Без да знаете как да намалите дроб и да имате стабилни умения за решаване на такива примери, е много трудно да изучавате алгебра в училище. Колкото по-нататък отивате, толкова повече нова информация се наслагва върху основните знания за намаляване на обикновените дроби. Първо се появяват степени, след това фактори, които по-късно стават полиноми.

Как можете да избегнете объркване тук? Внимателно затвърдете уменията в предишни теми и постепенно се подгответе за знания как да намалите дроб, което става все по-сложно от година на година.

Основни познания

Без тях няма да можете да се справите със задачи от всяко ниво. За да разберете, трябва да разберете две прости точки. Първо: можете само да намалите факторите. Този нюанс се оказва много важен, когато в числителя или знаменателя се появяват полиноми. След това трябва ясно да разграничите къде е множителят и къде събираемият.

Втората точка казва, че всяко число може да бъде представено под формата на фактори. Освен това резултатът от намаляването е дроб, чийто числител и знаменател вече не могат да бъдат намалени.

Правила за съкращаване на обикновени дроби

Първо трябва да проверите дали числителят се дели на знаменателя или обратното. Тогава точно този брой трябва да бъде намален. Това е най-простият вариант.

Второто е анализът външен видчисла. Ако и двете завършват с една или повече нули, те могат да бъдат съкратени с 10, 100 или хиляда. Тук можете да видите дали числата са четни. Ако да, тогава можете спокойно да го намалите на две.

Третото правило за намаляване на дроб е разлагането на числителя и знаменателя на прости множители. По това време трябва активно да използвате всичките си знания за признаците за делимост на числата. След това разлагане остава само да се намерят всички повтарящи се, да се умножат и да се намалят с полученото число.

Ами ако има алгебричен израз в дроб?

Тук се появяват първите трудности. Защото тук се появяват термини, които могат да бъдат идентични с фактори. Много искам да ги намаля, но не мога. Преди да можете да намалите алгебрична дроб, тя трябва да бъде преобразувана така, че да има множители.

За да направите това, ще трябва да изпълните няколко стъпки. Може да се наложи да преминете през всички тях или може би първият ще предостави подходящ вариант.

Проверете дали числителят и знаменателят или някой израз в тях се различават по знак. В този случай просто трябва да поставите минус едно извън скоби. Това създава равни фактори, които могат да бъдат намалени.

Вижте дали е възможно да премахнете общия множител от полинома извън скоби. Може би това ще доведе до скоба, която също може да бъде съкратена, или ще бъде премахнат моном.

Опитайте се да групирате мономите, за да добавите общ множител към тях. След това може да се окаже, че ще има фактори, които могат да бъдат намалени, или отново ще се повтори поставянето в скоби на общи елементи.

Опитайте се да разгледате писмено формулите за съкратено умножение. С тяхна помощ можете лесно да преобразувате полиноми в множители.

Последователност от действия с дроби със степени

За да разберете лесно въпроса как да намалите дроб със степени, трябва да запомните твърдо основните операции с тях. Първият от тях е свързан с умножението на правомощията. В този случай, ако основите са еднакви, индикаторите трябва да се добавят.

Второто е разделението. Отново, за тези, които имат същите причини, индикаторите ще трябва да бъдат извадени. Освен това трябва да извадите от числото, което е в дивидента, а не обратното.

Третото е степенуването. При това положение показателите се умножават.

Успешното редуциране също ще изисква способността да се редуцират правомощията до равни бази. Тоест, да видим, че четири е две на квадрат. Или 27 - кубът от три. Тъй като намаляването на 9 на квадрат и 3 на куб е трудно. Но ако трансформираме първия израз като (3 2) 2, тогава редукцията ще бъде успешна.

Тя се основава на основното им свойство: ако числителят и знаменателят на една дроб се разделят на един и същ ненулев полином, тогава ще се получи еднаква дроб.

Можете само да намалите множителите!

Членовете на полиномите не могат да бъдат съкращавани!

За да се намали алгебрична дроб, полиномите в числителя и знаменателя трябва първо да бъдат факторизирани.

Нека да разгледаме примери за намаляване на дроби.

Числителят и знаменателят на дробта съдържат мономи. Те представляват работа(числа, променливи и техните мощности), умножителиможем да намалим.

Намаляваме числата с техния най-голям общ делител, тоест с най-голямото число, на което се дели всяко от тези числа. За 24 и 36 това е 12. След редукция от 24 остава 2, а от 36 3.

Намаляваме степените със степента с най-нисък индекс. Да намалиш дроб означава да разделиш числителя и знаменателя на един и същ делител и да извадиш показателите.

a² и a⁷ се редуцират до a². В този случай в числителя на a² остава единица (пишем 1 само в случай, че след редуцирането не са останали други множители. От 24 остава 2, така че не пишем 1 оставащо от a²). От a⁷ след редукция остава a⁵.

b и b се намаляват с b; получените единици не се записват.

c³º и c5 се съкращават до c5. От c³º остава c²⁵, от c5 е едно (не го пишем). По този начин,

Числителят и знаменателят на тази алгебрична дроб са полиноми. Не можете да отмените членове на полиноми! (не можете да намалите, например, 8x² и 2x!). За да намалите тази фракция, трябва. Числителят има общ множител 4x. Нека го извадим от скобите:

И числителят, и знаменателят имат един и същ коефициент (2x-3). Намаляваме дроба с този фактор. В числителя получихме 4х, в знаменателя - 1. За 1 имот алгебрични дроби, дробта е 4x.

Можете само да намалите факторите (не можете да намалите тази фракция с 25x²!). Следователно полиномите в числителя и знаменателя на дробта трябва да бъдат факторизирани.

Числителят е пълният квадрат на сумата, знаменателят е разликата на квадратите. След разлагане с помощта на формули за съкратено умножение получаваме:

Намаляваме дробта с (5x+1) (за да направите това, зачеркнете двете в числителя като показател, оставяйки (5x+1)² (5x+1)):

Числителят има общ множител 2, нека го извадим от скобите. Знаменателят е формулата за разликата на кубчетата:

В резултат на разширението числителят и знаменателят получиха един и същ коефициент (9+3a+a²). Намаляваме дроба с него:

Полиномът в числителя се състои от 4 члена. първия член с втория, третия с четвъртия и премахнете общия множител x² от първите скоби. Разлагаме знаменателя по формулата за сумата на кубовете:

В числителя нека извадим общия множител (x+2) извън скобите:

Намалете дроба с (x+2):

Ако трябва да разделим 497 на 4, тогава при деленето ще видим, че 497 не се дели равномерно на 4, т.е. остатъкът от делението остава. В такива случаи се казва, че е завършено деление с остатък, а решението се записва по следния начин:
497: 4 = 124 (1 остатък).

Компонентите за деление от лявата страна на равенството се наричат ​​по същия начин, както при деление без остатък: 497 - дивидент, 4 - разделител. Резултатът от деленето при деление с остатък се нарича непълна частна. В нашия случай това е числото 124. И накрая, последният компонент, който не е в обикновеното деление, е остатък. В случаите, когато няма остатък, се казва, че едно число е разделено на друго без следа или напълно. Смята се, че при такова деление остатъкът е нула. В нашия случай остатъкът е 1.

Остатъкът винаги е по-малък от делителя.

Делението може да се провери чрез умножение. Ако например има равенство 64: 32 = 2, тогава проверката може да се извърши по следния начин: 64 = 32 * 2.

Често в случаите, когато се извършва деление с остатък, е удобно да се използва равенството
a = b * n + r,
където a е дивидентът, b е делителят, n е частичното частно, r е остатъкът.

Частното на естествените числа може да се запише като дроб.

Числителят на дроб е дивидентът, а знаменателят е делителят.

Тъй като числителят на дроб е дивидентът, а знаменателят е делителят, вярват, че чертата на дроб означава действието на деленето. Понякога е удобно да напишете делението като дроб, без да използвате знака ":".

Частното от деленето на естествените числа m и n може да се запише като дроб \(\frac(m)(n) \), където числителят m е дивидентът, а знаменателят n е делителят:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Следните правила са верни:

За да получите дробта \(\frac(m)(n)\), трябва да разделите единицата на n равни части (дяла) и да вземете m такива части.

За да получите дробта \(\frac(m)(n)\), трябва да разделите числото m на числото n.

За да намерите част от цяло, трябва да разделите числото, съответстващо на цялото, на знаменателя и да умножите резултата по числителя на дробта, която изразява тази част.

За да намерите цяло от неговата част, трябва да разделите числото, съответстващо на тази част, на числителя и да умножите резултата по знаменателя на фракцията, която изразява тази част.

Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат по едно и също число (с изключение на нула), стойността на дробта няма да се промени:
\(\голям \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Ако и числителят, и знаменателят на дроб са разделени на едно и също число (с изключение на нула), стойността на дробта няма да се промени:
\(\голям \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Това свойство се нарича основно свойство на дроб.

Последните две трансформации се наричат намаляване на дроб.

Ако дробите трябва да бъдат представени като дроби с еднакъв знаменател, тогава това действие се извиква свеждане на дроби до общ знаменател.

Правилни и неправилни дроби. Смесени числа

Вече знаете, че дроб може да се получи, като едно цяло се раздели на равни части и се вземат няколко такива части. Например дробта \(\frac(3)(4)\) означава три четвърти от едно. В много от задачите в предишния параграф дробите са използвани за представяне на части от цяло. Здравият разум диктува, че частта винаги трябва да е по-малка от цялото, но какво да кажем за дроби като \(\frac(5)(5)\) или \(\frac(8)(5)\)? Ясно е, че това вече не е част от звеното. Вероятно затова се наричат ​​дроби, чийто числител е по-голям или равен на знаменателя неправилни дроби. Останалите дроби, т.е. дроби, чийто числител е по-малък от знаменателя, се наричат правилни дроби.

Както знаете, всяка обикновена дроб, както правилна, така и неправилна, може да се разглежда като резултат от разделянето на числителя на знаменателя. Следователно в математиката, за разлика от обикновения език, терминът „неправилна дроб“ не означава, че сме направили нещо нередно, а само че числителят на тази дроб е по-голям или равен на знаменателя.

Ако числото се състои от цяла част и дроб, тогава такова фракциите се наричат ​​смесени.

Например:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 е цялата част, а \(\frac(2)(3) \) е дробната част.

Ако числителят на дробта \(\frac(a)(b) \) се дели на естествено число n, тогава, за да се раздели тази дроб на n, нейният числител трябва да бъде разделен на това число:
\(\голям \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Ако числителят на дробта \(\frac(a)(b) \) не се дели на естествено число n, тогава за да разделите тази дроб на n, трябва да умножите знаменателя й по това число:
\(\голям \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Обърнете внимание, че второто правило също е вярно, когато числителят се дели на n. Следователно можем да го използваме, когато е трудно да определим на пръв поглед дали числителят на една дроб се дели на n или не.

Действия с дроби. Събиране на дроби.

Можете да извършвате аритметични операции с дробни числа, точно както с естествени числа. Нека първо разгледаме добавянето на дроби. Лесно е да събирате дроби с еднакви знаменатели. Нека намерим, например, сумата от \(\frac(2)(7)\) и \(\frac(3)(7)\). Лесно е да се разбере, че \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

За да съберете дроби с еднакви знаменатели, трябва да съберете числителите им и да оставите знаменателя същия.

Използвайки букви, правилото за събиране на дроби с еднакви знаменатели може да бъде написано по следния начин:
\(\голям \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Ако трябва да добавите дроби с различни знаменатели, те първо трябва да бъдат намалени до общ знаменател. Например:
\(\голям \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

За дробите, както и за естествените числа, са валидни комутативността и асоциативността на събирането.

Добавяне на смесени фракции

Извикват се нотации като \(2\frac(2)(3)\). смесени фракции. В този случай се извиква числото 2 цяла частсмесена дроб и числото \(\frac(2)(3)\) е нейното дробна част. Записът \(2\frac(2)(3)\) се чете по следния начин: „две и две трети“.

Когато разделите числото 8 на числото 3, можете да получите два отговора: \(\frac(8)(3)\) и \(2\frac(2)(3)\). Те изразяват едно и също дробно число, т.е. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Така неправилната дроб \(\frac(8)(3)\) се представя като смесена дроб \(2\frac(2)(3)\). В такива случаи казват, че от неправилна дроб подчерта цялата част.

Изваждане на дроби (дробни числа)

Изваждането на дробни числа, подобно на естествените числа, се определя въз основа на действието на добавяне: изваждането на друго от едно число означава намиране на число, което, когато се добави към второто, дава първото. Например:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \), тъй като \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

Правилото за изваждане на дроби с еднакви знаменатели е подобно на правилото за събиране на такива дроби:
За да намерите разликата между дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на втората от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя същия.

Използвайки букви, това правило е написано така:
\(\голям \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Умножение на дроби

За да умножите дроб по дроб, трябва да умножите техните числители и знаменатели и да запишете първия продукт като числител, а втория като знаменател.

Използвайки букви, правилото за умножение на дроби може да бъде написано по следния начин:
\(\голям \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Използвайки формулираното правило, можете да умножите дроб по естествено число, по смесена дроб, както и да умножите смесени дроби. За да направите това, трябва да запишете естествено число като дроб със знаменател 1, а смесена дроб като неправилна дроб.

Резултатът от умножението трябва да се опрости (ако е възможно) чрез намаляване на дробта и изолиране на цялата част от неправилната дроб.

За дробите, както и за естествените числа, са валидни комутативността и комбинативността на умножението, както и разпределителното свойство на умножението спрямо събирането.

Деление на дроби

Нека вземем дробта \(\frac(2)(3)\) и я „обърнем“, разменяйки числителя и знаменателя. Получаваме дробта \(\frac(3)(2)\). Тази дроб се нарича обратендроби \(\frac(2)(3)\).

Ако сега „обърнем“ дробта \(\frac(3)(2)\), ще получим оригиналната дроб \(\frac(2)(3)\). Следователно дроби като \(\frac(2)(3)\) и \(\frac(3)(2)\) се наричат взаимно обратни.

Например фракциите \(\frac(6)(5) \) и \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) и \(\frac (18 )(7)\).

Използвайки букви, реципрочните дроби могат да бъдат записани както следва: \(\frac(a)(b) \) и \(\frac(b)(a) \)

Ясно е, че произведението на реципрочните дроби е равно на 1. Например: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Използвайки реципрочни дроби, можете да намалите деленето на дроби до умножение.

Правилото за деление на дроб на дроб е:
За да разделите една дроб на друга, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя.

Използвайки букви, правилото за разделяне на дроби може да бъде написано по следния начин:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Ако дивидентът или делителят е естествено число или смесена дроб, тогава, за да се използва правилото за деление на дроби, той трябва първо да бъде представен като неправилна дроб.

Онлайн калкулатор изпълнява намаляване на алгебрични дробив съответствие с правилото за съкращаване на дроби: замяна на оригиналната дроб с равна дроб, но с по-малък числител и знаменател, т.е. Едновременно деление на числителя и знаменателя на дроб на техния общ най-голям общ множител (НОД). Калкулаторът също се показва подробно решение, което ще ви помогне да разберете последователността на намаляването.

дадени:

Решение:

Извършва редукция на дроби

проверка на възможността за извършване на редукция на алгебрична дроб

1) Определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на дроб

определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на алгебрична дроб

2) Намаляване на числителя и знаменателя на дроб

намаляване на числителя и знаменателя на алгебрична дроб

3) Избиране на цялата част от дроб

отделяне на цялата част от алгебрична дроб

4) Преобразуване на алгебрична дроб в десетична дроб

преобразуване на алгебрична дроб в десетична

Помощ за изработка на сайт на проекта

Уважаеми посетители на сайта.
Ако не сте успели да намерите това, което търсите, не забравяйте да напишете за това в коментарите, какво липсва в момента на сайта. Това ще ни помогне да разберем в каква посока трябва да продължим, а други посетители скоро ще могат да получат необходимия материал.
Ако сайтът се оказа полезен за вас, дарете сайта на проекта само 2 ₽и ще знаем, че се движим в правилната посока.

Благодаря ви, че се отбихте!

I. Процедура за намаляване на алгебрична дроб с помощта на онлайн калкулатор:

1. За да намалите алгебрична дроб, въведете стойностите на числителя и знаменателя на дробта в съответните полета. Ако фракцията е смесена, попълнете и полето, съответстващо на цялата част от фракцията. Ако дробта е проста, оставете полето за цялата част празно.
2. За да посочите отрицателна дроб, поставете знак минус върху цялата част на дробта.
3. В зависимост от зададената алгебрична дроб автоматично се изпълнява следната последователност от действия:

• определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на дроб;
• намаляване на числителя и знаменателя на дроб с gcd;
• подчертаване на цялата част от дроб, ако числителят на крайната дроб е по-голям от знаменателя.
• преобразуване на крайната алгебрична дроб в десетична дробзакръглено до най-близката стотна.

II. За справка:

Дробта е число, състоящо се от една или повече части (дроби) на единица. Обикновена дроб (обикновена дроб) се записва като две числа (числителя на дробта и знаменателя на дробта), разделени от хоризонтална черта (дробна лента), указваща знака за деление. Числителят на дроб е числото над дробната черта. Числителят показва колко акции са взети от цялото.Знаменателят на дроб е числото под дробната черта. Знаменателят показва на колко равни части е разделено цялото.

Простата дроб е дроб, която няма цяла част. Простата дроб може да бъде правилна или неправилна.

1. Правилна дроб е дроб, чийто числител е по-малък от знаменателя, така че правилната дроб винаги е по-малка от единица. Пример за правилни дроби: 8/7, 11/19, 16/17. Неправилна дроб е дроб, в която числителят е по-голям или равен на знаменателя, така че неправилната дроб винаги е по-голяма или равна на едно. Пример , неправилни дроби, блокът за решение е маркиран в зелено.
2. За събиране, изваждане, умножение и деление на обикновени или смесени дроби използвайте онлайн калкулатора за дроби с подробни решения.

И така, вече знаем, че числителят и знаменателят на една дроб могат да бъдат умножени и разделени на едно и също число, дробта няма да се промени. Нека разгледаме три подхода:

Подход един.

За да намалите, разделете числителя и знаменателя на общ делител. Нека да разгледаме примери:

Нека съкратим:

В дадените примери веднага виждаме кои делители да вземем за намаляване. Процесът е прост - минаваме през 2,3,4,5 и т.н. В повечето примери за училищни курсове това е напълно достатъчно. Но ако е дроб:

Тук процесът на избор на делители може да отнеме много време;). Разбира се, такива примери са извън училищната програма, но трябва да можете да се справяте с тях. По-долу ще разгледаме как се прави това. Засега нека се върнем към процеса на намаляване.

Както беше обсъдено по-горе, за да намалим дроб, разделихме на общия делител(и), който определихме. Всичко е точно! Трябва само да добавите знаци за делимост на числата:

- ако числото е четно, то се дели на 2.

- ако едно число от последните две цифри се дели на 4, то самото число се дели на 4.

— ако сборът от цифрите, съставляващи числото, се дели на 3, то самото число се дели на 3. Например 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Дванадесет се дели на 3, така че 123031 се дели на 3.

- ако числото завършва на 5 или 0, значи числото се дели на 5.

— ако сборът от цифрите, съставляващи числото, се дели на 9, то самото число се дели на 9. Например 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Осемнадесет се дели на 9, което означава, че 623032 се дели на 9.

Втори подход.

Казано накратко, всъщност цялото действие се свежда до разлагане на множители на числителя и знаменателя и след това намаляване на равните фактори в числителя и знаменателя (този подход е следствие от първия подход):

Визуално, за да се избегне объркване и грешки, равните фактори просто се зачертават. Въпрос - как да разложа число? Необходимо е да се определят всички делители чрез търсене. Това е отделна тема, не е сложно, потърсете информацията в учебник или в интернет. Няма да срещнете големи проблеми с разлагането на числа, които присъстват в училищните дроби.

Формално принципът на редукция може да бъде написан по следния начин:

Подход три.

Ето най-интересното за напредналите и тези, които искат да станат такива. Нека съкратим дробта 143/273. Опитайте сами! Е, как стана бързо? Виж сега!

Обръщаме го (разменяме местата на числителя и знаменателя). Разделяме получената фракция с ъгъл и я преобразуваме в смесено число, тоест избираме цялата част:

Вече е по-лесно. Виждаме, че числителят и знаменателят могат да бъдат намалени с 13:

Сега не забравяйте да обърнете дроба отново, нека запишем цялата верига:

Проверено - отнема по-малко време от търсенето и проверката на делителите. Нека се върнем към нашите два примера:

Първо. Разделете с ъгъл (не на калкулатор), получаваме:

Тази дроб е по-проста, разбира се, но редукцията отново е проблем. Сега отделно анализираме фракцията 1273/1463 и я обръщаме:

Тук е по-лесно. Можем да разгледаме делител като 19. Останалите не са подходящи, това е ясно: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Ура! Нека запишем:

Следващ пример. Нека го съкратим до 88179/2717.

Разделяме, получаваме:

Отделно анализираме фракцията 1235/2717 и я обръщаме:

Можем да разгледаме делител като 13 (до 13 не е подходящ):

Числител 247:13=19 Знаменател 1235:13=95

*По време на процеса видяхме друг делител, равен на 19. Оказва се, че:

Сега записваме оригиналния номер:

И няма значение какво е по-голямо в дробта - числителят или знаменателят, ако това е знаменателят, тогава го обръщаме и действаме, както е описано. По този начин можем да намалим всяка фракция; третият подход може да се нарече универсален.

Разбира се, двата примера, обсъдени по-горе, не са прости примери. Нека изпробваме тази технология върху „простите“ дроби, които вече разгледахме:

Две четвърти.

Седемдесет и две шейсетте. Числителят е по-голям от знаменателя, няма нужда да го обръщате:

Разбира се, при такива беше приложен третият подход прости примерипросто като алтернатива. Методът, както вече беше казано, е универсален, но не е удобен и правилен за всички фракции, особено за простите.

Разнообразието от дроби е голямо. Важно е да разбирате принципите. Просто няма строго правило за работа с дроби. Погледнахме, разбрахме как би било по-удобно да действаме и продължихме напред. С практиката умението ще дойде и ще ги напукате като семки.

Заключение:

Ако видите общ делител(и) за числителя и знаменателя, използвайте ги за намаляване.

Ако знаете как бързо да разложите число, разложете числителя и знаменателя и след това намалете.

Ако не можете да определите общия делител, използвайте третия подход.

*За да намалите дроби, е важно да овладеете принципите на намаляване, да разберете основното свойство на дроб, да знаете подходите за решаване и да бъдете изключително внимателни, когато правите изчисления.

И помнете! Обичайно е да се намалява дроб, докато спре, тоест да се намалява, докато има общ делител.

С уважение, Александър Крутицких.