И така, ние вече знаем, че числителят и знаменателят на една дроб могат да бъдат умножени и разделени на едно и също число, дробта няма да се промени от това. Нека разгледаме три подхода:

Подход един.

За да намалите, разделете числителя и знаменателя на общ делител. Нека да разгледаме примери:

Нека съкратим:

В дадените примери веднага виждаме кои делители да вземем за намаляване. Процесът е прост - минаваме през 2,3,4,5 и т.н. В повечето примери за училищни курсове това е напълно достатъчно. Но ако е дроб:

Тук процесът на избор на делители може да отнеме много време;). Разбира се, такива примери са извън училищната програма, но трябва да можете да се справяте с тях. По-долу ще разгледаме как се прави това. Засега нека се върнем към процеса на намаляване.

Както беше обсъдено по-горе, за да намалим дроб, разделихме на общия делител(и), който определихме. Всичко е точно! Трябва само да добавите знаци за делимост на числата:

- ако числото е четно, то се дели на 2.

- ако едно число от последните две цифри се дели на 4, то самото число се дели на 4.

— ако сборът от цифрите, съставляващи числото, се дели на 3, то самото число се дели на 3. Например 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Дванадесет се дели на 3, така че 123031 се дели на 3.

- ако числото завършва на 5 или 0, значи числото се дели на 5.

— ако сборът от цифрите, съставляващи числото, се дели на 9, то самото число се дели на 9. Например 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Осемнадесет се дели на 9, което означава, че 623032 се дели на 9.

Втори подход.

Казано накратко, всъщност цялото действие се свежда до разлагане на множители на числителя и знаменателя и след това намаляване на равните фактори в числителя и знаменателя (този подход е следствие от първия подход):

Визуално, за да се избегне объркване и грешки, равните фактори просто се зачертават. Въпрос - как да разложа число? Необходимо е да се определят всички делители чрез търсене. Това е отделна тема, просто е, вижте информацията в учебник или в интернет. Няма да срещнете големи проблеми с разлагането на числа, които присъстват в дробите на училищния курс.

Формално принципът на редукция може да бъде написан по следния начин:

Подход три.

Ето най-интересното за напредналите и тези, които искат да станат такива. Нека съкратим дробта 143/273. Опитайте сами! Е, как стана бързо? Виж сега!

Обръщаме го (разменяме местата на числителя и знаменателя). Разделяме получената фракция на смесено число с ъгъл, тоест избираме цялата част:

Вече е по-лесно. Виждаме, че числителят и знаменателят могат да бъдат намалени с 13:

А сега не забравяйте отново да обърнете дроба назад, нека напишем цялата верига:

Проверено - отнема по-малко време от търсенето и проверката на делителите. Нека се върнем към нашите два примера:

Първо. Разделете с ъгъл (не на калкулатор), получаваме:

Тази дроб е по-проста, разбира се, но редукцията отново е проблем. Сега отделно анализираме фракцията 1273/1463 и я обръщаме:

Тук е по-лесно. Можем да считаме такъв делител за 19. Останалите не пасват, може да се види: 190:19= 10, 1273:19 = 67. Ура! Нека запишем:

Следващ пример. Нека съкратим 88179/2717.

Разделяме, получаваме:

Отделно анализираме фракцията 1235/2717 и я обръщаме:

Можем да разгледаме делител като 13 (до 13 не е подходящ):

Числител 247:13=19 Знаменател 1235:13=95

*По време на процеса видяхме друг делител, равен на 19. Оказва се, че:

Сега записваме оригиналния номер:

И няма значение какво ще бъде повече във фракцията - числителят или знаменателят, ако знаменателят, тогава обръщаме и действаме, както е описано. По този начин можем да намалим всяка фракция, третият подход може да се нарече универсален.

Разбира се, двата примера, обсъдени по-горе, не са прости примери. Нека изпробваме тази технология върху „простите“ дроби, които вече разгледахме:

Две четвърти.

Седемдесет и две шейсетте. Числителят е по-голям от знаменателя; няма нужда да го обръщате:

Разбира се, при такива беше приложен третият подход прости примерипросто като алтернатива. Методът, както вече беше казано, е универсален, но не е удобен и правилен за всички фракции, особено за простите.

Разнообразието от дроби е голямо. Важно е да разбирате принципите. Просто няма строго правило за работа с дроби. Погледнахме, разбрахме как би било по-удобно да действаме и продължихме напред. С практиката умението ще дойде и ще ги щракате като семена.

Заключение:

Ако видите общ делител(и) за числителя и знаменателя, използвайте ги за намаляване.

Ако знаете как бързо да разложите число, разложете числителя и знаменателя и след това намалете.

Ако не можете да определите общия делител, използвайте третия подход.

*За да намалите дроби, е важно да овладеете принципите на намаляване, да разберете основното свойство на дроб, да знаете подходите за решаване и да бъдете изключително внимателни, когато правите изчисления.

И помнете! Обичайно е да се намалява дроб, докато спре, тоест да се намалява, докато има общ делител.

С уважение, Александър Крутицких.

дивизияи числителя и знаменателя на дробта върху техните общ делител, което е различно от единица, се нарича намаляване на дроб.

За да намалите обикновена дроб, трябва да разделите нейния числител и знаменател на едно и също естествено число.

Това число е най-големият общ делител на числителя и знаменателя на дадената дроб.

Възможни са следните формуляри за записване на решенияПримери за редукция на обикновени дроби.

Студентът има право да избере всяка форма на запис.

Примери. Опростете дробите.

Намалете дробта с 3 (разделете числителя на 3;

разделете знаменателя на 3).

Намалете дроба със 7.

Извършваме посочените действия в числителя и знаменателя на дробта.

Получената дроб се намалява с 5.

Нека намалим тази дроб 4) На 5·7³- най-големият общ делител (НОД) на числителя и знаменателя, който се състои от общите множители на числителя и знаменателя, взети на степен с най-малък показател.

Нека разложим числителя и знаменателя на тази дроб на прости множители.

Получаваме: 756=2²·3³·7И 1176=2³·3·7².

Определете НОД (най-големия общ делител) на числителя и знаменателя на дробта 5) .

Това е произведението на общите множители, взети с най-малките показатели.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Разделяме числителя и знаменателя на тази дроб на техния НОД, т.е 2²·3·7получаваме несъкратима дроб 9/14 .

Или беше възможно да се напише разлагането на числителя и знаменателя под формата на произведение от прости множители, без да се използва концепцията за мощност, и след това да се намали дробта, като се зачеркнат същите множители в числителя и знаменателя. Когато не останат еднакви множители, умножаваме останалите множители отделно в числителя и отделно в знаменателя и записваме получената дроб 9/14 .

И накрая беше възможно да се намали тази част 5) постепенно, прилагайки знаците за деление на числата както към числителя, така и към знаменателя на дробта. Нека помислим така: числа 756 И 1176 завършват на четно число, което означава, че и двете се делят на 2 . Намаляваме дроба с 2 . Числителят и знаменателят на новата дроб са числа 378 И 588 също се разделя на 2 . Намаляваме дроба с 2 . Забелязваме, че броят 294 - дори и 189 е нечетно и намаляването с 2 вече не е възможно. Да проверим делимостта на числата 189 И 294 На 3 .

(1+8+9)=18 се дели на 3 и (2+9+4)=15 се дели на 3, следователно и самите числа 189 И 294 се разделят на 3 . Намаляваме дроба с 3 . Освен това, 63 се дели на 3 и 98 - Не. Нека разгледаме други прости множители. И двете числа се делят на 7 . Намаляваме дроба с 7 и получаваме несъкратимата дроб 9/14 .

Онлайн калкулатор изпълнява намаляване алгебрични дроби в съответствие с правилото за съкращаване на дроби: замяна на оригиналната дроб с равна дроб, но с по-малък числител и знаменател, т.е. Едновременно деление на числителя и знаменателя на дроб на техния общ най-голям общ множител (НОД). Калкулаторът също така показва подробно решение, което ще ви помогне да разберете последователността на намаляването.

дадени:

Решение:

Извършва редукция на дроби

проверка на възможността за извършване на редукция на алгебрична дроб

1) Определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на дроб

определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на алгебрична дроб

2) Намаляване на числителя и знаменателя на дроб

намаляване на числителя и знаменателя на алгебрична дроб

3) Избиране на цялата част от дроб

отделяне на цялата част от алгебрична дроб

4) Преобразуване на алгебрична дроб в десетична дроб

преобразуване на алгебрична дроб в десетична

Помощ за изработка на сайт на проекта

Уважаеми посетители на сайта.
Ако не сте успели да намерите това, което търсите, не забравяйте да напишете за това в коментарите, какво липсва в момента на сайта. Това ще ни помогне да разберем в каква посока трябва да продължим, а други посетители скоро ще могат да получат необходимия материал.
Ако сайтът се оказа полезен за вас, дарете сайта на проекта само 2 ₽и ще знаем, че се движим в правилната посока.

Благодаря ви, че се отбихте!

I. Процедура за намаляване на алгебрична дроб с помощта на онлайн калкулатор:

1. За да намалите алгебрична дроб, въведете стойностите на числителя и знаменателя на дробта в съответните полета. Ако фракцията е смесена, попълнете и полето, съответстващо на цялата част от фракцията. Ако дробта е проста, оставете полето за цялата част празно.
2. За да посочите отрицателна дроб, поставете знак минус в цялата част на дробта.
3. В зависимост от зададената алгебрична дроб автоматично се изпълнява следната последователност от действия:

• определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на дроб;
• намаляване на числителя и знаменателя на дроб с gcd;
• подчертаване на цялата част от дроб, ако числителят на крайната дроб е по-голям от знаменателя.
• преобразуване на крайната алгебрична дроб в десетична дробзакръглено до най-близката стотна.

II. За справка:

Дробта е число, състоящо се от една или повече части (дроби) на единица. Обикновената дроб (обикновена дроб) се записва като две числа (числителя на дробта и знаменателя на дробта), разделени от хоризонтална черта (дробна лента), указваща знака за деление. Числителят на дроб е числото над дробната черта. Числителят показва колко акции са взети от цялото. Знаменателят на дроб е числото под дробната черта. Знаменателят показва на колко равни части е разделено цялото. Простата дроб е дроб, която няма цяла част. Простата дроб може да бъде правилна или неправилна. Правилна дроб е дроб, чийто числител е по-малък от знаменателя, така че правилната дроб винаги е по-малка от единица. Пример за правилни дроби: 8/7, 11/19, 16/17. Неправилна дроб е дроб, в която числителят е по-голям или равен на знаменателя, така че неправилната дроб винаги е по-голяма или равна на едно. Пример за неправилни дроби: 7/6, 8/7, 13/13. смесена дроб е число, което съдържа цяло число и правилна дроб и обозначава сумата от това цяло число и правилната дроб. Всяка смесена дроб може да бъде преобразувана в неправилна дроб. Пример за смесени дроби: 1¼, 2½, 4¾.

III. Забележка:

1. Маркиран блок с изходни данни жълто , блокът от междинни изчисления е маркиран в синьо, блокът за решение е маркиран в зелено.
2. За събиране, изваждане, умножение и деление на обикновени или смесени дроби използвайте онлайн калкулатора за дроби с подробни решения.

За да разберем как да съкращаваме дроби, нека първо да разгледаме един пример.

Да намалиш дроб означава да разделиш числителя и знаменателя на едно и също нещо. И 360, и 420 завършват с число, така че можем да намалим тази дроб с 2. В новата дроб и 180, и 210 също се делят на 2, намаляваме тази дроб с 2. В числата 90 и 105 сумата от цифрите се делят на 3, така че и двете числа се делят на 3, намаляваме дробта с 3. В новата дроб 30 и 35 завършват на 0 и 5, което означава, че и двете числа се делят на 5, така че намаляваме дробта с 5. Получената дроб, шест седми, е несъкратима. Това е окончателният отговор.

Можем да стигнем до същия отговор по различен начин.

И 360, и 420 завършват на нула, което означава, че се делят на 10. Намаляваме дробта с 10. В новата дроб и числителят 36, и знаменателят 42 са разделени на 2. Намаляваме дробта с 2. В следващата дроб, както числителят 18, така и знаменателят 21 са разделени на 3, което означава, че намаляваме дробта с 3. Стигнахме до резултата - шест седми.

И още едно решение.

Следващия път ще разгледаме примери за съкращаване на дроби.

Ако трябва да разделим 497 на 4, тогава при деленето ще видим, че 497 не се дели равномерно на 4, т.е. остатъкът от делението остава. В такива случаи се казва, че е завършено деление с остатък, а решението се записва по следния начин:
497: 4 = 124 (1 остатък).

Компонентите за деление от лявата страна на равенството се наричат ​​по същия начин, както при деление без остатък: 497 - дивидент, 4 - разделител. Резултатът от деленето при деление с остатък се нарича непълна частна. В нашия случай това е числото 124. И накрая, последният компонент, който не е в обикновеното деление, е остатък. В случаите, когато няма остатък, се казва, че едно число е разделено на друго без следа или изцяло. Смята се, че при такова деление остатъкът е нула. В нашия случай остатъкът е 1.

Остатъкът винаги е по-малък от делителя.

Делението може да се провери чрез умножение. Ако например има равенство 64: 32 = 2, тогава проверката може да се извърши по следния начин: 64 = 32 * 2.

Често в случаите, когато се извършва деление с остатък, е удобно да се използва равенството
a = b * n + r,
където a е дивидентът, b е делителят, n е частичното частно, r е остатъкът.

Частното на естествените числа може да се запише като дроб.

Числителят на дроб е дивидентът, а знаменателят е делителят.

Тъй като числителят на дроб е дивидентът, а знаменателят е делителят, вярват, че чертата на дроб означава действието на деленето. Понякога е удобно да напишете делението като дроб, без да използвате знака ":".

Частното от деленето на естествените числа m и n може да се запише като дроб \(\frac(m)(n) \), където числителят m е дивидентът, а знаменателят n е делителят:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Следните правила са верни:

За да получите дробта \(\frac(m)(n)\), трябва да разделите единицата на n равни части (дяла) и да вземете m такива части.

За да получите дробта \(\frac(m)(n)\), трябва да разделите числото m на числото n.

За да намерите част от цяло, трябва да разделите числото, съответстващо на цялото, на знаменателя и да умножите резултата по числителя на дробта, която изразява тази част.

За да намерите цяло от неговата част, трябва да разделите числото, съответстващо на тази част, на числителя и да умножите резултата по знаменателя на фракцията, която изразява тази част.

Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат по едно и също число (с изключение на нула), стойността на дробта няма да се промени:
\(\голям \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Ако числителят и знаменателят на дроб са разделени на едно и също число (с изключение на нула), стойността на дробта няма да се промени:
\(\голям \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Това свойство се нарича основно свойство на дроб.

Последните две трансформации се наричат намаляване на дроб.

Ако дробите трябва да бъдат представени като дроби с еднакъв знаменател, тогава това действие се извиква свеждане на дроби до общ знаменател.

Правилни и неправилни дроби. Смесени числа

Вече знаете, че дроб може да се получи, като едно цяло се раздели на равни части и се вземат няколко такива части. Например дробта \(\frac(3)(4)\) означава три четвърти от едно. В много от задачите в предишния параграф дробите са използвани за представяне на части от цяло. Здравият разум диктува, че частта винаги трябва да е по-малка от цялото, но какво да кажем за дроби като \(\frac(5)(5)\) или \(\frac(8)(5)\)? Ясно е, че това вече не е част от звеното. Вероятно затова се наричат ​​дроби, чийто числител е по-голям или равен на знаменателя неправилни дроби. Останалите дроби, т.е. дроби, чийто числител е по-малък от знаменателя, се наричат правилни дроби.

Както знаете, всяка обикновена дроб, както правилна, така и неправилна, може да се разглежда като резултат от разделянето на числителя на знаменателя. Следователно в математиката, за разлика от обикновения език, терминът „неправилна дроб“ не означава, че сме направили нещо нередно, а само че числителят на тази дроб е по-голям или равен на знаменателя.

Ако числото се състои от цяла част и дроб, тогава такова фракциите се наричат ​​смесени.

Например:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 е цялата част, а \(\frac(2)(3) \) е дробната част.

Ако числителят на дробта \(\frac(a)(b) \) се дели на естествено число n, тогава, за да се раздели тази дроб на n, нейният числител трябва да бъде разделен на това число:
\(\голям \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Ако числителят на дробта \(\frac(a)(b)\) не се дели на естествено число n, тогава за да разделите тази дроб на n, трябва да умножите нейния знаменател по това число:
\(\голям \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Обърнете внимание, че второто правило също е вярно, когато числителят се дели на n. Следователно можем да го използваме, когато е трудно да определим на пръв поглед дали числителят на една дроб се дели на n или не.

Действия с дроби. Събиране на дроби.

Можете да извършвате аритметични операции с дробни числа, точно както с естествени числа. Нека първо разгледаме добавянето на дроби. Лесно е да събирате дроби с еднакви знаменатели. Намерете например сумата от \(\frac(2)(7) \) и \(\frac(3)(7) \). Лесно е да се разбере, че \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

За да съберете дроби с еднакви знаменатели, трябва да съберете техните числители и да оставите знаменателя същия.

Използвайки букви, правилото за събиране на дроби с еднакви знаменатели може да бъде написано по следния начин:
\(\голям \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Ако трябва да добавите дроби с различни знаменатели, те първо трябва да бъдат намалени до общ знаменател. Например:
\(\голям \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

За дробите, както и за естествените числа, са валидни комутативността и асоциативността на събирането.

Добавяне на смесени фракции

Извикват се записи като \(2\frac(2)(3) \). смесени фракции. В този случай се извиква числото 2 цяла частсмесена дроб и числото \(\frac(2)(3) \) е нейното дробна част. Записът \(2\frac(2)(3) \) се чете така: "две и две трети".

Разделянето на числото 8 на числото 3 дава два отговора: \(\frac(8)(3) \) и \(2\frac(2)(3) \). Те изразяват едно и също дробно число, т.е. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Така неправилната дроб \(\frac(8)(3)\) се представя като смесена дроб \(2\frac(2)(3)\). В такива случаи казват, че от неправилна дроб подчерта цялата част.

Изваждане на дроби (дробни числа)

Изваждането на дробни числа, подобно на естествените числа, се определя въз основа на действието на добавяне: изваждането на друго от едно число означава намиране на число, което, когато се добави към второто, дава първото. Например:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \), тъй като \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)

Правилото за изваждане на дроби с еднакви знаменатели е подобно на правилото за събиране на такива дроби:
За да намерите разликата между дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на втората от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя същия.

Използвайки букви, това правило е написано така:
\(\голям \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Умножение на дроби

За да умножите дроб по дроб, трябва да умножите техните числители и знаменатели и да запишете първия продукт като числител, а втория като знаменател.

Използвайки букви, правилото за умножение на дроби може да бъде написано по следния начин:
\(\голям \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Използвайки формулираното правило, можете да умножите дроб по естествено число, по смесена дроб, както и да умножите смесени дроби. За да направите това, трябва да напишете естествено число като дроб със знаменател 1, смесена дроб - като неправилна дроб.

Резултатът от умножението трябва да се опрости (ако е възможно) чрез намаляване на дробта и изолиране на цялата част от неправилната дроб.

За дробите, както и за естествените числа, са валидни комутативността и комбинативността на умножението, както и разпределителното свойство на умножението спрямо събирането.

Деление на дроби

Нека вземем дробта \(\frac(2)(3)\) и я „обърнем“, разменяйки числителя и знаменателя. Получаваме дробта \(\frac(3)(2)\). Тази дроб се нарича обратендроби \(\frac(2)(3)\).

Ако сега „обърнем“ дробта \(\frac(3)(2)\), ще получим оригиналната дроб \(\frac(2)(3)\). Следователно дроби като \(\frac(2)(3)\) и \(\frac(3)(2)\) се наричат взаимно обратни.

Например фракциите \(\frac(6)(5) \) и \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) и \(\frac (18 )(7) \).

Използвайки букви, реципрочните дроби могат да бъдат записани както следва: \(\frac(a)(b) \) и \(\frac(b)(a) \)

Ясно е, че произведението на реципрочните дроби е равно на 1. Например: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Използвайки реципрочни дроби, можете да намалите деленето на дроби до умножение.

Правилото за деление на дроб на дроб е:
За да разделите една дроб на друга, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя.

Използвайки букви, правилото за разделяне на дроби може да бъде написано по следния начин:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Ако дивидентът или делителят е естествено число или смесена дроб, тогава, за да се използва правилото за деление на дроби, той трябва първо да бъде представен като неправилна дроб.