chodzi o przedział abstrakcji. Dlatego z naszym t.z. wskazanie przedziału abstrakcji identyfikacji w definicji T. należy uznać za warunek konieczny sensownego zastosowania „pojęcia T”. Pojęcie „przedziału abstrakcji identyfikacji” ma charakter epistemologiczny. uzupełnienie koncepcji abstrakcji identyfikacji i w pewnym sensie (merytorycznym) jej doprecyzowanie. Ponadto wprowadzając pojęcie technologii w zakres abstrakcji, z łatwością osiągamy niezbędną ogólność w konstruowaniu teorii technologii, unikając zwykłego „mnożenia pojęć” związanego z rozróżnieniem pojęć „identyczny”, „podobny”, „ równy”, „równoważny” itp. W związku z powyższym definicja predykatu T. w sformułowaniu Hilberta-Bernaysa, dana, jak wiadomo, warunkami: 1) x=x 2) x=y? (A(x)? A(y)), można interpretować w ten sposób, że warunek 2) będzie wyrażał T. obiektów wszechświata w przedziale abstrakcji wyznaczonym przez zbiór aksjomatów określonych przez schemat aksjomatów 2). Jeśli chodzi o warunek 1), to wyrażając właściwość refleksyjności T., w pewnym sensie odpowiada on zasadzie indywiduacji. Przynajmniej jest oczywiste, że zasada indywiduacji nie oznacza zaprzeczenia warunku x = x, gdyż znajduje się pomiędzy zasadą indywiduacji a tradycją. zasadzie T. (streszczenie T. - lex identitatis), wyrażonej wzorem x = x, istnieje następujący określony „powiązanie znaczeniowe”: gdyby indywidualny przedmiot wszechświata nie był ze sobą identyczny, to nie byłby siebie, ale byłby to inny podmiot, co oczywiście prowadzi do zaprzeczenia zasadzie indywiduacji (por. Engels F.: „...tożsamość z samym sobą od samego początku ma jako niezbędny dodatek różnicę od wszystkiego innego „ – Marks K. i Engels F., Soch., wyd. 2, t. 20, s. 530). Zatem zasada indywiduacji zakłada stwierdzenie x = x, co jest jej warunkiem koniecznym – logiczną podstawą pojęcia jednostki. Wystarczy stwierdzić zgodność x = x z zasadą indywiduacji w porządku, bazując na zgodności 1) i 2), aby stwierdzić zgodność zasady indywiduacji z zasadą T. nierozróżnialnego, a biorąc pod uwagę uwzględnić niezależność 1) i 2), aby dojść do wniosku o niezależności tych samych zasad, przynajmniej w tym przypadku. Fakt, że zasada indywiduacji w sensie wskazanym powyżej odpowiada tradycji. Prawo T. (patrz Prawo tożsamości) jest szczególnie interesujące z punktu widzenia. problemy „realizacji” abstrakcyjnego T. w przyrodzie, a zatem. i ontologiczny. ogólny stan abstrakcji. Zasada T. nie do odróżnienia w podanej powyżej interpretacji - jako zasada T. w przedziale abstrakcji - wyraża zasadniczo filozoficzną ideę epistemologiczną T., opartą na koncepcji praktyki. Jeśli chodzi o matematykę, gdzie w ten czy inny sposób operują one predykatem T., pod warunkiem, że to samo można zastąpić identycznym (patrz Reguła zastępowania równego równym), to tutaj, przyjmując zasadę indywiduacji, tj. zakładając, że każdy matematyk. przedmiot we wszechświecie rozumowania jest indywidualny, najwyraźniej łatwo można uciec od decyzji epistemologicznej. problemy T., ponieważ w zdaniach matematycznych. teorie matematyki przedmioty pojawiają się nie „same w sobie”, ale poprzez swoich przedstawicieli – symbole, które je wyznaczają. Stąd możliwość konstrukcji zasadniczo ignorujących warunek indywidualności tych obiektów; Zatem dobrze znana konstrukcja korespondencji jeden do jednego między zbiorem liczb naturalnych a jego częścią - zbiorem wszystkich liczb parzystych (paradoks Galileusza) ignoruje niepowtarzalność każdej liczby naturalnej, zadowalając się T. jego przedstawiciele: w przeciwnym razie jak taka konstrukcja jest możliwa? W matematyce istnieje wiele podobnych konstrukcji. Matematyk zazwyczaj przypisuje następujące znaczenie stwierdzeniu „przedmiot x jest identyczny z przedmiotem y”: „symbole x i y oznaczają ten sam przedmiot” lub „symbol x oznacza ten sam przedmiot, który jest oznaczony symbolem y .” Jest oczywiste, że tak rozumiane T. odnosi się raczej do języka odpowiedniego rachunku różniczkowego (w ogóle do języka sformalizowanego) i wyraża w istocie przypadek synonimii językowej, a nie bynajmniej epistemologicznej filozoficznej. Znaczenie T. Charakterystyczne jest jednak, że i w tym przypadku nie da się uniknąć odniesienia. identyfikacja opiera się na zastosowaniu zasady abstrakcji, ponieważ synonimy powstają w wyniku abstrakcji identyfikacji przez oznaczenie (patrz Synonimy w logice). Ponadto przy interpretacji rachunku różniczkowego każda semantyczna definicja T. jako „relacji między wyrażeniami językowymi” musi zostać uzupełniona o wyjaśnienie czego? w tej semantyce w ujęciu T. słowa te oznaczają „jeden i ten sam przedmiot”. Pod tym względem sformułowanie zasady T., znanej jako Leibnizian-Russellian (patrz Równość w logice i matematyce), raczej nie odpowiada filozofii. t.zr. samego Leibniza. Wiadomo, że Leibniz przyjął zasadę indywiduacji: „Gdyby dwie osoby były całkowicie… nie do odróżnienia same w sobie, to… w tym przypadku nie byłoby żadnej różnicy indywidualnej ani różnych jednostek” („Nowe eksperymenty na ludzkim umyśle” , M.–L., 1936, s. 202). Wiadomo też, że każde nietrywialne użycie T., odpowiadające zasadzie T. nierozróżnialnego, zakłada, że ​​x i y są różnymi przedmiotami, które są jedynie względnie nierozróżnialne, nierozróżnialne w pewnym przedziale abstrakcji, wyznaczonym albo przez zdolność rozdzielcza naszych środków rozróżniania, czyli abstrakcja identyfikacji, którą akceptujemy, lub wreszcie dana przez samą naturę. Ale w ujęciu Russella obecność nieograniczona. kwantyfikator ogólności nad zmienną predykatu, nadający definicji charakter absolutny („absolutność” należy tu rozumieć jako antypod „względności” w znaczeniu wskazanym powyżej), narzuca ideę absolutu. nierozróżnialność x i y, co przeczy zasadzie indywiduacji, chociaż z definicji Russella wyprowadzono wzór x = x, co, jak zauważono powyżej, jest zgodne zarówno z zasadą T. indistinguishables, jak i zasadą indywiduacji. W świetle idei T., w przedziale abstrakcji, staje się jasna kolejna koncepcja epistemologiczna. rola zasady abstrakcji: jeśli w definicji T. predykat (nawet dowolny) charakteryzuje klasę abstrakcji obiektu x, a y jest elementem tej klasy, to tożsamość x i y, ze względu do zasady abstrakcji, nie implikuje, że x i y muszą być tym samym, tym samym podmiotem w ontologii. sens. Z tego punktu widzenia dwa obiekty wszechświata, należące do tej samej klasy abstrakcji, uważane są za „ten sam” obiekt nie w ujęciu ontologicznym, lecz epistemologicznym. sensie: są tożsami tylko z abstrakcyjnymi przedstawicielami tej samej klasy abstrakcji i tylko w tym sensie są nierozróżnialni. Na tym właśnie polega dialektyka pojęcia T. i odpowiedź na pytanie: „Jak różne przedmioty mogą być identyczne?” Oświetlony.: Zhegalkin I.I., Arytmetyka logiki symbolicznej, „Zbiór matematyczny”, 1929, t. 36, nr. 3–4; Yanovskaya S.?., O tzw. „definicjach poprzez abstrakcję”, w książce: Sob. artykuły z filozofii matematyki, M., 1936; Lazarev F.V., Droga od abstrakcji do konkretu, w książce: Sob. prace doktorantów i studentów Wydziału Filozofii Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego, M., 1962; Weil G., Dodatki, w: Stosowana matematyka kombinatoryczna, przeł. z języka angielskiego, M., 1968. M. Nowoselow. Moskwa.

Studiując algebrę, natrafialiśmy na pojęcia wielomianu (na przykład ($y-x$,$\ 2x^2-2x$ itd.) i ułamka algebraicznego (na przykład $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\\frac(x-y)(y-x)$ itd.) Podobieństwo tych pojęć polega na tym, że zarówno w wielomianach, jak i ułamkach algebraicznych występują zmienne i na wartościach liczbowych arytmetykę wykonuje się czynnościami: dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem, potęgowaniem.Różnica między tymi pojęciami polega na tym, że w wielomianach nie dokonuje się podziału przez zmienną, lecz w ułamkach algebraicznych można dokonać podziału przez zmienną.

Zarówno wielomiany, jak i ułamki algebraiczne nazywane są w matematyce racjonalnymi wyrażeniami algebraicznymi. Ale wielomiany są całkowitymi wyrażeniami wymiernymi, a ułamki algebraiczne są ułamkowymi wyrażeniami wymiernymi.

Z wyrażenia ułamkowo-wymiernego można uzyskać całe wyrażenie algebraiczne za pomocą transformacji tożsamości, która w tym przypadku będzie główną właściwością ułamka - redukcją ułamków. Sprawdźmy to w praktyce:

Przykład 1

Konwertuj:$\\frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Rozwiązanie: To ułamkowe równanie wymierne można przekształcić, korzystając z podstawowej właściwości redukcji ułamkowej, tj. podzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę lub wyrażenie inne niż $0$.

Ułamka tego nie można od razu zmniejszyć, licznik należy przekształcić.

Przekształćmy wyrażenie na licznik ułamka, w tym celu skorzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Ułamek wygląda

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\lewy(x-2\prawy)(x-2))(x-2)\]

Teraz widzimy, że licznik i mianownik mają wspólny dzielnik - jest to wyrażenie $x-2$, dzięki któremu zmniejszymy ułamek

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\lewy(x-2\prawy)(x-2))(x-2)=x-2\]

Po redukcji odkryliśmy, że pierwotne ułamkowe wyrażenie wymierne $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ stało się wielomianem $x-2$, tj. całkowicie racjonalne.

Zwróćmy teraz uwagę na fakt, że wyrażenia $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ i $x-2\ $ można uznać za identyczne nie dla wszystkich wartości zmiennej, ponieważ aby ułamkowe wyrażenie wymierne istniało i mogło być zredukowane przez wielomian $x-2$, mianownik ułamka nie może być równy $0$ (a także współczynnikowi, o który redukujemy. W tym przypadku na przykład mianownik i współczynnik są takie same, ale nie zawsze tak się dzieje).

Wartości zmiennej, przy której będzie istniał ułamek algebraiczny, nazywane są dopuszczalnymi wartościami zmiennej.

Postawmy warunek na mianowniku ułamka: $x-2≠0$, następnie $x≠2$.

Oznacza to, że wyrażenia $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ i $x-2$ są identyczne dla wszystkich wartości zmiennej z wyjątkiem $2$.

Definicja 1

Identycznie równe wyrażenia to takie, które są równe dla wszystkich prawidłowych wartości zmiennej.

Przekształceniem identycznym jest każde zastąpienie wyrażenia pierwotnego identycznym równym.Przekształcenia te polegają na wykonywaniu czynności: dodawania, odejmowania, mnożenia, wstawianiu wspólnego czynnika z nawiasu, sprowadzaniu ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika, redukowaniu ułamków algebraicznych, sprowadzaniu podobnych warunki itp. Należy wziąć pod uwagę, że szereg przekształceń, takich jak redukcja, redukcja podobnych wyrazów, może zmienić dopuszczalne wartości zmiennej.

Techniki stosowane do potwierdzania tożsamości

Przesuń lewą stronę tożsamości w prawą stronę lub odwrotnie, stosując transformacje tożsamości

Zredukuj obie strony do tego samego wyrażenia, używając identycznych przekształceń

Przenieś wyrażenia z jednej części wyrażenia do drugiej i udowodnij, że wynikowa różnica jest równa $0$

To, którą z powyższych technik zastosować w celu potwierdzenia danej tożsamości, zależy od tożsamości pierwotnej.

Przykład 2

Udowodnij tożsamość $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Rozwiązanie: Aby udowodnić tę tożsamość, stosujemy pierwszą z powyższych metod, a mianowicie będziemy przekształcać lewą stronę tożsamości, aż będzie równa prawej.

Rozważmy lewą stronę tożsamości: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - reprezentuje różnicę dwóch wielomianów. W tym przypadku pierwszym wielomianem jest kwadrat sumy trzech wyrazów. Aby podnieść do kwadratu sumę kilku wyrazów, używamy wzoru:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Aby to zrobić, musimy pomnożyć liczbę przez wielomian. Pamiętaj, że w tym celu musimy pomnożyć wspólny czynnik w nawiasach przez każdy wyraz wielomianu w nawiasach. Wtedy otrzymamy:

2 $(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Wróćmy teraz do pierwotnego wielomianu, będzie on miał postać:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Należy pamiętać, że przed nawiasem znajduje się znak „-”, co oznacza, że ​​​​po otwarciu nawiasów wszystkie znaki znajdujące się w nawiasach zmieniają się na przeciwne.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Przedstawmy podobne wyrazy, wówczas otrzymamy, że jednomiany $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ i $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ znoszą się wzajemnie, tj. ich suma wynosi 0 $.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Oznacza to, że w drodze identycznych przekształceń otrzymaliśmy identyczne wyrażenie po lewej stronie pierwotnej tożsamości

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Należy zauważyć, że powstałe wyrażenie pokazuje, że pierwotna tożsamość jest prawdziwa.

Należy pamiętać, że w pierwotnej tożsamości dozwolone są wszystkie wartości zmiennej, co oznacza, że ​​tożsamość udowodniliśmy za pomocą przekształceń tożsamościowych i jest ona prawdziwa dla wszystkich możliwych wartości zmiennej.