Урок и презентация на тема: "Поредици от числа. Аритметична прогресия"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения! Всички материали се проверяват с антивирусна програма.

Учебни помагала в онлайн магазин "Интеграл" за 9 клас за учебници
Макаричева Ю.Н. Алимова Ш.А. Мордкович А.Г. Муравина Г.К.

И така, какво е аритметична прогресия?

Числова последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на сумата от предишния и някакво фиксирано число, се нарича аритметична прогресия.

Аритметична прогресияе рекурсивно дадена числена прогресия.

Нека напишем рекурсивната форма: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, числото d е разликата в прогресията. a и d са определени дадени числа.

Пример. 1,4,7,10,13,16… Аритметична прогресия, където $a=1, d=3$.

Пример. 3,0,-3,-6,-9… Аритметична прогресия, където $a=3, d=-3$.

Пример. 5,5,5,5,5… Аритметична прогресия, където $a=5, d=0$.

Аритметичната прогресия има свойствата на монотонност, ако разликата на прогресията е по-голяма от нула, тогава последователността нараства, ако разликата на прогресията е по-малка от нула, тогава последователността намалява.

Ако броят на елементите в една аритметична прогресия е краен, тогава прогресията се нарича крайна аритметична прогресия.

Ако е дадена последователността $a_(n)$ и тя е аритметична прогресия, тогава е обичайно да се означава: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.

Формула на n-ия член на аритметична прогресия

Нека се върнем към нашите примери и да запишем нашата формула за всеки от примерите.

Пример. 1,4,7,10,13,16… Аритметична прогресия, където a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.

Пример. 3,0,-3,-6,-9… Аритметична прогресия, където a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Пример. Дадена е аритметична прогресия: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
а) Известно е, че $a_(1)=5$, $d=3$. Намерете $a_(23)$.
b) Известно е, че $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$. Намерете n.
в) Известно е, че $d=-1$, $a_(22)=15$. Намерете $a_(1)$.
г) Известно е, че $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$. Намерете d.
Решение.
а) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
б) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
в) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
г) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Пример. При разделянето на деветия член на аритметична прогресия на втория член частното остава 7, а при разделянето на деветия член на петия частното е 2, а остатъкът е 5. Намерете тридесетия член на прогресията.
Решение.
Нека запишем последователно формулите 2, 5 и 9 на членовете на нашата прогресия.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
Знаем и от условието:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
Или:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
Нека съставим система от уравнения:
$\begin(cases)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end(cases)$.
$\begin(cases)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end(cases)$.
След като решихме системата, получаваме: $d=6, a_(1)=1$.
Намерете $a_(30)$.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.

Сума от крайна аритметична прогресия

Нека ни е дадена аритметична прогресия 1,2,3,4,5…100.
Тогава сборът от неговите членове може да бъде представен по следния начин:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Но подобна формула се прилага за всяка аритметична прогресия:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
Нека напишем нашата формула в общия случай: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, където $k<1$.
Нека изведем формула за изчисляване на сумата от членовете на аритметична прогресия, напишете формулата два пъти в различен ред:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
Нека съберем тези формули заедно:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_(n)+a_(1))$.
Има n члена от дясната страна на нашето равенство и знаем, че всеки от тях е равен на $a_(1)+a_(n)$.
Тогава:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
Освен това нашата формула може да бъде пренаписана като: тъй като $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
тогава $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
Най-често е по-удобно да използвате тази конкретна формула, така че би било добре да я запомните!

Пример. Дадена е крайна аритметична прогресия.
Намирам:
a) $s_(22), ако a_(1)=7, d=2$.
b) d ако $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
Решение.
а) Нека използваме втората формула за сумиране $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2)*22=616$.
б) В този пример ще използваме първата формула: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
$144=36+4a_(8)$.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.

Пример. Намерете сбора на всички нечетни двуцифрени числа.
Решение.
Членовете на нашата прогресия са: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
Нека намерим номера на последния член на прогресията:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$n=45$.
Сега нека намерим сумата: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.

Пример. Момчетата тръгнаха на поход. Известно е, че през първия час те са изминали 500 м, след което са започнали да вървят с 25 метра по-малко, отколкото през първия час. За колко часа ще изминат 2975 метра?
Решение.
Пътят, изминат за всеки час, може да бъде представен като аритметична прогресия:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$.
Разликата на аритметичната прогресия е равна на $d=-25$.
Пътят, изминат в 2975 метра, е сборът от членовете на една аритметична прогресия.
$S_(n)=2975$, където n - часове, прекарани в път.
Тогава:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
$1000n-25(n-1)n=5950$.
Разделете двете части на 25.
$40n-(n-1)n=238$.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
Очевидно е, че е по-логично да изберете $n=7$.
Отговор. Момчетата бяха на път 7 часа.

Характерно свойство на аритметичната прогресия

Ако прогресията е крайна, тогава това равенство е валидно за всички членове с изключение на първия и последния.
Ако не е известно предварително какъв тип има последователността, но е известно, че: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Тогава можем спокойно да кажем, че това е аритметична прогресия.

Числовата редица е аритметична прогресия, когато всеки член на тази прогресия е равен на средноаритметичното на два съседни члена на нашата прогресия (не забравяйте, че за крайна прогресия това условие не е изпълнено за първия и последния член на прогресията).

Пример. Намерете x, така че $3x+2$; $x-1$; $4x+3$ са три последователни члена на аритметична прогресия.
Решение. Нека използваме нашата формула:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1,4$.
Нека проверим, нашите изрази ще приемат формата: -2,2; -2,4; -2,6.
Очевидно това са членове на аритметична прогресия и $d=-0,2$.

Задачи за самостоятелно решаване

При изучаването на алгебра в средното училище (9 клас) една от важните теми е изучаването на числови редици, които включват прогресии - геометрични и аритметични. В тази статия ще разгледаме аритметична прогресия и примери с решения.

Какво е аритметична прогресия?

За да се разбере това, е необходимо да се даде определение на разглежданата прогресия, както и да се дадат основните формули, които ще бъдат използвани по-нататък при решаването на проблеми.

Известно е, че в някаква алгебрична прогресия първият член е равен на 6, а 7-ият член е равен на 18. Необходимо е да се намери разликата и да се възстанови тази последователност до 7-ия член.

Нека използваме формулата, за да определим неизвестния член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Заменяме известните данни от условието в него, тоест числата a 1 и a 7, имаме: 18 \u003d 6 + 6 * d. От този израз можете лесно да изчислите разликата: d = (18 - 6) / 6 = 2. Така първата част от задачата е решена.

За да възстановите последователността до 7-ия член, трябва да използвате дефиницията на алгебрична прогресия, тоест a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и т.н. В резултат на това възстановяваме цялата последователност: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Пример #3: извършване на прогресия

Нека усложним още повече условието на задачата. Сега трябва да отговорите на въпроса как да намерите аритметична прогресия. Можем да дадем следния пример: дадени са две числа, например 4 и 5. Необходимо е да се направи алгебрична прогресия, така че между тях да се поберат още три члена.

Преди да започнете да решавате този проблем, е необходимо да разберете какво място ще заемат дадените числа в бъдещата прогресия. Тъй като ще има още три термина между тях, след това 1 \u003d -4 и 5 \u003d 5. След като установихме това, преминаваме към задача, подобна на предишната. Отново за n-тия член използваме формулата, получаваме: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. От: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Тук разликата не е цяло число, а е рационално число, така че формулите за алгебричната прогресия остават същите.

Сега нека добавим намерената разлика към 1 и да възстановим липсващите членове на прогресията. Получаваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, което съвпадаше с условието на задачата.

Пример #4: Първият член на прогресията

Продължаваме да даваме примери за аритметична прогресия с решение. Във всички предишни задачи първото число от алгебричната прогресия беше известно. Сега разгледайте задача от различен тип: нека са дадени две числа, където 15 = 50 и 43 = 37. Необходимо е да се намери от кое число започва тази редица.

Формулите, които са използвани досега, предполагат познаване на 1 и d. За тези числа в условието на задачата не се знае нищо. Въпреки това, нека напишем изразите за всеки член, за който имаме информация: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Получихме две уравнения, в които има 2 неизвестни величини (a 1 и d). Това означава, че задачата се свежда до решаване на система от линейни уравнения.

Посочената система е най-лесна за решаване, ако изразите 1 във всяко уравнение и след това сравните получените изрази. Първо уравнение: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; второ уравнение: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Приравнявайки тези изрази, получаваме: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, откъдето разликата d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (дадени са само 3 знака след десетичната запетая).

Като знаете d, можете да използвате който и да е от двата израза по-горе за 1. Например, първо: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ако има съмнения относно резултата, можете да го проверите, например да определите 43-ия член на прогресията, който е посочен в условието. Получаваме: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Малка грешка се дължи на факта, че при изчисленията е използвано закръгляване до хилядни.

Пример #5: Сума

Сега нека да разгледаме някои примери с решения за сумата на аритметична прогресия.

Нека е дадена числова прогресия от следния вид: 1, 2, 3, 4, ...,. Как да изчислим сбора на 100 от тези числа?

Благодарение на развитието на компютърните технологии този проблем може да бъде решен, тоест последователно да се съберат всички числа, което компютърът ще направи веднага щом човек натисне клавиша Enter. Задачата обаче може да бъде решена мислено, ако обърнете внимание, че представената редица от числа е алгебрична прогресия и нейната разлика е 1. Прилагайки формулата за сумата, получаваме: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Любопитно е да се отбележи, че тази задача се нарича "Гаусова", тъй като в началото на 18 век известният германец, едва 10-годишен, успява да я реши наум за няколко секунди. Момчето не знаеше формулата за сумата на алгебрична прогресия, но забеляза, че ако добавите двойки числа, разположени в краищата на редицата, винаги получавате един резултат, тоест 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., и тъй като тези суми ще бъдат точно 50 (100 / 2), тогава, за да получите правилния отговор, е достатъчно да умножите 50 по 101.

Пример #6: сбор от членове от n до m

Друг типичен пример за сумата на аритметична прогресия е следният: дадена е поредица от числа: 3, 7, 11, 15, ..., трябва да намерите каква ще бъде сумата от нейните членове от 8 до 14.

Проблемът се решава по два начина. Първият от тях включва намиране на неизвестни членове от 8 до 14 и след това последователното им сумиране. Тъй като има малко термини, този метод не е достатъчно трудоемък. Въпреки това се предлага да се реши този проблем чрез втория метод, който е по-универсален.

Идеята е да се получи формула за сумата на алгебрична прогресия между членове m и n, където n > m са цели числа. Нека напишем два израза за сумата и за двата случая:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Тъй като n > m, очевидно е, че сумата 2 включва първата. Последният извод означава, че ако вземем разликата между тези суми и добавим члена a m към нея (в случай на вземане на разликата, тя се изважда от сумата S n), тогава получаваме необходимия отговор на проблема. Имаме: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Необходимо е да се заменят формули за n и m в този израз. Тогава получаваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Получената формула е донякъде тромава, но сумата S mn зависи само от n, m, a 1 и d. В нашия случай a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Замествайки тези числа, получаваме: S mn = 301.

Както може да се види от горните решения, всички задачи се основават на познаването на израза за n-тия член и формулата за сумата от множеството от първите членове. Преди да започнете да решавате някой от тези проблеми, се препоръчва внимателно да прочетете условието, ясно да разберете какво искате да намерите и едва след това да продължите с решението.

Друг съвет е да се стремите към простота, тоест ако можете да отговорите на въпроса, без да използвате сложни математически изчисления, тогава трябва да направите точно това, тъй като в този случай вероятността да направите грешка е по-малка. Например, в примера за аритметична прогресия с решение № 6, може да се спре на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m и да се раздели общата задача на отделни подзадачи (в този случай първо намерете термините a n и a m).

Ако има съмнения относно получения резултат, препоръчително е да го проверите, както беше направено в някои от дадените примери. Разбрахме как да намерим аритметична прогресия. След като го разберете, не е толкова трудно.

Преди да започнем да решаваме задачи с аритметична прогресия, помислете какво е числова последователност, тъй като аритметичната прогресия е специален случай на числова последователност.

Числовата последователност е набор от числа, всеки елемент от който има свой собствен сериен номер . Елементите на това множество се наричат ​​членове на редицата. Поредният номер на елемент от последователността се обозначава с индекс:

Първият елемент от последователността;

Петият елемент от последователността;

- "n-ти" елемент от редицата, т.е. елементът "стоящ на опашката" под номер n.

Съществува зависимост между стойността на елемент на последователност и нейния пореден номер. Следователно можем да разглеждаме редицата като функция, чийто аргумент е поредният номер на елемент от редицата. С други думи, може да се каже така последователността е функция на естествения аргумент:

Последователността може да бъде определена по три начина:

1 . Последователността може да бъде определена с помощта на таблица.В този случай ние просто задаваме стойността на всеки член на последователността.

Например, Някой реши да направи лично управление на времето и като начало да изчисли колко време прекарва във VKontakte през седмицата. Като напише времето в таблица, той ще получи последователност, състояща се от седем елемента:

Първият ред на таблицата съдържа номера на деня от седмицата, вторият - времето в минути. Виждаме, че в понеделник някой е прекарал 125 минути във VKontakte, тоест в четвъртък - 248 минути, а в петък - само 15.

2 . Последователността може да бъде определена с помощта на формулата за n-тия член.

В този случай зависимостта на стойността на елемент от последователност от неговия номер се изразява директно като формула.

Например, ако , тогава

За да намерим стойността на елемент от последователност с даден номер, заместваме номера на елемента във формулата за n-тия член.

Правим същото, ако трябва да намерим стойността на функция, ако стойността на аргумента е известна. Вместо това заместваме стойността на аргумента в уравнението на функцията:

ако напр. , Че

Още веднъж отбелязвам, че в редица, за разлика от произволна числова функция, само естествено число може да бъде аргумент.

3 . Последователността може да се уточни с помощта на формула, която изразява зависимостта на стойността на члена на редицата с номер n от стойността на предходните членове. В този случай не е достатъчно да знаем само номера на член на последователност, за да намерим стойността му. Трябва да посочим първия член или първите няколко члена на последователността.

Например, помислете за последователността ,

Можем да намерим стойностите на членовете на последователност в последователност, започвайки от третия:

Тоест всеки път, за да намерим стойността на n-тия член на редицата, се връщаме към предишните два. Този начин на последователност се нарича рецидивиращ, от латинската дума повтарящо се- Върни се.

Сега можем да дефинираме аритметична прогресия. Аритметичната прогресия е прост специален случай на числова последователност.

Аритметична прогресия се нарича числова редица, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предходния, добавен със същото число.

Номерът се нарича разликата на аритметична прогресия. Разликата на аритметичната прогресия може да бъде положителна, отрицателна или нула.

Ако title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} повишаване на.

Например, 2; 5; 8; единадесет;...

Ако , тогава всеки член на аритметичната прогресия е по-малък от предишния, а прогресията е намаляващ.

Например, 2; -1; -4; -7;...

Ако , тогава всички членове на прогресията са равни на едно и също число, а прогресията е стационарен.

Например 2;2;2;2;...

Основното свойство на аритметичната прогресия:

Нека погледнем снимката.

Виждаме това

, и в същото време

Събирайки тези две равенства, получаваме:

.

Разделете двете страни на уравнението на 2:

И така, всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на две съседни:

Освен това, защото

, и в същото време

, Че

, и следователно

Всеки член на аритметичната прогресия, започващ с title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

формула на член.

Виждаме, че за членовете на аритметичната прогресия са валидни следните отношения:

и накрая

Имаме формула на n-тия член.

ВАЖНО!Всеки член на аритметична прогресия може да бъде изразен чрез и . Познавайки първия член и разликата на аритметичната прогресия, можете да намерите всеки от нейните членове.

Сумата от n членове на аритметична прогресия.

В произволна аритметична прогресия сумите на членовете, разположени на еднакво разстояние от крайните, са равни една на друга:

Да разгледаме аритметична прогресия с n членове. Нека сумата от n членове на тази прогресия е равна на .

Подредете условията на прогресията първо във възходящ ред на числата, а след това в низходящ ред:

Нека го сдвоим:

Сумата във всяка скоба е , броят на двойките е n.

Получаваме:

Така, сумата от n членове на аритметична прогресия може да се намери с помощта на формулите:

Обмисли решаване на задачи с аритметична прогресия.

1 . Последователността е дадена с формулата на n-тия член: . Докажете, че тази редица е аритметична прогресия.

Нека докажем, че разликата между два съседни члена на редицата е равна на едно и също число.

Получихме, че разликата на два съседни члена на редицата не зависи от техния брой и е константа. Следователно, по дефиниция, тази последователност е аритметична прогресия.

2 . При аритметична прогресия -31; -27;...

а) Намерете 31 члена на прогресията.

b) Определете дали числото 41 е включено в тази прогресия.

а)Виждаме това;

Нека запишем формулата за n-тия член за нашата прогресия.

Общо взето

В нашия случай , Ето защо

Аритметична прогресиянаименувайте поредица от числа (членове на прогресия)

При което всеки следващ термин се различава от предходния със стоманен термин, който също се нарича разлика в стъпка или прогресия.

По този начин, като зададете стъпката на прогресията и нейния първи член, можете да намерите всеки от нейните елементи с помощта на формулата

Свойства на аритметичната прогресия

1) Всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от второто число, е средното аритметично на предишния и следващия член на прогресията

Обратното също е вярно. Ако средноаритметичното на съседни нечетни (четни) членове на прогресията е равно на члена, който стои между тях, тогава тази последователност от числа е аритметична прогресия. Чрез това твърдение е много лесно да се провери всяка последователност.

Също чрез свойството на аритметичната прогресия горната формула може да се обобщи до следното

Това е лесно да се провери, ако напишем термините отдясно на знака за равенство

Често се използва на практика за опростяване на изчисленията при проблеми.

2) Сумата от първите n члена на аритметична прогресия се изчислява по формулата

Запомнете добре формулата за сбора на аритметичната прогресия, тя е незаменима при изчисленията и е доста често срещана в прости житейски ситуации.

3) Ако трябва да намерите не цялата сума, а част от редицата, започваща от нейния k -ти член, тогава следната формула за сумиране ще ви бъде полезна

4) От практически интерес е да се намери сумата от n членове на аритметична прогресия, започваща от k-то число. За да направите това, използвайте формулата

Тук теоретичният материал приключва и се преминава към решаване на често срещани в практиката задачи.

Пример 1. Намерете четиридесетия член на аритметичната прогресия 4;7;...

Решение:

Според условието имаме

Определете стъпката на прогресия

Според добре познатата формула намираме четиридесетия член на прогресията

Пример2. Аритметичната прогресия се дава от нейните трети и седми член. Намерете първия член на прогресията и сбора от десет.

Решение:

Записваме дадените елементи на прогресията по формулите

Изваждаме първото уравнение от второто уравнение, в резултат намираме стъпката на прогресията

Намерената стойност се замества във всяко от уравненията, за да се намери първият член на аритметичната прогресия

Изчислете сумата от първите десет члена на прогресията

Без прилагане на сложни изчисления намерихме всички необходими стойности.

Пример 3. Една аритметична прогресия е дадена от знаменателя и един от неговите членове. Намерете първия член на прогресията, сбора от неговите 50 члена, започвайки от 50, и сбора от първите 100.

Решение:

Нека напишем формулата за стотния елемент на прогресията

и намерете първия

Въз основа на първия намираме 50-ия член на прогресията

Намиране на сумата на частта от прогресията

и сумата от първите 100

Сборът на прогресията е 250.

Пример 4

Намерете броя на членовете на аритметична прогресия, ако:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Решение:

Записваме уравненията по отношение на първия член и стъпката на прогресията и ги дефинираме

Заместваме получените стойности във формулата за сумата, за да определим броя на членовете в сумата

Правене на опростявания

и решаване на квадратното уравнение

От двете намерени стойности само числото 8 е подходящо за състоянието на проблема. Така сумата от първите осем члена на прогресията е 111.

Пример 5

реши уравнението

1+3+5+...+x=307.

Решение: Това уравнение е сбор от аритметична прогресия. Изписваме първия му член и намираме разликата на прогресията

Например последователността \(2\); \(5\); \(8\); \(единадесет\); \(14\)… е аритметична прогресия, тъй като всеки следващ елемент се различава от предходния с три (може да се получи от предишния чрез добавяне на три):

В тази прогресия разликата \(d\) е положителна (равна на \(3\)) и следователно всеки следващ член е по-голям от предишния. Такива прогресии се наричат повишаване на.

Въпреки това \(d\) може да бъде и отрицателно число. Например, в аритметична прогресия \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… разликата в прогресията \(d\) е равна на минус шест.

И в този случай всеки следващ елемент ще бъде по-малък от предишния. Тези прогресии се наричат намаляващи.

Нотиране на аритметична прогресия

Прогресията се обозначава с малка латинска буква.

Числата, които образуват прогресия, се наричат членове(или елементи).

Те се обозначават със същата буква като аритметичната прогресия, но с цифров индекс, равен на номера на елемента по ред.

Например, аритметичната прогресия \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) се състои от елементите \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и така нататък.

С други думи, за прогресията \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Решаване на задачи в аритметична прогресия

По принцип горната информация вече е достатъчна за решаване на почти всеки проблем с аритметична прогресия (включително предлаганите в OGE).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията \(b_1=7; d=4\). Намерете \(b_5\).
Решение:

Отговор: \(b_5=23\)

Пример (OGE). Дадени са първите три члена на една аритметична прогресия: \(62; 49; 36…\) Намерете стойността на първия отрицателен член на тази прогресия..
Решение:

Отговор: \(-3\)

Пример (OGE). Дадени са няколко последователни елемента от аритметична прогресия: \(...5; x; 10; 12,5...\) Намерете стойността на елемента, означен с буквата \(x\).
Решение:

Отговор: \(7,5\).

Пример (OGE). Дадена е аритметична прогресия следните условия: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Намерете сумата от първите шест члена на тази прогресия.
Решение:

Отговор: \(S_6=9\).

Пример (OGE). В аритметична прогресия \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Намерете разликата на тази прогресия.
Решение:

Отговор: \(d=7\).

Важни формули за аритметична прогресия

Както можете да видите, много проблеми с аритметичната прогресия могат да бъдат решени просто чрез разбиране на основното - че аритметичната прогресия е верига от числа и всеки следващ елемент в тази верига се получава чрез добавяне на същото число към предишното (разликата на прогресията).

Въпреки това, понякога има ситуации, когато е много неудобно да се реши "на челото". Например, представете си, че в първия пример трябва да намерим не петия елемент \(b_5\), а триста осемдесет и шестия \(b_(386)\). Какво е, ние \ (385 \) пъти да добавим четири? Или си представете, че в предпоследния пример трябва да намерите сумата от първите седемдесет и три елемента. Броенето е объркващо...

Следователно в такива случаи те не решават „на чело“, а използват специални формули, получени за аритметична прогресия. И основните от тях са формулата за n-тия член на прогресията и формулата за сумата \(n\) на първите членове.

Формула за \(n\)-тия член: \(a_n=a_1+(n-1)d\), където \(a_1\) е първият член на прогресията;
\(n\) – номер на търсения елемент;
\(a_n\) е член на прогресията с номер \(n\).

Тази формула ни позволява бързо да намерим поне тристотния, дори милионния елемент, знаейки само първия и разликата в прогресията.

Пример. Аритметичната прогресия се дава от условията: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Намерете \(b_(246)\).
Решение:

Отговор: \(b_(246)=1850\).

Формулата за сбора на първите n члена е: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), където

\(a_n\) е последният сумиран член;

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията \(a_n=3.4n-0.6\). Намерете сумата от първите \(25\) членове на тази прогресия.
Решение:

Отговор: \(S_(25)=1090\).

За сумата \(n\) от първите членове можете да получите друга формула: просто трябва да \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) вместо \(a_n\) да замените формулата за нея \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получаваме:

Формулата за сбора на първите n члена е: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), където

\(S_n\) – исканата сума \(n\) на първите елементи;
\(a_1\) е първият член, който трябва да се сумира;
\(d\) – разлика в прогресията;
\(n\) - броят на елементите в сумата.

Пример. Намерете сумата от първите \(33\)-ex членове на аритметичната прогресия: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:

Отговор: \(S_(33)=-231\).

По-сложни задачи с аритметична прогресия

Сега разполагате с цялата необходима информация, за да решите почти всеки проблем с аритметична прогресия. Нека завършим темата, като разгледаме задачи, в които трябва не само да прилагате формули, но и да мислите малко (в математиката това може да бъде полезно ☺)

Пример (OGE). Намерете сумата от всички отрицателни членове на прогресията: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

Отговор: \(S_(65)=-630,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Намерете сумата от \(26\)-ия до \(42\) елемент включително.
Решение:

Отговор: \(S=1683\).

За аритметична прогресия има още няколко формули, които не сме разгледали в тази статия поради ниската им практическа полезност. Можете обаче лесно да ги намерите.