квадрати геометрични форми- числени стойности, характеризиращи техния размер в двумерно пространство. Тази стойност може да бъде измерена в системни и несистемни единици. Така например, извънсистемна единица за площ е сто, хектар. Такъв е случаят, ако измерената повърхност е парче земя. Системната единица за площ е квадратът на дължината. В системата SI е обичайно да се счита, че единицата площ на плоска повърхност е квадратен метър. В CGS единицата за площ се изразява в квадратни сантиметри.

Формулите за геометрия и площ са неразривно свързани. Тази връзка се състои в това, че изчисляването на площите на плоски фигури се основава именно на тяхното приложение. За много фигури се извеждат няколко варианта, според които се изчисляват техните квадратни размери. Въз основа на данните от постановката на проблема можем да определим най-простия начин за решаването му. Това улеснява изчислението и намалява до минимум вероятността от изчислителни грешки. За да направите това, помислете за основната област на фигурите в геометрията.

Формулите за намиране на площта на всеки триъгълник са представени по няколко начина:

1) Площта на триъгълник се изчислява от основата a и височината h. Основата е страната на фигурата, върху която се спуска височината. Тогава площта на триъгълника е:

2) Площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по абсолютно същия начин, ако хипотенузата се счита за основа. Ако обаче кракът се вземе за основа, тогава площта на правоъгълния триъгълник ще бъде равна на произведението на краката, наполовина.

Формулите за изчисляване на площта на всеки триъгълник не свършват дотук. Друг израз съдържа страни a,bи синусоидалната функция на ъгъла γ между a и b. Стойността на синуса се намира в таблиците. Може да се намери и с помощта на калкулатор. Тогава площта на триъгълника е:

Съгласно това равенство можете също да се уверите, че площта на правоъгълен триъгълник се определя чрез дължините на краката. защото ъгълът γ е прав ъгъл, така че площта на правоъгълен триъгълник се изчислява без умножаване по функцията синус.

3) Да разгледаме частен случай - правилен триъгълник, в който страната a е известна по условие или дължината му може да бъде намерена при решаване. Нищо повече не се знае за фигурата в геометричната задача. Тогава как да намерим площта при това условие? В този случай се прилага формулата за площта на правилен триъгълник:

Правоъгълник

Как да намерим площта на правоъгълник и да използваме размерите на страните, които имат общ връх? Изразът за изчислението е:

Ако искате да използвате дължините на диагоналите, за да изчислите площта на правоъгълник, тогава ви трябва функцията синус на ъгъла, образуван при пресичането им. Формулата за площта на правоъгълник е:

Квадрат

Площта на квадрат се определя като втора степен на дължината на страната:

Доказателството следва от определението, че правоъгълник се нарича квадрат. Всички страни, образуващи квадрат, имат еднакви размери. Следователно изчисляването на площта на такъв правоъгълник се свежда до умножаване един по друг, т.е. до втората степен на страната. И формулата за изчисляване на площта на квадрат ще приеме желаната форма.

Площта на квадрат може да се намери по друг начин, например, ако използвате диагонал:

Как да изчислим площта на фигура, която е образувана от част от равнина, ограничена от кръг? За да изчислите площта, формулите са:

Успоредник

За успоредник формулата съдържа линейните размери на страната, височината и математическата операция - умножение. Ако височината е неизвестна, тогава как да намерите площта на паралелограма? Има и друг начин за изчисляване. Ще вземе определена стойност, която ще вземе тригонометрична функцияъгълът, образуван от съседните страни, както и тяхната дължина.

Формулите за площта на успоредник са:

Ромб

Как да намерим площта на четириъгълник, наречен ромб? Площта на ромба се определя с помощта на прости математически операции с диагонали. Доказателството се основава на факта, че диагоналните сегменти при d1 и d2 се пресичат под прав ъгъл. Таблицата на синусите показва, че за прав ъгълтази функция е равна на единица. Следователно площта на ромба се изчислява, както следва:

Площта на ромба може да се намери и по друг начин. Това също не е трудно да се докаже, като се има предвид, че страните му са еднакви по дължина. След това заменете техния продукт в подобен израз за успоредник. В края на краищата, специален случай на тази конкретна фигура е ромб. Тук γ е вътрешният ъгъл на ромба. Площта на ромба се определя, както следва:

Трапец

Как да намерим площта на трапец през основите (a и b), ако техните дължини са посочени в проблема? Тук, без известна стойност на дължината на височината h, няма да е възможно да се изчисли площта на такъв трапец. защото тази стойност съдържа израза за изчисление:

Квадратният размер на правоъгълен трапец също може да се изчисли по същия начин. В същото време се взема предвид, че в правоъгълен трапец се комбинират понятията височина и страна. Следователно за правоъгълен трапец трябва да посочите дължината на страната вместо височината.

Цилиндър и паралелепипед

Помислете какво е необходимо за изчисляване на повърхността на целия цилиндър. Площта на тази фигура е чифт кръгове, наречени основи, и странична повърхност. Кръговете, образуващи окръжности, имат дължини на радиуса, равни на r. За площта на цилиндър се извършва следното изчисление:

Как да намерим площта на паралелепипед, който се състои от три чифта лица? Измерванията му съответстват на конкретна двойка. Лицата, които са противоположни, имат еднакви параметри. Първо намерете S(1), S(2), S(3) - квадратни размери на неравни лица. Тогава повърхността на паралелепипеда:

Пръстен

Две окръжности с общ център образуват пръстен. Те също така ограничават площта на пръстена. В този случай и двете формули за изчисление вземат предвид размерите на всеки кръг. Първият, който изчислява площта на пръстена, съдържа по-големи R и по-малки r радиуси. По-често те се наричат ​​външни и вътрешни. Във втория израз площта на пръстена се изчислява с помощта на по-големия D и по-малкия d диаметър. По този начин площта на пръстена според известните радиуси се изчислява, както следва:

Площта на пръстена, като се използват дължините на диаметрите, се определя, както следва:

Многоъгълник

Как да намерим площта на многоъгълник, чиято форма не е правилна? Няма обща формула за площта на такива фигури. Но ако е изобразен на координатна равнина, например, може да е карирана хартия, тогава как да намерим повърхността в този случай? Тук те използват метод, който не изисква приблизително измерване на фигурата. Те правят това: ако намерят точки, които попадат в ъгъла на клетката или имат цели координати, тогава само те се вземат предвид. За да разберете каква е площта, използвайте формулата, доказана от Пик. Необходимо е да добавите броя на точките, разположени вътре в полилинията, с половината точки, лежащи върху нея, и да извадите една, т.е. изчислява се по следния начин:

където C, D - броят на точките, разположени съответно вътре и върху цялата полилиния.

Всички формули за площта на равнинни фигури

Площ на равнобедрен трапец

1. Формулата за площта на равнобедрен трапец по отношение на страни и ъгъл

а - долна основа

b - горна основа

c - равни страни

α - ъгъл при долната основа

Формулата за площта на равнобедрен трапец по отношение на страните, (S):

Формулата за площта на равнобедрен трапец по отношение на страните и ъгъла (S):

2. Формулата за площта на равнобедрен трапец по отношение на радиуса на вписания кръг

R- радиус на вписаната окръжност

D- диаметър на вписаната окръжност

O - център на вписана окръжност

H- височина на трапеца

α, β - ъгли на трапец

Формулата за площта на равнобедрен трапец по отношение на радиуса на вписания кръг, (S):

FAIR, за вписана окръжност в равнобедрен трапец:

3. Формулата за площта на равнобедрен трапец по отношение на диагоналите и ъгъла между тях

d-диагонал на трапец

α,β- ъгли между диагоналите

Формулата за площта на равнобедрен трапец по отношение на диагоналите и ъгъла между тях, (S):

4. Формулата за площта на равнобедрен трапец през средната линия, страничната страна и ъгъла в основата

c- страна

m- средна линия на трапеца

α, β - ъгли при основата

Формулата за площта на равнобедрен трапец по отношение на средната линия, страничната страна и ъгъла в основата,

(С):

5. Формулата за площта на равнобедрен трапец по отношение на основите и височината

а - долна основа

b - горна основа

h - височината на трапеца

Формулата за площта на равнобедрен трапец по отношение на основите и височината (S):

Площ на триъгълник със страна и два ъгъла, формула.

a, b, c - страни на триъгълника

α, β, γ - противоположни ъгли

Площ на триъгълник през страна и два ъгъла (S):

Формулата за площта на правилен многоъгълник

a - страна на многоъгълник

n - брой страни

Площ на правилен многоъгълник, (S):

Формулата (Heronian) за площта на триъгълник по отношение на полупериметъра (S):

Площта на равностранен триъгълник е:

Формули за изчисляване на площта на равностранен триъгълник.

a - страна на триъгълника

h - височина

Как да изчислим площта на равнобедрен триъгълник?

b - основата на триъгълника

а - равни страни

h - височина

3. Формулата за площта на трапец по отношение на четири страни

а - долна основа

b - горна основа

c, d - страни

Радиусът на описаната окръжност на трапеца по страните и диагоналите

a - страните на трапеца

c - долна основа

b - горна основа

d - диагонал

h - височина

Формулата за радиуса на описаната окръжност на трапец, (R)

намерете радиуса на описаната окръжност на равнобедрен триъгълник по страните

Познавайки страните на равнобедрен триъгълник, можете да използвате формулата, за да намерите радиуса на описаната окръжност около този триъгълник.

a, b - страни на триъгълника

Радиус на описаната окръжност на равнобедрен триъгълник (R):

Радиус на вписана окръжност в шестоъгълник

a - страна на шестоъгълника

Радиус на вписана окръжност в шестоъгълник, (r):

Радиус на вписана окръжност в ромб

r - радиус на вписаната окръжност

a - страна на ромба

D, d - диагонали

h - височина на диаманта

Радиус на вписана окръжност в равнобедрен трапец

c - долна основа

b - горна основа

а - страни

h - височина

Радиус на вписана окръжност в правоъгълен триъгълник

a, b - катети на триъгълника

c - хипотенуза

Радиус на вписана окръжност в равнобедрен триъгълник

a, b - страни на триъгълника

Докажете, че лицето на вписания четириъгълник е

\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d),

където p е полупериметърът, а a, b, c и d са страните на четириъгълника.

Докажете, че лицето на четириъгълник, вписан в окръжност, е

1/2 (ab + cb) sin α, където a, b, c и d са страните на четириъгълника, а α е ъгълът между страните a и b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Прочетете повече на FB.ru:

Площта на произволен четириъгълник (фиг. 1.13) може да бъде изразена чрез неговите страни a, b, c и сумата от двойка противоположни ъгли:

където p е полупериметърът на четириъгълника.

Площта на четириъгълник, вписан в кръг () (фиг. 1.14, а) се изчислява по формулата на Брахмагупта

и описан (фиг. 1.14, b) () - съгласно формулата

Ако четириъгълникът е вписан и описан едновременно (фиг. 1.14, c), тогава формулата става доста проста:

Пикова формула

За да оцените площта на многоъгълник върху карирана хартия, достатъчно е да изчислите колко клетки покрива този многоъгълник (вземаме площта на клетката като единица). По-точно, ако S е площта на многоъгълника, е броят на клетките, които лежат изцяло вътре в многоъгълника, и е броят на клетките, които имат поне една обща точка с вътрешността на многоъгълника.

По-долу ще разгледаме само такива многоъгълници, чиито върхове лежат във възлите карирана хартия- в тези, където линиите на мрежата се пресичат. Оказва се, че за такива полигони можете да посочите следната формула:

където е площта, r е броят на възлите, които лежат строго вътре в многоъгълника.

Тази формула се нарича „формула на пика“ на името на математика, който я открива през 1899 г.

В интернет могат да бъдат намерени повече от 10 формули за изчисляване на площта на триъгълник, много от които се използват в задачи с известни страни и ъгли на триъгълник. Въпреки това, има редица трудни примерикъдето според условието на заданието са известни само една страна и ъгли на триъгълника или радиусът на описаната или вписаната окръжност и още една характеристика. В такива случаи не може да се приложи проста формула.

Формулите по-долу ще решат 95 процента от задачите, в които трябва да намерите площта на триъгълник.
Нека да преминем към разглеждането на формулите за обща площ.
Помислете за триъгълника, изобразен на фигурата по-долу

На фигурата и по-нататък във формулите са въведени класическите обозначения на всички негови характеристики
a,b,c са страните на триъгълника,
R е радиусът на описаната окръжност,
r е радиусът на вписаната окръжност,
h[b],h[a],h[c] - височини, начертани в съответствие със страни a,b,c.
алфа, бета, хама - ъгли близо до върховете.

Основни формули за площта на триъгълник

1. Площта е равна на половината от произведението на страната на триъгълника и височината, спусната до тази страна. На формулен език тази дефиниция може да бъде написана като

Така, ако страната и височината са известни, тогава всеки ученик ще намери площта.
Между другото, една полезна връзка между височините може да бъде извлечена от тази формула

2. Ако вземем предвид, че височината на триъгълника през съседната страна се изразява чрез зависимостта

След това от първата формула на областта следват същия тип на втората

Разгледайте внимателно формулите - лесно се запомнят, защото произведението има две страни и ъгъл между тях. Ако правилно обозначим страните и ъглите на триъгълника (както на фигурата по-горе), тогава получаваме две страни a, b а ъгълът е свързан с третия C (хамма).

3. За ъглите на триъгълник отношението

Зависимостта ви позволява да прилагате следните формули за площта на триъгълник в изчисленията

Примерите за тази зависимост са изключително редки, но трябва да запомните, че има такава формула.

4. Ако страната и двата съседни ъгъла са известни, тогава площта се намира по формулата

5. Формулата за площта по отношение на страна и котангенс на съседни ъгли е както следва

Чрез пренареждане на индексите можете да получите зависимости за другите страни.

6. Формулата за площ по-долу се използва в задачи, когато върховете на триъгълник са дадени на равнината с координати. В този случай площта е равна на половината от детерминантата по модул.

7. Формула на Херонизползвани в примери с известни страни на триъгълник.
Първо намерете полупериметъра на триъгълника

И след това определете площта по формулата

или

Често се използва в кода на калкулаторните програми.

8. Ако всички височини на триъгълника са известни, то площта се определя по формулата

Трудно е да се изчисли на калкулатор, но в пакетите MathCad, Mathematica, Maple площта е "едно две".

9. Следните формули използват известни радиуси на вписани и описани окръжности.

По-специално, ако радиусът и страните на триъгълник или неговият периметър са известни, тогава площта се изчислява по формулата

10. В примери, където са дадени страните и радиусът или диаметърът на описаната окръжност, площта се намира по формулата

11. Следната формула определя площта на триъгълник по отношение на страната и ъглите на триъгълника.

И накрая - специални случаи:
Площ на правоъгълен триъгълникс крака a и b е равно на половината от произведението им

Формулата за площта на равностранен (правилен) триъгълник=

\u003d една четвърт от произведението на квадрата на страната и корена от трите.

Геометрична област- числена характеристика на геометрична фигура, показваща размера на тази фигура (част от повърхността, ограничена от затворен контур на тази фигура). Размерът на площта се изразява чрез броя на квадратните единици, съдържащи се в нея.

Формули за площ на триъгълник

1. Формула за площ на триъгълник за страна и височина
   Площ на триъгълникравно на половината от произведението на дължината на страна на триъгълник и дължината на надморската височина, начертана към тази страна
   
2. Формулата за площта на триъгълник с три страни и радиуса на описаната окръжност
   
3. Формулата за площта на триъгълник с три страни и радиус на вписан кръг
   Площ на триъгълнике равно на произведението от полупериметъра на триъгълника и радиуса на вписаната окръжност.
   
където S е площта на триъгълника,
- дължините на страните на триъгълника,
- височината на триъгълника,
- ъгълът между страните и,
- радиус на вписаната окръжност,
R - радиус на описаната окръжност,

Формули за квадратна площ

1. Формулата за площта на квадрат, дадена дължината на страната
   квадратна площе равно на квадрата на дължината на неговата страна.
2. Формулата за площта на квадрат с дължината на диагонала
   квадратна площравен на половината от квадрата на дължината на неговия диагонал.
   

   S=	1	2
   	2

където S е площта на квадрата,
е дължината на страната на квадрата,
е дължината на диагонала на квадрата.

Формула за площ на правоъгълник

Правоъгълна площе равно на произведението от дължините на двете му съседни страни

където S е площта на правоъгълника,
са дължините на страните на правоъгълника.

Формули за площта на успоредник

1. Формула за площ на паралелограма за дължина и височина на страната
   Площ на паралелограма
2. Формулата за площта на успоредник с две страни и ъгъл между тях
   Площ на паралелограмае равно на произведението от дължините на страните му, умножени по синуса на ъгъла между тях.
   

   a b sinα

където S е площта на успоредника,
са дължините на страните на успоредника,
е височината на успоредника,
е ъгълът между страните на успоредника.

Формули за площта на ромба

1. Формула за площ на ромб, дадена дължина и височина на страната
   Област на ромбе равно на произведението на дължината на неговата страна и дължината на височината, спусната до тази страна.
2. Формулата за площта на ромб, дадена дължината на страната и ъгъла
   Област на ромбе равно на произведението на квадрата на дължината на неговата страна и синуса на ъгъла между страните на ромба.
3. Формулата за площта на ромб от дължините на неговите диагонали
   Област на ромбе равно на половината от произведението на дължините на неговите диагонали.
където S е площта на ромба,
- дължина на страната на ромба,
- дължината на височината на ромба,
- ъгълът между страните на ромба,
1, 2 - дължините на диагоналите.

Формули за площ на трапец

1. Формула на Херон за трапец

   Където S е площта на трапеца,
   - дължината на основите на трапеца,
   - дължината на страните на трапеца,
   

За да решавате геометрични задачи, трябва да знаете формули - като площта на триъгълник или площта на успоредник - както и прости триковеза които ще говорим.

Първо, нека научим формулите за площите на фигурите. Специално сме ги събрали в удобна таблица. Отпечатайте, научете и прилагайте!

Разбира се, не всички геометрични формули са в нашата таблица. Например за решаване на задачи по геометрия и стереометрия във втората част профилен изпитв математиката се използват и други формули за площта на триъгълник. Определено ще ви разкажем за тях.

Но какво, ако трябва да намерите не площта на трапец или триъгълник, а площта на някаква сложна фигура? Яжте универсални начини! Ще ги покажем с помощта на примери от банката задачи на FIPI.

1. Как да намерите площта на нестандартна фигура? Например произволен четириъгълник? Проста техника - нека разделим тази фигура на тези, за които всички знаем, и да намерим нейната площ - като сумата от площите на тези фигури.

Разделете този четириъгълник с хоризонтална линия на два триъгълника с обща основа, равна на . Височините на тези триъгълници са равни на и . Тогава площта на четириъгълника е равна на сумата от площите на двата триъгълника: .

Отговор: .

2. В някои случаи площта на фигурата може да бъде представена като разлика на всякакви области.

Не е толкова лесно да се изчисли на какво са равни основата и височината в този триъгълник! Но можем да кажем, че неговата площ е равна на разликата между площите на квадрат със страна и три правоъгълни триъгълника. Виждате ли ги на снимката? Получаваме: .

Отговор: .

3. Понякога в една задача е необходимо да се намери площта не на цялата фигура, а на част от нея. Обикновено говорим за площта на сектор - част от окръжност Намерете площта на сектор от окръжност с радиус , чиято дължина на дъгата е равна на .

На тази снимка виждаме част от кръг. Площта на целия кръг е равна на , тъй като . Остава да разберете каква част от кръга е изобразена. Тъй като дължината на целия кръг е (тъй като) и дължината на дъгата на този сектор е равна, следователно дължината на дъгата е няколко пъти по-малка от дължината на целия кръг. Ъгълът, на който се опира тази дъга, също е пъти по-малък от пълен кръг (т.е. градуси). Това означава, че площта на сектора ще бъде няколко пъти по-малка от площта на целия кръг.