Знакът модул е ​​може би едно от най-интересните явления в математиката. В тази връзка много ученици имат въпроса как да изградят графики на функции, съдържащи модул. Нека разгледаме този въпрос подробно.

1. Изграждане на функции, съдържащи модул

Пример 1

Начертайте функцията y = x 2 – 8|x| + 12.

Решение.

Нека дефинираме паритета на функцията. Стойността за y(-x) е същата като стойността за y(x), така че тази функция е четна. Тогава нейната графика е симетрична по отношение на оста Oy. Изграждаме графика на функцията y \u003d x 2 - 8x + 12 за x ≥ 0 и показваме симетрично графиката спрямо Oy за отрицателно x (фиг. 1).

Пример 2

Следващата графика е y = |x 2 – 8x + 12|.

– Какъв е обхватът на предложената функция? (y ≥ 0).

- Как е графиката? (Над или докосвайки оста x).

Това означава, че графиката на функцията се получава, както следва: те начертават функцията y \u003d x 2 - 8x + 12, оставят частта от графиката, която лежи над оста Ox, непроменена, а частта от графиката, която лежи под абсцисната ос е показана симетрично спрямо оста Ox (фиг. 2).

Пример 3

За да начертаете функцията y = |x 2 – 8|x| + 12| извършва комбинация от трансформации:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Отговор: фигура 3.

Разгледаните трансформации са валидни за всички видове функции. Нека направим таблица:

2. График на функции, съдържащи "вложени модули" във формулата

Вече се запознахме с примери за квадратична функция, съдържаща модул, както и с общите правила за построяване на графики на функции от вида y = f(|x|), y = |f(x)| и y = |f(|x|)|. Тези трансформации ще ни помогнат, когато разглеждаме следния пример.

Пример 4

Да разгледаме функция от формата y = |2 – |1 – |x|||. Изразът, който дефинира функцията, съдържа "вложени модули".

Решение.

Използваме метода на геометричните трансформации.

Нека запишем верига от последователни трансформации и да направим съответния чертеж (фиг. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Нека разгледаме случаите, когато симетрията и паралелните транслационни трансформации не са основната техника за чертане.

Пример 5

Постройте графика на функция от формата y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

Решение.

Преди да изградим графика, трансформираме формулата, която дефинира функцията и получаваме друга аналитична дефиниция на функцията (фиг. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Нека разширим модула в знаменателя:

За x > -2, y = x - 2 и за x< -2, y = -(x – 2).

Област D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Диапазон E(y) = (-4; +∞).

Точки, в които графиката се пресича с координатната ос: (0; -2) и (2; 0).

Функцията намалява за всички x от интервала (-∞; -2), нараства за x от -2 до +∞.

Тук трябваше да разкрием знака на модула и да начертаем функцията за всеки случай.

Пример 6

Да разгледаме функцията y = |x + 1| – |x – 2|.

Решение.

Разширявайки знака на модула, е необходимо да се вземат предвид всички възможни комбинации от знаци на подмодулни изрази.

Има четири възможни случая:

(x + 1 - x + 2 = 3, с x ≥ -1 и x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, с x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, за x ≥ -1 и x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, с x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Тогава оригиналната функция ще изглежда така:

(3, за x ≥ 2;

y = (-3, при x< -1;

(2x – 1, с -1 ≤ x< 2.

Получихме дадена на части функция, чиято графика е показана на фигура 6.

3. Алгоритъм за построяване на графики на функции на формата

y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + брадва + б.

В предишния пример беше достатъчно лесно да разширите знаците на модула. Ако има повече суми от модули, тогава е проблематично да се разгледат всички възможни комбинации от знаци на подмодулни изрази. Как можем да начертаем функцията в този случай?

Обърнете внимание, че графиката е полилиния с върхове в точки с абсцис -1 и 2. За x = -1 и x = 2, изразите на подмодула са равни на нула. По практически начин се доближихме до правилото за конструиране на такива графики:

Графика на функция от вида y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b е прекъсната линия с безкрайни крайни връзки. За да се построи такава полилиния, е достатъчно да се знаят всички нейни върхове (абсцисите на върховете са нули на подмодулни изрази) и по една контролна точка на лявата и дясната безкрайна връзка.

Задача.

Начертайте функцията y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и намерете най-малката му стойност.

Решение:

Нули на подмодулни изрази: 0; -1; 1. Върхове на полилинията (0; 2); (-13); (13). Контролна точка отдясно (2; 6), отляво (-2; 6). Изграждаме графика (фиг. 7). min f(x) = 2.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да начертаете графика на функция с модул?
За да получите помощ от учител -.

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Знакът модул е ​​може би едно от най-интересните явления в математиката. В тази връзка много ученици имат въпроса как да изградят графики на функции, съдържащи модул. Нека разгледаме този въпрос подробно.

1. Изграждане на функции, съдържащи модул

Пример 1

Начертайте функцията y = x 2 – 8|x| + 12.

Решение.

Нека дефинираме паритета на функцията. Стойността за y(-x) е същата като стойността за y(x), така че тази функция е четна. Тогава нейната графика е симетрична по отношение на оста Oy. Изграждаме графика на функцията y \u003d x 2 - 8x + 12 за x ≥ 0 и показваме симетрично графиката спрямо Oy за отрицателно x (фиг. 1).

Пример 2

Следващата графика е y = |x 2 – 8x + 12|.

– Какъв е обхватът на предложената функция? (y ≥ 0).

- Как е графиката? (Над или докосвайки оста x).

Това означава, че графиката на функцията се получава, както следва: те начертават функцията y \u003d x 2 - 8x + 12, оставят частта от графиката, която лежи над оста Ox, непроменена, а частта от графиката, която лежи под абсцисната ос е показана симетрично спрямо оста Ox (фиг. 2).

Пример 3

За да начертаете функцията y = |x 2 – 8|x| + 12| извършва комбинация от трансформации:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Отговор: фигура 3.

Разгледаните трансформации са валидни за всички видове функции. Нека направим таблица:

2. График на функции, съдържащи "вложени модули" във формулата

Вече се запознахме с примери за квадратична функция, съдържаща модул, както и с общите правила за построяване на графики на функции от вида y = f(|x|), y = |f(x)| и y = |f(|x|)|. Тези трансформации ще ни помогнат, когато разглеждаме следния пример.

Пример 4

Да разгледаме функция от формата y = |2 – |1 – |x|||. Изразът, който дефинира функцията, съдържа "вложени модули".

Решение.

Използваме метода на геометричните трансформации.

Нека запишем верига от последователни трансформации и да направим съответния чертеж (фиг. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Нека разгледаме случаите, когато симетрията и паралелните транслационни трансформации не са основната техника за чертане.

Пример 5

Постройте графика на функция от формата y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

Решение.

Преди да изградим графика, трансформираме формулата, която дефинира функцията и получаваме друга аналитична дефиниция на функцията (фиг. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Нека разширим модула в знаменателя:

За x > -2, y = x - 2 и за x< -2, y = -(x – 2).

Област D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Диапазон E(y) = (-4; +∞).

Точки, в които графиката се пресича с координатната ос: (0; -2) и (2; 0).

Функцията намалява за всички x от интервала (-∞; -2), нараства за x от -2 до +∞.

Тук трябваше да разкрием знака на модула и да начертаем функцията за всеки случай.

Пример 6

Да разгледаме функцията y = |x + 1| – |x – 2|.

Решение.

Разширявайки знака на модула, е необходимо да се вземат предвид всички възможни комбинации от знаци на подмодулни изрази.

Има четири възможни случая:

(x + 1 - x + 2 = 3, с x ≥ -1 и x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, с x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, за x ≥ -1 и x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, с x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Тогава оригиналната функция ще изглежда така:

(3, за x ≥ 2;

y = (-3, при x< -1;

(2x – 1, с -1 ≤ x< 2.

Получихме дадена на части функция, чиято графика е показана на фигура 6.

3. Алгоритъм за построяване на графики на функции на формата

y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + брадва + б.

В предишния пример беше достатъчно лесно да разширите знаците на модула. Ако има повече суми от модули, тогава е проблематично да се разгледат всички възможни комбинации от знаци на подмодулни изрази. Как можем да начертаем функцията в този случай?

Обърнете внимание, че графиката е полилиния с върхове в точки с абсцис -1 и 2. За x = -1 и x = 2, изразите на подмодула са равни на нула. По практически начин се доближихме до правилото за конструиране на такива графики:

Графика на функция от вида y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b е прекъсната линия с безкрайни крайни връзки. За да се построи такава полилиния, е достатъчно да се знаят всички нейни върхове (абсцисите на върховете са нули на подмодулни изрази) и по една контролна точка на лявата и дясната безкрайна връзка.

Задача.

Начертайте функцията y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и намерете най-малката му стойност.

Решение:

Нули на подмодулни изрази: 0; -1; 1. Върхове на полилинията (0; 2); (-13); (13). Контролна точка отдясно (2; 6), отляво (-2; 6). Изграждаме графика (фиг. 7). min f(x) = 2.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да начертаете графика на функция с модул?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

пясъчник

GIA - изобразяване на функции със знака модул

Здравейте всички! Днес бих искал да обясня такава тема като начертаване на графики. Вероятно повечето хора знаят как да начертаят прости функционални графики като y=x^2 или y=1/x. И как да построим графики със знака за модул?

Задача 1.Построете графики на функции y=|x| y=|x-1|.
Решение.Нека го сравним с графиката на функцията y=|x|. За положително x имаме |x|=x. Следователно, за положителни стойности на аргумента, графиката y=|x| съвпада с графиката y=x, тоест тази част от графиката е лъч, излизащ от началото под ъгъл от 45 градуса спрямо оста x. За х< 0 имеем |x|= -x; значит, для отрицательных x график y=|x| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.
Въпреки това, втората половина на графиката (за минус X) е лесна за получаване от първата, ако забележите, че функцията y=|x| е четен, тъй като |-a|=|a|. Следователно графиката на функцията y=|x| е симетрична спрямо оста y, а втората половина на графиката може да се получи чрез отразяване на частта, начертана за положителен x по оста y. Това води до графика:

За конструкцията вземаме точките (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2).

Сега графиката е y=|x-1|. Ако A е графична точка y=|x| с координати (a;|a|), тогава точката на графиката y=|x-1| точка A1(a+1;|a|) ще има същата стойност на Y-ордината. (Защо?) Тази точка на втората графика може да се получи от точка A(a;|a|) на първата графика чрез преместване успоредно на оста Ox надясно. Следователно цялата графика на функцията y=|x-1|се получава от графиката на функцията y=|x| изместете успоредно на оста Ox надясно с 1.

Нека изградим графики:

Y=|x-1|

За конструкцията вземаме точките (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1).

Беше проста задача. Сега нещото, което ужасява много хора.

Задача 2.Начертайте функцията y=3*|x-4| - x + |x+1|.
Решение.Нека намерим точките, в които подмодулните изрази изчезват, т.е. така наречените "критични" точки на функцията. Тези точки ще бъдат x=-1 и x=4. В тези точки изразите на подмодула могат да променят знака.

Нека x<-1. Тогава х+1<0, |x+1|=-x-1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(-х-1)= -5х+11.
Нека -1< = x < = 4. Тогава x+1>0, |x+1|=x+1; х-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(х+1)= -3х+13.
Нека x>4.Тогава x+1>0, |x+1|=x+1, x-4>0; |x-4|=x-4; Следователно, y \u003d 3 (x-4) - x + x + 1 \u003d 3x-11.

И така, трябва да изградим графика на функцията (точно една)
( y \u003d -5x + 11, с x<-1
( y \u003d -3x + 13, при -1< = x < = 4.
( y \u003d 3x-11, с x> 4

За да изградим първия, вземаме точките (1; 6) (2; 1)
За да конструираме второто, вземаме точките (3; 4) (4; 1)
За да построите третия, вземете точките (3; -2) (4; 1)

Е, последната задача за днес, която ще анализираме.
Задача 3.Начертайте функцията y= |1/4 x^2 - |x| - 3|.
Решение.Функция y= |f(|x|)| дори. Необходимо е да се изгради графика на функция за x>=0 y= f(x), след което да се отрази симетрично спрямо оста Oy (това е графика y= |1/4 x^2 - x - 3|.), и накрая тази част от получената графика, която се намира в долната полуравнина, отразява симетрично спрямо оста Ox (y= 1/4 x^2 - |x| - 3.).
Ето какво ще излезе от това:

Y= |1/4 x^2 - |x| - 3|

Така че благодаря на всички! Сега имаме базата от знания, необходима за начертаване на графики със знака модул! И всички толкова се страхуват от него.

Етикети: математика