この記事では、基本的な幾何学的形状の 1 つである角度について説明します。 この概念について一般的に説明した後、そのような図の特定のタイプに焦点を当てます。 直角は幾何学の重要な概念であり、これがこの記事の主なトピックになります。

幾何学的な角度の紹介

幾何学には、すべての科学の基礎を形成するオブジェクトが多数あります。 角度はそれらを指し、光線の概念を使用して定義されるので、それから始めましょう。

また、角度自体を決定し始める前に、幾何学における同様に重要なオブジェクトをいくつか覚えておく必要があります。これは、点、平面上の直線、および平面自体です。 直線は、始まりも終わりもない最も単純な幾何学図形です。 平面は 2 次元を持つ表面です。 さて、幾何学における光線 (または半線) は、始まりはあるが終わりのない線の一部です。

これらの概念を使用すると、角度は完全に特定の平面内にあり、共通の原点を持つ 2 つの発散光線で構成される幾何学的図形であると主張できます。 このような光線は角度の辺と呼ばれ、辺の共通の始まりはその頂点です。

角度と形状の種類

角度がまったく異なる可能性があることを私たちは知っています。 したがって、以下は、角度の種類とその主な特徴をよりよく理解するのに役立つ小さな分類です。 したがって、幾何学にはいくつかの種類の角度があります。

1. 直角。 これは 90 度の値によって特徴付けられます。これは、側面が常に互いに垂直であることを意味します。
2. 鋭い角。 これらの角度には、サイズが 90 度未満のすべての代表的な角度が含まれます。
3. 鈍角。 ここでは、90 度から 180 度の範囲のすべての角度が可能です。
4. 展開されたコーナー。 サイズは厳密に 180 度で、外側から見ると側面は 1 つの直線を形成します。

直角の概念

次に、回転角度をさらに詳しく見てみましょう。 これは、両側が同じ直線上にある場合に当てはまります。これは、少し下の図ではっきりとわかります。 これは、逆の角度では、一方の側面が本質的にもう一方の側面の連続であると自信を持って言えることを意味します。

このような角度は、その頂点から出る光線を使用して常に分割できるという事実を覚えておく価値があります。 その結果、2 つの角度が得られます。これを幾何学では隣接と呼びます。

また、展開角にはいくつかの特徴があります。 最初のものについて説明するには、「角の二等分線」の概念を覚えておく必要があります。 これは任意の角度を正確に半分に分割する光線であることを思い出してください。 展開角は、90度の直角が2つできるように二等分線で分割します。 これは数学的に非常に簡単に計算できます: 180° (回転角度の度): 2 = 90°。

回転した角度を完全に任意の光線で分割すると、結果として常に 2 つの角度が得られ、1 つは鋭角、もう 1 つは鈍角になります。

回転した角のプロパティ

この角度を考慮して、その主なプロパティをすべてまとめて検討すると便利です。このリストではそれを実行しました。

1. 回転角の辺は逆平行となり、直線を形成します。
2. 回転角度は常に 180°です。
3. 2 つの隣接する角度は一緒に常に直角を形成します。
4. 360° である全角は、展開された 2 つの角度で構成され、それらの和に等しくなります。
5. 直角の半分は直角です。

したがって、このタイプの角度の特性をすべて知ることで、それらを使用して多くの幾何学的な問題を解決できます。

回転角度に関する問題

直角の概念を理解したかどうかを確認するには、次のいくつかの質問に答えてみてください。

1. 直線の辺が垂直線を形成する場合、直線角の大きさはいくらですか?
2. 最初の角度が 72 °、もう 1 つの角度が 118 °の場合、2 つの角度は隣接しますか?
3. 完全な角が 2 つの逆角で構成される場合、直角はいくつありますか?
4. 直角は、度数の比率が 1:4 になるように、光線によって 2 つの角度に分割されます。 結果として得られる角度を計算します。

解決策と答え:

1. 回転角度がどのように配置されるかに関係なく、定義により、回転角度は常に 180° に等しくなります。
2. 隣接する角には共通の 1 つの側面があります。 したがって、それらが互いになす角度のサイズを計算するには、それらの度数の値を加算するだけで済みます。 これは、72 +118 = 190 を意味します。ただし、定義上、反転角度は 180°です。これは、指定された 2 つの角度が隣接できないことを意味します。
3. 直角には 2 つの直角が含まれます。 そして、完成したものは展開したものが2本あるので、直線は4本になることになります。
4. 目的の角度を a および b と呼ぶ場合、x をそれらの比例係数とします。これは、a=x、したがって b=4x を意味します。 回転角度は 180 度です。 そして、角度の度数は、その辺の間を通過する任意の光線によって分割される角度の度数の合計に常に等しいという特性に従って、x + 4x = 180°と結論付けることができます。 、これは 5x = 180˚ を意味します。 ここから、x = a = 36˚ および b = 4x = 144˚ がわかります。 答え: 36°と 144°。

これらすべての質問にプロンプ​​トなしで、答えを見ずに答えることができた場合は、次の幾何学のレッスンに進む準備ができています。

角度とは何かを定義することから始めましょう。 第 1 に、それは です。第 2 に、角度の辺と呼ばれる 2 本の光線によって形成されます。 第三に、後者は角の頂点と呼ばれる一点から現れます。 これらの特徴に基づいて、定義を作成できます。角度は、1 つの点 (頂点) から出る 2 つの光線 (側面) で構成される幾何学的図形です。

それらは、次数の値、相互の相対的な位置、および円との相対的な位置によって分類されます。 まずは角度の大きさに応じた種類から見ていきましょう。

それらにはいくつかの種類があります。 それぞれのタイプを詳しく見てみましょう。

角度には主に 4 つのタイプ (直線、鈍角、鋭角、直線) しかありません。

真っ直ぐ

次のようになります。

その度数は常に 90 度です。つまり、直角は 90 度の角度です。 正方形や長方形などの四角形のみにあります。

鈍い

次のようになります。

度数は常に 90 度を超え、180 度未満です。 ひし形などの四角形、任意の平行四辺形、多角形などに見られます。

辛い

次のようになります。

鋭角の度数は常に 90° 未満です。 これは、正方形と平行四辺形を除くすべての四角形で見られます。

拡張された

展開した角度はこんな感じです。

これはポリゴンでは発生しませんが、他のすべてのポリゴンと同様に重要です。 直角は、度の単位が常に 180 度である幾何学的図形です。 上部から任意の方向に 1 つ以上の光線を描画することで、その上に構築できます。

他にもいくつかの小さなタイプの角度があります。 それらは学校では勉強されませんが、少なくともその存在について知っておく必要があります。 角度の 2 次タイプは 5 つだけです。

1.ゼロ

次のようになります。

角度の名前自体がそのサイズをすでに示しています。 その内部領域は 0° で、図に示すように側面が重なっています。

2. 斜め

斜角は、直角、鈍角、鋭角、または直角であり得る。 その主な条件は、0°、90°、180°、270° に等しくないことです。

3. 凸型

凸角は、ゼロ、直線、鈍角、鋭角、直線です。 すでに理解したように、凸角の度数は 0° ～ 180° です。

4. 非凸

181° ～ 359° の角度は非凸面です。

5.フル

完全な角度は 360 度です。

これらは、大きさに応じてすべてのタイプの角度です。 次に、平面上の互いの位置に応じて、それらのタイプを見てみましょう。

1. 追加事項

これらは 1 つの直線を形成する 2 つの鋭角です。 それらの合計は90°です。

2. 隣接

光線が展開された角度、またはその頂点を任意の方向に通過すると、隣接する角度が形成されます。 それらの合計は180°です。

3. 垂直方向

垂直角は 2 本の直線が交差するときに形成されます。 彼らの学位の尺度は等しい。

次に、円に対して相対的に配置される角度の種類に移りましょう。 それらは中央と内接の2つだけです。

1. 中央

中心角とは、円の中心を頂点とする角度のことです。 その度数は、側面によって定められた小さい方の円弧の度数に等しい。

2. 刻印

内接角は、頂点が円上にあり、辺が円と交差する角度です。 その度数は、それが載っている円弧の半分に等しくなります。

角度については以上です。 最も有名なもの (鋭形、鈍形、直線形、展開形) に加えて、幾何学には他にも多くのタイプがあることがわかりました。

角度は、1 点から発せられる 2 つの異なる光線で構成される幾何学的図形です。 この場合、これらの光線は角度の側面と呼ばれます。 光線の始点である点は、角度の頂点と呼ばれます。 写真では、点の頂点との角度がわかります。 について、そしてパーティー kそして メートル.

点 A と C は角度の側面にマークされており、この角度は角度 AOC として指定できます。 中央には、角度の頂点が位置する点の名前がなければなりません。 角度 O または角度 km という他の指定もあります。 幾何学では、角度という言葉の代わりに特別な記号が書かれることがよくあります。

展開角と非展開角

角度の両側が同じ直線上にある場合、そのような角度は次のように呼ばれます。 拡張された角度。 つまり、角度の一方の側は、角度のもう一方の側の連続です。 下図は角度Oを拡大したものです。

どの角度でも平面が 2 つの部分に分割されることに注意してください。 角度が展開されていない場合、一方の部分は角度の内部領域と呼ばれ、もう一方の部分はこの角度の外部領域と呼ばれます。 下の図は、未展開の角度を示し、この角度の外側と内側の領域を示しています。

展開角の場合、平面を分割する 2 つの部分のいずれかが、角度の外側領域と見なされます。 角度に対する点の位置について話すことができます。 点は、コーナーの外側 (外側領域) に位置することも、その側面の 1 つに位置することも、コーナーの内側 (内側領域) に位置することもできます。

下の図では、点 A は角 O の外側にあり、点 B は角の片側にあり、点 C は角の内側にあります。

角度の測定

角度を測定するには、分度器と呼ばれる装置があります。 角度の単位は、 程度。 各角度には、ゼロより大きい一定の度数があることに注意してください。

度の尺度に応じて、角度はいくつかのグループに分類されます。

生徒は小学校で角度の概念を学びます。 しかし、ある性質を持つ幾何学図形として、7年生から幾何学の勉強を始めます。 どうやら、 かなり単純な図、彼女について何が言えるか。 しかし、新しい知識を得るにつれて、学童はそれについて非常に興味深い事実を学ぶことができることをますます理解しています。

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勉強したとき

学校の幾何学コースは、面積測定と立体測定の 2 つのセクションに分かれています。 それぞれに大きな注目が集まっています 角に施されています:

• 面積測定では、その基本的な概念が示され、サイズごとにその種類が紹介されます。 それぞれのタイプの三角形の特性がより詳細に研究されます。 学生にとって新しい定義が生まれています。これらは、2 本の直線同士の交点、および複数の直線と横線の交点によって形成される幾何学図形です。
• 立体測定では、空間角度、つまり二面体と三面体が研究されます。

注意！この記事では、面積測定における角度のすべての種類と特性について説明します。

定義と測定

勉強を始めるとき、まず決めるのは 角度とは何ですか面積測定で。

平面上の特定の点をとり、そこから 2 本の任意の光線を引くと、次の要素で構成される幾何学的図形、つまり角度が得られます。

• 頂点 - 光線が引かれる点。ラテン文字の大文字で示されます。
• 辺は頂点から引かれた半直線です。

私たちが検討している図形を形成するすべての要素は、平面を次のように分割します。 2つの部分:

• 内部 - 面積測定では 180 度を超えません。
• 外部の。

面積測定における角度測定の原理直感的に説明します。 まず、生徒は回転角度の概念を学びます。

重要！頂点から出る半線が直線を形成する場合、角度が形成されると言われます。 未展開の角度はその他すべての場合です。

それを 180 等分した場合、1 つの部分の尺度は 10 に等しいと考えるのが通例です。この場合、測定は度で行われ、そのような数値の度の尺度は 180 であると言われます。度。

主な種類

角度の種類は、度、その形成の性質、および以下に示すカテゴリなどの基準に従って分類されます。

サイズ別

大きさを考慮して、角度は次のように分割されます。

• 拡張されました。
• 真っ直ぐ;
• 鈍い。
• 辛い。

どの角度を展開と呼ぶかは上で示しました。 直接の概念を定義しましょう。

これは、展開されたものを 2 つの等しい部分に分割することで取得できます。 この場合、「直角は何度ですか?」という質問に答えるのは簡単です。

展開後の 180 度を 2 で割ると、次のようになります。 直角は90度です。 これは、幾何学の多くの事実が関連しているため、素晴らしい図です。

呼称にも独自の特徴があります。 図では直角を示すために円弧ではなく正方形で表している。

直線を任意の光線で分割して得られる角度を鋭角と呼びます。論理的には、鋭角は直角より小さいということになりますが、その尺度は 0 度とは異なります。 つまり、0 ～ 90 度の値になります。

鈍角は直角よりも大きいですが、直角よりは小さいです。 その度数は 90 度から 180 度まで変化します。

この要素は、拡張されたものを除いて、検討中のさまざまなタイプの図に分割できます。

非回転角度がどのように分割されるかに関係なく、面積測定の基本公理、つまり「測定の基本特性」が常に使用されます。

で 1つのビームで角度を分割するまたは複数の場合、特定の図形の度数は、それを分割した角度の尺度の合計に等しくなります。

7年生レベルでは、大きさに応じた角度の種類はそこで終わります。 しかし、さらに知識を深めるために、180 度を超える度数を持つ他の種類が存在することを付け加えておきます。それらは凸型と呼ばれます。

線と線の交点にある図形

学生に紹介される次の種類の角度は、2 つの直線の交差によって形成される要素です。 互いに向かい合って配置された図形を垂直と呼びます。 彼らの特徴は平等であるということです。

同じ行に隣接する要素を隣接と呼びます。 それらの性質を反映する定理は次のように述べています。 隣接する角度の合計は 180 度になります.

三角形の要素

図形を三角形の要素として考えると、角は内角と外角に分けられます。 三角形は 3 つのセグメントで囲まれ、3 つの頂点で構成されます。 三角形の内側の各頂点にある角度は次のとおりです。 内部と呼ばれる.

任意の頂点で任意の内部要素を取得し、任意の辺を延長した場合、形成される内部要素に隣接する角度は外部と呼ばれます。 この要素のペアには、それらの合計が 180 度に等しいという特性があります。

2本の直線の交点

線の交点

2 本の直線が横断線と交差すると、角度も形成されます。、通常はペアで配布されます。 要素の各ペアには独自の名前があります。 次のようになります。

• 内部横臥：∟4 と ∟6、∟3 と ∟5。
• 内部片側: ∟4 と ∟5、∟3 と ∟6;
• 対応するもの: ∟1 と ∟5、∟2 と ∟6、∟4 と ∟8、∟3 と∟7。

割線が 2 つの線と交差する場合、これらすべての角度のペアには特定の特性があります。

1. 内部の横にある数字と対応する数字は互いに等しい。
2. 内部の一方向要素の合計は最大 180 度になります。

幾何学における角度とその性質を研究します

数学における角度の種類

結論

この記事では、面積測定で使用され、中学 1 年生で学習される角度の主なタイプをすべて紹介します。 後続のすべてのコースでは、考慮されるすべての要素に関連する特性が、幾何学をさらに研究するための基礎となります。 たとえば、勉強するときは、2 本の平行線が横断線と交差するときに形成される角度の特性をすべて覚えておく必要があります。 三角形の特徴を研究するときは、隣接する角度が何であるかを覚えておく必要があります。 立体測定に移ると、すべての体積図が調査され、平面図に基づいて構築されます。