Da biste uspješno koristili operaciju ekstrakcije korijena u praksi, morate se upoznati sa svojstvima ove operacije.
Sva svojstva su formulirana i dokazana samo za nenegativne vrijednosti varijabli sadržanih pod predznacima korijena.

Teorema 1. N-ti korijen (n=2, 3, 4,...) umnoška dvaju nenegativnih čipova jednak je proizvodu n-tog korijena ovih brojeva:

komentar:

1. Teorema 1 ostaje važeća za slučaj kada je radikalni izraz proizvod više od dva nenegativna broja.

Teorema 2.Ako, i n je prirodan broj veći od 1, tada je jednakost tačna

Teorema 1 nam dozvoljava da pomnožimo t samo koreni istog stepena , tj. samo korijeni sa istim indeksom.

Teorema 3. Ako ,k je prirodan broj i n je prirodan broj veći od 1, tada je jednakost tačna

Drugim riječima, da bi se uzdigao korijen do prirodne moći, dovoljno je podići radikalni izraz do ove moći.
Ovo je posljedica teoreme 1. Zapravo, na primjer, za k = 3 dobijamo: Možemo zaključiti na potpuno isti način u slučaju bilo koje druge prirodne vrijednosti eksponenta k.

Teorema 4. Ako ,k, n su prirodni brojevi veći od 1, tada je jednakost tačna

Drugim riječima, da biste izvukli korijen iz korijena, dovoljno je pomnožiti indikatore korijena.
Na primjer,

Budi pazljiv! Saznali smo da se nad korijenima mogu izvesti četiri operacije: množenje, dijeljenje, stepenovanje i vađenje korijena (iz korijena). Ali šta je sa dodavanjem i oduzimanjem korena? Nema šanse.
Na primjer, umjesto da pišem Stvarno, ali očigledno je da

Teorema 5. Ako indikatori korena i radikalnog izraza se pomnože ili podele sa istim prirodnim brojem, tada se vrednost korena neće promeniti, tj.

Primjeri rješavanja problema

Primjer 2. Izračunati
Rješenje. Pretvorite mješoviti broj u nepravilan razlomak.
Imamo Koristeći drugo svojstvo korijena ( Teorema 2 ), dobijamo:

Primjer 3. Izračunati:

Rješenje. Bilo koja formula u algebri, kao što dobro znate, koristi se ne samo "s lijeva na desno", već i "s desna na lijevo". Dakle, prvo svojstvo korijena znači da oni mogu biti predstavljeni u obliku i, obrnuto, mogu biti zamijenjeni izrazom. Isto vrijedi i za drugo svojstvo korijena. Uzimajući to u obzir, izvršimo proračune.

Čestitamo: danas ćemo se osvrnuti na korijene - jednu od najzanimljivijih tema u 8. razredu. :)

Mnogi ljudi se zbune oko korijena, ne zato što su složeni (šta je tu tako komplikovano - par definicija i još par svojstava), već zato što su u većini školskih udžbenika korijeni definirani kroz takvu džunglu da samo autori udžbenika sami mogu razumjeti ovo pisanje. Pa čak i tada samo uz flašu dobrog viskija. :)

Stoga ću sada dati najispravniju i najkompetentniju definiciju korijena - jedinu koju biste zaista trebali zapamtiti. A onda ću objasniti: zašto je sve to potrebno i kako to primijeniti u praksi.

Ali prvo, zapamtite jednu važnu tačku koju mnogi sastavljači udžbenika iz nekog razloga "zaboravljaju":

Korijeni mogu biti parnog stepena (naš omiljeni $\sqrt(a)$, kao i sve vrste $\sqrt(a)$ i parnog $\sqrt(a)$) i neparnog stepena (sve vrste $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, itd.). A definicija korijena neparnog stepena je nešto drugačija od parnog.

Vjerovatno se 95% svih grešaka i nesporazuma povezanih s korijenima krije u ovom jebenom "nešto drugačijem". Dakle, razjasnimo terminologiju jednom za svagda:

Definicija. Čak i root n od broja $a$ je bilo koji nenegativan broj $b$ je takav da je $((b)^(n))=a$. A neparni korijen istog broja $a$ je općenito bilo koji broj $b$ za koji vrijedi ista jednakost: $((b)^(n))=a$.

U svakom slučaju, korijen se označava ovako:

\(a)\]

Broj $n$ u takvoj notaciji naziva se korijenski eksponent, a broj $a$ naziva se radikalni izraz. Konkretno, za $n=2$ dobijamo naš "omiljeni" kvadratni koren (usput, ovo je koren parnog stepena), a za $n=3$ dobijamo kubni koren (neparni stepen), koji je takođe se često nalaze u problemima i jednačinama.

Primjeri. Klasični primjeri kvadratnih korijena:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(poravnati)\]

Usput, $\sqrt(0)=0$, i $\sqrt(1)=1$. Ovo je sasvim logično, pošto $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.

Kockasti korijeni su također česti - ne treba ih se bojati:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(poravnati)\]

Pa, par “egzotičnih primjera”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(poravnati)\]

Ako ne razumijete koja je razlika između parnog i neparnog stepena, ponovo pročitajte definiciju. Veoma je važno!

U međuvremenu ćemo razmotriti jednu neugodnu osobinu korijena, zbog koje smo morali uvesti posebnu definiciju za parne i neparne eksponente.

Zašto su korijeni uopće potrebni?

Nakon čitanja definicije, mnogi učenici će se zapitati: „Šta su matematičari pušili kada su smislili ovo?“ I zaista: zašto su svi ti korijeni uopće potrebni?

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, vratimo se na trenutak u osnovnu školu. Zapamtite: u onim dalekim vremenima, kada je drveće bilo zelenije, a knedle ukusnije, naša glavna briga je bila da pravilno množimo brojeve. Pa, nešto kao "pet po pet - dvadeset pet", to je sve. Ali brojeve možete množiti ne u parovima, već u trojkama, četvorkama i općenito cijelim skupovima:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Međutim, ovo nije poenta. Trik je drugačiji: matematičari su lijeni ljudi, pa im je bilo teško da ovako zapišu množenje deset petica:

Zato su smislili diplome. Zašto ne zapisati broj faktora kao superscript umjesto dugog niza? Ovako nešto:

Veoma je zgodno! Svi proračuni su značajno smanjeni, a ne morate trošiti gomilu listova pergamenta i bilježnica da zapišete nekih 5.183. Ovaj zapis nazvan je stepenom broja, u njemu je pronađena gomila svojstava, ali se ispostavilo da je sreća kratkog vijeka.

Nakon grandioznog opijanja, organizovanog samo za „otkriće“ stepena, neki posebno tvrdoglavi matematičar iznenada je upitao: „Šta ako znamo stepen nekog broja, a sam broj je nepoznat?“ Sada, zaista, ako znamo da određeni broj $b$, recimo, na 5. stepen daje 243, kako onda možemo pogoditi čemu je jednak sam broj $b$?

Ovaj problem se pokazao mnogo globalnijim nego što se na prvi pogled čini. Jer se pokazalo da za većinu „gotovih“ moći ne postoje takvi „početni“ brojevi. Procijenite sami:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Strelica desno b=4\cdot 4\cdot 4\Strelica desno b=4. \\ \end(poravnati)\]

Šta ako je $((b)^(3))=50$? Ispostavilo se da trebamo pronaći određeni broj koji će nam, kada se pomnoži sam sa sobom tri puta, dati 50. Ali koji je to broj? Jasno je da je veći od 3, jer je 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. To je ovaj broj se nalazi negdje između tri i četiri, ali nećete shvatiti čemu je on jednak.

Upravo zbog toga su matematičari došli do $n$th korijena. Upravo zbog toga je uveden radikalni simbol $\sqrt(*)$. Označiti sam broj $b$, koji će nam do naznačenog stepena dati prethodno poznatu vrijednost

\[\sqrt[n](a)=b\Strelica desno ((b)^(n))=a\]

Ne raspravljam: često se ovi korijeni lako izračunavaju - vidjeli smo nekoliko takvih primjera iznad. Ali ipak, u većini slučajeva, ako pomislite na proizvoljan broj, a zatim pokušate iz njega izvući korijen proizvoljnog stepena, čeka vas užasna nevolja.

Šta je tu! Čak i najjednostavniji i najpoznatiji $\sqrt(2)$ ne može se predstaviti u našem uobičajenom obliku - kao cijeli broj ili razlomak. A ako unesete ovaj broj u kalkulator, vidjet ćete ovo:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Kao što vidite, iza decimalnog zareza postoji beskonačan niz brojeva koji se ne povinuju nikakvoj logici. Možete, naravno, zaokružiti ovaj broj da biste brzo uporedili sa drugim brojevima. Na primjer:

\[\sqrt(2)=1.4142...\približno 1.4 \lt 1.5\]

Ili evo još jednog primjera:

\[\sqrt(3)=1.73205...\približno 1.7 \gt 1.5\]

Ali sva su ta zaokruživanja, prvo, prilično gruba; i drugo, također morate znati raditi s približnim vrijednostima, inače možete uhvatiti gomilu neočiglednih grešaka (usput, vještina poređenja i zaokruživanja potrebna je za testiranje na profilu Jedinstveni državni ispit).

Dakle, u ozbiljnoj matematici ne možete bez korijena - oni su isti jednaki predstavnici skupa svih realnih brojeva $\mathbb(R)$, baš kao i razlomci i cijeli brojevi koji su nam odavno poznati.

Nemogućnost da se korijen predstavi kao razlomak oblika $\frac(p)(q)$ znači da ovaj korijen nije racionalan broj. Takvi brojevi se nazivaju iracionalni i ne mogu se precizno predstaviti osim uz pomoć radikala ili drugih konstrukcija posebno dizajniranih za to (logaritmi, stepeni, granice, itd.). Ali o tome drugi put.

Razmotrimo nekoliko primjera gdje će, nakon svih proračuna, iracionalni brojevi i dalje ostati u odgovoru.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\približno 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\približno -1.2599... \\ \end(align)\]

Naravno, po izgledu korijena gotovo je nemoguće pretpostaviti koji će brojevi doći nakon decimalnog zareza. Međutim, možete računati na kalkulator, ali čak i najnapredniji kalkulator datuma daje nam samo prvih nekoliko cifara iracionalnog broja. Stoga je mnogo ispravnije odgovore pisati u obliku $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.

Upravo zbog toga su i izmišljeni. Za praktično snimanje odgovora.

Zašto su potrebne dvije definicije?

Pažljivi čitalac je vjerovatno već primijetio da su svi kvadratni korijeni navedeni u primjerima uzeti iz pozitivnih brojeva. Pa, barem od nule. Ali kockasti korijeni mogu se mirno izvući iz apsolutno bilo kojeg broja - bilo pozitivnog ili negativnog.

Zašto se ovo dešava? Pogledajte graf funkcije $y=((x)^(2))$:

Pokušajmo izračunati $\sqrt(4)$ koristeći ovaj graf. Da biste to učinili, na grafikonu je nacrtana vodoravna linija $y=4$ (obilježena crvenom bojom), koja seče sa parabolom u dvije tačke: $((x)_(1))=2$ i $((x) )_(2)) =-2$. Ovo je sasvim logično, jer

S prvim brojem je sve jasno - on je pozitivan, dakle korijen:

Ali šta onda učiniti sa drugom tačkom? Kao da četiri ima dva korena odjednom? Na kraju krajeva, ako kvadriramo broj −2, dobijamo i 4. Zašto onda ne napisati $\sqrt(4)=-2$? A zašto nastavnici gledaju takve postove kao da hoće da te pojedu? :)

Problem je u tome što ako ne nametnete nikakve dodatne uslove, onda će četvorka imati dva kvadratna korijena - pozitivan i negativan. I svaki pozitivan broj će imati i dva. Ali negativni brojevi uopće neće imati korijen - to se može vidjeti iz istog grafikona, budući da parabola nikada ne pada ispod ose y, tj. ne prihvata negativne vrijednosti.

Sličan problem se javlja za sve korijene s parnim eksponentom:

1. Strogo govoreći, svaki pozitivan broj će imati dva korijena s parnim eksponentom $n$;
2. Iz negativnih brojeva, korijen s čak $n$ uopće se ne izdvaja.

Zato je u definiciji korena parnog stepena $n$ posebno propisano da odgovor mora biti nenegativan broj. Ovako se oslobađamo dvosmislenosti.

Ali za neparan $n$ ne postoji takav problem. Da bismo to vidjeli, pogledajmo graf funkcije $y=((x)^(3))$:

Iz ovog grafikona mogu se izvući dva zaključka:

1. Grane kubične parabole, za razliku od obične, idu u beskonačnost u oba smjera - i gore i dolje. Stoga, bez obzira na koju visinu povučemo horizontalnu liniju, ova linija će se sigurno sjeći s našim grafikom. Prema tome, kubni korijen se uvijek može izdvojiti iz apsolutno bilo kojeg broja;
2. Osim toga, takva raskrsnica će uvijek biti jedinstvena, tako da ne morate razmišljati o tome koji se broj smatra "tačnim" korijenom, a koji zanemariti. Zato je određivanje korijena za neparan stepen jednostavnije nego za paran stepen (nema zahtjeva za nenegativnost).

Šteta što ove jednostavne stvari nisu objašnjene u većini udžbenika. Umjesto toga, naš mozak počinje da raste sa svim vrstama aritmetičkih korijena i njihovih svojstava.

Da, ne raspravljam se: također morate znati šta je aritmetički korijen. I o tome ću detaljno govoriti u zasebnoj lekciji. Danas ćemo takođe pričati o tome, jer bez toga sva razmišljanja o korenima od $n$-te višestrukosti ne bi bila potpuna.

Ali prvo morate jasno razumjeti definiciju koju sam dao gore. U suprotnom, zbog obilja termina, u glavi će vam početi takva zbrka da na kraju ništa nećete razumjeti.

Sve što trebate učiniti je razumjeti razliku između parnih i neparnih indikatora. Stoga, skupimo još jednom sve što zaista trebate znati o korijenima:

1. Koren parnog stepena postoji samo od nenegativnog broja i sam je uvek nenegativan broj. Za negativne brojeve takav korijen je nedefiniran.
2. Ali korijen neparnog stepena postoji iz bilo kojeg broja i sam po sebi može biti bilo koji broj: za pozitivne brojeve je pozitivan, a za negativne brojeve, kao što kapa nagoveštava, negativan.

Da li je teško? Ne, nije teško. To je jasno? Da, potpuno je očigledno! Pa ćemo sada malo vježbati sa proračunima.

Osnovna svojstva i ograničenja

Korijeni imaju mnoga čudna svojstva i ograničenja - o tome će biti riječi u zasebnoj lekciji. Stoga ćemo sada razmotriti samo najvažniji "trik", koji se odnosi samo na korijene s parnim indeksom. Zapišimo ovo svojstvo kao formulu:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\desno|\]

Drugim riječima, ako broj podignemo na paran stepen, a zatim izvučemo korijen istog stepena, nećemo dobiti originalni broj, već njegov modul. Ovo je jednostavna teorema koja se lako može dokazati (dovoljno je odvojeno razmotriti nenegativne $x$, a zatim odvojeno negativne). Nastavnici stalno govore o tome, dato je u svakom školskom udžbeniku. Ali čim dođe do rješavanja iracionalnih jednačina (tj. jednačina koje sadrže radikalni znak), studenti jednoglasno zaborave ovu formulu.

Da bismo detaljno razumjeli problem, zaboravimo sve formule na minut i pokušajmo izračunati dva broja direktno naprijed:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\levo(-3 \desno))^(4)))=?\]

Ovo su vrlo jednostavni primjeri. Većina ljudi će riješiti prvi primjer, ali mnogi ljudi zaglave na drugom. Da biste bilo koje takvo sranje riješili bez problema, uvijek razmotrite proceduru:

1. Prvo, broj se podiže na četvrti stepen. Pa, nekako je lako. Dobićete novi broj koji se može naći čak iu tablici množenja;
2. I sada iz ovog novog broja potrebno je izdvojiti četvrti korijen. One. ne dolazi do "smanjenja" korijena i moći - to su sekvencijalne akcije.

Pogledajmo prvi izraz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Očigledno, prvo morate izračunati izraz ispod korijena:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Zatim izdvajamo četvrti korijen broja 81:

Sada uradimo isto sa drugim izrazom. Prvo, podižemo broj −3 na četvrti stepen, što zahtijeva da ga pomnožimo sam sa sobom 4 puta:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ lijevo(-3 \desno)=81\]

Dobili smo pozitivan broj, jer je ukupan broj minusa u proizvodu 4, i svi će se poništiti (na kraju krajeva, minus za minus daje plus). Zatim ponovo izvlačimo korijen:

U principu, ovaj red nije mogao biti napisan, jer je sasvim jasno da bi odgovor bio isti. One. parni korijen iste parne snage "spaljuje" minuse, i u tom smislu rezultat se ne razlikuje od običnog modula:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=\lijevo| -3 \right|=3. \\ \end(poravnati)\]

Ovi proračuni se dobro slažu s definicijom korijena parnog stepena: rezultat je uvijek nenegativan, a predznak radikala također uvijek sadrži nenegativan broj. Inače, korijen je nedefiniran.

Napomena o proceduri

1. Oznaka $\sqrt(((a)^(2)))$ znači da prvo kvadriramo broj $a$, a zatim uzimamo kvadratni korijen rezultirajuće vrijednosti. Stoga, možemo biti sigurni da uvijek postoji nenegativan broj ispod predznaka korijena, budući da je $((a)^(2))\ge 0$ u svakom slučaju;
2. Ali notacija $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, naprotiv, znači da prvo uzimamo korijen određenog broja $a$ i tek onda kvadriramo rezultat. Stoga, broj $a$ ni u kom slučaju ne može biti negativan - ovo je obavezan zahtjev uključen u definiciju.

Dakle, ni u kom slučaju ne treba nepromišljeno smanjivati ​​korijene i stupnjeve, čime se navodno „pojednostavlja“ izvorni izraz. Jer ako korijen ima negativan broj i njegov eksponent je paran, dobijamo gomilu problema.

Međutim, svi ovi problemi su relevantni samo za parne indikatore.

Uklanjanje znaka minus ispod znaka korijena

Naravno, korijeni s neparnim eksponentima također imaju svoju osobinu, koja u principu ne postoji kod parnih. naime:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Ukratko, minus možete ukloniti ispod znaka korijena neparnog stepena. Ovo je vrlo korisna osobina koja vam omogućava da "izbacite" sve nedostatke:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(poravnati)\]

Ovo jednostavno svojstvo uvelike pojednostavljuje mnoge proračune. Sada ne morate da brinete: šta ako je negativan izraz bio skriven ispod korena, ali je stepen u korenu bio paran? Dovoljno je samo "izbaciti" sve minuse izvan korijena, nakon čega se mogu međusobno umnožiti, podijeliti i općenito učiniti mnogo sumnjivih stvari, koje nas u slučaju "klasičnih" korijena garantovano vode do greška.

I tu na scenu stupa još jedna definicija – ista ona kojom u većini škola počinju proučavanje iracionalnih izraza. I bez toga bi naše rezonovanje bilo nepotpuno. Upoznajte se!

Aritmetički korijen

Pretpostavimo na trenutak da ispod predznaka korijena mogu biti samo pozitivni brojevi ili, u ekstremnim slučajevima, nula. Zaboravimo na parne/neparne indikatore, zaboravimo na sve gore navedene definicije - radit ćemo samo sa nenegativnim brojevima. Šta onda?

I tada ćemo dobiti aritmetički korijen - on se djelomično preklapa s našim „standardnim“ definicijama, ali se još uvijek razlikuje od njih.

Definicija. Aritmetički korijen $n$-tog stepena nenegativnog broja $a$ je nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$.

Kao što vidimo, paritet nas više ne zanima. Umjesto toga, pojavilo se novo ograničenje: radikalni izraz je sada uvijek nenegativan, a sam korijen također nije negativan.

Da biste bolje razumjeli kako se aritmetički korijen razlikuje od uobičajenog, pogledajte grafove kvadratne i kubične parabole s kojima smo već upoznati:

Kao što vidite, od sada nas zanimaju samo oni dijelovi grafova koji se nalaze u prvoj koordinatnoj četvrti - gdje su koordinate $x$ i $y$ pozitivne (ili barem nula). Više ne morate gledati indikator da biste shvatili imamo li pravo staviti negativan broj ispod korijena ili ne. Zato što se negativni brojevi više u principu ne razmatraju.

Možete pitati: „Pa, zašto nam je potrebna tako sterilisana definicija?“ Ili: „Zašto ne možemo proći sa standardnom definicijom datom gore?“

Pa, dat ću samo jedno svojstvo zbog kojeg nova definicija postaje odgovarajuća. Na primjer, pravilo za eksponencijaciju:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Imajte na umu: radikalni izraz možemo podići na bilo koji stepen i istovremeno pomnožiti korijenski eksponent istom potencijom - i rezultat će biti isti broj! Evo primjera:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Pa šta je velika stvar? Zašto ovo nismo mogli ranije? Evo zašto. Razmotrimo jednostavan izraz: $\sqrt(-2)$ - ovaj broj je sasvim normalan u našem klasičnom razumijevanju, ali apsolutno neprihvatljiv sa stanovišta aritmetičkog korijena. Pokušajmo to pretvoriti:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Kao što vidite, u prvom slučaju smo uklonili minus ispod radikala (imamo pravo, jer je eksponent neparan), au drugom slučaju koristili smo gornju formulu. One. Sa matematičke tačke gledišta, sve se radi po pravilima.

WTF?! Kako isti broj može biti i pozitivan i negativan? Nema šanse. Samo što formula za eksponencijalnost, koja odlično funkcionira za pozitivne brojeve i nulu, počinje proizvoditi potpunu herezu u slučaju negativnih brojeva.

Da bi se otklonila takva dvosmislenost, izmišljeni su aritmetički korijeni. Njima je posvećena posebna velika lekcija, gdje ćemo detaljno razmotriti sva njihova svojstva. Dakle, nećemo se sada zadržavati na njima - lekcija se već pokazala predugačkom.

Algebarski korijen: za one koji žele znati više

Dugo sam razmišljao da li da ovu temu stavim u poseban pasus ili ne. Na kraju sam odlučio da to ostavim ovdje. Ovaj materijal je namijenjen onima koji žele još bolje razumjeti korijene – ne više na prosječnom “školskom” nivou, već na nivou koji je blizak olimpijadi.

Dakle: pored “klasične” definicije $n$-tog korijena broja i pripadajuće podjele na parne i neparne eksponente, postoji definicija “odrasla” koja uopće ne ovisi o paritetu i drugim suptilnostima. Ovo se zove algebarski korijen.

Definicija. Algebarski $n$-ti korijen bilo kojeg $a$ je skup svih brojeva $b$ takvih da je $((b)^(n))=a$. Ne postoji utvrđena oznaka za takve korijene, pa ćemo samo staviti crticu na vrh:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \desno. \desno\) \]

Osnovna razlika u odnosu na standardnu ​​definiciju datu na početku lekcije je da algebarski korijen nije određeni broj, već skup. A pošto radimo sa realnim brojevima, ovaj skup dolazi u samo tri tipa:

1. Prazan set. Pojavljuje se kada trebate pronaći algebarski korijen parnog stepena iz negativnog broja;
2. Skup koji se sastoji od jednog elementa. Svi korijeni neparnih potencija, kao i korijeni parnih potencija od nule, spadaju u ovu kategoriju;
3. Konačno, skup može uključivati ​​dva broja - isti $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$ koje smo vidjeli na graf kvadratne funkcije. Prema tome, takav raspored je moguć samo kada se iz pozitivnog broja izvuče korijen parnog stepena.

Posljednji slučaj zaslužuje detaljnije razmatranje. Nabrojimo nekoliko primjera da bismo razumjeli razliku.

Primjer. Procijenite izraze:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Rješenje. Prvi izraz je jednostavan:

\[\overline(\sqrt(4))=\lijevo\( 2;-2 \desno\)\]

To su dva broja koja su dio skupa. Jer svaki od njih na kvadrat daje četvorku.

\[\overline(\sqrt(-27))=\lijevo\( -3 \desno\)\]

Ovdje vidimo skup koji se sastoji od samo jednog broja. Ovo je sasvim logično, budući da je korijenski eksponent neparan.

Konačno, posljednji izraz:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Dobili smo prazan set. Jer ne postoji niti jedan realan broj koji će nam, kada se podigne na četvrti (tj. paran!) stepen, dati negativan broj −16.

Završna napomena. Napominjemo: nisam slučajno posvuda primijetio da radimo sa stvarnim brojevima. Budući da postoje i kompleksni brojevi - tamo je sasvim moguće izračunati $\sqrt(-16)$ i mnoge druge čudne stvari.

Međutim, kompleksni brojevi se gotovo nikada ne pojavljuju u savremenim školskim kursevima matematike. Oni su uklonjeni iz većine udžbenika jer naši zvaničnici smatraju da je tema “preteška za razumjeti”.

To je sve. U sljedećoj lekciji ćemo pogledati sva ključna svojstva korijena i konačno naučiti kako pojednostaviti iracionalne izraze. :)

Objavljeno na našoj web stranici. Uzimanje korijena iz broja često se koristi u raznim proračunima, a naš kalkulator je odličan alat za takve matematičke proračune.

Online kalkulator s korijenima omogućit će vam da brzo i jednostavno napravite bilo kakve kalkulacije koje uključuju ekstrakciju korijena. Treći korijen se može izračunati jednako lako kao kvadratni korijen broja, korijen negativnog broja, korijen kompleksnog broja, korijen od pi, itd.

Izračunavanje korijena broja moguće je ručno. Ako je moguće izračunati cijeli korijen nekog broja, onda jednostavno nalazimo vrijednost radikalnog izraza koristeći tablicu korijena. U drugim slučajevima, približno izračunavanje korijena svodi se na dekomponiranje radikalnog izraza u proizvod jednostavnijih faktora, koji su potenci i mogu se ukloniti predznakom korijena, pojednostavljujući izraz ispod korijena što je više moguće.

Ali ne biste trebali koristiti ovo root rješenje. I zato. Prvo, morat ćete potrošiti dosta vremena na takve proračune. Brojevi u korijenu, tačnije, izrazi mogu biti prilično složeni, a stepen nije nužno kvadratni ili kubni. Drugo, tačnost takvih proračuna nije uvijek zadovoljavajuća. I treće, postoji online root kalkulator koji će za vas obaviti bilo kakvu ekstrakciju korijena za nekoliko sekundi.

Izvući korijen iz broja znači pronaći broj koji će, kada se podigne na stepen n, biti jednak vrijednosti radikalnog izraza, gdje je n stepen korijena, a sam broj je baza root. Koren 2. stepena naziva se prostim ili kvadratnim, a koren trećeg stepena se naziva kubnim, pri čemu se u oba slučaja izostavlja naznaka stepena.

Rješavanje korijena u online kalkulatoru svodi se na samo pisanje matematičkog izraza u liniji za unos. Ekstrahiranje korijena u kalkulatoru je označeno kao sqrt i izvodi se pomoću tri ključa - kvadratni korijen sqrt(x), kubni korijen sqrt3(x) i n-ti korijen sqrt(x,y). Detaljnije informacije o kontrolnom panelu su predstavljene na stranici.

Kvadratni korijen

Klikom na ovo dugme umetnut će se unos kvadratnog korijena u liniju za unos: sqrt(x), potrebno je samo unijeti radikalni izraz i zatvoriti zagradu.

Primjer rješavanja kvadratnih korijena u kalkulatoru:

Ako je korijen negativan broj, a stupanj korijena paran, onda će odgovor biti predstavljen kao kompleksan broj sa imaginarnom jedinicom i.

Kvadratni korijen negativnog broja:

Treći korijen

Koristite ovu tipku kada trebate uzeti kubni korijen. Ubacuje unos sqrt3(x) u liniju za unos.

korijen 3. stepena:

Koren stepena n

Naravno, online kalkulator korijena omogućava vam da izvučete ne samo kvadratni i kubni korijen broja, već i korijen stepena n. Klikom na ovo dugme prikazaće se unos kao što je sqrt(x x,y).

4. korijen:

Tačan n-ti korijen broja može se izdvojiti samo ako je sam broj tačan n-ti korijen. U suprotnom, izračun će se pokazati približnim, iako vrlo blizu idealnom, jer tačnost izračunavanja online kalkulatora doseže 14 decimalnih mjesta.

5. korijen s približnim rezultatom:

Koren iz razlomka

Kalkulator može izračunati korijen iz različitih brojeva i izraza. Pronalaženje korijena razlomka svodi se na odvojeno izdvajanje korijena brojnika i nazivnika.

Kvadratni korijen razlomka:

Korijen iz korijena

U slučajevima kada je korijen izraza ispod korijena, oni se po svojstvima korijena mogu zamijeniti jednim korijenom, čiji će stepen biti jednak proizvodu stupnjeva oba. Jednostavno rečeno, da biste izvukli korijen iz korijena, dovoljno je pomnožiti indikatore korijena. U primjeru prikazanom na slici, izraz korijen trećeg stepena korijena drugog stepena može se zamijeniti jednim korijenom 6. stepena. Navedite izraz kako želite. U svakom slučaju, kalkulator će sve ispravno izračunati.

Formule stepena koristi se u procesu redukcije i pojednostavljivanja složenih izraza, u rješavanju jednačina i nejednačina.

Broj c je n-ti stepen broja a Kada:

Operacije sa stepenom.

1. Množenjem stepeni sa istom bazom, dodaju se njihovi indikatori:

a m·a n = a m + n .

2. Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istom bazom, oduzimaju se njihovi eksponenti:

3. Stepen proizvoda 2 ili više faktora jednak je proizvodu stupnjeva ovih faktora:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stepen razlomka jednak je omjeru stupnjeva dividende i djelitelja:

(a/b) n = a n /b n .

5. Podižući stepen na stepen, eksponenti se množe:

(a m) n = a m n .

Svaka gornja formula je istinita u smjerovima s lijeva na desno i obrnuto.

Na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s korijenima.

1. Korijen proizvoda nekoliko faktora jednak je proizvodu korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru dividende i djelitelja korijena:

3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići radikalni broj na ovaj stepen:

4. Ako povećate stepen korijena u n jednom i istovremeno ugraditi u n th stepen je radikalan broj, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjite stepen korijena u n istovremeno izvaditi korijen n-ti stepen radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Stepen sa negativnim eksponentom. Potencija određenog broja s nepozitivnim (cjelobrojnim) eksponentom definira se kao jedinica podijeljena potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti nepozitivnog eksponenta:

Formula a m:a n =a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i sa m< n.

Na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formulu a m:a n =a m - n postao pošten kada m=n, potrebno je prisustvo nultog stepena.

Diploma sa nultim indeksom. Potencija bilo kojeg broja koji nije jednak nuli sa nultim eksponentom jednaka je jedan.

Na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stepen sa razlomkom eksponenta. Da podignem pravi broj A do stepena m/n, morate izdvojiti korijen n th stepen of m-ti stepen ovog broja A.

primjeri:

\(\sqrt(16)=2\), pošto \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) , budući da \((-\frac(1)(5) ) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

Kako izračunati n-ti korijen?

Da biste izračunali korijen \(n\)-tog stepena, trebate se zapitati: koji će broj na \(n\)-ti stepen biti dat pod korijenom?

Na primjer. Izračunajte \(n\)-ti korijen: a)\(\sqrt(16)\); b) \(\sqrt(-64)\); c) \(\sqrt(0,00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); e) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).

a) Koji će broj na \(4\) stepen dati \(16\)? Očigledno, \(2\). Zbog toga:

b) Koji broj na \(3\)-ti stepen daje \(-64\)?

\(\sqrt(-64)=-4\)

c) Koji će broj na \(5\) stepen dati \(0,00001\)?

\(\sqrt(0,00001)=0,1\)

d) Koji broj na \(3\)-ti stepen daje \(8000\)?

\(\sqrt(8000)=20\)

e) Koji će broj na \(4\) stepen dati \(\frac(1)(81)\)?

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

Pogledali smo najjednostavnije primjere s \(n\)-tim korijenom. Za rješavanje složenijih problema s korijenima \(n\)-tog stepena, od vitalnog je značaja njihovo poznavanje.

Primjer. Izračunati:

Jesu li n-ti korijen i kvadratni korijen povezani?

U svakom slučaju, bilo koji korijen bilo kojeg stepena je samo broj, iako napisan u obliku koji vam nije poznat.

singularnost n-tog korijena

Korijen \(n\)-tog stepena sa neparnim \(n\) može se izdvojiti iz bilo kojeg broja, čak i negativnog (vidi primjere na početku). Ali ako je \(n\) paran (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)...), onda se takav korijen izdvaja samo ako \( a ≥ 0\) (usput, isto vrijedi i za kvadratni korijen). To je zbog činjenice da je vađenje korijena suprotno podizanju na stepen.

A podizanje na paran stepen čini čak i negativan broj pozitivnim. Zaista, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Stoga ne možemo dobiti paran stepen negativnog broja ispod korijena. To znači da ne možemo izdvojiti takav korijen iz negativnog broja.

Neparni stepen nema takva ograničenja - negativan broj podignut na neparni stepen će ostati negativan: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (- 2) \ cdot (-2)=-32\). Dakle, pod korijenom neparnog stepena možete dobiti negativan broj. To znači da ga je također moguće izdvojiti iz negativnog broja.