За да използвате успешно операцията за извличане на корен на практика, трябва да се запознаете със свойствата на тази операция.
Всички свойства са формулирани и доказани само за неотрицателни стойности на променливите, съдържащи се под знаците на корените.

Теорема 1. Коренът n-ти (n=2, 3, 4,...) от произведението на два неотрицателни чипа е равен на произведението от корените n-ти на тези числа:

коментар:

1. Теорема 1 остава валидна за случая, когато радикалният израз е произведение на повече от две неотрицателни числа.

Теорема 2.Ако, и n е естествено число, по-голямо от 1, тогава равенството е вярно

Теорема 1 ни позволява да умножим t само корени от една и съща степен , т.е. само корени със същия индекс.

Теорема 3. Ако ,k е естествено число и n е естествено число, по-голямо от 1, тогава равенството е вярно

С други думи, за да издигнете корен до естествена сила, достатъчно е да издигнете радикалния израз до тази сила.
Това е следствие от теорема 1. Всъщност, например, за k = 3 получаваме: Можем да разсъждаваме по абсолютно същия начин в случай на всяка друга естествена стойност на показателя k.

Теорема 4. Ако ,k, n са естествени числа, по-големи от 1, тогава равенството е вярно

С други думи, за да извлечете корен от корен, достатъчно е да умножите показателите на корените.
Например,

Бъди внимателен!Научихме, че върху корените могат да се извършват четири операции: умножение, деление, степенуване и извличане на корен (от корена). Но какво да кажем за добавяне и изваждане на корени? Няма начин.
Например, вместо да напишете Наистина, Но е очевидно, че

Теорема 5. Ако индикаторите на корена и радикалния израз се умножават или разделят на едно и също естествено число, тогава стойността на корена няма да се промени, т.е.

Примери за решаване на проблеми

Пример 2.Изчисли
Решение.Преобразувайте смесено число в неправилна дроб.
Имаме Използване на второто свойство на корените ( Теорема 2 ), получаваме:

Пример 3.Изчисли:

Решение.Всяка формула в алгебрата, както добре знаете, се използва не само „отляво надясно“, но и „отдясно наляво“. По този начин първото свойство на корените означава, че те могат да бъдат представени във формата и, обратно, могат да бъдат заменени с израза. Същото важи и за второто свойство на корените. Като вземем това предвид, нека направим изчисленията.

Поздравления: днес ще разгледаме корените - една от най-умопомрачителните теми в 8 клас. :)

Много хора се объркват относно корените не защото са сложни (какво му е толкова сложното - няколко дефиниции и още няколко свойства), а защото в повечето училищни учебници корените се дефинират през такава джунгла, че само авторите на самите учебници може да разбере това писане. И то само с бутилка хубаво уиски. :)

Затова сега ще дам най-правилното и най-компетентно определение за корен - единственото, което наистина трябва да запомните. И тогава ще обясня: защо е необходимо всичко това и как да го приложим на практика.

Но първо запомнете една важна точка, която много компилатори на учебници по някаква причина „забравят“:

Корените могат да бъдат с четна степен (любимите ни $\sqrt(a)$, както и всички видове $\sqrt(a)$ и четни $\sqrt(a)$) и нечетна степен (всички видове $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ и т.н.). И дефиницията на корен от нечетна степен е малко по-различна от четната.

Вероятно 95% от всички грешки и недоразумения, свързани с корените, са скрити в това шибано „донякъде различно“. Така че нека изясним терминологията веднъж завинаги:

Определение. Дори корен нот числото $a$ е всяко неотрицателничислото $b$ е такова, че $((b)^(n))=a$. А нечетният корен на същото число $a$ обикновено е всяко число $b$, за което важи същото равенство: $((b)^(n))=a$.

Във всеки случай коренът се обозначава така:

\(a)\]

Числото $n$ в такава нотация се нарича коренен показател, а числото $a$ се нарича радикален израз. По-специално, за $n=2$ получаваме нашия „любим” квадратен корен (между другото, това е корен от четна степен), а за $n=3$ получаваме кубичен корен (нечетна степен), което е също често се среща в задачи и уравнения.

Примери. Класически примери за квадратни корени:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \край (подравняване)\]

Между другото, $\sqrt(0)=0$ и $\sqrt(1)=1$. Това е съвсем логично, тъй като $((0)^(2))=0$ и $((1)^(2))=1$.

Кубичните корени също са често срещани - няма нужда да се страхувате от тях:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \край (подравняване)\]

Е, няколко „екзотични примера“:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \край (подравняване)\]

Ако не разбирате каква е разликата между четна и нечетна степен, прочетете отново определението. Много е важно!

Междувременно ще разгледаме една неприятна особеност на корените, поради която трябваше да въведем отделна дефиниция за четни и нечетни показатели.

Защо изобщо са необходими корени?

След като прочетат определението, много ученици ще попитат: „Какво са пушили математиците, когато са измислили това?“ И наистина: защо изобщо са необходими всички тези корени?

За да отговорим на този въпрос, нека се върнем за момент в началното училище. Помнете: в онези далечни времена, когато дърветата бяха по-зелени и кнедлите по-вкусни, основната ни грижа беше да умножим числата правилно. Е, нещо като „пет по пет - двадесет и пет“, това е всичко. Но можете да умножавате числа не по двойки, а по тройки, четворки и като цяло цели набори:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Не това обаче е важното. Номерът е друг: математиците са мързеливи хора, така че им е било трудно да напишат умножението на десет петици по този начин:

Затова са измислили дипломи. Защо не напишете броя на факторите като горен индекс вместо дълъг низ? Нещо като това:

Много е удобно! Всички изчисления са значително намалени и не е нужно да губите куп листове пергамент и тетрадки, за да запишете около 5183. Този запис беше наречен степен на числото, в него бяха открити куп свойства, но щастието се оказа краткотрайно.

След грандиозно пиянство, организирано само за „откриването“ на градусите, някакъв особено упорит математик изведнъж попита: „Ами ако знаем степента на едно число, но самото число е неизвестно?“ Сега, наистина, ако знаем, че определено число $b$, да речем, на 5-та степен дава 243, тогава как можем да познаем на какво е равно самото число $b$?

Този проблем се оказа много по-глобален, отколкото може да изглежда на пръв поглед. Защото се оказа, че за повечето „готови“ мощности няма такива „първоначални“ числа. Преценете сами:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Стрелка надясно b=4\cdot 4\cdot 4\Стрелка надясно b=4. \\ \край (подравняване)\]

Ами ако $((b)^(3))=50$? Оказва се, че трябва да намерим определено число, което, умножено по себе си три пъти, ще ни даде 50. Но какво е това число? Очевидно е по-голямо от 3, тъй като 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Това е това число е някъде между три и четири, но няма да разберете на какво е равно.

Точно затова математиците излязоха с $n$-ти корени. Точно затова беше въведен радикалният символ $\sqrt(*)$. Да обозначим самото число $b$, което в посочената степен ще ни даде предварително известна стойност

\[\sqrt[n](a)=b\Дясна стрелка ((b)^(n))=a\]

Не споря: често тези корени се изчисляват лесно - видяхме няколко такива примера по-горе. Но все пак, в повечето случаи, ако мислите за произволно число и след това се опитате да извлечете корен от произволна степен от него, ще бъдете в ужасна беда.

Какво има там! Дори най-простият и познат $\sqrt(2)$ не може да бъде представен в нашата обичайна форма - като цяло число или дроб. И ако въведете това число в калкулатора, ще видите това:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Както можете да видите, след десетичната запетая има безкрайна последователност от числа, които не се подчиняват на никаква логика. Можете, разбира се, да закръглите това число, за да го сравните бързо с други числа. Например:

\[\sqrt(2)=1,4142...\приблизително 1,4 \lt 1,5\]

Или ето друг пример:

\[\sqrt(3)=1,73205...\приблизително 1,7 \gt 1,5\]

Но всички тези закръгляния, първо, са доста груби; и второ, вие също трябва да можете да работите с приблизителни стойности, в противен случай можете да хванете куп неочевидни грешки (между другото, умението за сравнение и закръгляване е необходимо да се провери на Единния държавен изпит на профила).

Следователно в сериозната математика не можете да правите без корени - те са едни и същи равни представители на множеството от всички реални числа $\mathbb(R)$, точно като дробите и целите числа, които отдавна са ни познати.

Невъзможността да се представи корен като дроб от формата $\frac(p)(q)$ означава, че този корен не е рационално число. Такива числа се наричат ​​ирационални и не могат да бъдат точно представени, освен с помощта на радикал или други конструкции, специално предназначени за това (логаритми, степени, граници и т.н.). Но за това друг път.

Нека разгледаме няколко примера, при които след всички изчисления в отговора все още ще останат ирационални числа.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\приблизително 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\приблизително -1,2599... \\ \end(align)\]

Естествено, от външния вид на корена е почти невъзможно да се познае какви числа ще дойдат след десетичната запетая. Въпреки това можете да разчитате на калкулатор, но дори и най-модерният калкулатор за дата ни дава само първите няколко цифри от ирационално число. Затова е много по-правилно да напишете отговорите във формата $\sqrt(5)$ и $\sqrt(-2)$.

Точно за това са измислени. За удобно записване на отговорите.

Защо са необходими две определения?

Внимателният читател вероятно вече е забелязал, че всички квадратни корени, дадени в примерите, са взети от положителни числа. Е, поне от нулата. Но кубични корени могат спокойно да бъдат извлечени от абсолютно всяко число - било то положително или отрицателно.

Защо се случва това? Погледнете графиката на функцията $y=((x)^(2))$:

Нека се опитаме да изчислим $\sqrt(4)$ с помощта на тази графика. За да направите това, върху графиката се начертава хоризонтална линия $y=4$ (маркирана в червено), която се пресича с параболата в две точки: $((x)_(1))=2$ и $((x )_(2)) =-2$. Това е съвсем логично, тъй като

С първото число всичко е ясно - то е положително, значи е коренът:

Но тогава какво да правим с втората точка? Както четири има два корена едновременно? В края на краищата, ако повдигнем на квадрат числото −2, също получаваме 4. Защо тогава не напишем $\sqrt(4)=-2$? И защо учителите гледат такива постове, сякаш искат да те изядат? :)

Проблемът е, че ако не наложите никакви допълнителни условия, тогава квадратът ще има два квадратни корена - положителен и отрицателен. И всяко положително число също ще има две от тях. Но отрицателните числа изобщо няма да имат корени - това може да се види от същата графика, тъй като параболата никога не пада под оста г, т.е. не приема отрицателни стойности.

Подобен проблем възниква за всички корени с четен показател:

1. Строго погледнато, всяко положително число ще има два корена с четен показател $n$;
2. От отрицателни числа коренът с четни $n$ изобщо не се извлича.

Ето защо в дефиницията на корен от четна степен $n$ изрично е посочено, че отговорът трябва да бъде неотрицателно число. Така се освобождаваме от двусмислието.

Но за нечетни $n$ няма такъв проблем. За да видите това, нека погледнем графиката на функцията $y=((x)^(3))$:

От тази графика могат да се направят два извода:

1. Клоните на кубична парабола, за разлика от обикновената, отиват до безкрайност и в двете посоки - и нагоре, и надолу. Следователно, без значение на каква височина нарисуваме хоризонтална линия, тази линия определено ще се пресича с нашата графика. Следователно, кубичният корен винаги може да бъде взет от абсолютно всяко число;
2. В допълнение, такова пресичане винаги ще бъде уникално, така че не е нужно да мислите кое число се счита за „правилен“ корен и кое да игнорирате. Ето защо определянето на корени за нечетна степен е по-лесно, отколкото за четна степен (няма изискване за неотрицателност).

Жалко, че тези елементарни неща не се обясняват в повечето учебници. Вместо това мозъците ни започват да се извисяват с всякакви аритметични корени и техните свойства.

Да, не споря: вие също трябва да знаете какво е аритметичен корен. И ще говоря за това подробно в отделен урок. Днес ще говорим и за него, защото без него всички мисли за корени от $n$-та кратност биха били непълни.

Но първо трябва ясно да разберете определението, което дадох по-горе. В противен случай, поради изобилието от термини, в главата ви ще започне такава бъркотия, че в крайна сметка няма да разберете нищо.

Всичко, което трябва да направите, е да разберете разликата между четни и нечетни индикатори. Затова нека отново да съберем всичко, което наистина трябва да знаете за корените:

1. Корен от четна степен съществува само от неотрицателно число и сам по себе си винаги е неотрицателно число. За отрицателни числа такъв корен е недефиниран.
2. Но коренът на нечетна степен съществува от всяко число и сам по себе си може да бъде всяко число: за положителни числа той е положителен, а за отрицателни числа, както подсказва капачката, е отрицателен.

Трудно е? Не, не е трудно. Ясно е? Да, напълно е очевидно! Така че сега ще се упражняваме малко с изчисленията.

Основни свойства и ограничения

Корените имат много странни свойства и ограничения - това ще бъде обсъдено в отделен урок. Затова сега ще разгледаме само най-важния „трик“, който се прилага само за корени с четен индекс. Нека запишем това свойство като формула:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\надясно|\]

С други думи, ако повдигнем число на четна степен и след това извлечем корена на същата степен, няма да получим оригиналното число, а неговия модул. Това е проста теорема, която може лесно да се докаже (достатъчно е да разгледаме отделно неотрицателните $x$ и след това отделно отрицателните). Учителите постоянно говорят за това, има го във всеки учебник. Но щом се стигне до решаване на ирационални уравнения (т.е. уравнения, съдържащи радикален знак), учениците единодушно забравят тази формула.

За да разберем проблема в детайли, нека забравим всички формули за минута и се опитаме да изчислим две числа направо напред:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Това са много прости примери. Повечето хора ще решат първия пример, но много хора се забиват на втория. За да разрешите подобни глупости без проблеми, винаги обмисляйте процедурата:

1. Първо, числото се повишава на четвърта степен. Е, някак си е лесно. Ще получите ново число, което може да се намери дори в таблицата за умножение;
2. И сега от това ново число е необходимо да извлечем четвъртия корен. Тези. не се случва „намаляване“ на корени и правомощия - това са последователни действия.

Нека да разгледаме първия израз: $\sqrt(((3)^(4)))$. Очевидно първо трябва да изчислите израза под корена:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

След това извличаме четвъртия корен от числото 81:

Сега нека направим същото с втория израз. Първо, повдигаме числото −3 на четвърта степен, което изисква умножаването му по себе си 4 пъти:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ляво(-3 \дясно)=81\]

Получихме положително число, тъй като общият брой на минусите в продукта е 4 и всички те ще се компенсират взаимно (в края на краищата минус за минус дава плюс). След това отново извличаме корена:

По принцип този ред не би могъл да бъде написан, тъй като няма смисъл отговорът да е същият. Тези. четен корен със същата четна мощност „изгаря“ минусите и в този смисъл резултатът е неразличим от обикновения модул:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \край (подравняване)\]

Тези изчисления са в добро съгласие с дефиницията на корен от четна степен: резултатът винаги е неотрицателен и радикалният знак също винаги съдържа неотрицателно число. В противен случай коренът е недефиниран.

Забележка относно процедурата

1. Нотацията $\sqrt(((a)^(2)))$ означава, че първо възвеждаме на квадрат числото $a$ и след това вземаме корен квадратен от получената стойност. Следователно можем да сме сигурни, че винаги има неотрицателно число под знака за корен, тъй като $((a)^(2))\ge 0$ във всеки случай;
2. Но нотацията $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, напротив, означава, че първо вземаме корен от определено число $a$ и едва след това повдигаме резултата на квадрат. Следователно числото $a$ в никакъв случай не може да бъде отрицателно - това е задължително изискване, включено в дефиницията.

По този начин в никакъв случай не трябва безразсъдно да намалявате корени и степени, като по този начин уж „опростявате“ оригиналния израз. Защото, ако коренът има отрицателно число и неговият показател е четен, получаваме куп проблеми.

Всички тези проблеми обаче са от значение само за четни индикатори.

Премахване на знака минус под знака за корен

Естествено, корените с нечетни показатели също имат своя особеност, която по принцип не съществува при четните. а именно:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Накратко, можете да премахнете минуса под знака на корени от нечетни степени. Това е много полезно свойство, което ви позволява да „изхвърлите“ всички недостатъци:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \край (подравняване)\]

Това просто свойство значително опростява много изчисления. Сега не е нужно да се притеснявате: какво ще стане, ако под корена е скрит отрицателен израз, но степента в корена се оказа четна? Достатъчно е просто да „изхвърлите“ всички минуси извън корените, след което те могат да бъдат умножени помежду си, разделени и изобщо да направят много подозрителни неща, които в случай на „класически“ корени гарантирано ще ни доведат до грешка.

И тук на сцената излиза друго определение – същото, с което повечето училища започват изучаването на ирационални изрази. И без които нашите разсъждения биха били непълни. Среща!

Аритметичен корен

Нека приемем за момент, че под знака за корен може да има само положителни числа или в краен случай нула. Да забравим за показателите четно/нечетно, да забравим за всички определения по-горе – ще работим само с неотрицателни числа. Какво тогава?

И тогава ще получим аритметичен корен - той частично се припокрива с нашите „стандартни“ дефиниции, но все пак се различава от тях.

Определение. Аритметичен корен от $n$-та степен на неотрицателно число $a$ е неотрицателно число $b$, така че $((b)^(n))=a$.

Както виждаме, паритетът вече не ни интересува. Вместо това се появи ново ограничение: радикалният израз вече винаги е неотрицателен, а самият корен също е неотрицателен.

За да разберете по-добре как аритметичният корен се различава от обичайния, разгледайте вече познатите ни графики на квадратната и кубичната парабола:

Както можете да видите, отсега нататък се интересуваме само от онези части от графиките, които се намират в първата координатна четвърт - където координатите $x$ и $y$ са положителни (или поне нула). Вече не е необходимо да гледате индикатора, за да разберете дали имаме право да поставим отрицателно число под корена или не. Защото отрицателните числа вече не се разглеждат по принцип.

Може да попитате: „Е, защо имаме нужда от такова кастрирано определение?“ Или: „Защо не можем да се справим със стандартната дефиниция, дадена по-горе?“

Е, ще дам само едно свойство, поради което новата дефиниция става подходяща. Например правилото за степенуване:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Моля, обърнете внимание: можем да повдигнем радикалния израз на произволна степен и в същото време да умножим коренния показател по същата степен - и резултатът ще бъде същото число! Ето примери:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

И така, каква е голямата работа? Защо не можахме да направим това преди? Ето защо. Нека разгледаме един прост израз: $\sqrt(-2)$ - това число е съвсем нормално в нашето класическо разбиране, но е абсолютно неприемливо от гледна точка на аритметичния корен. Нека се опитаме да го конвертираме:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Както можете да видите, в първия случай премахнахме минуса под радикала (имаме пълното право, тъй като показателят е нечетен), а във втория случай използвахме горната формула. Тези. От математическа гледна точка всичко е направено по правилата.

WTF?! Как може едно и също число да бъде едновременно положително и отрицателно? Няма начин. Просто формулата за степенуване, която работи чудесно за положителни числа и нула, започва да произвежда пълна ерес в случай на отрицателни числа.

Именно за да се отървем от такава неяснота, бяха изобретени аритметичните корени. На тях е посветен отделен голям урок, в който подробно разглеждаме всичките им свойства. Така че няма да се спираме на тях сега - урокът вече се оказа твърде дълъг.

Алгебричен корен: за тези, които искат да знаят повече

Дълго мислих дали да сложа тази тема в отделен параграф или не. В крайна сметка реших да го оставя тук. Този материал е предназначен за тези, които искат да разберат още по-добре корените - вече не на средното „училищно“ ниво, а на ниво, близко до нивото на олимпиадата.

И така: в допълнение към „класическата“ дефиниция на $n$-тия корен на числото и свързаното с нея деление на четни и нечетни показатели, има по-„възрастна“ дефиниция, която изобщо не зависи от паритета и други тънкости. Това се нарича алгебричен корен.

Определение. Алгебричният $n$-ти корен на всяко $a$ е множеството от всички числа $b$, така че $((b)^(n))=a$. Няма установено обозначение за такива корени, така че просто ще поставим тире отгоре:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Основната разлика от стандартната дефиниция, дадена в началото на урока, е, че алгебричният корен не е конкретно число, а набор. И тъй като работим с реални числа, този набор се предлага само в три вида:

1. Празен комплект. Възниква, когато трябва да намерите алгебричен корен от четна степен от отрицателно число;
2. Комплект, състоящ се от един единствен елемент. Всички корени на нечетни степени, както и корени на четни степени на нула, попадат в тази категория;
3. И накрая, наборът може да включва две числа - същите $((x)_(1))$ и $((x)_(2))=-((x)_(1))$, които видяхме на графика на квадратична функция. Съответно, такова подреждане е възможно само при извличане на корена на четна степен от положително число.

Последният случай заслужава по-подробно разглеждане. Нека преброим няколко примера, за да разберем разликата.

Пример. Оценете изразите:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Решение. С първия израз всичко е просто:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Това са две числа, които са част от комплекта. Защото всеки от тях на квадрат дава четворка.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Тук виждаме набор, състоящ се само от едно число. Това е съвсем логично, тъй като коренният показател е нечетен.

И накрая, последният израз:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Получихме празен комплект. Защото няма нито едно реално число, което, когато бъде повдигнато на четвърта (т.е. четна!) степен, да ни даде отрицателното число −16.

Последна бележка. Обърнете внимание: неслучайно отбелязах навсякъде, че работим с реални числа. Защото има и комплексни числа - там е напълно възможно да се изчисли $\sqrt(-16)$ и много други странни неща.

Комплексните числа обаче почти никога не се появяват в съвременните училищни курсове по математика. Те са премахнати от повечето учебници, защото нашите служители смятат, че темата е „твърде трудна за разбиране“.

Това е всичко. В следващия урок ще разгледаме всички ключови свойства на корените и най-накрая ще научим как да опростяваме ирационални изрази :)

Публикувано на нашия уебсайт. Изваждането на корен от число често се използва в различни изчисления и нашият калкулатор е отличен инструмент за такива математически изчисления.

Онлайн калкулатор с корени ще ви позволи бързо и лесно да правите всякакви изчисления, включващи извличане на корени. Третият корен може да се изчисли също толкова лесно, колкото корен квадратен от число, корен от отрицателно число, корен от комплексно число, корен от пи и т.н.

Изчисляването на корен от число е възможно ръчно. Ако е възможно да изчислим целия корен на число, тогава просто намираме стойността на радикалния израз, като използваме таблицата с корени. В други случаи приблизителното изчисляване на корените се свежда до разлагане на радикалния израз в продукт от по-прости множители, които са степени и могат да бъдат премахнати от знака на корена, опростявайки израза под корена, доколкото е възможно.

Но не трябва да използвате този коренов разтвор. И ето защо. Първо, ще трябва да отделите много време за такива изчисления. Числата в основата или по-точно изразите могат да бъдат доста сложни и степента не е непременно квадратна или кубична. Второ, точността на такива изчисления не винаги е задоволителна. И трето, има онлайн калкулатор за корен, който ще направи всяко извличане на корен за вас за секунди.

Да се ​​извлече корен от число означава да се намери число, което, когато се повдигне на степен n, ще бъде равно на стойността на радикалния израз, където n е степента на корена, а самото число е основата на корен. Коренът от 2-ра степен се нарича прост или квадратен, а коренът от трета степен се нарича кубичен, като и в двата случая се пропуска посочването на степента.

Решаването на корени в онлайн калкулатор се свежда до просто писане на математически израз във входния ред. Извличането на корен в калкулатора се обозначава като sqrt и се извършва с помощта на три ключа - квадратен корен sqrt(x), кубичен корен sqrt3(x) и n-ти корен sqrt(x,y). По-подробна информация за контролния панел е представена на страницата.

Корен квадратен

Щракването върху този бутон ще вмъкне записа за квадратен корен във входния ред: sqrt(x), трябва само да въведете радикалния израз и да затворите скобите.

Пример за решаване на квадратен корен в калкулатор:

Ако коренът е отрицателно число и степента на корена е четна, тогава отговорът ще бъде представен като комплексно число с имагинерна единица i.

Корен квадратен от отрицателно число:

Трети корен

Използвайте този ключ, когато трябва да вземете кубичния корен. Той вмъква записа sqrt3(x) във входния ред.

Корен от 3-та степен:

Корен от степен n

Естествено, онлайн калкулаторът за корени ви позволява да извлечете не само квадратни и кубични корени от число, но и корен от степен n. Щракването върху този бутон ще покаже запис като sqrt(x x,y).

4-ти корен:

Точен n-ти корен от число може да бъде извлечен само ако самото число е точен n-ти корен. В противен случай изчислението ще се окаже приблизително, макар и много близко до идеалното, тъй като точността на изчисленията на онлайн калкулатора достига 14 знака след десетичната запетая.

5-ти корен с приблизителен резултат:

Корен от дроб

Калкулаторът може да изчисли корена от различни числа и изрази. Намирането на корена на дроб се свежда до отделно извличане на корена на числителя и знаменателя.

Корен квадратен от дроб:

Корен от корена

В случаите, когато коренът на израза е под корена, според свойствата на корените те могат да бъдат заменени с един корен, чиято степен ще бъде равна на произведението на степените на двете. Просто казано, за да извлечете корен от корен, достатъчно е да умножите показателите на корените. В примера, показан на фигурата, изразът корен от трета степен на корен от втора степен може да бъде заменен с един корен от 6-та степен. Посочете израза както желаете. Във всеки случай калкулаторът ще изчисли всичко правилно.

Формули за степенизползвани в процеса на редуциране и опростяване на сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.

Номер ° Се н-та степен на число аКога:

Операции със степени.

1. Чрез умножаване на градуси с една и съща основа се добавят техните показатели:

a m·a n = a m + n .

2. При деление на степени с еднаква основа се изваждат техните експоненти:

3. Степента на произведението на 2 или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степента на дроб е равна на отношението на степените на делителя и делителя:

(a/b) n = a n /b n.

5. Повишаване на степен на степен, показателите се умножават:

(a m) n = a m n.

Всяка формула по-горе е вярна в посоките отляво надясно и обратно.

Например. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции с корени.

1. Коренът на произведението на няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:

3. Когато повдигате корен на степен, достатъчно е да повдигнете радикалното число на тази степен:

4. Ако увеличите степента на корена в нведнъж и в същото време се вграждат в нта степен е радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалите степента на корена в низвлечете корена едновременно н-та степен на радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

Степен с отрицателен показател.Степента на определено число с неположителен (цял) показател се определя като единица, разделена на степента на същото число с показател, равен на абсолютната стойност на неположителния показател:

Формула a m:a n =a m - nможе да се използва не само за м> н, но и с м< н.

Например. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

За формулиране a m:a n =a m - nстана справедливо, когато m=n, изисква се наличие на нулева степен.

Диплома с нулев индекс.Степента на всяко число, което не е равно на нула с нулев показател, е равна на едно.

Например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен с дробен показател.Да се ​​вдигне реално число Адо степента м/н, трябва да извлечете корена нта степен на м-та степен на това число А.

Примери:

\(\sqrt(16)=2\), тъй като \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) , тъй като \((-\frac(1)(5) ) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

Как да изчислим n-тия корен?

За да изчислите корена на \(n\)-та степен, трябва да си зададете въпроса: какво число на \(n\)-та степен ще даде под корена?

Например. Изчислете \(n\)-тия корен: a)\(\sqrt(16)\); б) \(\sqrt(-64)\); в) \(\sqrt(0,00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); д) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).

а) Какво число на \(4\) степен ще даде \(16\)? Очевидно \(2\). Ето защо:

б) Какво число на \(3\)-та степен ще даде \(-64\)?

\(\sqrt(-64)=-4\)

в) Какво число на \(5\)-та степен ще даде \(0,00001\)?

\(\sqrt(0,00001)=0,1\)

г) Какво число на \(3\) степен ще даде \(8000\)?

\(\sqrt(8000)=20\)

д) Какво число на \(4\)-та степен ще даде \(\frac(1)(81)\)?

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

Разгледахме най-простите примери с \(n\)-ия корен. За решаването на по-сложни задачи с корени от \(n\)-та степен е жизненоважно да ги познаваме.

Пример. Изчисли:

Свързани ли са корен n и корен квадратен?

Във всеки случай всеки корен от каквато и да е степен е просто число, макар и написано в непозната за вас форма.

n-та коренна особеност

Коренът на \(n\)-та степен с нечетно \(n\) може да бъде извлечен от всяко число, дори отрицателно (вижте примерите в началото). Но ако \(n\) е четен (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…), тогава такъв корен може да бъде извлечен само ако \( a ≥ 0\) (между другото, същото важи и за квадратния корен). Това се дължи на факта, че извличането на корен е обратното на повдигането на степен.

И повдигането на четна степен прави дори отрицателно число положително. Наистина, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Следователно не можем да получим четна степен на отрицателно число под корена. Това означава, че не можем да извлечем такъв корен от отрицателно число.

Нечетната степен няма такива ограничения - отрицателно число, повишено на нечетна степен, ще остане отрицателно: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (- 2) \ cdot (-2)=-32\). Следователно под корена на нечетна степен можете да получите отрицателно число. Това означава, че е възможно да се извлече и от отрицателно число.