Դասի տեսակը՝ նոր նյութ սովորելու դաս։

Դասի նպատակը՝ թվաբանական պրոգրեսիա հասկացության ձևավորում՝ որպես հաջորդականության տեսակներից մեկը, n-րդ անդամի բանաձևի ստացում, թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների բնութագրական հատկությունների ծանոթացում։ Խնդրի լուծում.

Դասի նպատակները.

• Ուսումնական- ներկայացնել թվաբանական առաջընթացի հասկացությունները. n-րդ տերմինի բանաձևեր; բնորոշ հատկություն, որն ունեն թվաբանական պրոգրեսիաների անդամները:
• Զարգացնող- զարգացնել մաթեմատիկական հասկացությունները համեմատելու, նմանություններ և տարբերություններ գտնելու, դիտարկելու, օրինաչափությունները նկատելու և անալոգիայի միջոցով տրամաբանելու կարողություն. զարգացնել որոշ իրական իրավիճակի մաթեմատիկական մոդել կառուցելու և մեկնաբանելու կարողություն:
• Ուսումնական- խթանել հետաքրքրությունը մաթեմատիկայի և դրա կիրառությունների, գործունեության, հաղորդակցվելու և սեփական տեսակետները բանականությամբ պաշտպանելու կարողության նկատմամբ:

Սարքավորումներ՝ համակարգիչ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, ներկայացում (Հավելված 1)

Դասագրքեր: Հանրահաշիվ 9, Յու.Ն.Մինդյուկ, Կ.Ն., Սուվորով, խմբ.

Դասի պլան:

1. Կազմակերպչական պահ, առաջադրանքների կարգավորում
2. Գիտելիքների թարմացում, բանավոր աշխատանք
3. Նոր նյութ սովորելը
4. Առաջնային համախմբում
5. Ամփոփելով դասը
6. Տնային աշխատանք

Նյութի հետ աշխատելու պարզությունն ու հեշտությունը բարձրացնելու նպատակով դասն ուղեկցվում է ներկայացմամբ։ Սակայն դա պահանջ չէ, և նույն դասը կարելի է անցկացնել մուլտիմեդիա սարքավորումներով չհագեցված դասարաններում: Այդ նպատակով անհրաժեշտ տվյալները կարող են պատրաստվել գրատախտակին կամ աղյուսակների և պաստառների տեսքով:

Դասերի ժամանակ

I. Կազմակերպչական պահ, խնդրի դրույթ:

Ողջույններ.

Այսօրվա դասի թեման թվաբանական առաջընթացն է։ Այս դասում մենք կիմանանք, թե ինչ է թվաբանական առաջընթացը, ինչ ընդհանուր ձև ունի այն, մենք կպարզենք, թե ինչպես կարելի է տարբերել թվաբանական առաջընթացը այլ հաջորդականություններից և լուծել խնդիրներ, որոնք օգտագործում են թվաբանական առաջընթացի հատկությունները:

II. Գիտելիքների թարմացում, բանավոր աշխատանք.

() հաջորդականությունը տրվում է բանաձևով՝ =. Ի՞նչ թիվ ունի այս հաջորդականության անդամը, եթե այն 144 է: 225? 100? Արդյո՞ք թվերը այս հաջորդականության 48 անդամն են: 49? 168?

() հաջորդականության մասին հայտնի է, որ. . Ինչպե՞ս է կոչվում հաջորդականությունը ճշտելու այս մեթոդը: Գտե՛ք այս հաջորդականության առաջին չորս անդամները:

() հաջորդականության մասին հայտնի է, որ . Ինչպե՞ս է կոչվում հաջորդականությունը ճշտելու այս մեթոդը: Գտնել, եթե?

III. Նոր նյութ սովորելը.

Պրոգրեսիան մեծությունների հաջորդականություն է, որոնցից յուրաքանչյուրը որոշակի կախվածության մեջ է նախորդից՝ ընդհանուր ողջ պրոգրեսիայի համար։ Տերմինն այժմ հիմնականում հնացած է և հանդիպում է միայն «թվաբանական առաջընթացի» և «երկրաչափական առաջընթացի» համակցություններում։

«Պրոգրեսիա» տերմինը լատինական ծագում ունի (progression, որը նշանակում է «առաջ շարժվել») և ներմուծվել է հռոմեացի հեղինակ Բոեթիուսի կողմից (6-րդ դար)։ Մաթեմատիկայի մեջ այս տերմինը նախկինում օգտագործվում էր թվերի ցանկացած հաջորդականության համար, որը կառուցված է օրենքի համաձայն, որը թույլ է տալիս այս հաջորդականությունը անորոշ շարունակել մեկ ուղղությամբ։ Ներկայումս «առաջընթաց» տերմինն ի սկզբանե լայն իմաստովչի օգտագործվում. Առաջընթացների երկու կարևոր առանձնահատուկ տեսակներ՝ թվաբանական և երկրաչափական, պահպանել են իրենց անունները:

Դիտարկենք թվերի հաջորդականությունը.

• 2, 6, 10, 14, 18, :.
• 11, 8, 5, 2, -1, :.
• 5, 5, 5, 5, 5, :.

Ո՞րն է առաջին հաջորդականության երրորդ անդամը: Հետագա անդամ. Նախորդ անդամ. Ո՞րն է տարբերությունը երկրորդ և առաջին տերմինների միջև: Երրորդ և երկրորդ անդամները. Չորրորդ և երրորդ.

Եթե ​​հաջորդականությունը կառուցված է նույն օրենքի համաձայն, եզրակացրեք, թե որն է տարբերությունը առաջին հաջորդականության վեցերորդ և հինգերորդ անդամների միջև: Յոթի և վեցի միջև.

Անվանե՛ք յուրաքանչյուր հաջորդականության հաջորդ երկու անդամները: Ինչու ես այդպես կարծում?

(Ուսանողների պատասխանները)

Ինչ ընդհանուր սեփականությունունե՞ն այս հաջորդականությունները: Նշեք այս գույքը:

(Ուսանողների պատասխանները)

Այս հատկությունն ունեցող թվային հաջորդականությունները կոչվում են թվաբանական առաջընթացներ։ Հրավիրեք ուսանողներին իրենք փորձել ձևակերպել սահմանումը:

Թվաբանական առաջընթացի սահմանումը. թվաբանական առաջընթացը այն հաջորդականությունն է, որում յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նույն թվին ավելացված նախորդին.

(- թվաբանական առաջընթաց, եթե , որտեղ է ինչ-որ թիվ:

Թիվ դ, ցույց տալով, թե հաջորդականության հաջորդ անդամը որքանով է տարբերվում նախորդից, կոչվում է պրոգրեսիայի տարբերություն.

Եկեք նորից նայենք հաջորդականություններին և խոսենք տարբերությունների մասին: Ի՞նչ հատկանիշներ ունի յուրաքանչյուր հաջորդականություն և ինչի՞ հետ են դրանք կապված:

Եթե ​​թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը դրական է, ապա առաջընթացն աճում է՝ 2, 6, 10, 14, 18, :: (

Եթե ​​թվաբանական առաջընթացում տարբերությունը բացասական է ( , ապա առաջընթացը նվազում է՝ 11, 8, 5, 2, -1, :. (

Եթե ​​տարբերությունը զրո է () և պրոգրեսիայի բոլոր անդամները հավասար են նույն թվին, ապա հաջորդականությունը կոչվում է անշարժ՝ 5, 5, 5, 5, ::

Ինչպե՞ս սահմանել թվաբանական առաջընթաց: Դիտարկենք հետևյալ խնդիրը.

Առաջադրանք. 1-ին պահեստում կար 50 տոննա ածուխ։ Մեկ ամսվա ընթացքում ամեն օր պահեստ է հասնում 3 տոննա ածուխով բեռնատարը։ Որքա՞ն ածուխ կլինի պահեստում 30-ին, եթե այս ընթացքում պահեստից ածուխ չի սպառվել։

Եթե ​​յուրաքանչյուր թվի համար գրենք պահեստում եղած ածուխի քանակը, ապա կստանանք թվաբանական պրոգրեսիա։ Ինչպե՞ս լուծել այս խնդիրը: Դուք իսկապես պետք է հաշվարկեք ածուխի քանակը ամսվա յուրաքանչյուր օրվա համար: Հնարավո՞ր է ինչ-որ կերպ անել առանց դրա: Նշենք, որ մինչև 30-ը պահեստ կժամանի ածուխով 29 մեքենա։ Այսպիսով, 30-ին պահեստում կլինի 50 + 329 = 137 տոննա ածուխ։

Այսպիսով, իմանալով թվաբանական պրոգրեսիայի միայն առաջին անդամը և տարբերությունը, մենք կարող ենք գտնել հաջորդականության ցանկացած անդամ: Մի՞շտ է այդպես։

Եկեք վերլուծենք, թե ինչպես է հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ կախված առաջին անդամից և տարբերությունից.

Այսպիսով, մենք ստացել ենք թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը.

Օրինակ 1. Հաջորդականությունը () թվաբանական պրոգրեսիա է։ Գտեք եթե և.

Օգտագործենք n-րդ անդամի բանաձևը ,

Պատասխան՝ 260։

Հաշվի առեք հետևյալ խնդիրը.

Թվաբանական պրոգրեսիայում ջնջվել են զույգ տերմինները՝ 3, :, 7, :, 13. Հնարավո՞ր է վերականգնել կորցրած թվերը։

Ուսանողները, հավանաբար, նախ կհաշվարկեն առաջընթացի տարբերությունը, ապա կգտնեն առաջընթացի անհայտ պայմանները: Այնուհետև կարող եք խնդրել նրանց գտնել հաջորդականության անհայտ անդամի, նախորդի և հաջորդի հարաբերությունները:

Լուծում:Եկեք օգտվենք այն հանգամանքից, որ թվաբանական առաջընթացում հարևան տերմինների միջև տարբերությունը հաստատուն է: Թող լինի հաջորդականության ցանկալի անդամը: Հետո

Մեկնաբանություն.Թվաբանական պրոգրեսիայի այս հատկությունը նրա բնորոշ հատկությունն է։ Սա նշանակում է, որ ցանկացած թվաբանական առաջընթացում յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ և հաջորդների միջին թվաբանականին ( . Եվ, ընդհակառակը, ցանկացած հաջորդականություն, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդների և հաջորդների միջին թվաբանականին, թվաբանական պրոգրեսիա է։

IV. Առաջնային համախմբում.

• Թիվ 575 աբ - բանավոր
• Թիվ 576 ավդ - բանավոր
• Թիվ 577բ - ինքնուրույն ստուգմամբ

Հերթականությունը (թվաբանական պրոգրեսիա է։ Գտե՛ք, եթե և

Եկեք օգտագործենք n-րդ անդամի բանաձևը.

Պատասխան՝ -24.2.

Գտե՛ք -8 թվաբանական պրոգրեսիայի 23-րդ և n-րդ անդամները; -6,5; :

Լուծում:Թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը -8 է։ Գտնենք թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը դա անելու համար հաջորդականության հաջորդ անդամից պետք է հանենք նախորդը՝ -6.5-(-8) = 1.5;

Օգտագործենք n-րդ անդամի բանաձևը.

Դաս և ներկայացում «Թվերի հաջորդականություններ. Թվաբանական առաջընթաց» թեմայով.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, ակնարկները, ցանկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվել են հակավիրուսային ծրագրով։

Ուսումնական միջոցներ «Ինտեգրալ» առցանց խանութում 9-րդ դասարանի դասագրքերի համար
Մակարիչևա Յու.Ն. Ալիմովա Շ.Ա. Մորդկովիչ Ա.Գ. Մուրավինա Գ.Կ.

Այսպիսով, ինչ է թվաբանական առաջընթացը:

Թվային հաջորդականությունը, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդի և որոշ ֆիքսված թվերի գումարին, կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա։

Թվաբանական առաջընթաց- պարբերաբար տրված թվային առաջընթաց:

Եկեք գրենք կրկնվող ձևը՝ $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, թիվ d – առաջընթացի տարբերություն: a և d-ն որոշակի տրված թվեր են:

Օրինակ։ 1,4,7,10,13,16... Թվաբանական առաջընթաց $a=1, d=3$-ով:

Օրինակ։ 3,0,-3,-6,-9... Թվաբանական պրոգրեսիա $a=3, d=-3$-ով:

Օրինակ։ 5,5,5,5,5... Թվաբանական պրոգրեսիա $a=5, d=0$-ով։

Թվաբանական պրոգրեսիան ունի միապաղաղության հատկություններ. եթե առաջընթացի տարբերությունը մեծ է զրոյից, ապա հաջորդականությունը մեծանում է, եթե առաջընթացի տարբերությունը փոքր է զրոյից, ապա հաջորդականությունը նվազում է։

Եթե ​​թվաբանական պրոգրեսիան ունի վերջավոր թվով տարրեր, ապա պրոգրեսիան կոչվում է վերջավոր թվաբանական պրոգրեսիա։

Եթե ​​տրված է $a_(n)$ հաջորդականություն, և այն թվաբանական առաջընթաց է, ապա ընդունված է նշել՝ $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$:

Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը

Եկեք վերադառնանք մեր օրինակներին և գրենք մեր բանաձևը յուրաքանչյուր օրինակի համար:

Օրինակ։ 1,4,7,10,13,16... Թվաբանական պրոգրեսիա, որում a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$:

Օրինակ։ 3,0,-3,-6,-9... Թվաբանական պրոգրեսիա, որի համար a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$:

Օրինակ։ Հաշվի առնելով թվաբանական առաջընթացը՝ $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$:
ա) Հայտնի է, որ $a_(1)=5$, $d=3$։ Գտեք $a_(23)$:
բ) Հայտնի է, որ $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$: Գտեք n.
գ) Հայտնի է, որ $d=-1$, $a_(22)=15$։ Գտեք $a_(1)$:
դ) Հայտնի է, որ $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$: Գտեք դ.
Լուծում.
ա) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$:
բ) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$:
$5n=110=>n=22$:
գ) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$:
դ) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$:

Օրինակ։ Թվաբանական պրոգրեսիայի իններորդ անդամը երկրորդ անդամի վրա բաժանելիս գործակիցը մնում է 7, իսկ իններորդ անդամը հինգերորդի վրա բաժանելիս գործակիցը 2 է, իսկ մնացորդը՝ 5։ Գտե՛ք պրոգրեսիայի երեսուներորդ անդամը։
Լուծում.
Եկեք հաջորդաբար գրենք մեր առաջընթացի 2,5 և 9 անդամները:
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$:
$a_(9)=a_(1)+8d$:
Պայմանից մենք նաև գիտենք.
$a_(9)=7a_(2)$:
$a_(9)=2a_(5)+5$:
Կամ:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$:
Եկեք ստեղծենք հավասարումների համակարգ.
$\սկիզբ(դեպքեր)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\վերջ (դեպքեր)$.
$\սկիզբ(դեպքեր)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\վերջ(դեպքեր)$:
Համակարգը լուծելով՝ ստանում ենք $d=6, a_(1)=1$։
Եկեք գտնենք $a_(30)$:
$a_(30)=a_(1)+29d=175$:

Վերջավոր թվաբանական առաջընթացի գումարը

Մեզ տրվի 1,2,3,4,5...100 թվաբանական պրոգրեսիա։
Ապա ներկայացնենք նրա անդամների գումարն այսպես.
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Բայց նմանատիպ բանաձևը կիրառելի է ցանկացած թվաբանական առաջընթացի համար.
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$:
Գրենք մեր բանաձևը ընդհանուր դեպքում՝ $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, որտեղ $k<1$.
Բերենք թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների գումարը հաշվարկելու բանաձևը, բանաձևը գրենք երկու անգամ տարբեր կարգերով.
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$:
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$:
Եկեք միասին ավելացնենք այս բանաձևերը.
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
Մեր հավասարության աջ կողմում կա n տերմին, և մենք գիտենք, որ դրանցից յուրաքանչյուրը հավասար է $a_(1)+a_(n)$-ի:
Ապա.
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$:
Մեր բանաձևը կարող է նաև վերաշարադրվել հետևյալ ձևով. քանի որ $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
ապա $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$:
Ամենից հաճախ ավելի հարմար է օգտագործել այս հատուկ բանաձևը, ուստի լավ է հիշել այն:

Օրինակ։ Տրված է վերջավոր թվաբանական պրոգրեսիա։
Գտնել.
ա) $s_(22), եթե a_(1)=7, d=2$:
բ) դ, եթե $a_(1)=9$, $s_(8)=144$:
Լուծում.
ա) Օգտագործենք գումարի երկրորդ բանաձևը $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 = 616 դոլար:
բ) Այս օրինակում մենք կօգտագործենք առաջին բանաձևը՝ $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$:
$144=36+4a_(8)$:
$a_(8)=27$:
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$:
$d=2\frac(4)(7)$:

Օրինակ։ Գտե՛ք բոլոր կենտ երկնիշ թվերի գումարը:
Լուծում.
Մեր առաջընթացի պայմաններն են՝ $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$:
Գտնենք առաջընթացի վերջին անդամի թիվը.
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$:
$99=11+2(n-1)$։
$n=45$:
Հիմա եկեք գտնենք գումարը՝ $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$:

Օրինակ։ Տղաները գնացին արշավի։ Հայտնի է, որ առաջին ժամին նրանք քայլել են 500 մ, որից հետո սկսել են քայլել 25 մետրով պակաս, քան առաջին ժամին։ Քանի՞ ժամ կպահանջվի նրանցից 2975 մետրը հաղթահարելու համար:
Լուծում.
Յուրաքանչյուր ժամում անցած ճանապարհը կարող է ներկայացվել որպես թվաբանական առաջընթաց.
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$:
Թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը $d=-25$ է։
2975 մետրով անցած տարածությունը թվաբանական առաջընթացի տերմինների գումարն է։
$S_(n)=2975$, որտեղ n-ը ճամփորդության վրա ծախսված ժամերն են:
Ապա.
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$:
$1000n-25(n-1)n=$5950:
Երկու կողմերն էլ բաժանեք 25-ի։
$40n-(n-1)n=$238:
$n^2-41n+238=0$:
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$:
Ակնհայտ է, որ ավելի տրամաբանական է ընտրել $n=7$։
Պատասխանել. Տղաները 7 ժամ ճանապարհին էին.

Թվաբանական պրոգրեսիայի բնորոշ հատկությունը

Եթե ​​առաջընթացը վերջավոր է, ապա այս հավասարությունը գործում է բոլոր անդամների համար, բացի առաջինից և վերջինից:
Եթե ​​նախապես հայտնի չէ, թե ինչ ձև ունի հաջորդականությունը, բայց հայտնի է, որ $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$։
Ապա մենք կարող ենք վստահորեն ասել, որ սա թվաբանական առաջընթաց է:

Թվային հաջորդականությունը թվաբանական առաջընթաց է, երբ այս առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ հավասար է մեր առաջընթացի երկու հարևան անդամների թվաբանական միջինին (մի մոռացեք, որ վերջավոր առաջընթացի համար այս պայմանը բավարարված չէ առաջընթացի առաջին և վերջին անդամի համար) .

Օրինակ։ Գտեք x այնպես, որ $3x+2$; $ x-1 $; $4x+3$ – թվաբանական առաջընթացի երեք անընդմեջ անդամ:
Լուծում. Եկեք օգտագործենք մեր բանաձևը.
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$:
$2x-2=7x+5$:
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1,4$:
Եկեք ստուգենք, մեր արտահայտությունները կունենան ձև՝ -2,2; -2.4; -2.6.
Ակնհայտ է, որ դրանք թվաբանական առաջընթացի պայմաններ են և $d=-0.2$:

Ինքնուրույն լուծելու խնդիրներ

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
նյութեր 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր շատ «ոչ շատ ...» են:
Եվ նրանց համար, ովքեր «շատ ...»)

Թվաբանական առաջընթացը թվերի մի շարք է, որոնցում յուրաքանչյուր թիվ նույնքանով մեծ է (կամ փոքր), քան նախորդը։

Այս թեման հաճախ բարդ և անհասկանալի է թվում: Տառերի ինդեքսները, առաջընթացի n-րդ անդամը, առաջընթացի տարբերությունը - այս ամենը ինչ-որ տեղ շփոթեցնող է, այո... Եկեք պարզենք թվաբանական առաջընթացի իմաստը և ամեն ինչ անմիջապես կլավանա:)

Թվաբանական առաջընթացի հայեցակարգը.

Թվաբանական առաջընթացը շատ պարզ և հստակ հասկացություն է։ Դուք կասկածներ ունե՞ք։ Իզուր։) Ինքներդ տես։

Ես կգրեմ թվերի անավարտ շարք.

1, 2, 3, 4, 5, ...

Կարող եք երկարացնել այս շարքը: Ո՞ր թվերն են լինելու հաջորդ՝ հինգից հետո։ Բոլորը... հը..., մի խոսքով, բոլորը կհասկանան, որ հաջորդը լինելու են 6, 7, 8, 9 և այլն թվերը։

Եկեք բարդացնենք խնդիրը. Ես ձեզ տալիս եմ թվերի անավարտ շարք.

2, 5, 8, 11, 14, ...

Դուք կկարողանաք որսալ օրինակը, երկարացնել շարքը և անվանել յոթերորդշարքի համարը?

Եթե ​​հասկացաք, որ այս թիվը 20 է, շնորհավորում ենք։ Ոչ միայն դուք զգացիք թվաբանական առաջընթացի հիմնական կետերը,բայց նաև հաջողությամբ օգտագործեց դրանք բիզնեսում: Եթե ​​չեք հասկացել, կարդացեք:

Հիմա եկեք թարգմանենք հիմնական կետերը սենսացիաներից մաթեմատիկայի:

Առաջին առանցքային կետը.

Թվաբանական առաջընթացը վերաբերում է թվերի շարքին:Սա սկզբում շփոթեցնող է: Մենք սովոր ենք հավասարումներ լուծելու, գրաֆիկներ նկարելու և այդ ամենին... Բայց այստեղ մենք երկարացնում ենք շարքը, գտնում շարքի թիվը...

Ամեն ինչ կարգին է։ Պարզապես պրոգրեսիաները մաթեմատիկայի նոր ճյուղի հետ առաջին ծանոթությունն են։ Բաժինը կոչվում է «Սերիա» և աշխատում է հատուկ թվերի և արտահայտությունների հետ: Ընտելացեք դրան։)

Երկրորդ առանցքային կետը.

Թվաբանական առաջընթացում ցանկացած թիվ տարբերվում է նախորդից նույն չափով։

Առաջին օրինակում այս տարբերությունը մեկն է. Ինչ թիվ էլ վերցնես, նախորդից մեկով ավելի է։ Երկրորդում `երեք: Ցանկացած թիվ երեքով ավելի է նախորդից։ Փաստորեն, հենց այս պահն է մեզ հնարավորություն ըմբռնելու օրինաչափությունը և հաշվարկելու հաջորդ թվերը։

Երրորդ առանցքային կետը.

Այս պահը աչքի չի ընկնում, այո... Բայց շատ, շատ կարևոր է։ Ահա նա. Յուրաքանչյուր պրոգրեսիայի թիվ իր տեղում է:Կա առաջին համարը, կա յոթերորդը, կա քառասունհինգերորդը և այլն: Եթե ​​դրանք պատահականորեն խառնեք, օրինակը կվերանա: Թվաբանական առաջընթացը նույնպես կվերանա: Մնում է ընդամենը թվերի շարք:

Ամբողջ իմաստը դա է:

Իհարկե, նոր թեմայում հայտնվում են նոր տերմիններ և նշանակումներ։ Դուք պետք է իմանաք նրանց: Հակառակ դեպքում դուք չեք հասկանա առաջադրանքը: Օրինակ, դուք պետք է որոշեք նման բան.

Գրեք թվաբանական առաջընթացի առաջին վեց անդամները (a n), եթե a 2 = 5, d = -2,5:

Ոգեշնչող?) Նամակներ, որոշ ցուցիչներ... Իսկ առաջադրանքն, ի դեպ, ավելի պարզ լինել չէր կարող։ Պարզապես պետք է հասկանալ տերմինների և նշանակումների իմաստը: Այժմ մենք կյուրացնենք այս գործը և կվերադառնանք առաջադրանքին։

Պայմաններ և նշանակումներ.

Թվաբանական առաջընթացթվերի շարք է, որոնցում յուրաքանչյուր թիվ տարբերվում է նախորդից նույն չափով։

Այս քանակությունը կոչվում է . Եկեք նայենք այս հայեցակարգին ավելի մանրամասն:

Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.

Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունայն գումարն է, որով ցանկացած առաջընթացի թիվ ավելիննախորդը.

Մի կարևոր կետ. Խնդրում եմ ուշադրություն դարձրեք բառին «ավելին».Մաթեմատիկորեն սա նշանակում է, որ առաջընթացի յուրաքանչյուր թիվ է ավելացնելովթվաբանական առաջընթացի տարբերությունը նախորդ թվին:

Հաշվարկելու համար ասենք երկրորդշարքի համարները, դուք պետք է առաջինթիվ ավելացնելթվաբանական պրոգրեսիայի հենց այս տարբերությունը: Հաշվարկի համար հինգերորդ- տարբերությունն անհրաժեշտ է ավելացնելԴեպի չորրորդ,լավ և այլն:

Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունՄիգուցե դրական,ապա շարքի յուրաքանչյուր թիվ իրական կդառնա ավելի շատ, քան նախորդը:Այս առաջընթացը կոչվում է աճող։Օրինակ:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Այստեղ ստացվում է յուրաքանչյուր թիվ ավելացնելովդրական թիվ՝ +5 նախորդին։

Տարբերությունը կարող է լինել բացասական,ապա շարքի յուրաքանչյուր թիվ կլինի ավելի քիչ, քան նախորդը:Այս առաջընթացը կոչվում է (չեք հավատա!) նվազում է։

Օրինակ:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Այստեղ նույնպես ստացվում է յուրաքանչյուր թիվ ավելացնելովնախորդին, բայց արդեն բացասական թիվ՝ -5։

Ի դեպ, պրոգրեսիայի հետ աշխատելիս շատ օգտակար է անմիջապես որոշել դրա բնույթը` ավելանում է, թե նվազում: Սա մեծապես օգնում է կողմնորոշվել որոշման մեջ, նկատել ձեր սխալները և ուղղել դրանք, քանի դեռ ուշ չէ:

Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունսովորաբար նշվում է տառով դ.

Ինչպես գտնել դ? Շատ պարզ։ Շարքի ցանկացած թվից անհրաժեշտ է հանել նախորդթիվ։ հանել. Ի դեպ, հանման արդյունքը կոչվում է «տարբերություն»):

Եկեք սահմանենք, օրինակ. դթվաբանական առաջընթացի ավելացման համար.

2, 5, 8, 11, 14, ...

Վերցնում ենք մեր ուզած շարքի ցանկացած թիվ, օրինակ՝ 11։ Դրանից հանում ենք նախորդ համարըդրանք. 8:

Սա ճիշտ պատասխանն է։ Այս թվաբանական առաջընթացի համար տարբերությունը երեք է:

Դուք կարող եք վերցնել այն առաջընթացի ցանկացած թիվ,որովհետեւ կոնկրետ առաջընթացի համար դ-միշտ նույնը։Գոնե ինչ-որ տեղ շարքի սկզբում, թեկուզ մեջտեղում, թեկուզ ցանկացած տեղ։ Դուք չեք կարող վերցնել միայն առաջին համարը: Պարզապես այն պատճառով, որ հենց առաջին համարը ոչ մի նախորդ.)

Ի դեպ, դա իմանալով d=3, այս առաջընթացի յոթերորդ թիվը գտնելը շատ պարզ է: Հինգերորդ թվին գումարենք 3 - ստանում ենք վեցերորդը, կլինի 17։ Վեցերորդ թվին գումարենք երեք, ստանում ենք յոթերորդ թիվը՝ քսան։

Եկեք սահմանենք դնվազող թվաբանական առաջընթացի համար.

8; 3; -2; -7; -12; .....

Հիշեցնում եմ, որ, անկախ նշաններից, որոշել դանհրաժեշտ է ցանկացած համարից խլել նախորդը.Ընտրեք առաջընթացի ցանկացած թիվ, օրինակ -7: Նրա նախորդ թիվը -2 է։ Ապա.

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը կարող է լինել ցանկացած թիվ՝ ամբողջ թիվ, կոտորակային, իռացիոնալ, ցանկացած թիվ։

Այլ տերմիններ և նշանակումներ:

Շարքի յուրաքանչյուր թիվ կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ։

Առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ ունի իր համարը.Թվերը խիստ կարգավորված են՝ առանց որևէ հնարքների։ Առաջին, երկրորդ, երրորդ, չորրորդ և այլն: Օրինակ՝ 2, 5, 8, 11, 14, ... երկուսը առաջին անդամն է, հինգը՝ երկրորդը, տասնմեկը՝ չորրորդը, լավ, հասկանում եք...) Խնդրում եմ հստակ հասկացեք. թվերն իրենք ենկարող է լինել բացարձակապես ցանկացած, ամբողջ, կոտորակային, բացասական, ինչ էլ որ լինի, բայց թվերի համարակալում- խիստ կարգով:

Ինչպե՞ս գրել առաջընթացը ընդհանուր ձևով: Ոչ մի խնդիր! Շարքի յուրաքանչյուր թիվ գրվում է որպես տառ: Թվաբանական առաջընթացը նշելու համար սովորաբար օգտագործվում է տառը ա. Անդամի համարը նշվում է ներքևի աջ մասում գտնվող ինդեքսով: Մենք գրում ենք տերմիններ՝ բաժանված ստորակետերով (կամ ստորակետերով), այսպես.

ա 1, ա 2, ա 3, ա 4, ա 5, .....

ա 1- սա առաջին համարն է, ա 3- երրորդ և այլն: Ոչ մի շքեղ բան: Այս շարքը կարելի է հակիրճ գրել այսպես. (a n).

Առաջընթացներ են լինում վերջավոր և անսահման.

Վերջնականառաջընթացն ունի սահմանափակ թվով անդամներ: Հինգ, երեսունութ, ինչ էլ որ լինի: Բայց դա վերջավոր թիվ է:

Անսահմանառաջընթաց - ունի անսահման թվով անդամներ, ինչպես կարող եք կռահել:)

Դուք կարող եք գրել վերջնական առաջընթացը նման շարքի միջոցով, բոլոր տերմինները և վերջում մի կետ.

ա 1, ա 2, ա 3, ա 4, ա 5:

Կամ այսպես, եթե անդամները շատ են.

ա 1, ա 2, ... ա 14, ա 15:

Կարճ մուտքագրում դուք պետք է լրացուցիչ նշեք անդամների թիվը: Օրինակ (քսան անդամների համար), այսպես.

(a n), n = 20

Անսահման առաջընթացը կարելի է ճանաչել տողի վերջում գտնվող էլիպսիսով, ինչպես այս դասի օրինակներում:

Այժմ դուք կարող եք լուծել առաջադրանքները: Առաջադրանքները պարզ են՝ զուտ թվաբանական առաջընթացի իմաստը հասկանալու համար։

Թվաբանական առաջընթացի առաջադրանքների օրինակներ.

Եկեք մանրամասն նայենք վերը տրված առաջադրանքին.

1. Դուրս գրիր թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին վեց անդամները (a n), եթե a 2 = 5, d = -2,5:

Մենք առաջադրանքը թարգմանում ենք հասկանալի լեզվով: Տրված է անվերջ թվաբանական պրոգրեսիա։ Այս առաջընթացի երկրորդ թիվը հայտնի է. ա 2 = 5.Առաջընթացի տարբերությունը հայտնի է. դ = -2,5:Մենք պետք է գտնենք այս առաջընթացի առաջին, երրորդ, չորրորդ, հինգերորդ և վեցերորդ անդամները:

Պարզության համար գրեմ մի շարք՝ ըստ խնդրի պայմանների։ Առաջին վեց ժամկետները, որտեղ երկրորդ անդամը հինգն է.

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,...

ա 3 = ա 2 + դ

Փոխարինել արտահայտության մեջ ա 2 = 5Եվ դ = -2,5. Մի մոռացեք մինուսի մասին:

ա 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Երրորդ ժամկետը երկրորդից փոքր է ստացվել։ Ամեն ինչ տրամաբանական է. Եթե ​​թիվը մեծ է նախորդից բացասականարժեքը, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքնին պակաս կլինի նախորդից: Առաջընթացը նվազում է. Լավ, եկեք հաշվի առնենք:) Մենք հաշվում ենք մեր շարքի չորրորդ անդամը.

ա 4 = ա 3 + դ

ա 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

ա 5 = ա 4 + դ

ա 5=0+(-2,5)= - 2,5

ա 6 = ա 5 + դ

ա 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Այսպիսով, հաշվարկվել են երրորդից վեցերորդ ժամկետները։ Արդյունքը հետևյալ շարքն է.

ա 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Մնում է գտնել առաջին տերմինը ա 1ըստ հայտնի երկրորդի. Սա քայլ է մյուս ուղղությամբ՝ դեպի ձախ։) Այսպիսով՝ թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը դչպետք է ավելացվի ա 2, Ա վերցրու:

ա 1 = ա 2 - դ

ա 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

վերջ։ Առաջադրանքի պատասխան.

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Ընդ որում, ուզում եմ նշել, որ մենք լուծել ենք այս խնդիրը կրկնվողճանապարհ. Այս սարսափելի բառը նշանակում է միայն պրոգրեսիայի անդամի որոնում ըստ նախորդ (կից) թվի.Ստորև մենք կքննարկենք առաջընթացի հետ աշխատելու այլ եղանակներ:

Այս պարզ առաջադրանքից կարելի է մեկ կարևոր եզրակացություն անել.

Հիշեք.

Եթե ​​մենք գիտենք առնվազն մեկ անդամ և թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը, մենք կարող ենք գտնել այս առաջընթացի ցանկացած անդամ:

Հիշում ես? Այս պարզ եզրակացությունը թույլ է տալիս լուծել այս թեմայով դպրոցական դասընթացի խնդիրների մեծ մասը: Բոլոր առաջադրանքները պտտվում են երեք հիմնական պարամետրերի շուրջ. թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ, առաջընթացի տարբերություն, առաջընթացի անդամի թիվ։Բոլորը.

Իհարկե, բոլոր նախորդ հանրահաշիվները չեղյալ չեն հայտարարվում:) Անհավասարությունները, հավասարումները և այլ բաներ կցվում են պրոգրեսիային: Բայց ըստ ինքնին առաջընթացի- ամեն ինչ պտտվում է երեք պարամետրի շուրջ.

Որպես օրինակ, եկեք նայենք այս թեմայի վերաբերյալ հայտնի առաջադրանքներին:

2. Վերջավոր թվաբանական պրոգրեսիան գրի՛ր շարքով, եթե n=5, d = 0,4 և a 1 = 3,6։

Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. Ամեն ինչ արդեն տրված է։ Դուք պետք է հիշեք, թե ինչպես են հաշվում թվաբանական առաջընթացի պայմանները, հաշվեք դրանք և գրեք դրանք: Առաջադրանքի պայմաններում խորհուրդ է տրվում բաց չթողնել բառերը՝ «վերջնական» և « n=5«Որպեսզի չհաշվես, քանի դեռ դեմքդ ամբողջովին կապտած ես:) Այս պրոգրեսում ընդամենը 5 (հինգ) անդամ կա.

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

ա 4 = ա 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

ա 5 = ա 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Մնում է գրել պատասխանը.

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Մեկ այլ խնդիր.

3. Որոշեք, թե արդյոք 7 թիվը կլինի թվաբանական առաջընթացի անդամ (a n), եթե. ա 1 = 4,1; d = 1.2:

Հմմ... Ո՞վ գիտի: Ինչպե՞ս որոշել ինչ-որ բան:

Ո՞նց-ինչպես... Շարքի տեսքով գրի՛ր պրոգրեսիան ու տես՝ այնտեղ յոթ կլինի՞, թե՞ ոչ։ Մենք հաշվում ենք.

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

ա 4 = ա 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Հիմա պարզ երևում է, որ մենք ընդամենը յոթն ենք սայթաքել է 6.5-ի և 7.7-ի միջև: Յոթը չի մտնում մեր թվերի շարքի մեջ, և, հետևաբար, յոթը չի լինի տվյալ առաջընթացի անդամ։

Պատասխան՝ ոչ։

Եվ ահա GIA-ի իրական տարբերակի վրա հիմնված խնդիր.

4. Թվաբանական առաջընթացի մի քանի հաջորդական անդամներ դուրս են գրվում.

...; 15; X; 9; 6; ...

Ահա մի շարք գրված առանց վերջի և սկզբի. Անդամների թվեր չկան, տարբերություն չկա դ. Ամեն ինչ կարգին է։ Խնդիրը լուծելու համար բավական է հասկանալ թվաբանական առաջընթացի իմաստը։ Եկեք նայենք և տեսնենք, թե ինչ է հնարավոր իմանալայս շարքից? Որո՞նք են երեք հիմնական պարամետրերը:

Անդամների համարներ? Այստեղ ոչ մի թիվ չկա։

Բայց կան երեք թվեր և ուշադրություն: - խոսք «հետևողական»վիճակում։ Սա նշանակում է, որ թվերը խիստ կարգավորված են, առանց բացերի։ Այս շարքում երկուսը կա՞ն: հարեւանհայտնի թվեր? Այո, ունեմ! Սրանք 9 և 6 են։ Հետևաբար, մենք կարող ենք հաշվարկել թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը։ Վեցից հանել նախորդհամարը, այսինքն. ինը:

Մնացել են ընդամենը մանրուքներ։ Ո՞ր թիվը կլինի X-ի նախորդը: Տասնհինգ. Սա նշանակում է, որ X-ը կարելի է հեշտությամբ գտնել պարզ գումարման միջոցով: Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը ավելացրեք 15-ի.

Այսքանը: Պատասխան. x=12

Մենք ինքներս ենք լուծում հետևյալ խնդիրները. Նշում. այս խնդիրները հիմնված չեն բանաձևերի վրա: Զուտ թվաբանական առաջընթացի իմաստը հասկանալու համար:) Մենք պարզապես գրում ենք թվերի և տառերի շարք, նայում և պարզում ենք այն:

5. Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին դրական անդամը, եթե a 5 = -3; d = 1.1.

6. Հայտնի է, որ 5.5 թիվը թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ է (a n), որտեղ a 1 = 1.6; d = 1.3. Որոշե՛ք այս անդամի n թիվը։

7. Հայտնի է, որ թվաբանական առաջընթացում a 2 = 4; ա 5 = 15.1: Գտեք 3.

8. Թվաբանական առաջընթացի մի քանի հաջորդական անդամներ դուրս են գրվում.

...; 15.6; X; 3.4; ...

Գտե՛ք x տառով նշված առաջընթացի տերմինը:

9. Գնացքը սկսեց շարժվել կայարանից՝ միատեսակ արագությունը րոպեում 30 մետրով ավելացնելով։ Որքա՞ն կլինի գնացքի արագությունը հինգ րոպեում: Տվեք ձեր պատասխանը կմ/ժամով:

10. Հայտնի է, որ թվաբանական պրոգրեսիայում a 2 = 5; ա 6 = -5. Գտեք 1-ը.

Պատասխաններ (խառնաշփոթ)՝ 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

Ամեն ինչ ստացվեց? Զարմանալի! Հետևյալ դասերում կարող եք տիրապետել թվաբանական առաջընթացին ավելի բարձր մակարդակով։

Ամեն ինչ չստացվեց? Ոչ մի խնդիր։ Հատուկ բաժնում 555-ում այս բոլոր խնդիրները լուծվում են մաս առ մաս:) Եվ, իհարկե, նկարագրված է պարզ գործնական տեխնիկա, որն անմիջապես ընդգծում է նման խնդիրների լուծումը հստակ, հստակ, մի հայացքով:

Ի դեպ, գնացքի գլուխկոտրուկում կա երկու խնդիր, որոնց վրա մարդիկ հաճախ են սայթաքում. Մեկը զուտ առաջընթացի առումով է, իսկ երկրորդը ընդհանուր է մաթեմատիկայի, և ֆիզիկայի ցանկացած խնդիրների համար: Սա չափերի թարգմանությունն է մեկից մյուսը: Դա ցույց է տալիս, թե ինչպես պետք է լուծվեն այդ խնդիրները։

Այս դասում մենք դիտարկեցինք թվաբանական առաջընթացի տարրական նշանակությունը և դրա հիմնական պարամետրերը: Սա բավական է այս թեմայի շուրջ գրեթե բոլոր խնդիրները լուծելու համար։ Ավելացնել դթվերին, շարք գրեք, ամեն ինչ կլուծվի։

Մատների լուծումը լավ է աշխատում շարքի շատ կարճ կտորների համար, ինչպես այս դասի օրինակներում: Եթե ​​շարքն ավելի երկար է, ապա հաշվարկներն ավելի են բարդանում։ Օրինակ, եթե հարցի 9-րդ խնդիրում փոխարինենք "հինգ րոպե"վրա «երեսունհինգ րոպե»խնդիրը զգալիորեն կվատթարանա։)

Եվ կան նաև առաջադրանքներ, որոնք ըստ էության պարզ են, բայց աբսուրդային՝ հաշվարկների առումով, օրինակ.

Տրված է թվաբանական պրոգրեսիա (a n): Գտե՛ք 121 թիվը, եթե a 1 =3 և d=1/6:

Ուրեմն ի՞նչ, մի՞թե մենք շատ ու շատ անգամ ենք ավելացնելու 1/6-ը։ Դուք կարող եք սպանել ինքներդ!

Դուք կարող եք:) Եթե չգիտեք պարզ բանաձև, որով կարող եք լուծել այդպիսի առաջադրանքները մեկ րոպեում: Այս բանաձևը կլինի հաջորդ դասին։ Եվ այդ խնդիրը լուծված է այնտեղ։ Մի րոպեում։)

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորենք՝ հետաքրքրությամբ։)

Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Դե, ընկերներ, եթե դուք կարդում եք այս տեքստը, ապա ներքին գլխարկ-ապացույցն ինձ ասում է, որ դուք դեռ չգիտեք, թե ինչ է թվաբանական առաջընթացը, բայց դուք իսկապես (ոչ, այսպես. SOOOOO!) ցանկանում եք իմանալ: Ուստի երկար ներածություններով ձեզ չեմ տանջի և անմիջապես կանցնեմ բուն կետին:

Նախ, մի երկու օրինակ. Դիտարկենք թվերի մի քանի հավաքածու.

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ի՞նչ ընդհանուր բան ունեն այս բոլոր հավաքածուները: Առաջին հայացքից՝ ոչինչ։ Բայց իրականում ինչ-որ բան կա. Այսինքն: յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը նախորդից տարբերվում է նույն թվով.

Դատեք ինքներդ։ Առաջին հավաքածուն ուղղակի հաջորդական թվեր են, որոնցից յուրաքանչյուրը մեկով ավելի է նախորդից: Երկրորդ դեպքում հարակից թվերի տարբերությունն արդեն հինգ է, բայց այս տարբերությունը դեռ հաստատուն է։ Երրորդ դեպքում ընդհանրապես արմատներ չկան։ Սակայն $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ և $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, այսինքն. և այս դեպքում յուրաքանչյուր հաջորդ տարր պարզապես ավելանում է $\sqrt(2)$-ով (և մի վախեցեք, որ այս թիվը իռացիոնալ է):

Այսպիսով, բոլոր նման հաջորդականությունները կոչվում են թվաբանական առաջընթացներ: Տանք խիստ սահմանում.

Սահմանում. Թվերի այն հաջորդականությունը, որտեղ յուրաքանչյուր հաջորդը նախորդից տարբերվում է ճիշտ նույն չափով, կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա։ Հենց այն չափը, որով թվերը տարբերվում են, կոչվում է պրոգրեսիայի տարբերություն և ամենից հաճախ նշվում է $d$ տառով։

Նշում. $\left(((a)_(n)) \right)$-ն ինքնին առաջընթացն է, $d$-ը դրա տարբերությունն է:

Եվ ընդամենը մի քանի կարևոր նշում. Նախ, առաջընթացը միայն դիտարկվում է պատվիրել էթվերի հաջորդականությունը. դրանք թույլատրվում է կարդալ խիստ այն հաջորդականությամբ, որով դրանք գրված են, և ուրիշ ոչինչ: Թվերը չեն կարող վերադասավորվել կամ փոխանակվել:

Երկրորդ, հաջորդականությունն ինքնին կարող է լինել կամ վերջավոր կամ անվերջ: Օրինակ, բազմությունը (1; 2; 3) ակնհայտորեն վերջավոր թվաբանական պրոգրեսիա է: Բայց եթե դուք ինչ-որ բան գրում եք ոգով (1; 2; 3; 4; ...) - սա արդեն անսահման առաջընթաց է: Չորսից հետո էլիպսիսը կարծես հուշում է, որ դեռ շատ թվեր են սպասվում: Օրինակ՝ անսահման շատ:

Կցանկանայի նաև նշել, որ առաջընթացները կարող են աճել կամ նվազել: Մենք արդեն տեսել ենք աճողներ՝ նույն հավաքածուն (1; 2; 3; 4; ...): Ահա նվազող առաջընթացի օրինակներ.

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Լավ, լավ. վերջին օրինակը կարող է չափազանց բարդ թվալ: Բայց մնացածը, կարծում եմ, հասկանում ես։ Այսպիսով, մենք ներկայացնում ենք նոր սահմանումներ.

Սահմանում. Թվաբանական առաջընթացը կոչվում է.

1. աճում է, եթե յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը մեծ է նախորդից.
2. նվազում, եթե, ընդհակառակը, յուրաքանչյուր հաջորդ տարր պակաս է նախորդից:

Բացի այդ, կան այսպես կոչված «ստացիոնար» հաջորդականություններ. դրանք բաղկացած են նույն կրկնվող թվից: Օրինակ, (3; 3; 3; ...):

Մնում է միայն մեկ հարց. ինչպե՞ս տարբերել աճող առաջընթացը նվազողից: Բարեբախտաբար, այստեղ ամեն ինչ կախված է միայն $d$ թվի նշանից, այսինքն. առաջընթացի տարբերություններ.

1. Եթե ​​$d \gt 0$, ապա առաջընթացը մեծանում է.
2. Եթե ​​$d \lt 0$, ապա առաջընթացն ակնհայտորեն նվազում է.
3. Վերջապես, կա $d=0$ դեպք - այս դեպքում ամբողջ առաջընթացը կրճատվում է միանման թվերի անշարժ հաջորդականության՝ (1; 1; 1; 1; ...) և այլն:

Փորձենք հաշվարկել $d$ տարբերությունը վերը նշված երեք նվազող առաջընթացների համար: Դա անելու համար բավական է վերցնել ցանկացած երկու հարակից տարր (օրինակ՝ առաջինը և երկրորդը) և ձախ կողմի թիվը հանել աջ կողմի թվից։ Այն այսպիսի տեսք կունենա.

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$:

Ինչպես տեսնում ենք, երեք դեպքում էլ տարբերությունն իրականում բացասական է ստացվել։ Եվ հիմա, երբ մենք քիչ թե շատ պարզել ենք սահմանումները, ժամանակն է պարզել, թե ինչպես են նկարագրվում առաջընթացները և ինչ հատկություններ ունեն դրանք:

Առաջընթացի պայմանները և կրկնության բանաձևը

Քանի որ մեր հաջորդականության տարրերը հնարավոր չէ փոխանակել, դրանք կարող են համարակալվել.

\[\left(((a)_(n)) \աջ)=\ձախ\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \ճիշտ\)\]

Այս հավաքածուի առանձին տարրերը կոչվում են պրոգրեսիայի անդամներ: Դրանք նշվում են թվով՝ առաջին անդամ, երկրորդ անդամ և այլն։

Բացի այդ, ինչպես արդեն գիտենք, առաջընթացի հարևան տերմինները կապված են բանաձևով.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Աջ սլաք ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Մի խոսքով, պրոգրեսիայի $n$th անդամը գտնելու համար դուք պետք է իմանաք $n-1$th անդամը և $d$ տարբերությունը: Այս բանաձևը կոչվում է կրկնվող, քանի որ դրա օգնությամբ դուք կարող եք գտնել ցանկացած թիվ միայն իմանալով նախորդը (և իրականում բոլոր նախորդները): Սա շատ անհարմար է, ուստի կա ավելի խորամանկ բանաձև, որը նվազեցնում է ցանկացած հաշվարկ մինչև առաջին տերմինը և տարբերությունը.

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\ձախ(n-1 \աջ)d\]

Դուք հավանաբար արդեն հանդիպել եք այս բանաձեւին. Նրանք սիրում են այն տալ բոլոր տեսակի տեղեկատու գրքերում և խնդրագրքերում: Իսկ մաթեմատիկայի ցանկացած խելամիտ դասագրքում այն ​​առաջիններից է։

Այնուամենայնիվ, ես առաջարկում եմ ձեզ մի փոքր պարապել:

Առաջադրանք թիվ 1. Գրի՛ր $\left((a)_(n)) \right)$ թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին երեք անդամները, եթե $((a)_(1))=8,d=-5$։

Լուծում. Այսպիսով, մենք գիտենք $((a)_(1))=8$ առաջին անդամը և $d=-5$ պրոգրեսիայի տարբերությունը: Եկեք օգտագործենք հենց նոր տրված բանաձևը և փոխարինենք $n=1$, $n=2$ և $n=3$:

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\ձախ(n-1 \աջ)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\ձախ(1-1 \աջ)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\ձախ(2-1 \աջ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\ձախ(3-1 \աջ)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Պատասխան՝ (8; 3; −2)

Այսքանը: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ մեր առաջընթացը նվազում է:

Իհարկե, $n=1$-ը չէր կարող փոխարինվել՝ առաջին տերմինը մեզ արդեն հայտնի է։ Սակայն փոխարինելով միասնությունը՝ մենք համոզվեցինք, որ նույնիսկ առաջին ժամկետում մեր բանաձեւը գործում է։ Մնացած դեպքերում ամեն ինչ հանգում էր բանական թվաբանության։

Առաջադրանք թիվ 2. Գրե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին երեք անդամները, եթե նրա յոթերորդ անդամը հավասար է -40-ի, իսկ տասնյոթերորդ անդամը հավասար է -50-ի:

Լուծում. Խնդրի պայմանը գրենք ծանոթ տերմիններով.

\[((a)_(7))=-40;\չորս ((ա)_(17))=-50:\]

\[\ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

\[\ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \ճիշտ։\]

Ես դրել եմ համակարգի նշանը, քանի որ այս պահանջները պետք է կատարվեն միաժամանակ: Այժմ նկատենք, որ եթե առաջինը հանենք երկրորդ հավասարումից (մենք իրավունք ունենք դա անելու, քանի որ ունենք համակարգ), կստանանք հետևյալը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((ա)_(1))+16d-\ձախ (((a)_(1))+6d \աջ)=-50-\ձախ (-40 \աջ); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ահա թե որքան հեշտ է գտնել առաջընթացի տարբերությունը: Մնում է գտնված թիվը փոխարինել համակարգի ցանկացած հավասարումով: Օրինակ, առաջինում.

\[\սկիզբ (մատրիցան) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Ներքև \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ա)_(1))=-40+6=-34. \\ \վերջ (մատրիցան)\]

Այժմ, իմանալով առաջին տերմինը և տարբերությունը, մնում է գտնել երկրորդ և երրորդ անդամները.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Պատրաստ. Խնդիրը լուծված է։

Պատասխան՝ (−34; −35; −36)

Ուշադրություն դարձրեք պրոգրեսիայի հետաքրքիր հատկությանը, որը մենք հայտնաբերեցինք. եթե վերցնենք $n$th և $m$th անդամները և հանենք դրանք միմյանցից, ապա կստանանք առաջընթացի տարբերությունը բազմապատկած $n-m$ թվով.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \ձախ(n-m \աջ)\]

Պարզ, բայց շատ օգտակար հատկություն, որը դուք անպայման պետք է իմանաք՝ դրա օգնությամբ դուք կարող եք զգալիորեն արագացնել առաջընթացի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը։ Ահա դրա վառ օրինակը.

Առաջադրանք թիվ 3. Թվաբանական առաջընթացի հինգերորդ անդամը 8,4 է, իսկ տասներորդ անդամը 14,4 է։ Գտե՛ք այս առաջընթացի տասնհինգերորդ անդամը:

Լուծում. Քանի որ $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, և մենք պետք է գտնենք $((a)_(15))$, մենք նշում ենք հետևյալը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5դ. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Բայց պայմանով $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, հետևաբար $5d=6$, որից ունենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((ա)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Պատասխան՝ 20.4

Այսքանը: Մեզ պետք չէր ստեղծել հավասարումների համակարգ և հաշվարկել առաջին անդամն ու տարբերությունը. ամեն ինչ լուծվեց ընդամենը մի քանի տողում:

Հիմա եկեք նայենք մեկ այլ տեսակի խնդրի՝ առաջընթացի բացասական և դրական տերմինների որոնում: Գաղտնիք չէ, որ եթե պրոգրեսիան աճում է, և դրա առաջին տերմինը բացասական է, ապա վաղ թե ուշ դրա մեջ դրական տերմիններ են հայտնվում։ Եվ հակառակը՝ նվազող առաջընթացի պայմանները վաղ թե ուշ կդառնան բացասական։

Միևնույն ժամանակ, միշտ չէ, որ հնարավոր է գտնել այս պահը «գլխով»՝ հաջորդաբար անցնելով տարրերի միջով։ Հաճախ խնդիրներն այնպես են գրված, որ առանց բանաձևերի իմացության, հաշվարկների համար մի քանի թերթ թուղթ կպահանջվի. մենք պարզապես քնում էինք, մինչ գտնում էինք պատասխանը: Ուստի փորձենք այս խնդիրներն ավելի արագ լուծել։

Առաջադրանք թիվ 4. Քանի՞ բացասական անդամ կա թվաբանական պրոգրեսիայում −38,5; −35,8; ...?

Լուծում. Այսպիսով, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, որտեղից անմիջապես գտնում ենք տարբերությունը.

Նշենք, որ տարբերությունը դրական է, ուստի առաջընթացը մեծանում է: Առաջին տերմինը բացասական է, ուստի իսկապես ինչ-որ պահի մենք կբախվենք դրական թվերի վրա: Հարցը միայն այն է, թե երբ դա տեղի կունենա:

Փորձենք պարզել, թե որքան ժամանակ (այսինքն մինչև $n$ որ բնական թիվ) է մնում տերմինների բացասականությունը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(n)) \lt 0\Աջ սլաք ((a)_(1))+\ ձախ (n-1 \աջ)d \lt 0; \\ & -38.5+\ձախ(n-1 \աջ)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \ձախ| \cdot 10 \աջ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \աջ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15: \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Վերջին տողը որոշակի բացատրություն է պահանջում։ Այսպիսով, մենք գիտենք, որ $n \lt 15\frac(7)(27)$: Մյուս կողմից, մենք բավարարվում ենք թվի միայն ամբողջական արժեքներով (ավելին՝ $n\in \mathbb(N)$), ուստի ամենամեծ թույլատրելի թիվը հենց $n=15$ է, և ոչ մի դեպքում՝ 16։ .

Առաջադրանք թիվ 5. Թվաբանական պրոգրեսիայում $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$: Գտե՛ք այս առաջընթացի առաջին դրական անդամի թիվը:

Սա կլինի ճիշտ նույն խնդիրը, ինչ նախորդը, բայց մենք չգիտենք $((a)_(1))$: Բայց հարևան տերմինները հայտնի են՝ $((a)_(5))$ և $((a)_(6))$, այնպես որ մենք կարող ենք հեշտությամբ գտնել առաջընթացի տարբերությունը.

Բացի այդ, փորձենք արտահայտել հինգերորդ անդամը առաջինի և տարբերության միջոցով՝ օգտագործելով ստանդարտ բանաձևը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \աջ)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((ա)_(1))=-150-12=-162. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այժմ մենք անալոգիայով անցնում ենք նախորդ առաջադրանքին: Եկեք պարզենք, թե մեր հաջորդականության որ կետում կհայտնվեն դրական թվերը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(n))=-162+\ձախ(n-1 \աջ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Աջ սլաք ((n)_(\min ))=56: \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այս անհավասարության նվազագույն ամբողջական լուծումը 56 թիվն է։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. վերջին առաջադրանքում ամեն ինչ հանգեցրեց խիստ անհավասարության, ուստի $n=55$ տարբերակը մեզ չի համապատասխանում:

Այժմ, երբ մենք սովորեցինք, թե ինչպես լուծել պարզ խնդիրները, եկեք անցնենք ավելի բարդ խնդիրների: Բայց նախ եկեք ուսումնասիրենք թվաբանական պրոգրեսիաների ևս մեկ շատ օգտակար հատկություն, որը մեզ ապագայում կխնայի շատ ժամանակ և անհավասար բջիջներ :)

Թվաբանական միջին և հավասար նահանջներ

Դիտարկենք $\left((a)_(n)) \right)$ աճող թվաբանական պրոգրեսիայի մի քանի հաջորդական անդամ: Փորձենք դրանք նշել թվային տողի վրա.

Ես հատուկ նշել եմ կամայական $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, և ոչ թե $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ և այլն: Քանի որ կանոնը, որի մասին ես ձեզ հիմա կասեմ, նույնն է աշխատում ցանկացած «հատվածի» համար:

Իսկ կանոնը շատ պարզ է. Եկեք հիշենք կրկնվող բանաձևը և գրենք այն բոլոր նշված տերմինների համար.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այնուամենայնիվ, այս հավասարությունները կարող են տարբեր կերպ վերաշարադրվել.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Դե, իսկ ի՞նչ: Եվ այն փաստը, որ $((a)_(n-1))$ և $((a)_(n+1))$ տերմինները գտնվում են $((a)_(n)) $-ից նույն հեռավորության վրա: . Եվ այս հեռավորությունը հավասար է $d$-ի: Նույնը կարելի է ասել $((a)_(n-2))$ և $((a)_(n+2))$ տերմինների մասին - դրանք նույնպես հանված են $((a)_(n)-ից: )$ նույն հեռավորության վրա, որը հավասար է $2d$-ի: Մենք կարող ենք անվերջ շարունակել, բայց իմաստը լավ երևում է նկարից

Ի՞նչ է սա նշանակում մեզ համար: Սա նշանակում է, որ $((a)_(n))$-ը կարելի է գտնել, եթե հայտնի են հարևան թվերը.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Մենք ստացանք հիանալի պնդում. թվաբանական առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ հավասար է իր հարևան անդամների միջին թվաբանականին: Ավելին. մենք կարող ենք հետ կանգնել մեր $((a)_(n))$-ից ձախ և աջ ոչ թե մեկ քայլով, այլ $k$ քայլով, և բանաձևը դեռ ճիշտ կլինի.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Նրանք. մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել $((a)_(150))$, եթե գիտենք $((a)_(100))$ և $((a)_(200))$, քանի որ $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$: Առաջին հայացքից կարող է թվալ, թե այս փաստը մեզ ոչ մի օգտակար բան չի տալիս։ Այնուամենայնիվ, գործնականում շատ խնդիրներ հատուկ մշակված են միջին թվաբանականն օգտագործելու համար: Նայել:

Առաջադրանք թիվ 6. Գտեք $x$-ի բոլոր արժեքները, որոնց համար $-6((x)^(2))$, $x+1$ և $14+4((x)^(2))$ թվերը հաջորդական են: թվաբանական առաջընթաց (նշված հերթականությամբ):

Լուծում. Քանի որ այս թվերը պրոգրեսիայի անդամներ են, նրանց համար բավարարված է միջին թվաբանական պայմանը. $x+1$ կենտրոնական տարրը կարող է արտահայտվել հարևան տարրերով.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Արդյունքը դասական քառակուսի հավասարումն է: Դրա արմատները՝ $x=2$ և $x=-3$ պատասխաններն են։

Պատասխան՝ −3; 2.

Առաջադրանք թիվ 7. Գտեք $$-ի արժեքները, որոնց համար $-1;4-3;()^(2))+1$ թվերը կազմում են թվաբանական առաջընթաց (այդ հերթականությամբ):

Լուծում. Կրկին արտահայտենք միջին անդամը հարևան տերմինների միջին թվաբանականի միջոցով.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \ձախ| \cdot 2 \աջ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Կրկին քառակուսի հավասարում. Եվ կրկին երկու արմատ կա՝ $x=6$ և $x=1$։

Պատասխան՝ 1; 6.

Եթե ​​խնդրի լուծման գործընթացում դուք ինչ-որ դաժան թվեր եք ներկայացնում, կամ լիովին վստահ չեք գտնված պատասխանների ճիշտության մեջ, ապա կա մի հրաշալի տեխնիկա, որը թույլ է տալիս ստուգել՝ մենք ճիշտ լուծե՞լ ենք խնդիրը:

Ենթադրենք թիվ 6 խնդիրում մենք ստացել ենք −3 և 2 պատասխանները։ Ինչպե՞ս կարող ենք ստուգել, ​​որ այդ պատասխանները ճիշտ են։ Եկեք պարզապես միացնենք դրանք սկզբնական վիճակին և տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում: Հիշեցնեմ, որ մենք ունենք երեք թիվ ($-6(()^(2))$, $+1$ և $14+4(()^(2))$), որոնք պետք է կազմեն թվաբանական պրոգրեսիա։ Փոխարինենք $x=-3$:

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & x=-3\Աջ սլաք \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50։ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Մենք ստացանք −54 թվերը; −2; 50-ը, որոնք տարբերվում են 52-ով, անկասկած, թվաբանական առաջընթաց է: Նույնը տեղի է ունենում $x=2$-ի դեպքում.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & x=2\Աջ սլաք \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30։ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Կրկին առաջընթաց, բայց 27 տարբերությամբ: Այսպիսով, խնդիրը ճիշտ լուծվեց։ Ցանկացողները կարող են ինքնուրույն ստուգել երկրորդ խնդիրը, բայց ես անմիջապես կասեմ՝ այնտեղ էլ ամեն ինչ ճիշտ է։

Ընդհանուր առմամբ, վերջին խնդիրները լուծելիս հանդիպեցինք մեկ այլ հետաքրքիր փաստի, որը նույնպես պետք է հիշել.

Եթե ​​երեք թվեր այնպիսին են, որ երկրորդը առաջինի և վերջինի միջին թվաբանականն է, ապա այս թվերը կազմում են թվաբանական առաջընթաց:

Հետագայում այս հայտարարության ըմբռնումը թույլ կտա մեզ բառացիորեն «կառուցել» անհրաժեշտ առաջընթացները՝ հիմնվելով խնդրի պայմանների վրա։ Բայց նման «շինարարությամբ» զբաղվելուց առաջ պետք է ուշադրություն դարձնել ևս մեկ փաստի վրա, որն ուղղակիորեն բխում է արդեն քննարկվածից։

Խմբավորում և գումարում տարրեր

Կրկին վերադառնանք թվային առանցքին։ Այստեղ նկատենք պրոգրեսիայի մի քանի անդամներ, որոնց միջև, հավանաբար. արժե շատ այլ անդամներ.

Փորձենք արտահայտել «ձախ պոչը» $((a)_(n))$-ի և $d$-ի միջոցով, իսկ «աջ պոչը»՝ $((a)_(k))$-ի և $d$-ի միջոցով: Դա շատ պարզ է.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այժմ նշեք, որ հետևյալ գումարները հավասար են.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= Ս; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= Ս. \վերջ (հավասարեցնել)\]

Պարզ ասած, եթե որպես սկիզբ դիտարկենք առաջընթացի երկու տարր, որոնք ընդհանուր առմամբ հավասար են $S$-ի ինչ-որ թվի, այնուհետև սկսենք քայլել այս տարրերից հակառակ ուղղություններով (դեպի միմյանց կամ հակառակը՝ հեռանալ), ապա այն տարրերի գումարները, որոնց վրա մենք կսայթաքենք, նույնպես հավասար կլինեն$S$. Սա կարելի է առավել հստակ ներկայացնել գրաֆիկորեն.

Այս փաստի ըմբռնումը թույլ կտա մեզ լուծել սկզբունքորեն ավելի բարձր բարդության խնդիրներ, քան վերը թվարկվածները: Օրինակ՝ սրանք.

Առաջադրանք թիվ 8. Որոշե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը, որի առաջին անդամը 66 է, իսկ երկրորդ և տասներկուերորդ անդամների արտադրյալը՝ ամենափոքրը։

Լուծում. Եկեք գրենք այն ամենը, ինչ գիտենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսպիսով, մենք չգիտենք առաջընթացի տարբերությունը $d$: Իրականում, ամբողջ լուծումը կկառուցվի տարբերության շուրջ, քանի որ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ արտադրանքը կարող է վերագրվել հետևյալ կերպ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \աջ)\cdot \left(66+11d \աջ)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \աջ)\cdot \left(d+6 \աջ): \վերջ (հավասարեցնել)\]

Բաքում գտնվողների համար ես վերցրեցի 11-ի ընդհանուր բազմապատկիչը երկրորդ փակագծից: Այսպիսով, ցանկալի արտադրյալը քառակուսի ֆունկցիա է $d$ փոփոխականի նկատմամբ: Հետևաբար, հաշվի առեք $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ ֆունկցիան, որի գրաֆիկը կլինի պարաբոլա՝ ճյուղերով վերև, քանի որ եթե ընդլայնենք փակագծերը, կստանանք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & f\ ձախ (d \աջ)=11\ձախ (((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \աջ)= \\ & =11(( դ)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, ամենաբարձր անդամի գործակիցը 11 է, սա դրական թիվ է, ուստի մենք իսկապես գործ ունենք պարաբոլայի հետ՝ վերև ճյուղերով.

քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկ՝ պարաբոլա

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. այս պարաբոլան իր նվազագույն արժեքը վերցնում է իր գագաթին $((d)_(0))$ աբսցիսով: Իհարկե, մենք կարող ենք հաշվարկել այս աբսցիսան՝ օգտագործելով ստանդարտ սխեմա (կա բանաձևը $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), բայց շատ ավելի խելամիտ կլինի նշել. որ ցանկալի գագաթն ընկած է պարաբոլայի առանցքի համաչափության վրա, հետևաբար $((d)_(0))$ կետը հավասար է $f\left(d \right)=0$ հավասարման արմատներից:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & f\ ձախ (d \աջ)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((դ)_(1))=-66;\չորս ((դ)_(2))=-6. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այդ իսկ պատճառով ես առանձնապես չէի շտապում բացել փակագծերը. իրենց սկզբնական տեսքով արմատները շատ ու շատ հեշտ էին գտնել։ Հետևաբար, աբսցիսան հավասար է −66 և −6 թվերի միջին թվաբանականին.

\[((դ)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ի՞նչ է մեզ տալիս հայտնաբերված թիվը: Դրանով պահանջվող արտադրանքը ստանում է ամենափոքր արժեքը (ի դեպ, մենք երբեք չենք հաշվարկել $((y)_(\min ))$ - դա մեզանից չի պահանջվում): Միևնույն ժամանակ, այս թիվը սկզբնական առաջընթացի տարբերությունն է, այսինքն. մենք գտանք պատասխանը :)

Պատասխան՝ −36

Առաջադրանք թիվ 9. $-\frac(1)(2)$ և $-\frac(1)(6)$ թվերի միջև տեղադրեք երեք թիվ, որպեսզի այս թվերի հետ միասին կազմեն թվաբանական պրոգրեսիա։

Լուծում. Ըստ էության, մենք պետք է կազմենք հինգ թվերի հաջորդականություն՝ առաջին և վերջին թվերն արդեն հայտնի լինեն։ Բաց թողած թվերը նշենք $x$, $y$ և $z$ փոփոխականներով.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \աջ\ )\]

Նկատի ունեցեք, որ $y$ թիվը մեր հաջորդականության «միջինն» է. այն հավասար է $x$ և $z$ թվերից և $-\frac(1)(2)$ և $-\frac թվերից: (1)(6)$. Եվ եթե մենք ներկայումս չենք կարողանում $y$ ստանալ $x$ և $z$ թվերից, ապա իրավիճակն այլ է առաջընթացի ծայրերում։ Հիշենք միջին թվաբանականը.

Այժմ, իմանալով $y$-ը, մենք կգտնենք մնացած թվերը։ Նկատի ունեցեք, որ $x$-ը գտնվում է $-\frac(1)(2)$ և $y=-\frac(1)(3)$ թվերի միջև, որոնք մենք հենց նոր գտանք: Ահա թե ինչու

Օգտագործելով նմանատիպ պատճառաբանություն, մենք գտնում ենք մնացած թիվը.

Պատրաստ. Մենք գտանք բոլոր երեք համարները: Գրենք դրանք պատասխանում այն ​​հաջորդականությամբ, որով դրանք պետք է տեղադրվեն բնօրինակ թվերի միջև։

Պատասխան՝ $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Առաջադրանք թիվ 10. 2-ի և 42-ի միջև տեղադրեք մի քանի թվեր, որոնք այս թվերի հետ միասին կազմում են թվաբանական առաջընթաց, եթե գիտեք, որ զետեղված թվերից առաջինի, երկրորդի և վերջինի գումարը 56 է։

Լուծում. Էլ ավելի բարդ խնդիր, որը, սակայն, լուծվում է նույն սխեմայով, ինչ նախորդները՝ միջին թվաբանականի միջոցով։ Խնդիրն այն է, որ մենք հստակ չգիտենք, թե քանի թիվ պետք է տեղադրվի: Հետևաբար, որոշակիորեն ենթադրենք, որ ամեն ինչ տեղադրելուց հետո կլինեն ճշգրիտ $n$ թվեր, և դրանցից առաջինը 2 է, իսկ վերջինը 42 է: Այս դեպքում անհրաժեշտ թվաբանական առաջընթացը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

\[\left(((a)_(n)) \աջ)=\ձախ\( 2;((a)_(2));(a)_(3));...;(( ա) _(n-1));42 \աջ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Նկատի ունեցեք, սակայն, որ $((a)_(2))$ և $((a)_(n-1))$ թվերը ստացվում են եզրերում գտնվող 2 և 42 թվերից մեկ քայլ դեպի մեկը մյուսին: այսինքն. դեպի հաջորդականության կենտրոն։ Իսկ սա նշանակում է, որ

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Բայց հետո վերևում գրված արտահայտությունը կարելի է վերաշարադրել հետևյալ կերպ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \աջ)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((ա)_(3))=56-44=12. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Իմանալով $((a)_(3))$ և $((a)_(1))$, մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել առաջընթացի տարբերությունը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\ձախ(3-1 \աջ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Աջ սլաք d=5. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Մնում է միայն գտնել մնացած պայմանները.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(1))=2; \\ & ((ա)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսպիսով, արդեն 9-րդ քայլին մենք կհասնենք հաջորդականության ձախ ծայրին` 42 համարին: Ընդհանուր առմամբ, ընդամենը 7 թիվ պետք է տեղադրվեր. 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Պատասխան՝ 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Բառային խնդիրներ առաջընթացների հետ

Եզրափակելով, ես կցանկանայի դիտարկել մի քանի համեմատաբար պարզ խնդիր: Դե, այնքան պարզ. ուսանողների մեծամասնության համար, ովքեր դպրոցում մաթեմատիկա են սովորում և չեն կարդացել վերևում գրվածը, այս խնդիրները կարող են դժվար թվալ: Այնուամենայնիվ, սրանք խնդիրների տեսակներն են, որոնք ի հայտ են գալիս OGE-ում և մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությունում, ուստի խորհուրդ եմ տալիս ծանոթանալ դրանց:

Առաջադրանք թիվ 11. Թիմը հունվարին արտադրել է 62 մաս, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ ամսում նրանք արտադրել են 14-ով ավելի դետալ, քան նախորդ ամսում։ Քանի՞ մաս է արտադրվել թիմը նոյեմբերին:

Լուծում. Ակնհայտ է, որ ըստ ամիսների թվարկված մասերի թիվը կներկայացնի աճող թվաբանական առաջընթաց: Ավելին.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(1))=62;\քառակուսի d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\ձախ(n-1 \աջ)\cdot 14. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Նոյեմբերը տարվա 11-րդ ամիսն է, ուստի մենք պետք է գտնենք $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Ուստի նոյեմբերին կարտադրվի 202 դետալ։

Առաջադրանք թիվ 12. Գրքերի սեմինարը հունվարին փակել է 216 գիրք, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ ամսում նախորդի համեմատ 4-ով ավելի գիրք է փակցվել։ Քանի՞ գիրք է կապել սեմինարը դեկտեմբերին։

Լուծում. Ամեն ինչ նույնն է:

$\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\ձախ(n-1 \աջ)\cdot 4. \\ \վերջ (հավասարեցնել)$

Դեկտեմբերը տարվա վերջին, 12-րդ ամիսն է, ուստի մենք փնտրում ենք $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Սա է պատասխանը՝ դեկտեմբերին 260 գիրք կփակվի։

Դե, եթե այսքանը կարդացել եք, շտապում եմ շնորհավորել ձեզ՝ հաջողությամբ ավարտել եք թվաբանական առաջընթացների «երիտասարդ մարտիկի կուրսը»։ Դուք կարող եք ապահով կերպով անցնել հաջորդ դասին, որտեղ մենք կուսումնասիրենք առաջընթացի գումարի բանաձևը, ինչպես նաև դրանից բխող կարևոր և շատ օգտակար հետևանքները:

Նախքան մենք սկսում ենք որոշել թվաբանական առաջընթացի խնդիրներ, եկեք դիտարկենք, թե ինչ է թվային հաջորդականությունը, քանի որ թվաբանական առաջընթացը թվային հաջորդականության հատուկ դեպք է։

Թվերի հաջորդականությունը թվային բազմություն է, որի յուրաքանչյուր տարր ունի իր հերթական համարը. Այս բազմության տարրերը կոչվում են հաջորդականության անդամներ։ Հերթական տարրի սերիական համարը նշվում է ինդեքսով.

Հերթականության առաջին տարրը;

Հերթականության հինգերորդ տարրը;

- հաջորդականության «n-րդ» տարրը, այսինքն. «հերթում կանգնած» տարրը թիվ n-ում:

Կա հարաբերություն հաջորդականության տարրի արժեքի և դրա հաջորդական համարի միջև: Հետևաբար հաջորդականությունը կարող ենք դիտարկել որպես ֆունկցիա, որի արգումենտը հաջորդականության տարրի հերթական թիվն է։ Այսինքն՝ կարելի է դա ասել հաջորդականությունը բնական փաստարկի ֆունկցիա է.

Հերթականությունը կարող է սահմանվել երեք եղանակով.

1 . Հերթականությունը կարելի է սահմանել աղյուսակի միջոցով:Այս դեպքում մենք պարզապես սահմանում ենք հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամի արժեքը:

Օրինակ, ինչ-որ մեկը որոշել է զբաղվել ժամանակի անձնական կառավարմամբ և սկսելու համար հաշվել, թե շաբաթվա ընթացքում որքան ժամանակ է նա ծախսում VKontakte-ում: Աղյուսակում գրանցելով ժամանակը, նա կստանա յոթ տարրերից բաղկացած հաջորդականություն.

Աղյուսակի առաջին տողում նշվում է շաբաթվա օրվա թիվը, երկրորդը` ժամը րոպեներով: Մենք տեսնում ենք, որ, այսինքն՝ երկուշաբթի, ինչ-որ մեկը VKontakte-ում ծախսել է 125 րոպե, այսինքն՝ հինգշաբթի օրը՝ 248 րոպե, իսկ, այսինքն՝ ուրբաթ օրը՝ ընդամենը 15։

2 . Հաջորդականությունը կարելի է ճշտել՝ օգտագործելով n-րդ տերմինի բանաձևը:

Այս դեպքում հաջորդականության տարրի արժեքի կախվածությունը նրա թվից ուղղակիորեն արտահայտվում է բանաձևի տեսքով։

Օրինակ, եթե, ապա

Տրված թվով հաջորդականության տարրի արժեքը գտնելու համար տարրի թիվը փոխարինում ենք n-րդ անդամի բանաձևով։

Մենք նույնն ենք անում, եթե մեզ անհրաժեշտ է գտնել ֆունկցիայի արժեքը, եթե արգումենտի արժեքը հայտնի է: Մենք արգումենտի արժեքը փոխարինում ենք ֆունկցիայի հավասարման մեջ.

Եթե, օրինակ, , Դա

Եվս մեկ անգամ նշեմ, որ հաջորդականության մեջ, ի տարբերություն կամայական թվային ֆունկցիայի, արգումենտը կարող է լինել միայն բնական թիվ։

3 . Հերթականությունը կարելի է սահմանել՝ օգտագործելով բանաձև, որն արտահայտում է n հաջորդականության անդամի արժեքի կախվածությունը նախորդ անդամների արժեքներից: Այս դեպքում մեզ համար բավարար չէ միայն հաջորդականության անդամի թիվը իմանալը նրա արժեքը գտնելու համար։ Մենք պետք է նշենք հաջորդականության առաջին անդամը կամ առաջին մի քանի անդամները:

Օրինակ, հաշվի առեք հաջորդականությունը ,

Մենք կարող ենք գտնել հաջորդականության անդամների արժեքները հաջորդականությամբ, սկսած երրորդից.

Այսինքն՝ ամեն անգամ հաջորդականության n-րդ անդամի արժեքը գտնելու համար վերադառնում ենք նախորդ երկուսին։ Հաջորդականությունը նշելու այս մեթոդը կոչվում է կրկնվող, լատիներեն բառից կրկնել- վերադարձիր:

Այժմ մենք կարող ենք սահմանել թվաբանական առաջընթաց: Թվաբանական առաջընթացը թվային հաջորդականության պարզ հատուկ դեպք է:

Թվաբանական առաջընթաց թվային հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նույն թվին ավելացված նախորդին։

Համարը կոչվում է թվաբանական առաջընթացի տարբերություն. Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը կարող է լինել դրական, բացասական կամ հավասար զրոյի։

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} աճող.

Օրինակ, 2; 5; 8; տասնմեկ;...

Եթե ​​, ապա թվաբանական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ փոքր է նախորդից, և առաջընթացը՝ նվազում.

Օրինակ, 2; -1; -4; -7;...

Եթե ​​, ապա պրոգրեսիայի բոլոր անդամները հավասար են նույն թվին, և պրոգրեսիան է ստացիոնար.

Օրինակ՝ 2;2;2;2;...

Թվաբանական առաջընթացի հիմնական հատկությունը.

Եկեք նայենք նկարին։

Մենք դա տեսնում ենք

, և միևնույն ժամանակ

Այս երկու հավասարությունները գումարելով՝ մենք ստանում ենք.

.

Եկեք հավասարության երկու կողմերը բաժանենք 2-ի.

Այսպիսով, թվաբանական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է երկու հարևանների միջին թվաբանականին.

Ավելին, քանի որ

, և միևնույն ժամանակ

, Դա

, եւ, հետեւաբար

Թվաբանական առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ՝ սկսած title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Երրորդ կիսամյակի բանաձևը.

Մենք տեսնում ենք, որ թվաբանական առաջընթացի պայմանները բավարարում են հետևյալ հարաբերությունները.

եւ, վերջապես

Մենք ստացանք n-րդ կիսամյակի բանաձևը.

ԿԱՐԵՎՈՐ!Թվաբանական առաջընթացի ցանկացած անդամ կարող է արտահայտվել և. Իմանալով առաջին անդամը և թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը, կարող եք գտնել դրա անդամներից որևէ մեկը:

Թվաբանական պրոգրեսիայի n անդամների գումարը։

Թվաբանական կամայական առաջընթացի դեպքում ծայրահեղներից հավասար հեռավորության վրա գտնվող տերմինների գումարները հավասար են միմյանց.

Դիտարկենք թվաբանական առաջընթացը n անդամով: Թող այս պրոգրեսիայի n անդամների գումարը հավասար լինի .

Առաջընթացի տերմինները դասավորենք սկզբում թվերի աճման, իսկ հետո նվազման կարգով.

Ավելացնենք զույգերով.

Յուրաքանչյուր փակագծի գումարը , զույգերի թիվը n է:

Մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, թվաբանական պրոգրեսիայի n տերմինների գումարը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

Եկեք դիտարկենք թվաբանական առաջընթացի խնդիրների լուծում.

1 . Հաջորդականությունը տրված է n-րդ անդամի բանաձևով. . Ապացուցեք, որ այս հաջորդականությունը թվաբանական առաջընթաց է:

Փաստենք, որ հաջորդականության երկու հարակից անդամների տարբերությունը հավասար է նույն թվին։

Մենք պարզեցինք, որ հաջորդականության երկու հարևան անդամների միջև տարբերությունը կախված չէ նրանց թվից և հաստատուն է: Հետևաբար, ըստ սահմանման, այս հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է։

2 . Հաշվի առնելով թվաբանական առաջընթացը -31; -27;...

ա) Գտե՛ք առաջընթացի 31 անդամ.

բ) Որոշեք, թե արդյոք 41 թիվը ներառված է այս առաջընթացի մեջ:

Ա)Մենք տեսնում ենք, որ;

Եկեք գրենք մեր առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը:

Ընդհանուր առմամբ

Մեր դեպքում , Ահա թե ինչու