Логаритмично уравнениесе нарича уравнение, в което неизвестното (x) и изразите с него са под знака на логаритмична функция. Решаването на логаритмични уравнения предполага, че вече сте запознати с и.
Как да решим логаритмични уравнения?

Най-простото уравнение е log a x = b, където a и b са някои числа, x е неизвестно.
Решаване на логаритмично уравнениее x = a b при условие: a > 0, a 1.

Трябва да се отбележи, че ако x е някъде извън логаритъма, например log 2 x \u003d x-2, тогава такова уравнение вече се нарича смесено и е необходим специален подход за решаването му.

Идеалният случай е, когато попаднете на уравнение, в което само числата са под знака на логаритъма, например x + 2 \u003d log 2 2. Тук е достатъчно да знаете свойствата на логаритмите, за да го решите. Но такъв късмет не се случва често, така че се пригответе за по-трудни неща.

Но първо, в крайна сметка, нека започнем с прости уравнения. За да ги решите, е желателно да имате най-общата представа за логаритъма.

Решаване на прости логаритмични уравнения

Те включват уравнения като log 2 x \u003d log 2 16. Може да се види с невъоръжено око, че като пропуснем знака на логаритъма, получаваме x \u003d 16.

За да се реши по-сложно логаритмично уравнение, обикновено се стига до решението на обикновено алгебрично уравнение или до решението на най-простото логаритмично уравнение log a x = b. При най-простите уравнения това става с едно движение, поради което се наричат ​​най-прости.

Горният метод за изхвърляне на логаритми е един от основните начини за решаване на логаритмични уравнения и неравенства. В математиката тази операция се нарича потенциране. Съществуват определени правилаили ограничения за този вид операции:

• логаритмите имат еднакви числени основи
• логаритмите в двете части на уравнението са свободни, т.е. без никакви коефициенти и други различни видове изрази.

Да кажем, че в уравнението log 2 x \u003d 2log 2 (1- x), потенцирането не е приложимо - коефициентът 2 вдясно не позволява. В следващия пример log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) едно от ограниченията също не е изпълнено - има два логаритма отляво. Това би било едно - съвсем различно нещо!

По принцип можете да премахнете логаритми само ако уравнението има формата:

log a(...) = log a(...)

Абсолютно всякакви изрази могат да бъдат в скоби, това абсолютно не засяга операцията за потенциране. И след премахването на логаритмите ще остане по-просто уравнение - линейно, квадратно, експоненциално и т.н., което вече, надявам се, знаете как да решите.

Да вземем друг пример:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Прилагайки потенциране, получаваме:

log 3 (2x-1) = 2

Въз основа на определението за логаритъм, а именно, че логаритъмът е числото, до което трябва да се повдигне основата, за да се получи израз, който е под знака на логаритъма, т.е. (4x-1), получаваме:

Отново получихме хубав отговор. Тук направихме без елиминирането на логаритмите, но потенцирането е приложимо и тук, защото логаритъмът може да бъде направен от всяко число и точно това, което ни трябва. Този метод е много полезен при решаването на логаритмични уравнения и особено на неравенства.

Нека решим нашето логаритмично уравнение log 3 (2x-1) = 2 с помощта на потенциране:

Нека представим числото 2 като логаритъм, например log 3 9, защото 3 2 =9.

След това log 3 (2x-1) = log 3 9 и отново получаваме същото уравнение 2x-1 = 9. Надявам се, че всичко е ясно.

Така че разгледахме как да решим най-простите логаритмични уравнения, които всъщност са много важни, защото решение на логаритмични уравнения, дори и най-ужасните и засукани, накрая винаги се свеждат до решаването на най-простите уравнения.

Във всичко, което сме направили по-горе, сме пренебрегнали един много важен моменткоито ще играят решаваща роля в бъдеще. Факт е, че решението на всяко логаритмично уравнение, дори и най-елементарното, се състои от две еквивалентни части. Първото е решението на самото уравнение, второто е работата с площта позволени стойности(ODZ). Това е само първата част, която усвоихме. В горните примери ODD не влияе по никакъв начин на отговора, така че не го взехме под внимание.

Да вземем друг пример:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Външно това уравнение не се различава от елементарното, което се решава много успешно. Но не е така. Не, разбира се, че ще го решим, но най-вероятно ще е погрешно, защото в него има малка засада, в която веднага попадат както студенти, така и отлични ученици. Нека го разгледаме по-отблизо.

Да предположим, че трябва да намерите корена на уравнението или сумата от корените, ако има няколко:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Прилагаме потенциране, тук е допустимо. В резултат на това получаваме обичайното квадратно уравнение.

Намираме корените на уравнението:

Има два корена.

Отговор: 3 и -1

На пръв поглед всичко е точно. Но нека проверим резултата и го заместим в първоначалното уравнение.

Да започнем с x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Проверката беше успешна, сега опашката x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Да, спри! Външно всичко е перфектно. Един момент - няма логаритми от отрицателни числа! И това означава, че коренът x \u003d -1 не е подходящ за решаване на нашето уравнение. И следователно правилният отговор ще бъде 3, а не 2, както написахме.

Именно тук ОДЗ изигра своята фатална роля, за която забравихме.

Позволете ми да ви напомня, че в зоната на допустимите стойности се приемат такива стойности на x, които са разрешени или имат смисъл за оригиналния пример.

Без ODZ всяко решение, дори и абсолютно правилно, на всяко уравнение се превръща в лотария - 50/50.

Как бихме могли да ни хванат, докато решаваме елементарен на пръв поглед пример? И ето го в момента на потенциране. Логаритмите изчезнаха, а с тях и всички ограничения.

Какво да правим в такъв случай? Отказвам да премахна логаритмите? И напълно да изоставим решението на това уравнение?

Не, ние просто, като истински герои от една известна песен, ще обикаляме!

Преди да продължим с решаването на всяко логаритмично уравнение, ще запишем ODZ. Но след това можете да правите каквото си пожелаете с нашето уравнение. След като получихме отговора, ние просто изхвърляме онези корени, които не са включени в нашия ODZ, и записваме окончателната версия.

Сега нека решим как да напишем ODZ. За да направим това, ние внимателно изследваме оригиналното уравнение и търсим подозрителни места в него, като деление на x, корен от четна степен и т.н. Докато не решим уравнението, ние не знаем на какво е равно x, но знаем със сигурност, че такива x, които при заместване ще дадат деление на 0 или извличане на корен квадратен от отрицателно число, очевидно не са подходящи за отговора. Следователно такива х са неприемливи, докато останалите ще представляват ODZ.

Нека отново използваме същото уравнение:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Както можете да видите, няма деление на 0, квадратни коренисъщо не, но има изрази с x в тялото на логаритъма. Веднага припомняме, че изразът вътре в логаритъма винаги трябва да бъде > 0. Това условие е написано под формата на ODZ:

Тези. все още не сме решили нищо, но вече сме записали задължително условие за целия сублогаритмичен израз. Къдравата скоба означава, че тези условия трябва да бъдат изпълнени едновременно.

ОДЗ е записана, но е необходимо и да решим получената система от неравенства, което ще направим. Получаваме отговора x > v3. Сега знаем със сигурност кой x няма да ни подхожда. И тогава започваме да решаваме самото логаритмично уравнение, което направихме по-горе.

След като получихме отговорите x 1 \u003d 3 и x 2 \u003d -1, лесно се вижда, че само x1 \u003d 3 е подходящ за нас и ние го записваме като окончателен отговор.

За в бъдеще е много важно да запомните следното: ние решаваме всяко логаритмично уравнение на 2 етапа. Първият - решаваме самото уравнение, вторият - решаваме условието на ОДЗ. И двата етапа се изпълняват независимо един от друг и се сравняват само при писане на отговора, т.е. изхвърляме всички ненужни и записваме верния отговор.

За да консолидирате материала, силно препоръчваме да гледате видеоклипа:

Във видеото, други примери за решаване на дневника. уравнения и отработване на метода на интервалите на практика.

Към това по темата, как се решават логаритмични уравнениядокато всичко. Ако нещо според решението на дневника. уравнения останаха неясни или неразбираеми, напишете въпросите си в коментарите.

Забележка: Академията за социално образование (KSUE) е готова да приеме нови студенти.

Инструкция

Запишете дадения логаритмичен израз. Ако изразът използва логаритъм от 10, тогава записът му се съкращава и изглежда така: lg b е десетичният логаритъм. Ако логаритъма има числото e като основа, тогава изразът се записва: ln b е натурален логаритъм. Разбираемо е, че резултатът от any е степента, на която трябва да се повдигне основното число, за да се получи числото b.

Когато намирате сумата на две функции, просто трябва да ги разграничите една по една и да добавите резултатите: (u+v)" = u"+v";

При намиране на производната на произведението на две функции е необходимо производната на първата функция да се умножи по втората и да се добави производната на втората функция, умножена по първата функция: (u*v)" = u"* v+v"*u;

За да се намери производната на частното на две функции, е необходимо от произведението на производната на дивидента, умножено по функцията делител, да се извади произведението на производната на делителя, умножено по функцията делител, и да се раздели всичко това чрез функцията делител на квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ако е дадена сложна функция, тогава е необходимо да се умножи производната на вътрешната функция и производната на външната. Нека y=u(v(x)), тогава y"(x)=y"(u)*v"(x).

Използвайки полученото по-горе, можете да разграничите почти всяка функция. Така че нека да разгледаме няколко примера:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *х));
Има и задачи за пресмятане на производната в точка. Нека е дадена функцията y=e^(x^2+6x+5), трябва да намерите стойността на функцията в точката x=1.
1) Намерете производната на функцията: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Изчислете стойността на функцията в дадена точка y"(1)=8*e^0=8

Подобни видеа

Полезен съвет

Научете таблицата на елементарните производни. Това ще спести много време.

източници:

• постоянна производна

И така, каква е разликата между ирационално уравнение и рационално? Ако неизвестната променлива е под знака за квадратен корен, тогава уравнението се счита за ирационално.

Инструкция

Основният метод за решаване на такива уравнения е методът на повдигане на двете части уравненияв квадрат. Въпреки това. това е естествено, първата стъпка е да се отървете от знака. Технически този метод не е труден, но понякога може да доведе до проблеми. Например уравнението v(2x-5)=v(4x-7). Като повдигнете двете страни на квадрат, получавате 2x-5=4x-7. Такова уравнение не е трудно за решаване; х=1. Но номер 1 няма да бъде даден уравнения. Защо? Заменете единицата в уравнението вместо стойността x. И дясната и лявата страна ще съдържат изрази, които нямат смисъл, т.е. Такава стойност не е валидна за квадратен корен. Следователно 1 е външен корен и следователно това уравнение няма корени.

И така, ирационалното уравнение се решава с помощта на метода на повдигане на квадрат на двете му части. И след като се реши уравнението, е необходимо да се отрежат външни корени. За да направите това, заменете намерените корени в оригиналното уравнение.

Помислете за друг.
2x+vx-3=0
Разбира се, това уравнение може да бъде решено с помощта на същото уравнение като предишното. Трансферни съединения уравнения, които нямат квадратен корен, надясно и след това използвайте метода на повдигане на квадрат. решаване на полученото рационално уравнение и корени. Но друг, по-елегантен. Въведете нова променлива; vx=y. Съответно ще получите уравнение като 2y2+y-3=0. Това е обичайното квадратно уравнение. Намерете корените му; y1=1 и y2=-3/2. След това решете две уравнения vx=1; vx \u003d -3/2. Второто уравнение няма корени, от първото намираме, че x=1. Не забравяйте за необходимостта от проверка на корените.

Разрешаването на самоличности е доста лесно. Това изисква извършване на идентични трансформации до постигане на целта. Така с помощта на най-простите аритметични действия задачата ще бъде решена.

Ще имаш нужда

• - хартия;
• - химилка.

Инструкция

Най-простите такива трансформации са алгебричните съкратени умножения (като квадрат на сумата (разликата), разликата на квадратите, сумата (разликата), кубът на сумата (разликата)). В допълнение, има много тригонометрични формули, които по същество са едни и същи идентичности.

Наистина, квадратът на сумата от два члена е равен на квадрата на първия плюс два пъти произведението на първия и втория плюс квадрата на втория, тоест (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Опростете и двете

Общи принципи на решение

Метод на заместване на променливи

Решение на интеграли от втори род

Подмяна на границите на интеграция

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информациявключително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост – по закон, по съдебен ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо от съображения за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Логаритмични изрази, решение на примери. В тази статия ще разгледаме проблеми, свързани с решаването на логаритми. Задачите поставят въпроса за намиране стойността на израза. Трябва да се отбележи, че понятието логаритъм се използва в много задачи и е изключително важно да се разбере значението му. Що се отнася до USE, логаритъмът се използва при решаване на уравнения, в приложни задачи, а също и в задачи, свързани с изучаването на функции.

Ето примери за разбиране на самото значение на логаритъма:

Основна логаритмична идентичност:

Свойства на логаритмите, които винаги трябва да помните:

*Логаритъмът на произведението е равен на сумата от логаритмите на факторите.

* * *

* Логаритъмът на частното (дробта) е равен на разликата на логаритмите на факторите.

* * *

* Логаритъмът на степента е равен на произведението на експонентата и логаритъма на нейната основа.

* * *

*Преход към нова база

* * *

Още имоти:

* * *

Изчисляването на логаритми е тясно свързано с използването на свойствата на експонентите.

Ние изброяваме някои от тях:

Същността на това свойство е, че при прехвърляне на числителя към знаменателя и обратно, знакът на експонента се променя на противоположния. Например:

Следствие от това свойство:

* * *

При повишаване на степен на степен основата остава същата, но показателите се умножават.

* * *

Както можете да видите, самата концепция за логаритъм е проста. Основното е, че е необходима добра практика, която дава определено умение. Разбира се, познаването на формулите е задължително. Ако умението за преобразуване на елементарни логаритми не е формирано, тогава при решаване на прости задачи човек лесно може да направи грешка.

Практикувайте, решавайте първо най-простите примери от курса по математика, след това преминете към по-сложните. В бъдеще със сигурност ще покажа как се решават "грозните" логаритми, няма да има такива на изпита, но представляват интерес, не го пропускайте!

Това е всичко! Късмет!

С уважение, Александър Крутицких

P.S: Ще бъда благодарен, ако разкажете за сайта в социалните мрежи.

Алгебра 11 клас

Тема: "Методи за решаване на логаритмични уравнения"

Цели на урока:

образователен: изграждане на знания за различни начинирешаване на логаритмични уравнения, способност за прилагането им във всяка конкретна ситуация и избор на произволен метод за решаване;

развитие: развитие на умения за наблюдение, сравняване, прилагане на знания в нова ситуация, идентифициране на модели, обобщаване; формиране на умения за взаимен контрол и самоконтрол;

образователен: възпитание на отговорно отношение към учебната работа, внимателно възприемане на материала в урока, точност на воденето на записи.

Тип урок : урок за запознаване с нов материал.

"Изобретяването на логаритмите, като съкрати работата на астронома, удължи живота му."
Френският математик и астроном P.S. Лаплас

По време на часовете

I. Поставяне на целта на урока

Изучената дефиниция на логаритъма, свойствата на логаритмите и логаритмичната функция ще ни позволят да решаваме логаритмични уравнения. Всички логаритмични уравнения, независимо колко сложни са, се решават с помощта на едни и същи алгоритми. Ще разгледаме тези алгоритми днес в урока. Малко са те. Ако ги усвоите, тогава всяко уравнение с логаритми ще бъде изпълнимо за всеки от вас.

Запишете в тетрадката си темата на урока: „Методи за решаване на логаритмични уравнения“. Приканвам всички към сътрудничество.

II. Актуализиране на основни знания

Нека се подготвим да изучаваме темата на урока. Решавате всяка задача и записвате отговора, може да не пишете условието. Работете по двойки.

1) За какви стойности на x функцията има смисъл:

а)

б)

V)

д)

(Отговорите се проверяват за всеки слайд и грешките се сортират)

2) Функционалните графики съвпадат ли?

а) y = x и

б)И

3) Препишете равенствата като логаритмични равенства:

4) Запишете числата като логаритми с основа 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Изчислете :

6) Опитайте се да възстановите или допълните липсващите елементи в тези равенства.

III. Въведение в новия материал

Изявлението се показва на екрана:

"Уравнението е златният ключ, който отключва всички математически сусам."
Съвременният полски математик С. Ковал

Опитайте се да формулирате дефиницията на логаритмично уравнение. (Уравнение, съдържащо неизвестно под знака на логаритъма ).

Обмислинай-простото логаритмично уравнение: дневник А x = b (където a>0, a ≠ 1). Тъй като логаритмичната функция нараства (или намалява) върху множеството от положителни числа и приема всички реални стойности, от теоремата за корена следва, че за всяко b това уравнение има и освен това само едно решение, и то положително.

Запомнете дефиницията на логаритъм. (Логаритъмът на числото x при основа a е степента, до която трябва да се повдигне основата a, за да се получи числото x ). От дефиницията на логаритъма веднага следва, чеА V е такова решение.

Запишете заглавието:Методи за решаване на логаритмични уравнения

1. По дефиниция на логаритъма .

Ето как най-простите уравнения на формата.

Обмисли№ 514(a ): Решете уравнението

Как предлагате да го разрешите? (По дефиниция на логаритъма )

Решение . , Следователно 2x - 4 = 4; х = 4.

Отговор: 4.

В тази задача 2x - 4 > 0, тъй като> 0, така че не могат да се появят външни корени ипроверка не е необходима . Условието 2x - 4 > 0 в тази задача не е необходимо да се изписва.

2. Потенциране (преход от логаритъма на дадения израз към самия този израз).

Обмисли№ 519(g): дневник 5 ( х 2 +8)- дневник 5 ( х+1)=3 дневник 5 2

Каква функция забелязахте?(Основите са еднакви и логаритмите на двата израза са равни) . Какво може да се направи?(потенцира).

В този случай трябва да се има предвид, че всяко решение се съдържа сред всички x, за които логаритмичните изрази са положителни.

Решение: ODZ:

х 2 +8>0 допълнително неравенство

дневник 5 ( х 2 +8) = дневник 5 2 3 + дневник 5 ( х+1)

дневник 5 ( х 2 +8)= дневник 5 (8 х+8)

Потенцирайте оригиналното уравнение

х 2 +8= 8 х+8

получаваме уравнениетох 2 +8= 8 х+8

Нека го решим:х 2 -8 х=0

х=0, х=8

Отговор: 0; 8

Общо взетопреминаване към еквивалентна система :

Уравнението

(Системата съдържа излишно условие - едно от неравенствата може да бъде игнорирано).

Въпрос към класа : Кое от тези три решения ви хареса най-много? (Обсъждане на методите).

Имате право да решавате по какъвто и да е начин.

3. Въвеждане на нова променлива .

Обмисли№ 520(g) . .

Какво забелязахте? (Това е квадратно уравнение за log3x) Вашите предложения? (Въведете нова променлива)

Решение . ODZ: x > 0.

Позволявам, тогава уравнението ще приеме формата:. Дискриминант D > 0. Корени по теоремата на Виета:.

Обратно към замяната:или.

Решавайки най-простите логаритмични уравнения, получаваме:

; .

Отговор : 27;

4. Логаритъм от двете страни на уравнението.

Решете уравнението:.

Решение : ODZ: x>0, вземаме логаритъм от двете страни на уравнението при основа 10:

. Приложете свойството на логаритъма на степента:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Нека lgx = y, тогава (y + 3)y = 4

, (D > 0) корените съгласно теоремата на Vieta: y1 = -4 и y2 = 1.

Нека се върнем към замяната, получаваме: lgx = -4,; logx = 1,. . Тя е следната: ако една от функциите y = f(x) увеличава и другото y = g(x) намалява на интервала X, след това уравнението f(x)=g(x) има най-много един корен на интервала X .

Ако има корен, значи може да се познае. .

Отговор : 2

« Правилна употребаметоди могат да бъдат научени
само чрез прилагането им към различни примери.
Датският историк на математиката G. G. Zeiten

аз v. Домашна работа

С. 39 разгледайте пример 3, решете № 514 (б), № 529 (б), № 520 (б), № 523 (б)

V. Обобщаване на урока

Какви методи за решаване на логаритмични уравнения разгледахме в урока?

В следващия урок ще разгледаме повече сложни уравнения. За решаването им са полезни изследваните методи.

Показване на последния слайд:

„Какво е повече от всичко на света?
пространство.
Кое е най-мъдрото?
време.
Кое е най-приятното?
Постигни това, което искаш."
Талес

Искам всеки да постигне това, което иска. Благодарим ви за съдействието и разбирането.