§ 2. Тъждествени изрази, тъждество. Трансформация на идентичност на израз. Доказателства за самоличност

Нека намерим стойностите на изразите 2(x - 1) 2x - 2 за дадените стойности на променливата x. Записваме резултатите в таблица:

Може да се заключи, че стойностите на изразите 2(x - 1) 2x - 2 за всяка дадена стойност на променливата x са равни една на друга. Съгласно разпределителното свойство на умножението по отношение на изваждането 2(x - 1) = 2x - 2. Следователно, за всяка друга стойност на променливата x, стойността на израза 2(x - 1) 2x - 2 също ще бъде равни един на друг. Такива изрази се наричат ​​тъждествено равни.

Например, изразите 2x + 3x и 5x са синоними, тъй като за всяка стойност на променливата x тези изрази придобиват еднакви стойности (това следва от разпределителното свойство на умножението по отношение на събирането, тъй като 2x + 3x \u003d 5x).

Помислете сега за изразите 3x + 2y и 5xy. Ако x \u003d 1 и b \u003d 1, тогава съответните стойности на тези изрази са равни една на друга:

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Можете обаче да посочите x и y стойности, за които стойностите на тези изрази няма да бъдат равни една на друга. Например, ако x = 2; y = 0, тогава

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Следователно има такива стойности на променливите, за които съответните стойности на изразите 3x + 2y и 5xy не са равни една на друга. Следователно изразите 3x + 2y и 5xy не са идентично равни.

Въз основа на горното, идентичностите, по-специално, са равенства: 2(x - 1) = 2x - 2 и 2x + 3x = 5x.

Идентичност е всяко равенство, което записва известни свойства на действията върху числата. Например,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Има и такива равенства като тъждества:

а + 0 = а; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

а + (-а) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Ако намалим подобни членове в израза -5x + 2x - 9, получаваме, че 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. В този случай те казват, че изразът 5x + 2x - 9 е заменен с израза 7x - 9, който е идентичен с него.

Идентичните трансформации на изрази с променливи се извършват чрез прилагане на свойствата на операциите с числа. По-специално, идентични трансформации с отваряне на скоби, конструиране на подобни термини и други подобни.

При опростяване на израза трябва да се извършат идентични трансформации, тоест заместване на израз с идентично равен на него израз, който трябва да бъде по-кратък.

Пример 1. Опростете израза:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 х - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5а - А + 2 b + 3 b - А= 3a + 5b + 2.

За да се докаже, че равенството е идентичност (с други думи, за да се докаже идентичност, се използват трансформации на идентичност на изрази.

Можете да докажете самоличността си по един от следните начини:

• извършват идентични трансформации на лявата му страна, като по този начин я намаляват до формата на дясната страна;
• извършват идентични трансформации на дясната му страна, като по този начин я намаляват до формата на лявата страна;
• извършва идентични трансформации на двете му части, като по този начин повдига и двете части до едни и същи изрази.

Пример 2. Докажете идентичността:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

развитие

1) Нека трансформираме лявата страна на това равенство:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - х- 5 - 11 = х - 16.

Чрез тъждествени трансформации изразът от лявата страна на равенството беше сведен до формата на дясната страна и по този начин се доказа, че това равенство е тъждество.

2) Нека трансформираме дясната страна на това равенство:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10а - 15 b - 14а + 35 b= 20b - 4a.

Чрез тъждествени преобразувания дясната страна на равенството се приведе до формата на лявата страна и по този начин се доказа, че това равенство е тъждество.

3) В този случай е удобно да се опростят както лявата, така и дясната част на равенството и да се сравнят резултатите:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Чрез идентични трансформации лявата и дясната част на равенството бяха приведени до еднакъв вид: 26x - 44. Следователно това равенство е тъждество.

Какви изрази се наричат ​​тъждествени? Дайте пример за еднакви изрази. Какво равенство се нарича идентичност? Дайте пример за идентичност. Какво се нарича трансформация на идентичност на израз? Как да докажа самоличност?

1. (Устно) Или има идентично равни изрази:

1) 2a + a и 3a;

2) 7x + 6 и 6 + 7x;

3) x + x + x и x 3;

4) 2(x - 2) и 2x - 4;

5) m - n и n - m;

6) 2a ∙ r и 2p ∙ a?

1. Тъждествено равни ли са изразите:

1) 7x - 2x и 5x;

2) 5а - 4 и 4 - 5а;

3) 4m + n и n + 4m;

4) a + a и a 2;

5) 3(a - 4) и 3a - 12;

6) 5m ∙ n и 5m + n?

1. (Устно) Е идентичността на равенството:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

1. отворена скоба:

1. отворена скоба:

1. Намаляване на подобни условия:

1. Назовете няколко израза, които са еднакви с изрази 2a + 3a.
2. Опростете израза, като използвате пермутиращите и конюнктивните свойства на умножението:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

1. Опростете израза:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

1. (Слова) Опростете израза:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

1. Намаляване на подобни условия:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9а) - (4 - 18а);

3) 3(2p - 7) - 2(g - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

1. Отворете скобите и съкратете подобни термини:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6x + 0,4(x - 20), ако x = 2,4;

2) 1,3 (2а - 1) - 16,4, ако а = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), ако m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, ако x = -1, y = 1.

1. Опростете израза и намерете неговата стойност:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), ако x = -0,7;

2) 1.7 (y - 11) - 16.3, ако v \u003d 20;

3) 0,6 (2а - 14) - 0,4 (5а - 1), ако а = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, ако m = 1,8; п = -0,9.

1. Докажете самоличността:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) s - 2 \u003d 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

1. Докажете самоличността:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

1. Дължината на една от страните на триъгълника е cm, а дължината на всяка от другите две страни е с 2 cm повече от нея. Запишете периметъра на триъгълника като израз и опростете израза.
2. Ширината на правоъгълника е x cm, а дължината е с 3 cm повече от ширината. Запишете периметъра на правоъгълника като израз и опростете израза.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - б) - (4 а - 33б);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

1. Разгънете скобите и опростете израза:

1) а - (а - (3а - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2.1 a - 2.8 b) - (1a - 1b).

1. Докажете самоличността:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

1. Докажете самоличността:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Докажете, че стойността на израза

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) не зависи от стойността на променливата.

1. Докажете, че за всяка стойност на променливата стойността на израза

а - (а - (5а + 2)) - 5 (а - 8)

е същото число.

1. Докажете, че сборът от три последователни четни числа се дели на 6.
2. Докажете, че ако n е естествено число, то стойността на израза -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) е четно число.

Упражнения за повторение

1. Сплав с тегло 1,6 kg съдържа 15% мед. Колко kg мед се съдържа в тази сплав?
2. Какъв процент е числото 20 от неговите:

1) квадрат;

1. Туристът вървял пеша 2 часа и карал велосипед 3 часа. Общо туристът е изминал 56 км. Намерете скоростта, с която туристът е карал велосипед, ако тя е с 12 km/h по-голяма от скоростта, с която е вървял.

Интересни задачи за мързеливи ученици

1. В градското първенство по футбол участват 11 отбора. Всеки отбор играе по една среща с останалите. Докажете, че във всеки момент от състезанието има отбор, който е изиграл четен брой мачове или все още не е изиграл нито един.

Нека започнем да говорим за идентичности, да дадем определение на понятието, да въведем нотация, да разгледаме примери за идентичности.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Какво е идентичност

Нека започнем с определението на понятието идентичност.

Определение 1

Идентичността е равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите. Всъщност идентичност е всяко числово равенство.

Тъй като темата е анализирана, можем да прецизираме и допълним това определение. Например, ако си припомним концепциите за допустими стойности на променливи и ODZ, тогава определението за идентичност може да бъде дадено по следния начин.

Определение 2

Идентичност- това е истинско числено равенство, както и равенство, което ще бъде вярно за всички валидни стойности на променливите, които са част от него.

Всякакви стойности на променливи при определяне на идентичността се обсъждат в ръководствата по математика и учебниците за 7 клас, тъй като училищната програма за седмокласници включва извършване на действия изключително с цели изрази (едно- и полиноми). Те имат смисъл за всякакви стойности на променливите, които са част от тях.

Програмата за 8 клас е разширена чрез разглеждане на изрази, които имат смисъл само за стойностите на променливи от DPV. В тази връзка дефиницията за идентичност също се променя. Всъщност идентичността се превръща в специален случай на равенство, тъй като не всяко равенство е идентичност.

Знак за самоличност

Записът за равенство предполага наличието на знак за равенство "=", от който вдясно и вляво са разположени някои числа или изрази. Идентификационният знак изглежда като три успоредни линии "≡". Нарича се още знак за идентично равенство.

Обикновено записът на идентичността не се различава от записа на обикновеното равенство. Знакът за идентичност може да се използва, за да се подчертае, че нямаме работа с просто равенство, а с идентичност.

Примери за самоличност

Нека се обърнем към примерите.

Пример 1

Числени равенства 2 ≡ 2 и - 3 ≡ - 3 са примери за идентичности. Съгласно дефиницията, дадена по-горе, всяко истинско числено равенство по дефиниция е тъждество и дадените равенства са верни. Те могат да бъдат написани и по следния начин 2 ≡ 2 и - 3 ≡ - 3 .

Пример 2

Идентичностите могат да съдържат не само числа, но и променливи.

Пример 3

Да вземем равенството 3 (x + 1) = 3 x + 3. Това равенство е вярно за всяка стойност на x. Този факт се потвърждава от разпределителното свойство на умножението по отношение на събирането. Това означава, че даденото равенство е тъждество.

Пример 4

Да вземем самоличността y (x − 1) ≡ (x − 1) x: x y 2: y .Нека разгледаме областта на приемливите стойности за променливите x и y. Това са всякакви числа, различни от нула.

Пример 5

Вземете равенствата x + 1 = x − 1 , a + 2 b = b + 2 a И | x | = х. Има редица променливи стойности, за които тези равенства не са верни. Например, когато х=2равенство x + 1 = x − 1се превръща в грешно уравнение 2 + 1 = 2 − 1 . Наистина равенство x + 1 = x − 1не се постига за никакви стойности на x.

Във втория случай равенството a + 2 b = b + 2 aе невярно във всеки случай, когато променливите a и b имат различни стойности. Да вземем а = 0И b = 1и получаваме грешно равенство 0 + 2 1 = 1 + 2 0.

равенство, което | x |- модулът на променливата x също не е идентичност, тъй като не е валиден за отрицателни стойности на x.

Това означава, че дадените равенства не са тъждества.

Пример 6

В математиката непрекъснато имаме работа с тъждества. Когато записваме действия, извършени върху числа, ние работим с идентичности. Тъждествата са записи на свойства на степени, свойства на корени и други.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Обяснителен речник на руския език. С. И. Ожегов, Н. Ю. Шведова.

идентичност

А и ИДЕНТИЧНОСТ. -а, вж.

Пълна прилика, съвпадение. Ж. възгледи.

(самоличност). В математиката: равенство, което е валидно за всякакви числени стойности на съставните му количества. || прил. идентичен, -th, -th и идентичен, -th, -th (до 1 стойност). Алгебрични изрази за идентичност. СЪЩО [не смесвайте с комбинация от местоимението "това" и частицата "същото"].

1. адв. По същия начин, както всеки друг. Ти си уморен, аз

   съюз. Същото като също. Тръгваш ли, братко? - T.

частица. Изразява недоверчиво или отрицателно, иронично отношение (просто). *T. намери се умник! Той е поет. - Поет другарю (на мен)!

Нов обяснителен и деривационен речник на руския език, Т. Ф. Ефремова.

идентичност

1. Абсолютно съвпадение с smth., smth. както по своята същност, така и по външни признаци и прояви.

   Точно съвпадение. нещо

вж. Равенство, което е валидно за всички числови стойности на буквите, включени в него (в математиката).

Енциклопедичен речник, 1998

идентичност

връзката между обекти (обекти на реалността, възприятие, мисъл), разглеждани като "едно и също"; „граничен“ случай на отношението на равенство. В математиката идентичността е уравнение, което е удовлетворено идентично, т.е. е валиден за всякакви допустими стойности на включените в него променливи.

Идентичност

основните концепции на логиката, философията и математиката; използвани в езиците на научните теории за формулиране на определящи отношения, закони и теореми. В математиката T. ≈ е уравнение, което е изпълнено идентично, тоест е валидно за всякакви допустими стойности на променливите, включени в него. От логическа гледна точка T. ≈ е предикат, представен от формулата x \u003d y (да се чете: "x е идентичен на y", "x е същият като y"), който съответства на логическа функция, която е true, когато променливите x и y означават различни срещания на „един и същ“ елемент, и false в противен случай. От философска (епистемологична) гледна точка Т. е отношение, основано на идеи или преценки за това какво е „един и същ“ обект на реалността, възприятието, мисълта. Логическите и философските аспекти на Т. са допълнителни: първият дава формален модел на концепцията за Т., вторият - основата за прилагането на този модел. Първият аспект включва понятието „един и същ“ субект, но значението на формалния модел не зависи от съдържанието на това понятие: процедурите на идентификации и зависимостта на резултатите от идентификациите от условията или методите на идентификации, на изрично или имплицитно приети абстракции се игнорират. Във втория (философски) аспект на разглеждане основанията за прилагане на логическите модели на Т. са свързани с това как се идентифицират обектите, с какви признаци и вече зависят от гледната точка, от условията и средствата за идентификация. Разграничението между логическите и философските аспекти на Т. се връща към добре познатата позиция, че преценката за идентичността на обектите и Т. като концепция не е едно и също нещо (виж Платон, Soch., том 2, М. ., 1970, стр. 36). От съществено значение е обаче да се подчертае независимостта и последователността на тези аспекти: понятието логика се изчерпва със значението на съответстващата му логическа функция; не се извежда от действителната идентичност на обектите, „не се извлича“ от нея, а е абстракция, допълвана при „подходящи“ условия на опит или, на теория, чрез предположения (хипотези) за действително допустими идентификации; в същото време, когато заместването (вижте аксиома 4 по-долу) е изпълнено в съответния интервал на абстракцията на идентификацията, "вътре" в този интервал, действителното Т. на обектите съвпада точно с Т. в логическия смисъл. Значението на концепцията за Т. доведе до необходимостта от специални теории за Т. Най-често срещаният начин за изграждане на тези теории е аксиоматичният. Като аксиоми можете да посочите например следното (не непременно всички):

x = y É y = x,

x = y & y = z É x = z,

A (x) É (x = y É A (y)),

където A (x) ≈ произволен предикат, съдържащ x свободно и свободно за y, и A (x) и A (y) се различават само по появяванията (поне едно) на променливите x и y.

Аксиома 1 постулира свойството рефлексивност на T. В традиционната логика се смяташе за единствения логически закон на T., към който обикновено (в аритметиката, алгебрата, геометрията) аксиоми 2 и Z се добавят като „нелогически постулати Аксиома 1 може да се счита за епистемологично обоснована, тъй като тя е вид логически израз на индивидуацията, на която от своя страна се основава „дадеността“ на обектите в опита, възможността за тяхното разпознаване: за да се говори за обект „както е даден“, е необходимо по някакъв начин да се отдели, да се разграничи от други обекти и в бъдеще да не се бърка с тях. В този смисъл Т., въз основа на аксиома 1, е специално отношение на „самоидентичност“, което свързва всеки обект само със себе си ≈ и с никакъв друг обект.

Аксиома 2 постулира свойството на симетрия T. Тя твърди независимостта на резултата от идентификацията от реда в двойки идентифицирани обекти. Тази аксиома също има известна обосновка в опита. Например, редът на тежестите и стоките на везната е различен, отляво надясно, за купувача и продавача един срещу друг, но резултатът - в този случай равновесието - е един и същ и за двамата.

Аксиоми 1 и 2 заедно служат като абстрактен израз на Т. като неразличимост, теория, в която идеята за „един и същ“ обект се основава на фактите за ненаблюдаемост на разликите и по същество зависи от критериите за различимост , върху средствата (устройствата), които разграничават един обект от друг , в крайна сметка ≈ от абстракцията на неразличимостта. Тъй като зависимостта от "прага на различимост" не може да бъде елиминирана по принцип на практика, идеята за температура, която удовлетворява аксиоми 1 и 2, е единственият естествен резултат, който може да бъде получен експериментално.

Аксиома 3 постулира транзитивността на T. Тя гласи, че суперпозицията на T. също е T. и е първото нетривиално твърдение за идентичността на обектите. Транзитивността на Т. е или „идеализация на опита“ при условия на „намаляваща точност“, или абстракция, която допълва опита и „създава“ ново, различно от неразличимостта, значение на Т.: неразличимостта гарантира само Т. в интервал на абстракция на неразличимост, като последното не е свързано с изпълнението на аксиома 3. Аксиоми 1, 2 и 3 заедно служат като абстрактен израз на теорията на Т. като еквивалентност.

Аксиома 4 постулира, че необходимо условие за типологията на обектите е съвпадението на техните характеристики. От логическа гледна точка тази аксиома е очевидна: „един и същ“ обект има всички свои характеристики. Но тъй като понятието „едно и също“ нещо неизбежно се основава на определени видове предположения или абстракции, тази аксиома не е тривиална. То не може да бъде проверено "въобще" - по всички мислими признаци, а само в определени фиксирани интервали от абстракции на идентификация или неразличимост. Точно така се използва на практика: обектите се сравняват и идентифицират не по всички мислими признаци, а само по някои - основните (изходните) признаци на теорията, в която искат да имат понятие за "едно и също" обект въз основа на тези знаци и на аксиома 4. В тези случаи схемата на аксиоми 4 се заменя с краен списък от нейните алоформи ≈ "смислени" аксиоми T, съответстващи на нея. Например в аксиоматичната теория на множествата на Zermelo ≈ Frenkel ≈ аксиоми:

4.1 z О x О (x = y О z О y),

4,2 x Î z É (x = y É y Î z),

дефиниране, при условие че вселената съдържа само множества, интервала на абстракция на идентификацията на множествата според тяхното „членуване в тях“ и според тяхното „собствено членство“, със задължително добавяне на аксиоми 1≈3, определящи Т. като еквивалентност.

Изброените по-горе аксиоми 1≈4 се отнасят до така наречените закони на Т. От тях, използвайки правилата на логиката, могат да се изведат много други закони, които са непознати в предматематическата логика. Разликата между логически и епистемологични (философски) аспекти на теорията е без значение, докато говорим за общи абстрактни формулировки на законите на теорията.Материята обаче се променя значително, когато тези закони се използват за описание на реалностите. Определяйки понятието „един и същ“ обект, аксиоматиката на теорията задължително влияе върху формирането на Вселената „вътре“ в съответната аксиоматична теория.

Лит .: Тарски А., Въведение в логиката и методологията на дедуктивните науки, прев. от англ., М., 1948; Новоселов М., Идентичност, в книгата: Философска енциклопедия, т. 5, М., 1970; негов, За някои концепции на теорията на отношенията, в книгата: Кибернетика и съвременното научно познание, М., 1976; Шрейдер Ю. А., Равенство, сходство, ред, М., 1971; Клини С. К., Математическа логика, прев. от английски, М., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, B., 1973.

М. М. Новоселов.

Уикипедия

Идентичност (математика)

Идентичност(в математиката) - равенство, което е изпълнено върху целия набор от стойности на променливите, включени в него, например:

и т.н. Понякога идентичност се нарича също равенство, което не съдържа никакви променливи; напр. 25 = 625.

Идентичното равенство, когато искат да го подчертаят особено, се обозначава със символа „ ≡ “.

Идентичност

Идентичност, идентичност- многозначни термини.

• Идентичността е равенство, което се отнася за целия набор от стойности на съставните му променливи.
• Идентичността е пълно съвпадение на свойствата на обектите.
• Идентичността във физиката е характеристика на обектите, при която замяната на един от обектите с друг не променя състоянието на системата при запазване на тези условия.
• Законът за тъждеството е един от законите на логиката.
• Принципът на идентичността е принципът на квантовата механика, според който състоянията на система от частици, получени една от друга чрез пренареждане на еднакви частици на места, не могат да бъдат разграничени в никакъв експеримент и такива състояния трябва да се разглеждат като едно физическо състояние .
• „Идентичност и реалност” – книга на Е. Майерсън.

Идентичност (философия)

Идентичност- философска категория, която изразява равенството, еднаквостта на обект, явление със себе си или равенството на няколко обекта. Казват, че обектите A и B са идентични, еднакви тогава и само ако всички свойства. Това означава, че идентичността е неразривно свързана с различието и е относителна. Всяка идентичност на нещата е временна, преходна, докато тяхното развитие, промяна е абсолютна. В точните науки обаче се използва абстрактно тъждество, т.е. абстрахирано от развитието на нещата, в съответствие със закона на Лайбниц, тъй като в процеса на познание идеализирането и опростяването на реалността са възможни и необходими при определени условия. Логическият закон за тъждеството също е формулиран с подобни ограничения.

Тъждеството трябва да се разграничава от сходството, сходството и единството.

Подобни наричаме обекти, които имат едно или повече общи свойства; колкото повече обекти имат общи свойства, толкова повече тяхната прилика се доближава до идентичността. Два обекта се считат за идентични, ако техните качества са абсолютно еднакви.

Трябва обаче да се помни, че в обективния свят не може да има идентичност, тъй като два обекта, колкото и сходни да са по качество, все още се различават по брой и пространство, което заемат; само там, където материалната природа се издига до духовност, се появява възможността за идентичност.

Необходимото условие за идентичност е единството: където няма единство, не може да има и идентичност. Материалният свят, делим до безкрайност, не притежава единство; единството идва с живота, особено с духовния живот. Ние говорим за идентичността на един организъм в смисъл, че неговият единствен живот продължава въпреки постоянната промяна на частиците, които изграждат организма; където има живот, има единство, но в истинския смисъл на думата все още няма идентичност, тъй като животът расте и угасва, оставайки непроменен само в идеята.

Същото може да се каже и за личности- най-висшата проява на живот и съзнание; и в личността ние само предполагаме идентичност, но в действителност няма такава, тъй като самото съдържание на личността непрекъснато се променя. Истинската идентичност е възможна само в мисленето; правилно формираната концепция има вечна стойност, независимо от условията на времето и пространството, в които е замислена.

Лайбниц, със своя principium indiscernibilium, установява идеята, че две неща не могат да съществуват, които са напълно сходни в качествени и количествени аспекти, тъй като подобно сходство не би било нищо друго освен идентичност.

Философията на идентичността е централната идея в творчеството на Фридрих Шелинг.

Примери за използване на думата идентичност в литературата.

Именно това е голямата психологическа заслуга както на античния, така и на средновековния номинализъм, че той напълно разтваря примитивното магическо или мистично идентичностдумите с обект са твърде задълбочени дори за тип, чиято основа не е да се вкопчва здраво в нещата, а да абстрахира идеята и да я постави над нещата.

Това идентичностсубективност и обективност и съставлява точно универсалността, постигната сега от самосъзнанието, което се издига над двете страни или особености, споменати по-горе, и ги разтваря в себе си.

На този етап самосъзнателните субекти, свързани помежду си, са се издигнали, следователно, чрез премахването на тяхната неравномерна уникалност на индивидуалността, до съзнанието за тяхната истинска универсалност - тяхната присъща свобода - и по този начин до съзерцанието на определена идентичностиги един с друг.

Век и половина по-късно Инта, пра-пра-правнучката на жената, на която Сарп е дал място в космическия кораб, изумена от нейните необясними идентичностс Вела.

Но когато се оказа, че преди смъртта си добрият писател Каманин е прочел ръкописа на КРАСНОГОРОВ, а в същото време същият, чиято кандидатура беше обсъдена от свирепия физик Шерстнев секунда преди неговата, ПОДОБНА смърт на Шерстнев, - тогава, знаете ли, мирише ми не просто на случайност, мирише ИДЕНТИЧНОСТ!

Заслугата на Клосовски е, че той показа, че тези три форми вече са свързани завинаги, но не поради диалектическа трансформация, а идентичностпротивоположности, а чрез тяхното разпръскване по повърхността на нещата.

В тези творби Клосовски развива теорията за знака, смисъла и безсмислието, а също така дава дълбоко оригинална интерпретация на идеята на Ницше за вечното завръщане, разбирано като ексцентрична способност да се утвърждават различията и разединенията, без да се оставя място за идентичностнито пък аз идентичностмир или идентичностБог.

Както при всеки друг вид идентификация на лице по външен вид, при фотопортретната експертиза идентифицираният обект във всички случаи е конкретно лице, идентичносткойто се монтира.

Сега от ученика се е появил учител и преди всичко, като учител, той се справи с голямата задача на първия период от магистърската си степен, като спечели борбата за авторитет и пълна идентичностлице и позиция.

Но в ранната класика го идентичностмисленето и мислимото се тълкува само интуитивно и само описателно.

За Шелинг идентичностПриродата и Духът е натурфилософски принцип, който предхожда емпиричното познание и определя разбирането на резултатите от последното.

Въз основа на това идентичностиминерални характеристики и се заключава, че тази шотландска формация е съвременна на най-ниските формации на Уолис, тъй като количеството налични палеонтологични данни е твърде малко, за да потвърди или отхвърли този вид позиция.

Сега вече не произходът дава място на историчността, а самата тъкан на историчността разкрива необходимостта от произход, който би бил едновременно вътрешен и външен, като някакъв хипотетичен връх на конус, където всички различия, цялото разпръскване, всичко прекъсванията се компресират в една точка. идентичности, в онзи безтелесен образ на Идентичното, способно обаче да се разцепва и превръща в Другия.

Известно е, че често има случаи, когато обектът, който трябва да бъде идентифициран по памет, няма достатъчен брой забележими характеристики, които биха позволили да бъде идентифициран. идентичност.

Следователно е ясно, че вече, или въстания, в Москва срещу хора, които искаха да избягат от татарите, в Ростов срещу татарите, в Кострома, Нижни, Торжок срещу болярите, вечета, свикани на всички камбани, не трябваше, един по един. идентичностимена, смесени с вечите на Новгород и други стари градове: Смоленск, Киев, Полоцк, Ростов, където жителите, според хрониста, се събрали като че ли на мисъл, за веча, и че старейшините решили, предградията се съгласили към това.

това, по което едно нещо е абсолютно подобно на друго. Разбирането обикновено включва подвеждане („идентифициране“) на нови знания под това, което вече знаем. В този смисъл идентичността е формата на всяко разбиране. Майерсън вижда в синтеза на цялото знание за Вселената, в тяхното свеждане до идентичност, идеала на науката: всъщност науката трябва да стигне като резултат до една формула (представена днес от формулата на относителността), от която можем извеждат всички частни закони на науката. Този идеал изглежда повече философски, отколкото научен, тъй като научният прогрес води по-скоро до безкрайно разнообразяване на методите на науката (специализация), а неговата непосредствена цел е вечната възможност за познаване на нови обекти, а не обединяването на методите (тази работа по обединяване е целеви размисли върху науката, епистемология).

Страхотна дефиниция

Непълна дефиниция ↓

ИДЕНТИЧНОСТ

Понятието Т. е осн. понятието философия, логика и математика, следователно включва всички трудности, свързани с изясняването и дефинирането на първоначалните (основни, фундаментални) понятия на науката. В комплекса от въпроси, свързани с понятието Т., два заслужават специално внимание: въпросът за Т. "... само по себе си. Признаваме ли, че съществува, или не го признаваме?" (Платон, Phaed. 74 b; руски превод на Soch., том 2, 1970) и въпросът за Т. на нещата. (Т. нещата обикновено се изразяват със символа "=", който се среща за първи път от Р. Рекорд в неговия "Брусовият камък на Витте", Л., 1557 г.) Първият от тези въпроси е част от въпроса за онтологията. статуса на абстрактните обекти (вижте например Отношение, Универсали), вторият е независим. значение. Както и да се решават тези въпроси във философията, за логиката и математиката тяхното решение винаги е еквивалентно на решението на въпроса за дефиницията на понятието Т.Т. и по някакъв начин дефинира "концепцията за Т." - не е едно и също нещо. Идеята за Т. предшества всяка дефиниция на понятието (предикат) на Т., както и понятието "идентични неща", въведено от определението. Това се дължи на факта, че присъдата на Т. до. обект винаги предполага, че някакви други, спомагателни, но необходими - в никакъв случай странични за това съждение - идентификации вече са били (или трябва да бъдат) изпълнени. Именно във връзка с проблема за "допустимите идентификации" филос. анализът може да служи като полезна предпоставка за логиката и математиката. анализ на концепцията на Т. Принципът на индивидуацията. В съответствие с философията t. sp. трябва да се прави разлика между онтологично, епистемологично. и семантичен. проблеми на т. неща. Онтологичният проблем на Т. е проблемът на Т. на нещата "сами по себе си" или в себе си - според тяхната "вътрешна ситуация" (Г. Кантор). Тя е поставена и решена въз основа на принципа на principium individuationis: всяко нещо във вселената е единство. нещо; две различни неща, всяко от които би било едно и също като другото, не съществуват. Това е „... в съответствие с принципите на индивидуацията, които произтичат от материята“, ние приемаме, че „... всяко самостоятелно съществуващо нещо, съставено от материя и форма, е съставено от индивидуална форма и индивидуална материя“ (Тома Аквински, цитиран от книгата .: "Антология на световната философия", том 1, част 2, М., 1969, стр. 847, 862). Принципът на индивидуацията не съдържа никакви указания за това как да се индивидуализират обектите на вселената или как те се индивидуализират "сами по себе си", тъй като това вече е така; той само постулира абстрактната възможност за такава индивидуализация. И това е естествено, стига да го разбираме като чисто онтологичен принцип. Въпросът как да се индивидуализират обектите на Вселената вече е епистемологичен. въпрос. Но в този случай никаква възможна индивидуализация не ни отвежда отвъд този интервал на абстракция, който определя вселената на разсъжденията (вижте Вселената). Въпреки че принципът на индивидуацията е древна философия. твърдение за света, негови аналози могат да бъдат намерени и в (съвременните) строго научни (математически, физически и др.) теории. В тази връзка можем да се позовем на идеята за "съществени", или световни, точки (пространствени точки в определен момент от време) в четириизмерния (абстрактния) "свят на Минковски" и свързаната с него идея за пространствено-времевия модел на физическото. реалност, което дава възможност за индивидуализиране на всеки от нейните обекти, или на принципа на Паули, или накрая на хипотезата на Г. Кантор, че всеки два елемента от произволно множество са различими един от друг. Може дори да се счита, че принципът на индивидуацията е в основата на цялата класика математиката с нейния - в известен смисъл онтологичен - "за даденост" постулат за подреден (по величина) числов континуум. Принципът на Т. неразличим. Приемайки принципа на индивидуацията, ние, въпреки това, както в ежедневната практика, така и в теорията, постоянно идентифицираме различни обекти, т.е. говорете за различни неща, сякаш са едно и също нещо. Произтичащата абстракция на идентификацията на различното е за първи път ясно отбелязана от Лайбниц в неговия прочут принцип на Т. неразличим (Principium identitatis indiscernibilium). Привидното противоречие между принципа на индивидуацията и принципа на Т. неразличим е лесно обяснимо. Противоречие възниква само когато, приемайки, че например x и y са различни неща, при формулирането на принципа на Т. на неразличимите те имат предвид тяхната абсолютна, или онтологична, неразличимост, а именно когато смятат, че неразличимостта на x и y предполага, че x и y "сами по себе си" са неразличими по никакъв начин. Но ако имаме предвид относителната, или епистемологична, неразличимост на x и y, например. тяхната неразличимост "за нас", поне тази, с която можем да се срещнем в резултат на практически осъществимо сравнение на x и y (вижте за това в чл. Сравнение), тогава не възниква противоречие. Ако правим разлика между понятията "нещо", или субект на вселената "сам по себе си", и "обект", или субект на вселената в познанието, на практика, по отношение на други обекти, тогава съвместимостта на принцип на Т. неразличими и принципът на индивидуализацията трябва да означава, че няма идентични неща, но има идентични обекти. Очевидно, с онтологичното T. sp., изразен в принципа на индивидуацията, T. се явява като абстракция и следователно идеализация. Въпреки това той има обективна основа в условията на съществуване на нещата: практиката ни убеждава, че има ситуации, в които „различни“ неща се държат като „едно и също“. В този смисъл принципът на теорията на неразличимите изразява емпирично потвърден, основан на опита факт на нашата абстрахираща дейност. Следователно „отъждествяването на различните” според принципа на Лайбниц не трябва да се разбира като опростяване или огрубяване на реалността, което най-общо казано не отговаря на истинския ред на природата. Интервал на абстракция на идентификация. Неразличимостта на обектите, идентифицирани според принципа на Т. неразличими, може да бъде изразена оперативно - в тяхното "поведение", тълкувано от гледна точка на свойства, като цяло определени от набор от определени корекции. условия на неразличимост. Този набор от условия (функции или предикати), свързани с k-rykh k.-l. обектите на вселената са неразличими, определя интервала на абстракция от идентификацията на тези обекти. Така че, ако свойството A е дефинирано върху множеството от обекти и обектът x го притежава, тогава за идентифициране на x и y в интервала на абстракция, определен от свойството A, е необходимо и достатъчно обектът y също да има свойството A, което може да бъде изразено символично чрез следната аксиома: A( x)?((x=y)?A(y)). Забележете, че при наличието на "излишна" информация за известното (естествено - "извън" дадения интервал на абстракция) различие на обекти, идентифицирането им "вътре" в дадения интервал на абстракция може дори да изглежда парадоксално. Типичен пример от теорията на множествата е парадоксът на Сколем. Ако погледнете "отвътре" интервала на абстракция, дефиниран от свойството A, тогава x и y са точно един и същ обект, а не два обекта, както се предполага в горното разсъждение. Факт е, че разсъждението за Т. на два и следователно различни х обекта е възможно само в определен метаинтервал, което също показва възможността за индивидуализация на х и у. Очевидно неразличимостта на x и y тук е еквивалентна на тяхната взаимозаменяемост по отношение на свойство A, но, разбира се, не по отношение на което и да е свойство. В тази връзка ще посоча абстракцията на действителната разграничимост, която произтича от принципа на индивидуацията и е свързана с такова тълкуване на този принцип, при което той се свежда до твърдението за съществуването на условия, при които индивидуализацията винаги е осъществимо (напр. , условия, при които x и y вече не са взаимозаменяеми, което естествено ни позволява да говорим за тяхната индивидуалност). В този смисъл принципът на индивидуацията има същия характер като т.нар. „чисти“ постулати за съществуване в математиката и може да се разглежда като абстракция на индивидуализацията. Да не говорим за "абстрактната" математика. обекти, очевидно е, че за "бетон" физ. обекти на природата, условията за индивидуализацията на който и да е от тях не винаги могат да бъдат открити или изрично посочени в с.-л. конструктивен смисъл. Освен това задачата за тяхното търсене понякога е фундаментално неизпълнима, както се вижда например от принципа на "неделимостта на квантовите състояния" и причинената от него несигурност, предписана от самата природа, в нашето описание на "индивидуалното поведение" на елементарни частици. Допълнение. Интервалът на абстракция на идентификацията може да бъде толкова (но не произволно) широк, че да включва всички (първоначални) концепции (функции или предикати) на теорията, разглеждана в този или онзи случай. Тогава те казват, че x = y за всяка концепция A. В този случай и кванторът "за всякаква" и T. имат относителен характер - те, което от своя страна е ограничено от смислеността на тези понятия (интервал от значение) в връзка с обектите на вселената на тази теория. Например, предикатът "червено" не е дефиниран върху множеството от естествени числа и следователно думите "за всеки предикат" не могат да се отнасят до него, когато говорим за Т. в аритметиката. Такива семантични ограничения всъщност винаги се срещат в приложенията на теорията и това елиминира противоречията, свързани с нарушаването на интервала на идентификационната абстракция. Тъй като в идентификациите се имат предвид само предикатите на дадената теория, интервалът на абстракция на идентификацията е фиксиран. Обектите на Вселената, които са неразличими по отношение на всеки предикат на теорията, са абсолютно неразличими в даден интервал-абстракция и могат да се разглеждат като "един и същ" обект, което точно отговаря на обичайната интерпретация на Т. Ако по отношение на всеки такъв предикат всички обекти на вселената са неразличими, тогава последният в този случай ще ни изглежда като едночленна колекция, въпреки че в друг интервал на абстракция може да не е такъв. Така че, ако условие A е тавтология, тогава в подразбиращата се предметна област всички обекти са идентични в интервала A. С други думи, тавтологиите не могат да служат като критерий за разграничаване на обекти, те изглежда проектират вселената в точка, създаване на абстракция на идентифицирането на елементи от набор от всякаква мощност, "трансформиране" на различни елементи в "един и същ" абстрактен обект. Следователно не е изненадващо, че човек може без противоречие да добави формулата Очевидно тази непълнота на чистото смятане на предикатите (елементарната логика) се дължи именно на неговия неонтологичен характер. В тези случаи теорията, тъй като говорим за идентификации само в дадена система от понятия, може да бъде въведена чрез краен списък от аксиоми на теорията за конкретни функции и предикати на разглежданата теория. Но постулирайки така определени идентификации, ние, така да се каже, формираме вселената в съответствие с принципа на Т. неразличими. Така че вселената в този смисъл е епистемологична. концепция, зависима от нашите абстракции. Въпросът какво се счита за „един и същ“ обект, какъв е броят на „различните“ индивиди в домейна (каква е силата на домейна от индивиди), в известен смисъл е въпросът как прилагаме нашите абстракции и кои, както и каква е обективната област на тяхната приложимост. По-специално, винаги става въпрос за интервала на абстракция. Ето защо с нашата t.sp. посочване на интервала на абстракция на идентификация в дефиницията на Т. трябва да се счита за необходимо условие за смисленото прилагане на "концепцията за Т.". Концепцията за „идентификация на интервална абстракция“ е епистемологична. допълнение към концепцията за абстракция на идентификацията и в определен смисъл (смислено) нейното усъвършенстване. Освен това, чрез въвеждане на концепцията за Т. в интервала на абстракцията, ние лесно постигаме необходимата обобщеност в изграждането на теорията на Т., избягвайки обичайното „умножение на понятия“, свързано с разграничението между термините „идентични“ , "подобен", "равен", "еквивалентен" и т.н. Във връзка с гореизложеното, дефиницията на предиката Т. във формулировката на Хилберт-Бернайс, дадена, както знаете, от условията: 1) x= x 2) x=y? (A(x)? A(y)), може да се тълкува по такъв начин, че условие 2) ще изрази T. на обектите на Вселената в интервала на абстракция, определен от набора от аксиоми, дадени от схемата на аксиомите 2). Що се отнася до условие 1), изразяващо рефлексивното свойство на една теория, то съответства в определен смисъл на принципа на индивидуацията. Най-малкото е очевидно, че отричането на условието x=x не следва от принципа на индивидуацията, тъй като между принципа на индивидуацията и традициите. принципът на Т. (абстрактно Т. - lex identitatis), изразен с формулата x = x, има следната определена "смислова връзка": ако индивидуалният обект на вселената не беше идентичен със себе си, тогава той не би бъде себе си, но би бил друг субект, което, разбира се, води до отричане на принципа на индивидуацията (срв. Енгелс Ф.: „... идентичността със себе си от самото начало има своето необходимо допълнение, разлика от всичко друго" - Маркс К. и Енгелс Ф., Съч., 2-ро изд., том 20, стр. 530). По този начин принципът на индивидуацията предполага твърдението х = х, което е необходимото му условие - логическата основа на концепцията за индивида. Достатъчно е да се посочи съвместимостта на x=x с принципа на индивидуацията, за да се основава на съвместимостта на 1) и 2), за да се потвърди съвместимостта на принципа на индивидуацията с принципа на Т. неразличим и като се вземе предвид вземете предвид независимостта на 1) и 2), за да стигнете до заключението за независимостта на същите тези принципи, поне в този случай. Фактът, че принципът на индивидуализацията в смисъла, отбелязан по-горе, съответства на традиционния. закон Т. (виж. Закон за идентичността), представлява особен интерес с т. сп. проблеми на "реализируемостта" на абстрактната Т. в природата, което означава. и онтологичен. състояние на абстракциите като цяло. Принципът на Т. неразличим в неговата интерпретация, който е даден по-горе - като принцип на Т. в интервала на абстракция - по същество изразява философската епистемологична идея на Т., основана на концепцията за практиката. Що се отнася до математиката, където по един или друг начин оперират с предиката Т., с условието, че идентичното може да бъде заменено с идентично (виж Правилото за замяна на равно с равно), тогава тук, приемайки принципа на индивидуация, т.е. ако приемем, че всеки мат. обектът във вселената на разсъжденията е индивидуален, очевидно е лесно да се измъкнем от епистемологичното решение. проблеми на Т., защото в изреченията на мат. теории на математиката. обектите се появяват не "сами по себе си", а чрез своите представители - символи, които ги обозначават. Оттук и възможността за конструкции, които по същество игнорират условието за индивидуалност на тези обекти; И така, добре познатата конструкция на взаимно еднозначно съответствие между множеството от естествени числа и неговата част - множеството от всички четни числа (парадоксът на Галилей) игнорира уникалността на всяко естествено число, задоволявайки се с Т. на негови представители: иначе как е възможна посочената конструкция? В математиката има много подобни конструкции. На твърдението „обект x е идентичен на обект y“ математикът обикновено приписва следното значение: „символите x и y означават един и същ обект“ или „символът x означава същия обект, който се обозначава със символа y". Очевидно е, че така разбираният Т. се отнася по-скоро до езика на съответното смятане (като цяло до формализиран език) и изразява по същество случай на езикова синонимия, а не изобщо на философска епистемологична. значението на Т. Характерно е обаче, че и в този случай не е възможно да се избегне препращането. идентификация, основана на прилагането на принципа на абстракцията, тъй като синонимите възникват в резултат на абстракцията на идентификацията чрез обозначение (вж. Синоними в логиката). Освен това, когато се тълкува смятането, всяка подобна семантична дефиниция на T. като „отношения между изрази на даден език“ трябва да бъде допълнена с обяснение на какво? в тази семантика формулировката Т. означава думите "една и съща тема." В това отношение формулировката на принципа на Т., известен като Лайбниц-Ръсел (виж Равенството в логиката и математиката), едва ли съответства на философията. t. sp. Самият Лайбниц. Известно е, че Лайбниц приема принципа на индивидуацията: „Ако два индивида бяха напълно ... неразличими сами по себе си, тогава ... в този случай нямаше да има индивидуална разлика или различни индивиди“ („Нови експерименти върху човешкия ум“ , М .–Л., 1936, с. 202). Известно е също, че всяко нетривиално използване на Т., съответстващо на принципа на Т. неразличимо, предполага, че x и y са различни обекти, които са само относително неразличими, неразличими в определен интервал на абстракция, определен или от разрешаване на нашите средства за разграничение или абстракция на идентификация, приета от нас, или накрая, дадена от самата природа. Но във формулировката на Ръсел присъствието на неограничено кванторът на общността по отношение на предикатната променлива, придавайки на дефиницията абсолютен характер („абсолютен“ тук трябва да се разбира като противоположност на „относителност“ в горния смисъл), налага идеята за абс. неразличимост на x и y, което противоречи на принципа на индивидуацията, въпреки че формулата x = x е изведена от определението на Ръсел, което, както беше отбелязано по-горе, е съвместимо както с принципа на Т. неразличимост, така и с принципа на индивидуацията. В светлината на идеята за Т. в интервала на абстракцията се изяснява още един епистемологичен. ролята на принципа на абстракция: ако в дефиницията на Т. предикатът (дори и произволен) характеризира абстракционния клас на обекта x, а y е елемент от този клас, тогава идентичността на x и y, по силата на принципът на абстракцията не предполага, че x и y трябва да бъдат един и същ, един и същи субект в онтологията. смисъл. От тази гледна точка два обекта на вселената, принадлежащи към един и същи клас на абстракция, се разглеждат като „един и същ“ обект не в онтологичното, а в епистемологичното. смисъл: те са идентични само като абстрактни представители на един клас абстракция и само в този смисъл те са неразличими. Това всъщност е диалектиката на понятието Т., както и отговорът на въпроса: "Как различните обекти могат да бъдат идентични?". Лит.:Жегалкин И. И., Аритметизация на символната логика, "Мат. сб.", 1929, т. 36, бр. 3–4; Яновская С. ?., За така наречените "дефиниции чрез абстракция", в книгата: сб. статии по философия на математиката, М., 1936; Лазарев Ф.В., Възход от абстрактното към конкретното, в книгата: Сб. трудове на аспиранти и студенти от философския факултет на Московския държавен университет, М., 1962 г.; Weil G., Допълнения, в: Приложна комбинаторна математика, прев. от английски, М., 1968. М. Новоселов. Москва.

В хода на изучаване на алгебра се натъкнахме на концепциите за полином (например ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ и т.н.) и алгебрична дроб (например $\frac(x+5)(x )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ и т.н.) Приликата на тези понятия е, че както в полиномите, така и в алгебричните дроби има променливи и числови стойности, аритметични действия: събиране, изваждане, умножение, степенуване. Разликата между тези понятия е, че при полиномите не се извършва деление по променлива, а при алгебричните дроби може да се извърши деление по променлива.

Както полиномите, така и алгебричните дроби се наричат ​​рационални алгебрични изрази в математиката. Но полиномите са цели рационални изрази, а алгебричните дробни изрази са дробно рационални изрази.

Възможно е да се получи цял алгебричен израз от дробно-рационален израз, като се използва идентичното преобразуване, което в този случай ще бъде основното свойство на дроб - намаляване на дроби. Нека да го проверим на практика:

Пример 1

Трансформиране:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Решение:Това дробно-рационално уравнение може да бъде преобразувано чрез използване на основното свойство на дробното съкращаване, т.е. деление на числителя и знаменателя на едно и също число или израз, различен от $0$.

Тази дроб не може да бъде намалена веднага, необходимо е да се преобразува числителят.

Преобразуваме израза в числителя на дробта, като за това използваме формулата за квадрат на разликата: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Дробта има формата

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]

Сега виждаме, че има общ множител в числителя и знаменателя - това е изразът $x-2$, върху който ще намалим дробта

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

След редукция получихме, че първоначалният дробно-рационален израз $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ се е превърнал в полином $x-2$, т.е. изцяло рационално.

Сега нека обърнем внимание на факта, че изразите $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ и $x-2\ $ могат да се считат за идентични не за всички стойности на променливата, т.к. за да съществува дробно-рационален израз и да е възможно редуцирането с многочлена $x-2$, знаменателят на дробта не трябва да е равен на $0$ (както и коефициентът, с който редуцираме. В в този пример, знаменателят и факторът са еднакви, но това не винаги е така).

Променливите стойности, за които ще съществува алгебричната дроб, се наричат ​​валидни променливи стойности.

Поставяме условие за знаменателя на дробта: $x-2≠0$, след това $x≠2$.

Така че изразите $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ и $x-2$ са идентични за всички стойности на променливата с изключение на $2$.

Определение 1

идентично равниИзразите са тези, които са равни за всички възможни стойности на променливата.

Идентично преобразуване е всяко заместване на оригиналния израз с идентично равен.Такива преобразувания включват извършване на действия: събиране, изваждане, умножение, изваждане на общ множител от скоби, привеждане на алгебрични дроби към общ знаменател, редуциране на алгебрични дроби, привеждане като условия и т.н. Трябва да се има предвид, че редица трансформации, като намаляване, намаляване на подобни условия, могат да променят допустимите стойности на променливата.

Техники, използвани за доказване на самоличност

Преобразувайте лявата страна на самоличността в дясната страна или обратно, като използвате трансформации на самоличността

Намалете двете части до един и същи израз, като използвате идентични трансформации

Прехвърлете изразите от една част на израза в друга и докажете, че получената разлика е равна на $0$

Кой от горните методи да се използва за доказване на дадена самоличност зависи от оригиналната самоличност.

Пример 2

Докажете идентичността $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Решение:За да докажем това тъждество, използваме първия от горните методи, а именно ще трансформираме лявата страна на тъждеството, докато стане равно на дясната страна.

Помислете за лявата страна на идентичността: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- това е разликата на два полинома. В този случай първият полином е квадратът на сумата от три члена.За да повдигнем на квадрат сбора от няколко члена, използваме формулата:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

За да направим това, трябва да умножим число по полином. Припомнете си, че за това трябва да умножим общия множител извън скобите по всеки член на полинома в скоби. Тогава получаваме:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Сега обратно към оригиналния полином, той ще приеме формата:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Имайте предвид, че има знак „-“ пред скобата, което означава, че когато скобите се отворят, всички знаци, които са били в скобите, се обръщат.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Ако приведем подобни членове, тогава получаваме, че мономите $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ и $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ взаимно се компенсират, т.е. тяхната сума е равна на $0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

И така, чрез идентични трансформации получихме идентичния израз от лявата страна на оригиналната идентичност

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Имайте предвид, че полученият израз показва, че оригиналната идентичност е вярна.

Обърнете внимание, че в оригиналната идентичност всички стойности на променливата са разрешени, което означава, че сме доказали идентичността с помощта на идентични трансформации и е вярно за всички разрешени стойности на променливата.