Wstęp

Logarytmy zostały wynalezione, aby przyspieszyć i uprościć obliczenia. Pomysł logarytmu, czyli pomysł wyrażania liczb jako potęgi o tej samej podstawie, należy do Michaiła Stiefela. Ale w czasach Stiefela matematyka nie była tak rozwinięta, a idea logarytmu nie znalazła swojego rozwoju. Logarytmy zostały wynalezione później jednocześnie i niezależnie przez szkockiego naukowca Johna Napiera (1550-1617) i Szwajcara Jobsta Burgi (1552-1632), który Napier jako pierwszy opublikował pracę w 1614 roku. zatytułowany „Opis niesamowitej tablicy logarytmów”, teoria logarytmów Napiera została podana w dość kompletnym tomie, metoda obliczania logarytmów została podana w najprostszy sposób, dlatego zasługi Napiera w wynalezieniu logarytmów są większe niż zasługi Burgiego. Bürgi pracował na stołach w tym samym czasie co Napier, ale przez długi czas utrzymywał je w tajemnicy i opublikował dopiero w 1620 r. Napier opanował ideę logarytmu około 1594 roku. chociaż tabele zostały opublikowane 20 lat później. Początkowo nazywał swoje logarytmy „sztucznymi liczbami”, a dopiero potem zaproponował nazywanie tych „sztucznych liczb” jednym słowem „logarytm”, co po grecku oznacza „liczby skorelowane”, wzięte jedną z ciągu arytmetycznego, a drugą ze specjalnie do tego wybranego ciągu geometrycznego. Pierwsze tablice w języku rosyjskim zostały opublikowane w 1703 roku. z udziałem wybitnego nauczyciela XVIII wieku. LF Magnicki. W rozwoju teorii logarytmów ogromne znaczenie miała praca petersburskiego akademika Leonarda Eulera. Jako pierwszy uznał logarytm za odwrotność potęgowania, wprowadził terminy „podstawa logarytmu” i „mantysa”. Briggs skompilował tablice logarytmów o podstawie 10. Tablice dziesiętne są wygodniejsze w praktycznym zastosowaniu, ich teoria jest prostsza niż logarytm Napiera. Dlatego logarytmy dziesiętne są czasami nazywane brygami. Termin „charakterystyczny” został wprowadzony przez Briggsa.

W tych odległych czasach, kiedy mędrcy po raz pierwszy zaczęli myśleć o równościach zawierających nieznane wielkości, prawdopodobnie nie było jeszcze monet ani portfeli. Ale z drugiej strony były to stosy, a także garnki, kosze, które doskonale nadawały się do roli skrytek-magazynów zawierających nieznaną liczbę przedmiotów. W starożytnych problemach matematycznych Mezopotamii, Indii, Chin, Grecji nieznane wielkości wyrażały liczbę pawi w ogrodzie, liczbę byków w stadzie, całość rzeczy branych pod uwagę przy podziale majątku. Skrybowie, urzędnicy i kapłani wtajemniczeni w wiedzę tajemną, dobrze wyszkoleni w nauce liczenia, radzili sobie z takimi zadaniami całkiem pomyślnie.

Źródła, które do nas dotarły, wskazują, że starożytni naukowcy posiadali niektóre wspólne sztuczki rozwiązywanie problemów z nieznanymi wielkościami. Jednak ani jeden papirus, ani jedna gliniana tabliczka nie zawiera opisu tych technik. Autorzy tylko sporadycznie opatrzyli swoje obliczenia numeryczne złośliwymi komentarzami typu: „Spójrz!”, „Zrób to!”, „Dobrze trafiłeś”. W tym sensie wyjątkiem jest „Arytmetyka” greckiego matematyka Diofantusa z Aleksandrii (III wiek) - zbiór problemów do zestawiania równań z systematyczną prezentacją ich rozwiązań.

Jednak praca uczonego z Bagdadu z IX wieku stała się pierwszym podręcznikiem rozwiązywania problemów, który stał się powszechnie znany. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Słowo „al-jabr” z arabskiego tytułu tego traktatu - „Kitab al-jaber wal-muqabala” („Księga przywrócenia i kontrastowania”) - ostatecznie przekształciło się w dobrze znane słowo „algebra”, a sama praca al-Khwarizmi posłużyła jako punkt wyjścia w rozwoju nauki o rozwiązywaniu równań.

Równania logarytmiczne i nierówności

1. Równania logarytmiczne

Równanie zawierające niewiadomą pod znakiem logarytmu lub u jego podstawy nazywa się równaniem logarytmicznym.

Najprostszym równaniem logarytmicznym jest równanie postaci

dziennik A X = B . (1)

Oświadczenie 1. Jeśli A > 0, A≠ 1, równanie (1) dla dowolnej liczby rzeczywistej B ma jedyne rozwiązanie X = b .

Przykład 1. Rozwiąż równania:

a) dziennik 2 X= 3, b) log 3 X= -1, c)

Rozwiązanie. Korzystając ze Stwierdzenia 1, otrzymujemy a) X= 2 3 lub X= 8; B) X= 3 -1 lub X= 1/3; C)

Przedstawiamy główne własności logarytmu.

P1. Podstawowa tożsamość logarytmiczna:

Gdzie A > 0, A≠ 1 i B > 0.

P2. Logarytm iloczynu czynników dodatnich jest równy sumie logarytmów tych czynników:

dziennik A N 1 · N 2 = dziennik A N 1 + dziennik A N 2 (A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentarz. Jeśli N 1 · N 2 > 0, to właściwość P2 przyjmuje postać

dziennik A N 1 · N 2 = dziennik A |N 1 | + dziennik A |N 2 | (A > 0, A ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Logarytm ilorazu dwóch liczb dodatnich jest równy różnicy między logarytmami dywidendy i dzielnika

Komentarz. Jeśli

P4. Logarytm potęgi liczby dodatniej jest równy iloczynowi wykładnika i logarytmu tej liczby:

dziennik A N k = k dziennik A N (A > 0, A ≠ 1, N > 0).

Komentarz. Jeśli k- Liczba parzysta ( k = 2S), To

dziennik A N 2S = 2S dziennik A |N | (A > 0, A ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Formuła przejścia do innej bazy to:

w szczególności jeśli N = B, dostajemy

Korzystając z właściwości P4 i P5, łatwo uzyskać następujące właściwości

a jeśli w (5) C- Liczba parzysta ( C = 2N), występuje

Wymieniamy główne właściwości funkcji logarytmicznej F (X) = dziennik A X :

1. Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb dodatnich.

2. Zakres wartości funkcji logarytmicznej to zbiór liczb rzeczywistych.

3. Kiedy A> 1 funkcja logarytmiczna jest ściśle rosnąca (0< X 1 < X 2 dzienniki A X 1 < logA X 2) i na 0< A < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2 dzienniki A X 1 > dziennik A X 2).

4 dzienniki A 1 = 0 i zaloguj A A = 1 (A > 0, A ≠ 1).

5. Jeśli A> 1, to funkcja logarytmiczna jest ujemna dla X(0;1) i jest dodatni dla X(1;+∞), a jeśli 0< A < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) i jest ujemny dla X (1;+∞).

6. Jeśli A> 1, to funkcja logarytmiczna jest wypukła w górę, a jeśli A(0;1) - wypukły w dół.

Następujące instrukcje (patrz na przykład ) są używane do rozwiązywania równań logarytmicznych.

Wszyscy znamy równania. Szkoła Podstawowa. Nawet tam nauczyliśmy się rozwiązywać najprostsze przykłady i trzeba przyznać, że znajdują one zastosowanie nawet w wyższej matematyce. Wszystko jest proste dzięki równaniom, w tym kwadratowym. Jeśli masz problemy z tym motywem, zdecydowanie zalecamy ponowną próbę.

Logarytmy, które prawdopodobnie już zdałeś. Niemniej jednak uważamy, że ważne jest, aby powiedzieć, co to jest dla tych, którzy jeszcze nie wiedzą. Logarytm odpowiada potędze, do której należy podnieść podstawę, aby uzyskać liczbę po prawej stronie znaku logarytmu. Podajmy przykład, na podstawie którego wszystko stanie się dla ciebie jasne.

Jeśli podniesiesz 3 do czwartej potęgi, otrzymasz 81. Teraz zastąp liczby przez analogię, a w końcu zrozumiesz, jak rozwiązuje się logarytmy. Teraz pozostaje tylko połączyć dwie rozważane koncepcje. Początkowo sytuacja wydaje się niezwykle trudna, ale po bliższym przyjrzeniu się ciężar wraca na swoje miejsce. Jesteśmy pewni, że po tym krótkim artykule nie będziesz miał problemów z tą częścią egzaminu.

Obecnie istnieje wiele sposobów rozwiązania takich struktur. Porozmawiamy o najprostszych, najskuteczniejszych i najbardziej odpowiednich w przypadku zadań USE. Rozwiązywanie równań logarytmicznych należy rozpocząć od samego początku. prosty przykład. Najprostsze równania logarytmiczne składają się z funkcji i jednej zmiennej w niej zawartej.

Należy zauważyć, że x znajduje się wewnątrz argumentu. A i b muszą być liczbami. W takim przypadku możesz po prostu wyrazić funkcję za pomocą liczby w potędze. To wygląda tak.

Oczywiście rozwiązanie równania logarytmicznego w ten sposób doprowadzi cię do poprawnej odpowiedzi. Ale problem zdecydowanej większości studentów w tym przypadku polega na tym, że nie rozumieją, co i skąd się to bierze. W rezultacie musisz znosić błędy i nie zdobywać upragnionych punktów. Najbardziej obraźliwym błędem będzie pomieszanie liter w niektórych miejscach. Aby rozwiązać równanie w ten sposób, musisz zapamiętać tę standardową formułę szkolną, ponieważ trudno ją zrozumieć.

Aby to ułatwić, możesz skorzystać z innej metody - formy kanonicznej. Pomysł jest niezwykle prosty. Ponownie zwróć uwagę na zadanie. Pamiętaj, że litera a to liczba, a nie funkcja czy zmienna. A nie jest równe jeden i jest większe od zera. Nie ma żadnych ograniczeń b. Teraz ze wszystkich formuł przypominamy sobie jedną. B można wyrazić w następujący sposób.

Z tego wynika, że ​​wszystkie oryginalne równania z logarytmami można przedstawić jako:

Teraz możemy odrzucić logarytmy. Okazało się prosty projekt, które widzieliśmy już wcześniej.

Wygoda tej formuły polega na tym, że można ją stosować w różnych przypadkach, a nie tylko do najprostszych projektów.

Nie martw się o OOF!

Wielu doświadczonych matematyków zauważy, że nie zwróciliśmy uwagi na dziedzinę definicji. Reguła sprowadza się do tego, że F(x) jest z konieczności większe od 0. Nie, nie pominęliśmy tego punktu. Teraz mówimy o kolejnej poważnej przewadze formy kanonicznej.

Nie będzie tutaj żadnych dodatkowych korzeni. Jeśli zmienna wystąpi tylko w jednym miejscu, zakres nie jest konieczny. Działa automatycznie. Aby zweryfikować ten osąd, rozważ rozwiązanie kilku prostych przykładów.

Jak rozwiązywać równania logarytmiczne o różnych podstawach

Są to już złożone równania logarytmiczne, a podejście do ich rozwiązania powinno być szczególne. Tutaj rzadko można ograniczyć się do osławionej formy kanonicznej. Zacznijmy od naszego szczegółowa historia. Mamy następującą konstrukcję.

Zwróć uwagę na ułamek. Zawiera logarytm. Jeśli widzisz to w zadaniu, warto zapamiętać jedną ciekawą sztuczkę.

Co to znaczy? Każdy logarytm można wyrazić jako iloraz dwóch logarytmów o dogodnej podstawie. Ta formuła ma specjalny przypadek, który ma zastosowanie w tym przykładzie (mam na myśli, jeśli c=b).

Dokładnie to widzimy w naszym przykładzie. Zatem.

W rzeczywistości odwrócili ułamek i uzyskali wygodniejsze wyrażenie. Zapamiętaj ten algorytm!

Teraz potrzebujemy, aby równanie logarytmiczne nie zawierało różnych podstaw. Przedstawmy podstawę jako ułamek.

W matematyce istnieje zasada, na podstawie której można wyciągnąć stopień z podstawy. Okazuje się następująca konstrukcja.

Wydawałoby się, że teraz co przeszkadza nam przekształcić nasze wyrażenie w formę kanoniczną i elementarnie je rozwiązać? Nie takie proste. Przed logarytmem nie powinno być żadnych ułamków. Naprawmy tę sytuację! Ułamek może być wyjęty jako stopień.

Odpowiednio.

Jeśli podstawy są takie same, możemy usunąć logarytmy i zrównać same wyrażenia. Sytuacja stanie się więc wielokrotnie łatwiejsza niż była. Powstanie elementarne równanie, które każdy z nas potrafił rozwiązać jeszcze w ósmej, a nawet siódmej klasie. Obliczenia możesz wykonać samodzielnie.

Mamy jedyny prawdziwy pierwiastek tego równania logarytmicznego. Przykłady rozwiązania równania logarytmicznego są dość proste, prawda? Teraz będziesz w stanie samodzielnie poradzić sobie nawet z większością wymagające zadania za przygotowanie i przeprowadzenie egzaminu.

Jaki jest wynik?

W przypadku dowolnych równań logarytmicznych zaczynamy od jednego bardzo ważna zasada. Konieczne jest działanie w taki sposób, aby ekspresja była maksymalna na widoku. W takim przypadku będziesz miał większe szanse nie tylko na poprawne rozwiązanie problemu, ale także na zrobienie tego w najprostszy i najbardziej logiczny sposób. Tak zawsze działają matematycy.

Zdecydowanie nie zalecamy szukania trudnych ścieżek, szczególnie w tym przypadku. Zapamiętaj kilka prostych zasad, które pozwolą Ci przekształcić dowolne wyrażenie. Na przykład przynieś dwa lub trzy logarytmy do tej samej bazy lub weź potęgę z bazy i wygraj na niej.

Warto też pamiętać, że przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych trzeba ciągle trenować. Stopniowo przejdziesz do coraz bardziej złożonych struktur, a to doprowadzi Cię do pewnego rozwiązania wszystkich opcji problemów na egzaminie. Przygotuj się do egzaminów z dużym wyprzedzeniem i powodzenia!

Rozwiązywanie równań logarytmicznych. Część 1.

Równanie logarytmiczne zwane równaniem, w którym niewiadoma jest zawarta pod znakiem logarytmu (w szczególności w podstawie logarytmu).

pierwotniaki równanie logarytmiczne wygląda jak:

Rozwiązywanie dowolnego równania logarytmicznego polega na przejściu od logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmów. Jednak ta akcja rozszerza zakres dozwolone wartości równań i może prowadzić do pojawienia się obcych korzeni. Aby uniknąć pojawienia się obcych korzeni możesz to zrobić na jeden z trzech sposobów:

1. Wykonaj równoważne przejście od pierwotnego równania do układu zawierającego

w zależności od tego, która nierówność lub łatwiej.

Jeśli równanie zawiera niewiadomą u podstawy logarytmu:

następnie przechodzimy do systemu:

2. Oddzielnie znajdź zakres dopuszczalnych wartości równania, a następnie rozwiąż równanie i sprawdź, czy znalezione rozwiązania spełniają równanie.

3. Rozwiąż równanie, a następnie sprawdź: podstawiamy rozwiązania znalezione w pierwotnym równaniu i sprawdzamy, czy otrzymujemy poprawną równość.

Równanie logarytmiczne o dowolnym poziomie złożoności zawsze ostatecznie sprowadza się do najprostszego równania logarytmicznego.

Wszystkie równania logarytmiczne można podzielić na cztery typy:

1 . Równania zawierające logarytmy tylko do pierwszej potęgi. Za pomocą przekształceń i użytkowania sprowadza się je do formy

Przykład. Rozwiążmy równanie:

Zrównaj wyrażenia pod znakiem logarytmu:

Sprawdźmy, czy nasz pierwiastek równania spełnia:

Tak, to zadowala.

Odpowiedź: x=5

2 . Równania zawierające logarytmy do potęgi innej niż 1 (w szczególności w mianowniku ułamka). Te równania są rozwiązywane za pomocą wprowadzenie zmiany zmiennej.

Przykład. Rozwiążmy równanie:

Znajdźmy równanie ODZ:

Równanie zawiera logarytmy podniesione do kwadratu, więc rozwiązuje się je za pomocą zmiany zmiennej.

Ważny! Przed wprowadzeniem zamiany musisz „wyciągnąć” logarytmy, które są częścią równania, w „cegły”, korzystając z właściwości logarytmów.

Podczas „wyciągania” logarytmów ważne jest bardzo ostrożne stosowanie właściwości logarytmów:

Ponadto jest tu jeszcze jedno subtelne miejsce i aby uniknąć powszechnego błędu, użyjemy równości pośredniej: stopień logarytmu zapisujemy w następującej postaci:

Podobnie,

Otrzymane wyrażenia podstawiamy do pierwotnego równania. Otrzymujemy:

Teraz widzimy, że niewiadoma jest zawarta w równaniu jako część . Przedstawiamy zamiennik: . Ponieważ może przyjąć dowolną wartość rzeczywistą, nie nakładamy żadnych ograniczeń na zmienną.

Równania logarytmiczne. Nadal rozważamy zadania z części B Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki. Rozważaliśmy już rozwiązania niektórych równań w artykułach „”, „”. W tym artykule rozważymy równania logarytmiczne. Muszę od razu powiedzieć, że przy rozwiązywaniu takich równań w USE nie będzie skomplikowanych transformacji. Są proste.

Wystarczy znać i rozumieć podstawową tożsamość logarytmiczną, znać własności logarytmu. Zwróć uwagę, że po podjęciu decyzji OBOWIĄZKOWO należy wykonać sprawdzenie - podstawić wynikową wartość do pierwotnego równania i obliczyć, w wyniku czego powinna zostać uzyskana poprawna równość.

Definicja:

Logarytm liczby a do podstawy b to wykładnik,do którego trzeba podnieść b, aby otrzymać a.

Na przykład:

Log 3 9 = 2, ponieważ 3 2 = 9

Własności logarytmów:

Szczególne przypadki logarytmów:

Rozwiązujemy problemy. W pierwszym przykładzie dokonamy sprawdzenia. Wykonaj poniższe czynności samodzielnie.

Znajdź pierwiastek równania: log 3 (4–x) = 4

Skoro log b a = x b x = a, to

3 4 \u003d 4 - x

x = 4 - 81

x = -77

Badanie:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Prawidłowo.

Odpowiedź: - 77

Zdecyduj sam:

Znajdź pierwiastek równania: log 2 (4 - x) = 7

Znajdź pierwiastek równania log 5(4 + x) = 2

Używamy podstawowej tożsamości logarytmicznej.

Skoro log a b = x b x = a, to

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x=21

Badanie:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Poprawnie.

Odpowiedź: 21

Znajdź pierwiastek równania log 3 (14 - x) = log 3 5.

Ma miejsce następująca właściwość, której znaczenie jest następujące: jeśli po lewej i prawej stronie równania mamy logarytmy o tej samej podstawie, to możemy zrównać wyrażenia pod znakami logarytmów.

14 - x = 5

x=9

Sprawdź.

Odpowiedź: 9

Zdecyduj sam:

Znajdź pierwiastek równania log 5 (5 - x) = log 5 3.

Znajdź pierwiastek równania: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).

Jeśli log c a = log c b, to a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

Sprawdź.

Odpowiedź: 6

Znajdź pierwiastek logarytmu równań 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 \u003d 13 - x

x = 13 - 64

x = -51

Sprawdź.

Mały dodatek - tutaj właściwość jest wykorzystywana

stopień().

Odpowiedź: - 51

Zdecyduj sam:

Znajdź pierwiastek równania: log 1/7 (7 - x) = - 2

Znajdź pierwiastek równania log 2 (4 - x) = 2 log 2 5.

Przekształćmy prawą stronę. korzystać z właściwości:

log a b m = m∙ log a b

log 2 (4 - x) = log 2 5 2

Jeśli log c a = log c b, to a = b

4 – x = 5 2

4 - x = 25

x = -21

Sprawdź.

Odpowiedź: - 21

Zdecyduj sam:

Znajdź pierwiastek równania: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

Rozwiąż równanie log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Jeśli log c a = log c b, to a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x=2,75

Sprawdź.

Odpowiedź: 2,75

Zdecyduj sam:

Znajdź pierwiastek równania log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Rozwiąż równanie log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1.

Po prawej stronie równania musisz uzyskać wyrażenie w postaci:

dziennik 2 (...)

Reprezentacja 1 jako logarytm o podstawie 2:

1 = dziennik 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) + log 2 2

Otrzymujemy:

log 2 (2 - x) = log 2 2 (2 - 3x)

Jeśli log c a = log c b, to a = b, to

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x=0,4

Sprawdź.

Odpowiedź: 0,4

Zdecyduj sam: Następnie musisz rozwiązać równanie kwadratowe. Przy okazji,

pierwiastki to 6 i -4.

Źródło "-4" nie jest rozwiązaniem, ponieważ podstawa logarytmu musi być większa od zera, a przy "– 4" równa się " – 5". Rozwiązaniem jest korzeń 6.Sprawdź.

Odpowiedź: 6.

R jedz sam:

Rozwiąż logarytm równań x –5 49 = 2. Jeśli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, odpowiedz na mniejszy.

Jak widać, żadnych skomplikowanych przekształceń z równaniami logarytmicznymiNIE. Wystarczy znać własności logarytmu i umieć je zastosować. W zadaniach USE związanych z przekształcaniem wyrażeń logarytmicznych wykonywane są poważniejsze przekształcenia i wymagane są głębsze umiejętności rozwiązywania. Rozważymy takie przykłady, nie przegap tego!Życzę Ci sukcesu!!!

Z poważaniem, Aleksander Krutickikh.

P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś opowiedział o stronie w sieciach społecznościowych.