内接三角形の高度の交点。 三角形の高度の交点
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説明書
座標 ピーク放物線が見つかった。 それらを 1 点の座標 (x0,y0) として書き留めます。
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身長 三角形頂点から垂らした垂線と呼ばれる 三角形反対側またはその続きへ。 ドット 交差点 3 つの高さは「垂心」と呼ばれます。 直交中心の概念と特性は、幾何学的構造に関する問題を解決するときに役立ちます。
必要になるだろう
- 三角形、定規、ペン、鉛筆 三角形の頂点の座標
説明書
利用可能なタイプを決定する 三角形。 最も単純なケースは直角三角形です。これは、その脚が同時に 2 つの高度として機能するためです。 3番目 三角形斜辺に位置します。 この場合、長方形の垂心は、 三角形頂上と一致する 直角.
急性の場合は 三角形ドット 交差点図の中になります。 各頂点からスワイプ 三角形指定された頂点の反対側に垂直な線。 これらの線はすべて 1 点で交差します。 これが目的の垂心になります。
ドット 交差点鈍角の高さ 三角形数値の範囲外となります。 垂線が頂点からの高度である前に、まず鈍角を形成する線が必要です 三角形。 この場合の垂線は横には落ちません 三角形、ただし、こちら側を含む行まで。 次に、高さとそのポイントを下げます。 交差点、 上記のように。
頂点の座標がわかっている場合 三角形あるいは空間内では、点の座標を見つけることは難しくありません。 交差点ハイツ A、B、C が角度の指定、O が垂心である場合、線分 AO は線分 BC に垂直であり、BO は線分 AC に垂直であるため、AO-BC=0、BO-AC= が得られます。 0. この線形システムは、平面上の点 O の座標を見つけるのに十分です。 点の座標から最初の点の対応する座標を減算して、ベクトル BC および AC の座標を計算します。 点 O に座標 x と y (O(x,y)) があると仮定し、2 つの未知数を含む 2 つの方程式から解きます。 問題が空間で与えられる場合、ベクトル a=AB*AC である方程式 AO-a=0 をシステムに追加する必要があります。
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注記
標高の交点 (オルソセンター) を、中央線 (重心)、二等分線、または垂直二等分線 (三角形の各辺の中央を通って描かれたもの) の交点と混同しないでください。
垂心を決定するには、三角形の高さは常に 1 点で交差するため、3 つの高さのうち 2 つの高さの交点を見つけるだけで十分です。
出典:
- インタラクティブな公式の参考書。
- 高所横断
説明書
まず、問題を解決するのに便利な座標系の選択について議論する必要があります。 通常、この種の問題では、三角形の 1 つが 0X 軸上に配置され、1 つの点が原点と一致します。 したがって、一般に受け入れられているソリューションの規範から逸脱して、同じことを行うべきではありません (図 1 を参照)。 いつでも三角形の 1 つから 3 つに移動できるため、三角形を定義する方法自体は基本的な役割を果たしません (後で確認できるようになります)。
必要な三角形を、その辺 AC と AB の 2 つのベクトル、それぞれ a(x1, y1) と b(x2, y2) によって指定するとします。 また、構造上、y1=0となります。 この図によれば、BC の 3 番目の辺は c=a-b、c(x1-x2,y1 -y2) に対応します。 点 A は座標の原点に配置されます。 座標 A(0,0)。 ということにも気づきやすいのですが、 座標 B (x2, y2)、C (x1, 0)。 このことから、2 つのベクトルで三角形を定義することは、3 つの点で三角形を定義することと自動的に一致すると結論付けることができます。
次に、必要な三角形を対応する平行四辺形 ABDC のサイズに完成させる必要があります。 しかもその時点で 交差点平行四辺形の対角線で、AQ が三角形 ABC の中線となり、A から辺 BC に向かって下降するように分割されます。 対角ベクトル s にはこれが含まれており、平行四辺形の法則に従って、a と b の幾何学和になります。 すると s = a + b となり、その 座標 s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2)。 同じ 座標点 D(x1+x2, y2) にもなります。
ここで、s、AQ 中央値、そして最も重要なことに、目的の点を含む直線の方程式のコンパイルに進むことができます。 交差点中央値 H。ベクトル s 自体が特定の直線のガイドであり、それに属する点 A(0, 0) も既知であるため、最も単純なことは、正準形式の平面線の方程式を使用することです: (x -x0)/m =(y-y0)/n.ここでは (x0, y0) 座標直線の任意の点 (点 A(0, 0))、および (m, n) – 座標 s (ベクトル (x1+x2, y2)。したがって、目的の直線 l1 は次のようになります: x/(x1+x2)=y/ y2。
交差点で見つけるのが一番良い方法です。 したがって、いわゆる N を含む別の直線を見つける必要があります。これを行うには、図で次のようにします。 図 1 に示す別の平行四辺形 APBC の構造。その対角線 g=a+c =g(2x1-x2, -y2) には、C から辺 AB に下がった第 2 中央値 CW が含まれます。 この対角線には点 C(x1, 0) が含まれています。 座標これは (x0, y0) の役割を果たし、ここでの方向ベクトルは g(m, n)=g(2x1-x2, -y2) になります。 したがって、l2 は次の式で求められます: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2)。
l1 と l2 の方程式を一緒に解くと、次のことを見つけるのは簡単です。 座標ポイント 交差点中央値 H:H((x1+x1)/3, y2/3)。
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ヒント 5: 2 つの三角形の交線の引き方
記述幾何学は、製図の分野における多くの理論的発展の基礎です。 図面を使用してアイデアを確実に表現するには、幾何学的オブジェクトのイメージを構築する際のこの理論の知識が必要です。
説明書
線画タスク 交差点 for 2 は製図の基本と言えます。 申込用紙へ ライン 交差点 2人分 三角形、両方の平面図形に属する点を決定する必要があります。
解決するには、正面および水平投影で 2 つの三角形 ABC と EDK を作成します。 次に、AB ABC を通して、その水平投影である補助平面 Pн を描きます。 この水平面が形成されるのは、 ライン 交差点 1-2 は 2 番目の三角形 EDK の平面と一致し、点 1 と 2 は辺 ED と EK 上にあります。
同じように見つけてください ライン 交差点三角形 ABC の正面投影の辺 A'B' を通して描かれた、Pн の水平投影 1'-2'。 正面投影 1'-2' と A'B' が交差し、点が得られます 交差点 M'、その正面投影。
スワイプ ライン正面投影から水平投影への接続により、点 M の水平投影を求めます。
2 番目の点を決定します 交差点三角形 ABC EDK の平面。この目的のために、EDK の側面 DK を通る補助平面 Qv (正面投影) を描画します。 ライン 交差点三角形 ABC の平面を持つ平面 Qv は、その正面投影では線 3-4 および線 3'-4' になります。 水平投影3-4とDKが交差して点を与える 交差点 N、その水平投影。
スワイプ ライン水平投影から正面投影に接続し、その正面投影である点 N' を見つけます。
投影線の点を接続します 交差点 MNとライン 交差点ん。 その結果、2つの行が得られます 交差点 三角形 EDK と ABC の正面投影と水平投影。
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出典:
- 三角形の平面の交点
ヒント 6: 点の座標が指定されている場合に三角形の高さを見つける方法
高さは、図の上端と反対側を結ぶ直線部分です。 このセグメントは側面に対して垂直である必要があるため、各頂点から 1 つのみを描画できます。 身長。 この図には頂点が 3 つあるので、高さの数も同じになります。 三角形が頂点の座標で与えられる場合、各高さの長さは、たとえば面積を求めて辺の長さを計算する公式を使用して計算できます。
説明書
まずは辺の長さを計算します 三角形。 指定する 座標このような図: A(X₁,Y₁,Z₁)、B(X₂,Y₂,Z₂)、C(X₃,Y₃,Z₃)。 次に、公式 AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) を使用して、辺 AB の長さを計算できます。 残りの 2 つの側面については、
トピック: サークル
レッスン: 三角形の高度の交点
三角形の 3 つの高度が 1 点で交差し、この点を オルソセンター.
三角形が与えられた場合、明確にするために、それが鋭角であるとしましょう (図 1 を参照)。 鈍角三角形にしても何も変わりません。
証明してください
米。 1
証拠：
すでに証明されている以前の定理、たとえば垂直二等分線の交点に関する定理に証明を還元したいと考えています。
これを行うには、三角形の頂点を通り、反対側に平行な直線を描きます (図 2 を参照)。
頂点 A を通る - 直線、
頂点 B を通る - 直線、
頂点 C を通る - 直線。
米。 2
新しい三角形を受け取りました。そのプロパティを考えてみましょう。
手段、 。 同じく。 したがって、四角形は平行四辺形になります。
平行四辺形の対辺はペアで等しいので、 、 です。
同様に、建設によっても。 四角形は平行四辺形です。 ここから、 。
ここから。 したがって、点 A は線分の中点であり、小さな三角形の高さ AA 1 が大きな三角形の垂直二等分線であることを意味します。
同様の操作を頂点 B と C に対して実行できます。B がセグメントの中点、BB 1 が大きな三角形の辺の垂直二等分線であることがわかります。 C - 中点、СС 1 - 大きな三角形の辺の垂直二等分線。
大きな三角形 AA 1、BB 1、CC 1 の垂直二等分線が点 H で交差することがわかっています。また、これらの垂直二等分線が小さな三角形の高度、つまり三角形の高度であることもわかっています。一点で交わるH、Q.E.D.
私たちは鋭角三角形の高度の交点に関する定理を証明しました。三角形が鋭角でない場合は、同じ定理を自分で証明できます。 たとえば、三角形が直角の場合、垂心は角度が直角になる頂点と一致します。 高さのうち 2 つは脚と一致し、3 つ目はこの頂点から出ています (図 3 を参照)。
米。 3
多くの重要な事実を思い出すことができるユーモアのあるタスクを考えてみましょう。
タスク
中心が点 O で直径 AB の円が与えられます。 点Cは円の外側にあります。 定規のみを使用して、点 C から直線 AB への垂線を下げます (図 4 を参照)。
米。 4
直線ACを引き、描いた直線と円との交点Mを求めます。
直線BCを引き、引いた直線と円との交点Nを求めます。
直線 AN と BM を引き、その交点 H を求めます (図 5 を参照)。
証明してください 。
米。 5
証拠：
私たちは円周角に関する定理とその結果を研究しました。 これらの帰結の 1 つによれば、直径によって定められる内接角は直角であるため、次のようになります。
内接角は、その上にある円弧の半分で測定されることを思い出してください。
したがって、ここから VM は三角形の高さになります。 また、AN は三角形の高さです。
三角形の 2 つの高度が点 H で交差します。三角形の 3 つの高度すべてが 1 点で交差することがわかります。これは、3 番目の高度が点 H を通過することを意味します。したがって、CK は三角形の高度 CK⊥AB であり、これはそれは私たちが証明する必要があったものです。
そこで、このレッスンでは、三角形の高度の交点に関する定理を調べ、いくつかの重要な幾何学的事実を思い出すジョーク問題を解決しました。
参考文献
- アレクサンドロフ AD 幾何学、8 年生。 - M.: 教育、2006 年。
- ブトゥーゾフ V.F.、カドムツェフ S.B.、プラソロフ V.V. 幾何学、8年生。 - M.: 教育、2011 年。
- Merzlyak A.G.、Polonsky V.B.、Yakir S.M. 幾何学、8年生。 - M.: VENTANA-GRAF、2009 年。
- Home-edu.ru ()。
- Mat.1september.ru（）。
宿題
- タスク 1 - 直角三角形の高度の交点に関する定理を証明します。
- タスク 2 - 鋭角三角形の高度の交点に関する定理を証明します。
- タスク 3 - 中心 O、半径 AB の円が与えられます。 点 C は円の内側にあります。 定規のみを使用して、点 C から線分 AB への垂線を作成します。