Դաս և ներկայացում «Թվերի հաջորդականություններ. Թվաբանական առաջընթաց» թեմայով.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, ակնարկները, ցանկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվել են հակավիրուսային ծրագրով։

Ուսումնական նյութեր «Ինտեգրալ» առցանց խանութում 9-րդ դասարանի դասագրքերի համար
Մակարիչևա Յու.Ն. Ալիմովա Շ.Ա. Մորդկովիչ Ա.Գ. Մուրավինա Գ.Կ.

Այսպիսով, ինչ է թվաբանական առաջընթացը:

Թվային հաջորդականությունը, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդի և որոշ ֆիքսված թվերի գումարին, կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա։

Թվաբանական առաջընթաց- պարբերաբար տրված թվային առաջընթաց:

Եկեք գրենք կրկնվող ձևը՝ $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, թիվ d – առաջընթացի տարբերություն: a և d-ն որոշակի տրված թվեր են:

Օրինակ. 1,4,7,10,13,16... Թվաբանական առաջընթաց $a=1, d=3$-ով:

Օրինակ. 3,0,-3,-6,-9... Թվաբանական պրոգրեսիա $a=3, d=-3$-ով:

Օրինակ. 5,5,5,5,5... Թվաբանական պրոգրեսիա $a=5, d=0$-ով։

Թվաբանական պրոգրեսիան ունի միապաղաղության հատկություններ. եթե առաջընթացի տարբերությունը մեծ է զրոյից, ապա հաջորդականությունը մեծանում է, եթե առաջընթացի տարբերությունը փոքր է զրոյից, ապա հաջորդականությունը նվազում է։

Եթե ​​թվաբանական պրոգրեսիան ունի վերջավոր թվով տարրեր, ապա պրոգրեսիան կոչվում է վերջավոր թվաբանական պրոգրեսիա։

Եթե ​​տրված է $a_(n)$ հաջորդականություն, և այն թվաբանական առաջընթաց է, ապա ընդունված է նշել՝ $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$:

Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը

Եկեք վերադառնանք մեր օրինակներին և գրենք մեր բանաձևը յուրաքանչյուր օրինակի համար:

Օրինակ. 1,4,7,10,13,16... Թվաբանական պրոգրեսիա, որում a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$:

Օրինակ. 3,0,-3,-6,-9... Թվաբանական պրոգրեսիա, որի համար a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$:

Օրինակ. Հաշվի առնելով թվաբանական առաջընթացը՝ $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$:
ա) Հայտնի է, որ $a_(1)=5$, $d=3$։ Գտեք $a_(23)$:
բ) Հայտնի է, որ $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$: Գտեք n.
գ) Հայտնի է, որ $d=-1$, $a_(22)=15$։ Գտեք $a_(1)$:
դ) Հայտնի է, որ $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$: Գտեք դ.
Լուծում.
ա) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$:
բ) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$:
$5n=110=>n=22$:
գ) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$:
դ) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$:

Օրինակ. Թվաբանական առաջընթացի իններորդ անդամը երկրորդ անդամի վրա բաժանելիս գործակիցը մնում է 7, իսկ իններորդ անդամը հինգերորդի վրա բաժանելիս գործակիցը 2 է, իսկ մնացորդը՝ 5։ Գտե՛ք պրոգրեսիայի երեսուներորդ անդամը։
Լուծում.
Եկեք հաջորդաբար գրենք մեր առաջընթացի 2,5 և 9 անդամները:
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$:
$a_(9)=a_(1)+8d$:
Պայմանից մենք նաև գիտենք.
$a_(9)=7a_(2)$:
$a_(9)=2a_(5)+5$:
Կամ:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$:
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$:
Եկեք ստեղծենք հավասարումների համակարգ.
$\սկիզբ(դեպքեր)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\վերջ (դեպքեր)$.
$\սկիզբ(դեպքեր)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\վերջ(դեպքեր)$:
Համակարգը լուծելով՝ ստանում ենք՝ $d=6, a_(1)=1$։
Եկեք գտնենք $a_(30)$:
$a_(30)=a_(1)+29d=175$:

Վերջավոր թվաբանական առաջընթացի գումարը

Մեզ տրվի 1,2,3,4,5...100 թվաբանական պրոգրեսիա։
Ապա ներկայացնենք նրա անդամների գումարն այսպես.
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Բայց նմանատիպ բանաձևը կիրառելի է ցանկացած թվաբանական առաջընթացի համար.
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$:
Գրենք մեր բանաձևը ընդհանուր դեպքում՝ $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, որտեղ $k<1$.
Բերենք թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների գումարը հաշվարկելու բանաձևը, բանաձևը գրենք երկու անգամ տարբեր կարգերով.
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$:
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$:
Եկեք միասին ավելացնենք այս բանաձևերը.
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
Մեր հավասարության աջ կողմում կա n տերմին, և մենք գիտենք, որ դրանցից յուրաքանչյուրը հավասար է $a_(1)+a_(n)$-ի:
Ապա.
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$:
Մեր բանաձևը կարող է նաև վերաշարադրվել հետևյալ ձևով. քանի որ $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
ապա $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$:
Ամենից հաճախ ավելի հարմար է օգտագործել այս հատուկ բանաձևը, ուստի լավ է հիշել այն:

Օրինակ. Տրված է վերջավոր թվաբանական պրոգրեսիա։
Գտնել.
ա) $s_(22), եթե a_(1)=7, d=2$:
բ) դ, եթե $a_(1)=9$, $s_(8)=144$:
Լուծում.
ա) Օգտագործենք գումարի երկրորդ բանաձևը $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 = 616 դոլար:
բ) Այս օրինակում մենք կօգտագործենք առաջին բանաձևը՝ $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$:
$144=36+4a_(8)$:
$a_(8)=27$:
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$:
$d=2\frac(4)(7)$:

Օրինակ. Գտե՛ք բոլոր կենտ երկնիշ թվերի գումարը:
Լուծում.
Մեր առաջընթացի պայմաններն են՝ $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$:
Գտնենք առաջընթացի վերջին անդամի թիվը.
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$:
$99=11+2(n-1)$։
$n=45$:
Հիմա եկեք գտնենք գումարը՝ $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$:

Օրինակ. Տղաները գնացին արշավի։ Հայտնի է, որ առաջին ժամին նրանք քայլել են 500 մ, որից հետո սկսել են քայլել 25 մետրով պակաս, քան առաջին ժամին։ Քանի՞ ժամ կպահանջվի նրանցից 2975 մետրը հաղթահարելու համար:
Լուծում.
Յուրաքանչյուր ժամում անցած ճանապարհը կարող է ներկայացվել որպես թվաբանական առաջընթաց.
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$:
Թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը $d=-25$ է։
2975 մետրով անցած տարածությունը թվաբանական առաջընթացի տերմինների գումարն է։
$S_(n)=2975$, որտեղ n-ը ճամփորդության վրա ծախսված ժամերն են:
Ապա.
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$:
$1000n-25(n-1)n=$5950:
Երկու կողմերն էլ բաժանեք 25-ի։
$40n-(n-1)n=$238:
$n^2-41n+238=0$:
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$:
Ակնհայտ է, որ ավելի տրամաբանական է ընտրել $n=7$։
Պատասխանել. Տղաները 7 ժամ ճանապարհին էին.

Թվաբանական պրոգրեսիայի բնորոշ հատկությունը

Եթե ​​առաջընթացը վերջավոր է, ապա այս հավասարությունը գործում է բոլոր անդամների համար, բացի առաջինից և վերջինից:
Եթե ​​նախապես հայտնի չէ, թե ինչ ձև ունի հաջորդականությունը, բայց հայտնի է, որ $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$։
Ապա մենք կարող ենք վստահորեն ասել, որ սա թվաբանական առաջընթաց է:

Թվային հաջորդականությունը թվաբանական առաջընթաց է, երբ այս առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ հավասար է մեր առաջընթացի երկու հարևան անդամների թվաբանական միջինին (մի մոռացեք, որ վերջավոր առաջընթացի համար այս պայմանը բավարարված չէ առաջընթացի առաջին և վերջին անդամի համար) .

Օրինակ. Գտեք x այնպես, որ $3x+2$; $x-1$; $4x+3$ – թվաբանական առաջընթացի երեք անընդմեջ անդամ:
Լուծում. Եկեք օգտագործենք մեր բանաձևը.
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$:
$2x-2=7x+5$:
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1,4$:
Եկեք ստուգենք, մեր արտահայտությունները կունենան ձև՝ -2,2; -2.4; -2.6.
Ակնհայտ է, որ դրանք թվաբանական առաջընթացի պայմաններ են և $d=-0.2$:

Ինքնուրույն լուծելու խնդիրներ

Միջնակարգ դպրոցում (9-րդ դասարան) հանրահաշիվ ուսումնասիրելիս կարևոր թեմաներից է թվային հաջորդականությունների ուսումնասիրությունը, որոնք ներառում են առաջընթացներ՝ երկրաչափական և թվաբանական: Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք թվաբանական առաջընթացին և լուծումներով օրինակներին:

Ի՞նչ է թվաբանական առաջընթացը:

Սա հասկանալու համար անհրաժեշտ է սահմանել խնդրո առարկա առաջընթացը, ինչպես նաև տրամադրել հիմնական բանաձևերը, որոնք հետագայում կօգտագործվեն խնդիրների լուծման ժամանակ:

Հայտնի է, որ որոշ հանրահաշվական պրոգրեսիաներում 1-ին անդամը հավասար է 6-ի, իսկ 7-րդ անդամը հավասար է 18-ի։ Անհրաժեշտ է գտնել տարբերությունը և վերականգնել այս հաջորդականությունը 7-րդ անդամին։

Անհայտ տերմինը որոշելու համար օգտագործենք բանաձևը՝ a n = (n - 1) * d + a 1 : Պայմանից հայտնի տվյալները փոխարինենք դրա մեջ, այսինքն՝ a 1 և a 7 թվերը, ունենք՝ 18 = 6 + 6 * d. Այս արտահայտությունից հեշտությամբ կարող եք հաշվարկել տարբերությունը. d = (18 - 6) /6 = 2: Այսպիսով, մենք պատասխանել ենք խնդրի առաջին մասին:

Հերթականությունը 7-րդ անդամին վերականգնելու համար պետք է օգտագործել հանրահաշվական պրոգրեսիայի սահմանումը, այսինքն՝ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d և այլն։ Արդյունքում մենք վերականգնում ենք ամբողջ հաջորդականությունը՝ a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18:

Օրինակ թիվ 3. պրոգրեսիա կազմելը

Խնդիրն էլ ավելի բարդացնենք։ Այժմ մենք պետք է պատասխանենք այն հարցին, թե ինչպես գտնել թվաբանական պրոգրեսիա: Կարելի է բերել հետևյալ օրինակը. տրված է երկու թիվ, օրինակ՝ 4 և 5։ Անհրաժեշտ է ստեղծել հանրահաշվական պրոգրեսիա, որպեսզի դրանց միջև դրվեն ևս երեք անդամ։

Նախքան այս խնդրի լուծումը սկսելը, պետք է հասկանալ, թե տվյալ թվերը ինչ տեղ են գրավելու ապագա առաջընթացում։ Քանի որ նրանց միջև կլինեն ևս երեք տերմիններ, ապա 1 = -4 և 5 = 5: Սա հաստատելով, մենք անցնում ենք խնդրին, որը նման է նախորդին: Կրկին, n-րդ անդամի համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը, մենք ստանում ենք. a 5 = a 1 + 4 * d: Սկսած՝ d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25: Այն, ինչ մենք այստեղ ստացանք, տարբերության ամբողջ արժեք չէ, այլ ռացիոնալ թիվ է, ուստի հանրահաշվական առաջընթացի բանաձևերը մնում են նույնը:

Հիմա եկեք ավելացնենք գտնված տարբերությունը 1-ին և վերականգնենք առաջընթացի բացակայող պայմանները: Մենք ստանում ենք՝ a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, որը համընկնում է խնդրի պայմաններով։

Օրինակ թիվ 4. առաջընթացի առաջին ժամկետը

Շարունակենք տալ թվաբանական առաջընթացի օրինակներ՝ լուծումներով։ Նախորդ բոլոր խնդիրներում հայտնի էր հանրահաշվական պրոգրեսիայի առաջին թիվը։ Հիմա եկեք դիտարկենք այլ տեսակի խնդիր. թող տրվի երկու թիվ, որտեղ 15 = 50 և 43 = 37: Պետք է գտնել, թե որ թվով է սկսվում այս հաջորդականությունը:

Մինչ այժմ օգտագործված բանաձևերը ենթադրում են 1-ի և դ-ի իմացություն: Խնդրի հայտարարության մեջ այս թվերի մասին ոչինչ հայտնի չէ։ Այնուամենայնիվ, մենք կգրենք արտահայտություններ յուրաքանչյուր տերմինի համար, թե որ տեղեկատվությունն առկա է. a 15 = a 1 + 14 * d և a 43 = a 1 + 42 * d: Մենք ստացանք երկու հավասարումներ, որոնցում կան 2 անհայտ մեծություններ (a 1 և d): Սա նշանակում է, որ խնդիրը կրճատվում է գծային հավասարումների համակարգի լուծման վրա:

Այս համակարգը լուծելու ամենահեշտ ձևը յուրաքանչյուր հավասարման մեջ 1 արտահայտելն է, իսկ հետո ստացված արտահայտությունները համեմատելը: Առաջին հավասարումը. a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; երկրորդ հավասարումը. a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Հավասարեցնելով այս արտահայտությունները՝ ստանում ենք՝ 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, որտեղից էլ տարբերությունը d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (տրված է ընդամենը 3 տասնորդական տեղ)։

Իմանալով d-ն, դուք կարող եք օգտագործել վերը նշված 2 արտահայտություններից որևէ մեկը 1-ի համար: Օրինակ, նախ՝ a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496:

Ստացված արդյունքի վերաբերյալ կասկածներ ունենալու դեպքում կարող եք ստուգել այն, օրինակ՝ որոշել պրոգրեսիայի 43-րդ տերմինը, որը նշված է պայմանում։ Մենք ստանում ենք՝ a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008: Փոքր սխալը պայմանավորված է նրանով, որ հաշվարկներում օգտագործվել է կլորացում մինչև հազարերորդական:

Օրինակ թիվ 5՝ գումար

Այժմ նայենք մի քանի օրինակների՝ թվաբանական առաջընթացի գումարի լուծումներով:

Թող տրվի հետևյալ ձևի թվային առաջընթացը՝ 1, 2, 3, 4, ...,: Ինչպե՞ս հաշվարկել այս թվերից 100-ի գումարը:

Համակարգչային տեխնոլոգիաների զարգացման շնորհիվ հնարավոր է լուծել այս խնդիրը, այսինքն՝ հաջորդաբար գումարել բոլոր թվերը, ինչը համակարգիչը կանի հենց որ մարդը սեղմի Enter ստեղնը։ Այնուամենայնիվ, խնդիրը կարող է լուծվել մտովի, եթե ուշադրություն դարձնեք, որ թվերի ներկայացված շարքը հանրահաշվական պրոգրեսիա է, և դրա տարբերությունը հավասար է 1-ի: Կիրառելով գումարի բանաձևը, մենք ստանում ենք S n = n * (a 1 + ա ն) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050:

Հետաքրքիր է նշել, որ այս խնդիրը կոչվում է «գաուսյան», քանի որ 18-րդ դարի սկզբին հայտնի գերմանացին, որը դեռ ընդամենը 10 տարեկան էր, մի քանի վայրկյանում կարողացավ լուծել այն իր գլխում։ Տղան չգիտեր հանրահաշվական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը, բայց նա նկատեց, որ եթե հաջորդականության ծայրերում թվերը գումարեք զույգերով, ապա միշտ ստանում եք նույն արդյունքը, այսինքն՝ 1 + 100 = 2 + 99։ = 3 + 98 = ..., և քանի որ այդ գումարները կլինեն ուղիղ 50 (100 / 2), ապա ճիշտ պատասխան ստանալու համար բավական է 50-ը բազմապատկել 101-ով:

Օրինակ թիվ 6. n-ից մինչև m տերմինների գումարը

Թվաբանական առաջընթացի գումարի մեկ այլ տիպիկ օրինակ հետևյալն է՝ տրված թվերի շարքը՝ 3, 7, 11, 15, ..., դուք պետք է գտնեք, թե ինչի է հավասար դրա 8-ից 14 անդամների գումարը։ .

Խնդիրը լուծվում է երկու ճանապարհով. Դրանցից առաջինը ներառում է 8-ից 14-ը անհայտ տերմիններ գտնելը, այնուհետև հաջորդաբար գումարելը: Քանի որ տերմինները քիչ են, այս մեթոդը այնքան էլ աշխատատար չէ: Այնուամենայնիվ, առաջարկվում է լուծել այս խնդիրը երկրորդ մեթոդով, որն ավելի ունիվերսալ է։

Գաղափարն է ստանալ բանաձև m և n տերմինների միջև հանրահաշվական առաջընթացի գումարի համար, որտեղ n > m ամբողջ թվեր են: Երկու դեպքում էլ գումարի համար գրում ենք երկու արտահայտություն.

1. S m = m * (a m + a 1) / 2:
2. S n = n * (a n + a 1) / 2:

Քանի որ n > m, ակնհայտ է, որ 2-րդ գումարը ներառում է առաջինը։ Վերջին եզրակացությունը նշանակում է, որ եթե վերցնենք այս գումարների տարբերությունը և դրան գումարենք a m տերմինը (տարբերությունը վերցնելու դեպքում այն ​​հանվում է S n գումարից), ապա կստանանք խնդրի անհրաժեշտ պատասխանը։ Մենք ունենք՝ S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2): Այս արտահայտության մեջ անհրաժեշտ է փոխարինել a-ի և a-ի բանաձևերը: Այնուհետև մենք ստանում ենք՝ S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2:

Ստացված բանաձևը որոշ չափով դժվար է, սակայն S mn գումարը կախված է միայն n, m, a 1 և d-ից: Մեր դեպքում a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8: Փոխարինելով այս թվերը, մենք ստանում ենք S mn = 301:

Ինչպես երևում է վերը նշված լուծումներից, բոլոր խնդիրները հիմնված են n-րդ անդամի արտահայտության և առաջին անդամների բազմության գումարի բանաձևի իմացության վրա: Նախքան այս խնդիրներից որևէ մեկի լուծումը սկսելը, խորհուրդ է տրվում ուշադիր կարդալ պայմանը, հստակ հասկանալ, թե ինչ է պետք գտնել, և միայն դրանից հետո շարունակել լուծումը:

Մեկ այլ հուշում է ձգտել պարզության, այսինքն, եթե դուք կարող եք պատասխանել հարցին առանց բարդ մաթեմատիկական հաշվարկներ օգտագործելու, ապա ձեզ հարկավոր է դա անել, քանի որ այս դեպքում սխալվելու հավանականությունն ավելի քիչ է: Օրինակ, թիվ 6 լուծումով թվաբանական առաջընթացի օրինակում կարելի էր կանգ առնել S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m բանաձևի վրա և. ընդհանուր խնդիրը բաժանեք առանձին ենթաառաջադրանքների (այս դեպքում նախ գտեք a n և a m տերմինները):

Ստացված արդյունքի վերաբերյալ կասկածներ ունենալու դեպքում խորհուրդ է տրվում ստուգել այն, ինչպես արվել է բերված որոշ օրինակներում։ Մենք պարզեցինք, թե ինչպես կարելի է գտնել թվաբանական առաջընթաց: Եթե ​​դուք դա պարզեք, դա այնքան էլ դժվար չէ:

Նախքան մենք սկսում ենք որոշել թվաբանական առաջընթացի խնդիրներ, եկեք դիտարկենք, թե ինչ է թվային հաջորդականությունը, քանի որ թվաբանական առաջընթացը թվային հաջորդականության հատուկ դեպք է։

Թվային հաջորդականությունը թվային բազմություն է, որի յուրաքանչյուր տարր ունի իր սեփականը սերիական համար . Այս բազմության տարրերը կոչվում են հաջորդականության անդամներ։ Հերթական տարրի սերիական համարը նշվում է ինդեքսով.

Հերթականության առաջին տարրը;

Հերթականության հինգերորդ տարրը;

- հաջորդականության «n-րդ» տարրը, այսինքն. «հերթում կանգնած» տարրը թիվ n-ում:

Կա հարաբերություն հաջորդականության տարրի արժեքի և դրա հաջորդական համարի միջև: Հետևաբար հաջորդականությունը կարող ենք դիտարկել որպես ֆունկցիա, որի արգումենտը հաջորդականության տարրի հերթական թիվն է։ Այսինքն՝ կարելի է դա ասել հաջորդականությունը բնական փաստարկի ֆունկցիա է.

Հերթականությունը կարող է սահմանվել երեք եղանակով.

1 . Հերթականությունը կարելի է սահմանել աղյուսակի միջոցով:Այս դեպքում մենք պարզապես սահմանում ենք հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամի արժեքը:

Օրինակ, ինչ-որ մեկը որոշել է զբաղվել ժամանակի անձնական կառավարմամբ և սկսելու համար հաշվել, թե շաբաթվա ընթացքում որքան ժամանակ է նա ծախսում VKontakte-ում: Աղյուսակում գրանցելով ժամանակը, նա կստանա յոթ տարրերից բաղկացած հաջորդականություն.

Աղյուսակի առաջին տողում նշվում է շաբաթվա օրվա թիվը, երկրորդը` ժամը րոպեներով: Մենք տեսնում ենք, որ, այսինքն՝ երկուշաբթի, ինչ-որ մեկը VKontakte-ում ծախսել է 125 րոպե, այսինքն՝ հինգշաբթի օրը՝ 248 րոպե, իսկ, այսինքն՝ ուրբաթ օրը՝ ընդամենը 15։

2 . Հաջորդականությունը կարելի է ճշտել՝ օգտագործելով n-րդ տերմինի բանաձևը:

Այս դեպքում հաջորդականության տարրի արժեքի կախվածությունը նրա թվից ուղղակիորեն արտահայտվում է բանաձևի տեսքով։

Օրինակ, եթե, ապա

Տրված թվով հաջորդականության տարրի արժեքը գտնելու համար տարրի թիվը փոխարինում ենք n-րդ անդամի բանաձևով։

Մենք նույնն ենք անում, եթե մեզ անհրաժեշտ է գտնել ֆունկցիայի արժեքը, եթե արգումենտի արժեքը հայտնի է: Մենք արգումենտի արժեքը փոխարինում ենք ֆունկցիայի հավասարման մեջ.

Եթե, օրինակ, , Դա

Եվս մեկ անգամ նշեմ, որ հաջորդականության մեջ, ի տարբերություն կամայական թվային ֆունկցիայի, արգումենտը կարող է լինել միայն բնական թիվ։

3 . Հերթականությունը կարելի է սահմանել՝ օգտագործելով բանաձև, որն արտահայտում է n հաջորդականության անդամի արժեքի կախվածությունը նախորդ անդամների արժեքներից: Այս դեպքում մեզ համար բավական չէ իմանալ միայն հաջորդականության անդամի թիվը՝ դրա արժեքը գտնելու համար։ Մենք պետք է նշենք հաջորդականության առաջին անդամը կամ առաջին մի քանի անդամները:

Օրինակ, հաշվի առեք հաջորդականությունը ,

Մենք կարող ենք գտնել հաջորդականության անդամների արժեքները հաջորդականությամբ, սկսած երրորդից.

Այսինքն՝ ամեն անգամ հաջորդականության n-րդ անդամի արժեքը գտնելու համար վերադառնում ենք նախորդ երկուսին։ Հաջորդականությունը նշելու այս մեթոդը կոչվում է կրկնվող, լատիներեն բառից կրկնել- վերադարձիր:

Այժմ մենք կարող ենք սահմանել թվաբանական առաջընթաց: Թվաբանական առաջընթացը թվային հաջորդականության պարզ հատուկ դեպք է:

Թվաբանական առաջընթաց թվային հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նույն թվին ավելացված նախորդին։

Համարը կոչվում է թվաբանական առաջընթացի տարբերություն. Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը կարող է լինել դրական, բացասական կամ հավասար զրոյի։

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} աճող.

Օրինակ, 2; 5; 8; տասնմեկ;...

Եթե ​​, ապա թվաբանական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ փոքր է նախորդից, և առաջընթացը՝ նվազում է.

Օրինակ, 2; -1; -4; -7;...

Եթե ​​, ապա պրոգրեսիայի բոլոր անդամները հավասար են նույն թվին, և պրոգրեսիան է ստացիոնար.

Օրինակ՝ 2;2;2;2;...

Թվաբանական առաջընթացի հիմնական հատկությունը.

Եկեք նայենք նկարին։

Մենք դա տեսնում ենք

, և միևնույն ժամանակ

Այս երկու հավասարությունները գումարելով՝ մենք ստանում ենք.

.

Եկեք հավասարության երկու կողմերը բաժանենք 2-ի.

Այսպիսով, թվաբանական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է երկու հարևանների միջին թվաբանականին.

Ավելին, քանի որ

, և միևնույն ժամանակ

, Դա

, եւ, հետեւաբար

Թվաբանական առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ՝ սկսած title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Երրորդ կիսամյակի բանաձևը.

Մենք տեսնում ենք, որ թվաբանական առաջընթացի պայմանները բավարարում են հետևյալ հարաբերությունները.

եւ, վերջապես

Մենք ստացանք n-րդ կիսամյակի բանաձևը.

ԿԱՐԵՎՈՐ!Թվաբանական առաջընթացի ցանկացած անդամ կարող է արտահայտվել և. Իմանալով առաջին անդամը և թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը, կարող եք գտնել դրա անդամներից որևէ մեկը:

Թվաբանական պրոգրեսիայի n անդամների գումարը։

Թվաբանական կամայական առաջընթացի դեպքում ծայրահեղներից հավասար հեռավորության վրա գտնվող տերմինների գումարները հավասար են միմյանց.

Դիտարկենք թվաբանական առաջընթացը n անդամով: Թող այս պրոգրեսիայի n անդամների գումարը հավասար լինի .

Առաջընթացի տերմինները դասավորենք սկզբում թվերի աճման, իսկ հետո նվազման կարգով.

Ավելացնենք զույգերով.

Յուրաքանչյուր փակագծի գումարը , զույգերի թիվը n է:

Մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, թվաբանական պրոգրեսիայի n տերմինների գումարը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

Եկեք դիտարկենք թվաբանական առաջընթացի խնդիրների լուծում.

1 . Հաջորդականությունը տրված է n-րդ անդամի բանաձևով. . Ապացուցեք, որ այս հաջորդականությունը թվաբանական առաջընթաց է:

Փաստենք, որ հաջորդականության երկու հարակից անդամների տարբերությունը հավասար է նույն թվին։

Մենք պարզեցինք, որ հաջորդականության երկու հարևան անդամների միջև տարբերությունը կախված չէ նրանց թվից և հաստատուն է: Հետևաբար, ըստ սահմանման, այս հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է։

2 . Հաշվի առնելով թվաբանական առաջընթացը -31; -27;...

ա) Գտե՛ք առաջընթացի 31 անդամ.

բ) Որոշեք, թե արդյոք 41 թիվը ներառված է այս առաջընթացի մեջ:

Ա)Մենք տեսնում ենք, որ;

Եկեք գրենք մեր առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը:

Ընդհանուր առմամբ

Մեր դեպքում , Ահա թե ինչու

Թվաբանական առաջընթացանվանել թվերի հաջորդականություն (առաջընթացի պայմաններ)

Որում յուրաքանչյուր հաջորդ տերմինը նախորդից տարբերվում է նոր տերմինով, որը նաև կոչվում է քայլի կամ առաջընթացի տարբերություն.

Այսպիսով, նշելով առաջընթացի քայլը և դրա առաջին տերմինը, կարող եք գտնել դրա ցանկացած տարր՝ օգտագործելով բանաձևը

Թվաբանական առաջընթացի հատկությունները

1) Թվաբանական առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդ թվից, առաջընթացի նախորդ և հաջորդ անդամների թվաբանական միջինն է.

Ճիշտ է նաև հակառակը. Եթե ​​պրոգրեսիայի հարակից կենտ (զույգ) անդամների թվաբանական միջինը հավասար է նրանց միջև եղած անդամին, ապա թվերի այս հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է։ Օգտագործելով այս հայտարարությունը, շատ հեշտ է ստուգել ցանկացած հաջորդականություն:

Նաև, ըստ թվաբանական առաջընթացի հատկության, վերը նշված բանաձևը կարելի է ընդհանրացնել հետևյալի վրա

Սա հեշտ է ստուգել, ​​եթե հավասարության նշանի աջ կողմում գրեք պայմանները

Այն հաճախ օգտագործվում է պրակտիկայում խնդիրներում հաշվարկները պարզեցնելու համար:

2) Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը հաշվարկվում է բանաձևով

Լավ հիշեք թվաբանական առաջընթացի գումարի բանաձևը, այն անփոխարինելի է հաշվարկներում և բավականին հաճախ հանդիպում է պարզ կյանքի իրավիճակներում:

3) Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել ոչ թե ամբողջ գումարը, այլ հաջորդականության մի մասը՝ սկսած իր k-րդ անդամից, ապա ձեզ օգտակար կլինի գումարի հետևյալ բանաձևը.

4) Գործնական հետաքրքրություն է ներկայացնում k-րդ թվից սկսած թվաբանական առաջընթացի n անդամների գումարը գտնելը: Դա անելու համար օգտագործեք բանաձևը

Սա եզրափակում է տեսական նյութը և անցնում գործնականում ընդհանուր խնդիրների լուծմանը։

Օրինակ 1. Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի քառասուներորդ անդամը 4;7;...

Լուծում:

Ըստ մեր ունեցած պայմանի

Եկեք որոշենք առաջընթացի քայլը

Օգտագործելով հայտնի բանաձևը, մենք գտնում ենք առաջընթացի քառասուներորդ անդամը

Օրինակ 2. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է նրա երրորդ և յոթերորդ անդամներով: Գտե՛ք առաջընթացի առաջին անդամը և տասը գումարը:

Լուծում:

Բանաձևերով գրենք առաջընթացի տրված տարրերը

Առաջինը հանում ենք երկրորդ հավասարումից, արդյունքում գտնում ենք առաջընթացի քայլը

Գտնված արժեքը փոխարինում ենք ցանկացած հավասարումով՝ թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը գտնելու համար

Մենք հաշվարկում ենք առաջընթացի առաջին տասը անդամների գումարը

Առանց բարդ հաշվարկների օգտագործման՝ մենք գտանք բոլոր պահանջվող քանակությունները։

Օրինակ 3. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է հայտարարով և նրա անդամներից մեկով: Գտե՛ք առաջընթացի առաջին անդամը, նրա 50 անդամների գումարը 50-ից սկսած և առաջին 100-ի գումարը։

Լուծում:

Գրենք պրոգրեսիայի հարյուրերորդ տարրի բանաձևը

և գտիր առաջինը

Առաջինի հիման վրա մենք գտնում ենք առաջընթացի 50-րդ տերմինը

Գտնելով առաջընթացի մասի գումարը

և առաջին 100-ի գումարը

Առաջընթացի գումարը 250 է։

Օրինակ 4.

Գտեք թվաբանական առաջընթացի անդամների թիվը, եթե.

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111:

Լուծում:

Գրենք հավասարումները առաջին անդամի և առաջընթացի աստիճանով և որոշենք դրանք

Ստացված արժեքները փոխարինում ենք գումարի բանաձևով՝ գումարում տերմինների քանակը որոշելու համար

Մենք իրականացնում ենք պարզեցումներ

և լուծել քառակուսի հավասարումը

Գտնված երկու արժեքներից միայն 8 թիվը համապատասխանում է խնդրի պայմաններին: Այսպիսով, առաջընթացի առաջին ութ անդամների գումարը 111 է։

Օրինակ 5.

Լուծե՛ք հավասարումը

1+3+5+...+x=307.

Լուծում. Այս հավասարումը թվաբանական պրոգրեսիայի գումարն է: Եկեք դուրս գրենք դրա առաջին անդամը և գտնենք առաջընթացի տարբերությունը

Օրինակ, հաջորդականությունը \(2\); \(5\); \(8\); \(տասնմեկ\); \(14\)... թվաբանական պրոգրեսիա է, քանի որ յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը նախորդից տարբերվում է երեքով (նախորդից կարելի է ստանալ երեքը ավելացնելով).

Այս առաջընթացում \(d\) տարբերությունը դրական է (հավասար է \(3\)-ին), և հետևաբար յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ ավելի մեծ է, քան նախորդը: Նման առաջընթացները կոչվում են աճող.

Այնուամենայնիվ, \(d\)-ը կարող է լինել նաև բացասական թիվ։ Օրինակ, թվաբանական առաջընթացում \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... առաջընթացի տարբերությունը \(d\) հավասար է մինուս վեցի:

Եվ այս դեպքում յուրաքանչյուր հաջորդ տարր ավելի փոքր կլինի, քան նախորդը: Այս առաջընթացները կոչվում են նվազում է.

Թվաբանական առաջընթացի նշում

Առաջընթացը նշվում է փոքր լատինատառով:

Այն թվերը, որոնք կազմում են պրոգրեսիա, կոչվում են անդամներ(կամ տարրեր):

Նրանք նշվում են նույն տառով որպես թվաբանական առաջընթաց, բայց թվային ինդեքսով, որը հավասար է տարրի թվին ըստ հերթականության։

Օրինակ, թվաբանական առաջընթացը \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) բաղկացած է տարրերից \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) և այլն:

Այլ կերպ ասած, առաջընթացի համար \(a_n = \ձախ\(2; 5; 8; 11; 14…\աջ\)\)

Թվաբանական առաջընթացի խնդիրների լուծում

Սկզբունքորեն, վերը ներկայացված տեղեկատվությունը արդեն բավական է թվաբանական պրոգրեսիայի գրեթե ցանկացած խնդիր լուծելու համար (ներառյալ OGE-ում առաջարկվողները):

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը որոշվում է \(b_1=7; d=4\) պայմաններով: Գտեք \(b_5\):
Լուծում:

Պատասխան. \(b_5=23\)

Օրինակ (OGE): Տրված են թվաբանական առաջընթացի առաջին երեք անդամները՝ \(62; 49; 36…\) Գտե՛ք այս առաջընթացի առաջին բացասական անդամի արժեքը։
Լուծում:

Պատասխան. \(-3\)

Օրինակ (OGE): Հաշվի առնելով թվաբանական առաջընթացի մի քանի հաջորդական տարրեր. \(…5; x; 10; 12.5...\) Գտեք \(x\) տառով նշանակված տարրի արժեքը:
Լուծում:

Պատասխան. \(7,5\).

Օրինակ (OGE): Տրված է թվաբանական առաջընթաց հետևյալ պայմանները\(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Գտե՛ք այս պրոգրեսիայի առաջին վեց անդամների գումարը:
Լուծում:

Պատասխան. \(S_6=9\):

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացում \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\): Գտեք այս առաջընթացի տարբերությունը:
Լուծում:

Պատասխան. \(d=7\):

Թվաբանական առաջընթացի կարևոր բանաձևեր

Ինչպես տեսնում եք, թվաբանական առաջընթացի հետ կապված շատ խնդիրներ կարելի է լուծել՝ պարզապես հասկանալով հիմնականը. առաջընթացի տարբերություն):

Այնուամենայնիվ, երբեմն լինում են իրավիճակներ, երբ «գլխով» որոշելը շատ անհարմար է: Օրինակ, պատկերացրեք, որ հենց առաջին օրինակում մենք պետք է գտնենք ոչ թե հինգերորդ տարրը \(b_5\), այլ երեք հարյուր ութսունվեցերորդ \(b_(386)\): Չորս \(385\) անգամ ավելացնե՞նք։ Կամ պատկերացրեք, որ նախավերջին օրինակում պետք է գտնել առաջին յոթանասուներեք տարրերի գումարը։ Դուք կհոգնեք հաշվել...

Հետևաբար, նման դեպքերում նրանք «գլխով» չեն լուծում, այլ օգտագործում են թվաբանական առաջընթացի համար ստացված հատուկ բանաձևեր։ Իսկ հիմնականներն են առաջընթացի n-րդ անդամի և \(n\) առաջին անդամների գումարի բանաձևը։

\(n\)-րդ անդամի բանաձևը. \(a_n=a_1+(n-1)d\), որտեղ \(a_1\) առաջընթացի առաջին անդամն է;
\(n\) – պահանջվող տարրի համարը;
\(a_n\) - առաջընթացի ժամկետ \(n\) թվով:

Այս բանաձևը թույլ է տալիս արագ գտնել նույնիսկ երեք հարյուրերորդ կամ միլիոներորդ տարրը՝ իմանալով միայն առաջինը և առաջընթացի տարբերությունը։

Օրինակ. Թվաբանական առաջընթացը որոշվում է հետևյալ պայմաններով. \(b_1=-159\); \(d=8.2\): Գտեք \(b_(246)\):
Լուծում:

Պատասխան. \(b_(246)=1850\):

Առաջին n տերմինների գումարի բանաձևը՝ \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), որտեղ

\(a_n\) – վերջին ամփոփված ժամկետը;

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը որոշվում է \(a_n=3.4n-0.6\) պայմաններով: Գտեք այս առաջընթացի առաջին \(25\) անդամների գումարը:
Լուծում:

Պատասխան. \(S_(25)=1090\):

Առաջին անդամների \(n\) գումարի համար կարող եք ստանալ մեկ այլ բանաձև. պարզապես անհրաժեշտ է \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\)-ի փոխարեն փոխարինեք դրա բանաձևը \(a_n=a_1+(n-1)d\): Մենք ստանում ենք.

Առաջին n տերմինների գումարի բանաձևը՝ \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), որտեղ

\(S_n\) – \(n\) առաջին տարրերի պահանջվող գումարը;
\(a_1\) – առաջին ամփոփված տերմինը;
\(d\) - առաջընթացի տարբերություն;
\(n\) - տարրերի ընդհանուր քանակ:

Օրինակ. Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին \(33\)-նախ անդամների գումարը՝ \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Լուծում:

Պատասխան. \(S_(33)=-231\):

Ավելի բարդ թվաբանական առաջընթացի խնդիրներ

Այժմ դուք ունեք բոլոր անհրաժեշտ տեղեկությունները թվաբանական առաջընթացի գրեթե ցանկացած խնդիր լուծելու համար: Եկեք ավարտենք թեման՝ դիտարկելով խնդիրներ, որոնցում ոչ միայն պետք է կիրառել բանաձևեր, այլև մի փոքր մտածել (մաթեմատիկայի մեջ դա կարող է օգտակար լինել ☺)

Օրինակ (OGE): Գտեք առաջընթացի բոլոր բացասական անդամների գումարը. \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Լուծում:

Պատասխան. \(S_(65)=-630.5\):

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը որոշվում է հետևյալ պայմաններով. \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\): Գտե՛ք \(26\)րդից մինչև \(42\) տարրը ներառյալ գումարը:
Լուծում:

Պատասխան. \(S=1683\):

Թվաբանական առաջընթացի համար կան ևս մի քանի բանաձևեր, որոնք մենք չենք դիտարկել այս հոդվածում իրենց ցածր գործնական օգտակարության պատճառով: Այնուամենայնիվ, դուք հեշտությամբ կարող եք գտնել դրանք: