モジュラス符号は、おそらく数学で最も興味深い現象の 1 つです。 これに関して、多くの学童は、モジュールを含む関数のグラフを作成する方法について疑問を抱いています。 この問題を詳しく見てみましょう。

1. モジュールを含む関数のグラフをプロットする

例1.

関数 y = x 2 – 8|x| をグラフ化します。 +12。

解決。

関数のパリティを調べてみましょう。 y(-x) の値は y(x) の値と同じであるため、この関数は偶数です。 その場合、そのグラフは Oy 軸に関して対称になります。 x ≥ 0 の関数 y = x 2 – 8x + 12 をプロットし、負の x の場合は Oy に関して対称にグラフを表示します (図 1)。

例2。

次のグラフは、y = |x 2 – 8x + 12| のようになります。

– 提案された関数の値の範囲はどれくらいですか? (y ≥ 0)。

– スケジュールはどのように決められているのでしょうか？ (X 軸の上、または X 軸に触れている)。

これは、関数のグラフが次のように得られることを意味します。 関数 y = x 2 – 8x + 12 のグラフをプロットし、Ox 軸の上にあるグラフの部分は変更せず、グラフのその上にある部分を残します。横軸の下の は、Ox 軸に対して対称に表示されます (図 2)。

例 3.

関数 y = |x 2 – 8|x| をプロットするには + 12| 変換を組み合わせて実行します。

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|。

答え: 図 3。

考慮された変換は、すべてのタイプの関数に対して有効です。 表を作ってみましょう:

2. 式に「ネストされたモジュール」を含む関数のグラフをプロットする

法を含む二次関数の例と、y = f(|x|)、y = |f(x)| の形式の関数のグラフを作成するための一般規則についてはすでに説明しました。 y = |f(|x|)|。 これらの変換は、次の例を検討するときに役立ちます。

例4.

y = |2 – |1 – |x||| という形式の関数を考えてみましょう。 関数式には「ネストされたモジュール」が含まれています。

解決。

幾何学的変換の方法を使ってみましょう。

一連の連続した変換を書き留めて、対応する図を作成してみましょう (図 4)。

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||。

グラフを作成する際に、対称変換と平行移動変換が主要な手法ではない場合を考えてみましょう。

例5.

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 の形式の関数のグラフを作成します。

解決。

グラフを作成する前に、関数を定義する式を変換し、関数の別の分析的割り当てを取得します (図 5)。

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x – 2)(x + 2)/|x + 2|。

モジュールを分母で展開してみましょう。

x > -2、y = x – 2、および x の場合< -2, y = -(x – 2).

ドメイン D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞)。

値の範囲 E(y) = (-4; +∞)。

グラフが座標軸と交差する点: (0; -2) および (2; 0)。

この関数は、すべての x について区間 (-∞; -2) から減少し、x については -2 から +∞ まで増加します。

ここでは、係数の符号を明らかにし、各ケースの関数をプロットする必要がありました。

例6。

関数 y = |x + 1| を考えてみましょう。 – |x – 2|。

解決。

モジュールの符号を拡張すると、部分モジュール式の符号のあらゆる組み合わせを考慮する必要があります。

考えられるケースは次の 4 つです。

(x + 1 – x + 2 = 3、x ≥ -1 および x ≥ 2 の場合;

(-x – 1 + x – 2 = -3、x で< -1 и x < 2;

(x + 1 + x – 2 = 2x - 1、x ≥ -1 および x の場合)< 2;

(-x – 1 – x + 2 = -2x + 1、x で< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

元の関数は次のようになります。

(3、x ≥ 2 の場合;

y = (-3、x で< -1;

(2x – 1、-1 ≤ x< 2.

区分的に与えられた関数を取得しました。そのグラフを図 6 に示します。

3. 次の形式の関数のグラフを構築するためのアルゴリズム

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | +斧+b。

前の例では、係数の符号を明らかにするのは非常に簡単でした。 モジュールの合計がさらに多い場合、部分モジュール式の符号の可能なすべての組み合わせを考慮することは問題になります。 この場合、関数のグラフをどのように構築すればよいでしょうか?

グラフは破線であり、横座標が -1 および 2 の点に頂点があることに注意してください。x = -1 および x = 2 では、部分モジュラー式は 0 に等しくなります。 実際には、このようなグラフを作成するための規則に近づいてきました。

y = a 1 |x – x 1 | という形式の関数のグラフ。 + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b は、無限の極端なリンクを持つ破線です。 このような破線を作成するには、そのすべての頂点 (頂点の横座標は部分モジュラー式のゼロです) と左右の無限リンク上の 1 つの制御点を知るだけで十分です。

タスク。

関数 y = |x| をグラフ化します。 + |x – 1| + |x + 1| そしてその最小値を見つけます。

解決：

部分モジュラー式のゼロ: 0; -1; 1. 破線の頂点 (0; 2); (-13); (13)。 コントロール ポイントは右側 (2; 6)、左側 (-2; 6) です。 グラフを作成します (図 7)。 最小 f(x) = 2。

まだ質問がありますか? 係数を使用して関数をグラフ化する方法がわかりませんか?
家庭教師に助けてもらうために――。

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モジュラス符号は、おそらく数学で最も興味深い現象の 1 つです。 これに関して、多くの学童は、モジュールを含む関数のグラフを作成する方法について疑問を抱いています。 この問題を詳しく見てみましょう。

1. モジュールを含む関数のグラフをプロットする

例1.

関数 y = x 2 – 8|x| をグラフ化します。 +12。

解決。

関数のパリティを調べてみましょう。 y(-x) の値は y(x) の値と同じであるため、この関数は偶数です。 その場合、そのグラフは Oy 軸に関して対称になります。 x ≥ 0 の関数 y = x 2 – 8x + 12 をプロットし、負の x の場合は Oy に関して対称にグラフを表示します (図 1)。

例2。

次のグラフは、y = |x 2 – 8x + 12| のようになります。

– 提案された関数の値の範囲はどれくらいですか? (y ≥ 0)。

– スケジュールはどのように決められているのでしょうか？ (X 軸の上、または X 軸に触れている)。

これは、関数のグラフが次のように得られることを意味します。 関数 y = x 2 – 8x + 12 のグラフをプロットし、Ox 軸の上にあるグラフの部分は変更せず、グラフのその上にある部分を残します。横軸の下の は、Ox 軸に対して対称に表示されます (図 2)。

例 3.

関数 y = |x 2 – 8|x| をプロットするには + 12| 変換を組み合わせて実行します。

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|。

答え: 図 3。

考慮された変換は、すべてのタイプの関数に対して有効です。 表を作ってみましょう:

2. 式に「ネストされたモジュール」を含む関数のグラフをプロットする

法を含む二次関数の例と、y = f(|x|)、y = |f(x)| の形式の関数のグラフを作成するための一般規則についてはすでに説明しました。 y = |f(|x|)|。 これらの変換は、次の例を検討するときに役立ちます。

例4.

y = |2 – |1 – |x||| という形式の関数を考えてみましょう。 関数式には「ネストされたモジュール」が含まれています。

解決。

幾何学的変換の方法を使ってみましょう。

一連の連続した変換を書き留めて、対応する図を作成してみましょう (図 4)。

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||。

グラフを作成する際に、対称変換と平行移動変換が主要な手法ではない場合を考えてみましょう。

例5.

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 の形式の関数のグラフを作成します。

解決。

グラフを作成する前に、関数を定義する式を変換し、関数の別の分析的割り当てを取得します (図 5)。

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x – 2)(x + 2)/|x + 2|。

モジュールを分母で展開してみましょう。

x > -2、y = x – 2、および x の場合< -2, y = -(x – 2).

ドメイン D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞)。

値の範囲 E(y) = (-4; +∞)。

グラフが座標軸と交差する点: (0; -2) および (2; 0)。

この関数は、すべての x について区間 (-∞; -2) から減少し、x については -2 から +∞ まで増加します。

ここでは、係数の符号を明らかにし、各ケースの関数をプロットする必要がありました。

例6。

関数 y = |x + 1| を考えてみましょう。 – |x – 2|。

解決。

モジュールの符号を拡張すると、部分モジュール式の符号のあらゆる組み合わせを考慮する必要があります。

考えられるケースは次の 4 つです。

(x + 1 – x + 2 = 3、x ≥ -1 および x ≥ 2 の場合;

(-x – 1 + x – 2 = -3、x で< -1 и x < 2;

(x + 1 + x – 2 = 2x - 1、x ≥ -1 および x の場合)< 2;

(-x – 1 – x + 2 = -2x + 1、x で< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

元の関数は次のようになります。

(3、x ≥ 2 の場合;

y = (-3、x で< -1;

(2x – 1、-1 ≤ x< 2.

区分的に与えられた関数を取得しました。そのグラフを図 6 に示します。

3. 次の形式の関数のグラフを構築するためのアルゴリズム

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | +斧+b。

前の例では、係数の符号を明らかにするのは非常に簡単でした。 モジュールの合計がさらに多い場合、部分モジュール式の符号の可能なすべての組み合わせを考慮することは問題になります。 この場合、関数のグラフをどのように構築すればよいでしょうか?

グラフは破線であり、横座標が -1 および 2 の点に頂点があることに注意してください。x = -1 および x = 2 では、部分モジュラー式は 0 に等しくなります。 実際には、このようなグラフを作成するための規則に近づいてきました。

y = a 1 |x – x 1 | という形式の関数のグラフ。 + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b は、無限の極端なリンクを持つ破線です。 このような破線を作成するには、そのすべての頂点 (頂点の横座標は部分モジュラー式のゼロです) と左右の無限リンク上の 1 つの制御点を知るだけで十分です。

タスク。

関数 y = |x| をグラフ化します。 + |x – 1| + |x + 1| そしてその最小値を見つけます。

解決：

部分モジュラー式のゼロ: 0; -1; 1. 破線の頂点 (0; 2); (-13); (13)。 コントロール ポイントは右側 (2; 6)、左側 (-2; 6) です。 グラフを作成します (図 7)。 最小 f(x) = 2。

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サンドボックス

GIA - 係数符号を使用した関数のプロット

こんにちは、みんな！ 今日はチャートなどについて解説していきたいと思います。 おそらくほとんどの人は、y=x^2 や y=1/x などの関数の単純なグラフをプロットする方法を知っているでしょう。 係数記号を使用してグラフを作成するにはどうすればよいですか?

タスク1。関数 y=|x| のグラフを作成します。 y=|x-1|。
解決。関数 y=|x| のグラフと比較してみましょう。x が正の場合、|x|=x となります。 これは、引数が正の値の場合、グラフ y=|x| であることを意味します。 y=x グラフと一致します。つまり、グラフのこの部分は、x 軸に対して 45 度の角度で原点から出てくる光線です。 x で< 0 имеем |x|= -x; значит, для отрицательных x график y=|x| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.
ただし、関数 y=|x| に注目すれば、グラフの後半 (負の X の場合) は前半から簡単に取得できます。 - |-a|=|a| なので偶数です。 これは、関数 y=|x| のグラフが次のことを意味します。 は Oy 軸に関して対称であり、グラフの後半は、x を正として描いた部分を y 軸に関して反映することで取得できます。 結果のグラフは次のようになります。

構築するには、点 (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2) を取得します。

これで、グラフは y=|x-1| になります。 A がグラフ点の場合、y=|x| 座標 (a;|a|) の場合、グラフ点 y=|x-1| Y 縦軸の値が同じであれば、点 A1(a+1;|a|) が存在します。 (なぜですか?) 2 番目のグラフのこの点は、Ox 軸に平行して右にシフトすることによって、最初のグラフの点 A(a;|a|) から取得できます。 これは、関数 y=|x| のグラフから関数 y=|x-1| のグラフ全体が得られることを意味します。 Ox 軸に平行に右に 1 だけシフトします。

グラフを作成しましょう:

Y=|x-1|

構築するには、点 (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1) を取得します。

それは簡単な作業でした。 さて、これは多くの人を恐怖に陥れているものです。

タスク2。関数 y=3*|x-4| をプロットします。 - x + |x+1|。
解決。部分モジュール式が消滅する点を見つけてみましょう。 いわゆる機能の「クリティカル」ポイント。 これらの点は x=-1 および x=4 になります。 これらの時点で、サブモジュール式の符号が変わる可能性があります。

×にしてみましょう<-1. 次に、x+1<0, |x+1|=-x-1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(-х-1)= -5х+11.
-1 にしてみましょう< = x < = 4. この場合、x+1>0、|x+1|=x+1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(х+1)= -3х+13.
x>4 とします。この場合、x+1>0、|x+1|=x+1、x-4>0; |x-4|=x-4; したがって、y= 3(x-4)-x+x+1= 3x-11 となります。

これは、関数のグラフ (正確に 1 つ) を構築する必要があることを意味します。
( y= -5x+11、x で<-1
( y= -3х+13、-1 で< = x < = 4.
( y= 3x-11、x>4 の場合)

最初のものを構築するには、点 (1; 6) (2; 1) を取得します。
2 番目のものを構築するには、点 (3; 4) (4; 1) を取得します。
3 番目を作成するには、点 (3; -2) (4; 1) を取得します。

さて、今日の最後のタスクを分析します。
タスク3.関数 y= |1/4 x^2 - |x| をグラフ化します。 - 3|。
解決。関数 y= |f(|x|)| 平 x>=0 y= f(x) の関数のグラフを作成し、それを Oy 軸に対して対称に反映する必要があります (これはグラフ y= |1/4 x^2 - x - 3| です)。 .)、そして最後に、結果として得られるグラフィックスのうち、下半平面に位置する部分は、Ox 軸 (y= 1/4 x^2 - |x| - 3.) に対して対称的に反射されます。 。
そこから出てくるものは次のとおりです。

Y= |1/4 x^2 - |x| - 3|

それでは、皆さん、ありがとうございました！ これで、係数記号を使用してグラフをプロットするために必要な知識ベースが得られました。 誰もが彼をとても恐れているからです。

タグ: 数学