Równanie logarytmiczne nazywa się równanie, w którym niewiadoma (x) i wyrażenia z nią są pod znakiem funkcji logarytmicznej. Rozwiązywanie równań logarytmicznych zakłada, że ​​znasz już i .
Jak zdecydować równania logarytmiczne?

Najprostsze równanie to logarytm a x = b, gdzie aib to jakieś liczby, x to niewiadoma.
Rozwiązywanie równania logarytmicznego jest x = a b pod warunkiem, że: a > 0, a 1.

Należy zauważyć, że jeśli x znajduje się gdzieś poza logarytmem, na przykład log 2 x \u003d x-2, to takie równanie jest już nazywane mieszanym i do jego rozwiązania potrzebne jest specjalne podejście.

Idealnym przypadkiem jest sytuacja, gdy natkniesz się na równanie, w którym tylko liczby znajdują się pod znakiem logarytmu, na przykład x + 2 \u003d log 2 2. Tutaj wystarczy znać właściwości logarytmów, aby je rozwiązać. Ale takie szczęście nie zdarza się często, więc przygotuj się na trudniejsze rzeczy.

Ale najpierw zacznijmy od prostych równań. Aby je rozwiązać, pożądane jest posiadanie najbardziej ogólnego pojęcia logarytmu.

Rozwiązywanie prostych równań logarytmicznych

Należą do nich równania takie jak log 2 x \u003d log 2 16. Gołym okiem widać, że pomijając znak logarytmu otrzymujemy x \u003d 16.

W celu rozwiązania bardziej złożonego równania logarytmicznego prowadzi się zwykle do rozwiązania zwykłego równania algebraicznego lub do rozwiązania najprostszego równania logarytmicznego log a x = b. W najprostszych równaniach dzieje się to w jednym ruchu, dlatego nazywane są najprostszymi.

Powyższa metoda odrzucania logarytmów jest jednym z głównych sposobów rozwiązywania równań i nierówności logarytmicznych. W matematyce operacja ta nazywana jest wzmocnieniem. Istnieć pewne zasady lub ograniczenia dla tego rodzaju operacji:

• logarytmy mają te same podstawy liczbowe
• logarytmy w obu częściach równania są dowolne, tj. bez żadnych współczynników i innego rodzaju wyrażeń.

Powiedzmy, że w równaniu log 2 x \u003d 2log 2 (1- x) wzmocnienie nie ma zastosowania - współczynnik 2 po prawej nie pozwala. W poniższym przykładzie log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) jedno z ograniczeń również nie jest spełnione - po lewej stronie są dwa logarytmy. To byłoby jedno - zupełnie inna sprawa!

Ogólnie rzecz biorąc, możesz usunąć logarytmy tylko wtedy, gdy równanie ma postać:

log a(...) = log a(...)

Absolutnie dowolne wyrażenia mogą być w nawiasach, absolutnie nie wpływa to na operację wzmacniania. A po wyeliminowaniu logarytmów pozostanie prostsze równanie - liniowe, kwadratowe, wykładnicze itp., Które, mam nadzieję, już wiesz, jak rozwiązać.

Weźmy inny przykład:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Stosując potencjację, otrzymujemy:

log 3 (2x-1) = 2

Opierając się na definicji logarytmu, a mianowicie, że logarytm to liczba, do której należy podnieść podstawę, aby otrzymać wyrażenie, które jest pod znakiem logarytmu, tj. (4x-1), otrzymujemy:

Ponownie otrzymaliśmy miłą odpowiedź. Tutaj zrobiliśmy to bez eliminowania logarytmów, ale wzmacnianie ma tu również zastosowanie, ponieważ logarytm można utworzyć z dowolnej liczby i dokładnie takiej, jakiej potrzebujemy. Metoda ta jest bardzo pomocna w rozwiązywaniu równań logarytmicznych, a zwłaszcza nierówności.

Rozwiążmy nasze równanie logarytmiczne log 3 (2x-1) = 2 za pomocą wzmacniania:

Przedstawmy liczbę 2 jako logarytm, np. log 3 9, ponieważ 3 2 = 9.

Następnie log 3 (2x-1) = log 3 9 i znowu otrzymujemy to samo równanie 2x-1 = 9. Mam nadzieję, że wszystko jest jasne.

Przyjrzeliśmy się więc, jak rozwiązać najprostsze równania logarytmiczne, które są w rzeczywistości bardzo ważne, ponieważ rozwiązanie równań logarytmicznych, nawet te najstraszniejsze i pokręcone, w końcu zawsze sprowadzają się do rozwiązania najprostszych równań.

We wszystkim, co zrobiliśmy powyżej, przeoczyliśmy jeden bardzo ważny punkt które odegrają decydującą rolę w przyszłości. Faktem jest, że rozwiązanie każdego równania logarytmicznego, nawet najbardziej elementarnego, składa się z dwóch równoważnych części. Pierwsza to rozwiązanie samego równania, druga to praca z obszarem dozwolone wartości(ODZ). To tylko pierwsza część, którą opanowaliśmy. W powyższych przykładach ODD nie wpływa w żaden sposób na odpowiedź, więc nie braliśmy tego pod uwagę.

Weźmy inny przykład:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Na zewnątrz to równanie nie różni się od podstawowego, które jest bardzo pomyślnie rozwiązane. Ale tak nie jest. Nie, oczywiście, że go rozwiążemy, ale najprawdopodobniej będzie źle, bo jest w nim mała zasadzka, w którą od razu wpadają zarówno studenci C, jak i wybitni. Przyjrzyjmy się temu bliżej.

Załóżmy, że musisz znaleźć pierwiastek równania lub sumę pierwiastków, jeśli jest ich kilka:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Stosujemy potencjację, tutaj jest to dopuszczalne. W rezultacie otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe.

Znajdujemy pierwiastki równania:

Istnieją dwa korzenie.

Odpowiedź: 3 i -1

Na pierwszy rzut oka wszystko się zgadza. Ale sprawdźmy wynik i podstawmy go do pierwotnego równania.

Zacznijmy od x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Sprawdzenie powiodło się, teraz kolejka x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Tak, przestań! Zewnętrznie wszystko jest doskonałe. Chwileczkę - nie ma logarytmów z liczb ujemnych! Oznacza to, że pierwiastek x \u003d -1 nie nadaje się do rozwiązania naszego równania. I dlatego poprawną odpowiedzią będzie 3, a nie 2, jak pisaliśmy.

To tutaj ODZ odegrał swoją fatalną rolę, o której zapomnieliśmy.

Przypomnę, że w obszarze wartości dopuszczalnych akceptowane są takie wartości x, które są dozwolone lub mają sens dla oryginalnego przykładu.

Bez ODZ każde rozwiązanie, nawet absolutnie poprawne, dowolnego równania zamienia się w loterię - 50/50.

Jak moglibyśmy zostać przyłapani na rozwiązywaniu pozornie elementarnego przykładu? I oto jest w momencie wzmocnienia. Logarytmy zniknęły, a wraz z nimi wszystkie ograniczenia.

Co zrobić w takim przypadku? Odmówić wyeliminowania logarytmów? I całkowicie zrezygnować z rozwiązania tego równania?

Nie, po prostu, jak prawdziwi bohaterowie z jednej słynnej piosenki, będziemy się kręcić!

Przed przystąpieniem do rozwiązania dowolnego równania logarytmicznego zapiszemy ODZ. Ale potem możesz robić, co dusza zapragnie, z naszym równaniem. Po otrzymaniu odpowiedzi po prostu wyrzucamy te korzenie, których nie ma w naszym ODZ, i zapisujemy ostateczną wersję.

Teraz zdecydujmy, jak napisać ODZ. Aby to zrobić, dokładnie badamy oryginalne równanie i szukamy w nim podejrzanych miejsc, takich jak dzielenie przez x, pierwiastek parzystego stopnia itp. Dopóki nie rozwiążemy równania, nie wiemy, ile równa się x, ale wiemy na pewno, że takie x, które po podstawieniu dadzą dzielenie przez 0 lub wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, oczywiście nie nadają się na odpowiedź. Dlatego takie x-y są niedopuszczalne, a reszta będzie stanowić ODZ.

Użyjmy ponownie tego samego równania:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Jak widać, nie ma dzielenia przez 0, pierwiastki kwadratowe też nie, ale są wyrażenia z x w ciele logarytmu. Od razu przypominamy sobie, że wyrażenie wewnątrz logarytmu musi zawsze być > 0. Ten warunek jest zapisany w postaci ODZ:

Te. jeszcze niczego nie rozwiązaliśmy, ale już zapisaliśmy warunek obowiązkowy dla całego wyrażenia podlogarytmicznego. Nawias klamrowy oznacza, że ​​warunki te muszą być spełnione jednocześnie.

ODZ jest spisany, ale konieczne jest również rozwiązanie powstałego układu nierówności, co zrobimy. Otrzymujemy odpowiedź x > v3. Teraz już wiemy na pewno, które x nie będzie nam odpowiadać. A potem zaczynamy rozwiązywać samo równanie logarytmiczne, co zrobiliśmy powyżej.

Po otrzymaniu odpowiedzi x 1 \u003d 3 i x 2 \u003d -1 łatwo zauważyć, że tylko x1 \u003d 3 jest dla nas odpowiednie i zapisujemy to jako ostateczną odpowiedź.

Na przyszłość bardzo ważne jest, aby pamiętać, że: każde równanie logarytmiczne rozwiązujemy w 2 etapach. Pierwszy - rozwiązujemy samo równanie, drugi - rozwiązujemy warunek ODZ. Oba etapy przeprowadzane są niezależnie od siebie i porównywane są tylko podczas pisania odpowiedzi, tj. odrzucamy wszystkie niepotrzebne i zapisujemy poprawną odpowiedź.

Aby skonsolidować materiał, zdecydowanie zalecamy obejrzenie wideo:

W filmie inne przykłady rozwiązania dziennika. równania i wypracowanie metody przedziałów w praktyce.

Do tego w temacie jak rozwiązywać równania logarytmiczne aż wszystko. Jeśli coś zgodnie z decyzją z dziennika. równania pozostały niejasne lub niezrozumiałe, napisz swoje pytania w komentarzach.

Uwaga: Wyższa Szkoła Edukacji Społecznej (KSUE) jest gotowa na przyjęcie nowych studentów.

Instrukcja

Zapisz podane wyrażenie logarytmiczne. Jeśli wyrażenie używa logarytmu 10, to jego zapis jest skracany i wygląda następująco: lg b jest logarytmem dziesiętnym. Jeżeli podstawą logarytmu jest liczba e, to zapisuje się wyrażenie: ln b jest logarytmem naturalnym. Rozumie się, że wynikiem any jest potęga, do której należy podnieść liczbę podstawową, aby uzyskać liczbę b.

Gdy znajdujesz sumę dwóch funkcji, wystarczy rozróżnić je jedna po drugiej i dodać wyniki: (u+v)" = u"+v";

Aby znaleźć pochodną iloczynu dwóch funkcji, należy pomnożyć pochodną pierwszej funkcji przez drugą i dodać pochodną drugiej funkcji pomnożoną przez pierwszą funkcję: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Aby znaleźć pochodną ilorazu dwóch funkcji, należy od iloczynu pochodnej dywidendy pomnożonej przez funkcję dzielnika odjąć iloczyn pochodnej dzielnika pomnożonej przez funkcję dzielnika i podzielić wszystko to przez funkcję dzielnika do kwadratu. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jeśli podana jest funkcja zespolona, ​​należy pomnożyć pochodną funkcji wewnętrznej i pochodną funkcji zewnętrznej. Niech y=u(v(x)), wtedy y"(x)=y"(u)*v"(x).

Korzystając z powyższego, możesz rozróżnić prawie każdą funkcję. Spójrzmy więc na kilka przykładów:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Są też zadania do obliczania pochodnej w punkcie. Niech funkcja y=e^(x^2+6x+5) będzie dana, musisz znaleźć wartość funkcji w punkcie x=1.
1) Znajdź pochodną funkcji: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Oblicz wartość funkcji w dany punkt y"(1)=8*e^0=8

Powiązane wideo

Pomocna rada

Naucz się tabeli pochodnych elementarnych. Pozwoli to zaoszczędzić dużo czasu.

Źródła:

• stała pochodna

Jaka jest więc różnica między równaniem irracjonalnym a racjonalnym? Jeśli nieznana zmienna znajduje się pod znakiem pierwiastka kwadratowego, równanie jest uważane za niewymierne.

Instrukcja

Główną metodą rozwiązywania takich równań jest metoda podnoszenia obu części równania w kwadrat. Jednakże. jest to naturalne, pierwszym krokiem jest pozbycie się znaku. Technicznie ta metoda nie jest trudna, ale czasami może prowadzić do kłopotów. Na przykład równanie v(2x-5)=v(4x-7). Podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymujesz 2x-5=4x-7. Takie równanie nie jest trudne do rozwiązania; x=1. Ale numer 1 nie zostanie nadany równania. Dlaczego? Zastąp jednostkę w równaniu zamiast wartości x. A prawa i lewa strona będą zawierać wyrażenia, które nie mają sensu, to znaczy. Taka wartość nie jest poprawna dla pierwiastka kwadratowego. Dlatego 1 jest zewnętrznym pierwiastkiem, a zatem to równanie nie ma pierwiastków.

Tak więc irracjonalne równanie rozwiązuje się metodą podniesienia do kwadratu obu jego części. Po rozwiązaniu równania konieczne jest odcięcie obcych korzeni. Aby to zrobić, zastąp znalezione pierwiastki oryginalnym równaniem.

Rozważ inny.
2x+vx-3=0
Oczywiście to równanie można rozwiązać za pomocą tego samego równania, co poprzednie. Związki transferowe równania, które nie mają pierwiastka kwadratowego, na prawą stronę, a następnie użyj metody podniesienia do kwadratu. rozwiązać wynikowe równanie wymierne i pierwiastki. Ale inny, bardziej elegancki. Wprowadź nową zmienną; vx=y. W związku z tym otrzymasz równanie takie jak 2y2+y-3=0. To jest zwykłe równanie kwadratowe. Znajdź jego korzenie; y1=1 i y2=-3/2. Następnie rozwiąż dwa równania vx=1; vx \u003d -3/2. Drugie równanie nie ma pierwiastków, z pierwszego wynika, że ​​x=1. Nie zapomnij o konieczności sprawdzenia korzeni.

Rozwiązywanie tożsamości jest dość łatwe. Wymaga to dokonywania identycznych przekształceń, aż do osiągnięcia celu. W ten sposób zadanie zostanie rozwiązane za pomocą najprostszych operacji arytmetycznych.

Będziesz potrzebować

• - papier;
• - długopis.

Instrukcja

Najprostsze takie przekształcenia to algebraiczne skrócone mnożenia (takie jak kwadrat sumy (różnica), różnica kwadratów, suma (różnica), sześcian sumy (różnica)). Ponadto istnieje wiele wzorów trygonometrycznych, które są zasadniczo tymi samymi tożsamościami.

Rzeczywiście, kwadrat sumy dwóch wyrazów jest równy kwadratowi pierwszego plus dwukrotność iloczynu pierwszego i drugiego plus kwadrat drugiego, czyli (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Uprość oba

Ogólne zasady rozwiązania

Metoda podstawienia zmiennej

Rozwiązywanie całek drugiego rodzaju

Podstawianie granic całkowania

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje informacje. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe odnoszą się do danych, które mogą być wykorzystane do zidentyfikowania lub skontaktowania się z konkretną osobą.

W każdym momencie kontaktu z nami możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych.

Poniżej przedstawiono kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić, oraz sposobów ich wykorzystania.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Gdy prześlesz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach oraz innych wydarzeniach i nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i wiadomości.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnienie osobom trzecim

Nie ujawniamy otrzymanych od Ciebie informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub właściwe ze względu na bezpieczeństwo, egzekwowanie prawa lub inne cele interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniemu następcy zewnętrznemu.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności — w tym administracyjne, techniczne i fizyczne — w celu ochrony danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach w zakresie prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki w zakresie prywatności.

Wyrażenia logarytmiczne, rozwiązywanie przykładów. W tym artykule rozważymy problemy związane z rozwiązywaniem logarytmów. Zadania poruszają kwestię znalezienia wartości wyrażenia. Należy zauważyć, że pojęcie logarytmu jest używane w wielu zadaniach i niezwykle ważne jest zrozumienie jego znaczenia. Jeśli chodzi o USE, logarytm jest używany w rozwiązywaniu równań, w stosowanych problemach, a także w zadaniach związanych z badaniem funkcji.

Oto przykłady, aby zrozumieć samo znaczenie logarytmu:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna:

Właściwości logarytmów, o których zawsze musisz pamiętać:

*Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów czynników.

* * *

* Logarytm ilorazu (ułamka) jest równy różnicy logarytmów czynników.

* * *

* Logarytm stopnia jest równy iloczynowi wykładnika i logarytmu jego podstawy.

* * *

* Przejście do nowej bazy

* * *

Więcej właściwości:

* * *

Obliczanie logarytmów jest ściśle związane z wykorzystaniem właściwości wykładników.

Wymieniamy niektóre z nich:

Istotą tej właściwości jest to, że przy przenoszeniu licznika do mianownika i odwrotnie, znak wykładnika zmienia się na przeciwny. Na przykład:

Konsekwencja tej właściwości:

* * *

Podczas podnoszenia potęgi do potęgi podstawa pozostaje taka sama, ale wykładniki są mnożone.

* * *

Jak widać, sama koncepcja logarytmu jest prosta. Najważniejsze, że potrzebna jest dobra praktyka, która daje pewną umiejętność. Na pewno znajomość formuł jest obowiązkowa. Jeśli nie ma umiejętności przekształcania logarytmów elementarnych, to przy rozwiązywaniu prostych zadań można łatwo popełnić błąd.

Ćwicz, najpierw rozwiązuj najprostsze przykłady z kursu matematycznego, a następnie przejdź do bardziej złożonych. W przyszłości na pewno pokażę, jak rozwiązuje się „brzydkie” logarytmy, takich nie będzie na egzaminie, ale są interesujące, nie przegap tego!

To wszystko! Powodzenia!

Z poważaniem, Aleksander Krutickikh

P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś opowiedział o stronie w sieciach społecznościowych.

Algebra klasa 11

Temat: „Metody rozwiązywania równań logarytmicznych”

Cele Lekcji:

edukacyjny: budowanie wiedzy nt różne sposoby rozwiązywanie równań logarytmicznych, umiejętność zastosowania ich w każdej konkretnej sytuacji i wybrania dowolnej metody rozwiązania;

rozwijanie: rozwijanie umiejętności obserwowania, porównywania, stosowania wiedzy w nowej sytuacji, identyfikowania wzorców, generalizowania; kształtowanie umiejętności wzajemnej kontroli i samokontroli;

edukacyjny: edukacja odpowiedzialnego podejścia do pracy edukacyjnej, uważne postrzeganie materiału na lekcji, dokładność prowadzenia dokumentacji.

Rodzaj lekcji : lekcja zapoznawcza z nowym materiałem.

„Wynalezienie logarytmów, skracając pracę astronoma, wydłużyło jego życie”.
Francuski matematyk i astronom P.S. Laplace'a

Podczas zajęć

I. Ustalenie celu lekcji

Przestudiowana definicja logarytmu, własności logarytmów oraz funkcja logarytmiczna pozwolą nam rozwiązywać równania logarytmiczne. Wszystkie równania logarytmiczne, bez względu na to, jak bardzo są złożone, są rozwiązywane przy użyciu tych samych algorytmów. Rozważymy te algorytmy dzisiaj podczas lekcji. Jest ich niewielu. Jeśli je opanujesz, każde równanie z logarytmami będzie wykonalne dla każdego z was.

Wpisz w zeszycie temat lekcji: „Metody rozwiązywania równań logarytmicznych”. Zapraszam wszystkich do współpracy.

II. Aktualizacja podstawowej wiedzy

Przygotujmy się do przestudiowania tematu lekcji. Rozwiązujesz każde zadanie i zapisujesz odpowiedź, nie możesz napisać warunku. Pracujcie w parach.

1) Dla jakich wartości x funkcja ma sens:

A)

B)

V)

mi)

(Odpowiedzi są sprawdzane dla każdego slajdu, a błędy są usuwane)

2) Czy wykresy funkcji są zgodne?

a) y = x i

B)I

3) Przepisz równości jako równości logarytmiczne:

4) Zapisz liczby w postaci logarytmów o podstawie 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Oblicz :

6) Spróbuj odtworzyć lub uzupełnić brakujące elementy w tych równościach.

III. Wprowadzenie do nowego materiału

Oświadczenie jest wyświetlane na ekranie:

„Równanie jest złotym kluczem, który otwiera wszystkie matematyczne sezamy”.
Współczesny polski matematyk S. Koval

Spróbuj sformułować definicję równania logarytmicznego. (Równanie zawierające niewiadomą pod znakiem logarytmu ).

Rozważaćnajprostsze równanie logarytmiczne: dziennik A x = b (gdzie a>0, a ≠ 1). Ponieważ funkcja logarytmiczna rośnie (lub maleje) na zbiorze liczb dodatnich i przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste, z pierwiastka twierdzenia wynika, że ​​dla dowolnego b równanie to ma zresztą tylko jedno rozwiązanie, i to dodatnie.

Przypomnij sobie definicję logarytmu. (Logarytm liczby x do podstawy a to wykładnik, do którego należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę x ). Z definicji logarytmu wynika natychmiast, żeA V jest takie rozwiązanie.

Zapisz tytuł:Metody rozwiązywania równań logarytmicznych

1. Z definicji logarytmu .

Tak powstają najprostsze równania postaci.

RozważaćNr 514 (a ): Rozwiązać równanie

Jak proponujesz to rozwiązać? (Z definicji logarytmu )

Rozwiązanie . , Stąd 2x - 4 = 4; x = 4.

Odpowiedź: 4.

W tym zadaniu 2x - 4 > 0, ponieważ> 0, więc nie mogą pojawić się żadne obce korzenie, iweryfikacja nie jest konieczna . Warunek 2x - 4 > 0 w tym zadaniu nie jest konieczny do wypisywania.

2. Wzmocnienie (przejście od logarytmu podanego wyrażenia do samego tego wyrażenia).

Rozważaćnr 519(g): dziennik 5 ( X 2 +8)- dziennik 5 ( X+1)=3 dziennik 5 2

Jaką cechę zauważyłeś?(Podstawy są takie same, a logarytmy obu wyrażeń są równe) . Co można zrobić?(potencjalny).

W takim przypadku należy wziąć pod uwagę, że każde rozwiązanie zawiera się wśród wszystkich x, dla których wyrażenia logarytmiczne są dodatnie.

Rozwiązanie: ODZ:

X 2 +8>0 dodatkowa nierówność

dziennik 5 ( X 2 +8) = dziennik 5 2 3 + dziennik 5 ( X+1)

dziennik 5 ( X 2 +8)= dziennik 5 (8 X+8)

Wzmocnij oryginalne równanie

X 2 +8= 8 X+8

otrzymujemy równanieX 2 +8= 8 X+8

Rozwiążmy to:X 2 -8 X=0

x=0, x=8

Odpowiedź: 0; 8

Ogólnieprzejście na równoważny system :

Równanie

(Układ zawiera warunek redundantny - jedną z nierówności można zignorować).

Pytanie do klasy : Które z tych trzech rozwiązań najbardziej przypadło Ci do gustu? (Omówienie metod).

Masz prawo decydować w jakikolwiek sposób.

3. Wprowadzenie nowej zmiennej .

Rozważaćnr 520(g) . .

Co zauważyłeś? (To jest równanie kwadratowe dla log3x) Twoje sugestie? (Wprowadź nową zmienną)

Rozwiązanie . ODZ: x > 0.

Pozwalać, to równanie przyjmie postać:. Wyróżnik D > 0. Pierwiastki z twierdzenia Viety:.

Powrót do wymiany:Lub.

Rozwiązując najprostsze równania logarytmiczne, otrzymujemy:

; .

Odpowiedź : 27;

4. Logarytm z obu stron równania.

Rozwiązać równanie:.

Rozwiązanie : ODZ: x>0, logarytmujemy obie strony równania o podstawie 10:

. Zastosuj właściwość logarytmu stopnia:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Niech lgx = y, wtedy (y + 3)y = 4

, (D > 0) pierwiastki według twierdzenia Vieta: y1 = -4 i y2 = 1.

Wróćmy do zamiany, otrzymujemy: lgx = -4,; log x = 1,. . Jest następująco: jeśli jedną z funkcji y = f(x) wzrasta i inne y = g(x) maleje na przedziale X, to równanie f(x)=g(x) ma co najwyżej jeden pierwiastek z przedziału X .

Jeśli istnieje korzeń, można go odgadnąć. .

Odpowiedź : 2

« Prawidłowe użycie metod można się nauczyć
tylko poprzez zastosowanie ich do różnych przykładów.
Duński historyk matematyki GG Zeiten

I w. Praca domowa

S. 39 rozważ przykład 3, rozwiąż nr 514 (b), nr 529 (b), nr 520 (b), nr 523 (b)

V. Podsumowanie lekcji

Jakie metody rozwiązywania równań logarytmicznych rozważaliśmy na lekcji?

W następnej lekcji przyjrzymy się więcej złożone równania. Aby je rozwiązać, przydatne są badane metody.

Wyświetlanie ostatniego slajdu:

„Cóż jest ponad wszystko na świecie?
Przestrzeń.
Co to jest najmądrzejszy?
Czas.
Co jest najprzyjemniejsze?
Osiągnij to, czego pragniesz”.
Tales

Życzę wszystkim, aby osiągnęli to, czego chcą. Dziękujemy za współpracę i zrozumienie.