Lekcja i prezentacja na temat: „Ciągi liczbowe. Postęp arytmetyczny”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce edukacyjne w sklepie internetowym „Integral” do podręczników do klasy IX
Makarycheva Yu.N. Alimova Sh.A. Mordkovich A.G. Muravina G.K.

Czym zatem jest postęp arytmetyczny?

Ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz, zaczynając od drugiego, jest równy sumie poprzedniej i pewnej ustalonej liczby, nazywa się postępem arytmetycznym.

Postęp arytmetyczny– powtarzalnie zadany postęp numeryczny.

Zapiszmy postać rekurencyjną: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, liczba d – różnica progresji. a i d są pewnymi danymi liczbowymi.

Przykład. 1,4,7,10,13,16... Postęp arytmetyczny z $a=1, d=3$.

Przykład. 3,0,-3,-6,-9... Postęp arytmetyczny z $a=3, d=-3$.

Przykład. 5,5,5,5,5... Postęp arytmetyczny z $a=5, d=0$.

Postęp arytmetyczny ma właściwości monotoniczności: jeśli różnica postępu jest większa od zera, to ciąg rośnie, jeśli różnica postępu jest mniejsza od zera, to ciąg maleje.

Jeżeli ciąg arytmetyczny ma skończoną liczbę elementów, to taki postęp nazywa się skończonym postępem arytmetycznym.

Jeżeli podany jest ciąg $a_(n)$ i jest to postęp arytmetyczny, to zwyczajowo oznacza się: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Wróćmy do naszych przykładów i zapiszmy naszą formułę dla każdego przykładu.

Przykład. 1,4,7,10,13,16... Postęp arytmetyczny, w którym a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.

Przykład. 3,0,-3,-6,-9... Postęp arytmetyczny, dla którego a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Przykład. Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
a) Wiadomo, że $a_(1)=5$, $d=3$. Znajdź $a_(23)$.
b) Wiadomo, że $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$. Znajdź n.
c) Wiadomo, że $d=-1$, $a_(22)=15$. Znajdź $a_(1)$.
d) Wiadomo, że $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$. Znajdź d.
Rozwiązanie.
a) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
b) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
5n=110=>n=22$.
c) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
d) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Przykład. Dzieląc dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego przez drugi wyraz, iloraz pozostaje 7, a dzieląc dziewiąty wyraz przez piąty, iloraz wynosi 2, a reszta wynosi 5. Znajdź trzydziesty wyraz postępu.
Rozwiązanie.
Zapiszmy kolejno wzory 2,5 i 9 naszego postępu.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
Z warunku wiemy również:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
Lub:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
Stwórzmy układ równań:
$\begin(cases)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end(cases)$.
$\begin(cases)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end(cases)$.
Po rozwiązaniu układu otrzymujemy: $d=6, a_(1)=1$.
Znajdźmy $a_(30)$.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.

Suma skończonego postępu arytmetycznego

Dajmy sobie postęp arytmetyczny 1,2,3,4,5...100.
Przedstawmy zatem sumę jej członków w następujący sposób:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Ale podobny wzór można zastosować do dowolnego postępu arytmetycznego:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
Zapiszmy naszą formułę w przypadku ogólnym: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, gdzie $k<1$.
Wyprowadźmy wzór na obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego, napiszmy wzór dwukrotnie w różnej kolejności:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
Dodajmy te formuły razem:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
Po prawej stronie naszej równości znajduje się n wyrazów i wiemy, że każdy z nich jest równy $a_(1)+a_(n)$.
Następnie:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
Naszą formułę można również zapisać w postaci: ponieważ $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
wtedy $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
Najczęściej wygodniej jest skorzystać z tej konkretnej formuły, dlatego warto o niej pamiętać!

Przykład. Dany jest skończony postęp arytmetyczny.
Znajdować:
a) $s_(22),jeśli a_(1)=7, d=2$.
b) d,jeśli $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
Rozwiązanie.
a) Skorzystajmy z drugiego wzoru na sumę $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 = 616 dolarów.
b) W tym przykładzie użyjemy pierwszej formuły: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
144 $ = 36 + 4a_(8) $.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.

Przykład. Znajdź sumę wszystkich nieparzystych liczb dwucyfrowych.
Rozwiązanie.
Warunki naszej progresji to: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
Znajdźmy numer ostatniego wyrazu progresji:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
99 $ = 11 + 2 (n-1) $.
$n=45$.
Teraz znajdźmy sumę: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.

Przykład. Chłopaki poszli na wycieczkę. Wiadomo, że w ciągu pierwszej godziny przeszli 500 m, po czym zaczęli chodzić o 25 metrów mniej niż w pierwszej godzinie. Ile godzin zajmie im pokonanie 2975 metrów?
Rozwiązanie.
Ścieżkę przebytą w ciągu każdej godziny można przedstawić w postaci postępu arytmetycznego:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$.
Różnica postępu arytmetycznego wynosi $d=-25$.
Droga przebyta w 2975 metrach jest sumą wyrazów ciągu arytmetycznego.
$S_(n)=2975$, gdzie n to godziny spędzone w podróży.
Następnie:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
1000 $n-25(n-1)n = 5950 $.
Podziel obie strony przez 25.
40n-(n-1)n=238 dolarów.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
Oczywiście bardziej logiczne jest wybranie $n=7$.
Odpowiedź. Chłopaki byli w drodze przez 7 godzin.

Własność charakterystyczna postępu arytmetycznego

Jeśli postęp jest skończony, to równość obowiązuje dla wszystkich terminów z wyjątkiem pierwszego i ostatniego.
Jeżeli nie wiadomo z góry jaką formę ma ten ciąg, ale wiadomo, że: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Wtedy śmiało możemy powiedzieć, że jest to postęp arytmetyczny.

Ciąg liczbowy jest postępem arytmetycznym, gdy każdy członek tego ciągu jest równy średniej arytmetycznej dwóch sąsiednich członków naszego ciągu (pamiętajmy, że dla postępu skończonego warunek ten nie jest spełniony dla pierwszego i ostatniego członu ciągu) .

Przykład. Znajdź x takie, że $3x+2$; $x-1$; $4x+3$ – trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.
Rozwiązanie. Skorzystajmy z naszej formuły:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1,4$.
Sprawdźmy, nasze wyrażenia przyjmą postać: -2,2; -2,4; -2,6.
Są to oczywiście wyrazy postępu arytmetycznego i $d=-0,2$.

Problemy do samodzielnego rozwiązania

Podczas nauki algebry w szkole średniej (9 klasa) jednym z ważnych tematów jest nauka ciągów liczbowych, do których zaliczają się postępy - geometryczny i arytmetyczny. W tym artykule przyjrzymy się postępowi arytmetycznemu i przykładom z rozwiązaniami.

Co to jest postęp arytmetyczny?

Aby to zrozumieć, należy zdefiniować omawianą progresję, a także podać podstawowe wzory, które będą później wykorzystywane przy rozwiązywaniu problemów.

Wiadomo, że w pewnym postępie algebraicznym pierwszy wyraz jest równy 6, a siódmy wyraz jest równy 18. Należy znaleźć różnicę i przywrócić ten ciąg do siódmego wyrazu.

Użyjmy wzoru do wyznaczenia nieznanego składnika: a n = (n - 1) * d + a 1 . Podstawiamy do niego znane dane z warunku, czyli liczby a 1 i a 7, mamy: 18 = 6 + 6 * d. Z tego wyrażenia można łatwo obliczyć różnicę: d = (18 - 6) /6 = 2. W ten sposób odpowiedzieliśmy na pierwszą część problemu.

Aby przywrócić ciąg do wyrazu 7, należy skorzystać z definicji ciągu algebraicznego, czyli a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d i tak dalej. W efekcie przywracamy całą sekwencję: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , za 6 = 14 + 2 = 16, za 7 = 18.

Przykład nr 3: sporządzenie progresji

Skomplikujmy problem jeszcze bardziej. Teraz musimy odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Można podać następujący przykład: podano dwie liczby, na przykład - 4 i 5. Należy utworzyć ciąg algebraiczny, aby między nimi umieścić jeszcze trzy wyrazy.

Zanim przystąpisz do rozwiązywania tego problemu, musisz zrozumieć, jakie miejsce w przyszłej progresji zajmą dane liczby. Ponieważ będą między nimi jeszcze trzy wyrazy, to a 1 = -4 i a 5 = 5. Po ustaleniu tego przechodzimy do problemu, który jest podobny do poprzedniego. Ponownie, dla n-tego członu używamy wzoru i otrzymujemy: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (za 5 - za 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. To, co tu otrzymaliśmy, nie jest całkowitą wartością różnicy, ale liczbą wymierną, więc wzory na postęp algebraiczny pozostają takie same.

Dodajmy teraz znalezioną różnicę do 1 i przywróćmy brakujące człony progresji. Otrzymujemy: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, co się pokrywało z warunkami problemu.

Przykład nr 4: pierwszy okres progresji

Kontynuujmy podawanie przykładów postępu arytmetycznego z rozwiązaniami. We wszystkich poprzednich zadaniach znana była pierwsza liczba ciągu algebraicznego. Rozważmy teraz problem innego typu: niech zostaną podane dwie liczby, gdzie a 15 = 50 i a 43 = 37. Należy dowiedzieć się, od której liczby zaczyna się ten ciąg.

Dotychczas stosowane wzory zakładają znajomość 1 i d. W opisie problemu nic nie wiadomo na temat tych liczb. Niemniej jednak dla każdego terminu zapiszemy wyrażenia, o których są dostępne informacje: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Otrzymaliśmy dwa równania, w których są 2 nieznane wielkości (a 1 i d). Oznacza to, że problem sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych.

Najprostszym sposobem rozwiązania tego układu jest wyrażenie 1 w każdym równaniu, a następnie porównanie otrzymanych wyrażeń. Pierwsze równanie: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; drugie równanie: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Przyrównując te wyrażenia otrzymujemy: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, skąd różnica d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (podawane są tylko 3 miejsca po przecinku).

Znając d, możesz użyć dowolnego z dwóch powyższych wyrażeń dla 1. Na przykład najpierw: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Jeśli masz wątpliwości co do uzyskanego wyniku, możesz to sprawdzić, na przykład określić 43. wyraz progresji, który jest określony w warunku. Otrzymujemy: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Niewielki błąd wynika z faktu, że w obliczeniach zastosowano zaokrąglenia do części tysięcznych.

Przykład nr 5: kwota

Przyjrzyjmy się teraz kilku przykładom z rozwiązaniami sumy postępu arytmetycznego.

Niech będzie podany ciąg liczbowy postaci: 1, 2, 3, 4, ...,. Jak obliczyć sumę 100 tych liczb?

Dzięki rozwojowi technologii komputerowej możliwe jest rozwiązanie tego problemu, czyli dodanie wszystkich liczb po kolei, co komputer zrobi, gdy tylko ktoś naciśnie klawisz Enter. Zadanie można jednak rozwiązać mentalnie, jeśli zwrócimy uwagę, że przedstawiony ciąg liczb jest ciągiem algebraicznym, a jego różnica jest równa 1. Stosując wzór na sumę otrzymujemy: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Co ciekawe, problem ten nazywa się „gaussowskim”, ponieważ na początku XVIII wieku słynny Niemiec, mając zaledwie 10 lat, potrafił go w głowie rozwiązać w ciągu kilku sekund. Chłopiec nie znał wzoru na sumę postępu algebraicznego, ale zauważył, że jeśli liczby na końcach ciągu dodamy parami, zawsze otrzymamy ten sam wynik, czyli 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a ponieważ sumy te będą wynosić dokładnie 50 (100/2), to aby uzyskać poprawną odpowiedź, wystarczy pomnożyć 50 przez 101.

Przykład nr 6: suma wyrazów od n do m

Innym typowym przykładem sumy postępu arytmetycznego jest następujący: mając ciąg liczb: 3, 7, 11, 15, ..., musisz znaleźć, jaka będzie suma jego wyrazów od 8 do 14 .

Problem rozwiązuje się na dwa sposoby. Pierwsza z nich polega na odnalezieniu nieznanych wyrazów od 8 do 14, a następnie zsumowaniu ich po kolei. Ponieważ terminów jest niewiele, metoda ta nie jest dość pracochłonna. Niemniej jednak proponuje się rozwiązanie tego problemu za pomocą drugiej metody, która jest bardziej uniwersalna.

Chodzi o to, aby otrzymać wzór na sumę postępu algebraicznego pomiędzy wyrazami m i n, gdzie n > m są liczbami całkowitymi. W obu przypadkach piszemy dwa wyrażenia na sumę:

1. S m = m * (za m + za 1) / 2.
2. S n = n * (za n + za 1) / 2.

Ponieważ n > m, oczywiste jest, że druga suma zawiera pierwszą. Ostatni wniosek oznacza, że ​​jeśli weźmiemy różnicę między tymi sumami i dodamy do niej człon a m (w przypadku wzięcia różnicy jest on odejmowany od sumy S n), otrzymamy niezbędną odpowiedź na zadanie. Mamy: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Konieczne jest podstawienie w tym wyrażeniu wzorów na n i m. Następnie otrzymujemy: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = za 1 * (n - m + 1) + re * n * (n - 1) / 2 + re *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Otrzymany wzór jest nieco uciążliwy, jednak suma S mn zależy tylko od n, m, a 1 i d. W naszym przypadku a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Podstawiając te liczby otrzymujemy: S mn = 301.

Jak widać z powyższych rozwiązań, wszystkie problemy opierają się na znajomości wyrażenia na n-ty wyraz i wzorze na sumę zbioru pierwszych wyrazów. Przed przystąpieniem do rozwiązywania któregokolwiek z tych problemów zaleca się uważne przeczytanie warunku, jasne zrozumienie tego, co musisz znaleźć, i dopiero wtedy przystąpienie do rozwiązania.

Kolejną wskazówką jest dążenie do prostoty, to znaczy, jeśli możesz odpowiedzieć na pytanie bez stosowania skomplikowanych obliczeń matematycznych, musisz właśnie to zrobić, ponieważ w tym przypadku prawdopodobieństwo popełnienia błędu jest mniejsze. Przykładowo na przykładzie ciągu arytmetycznego z rozwiązaniem nr 6 można by zatrzymać się na wzorze S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, oraz podziel cały problem na osobne podzadania (w tym przypadku najpierw znajdź terminy a n i a m).

Jeśli masz wątpliwości co do uzyskanego wyniku, zaleca się sprawdzenie go, tak jak to miało miejsce w niektórych podanych przykładach. Dowiedzieliśmy się, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Jeśli się domyślisz, nie jest to takie trudne.

Zanim zaczniemy decydować problemy z postępem arytmetycznym, zastanówmy się, czym jest ciąg liczb, ponieważ postęp arytmetyczny jest szczególnym przypadkiem ciągu liczbowego.

Sekwencja liczb to zbiór liczb, którego każdy element ma swój własny numer seryjny . Elementy tego zbioru nazywane są elementami ciągu. Numer seryjny elementu sekwencji jest oznaczony indeksem:

Pierwszy element ciągu;

Piąty element ciągu;

- „n-ty” element ciągu, tj. element „stojący w kolejce” pod numerem n.

Istnieje związek pomiędzy wartością elementu sekwencji a jego numerem sekwencyjnym. Zatem sekwencję możemy traktować jako funkcję, której argumentem jest liczba porządkowa elementu ciągu. Inaczej mówiąc, możemy tak powiedzieć sekwencja jest funkcją argumentu naturalnego:

Kolejność można ustawić na trzy sposoby:

1 . Kolejność można określić za pomocą tabeli. W tym przypadku po prostu ustawiamy wartość każdego elementu sekwencji.

Na przykład Ktoś postanowił zająć się zarządzaniem czasem osobistym i na początek policzyć, ile czasu spędza na VKontakte w ciągu tygodnia. Zapisując czas w tabelce otrzyma sekwencję składającą się z siedmiu elementów:

Pierwszy wiersz tabeli wskazuje numer dnia tygodnia, drugi - czas w minutach. Widzimy to, czyli w poniedziałek Ktoś spędził na VKontakte 125 minut, czyli w czwartek - 248 minut, a czyli w piątek tylko 15.

2 . Sekwencję można określić za pomocą wzoru na n-ty wyraz.

W tym przypadku zależność wartości elementu ciągu od jego liczby wyraża się bezpośrednio w postaci wzoru.

Na przykład, jeśli , to

Aby znaleźć wartość elementu ciągu o podanej liczbie, podstawiamy numer elementu do wzoru na n-ty wyraz.

To samo robimy, jeśli chcemy znaleźć wartość funkcji, jeśli znana jest wartość argumentu. Podstawiamy wartość argumentu do równania funkcji:

Jeśli na przykład , To

Jeszcze raz zauważę, że w ciągu, w odróżnieniu od dowolnej funkcji numerycznej, argumentem może być tylko liczba naturalna.

3 . Sekwencję można określić za pomocą wzoru wyrażającego zależność wartości członka sekwencji o numerze n od wartości poprzednich członków. W tym przypadku nie wystarczy znać tylko numer elementu ciągu, aby znaleźć jego wartość. Musimy określić pierwszego członka lub kilku pierwszych członków sekwencji.

Rozważmy na przykład sekwencję ,

Możemy znaleźć wartości członków sekwencji kolejno, zaczynając od trzeciego:

Oznacza to, że za każdym razem, aby znaleźć wartość n-tego wyrazu ciągu, wracamy do dwóch poprzednich. Ta metoda określania sekwencji nazywa się nawracający, od słowa łacińskiego powtarzalne- Wróć.

Teraz możemy zdefiniować postęp arytmetyczny. Postęp arytmetyczny to prosty przypadek specjalny ciągu liczbowego.

Postęp arytmetyczny jest ciągiem liczbowym, którego każdy element, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu dodanemu do tej samej liczby.

Numer jest wywoływany różnica postępu arytmetycznego. Różnica ciągu arytmetycznego może być dodatnia, ujemna lub równa zeru.

Jeśli tytuł="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} wzrastający.

Na przykład 2; 5; 8; jedenaście;...

Jeśli , to każdy wyraz postępu arytmetycznego jest mniejszy od poprzedniego i postęp jest malejące.

Na przykład 2; -1; -4; -7;...

Jeśli , to wszystkie wyrazy progresji są równe tej samej liczbie i progresja jest taka stacjonarny.

Na przykład 2;2;2;2;...

Główna właściwość postępu arytmetycznego:

Spójrzmy na zdjęcie.

Widzimy to

, i w tym samym czasie

Dodając te dwie równości, otrzymujemy:

.

Podzielmy obie strony równości przez 2:

Zatem każdy element ciągu arytmetycznego, zaczynając od drugiego, jest równy średniej arytmetycznej dwóch sąsiednich:

Co więcej, od

, i w tym samym czasie

, To

, i dlatego

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego rozpoczynający się od title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formuła wyrazu VII.

Widzimy, że wyrazy ciągu arytmetycznego spełniają następujące zależności:

i w końcu

Mamy wzór na n-ty wyraz.

WAŻNY! Dowolny element ciągu arytmetycznego można wyrazić za pomocą i. Znając pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, możesz znaleźć dowolny jego wyraz.

Suma n wyrazów postępu arytmetycznego.

W dowolnym postępie arytmetycznym sumy wyrazów w jednakowej odległości od skrajnych są sobie równe:

Rozważmy postęp arytmetyczny z n wyrazami. Niech suma n warunków tego postępu będzie równa .

Uporządkujmy warunki progresji najpierw w kolejności rosnącej liczb, a następnie w kolejności malejącej:

Dodajmy parami:

Suma w każdym nawiasie wynosi , liczba par wynosi n.

Otrzymujemy:

Więc, sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego można obliczyć korzystając ze wzorów:

Rozważmy rozwiązywanie problemów z postępem arytmetycznym.

1 . Sekwencję podaje wzór na n-ty wyraz: . Udowodnić, że ciąg ten jest postępem arytmetycznym.

Udowodnijmy, że różnica między dwoma sąsiednimi wyrazami ciągu jest równa tej samej liczbie.

Odkryliśmy, że różnica między dwoma sąsiednimi elementami ciągu nie zależy od ich liczby i jest stała. Zatem z definicji ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.

2 . Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny -31; -27;...

a) Znajdź 31 wyrazów progresji.

b) Ustal, czy liczba 41 wchodzi w tę progresję.

A) Widzimy to ;

Zapiszmy wzór na n-ty wyraz naszej progresji.

Ogólnie

W naszym przypadku , Dlatego

Postęp arytmetyczny nazwać ciąg liczb (warunki progresji)

W którym każdy kolejny termin różni się od poprzedniego nowym terminem, który jest również nazywany różnica stopnia lub progresji.

Zatem określając krok progresji i jego pierwszy człon, za pomocą wzoru można znaleźć dowolny jego element

Własności ciągu arytmetycznego

1) Każdy członek ciągu arytmetycznego, zaczynając od drugiej liczby, jest średnią arytmetyczną poprzednich i kolejnych członków ciągu arytmetycznego

Odwrotna sytuacja jest również prawdą. Jeżeli średnia arytmetyczna sąsiednich wyrazów nieparzystych (parzystych) ciągu jest równa wyrazowi znajdującemu się między nimi, to ten ciąg liczb jest postępem arytmetycznym. Korzystając z tego stwierdzenia, bardzo łatwo jest sprawdzić dowolną sekwencję.

Ponadto, dzięki właściwości postępu arytmetycznego, powyższy wzór można uogólnić na następujący

Łatwo to sprawdzić, pisząc wyrazy po prawej stronie znaku równości

Jest często stosowany w praktyce w celu uproszczenia obliczeń w problemach.

2) Sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego oblicza się ze wzoru

Zapamiętaj dobrze wzór na sumę postępu arytmetycznego, jest on niezbędny w obliczeniach i dość często spotykany w prostych sytuacjach życiowych.

3) Jeśli chcesz znaleźć nie całą sumę, ale część ciągu zaczynając od jego k-tego wyrazu, przyda Ci się następujący wzór na sumę

4) Praktyczne znaczenie ma znalezienie sumy n wyrazów ciągu arytmetycznego zaczynając od k-tej liczby. Aby to zrobić, użyj formuły

Na tym kończy się materiał teoretyczny i przechodzi się do rozwiązywania typowych problemów w praktyce.

Przykład 1. Znajdź czterdziesty wyraz ciągu arytmetycznego 4;7;...

Rozwiązanie:

Według stanu jaki mamy

Określmy krok progresji

Korzystając ze znanego wzoru, znajdujemy czterdziesty wyraz progresji

Przykład 2. Postęp arytmetyczny jest określony przez jego trzeci i siódmy wyraz. Znajdź pierwszy wyraz progresji i sumę dziesięciu.

Rozwiązanie:

Zapiszmy dane elementy progresji korzystając ze wzorów

Odejmujemy pierwsze od drugiego równania, w wyniku czego znajdujemy krok progresji

Podstawiamy znalezioną wartość do dowolnego z równań, aby znaleźć pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego

Obliczamy sumę pierwszych dziesięciu wyrazów progresji

Bez stosowania skomplikowanych obliczeń znaleźliśmy wszystkie wymagane ilości.

Przykład 3. Postęp arytmetyczny jest dany przez mianownik i jeden z jego wyrazów. Znajdź pierwszy wyraz progresji, sumę jego 50 wyrazów, zaczynając od 50 i sumę pierwszych 100.

Rozwiązanie:

Zapiszmy wzór na setny element progresji

i znajdź pierwszą

Na podstawie pierwszego znajdujemy 50. wyraz progresji

Znalezienie sumy części progresji

i suma pierwszych 100

Kwota progresji wynosi 250.

Przykład 4.

Znajdź liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego, jeśli:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Rozwiązanie:

Zapiszmy równania w odniesieniu do pierwszego wyrazu i kroku progresji i określmy je

Otrzymane wartości podstawiamy do wzoru na sumę, aby określić liczbę wyrazów w sumie

Wprowadzamy uproszczenia

i rozwiąż równanie kwadratowe

Z dwóch znalezionych wartości tylko liczba 8 pasuje do warunków problemu. Zatem suma pierwszych ośmiu wyrazów progresji wynosi 111.

Przykład 5.

Rozwiązać równanie

1+3+5+...+x=307.

Rozwiązanie: To równanie jest sumą postępu arytmetycznego. Zapiszmy jego pierwszy wyraz i znajdźmy różnicę w postępie

Na przykład sekwencja \(2\); \(5\); \(8\); \(jedenaście\); \(14\)... jest postępem arytmetycznym, gdyż każdy kolejny element różni się od poprzedniego o trzy (można uzyskać z poprzedniego dodając trzy):

W tym postępie różnica \(d\) jest dodatnia (równa \(3\)), a zatem każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego. Takie postępy nazywane są wzrastający.

Jednak \(d\) może być również liczbą ujemną. Na przykład, w postępie arytmetycznym \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... różnica progresji \(d\) jest równa minus sześć.

I w tym przypadku każdy kolejny element będzie mniejszy od poprzedniego. Te progresje nazywane są malejące.

Notacja postępu arytmetycznego

Postęp jest oznaczony małą literą łacińską.

Liczby tworzące progresję nazywane są członkowie(lub elementy).

Oznacza się je tą samą literą, co ciąg arytmetyczny, ale z indeksem liczbowym równym numerowi elementu w kolejności.

Na przykład ciąg arytmetyczny \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) składa się z elementów \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tak dalej.

Innymi słowy, dla progresji \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Rozwiązywanie problemów z postępem arytmetycznym

W zasadzie informacje przedstawione powyżej wystarczą już do rozwiązania prawie każdego problemu postępu arytmetycznego (w tym oferowanych w OGE).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny jest określony przez warunki \(b_1=7; d=4\). Znajdź \(b_5\).
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(b_5=23\)

Przykład (OGE). Podano trzy pierwsze wyrazy postępu arytmetycznego: \(62; 49; 36…\) Znajdź wartość pierwszego ujemnego wyrazu tego ciągu.
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(-3\)

Przykład (OGE). Mając kilka kolejnych elementów ciągu arytmetycznego: \(…5; x; 10; 12,5...\) Znajdź wartość elementu oznaczonego literą \(x\).
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(7,5\).

Przykład (OGE). Podano postęp arytmetyczny następujące warunki: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Znajdź sumę pierwszych sześciu wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(S_6=9\).

Przykład (OGE). W postępie arytmetycznym \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Znajdź różnicę tego postępu.
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(d=7\).

Ważne wzory na postęp arytmetyczny

Jak widać, wiele problemów z postępem arytmetycznym można rozwiązać po prostu rozumiejąc najważniejszą rzecz - że ciąg arytmetyczny jest ciągiem liczb, a każdy kolejny element w tym łańcuchu uzyskuje się przez dodanie tej samej liczby do poprzedniej (tzw. różnica w postępie).

Czasami jednak zdarzają się sytuacje, w których podjęcie decyzji „od razu” jest bardzo niewygodne. Wyobraźmy sobie na przykład, że w pierwszym przykładzie musimy znaleźć nie piąty element \(b_5\), ale trzysta osiemdziesiąty szósty \(b_(386)\). Czy powinniśmy dodać cztery \(385\) razy? Lub wyobraź sobie, że w przedostatnim przykładzie musisz znaleźć sumę pierwszych siedemdziesięciu trzech elementów. Będziesz zmęczony liczeniem...

Dlatego w takich przypadkach nie rozwiązuje się sprawy „od razu”, ale stosuje się specjalne wzory wyprowadzone na postęp arytmetyczny. A najważniejsze to wzór na n-ty wyraz progresji i wzór na sumę \(n\) pierwszych wyrazów.

Wzór \(n\)tego wyrazu: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdzie \(a_1\) jest pierwszym wyrazem ciągu;
\(n\) – numer wymaganego elementu;
\(a_n\) – wyraz ciągu o numerze \(n\).

Formuła ta pozwala nam szybko znaleźć nawet trzysetny lub milionowy element, znając tylko pierwszy i różnicę progresji.

Przykład. Postęp arytmetyczny określony jest przez warunki: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Znajdź \(b_(246)\).
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(b_(246)=1850\).

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdzie

\(a_n\) – ostatni zsumowany wyraz;

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny jest określony przez warunki \(a_n=3,4n-0,6\). Znajdź sumę pierwszych \(25\) wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(S_(25)=1090\).

Na sumę \(n\) pierwszych wyrazów możesz uzyskać inny wzór: wystarczy \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) zamiast \(a_n\) zamień na to wzór \(a_n=a_1+(n-1)d\). Otrzymujemy:

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdzie

\(S_n\) – wymagana suma \(n\) pierwszych elementów;
\(a_1\) – pierwszy wyraz zsumowany;
\(d\) – różnica progresji;
\(n\) – całkowita liczba elementów.

Przykład. Znajdź sumę pierwszych \(33\)-ex wyrazów ciągu arytmetycznego: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(S_(33)=-231\).

Bardziej złożone problemy postępu arytmetycznego

Teraz masz wszystkie informacje potrzebne do rozwiązania niemal każdego problemu postępu arytmetycznego. Zakończmy temat rozważeniem problemów, w których trzeba nie tylko zastosować formuły, ale i trochę pomyśleć (w matematyce może się to przydać ☺)

Przykład (OGE). Znajdź sumę wszystkich ujemnych wyrazów progresji: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(S_(65)=-630,5\).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny określony jest przez warunki: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Znajdź sumę od \(26\) do \(42\) elementu włącznie.
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(S=1683\).

W przypadku postępu arytmetycznego istnieje jeszcze kilka formuł, których nie rozważaliśmy w tym artykule ze względu na ich niską przydatność praktyczną. Można je jednak łatwo znaleźć.