このサービスは、次の形式の部分を分解するように設計されています。

単純な分数の合計の場合。 このサービスは積分を解くのに役立ちます。 例を参照してください。

説明書。 分数の分子と分母を入力します。 「解決」ボタンをクリックします。

関数の入力規則

関数の入力規則

不確定係数法のためのアルゴリズム

1. 分母を因数分解します。
2. 未決定の係数を持つ単純な分数の合計としての分数の分解。
3. 分子を同じ x 乗でグループ化します。
4. 未決定の係数を未知数として持つ線形代数方程式系を取得します。
5. SLAE の解法: Cramer 法、Gauss 法、逆行列法、または未知数を除去する方法。

例。 最も単純なものに分解する方法を使用します。 関数を最も単純な用語に分解してみましょう。


分子を同等にして、係数が同じべき乗であることを考慮してみましょう。 バツ、左右の立ち位置が一致している必要があります。
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
A+B=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A -2B + C + 4D = 0
それを解くと、次のことがわかります。
A = 1/16 ;B = - 1/9 ;C = - 5/12 ;D = 7/144 ;

分数有理関数の積分。
不確定係数法

引き続き分数の積分に取り組みます。 このレッスンではすでにいくつかの種類の分数の積分について説明しましたが、このレッスンはある意味、その続きであると考えることができます。 この内容をうまく理解するには、基本的な積分スキルが必要です。そのため、積分を勉強し始めたばかり、つまり初心者の場合は、この記事から始める必要があります。 不定積分。 解決策の例.

奇妙なことに、今度は積分を求めることよりも、連立一次方程式を解くことに取り組むことになります。 この点について 緊急に代入法（学校法や系方程式の各項加算（減算）法）に精通している必要があるので受講をお勧めします。

分数有理関数とは何ですか? 簡単な言葉で言うと、分数有理関数は、分子と分母に多項式または多項式の積が含まれる分数です。 さらに、分数は記事で説明したものよりも洗練されています。 いくつかの分数を積分する.

適切な分数有理関数の統合

分数有理関数の積分を解くための典型的なアルゴリズムの例をすぐに示します。

例1

ステップ1。分数有理関数の積分を解くときにいつも最初に行うことは、次の質問を明確にすることです。 分数は適切ですか？このステップは口頭で実行されます。ここでその方法を説明します。

まず分子を見て調べます 上級学位多項式:

分子の進みべき乗は 2 です。

次に、分母を見て調べます。 上級学位分母。 明白な方法は括弧を開けて同様の用語を持ち込むことですが、次のようにもっと簡単に行うこともできます。 それぞれ括弧内の最高次数を見つける

そして精神的に乗算します: - したがって、分母の最高次数は 3 に等しくなります。 実際に括弧を開けてみると、3 つ以上の学位が得られないことは明らかです。

結論: 分子の主次数 厳密には分母の最大べき乗より小さいので、分数が適切であることを意味します。

入っている場合 この例では分子には多項式 3、4、5 などが含まれていました。 度の場合、分数は次のようになります。 間違っている.

ここで、正しい分数有理関数のみを考慮します。。 分子の次数が分母の次数以上である場合については、レッスンの最後で説明します。

ステップ2。分母を因数分解してみましょう。 分母を見てみましょう。

一般的に言えば、これはすでに要素の積ですが、それでもなお、私たちは自問します。何か他のものを拡張することは可能でしょうか? 拷問の対象は間違いなく二乗三項式だろう。 二次方程式を解くと次のようになります。

判別式は 0 より大きく、これは三項式が実際に因数分解できることを意味します。

原則: 分母で因数分解できるものはすべて因数分解します

解決策の策定を始めましょう。

ステップ3。不定係数の方法を使用して、被積分関数を単純な (基本的な) 分数の和に拡張します。 今ではそれがより明確になります。

被積分関数を見てみましょう。

そして、どういうわけか、大きな部分をいくつかの小さな部分に変換できたらいいのではないかという直感的な考えが浮かび上がります。 たとえば、次のようになります。

こんなことが可能なのかという疑問が生じます。 安堵のため息をつきましょう。対応する数学的解析の定理は、「それは可能です」と述べています。 このような分解は存在し、独特です.

落とし穴が 1 つだけあります。確率は次のとおりです。 さよならわからないので、不定係数法という名前が付けられました。

ご想像の通り、その後の体の動きはこんな感じです、クスッとしないでください！ 単にそれらを認識すること、つまりそれらが何に等しいかを知ることを目的としています。

一度しか詳しく説明しませんのでご注意ください！

それでは、次から踊り始めましょう。

左側では、式を共通の分母に還元します。

これで、分母を安全に取り除くことができます (分母は同じであるため)。

左側では括弧を開きますが、今のところ未知の係数には触れないでください。

同時に私たちは繰り返します 校則乗算多項式。 私は教師だったとき、このルールを真顔で発音することを学びました。 多項式と多項式を乗算するには、一方の多項式の各項をもう一方の多項式の各項で乗算する必要があります。.

明確な説明の観点から、係数を括弧内に入れる方が良いでしょう (ただし、私は個人的には時間を節約するためにこれをしません)。

線形方程式系を構成します。
まず上級学位を探します。

そして、対応する係数をシステムの最初の方程式に書き込みます。

次の点をよく覚えておいてください。 右側に s がまったくなかったらどうなるでしょうか? たとえば、四角形なしでただ見せるだけでしょうか？ この場合、システムの方程式では、右側にゼロを置く必要があります。 なぜゼロなのでしょうか？ しかし、右側では常にこの同じ正方形にゼロを割り当てることができるため、右側に変数や自由項がない場合は、システムの対応する方程式の右側にゼロを置きます。

対応する係数をシステムの 2 番目の方程式に書き込みます。

そして最後にミネラルウォーターですが、無料会員を選択します。

えー...ちょっと冗談でした。 冗談はさておき、数学は本格的な科学です。 私たちの研究所のグループでは、助教授が項を数直線に沿って散布して、最大のものを選択すると言ったとき、誰も笑いませんでした。 真剣に考えましょう。 とはいえ…生きてこの教訓の終わりを見届ける人は、今でも静かに微笑むだろう。

システムの準備は完了です:

このシステムを解決します。

(1) 最初の方程式を表現し、システムの 2 番目と 3 番目の方程式に代入します。 実際には、別の式から（または別の文字で）表​​現することも可能ですが、この場合は、最初の式から表現する方が有利です。 最小の確率.

(2) 2 番目と 3 番目の式にも同様の項を示します。

(3) 2 番目と 3 番目の方程式を項ごとに加算して等式を求めます。そこから次のことがわかります。

(4) 2 番目 (または 3 番目) の式に代入すると、次のことがわかります。

(5) 最初の式に と を代入して、 を求めます。

系の解き方が難しい場合は、授業で練習してください。 連立一次方程式を解くにはどうすればよいでしょうか?

システムを解決した後は、見つかった値をチェックして置き換えることが常に役立ちます。 毎システムの方程式、その結果、すべてが「収束」するはずです。

もうすぐそこです。 係数が見つかりました。

完成したジョブは次のようになります。

ご覧のとおり、このタスクの主な難しさは、連立一次方程式を (正しく!) 構成し、(正しく!) 解くことでした。 そして最終段階では、すべてはそれほど難しくありません。不定積分の線形特性を使用して積分します。 3 つの積分のそれぞれの下に「自由な」複素関数があることに注意してください。その積分の機能についてはレッスンで話しました。 不定積分における変数変更法.

チェック: 答えを微分してください:

元の被積分関数が得られました。これは、積分が正しく求められたことを意味します。
検証中に、式を共通の分母に帰す必要がありましたが、これは偶然ではありません。 不定係数の方法と式を共通の分母に減らす方法は、相互に逆の動作です。

例 2

不定積分を求めます。

最初の例の分数に戻りましょう。 。 分母のすべての要素が異なることに気づくのは簡単です。 たとえば、次のような分数が与えられた場合にどうすればよいかという疑問が生じます。 ? ここでは分母に次数があり、数学的には次のようになります。 倍数。 さらに、因数分解できない 2 次三項式もあります (方程式の判別式を検証するのは簡単です) は負であるため、三項式は因数分解できません)。 何をするか？ 基本分数の和への展開は次のようになります。 上部に未知の係数があるのか​​、それとも何か他のものですか?

例 3

機能を紹介する

ステップ1。適切な分数があるかどうかを確認する
主な分子: 2
分母の最高次数: 8
、これは分数が正しいことを意味します。

ステップ2。分母に何かを因数分解することは可能ですか? 明らかにそうではありません。すべてがすでに配置されています。 上記の理由により、平方三項式を積に拡張することはできません。 フード。 より少ない作業。

ステップ3。分数有理関数が基本分数の合計であると想像してみましょう。
この場合、展開は次の形式になります。

分母を見てみましょう。
分数有理関数を基本分数の和に分解すると、次の 3 つの基本的な点を区別できます。

1) 分母に「孤立」因子の 1 乗が含まれる場合 (この例の場合)、先頭に不定の係数を置きます (この例の場合)。 例No.1、2は、そのような「孤独」要因のみで構成されています。

2) 分母が次の場合 複数乗数の場合は、次のように分解する必要があります。
- つまり、「X」のすべての次数を 1 番目から n 番目まで順番に通過します。 この例には 2 つの複数の要素があります: と 、私が与えた展開をもう一度見て、それらがこのルールに従って正確に展開されていることを確認してください。

3) 分母に 2 次の分解不可能な多項式が含まれている場合 (この例の場合)、分子で分解するときに、未決定の係数 (この例では未決定の係数 と ) を持つ線形関数を記述する必要があります。

実はもう4つ目のケースがあるのですが、実際には非常に稀なケースなので黙っておきます。

例 4

機能を紹介する 未知の係数を持つ初等分数の合計として。

これは例です 独立した決定。 完全な解決策と答えはレッスンの最後にあります。
アルゴリズムに厳密に従ってください。

分数有理関数を和に展開する原理を理解していれば、検討中の種類の積分のほぼすべてを理解することができます。

例5

不定積分を求めます。

ステップ1。明らかに分数は正しいです:

ステップ2。分母に何かを因数分解することは可能ですか? できる。 これが立方体の和です 。 省略された乗算公式を使用して分母を因数分解します

ステップ3。不定係数の方法を使用して、被積分関数を基本分数の和に拡張します。

多項式は因数分解できないことに注意してください (判別式が負であることを確認してください)。 そのため、1 文字だけではなく、未知の係数を持つ線形関数を先頭に置きます。

分数を共通の分母にします。

システムを構成して解決しましょう。

(1) 最初の式から式を表し、システムの 2 番目の式に代入します (これが最も合理的な方法です)。

(2) 2 番目の方程式にも同様の項を示します。

(3) システムの 2 番目と 3 番目の方程式を項ごとに追加します。

システムが単純であるため、以降の計算は原則としてすべて口頭で行われます。

(1) 求めた係数に従って分数の和を書き留めます。

(2) 不定積分の線形性を利用します。 2 番目の積分では何が起こったでしょうか? レッスンの最後の段落でこの方法に慣れることができます。 いくつかの分数を積分する.

(3) もう一度、線形性の特性を使用します。 3 番目の積分では、完全な正方形の分離を開始します (レッスンの最後から 2 番目の段落) いくつかの分数を積分する).

(4) 2 番目の積分を取得し、3 番目の積分では完全な平方を選択します。

(5) 3 番目の積分を計算します。 準備ができて。

バシコルト・スタン共和国科学教育省

SAOU SPO バシキール建築土木大学

カリウリン・アスハト・アデルジャノヴィチ、

バシキルスキー大学の数学教師

建築土木学部

UFA

2014年

はじめに______________________________________________________3

章 私。 理論的側面不確かな係数の方法を使用____________________________________________________________4

章 II. 不定係数法を使用して多項式の問題の解を探索________________________________________________7

2.1.多項式の因数分解________________________________ 7

2.2. パラメータに関する問題_________________________________ 10

2.3. 方程式を解く_____________________________________________________14

2.4. 関数方程式____________________________________________19

結論_________________________________________________23

使用済み文献リスト_____________________________________________________24

応用 ________________________________________________25

導入。

この研究は、学校の数学コースに不定係数の方法を導入する理論的および実践的な側面に焦点を当てています。 このトピックの関連性は、次の状況によって判断されます。

科学としての数学は一箇所に留まらず、絶えず進化しており、複雑性が増した新しいタスクが出現し、通常は研究に関連しているため、特定の困難を引き起こすことが多いことに異論を唱える人はいないでしょう。 このようなタスクは、 ここ数年数学オリンピックは学校、地区、および共和党の数学オリンピックで提供されていますが、統一州試験バージョンでも利用できます。 したがって、少なくともいくつかの問題を最も迅速に、効率的に、手頃な価格で解決できる特別な方法が必要でした。 一般教養科目から最先端まで、数学の幅広い分野で広く用いられている不定係数法の内容をわかりやすく解説。 特に、パラメータ、分数有理方程式、および関数方程式の問題を解決する際に不定係数の方法を適用することは、特に興味深く効果的です。 数学に興味がある人なら誰でも簡単に興味を引くことができます。 提案された作業と問題の選択の主な目的は、短く非標準的な解決策を見つける能力を磨き、開発する十分な機会を提供することです。

この作品は2つの章から構成されています。 最初のセクションでは、使用の理論的側面について説明します。

不確実係数の方法、そして第二に、そのような使用の実践的および方法論的な側面です。

この作品の付録には、独立した解決策のための特定のタスクの条件が記載されています。

章 私 。 使用の理論的側面不確かな係数の方法

「人間は…達人になるために生まれてきた、

支配者、自然の王、しかし知恵、

彼が統治しなければならないものは彼に与えられていない

生まれたときから：学習によって獲得されます。」

N.I.ロバチェフスキー

存在する さまざまな方法問題を解決するための方法はさまざまですが、最も便利で効果的で独創的でエレガントであると同時に、非常にシンプルで誰にとっても理解しやすい方法の 1 つは、不定係数の方法です。 未決定係数法は、形式が事前にわかっている式の係数を求めるために数学で使用される方法です。

さまざまな種類の問題を解決するための不定係数法の適用を検討する前に、いくつかの理論的情報を紹介します。

与えてもらいましょう

あ n (バツ) = ある 0 バツ n + ある 1 バツ n-1 + ある 2 バツ n-2 + ··· + ある n-1 バツ + ある n

B メートル (バツ ) = b 0 バツ メートル + b 1 バツ メートル -1 + b 2 バツ メートル -2 + ··· + b m-1 バツ + b メートル ,

相対多項式 バツいかなる確率でも。

定理。 2 つの多項式は 1 つと 同じ引数は、次の場合に限り、まったく同じです。n = メートル それらの対応する係数は等しいある 0 = b 0 , ある 1 = b 1 , ある 2 = b 2 ,··· , ある n -1 = b メートル -1 , ある n = b メートル そして T. d.

明らかに、等しい多項式はすべての値をとります バツ同じ価値観。 逆に、2 つの多項式の値がすべての値で等しい場合は、 バツ、次に多項式 等しい、つまり、それらの係数は同じ次数にありますバツマッチする。

したがって、不定係数法を問題解決に適用する考え方は次のようになります。

いくつかの変換の結果として、特定のタイプの式が取得され、この式の係数のみが不明であることを知っておいてください。 次に、これらの係数は文字で指定され、未知数とみなされます。 次に、これらの未知数を決定するために方程式系が構築されます。

たとえば、多項式の場合、これらの方程式は、同じ累乗に対して係数が等しいという条件から作成されます。 バツ 2 つの等しい多項式の場合。

以下の具体的な例を使用して、上で述べたことを実証しましょう。最も単純な例から始めましょう。

したがって、たとえば、理論的考察に基づいて、分数は

合計として表すことができます

、 どこ ある , b そして c - 決定される係数。 それらを見つけるために、2 番目の式を最初の式と同等とみなします。

=

そして分母から解放され、左辺と同じ力を持つ項を集めます バツ、 我々が得る：

(ある + b + c )バツ 2 + ( b - c )x - a = 2バツ 2 – 5 バツ– 1

最後の等式はすべての値に対して真である必要があるため、 バツ、次に同じ次数の係数バツ右と左は同じでなければなりません。 したがって、3 つの未知の係数を決定するための 3 つの方程式が得られます。

a+b+c = 2

b - c = - 5

あ= 1、どこから ある = 1 , b = - 2 , c = 3

したがって、

=
,

この等式の妥当性は直接検証するのが簡単です。

分数も表す必要があるとします。

として ある + b
+ c
+ d
、 どこ ある , b , c そして d- 未知の有理係数。 2 番目の式を最初の式と同等とみなします。

ある + b
+ c
+ d
=
または、 分母から解放され、ルートの符号の下から合理的な要素を可能な限り削除し、同様の項を左側に置くと、次の結果が得られます。

(ああ、 2 b + 3 c ) + (- a+b +3 d )
+ (a+c - 2 d )
+

+ (b～c + d )
= 1 +
-
.

しかし、そのような等価性は、両方の部分の有理項と同じ根号の係数が等しい場合にのみ可能です。 したがって、未知の係数を見つけるための 4 つの方程式が得られます。 ある , b , c そして d :

ああ、 2b+ 3c = 1

- a+b +3 d = 1

a+c - 2 d = - 1

b - c + d= 0、どこから ある = 0 ; b = - ; c = 0 ; d= 、つまり
= -
+
.

第 2 章 多項式の問題の解決策を検索します。 未決定係数の方法.

「主題の習得に最も貢献するものはありません」

さまざまな状況で彼と行動する方法」

アカデミアン B.V. グネデンコ

2. 1. 多項式の因数分解。

多項式を因数分解する方法:

1) 括弧の外に共通因子を配置する; 2) グループ化方法; 3) 基本的な乗算公式の応用。 4) 補助項の導入、5) 特定の式を使用した所定の多項式の予備変換。 6) 与えられた多項式の根を見つけることによる拡張。 7) パラメータの入力方法。 8)未決定係数の方法。

問題 1. 多項式を実因数に因数分解する バツ 4 + バツ 2 + 1 .

解決。 この多項式の自由項の約数には根がありません。 他の基本的な手段では多項式の根を見つけることはできません。 したがって、最初にこの多項式の根を見つけて必要な拡張を実行することはできません。 補助項を導入するか、未決定の係数を使用する方法によって、問題の解決策を探す必要があります。 それは明らかです バツ 4 + バツ 2 + 1 = バツ 4 + バツ 3 + バツ 2 - バツ 3 - バツ 2 - バツ + バツ 2 + バツ + 1 =

= バツ 2 (バツ 2 + バツ + 1) - バツ (バツ 2 + バツ + 1) + バツ 2 + バツ + 1 =

= (バツ 2 + バツ + 1)(バツ 2 - バツ + 1).

結果として得られる二次三項式には根がないため、実線形因数に分解できません。

説明されている方法は技術的には簡単ですが、人為的であるため困難です。 実際、必要な補助用語を考え出すのは非常に困難です。 この分解を見つけるには推測だけが役立ちました。 しかし

もっとあります 信頼できる方法このような問題の解決策。

次のように進めることができます。指定された多項式が次の積に分解されると仮定します。

(バツ 2 + あ バツ + b )(バツ 2 + c バツ + d )

整数係数を持つ 2 つの平方三項式。

したがって、それが得られます

バツ 4 + バツ 2 + 1 = (バツ 2 + あ バツ + b )(バツ 2 + c バツ + d )

係数を決定することが残っていますある , b , c そして d .

最後の等式の右辺の多項式を乗算すると、次のようになります。バツ 4 + バツ 2 + 1 = バツ 4 +

+ (a + c ) バツ 3 + (b + あ c + d ) バツ 2 + (広告 + 紀元前 ) × + BD .

しかし、この等式の右側を左側と同じ多項式に変える必要があるため、次のことが必要になります。 以下の条件:

a + c = 0

b + あ c + d = 1

広告 + 紀元前 = 0

BD = 1 .

結果は、4 つの未知数を含む 4 つの方程式系になります。ある , b , c そして d 。 このシステムから係数を見つけるのは簡単ですある = 1 , b = 1 , c = -1 そして d = 1.

これで問題は完全に解決されました。 得られたもの:

バツ 4 + バツ 2 + 1 = (バツ 2 + バツ + 1)(バツ 2 - バツ + 1).

問題 2. 多項式を実因数に因数分解する バツ 3 – 6 バツ 2 + 14 バツ – 15 .

解決。 この多項式を次の形式で表します。

バツ 3 – 6 バツ 2 + 14 バツ – 15 = (バツ + あ )(バツ 2 + bx + c） 、 どこ ある , b そして と - 係数はまだ決定されていません。 2 つの多項式は、係数が同じべき乗である場合に限り、まったく等しいため、バツ は等しいので、それぞれの係数を等しくしますバツ 2 , バツ そして無料の条件が得られます 3人体制 3 つの未知数を含む方程式:

a+b= - 6

アブ + c = 14

交流 = - 15 .

この系の解法は、数値 3 (自由項の約数) がこの方程式の根であることを考慮すると大幅に単純化されます。ある = - 3 ,

b = - 3 そして と = 5 .

それから バツ 3 – 6 バツ 2 + 14 バツ – 15 = (バツ – 3)(バツ 2 – 3 バツ + 5).

不定係数を適用する方法は、補助項を導入する上記の方法と比較して、人為的なものは何も含まれていませんが、多くの理論原理の適用が必要であり、かなり大規模な計算を伴います。 より高次の多項式の場合、係数が未決定のこの方法では、面倒な連立方程式が作成されます。

2.2.タスク そしてパラメータ付き。

近年、統一国家試験のバージョンではパラメータを含むタスクが提供されています。 彼らの解決策はしばしば特定の問題を引き起こします。 パラメーターを使用して問題を解決する場合、他の方法とともに、不定係数の方法を非常に効果的に使用できます。 その通り この方法ソリューションを大幅に簡素化し、すぐに答えを得ることができます。

タスク 3. パラメータの値を決定する あ方程式2 バツ 3 – 3 バツ 2 – 36 バツ + あ – 3 = 0 にはちょうど 2 つの根があります。

解決。 1方向。 派生関数を使用します。

この方程式を 2 つの関数の形で表してみましょう

2×3 – 3 バツ 2 – 36 バツ – 3 = – あ .

f (バツ) = 2x 3 – 3 バツ 2 – 36 バツ– 3 と φ( バツ ) = – あ .

機能を調べてみましょうf (バツ) = 2x 3 – 3 バツ 2 – 36 バツ – 3 導関数を使用してそのグラフを概略的に構築します (図 1.)。

f( – バツ )f (バツ ) , f (– バツ ) – f (バツ ). この関数は偶数でも奇数でもありません。

3. 関数の臨界点、増加と減少の間隔、極値を見つけてみましょう。 f / (バツ ) = 6 バツ 2 – 6 バツ – 36. D (f / ) = R したがって、方程式を解くことで関数のすべての臨界点を見つけることができます。 f / (バツ ) = 0 .

6(バツ 2 – バツ– 6) = 0 ,

バツ 2 – バツ– 6 = 0 ,

バツ 1 = 3 , バツ 2 = – 2 ビエタの定理の逆定理により。

f / (バツ ) = 6(バツ – 3)(バツ + 2).

+ 最大 - 分 +

2 3 バツ

f / (バツ) > すべての場合 バツ< – 2と バツ > 3 であり、関数は点で連続ですx =– 2と バツ = 3 であるため、各間隔で増加します (- ; - 2] および [ 3 ; ).

f / (バツ ) < 0時 - 2 < バツ< 3 したがって、間隔 [-2; 3 ].

バツ = - 2 番目の最大点。 この時点で、導関数の符号は次のように変わります。「+」から「-」まで。

f (－2)＝2・(－8)－3・4－36・(－2)－3＝－16－12＋72－3＝= 72 – 31 = 41 ,

x = 3 最小点。この点で導関数の符号が変化するため「-」から「+」まで。

f (3) = 2・27 – 3・9 – 36・3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84。

関数 φ(バツ ) = – あ は、x 軸に平行で、座標 (0) の点を通る直線です。; – あ ）。 グラフには次の 2 つの共通点があります。あ= 41、つまり a =– 41 および – あ= – 84、つまり あ = 84 .

で

41φ( バツ)

2 3 バツ

3 f ( バツ ) = 2×3 – 3 バツ 2 – 36 バツ – 3

方法2。 未決定係数の方法。

問題の条件によれば、この方程式には根が 2 つだけあるはずなので、等しいことは明らかです。

2バツ 3 – 3 バツ 2 – 36 バツ + あ – 3 = (× + b ) 2 (2 バツ + c ) ,

2バツ 3 – 3 バツ 2 – 36 バツ + あ – 3 = 2 バツ 3 + (4 b + c ) バツ 2 + (2 b 2 + +2 紀元前 ) バツ + b 2 c ,

係数を同じ次数で等しくします バツ、連立方程式を取得します。

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc = - 36

b 2 c = ある – 3 .

システムの最初の 2 つの方程式から、次のことがわかります。b 2 + b – 6 = 0、なぜなら b 1 = - 3 または b 2 = 2 。 対応する値と 1と と 2 システムの最初の方程式から簡単に見つけることができます。と 1 = 9 または と 2 = -11 。 最後に、パラメーターの望ましい値は、システムの最後の方程式から決定できます。

あ = b 2 c + 3 , ある 1 = - 41 または ある 2 = 84.

答え: この方程式には、正確に 2 つの異なる点があります。

ルートで あ= - 41 および あ= 84 .

タスク 4. パラメーターの最大値を見つけるあ 、その方程式はバツ 3 + 5 バツ 2 + おお + b = 0

整数係数の場合は 3 つの異なる根があり、そのうちの 1 つは – 2 に等しくなります。

解決。 1方向。 置き換える バツ方程式の左側に = - 2 を代入すると、次のようになります。

8 + 20 – 2 あ + b= 0、つまり b = 2 ある – 12 .

数字 - 2 は根なので、共通因数を取り出すことができます。 バツ + 2:

バツ 3 + 5 バツ 2 + おお + b = バツ 3 + 2 バツ 2 + 3 バツ 2 + おお + (2 ある – 12) =

= バツ 2 (バツ + 2) + 3 バツ (バツ + 2) – 6 バツ + おお + (2 ある – 12) =

= バツ 2 (バツ + 2) + 3 バツ (バツ + 2) + (ある – 6)(バツ +2) - 2(ある – 6)+ (2 は – 12) =

= (バツ + 2)(バツ 2 + 3 バツ + (ある – 6) ) .

条件によって、方程式の根がさらに 2 つあります。 これは、2 番目の因子の判別式が正であることを意味します。

D =3 2 - 4 (ある – 6) = 33 – 4 ある > 0、つまり あ < 8,25 .

答えはこうなるように思われる a =８． しかし、元の方程式に数値 8 を代入すると、次のようになります。

バツ 3 + 5 バツ 2 + おお + b = バツ 3 + 5 バツ 2 + 8 バツ + 4 = (バツ + 2)(バツ 2 + 3 バツ + 2 ) =

= (バツ + 1) (バツ + 2) 2 ,

つまり、方程式には 2 つの異なる根しかありません。 でもいつ a = 7 は実際に 3 つの異なるルートを生成します。

方法2。 未決定係数の方法。

方程式の場合 バツ 3 + 5 バツ 2 + おお + b = 0 にはルートがあります バツ = - 2 であれば、いつでも数字を取得できますc そして d だからみんなの前でバツ 平等は真実だった

バツ 3 + 5 バツ 2 + おお + b = (バツ + 2)(バツ 2 + と バツ + d ).

数字を見つけるにはc そして d 右側の括弧を開いて、同様の用語を追加して、

バツ 3 + 5 バツ 2 + おお + b = バツ 3 + (2 + と ) バツ 2 +(2 s+ d ) バツ + 2 d

対応するべき乗での係数を等しくする バツ私たちにはシステムがあります

2 + と = 5

2 と + d = ある

2 d = b , どこ c = 3 .

したがって、 バツ 2 + 3 バツ + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 または

d < 2.25なので d (- ; 2 ].

問題の条件は値によって満たされます d = 1. パラメータの最終的な希望値あ = 7.

答え: いつ a = 7 この方程式には 3 つの異なる根があります。

2.3. 方程式を解く。

「小さな問題を解決することで、

大きくて難しいことに取り組む準備をする

新しいタスク。」

学者S.L.ソボレフ

いくつかの方程式を解くとき、機知と機知を示すことができますし、そうすべきです。 特別な動き。 数学では、さまざまな変換手法を習得し、論理的推論を実行する能力が非常に重要です。 これらのトリックの 1 つは、適切に選択された式または数値を加算および減算することです。 もちろん、述べられた事実自体は誰もがよく知っています。主な困難は、それを適用するのが便利で適切な方程式の変換を特定の構成で確認することです。

単純な代数方程式を使用して、方程式を解くための非標準的な手法の 1 つを説明します。

問題 5. 方程式を解きます

=
.

解決。 この方程式の両辺を5倍して次のように書き換えてみましょう。

= 0 ; バツ 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 または
= 0

未決定係数の方法を使用して、結果の方程式を解いてみましょう

バツ 4 - バツ 3 –7 バツ – 3 = (バツ 2 + ああ+ b )(バツ 2 + CX + d ) = 0

バツ 4 - バツ 3 –7 バツ – 3 = バツ 4 + (a + c ) バツ 3 + (b + あ c + d ) バツ 2 + (広告 + 紀元前 ) x+ + BD

係数を等しくすると、 バツ 3 , バツ 2 , バツ無料の条件でシステムを取得します

a + c = -1

b + あ c + d = 0

広告 + 紀元前 = -7

BD = -3、ここから次のようになります。あ = -2 ; b = - 1 ;

と = 1 ; d = 3 .

それで バツ 4 - バツ 3 –7バツ– 3 = (バツ 2 – 2 バツ – 1)(バツ 2 + バツ + 3) = 0 ,

バツ 2 – 2 バツ– 1 = 0 または バツ 2 + バツ + 3 = 0

バツ 1,2 =
根がない。

同様に、私たちも

バツ 4 – 12バツ – 5 = (バツ 2 – 2 バツ – 1)(バツ 2 + 2バツ + 5) = 0 ,

どこ バツ 2 + 2 バツ + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

答え： バツ 1,2 =

問題 6. 方程式を解きます

= 10.

解決。 この方程式を解くには、数値を選択する必要がありますあそして b 両方の分数の分子が同じになるようにします。 したがって、次のようなシステムがあります。

= 0 , バツ 0; -1 ; -

= - 10

したがって、タスクは数字を見つけることですあそして b , 平等が成り立つもの

(+ 6) バツ 2 + ああ – 5 = バツ 2 + (5 + 2 b ) バツ + b

さて、多項式の等式に関する定理によれば、この等式の右辺は、左辺と同じ多項式になることが必要です。

つまり、次の関係が満たされなければなりません。

+ 6 = 1

あ = 5 + 2 b

– 5 = b 、値を見つけるところからあ = - 5 ;

b = - 5 .

これらの値ではあそして b 平等 あ + b = - 10 も妥当です。

= 0 , バツ 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(バツ 2 – 5バツ– 5)(バツ 2 + 3バツ + 1) = 0 ,

バツ 2 – 5バツ– 5 = 0 または バツ 2 + 3バツ + 1 = 0 ,

バツ 1,2 =
, バツ 3,4 =

答え： バツ 1,2 =
, バツ 3,4 =

問題 7. 方程式を解きます

= 4

解決。 この方程式は前の方程式よりも複雑であるため、次のようにグループ化します。 バツ 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

2 つの多項式の等しい条件から

おお 2 + (+ 6) バツ + 12 = バツ 2 + (b + 11) バツ – 3 b ,

未知の係数に対する連立方程式を取得して解きます。あそして b :

あ = 1

+ 6 = b + 11

12 = – 3 b 、 どこ a = 1 , b = - 4 .

多項式 - 3 – 6バツ + CX 2 + 8 CXそして バツ 2 + 21 + 12 d – DX が互いに同一に等しいのは、次の場合のみです。

と = 1

8 と - 6 = - d

3 = 21 + 12 d , と = 1 , d = - 2 .

価値観ありa = 1 , b = - 4 , と = 1 , d = - 2

平等
= - 4 が正しいです。

結果として、この方程式は次の形式になります。

= 0 または
= 0 または
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

考察した例から、不定係数の方法をいかに巧みに使用するかが明らかです。

かなり複雑で珍しい方程式の解を単純化するのに役立ちます。

2.4. 関数方程式。

「数学の最高の目的は...

見つけることです 隠された順序 V

私たちを取り巻く混乱」

N. ヴィナー

関数方程式は、未知の関数が特定の関数である非常に一般的なクラスの方程式です。 狭義の関数方程式は、複素関数を形成する操作を使用して、所望の関数が 1 つ以上の変数の既知の関数に関連付けられている方程式として理解されます。 関数方程式は、特定のクラスの関数を特徴付けるプロパティの式として考えることもできます。

[たとえば関数方程式 f ( バツ ) = f (- バツ ) 偶関数のクラス、関数方程式を特徴づけます。f (バツ + 1) = f (バツ ) – 周期 1 を持つ関数のクラスなど。].

最も単純な関数方程式の 1 つは次の方程式です。f (バツ + y ) = f (バツ ) + f (y ）。 この関数方程式の連続解は次の形式になります。

f (バツ ) = Cバツ . ただし、不連続関数のクラスでは、この関数方程式には他の解があります。 考慮されている関数方程式に関連するものは次のとおりです。

f (バツ + y ) = f (バツ ) · f (y ), f (バツ y ) = f (バツ ) + f (y ), f (バツ y ) = f (バツ )· f (y ),

連続解はそれぞれ次の形式を持ちます。

e CX 、 とlnバツ , バツ α (バツ > 0).

したがって、これらの関数方程式を使用して、指数関数、対数関数、およびべき乗関数を定義できます。

最も広く使用されている方程式は、必要な関数が外部関数である複素関数のものです。 理論的および実践的な応用

優れた数学者がこれらの方程式を研究するきっかけとなったのは、まさにこれらの方程式でした。

例えば、 でアライメント

f 2 (バツ) = f (バツ - y)· f (バツ + y)

N.I.ロバチェフスキージオメトリの平行角度を決定するときに使用されます。

近年、数学オリンピックでは関数方程式を解く問題が出題されることが非常に多いです。 彼らの解決策には、中等学校の数学カリキュラムの範囲を超える知識は必要ありません。 ただし、関数方程式を解くと、特定の困難が生じることがよくあります。

関数方程式の解を見つける方法の 1 つは、不定係数法です。 こんなときに使えます 外観方程式を使用すると、目的の関数の一般的な形式を決定できます。 これは、まず、方程式の解を整数または分数の有理関数の間で求める必要がある場合に当てはまります。

以下の問題を解決することで、この手法の本質を概説しましょう。

タスク8. 機能f (バツ ) はすべての実数 x に対して定義されており、すべての x に対して満たされます。バツ R 状態

3 f(バツ) - 2 f(1- バツ) = バツ 2 .

探すf (バツ ).

解決。 この方程式の左側には独立変数 x と関数の値があるので、f 線形演算のみが実行され、方程式の右辺が 2 次関数である場合、目的の関数も 2 次関数であると想定するのが自然です。

f (バツ) = 斧 2 + bx + c 、 どこある, b, c – 決定される係数、つまり不確実な係数。

関数を方程式に代入すると、次の恒等式が得られます。

3(斧 2 + bx+c) – 2(ある(1 – バツ) 2 + b(1 – バツ) + c) = バツ 2 .

斧 2 + (5 b + 4 ある) バツ + (c – 2 ある – 2 b) = バツ 2 .

2 つの多項式が等しい場合、それらは等しくなります。

変数の同じ累乗の係数:

ある = 1

5b + 4ある = 0

c– 2 ある – 2 b = 0.

このシステムから係数を求めます。

ある = 1 , b = - 、c = , また満足する平等

3 f (バツ ) - 2 f (1- バツ ) = バツ 2 すべての実数のセット上で。 同時に、こんなこともありますバツ 0 タスク9. 機能y =f(バツ) すべての x が定義され、連続しており、条件を満たしている場合f (f (バツ)) – f(バツ) = 1 + 2 バツ . そのような関数を 2 つ見つけます。

解決。 目的の関数に対して 2 つのアクションが実行されます。つまり、複雑な関数を作成する操作と、

引き算。 方程式の右辺が次であることを考慮すると、 一次関数の場合、目的の関数も線形であると仮定するのが自然です。f(バツ) = ああ +b 、 どこあ そしてb – 不確実な係数。 この関数を代入すると、f (f ( (バツ ) = - バツ - 1 ;

f 2 (バツ ) = 2 バツ+ 、関数方程式の解です。f (f (バツ)) – f(バツ) = 1 + 2 バツ .

結論。

結論として、この作品は間違いなく原作と作品のさらなる研究に貢献することに留意する必要があります。 効果的な方法さまざまな数学の問題を解くことができ、難易度が高く、学校の数学コースの深い知識と高度な論理的文化が必要となります。独自に数学の知識を深めたい人も、この作品で考察や興味深い問題を見つけることができます。 、その解決策は利益と満足をもたらします。

既存の枠内での作業では、 学校のカリキュラムまた、効果的に認識できる形式で、不定係数の方法が提示されており、学校の数学コースを深めるのに役立ちます。

もちろん、不定係数法のすべての可能性を 1 つの研究で実証することはできません。 実際、この方法にはまださらなる研究と研究が必要です。

中古文献のリストです。

Glazer G.I..学校における数学の歴史.-M.: 教育、1983 年。

ゴモノフ S.A. 学校の数学コースの関数方程式 // 学校の数学。 – 2000年。 –№10 .

ドロフェエフ G.V.、ポタポフ M.K.、ロゾフ N.H..数学マニュアル - M.: Nauka、1972 年。

Kurash A.G.. 任意次数の代数方程式 - M.: Nauka、1983 年。

Likhtarnikov L.M.. 関数方程式の初級入門。 - サンクトペテルブルク。 ：ラン、1997年。

Manturov O.V.、Solntsev Yu.K.、Sorokin Yu.I.、Fedin N.G.. 数学用語の解説辞典.-M.: 教育、1971

モデノフVP.数学のマニュアル。 パート 1.-M.: モスクワ州立大学、1977 年。

モデノフ副社長. パラメーターの問題 - M.: 試験、2006 年。

Potapov M.K.、Aleksandrov V.V.、Pasichenko P.I.. 代数と初等関数の解析 - M.: Nauka、1980.

Khaliullin A.A.. あなたならもっと簡単に解けます // 学校の数学。 – 2003 . - №8 .

カリューリン。

4. 多項式 2 の展開バツ 4 – 5バツ 3 + 9バツ 2 – 5バツ整数係数を持つ乗算器の場合は + 3。

5. どのような値で あ バツ 3 + 6バツ 2 + おお+12あたり バツ+ 4 ?

6. パラメータの値は何ですかあ 方程式バツ 3 +5 バツ 2 + + おお + b 整数係数を持つ = 0 には 2 つの異なる根があり、そのうちの 1 つは 1 ?

7. 多項式の根の中 バツ 4 + バツ 3 – 18バツ 2 + おお + b 整数係数の場合、3 つの等しい整数が存在します。 値を見つける b .

8. パラメータの最大の整数値を見つけます。 あ、ここで方程式は バツ 3 – 8バツ 2 + ああ+b 整数係数を持つ = 0 には 3 つの異なる根があり、そのうちの 1 つは 2 に等しい。

9. どのような値で あそして b 割り算は剰余なしで実行されます バツ 4 + 3バツ 3 – 2バツ 2 + おお + b の上 バツ 2 – 3バツ + 2 ?

10. 多項式を因数分解する:

A)バツ 4 + 2 バツ 2 – バツ + 2 V)バツ 4 – 4バツ 3 +9バツ 2 –8バツ + 5 d)バツ 4 + 12バツ – 5

b)バツ 4 + 3バツ 2 + 2バツ + 3 G)バツ 4 – 3バツ –2 e)バツ 4 – 7バツ 2 + 1 .

11. 方程式を解きます。

A)
= 2 = 2 f (1 – バツ ) = バツ 2 .

探す f (バツ) .

13. 機能 で= f (バツ）みんなの前で バツ定義され、連続しており、条件を満たします f ( f (バツ)) = f (バツ) + バツ。そのような関数を 2 つ見つけます。