Lekcija i prezentacija na temu: "Brojevi nizovi. Aritmetička progresija"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Obrazovna sredstva u internet prodavnici "Integral" za udžbenike 9. razreda
Makarycheva Yu.N. Alimova Sh.A. Mordkovich A.G. Muravina G.K.

Dakle, šta je aritmetička progresija?

Brojčani niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak zbiru prethodnog i nekog fiksnog broja naziva se aritmetička progresija.

Aritmetička progresija– ponavljajuća numerička progresija.

Zapišimo rekurentni oblik: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, broj d – razlika u progresiji. a i d su određeni dati brojevi.

Primjer. 1,4,7,10,13,16... Aritmetička progresija sa $a=1, d=3$.

Primjer. 3,0,-3,-6,-9... Aritmetička progresija sa $a=3, d=-3$.

Primjer. 5,5,5,5,5... Aritmetička progresija sa $a=5, d=0$.

Aritmetička progresija ima svojstva monotonosti: ako je razlika progresije veća od nule, niz se povećava, ako je razlika progresije manja od nule, tada se niz opada.

Ako aritmetička progresija ima konačan broj elemenata, tada se progresija naziva konačna aritmetička progresija.

Ako je dat niz $a_(n)$, i to je aritmetička progresija, tada je uobičajeno označavati: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.

Formula za n-ti član aritmetičke progresije

Vratimo se našim primjerima i zapišite našu formulu za svaki primjer.

Primjer. 1,4,7,10,13,16... Aritmetička progresija, u kojoj je a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.

Primjer. 3,0,-3,-6,-9... Aritmetička progresija, za koju je a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Primjer. Zadata aritmetička progresija: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
a) Poznato je da je $a_(1)=5$, $d=3$. Pronađite $a_(23)$.
b) Poznato je da je $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$. Nađi br.
c) Poznato je da je $d=-1$, $a_(22)=15$. Pronađite $a_(1)$.
d) Poznato je da je $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$. Nađi d.
Rješenje.
a) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
b) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
c) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
d) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Primjer. Kada se deveti član aritmetičke progresije podijeli sa drugim članom, količnik ostaje 7, a kada se deveti član podijeli s petim, količnik je 2, a ostatak je 5. Nađite trideseti član progresije.
Rješenje.
Napišimo redom formule 2,5 i 9 članove naše progresije.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
Takođe znamo iz uslova:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
Ili:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
Napravimo sistem jednačina:
$\begin(cases)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end(cases)$.
$\begin(cases)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end(cases)$.
Nakon što smo riješili sistem dobijamo: $d=6, a_(1)=1$.
Nađimo $a_(30)$.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.

Zbir konačne aritmetičke progresije

Neka nam je data aritmetička progresija 1,2,3,4,5...100.
Predstavimo onda zbir njegovih članova ovako:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Ali slična formula je primjenjiva za bilo koju aritmetičku progresiju:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
Napišimo našu formulu u opštem slučaju: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, gdje je $k<1$.
Hajde da izvedemo formulu za izračunavanje sume članova aritmetičke progresije, napišemo formulu dva puta različitim redosledom:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
Dodajmo zajedno ove formule:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
Na desnoj strani naše jednakosti nalazi se n članova, a znamo da je svaki od njih jednak $a_(1)+a_(n)$.
onda:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
Naša formula se takođe može prepisati u obliku: pošto $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
onda $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
Najčešće je zgodnije koristiti ovu formulu, pa je dobro zapamtiti je!

Primjer. Zadana je konačna aritmetička progresija.
Pronađite:
a) $s_(22), ako je a_(1)=7, d=2$.
b) d, ako je $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
Rješenje.
a) Koristimo drugu formulu zbira $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 =616$.
b) U ovom primjeru koristit ćemo prvu formulu: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
$144=36+4a_(8)$.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.

Primjer. Pronađite zbir svih neparnih dvocifrenih brojeva.
Rješenje.
Uslovi našeg napredovanja su: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
Nađimo broj posljednjeg člana progresije:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$n=45$.
Sada pronađimo zbir: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.

Primjer. Momci su krenuli u planinarenje. Poznato je da su u prvom satu prepješačili 500 m, nakon čega su počeli hodati 25 metara manje nego u prvom satu. Koliko će im sati biti potrebno da pređu 2975 metara?
Rješenje.
Put koji se pređe u svakom satu može se predstaviti kao aritmetička progresija:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450...$.
Razlika aritmetičke progresije je $d=-25$.
Udaljenost prijeđena u 2975 metara je zbir članova aritmetičke progresije.
$S_(n)=2975$, gdje je n sati potrošeni na putovanju.
onda:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
1000$n-25(n-1)n=5950$.
Podijelite obje strane sa 25.
$40n-(n-1)n=238$.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
Očigledno je logičnije izabrati $n=7$.
Odgovori. Momci su bili na putu 7 sati.

Karakteristično svojstvo aritmetičke progresije

Ako je progresija konačna, onda ova jednakost vrijedi za sve članove osim prvog i posljednjeg.
Ako se unaprijed ne zna kakav oblik ima niz, ali je poznato da je: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Tada možemo sa sigurnošću reći da je ovo aritmetička progresija.

Numerički niz je aritmetička progresija kada je svaki član ove progresije jednak aritmetičkoj sredini dva susjedna člana naše progresije (ne zaboravite da za konačnu progresiju ovaj uvjet nije zadovoljen za prvi i posljednji član progresije) .

Primjer. Pronađite x takav da je $3x+2$; $x-1$; $4x+3$ – tri uzastopna člana aritmetičke progresije.
Rješenje. Koristimo našu formulu:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1.4$.
Provjerimo, naši izrazi će imati oblik: -2,2; -2,4; -2.6.
Očigledno, ovo su termini aritmetičke progresije i $d=-0.2$.

Problemi koje treba riješiti samostalno

Prilikom izučavanja algebre u srednjoj školi (9. razred) jedna od važnih tema je izučavanje numeričkih nizova, koji uključuju progresije – geometrijske i aritmetičke. U ovom članku ćemo pogledati aritmetičku progresiju i primjere s rješenjima.

Šta je aritmetička progresija?

Da bi se ovo razumjelo, potrebno je definirati o kojoj se progresiji radi, kao i navesti osnovne formule koje će se kasnije koristiti u rješavanju problema.

Poznato je da je u nekoj algebarskoj progresiji 1. član jednak 6, a 7. član 18. Potrebno je pronaći razliku i vratiti ovaj niz na 7. član.

Koristimo formulu da odredimo nepoznati pojam: a n = (n - 1) * d + a 1 . Zamenimo u njega poznate podatke iz uslova, odnosno brojeve a 1 i a 7, imamo: 18 = 6 + 6 * d. Iz ovog izraza možete lako izračunati razliku: d = (18 - 6) /6 = 2. Dakle, odgovorili smo na prvi dio zadatka.

Da biste vratili niz na 7. član, trebali biste koristiti definiciju algebarske progresije, to jest, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, i tako dalje. Kao rezultat, vraćamo cijeli niz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Primjer br. 3: izrada progresije

Hajde da još više zakomplikujemo problem. Sada moramo odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Može se dati sljedeći primjer: data su dva broja, na primjer - 4 i 5. Potrebno je napraviti algebarsku progresiju tako da se između njih smjeste još tri člana.

Prije nego počnete rješavati ovaj problem, morate razumjeti koje će mjesto dati brojevi zauzeti u budućoj progresiji. Pošto će između njih biti još tri člana, onda je a 1 = -4 i a 5 = 5. Nakon što smo ovo ustanovili, prelazimo na problem koji je sličan prethodnom. Opet, za n-ti član koristimo formulu, dobijamo: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ono što smo dobili ovdje nije cjelobrojna vrijednost razlike, već je to racionalan broj, tako da formule za algebarsku progresiju ostaju iste.

Sada dodajmo pronađenu razliku na 1 i vratimo nedostajuće članove progresije. Dobijamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, što odgovara sa uslovima problema.

Primjer br. 4: prvi termin progresije

Nastavimo davati primjere aritmetičke progresije s rješenjima. U svim prethodnim problemima prvi broj algebarske progresije je bio poznat. Sada razmotrimo problem drugačijeg tipa: neka su data dva broja, pri čemu je a 15 = 50 i a 43 = 37. Potrebno je pronaći kojim brojem počinje ovaj niz.

Do sada korištene formule pretpostavljaju poznavanje a 1 i d. U opisu problema ništa se ne zna o ovim brojevima. Ipak, za svaki termin ćemo zapisati izraze o kojima su dostupne informacije: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Dobili smo dvije jednačine u kojima postoje 2 nepoznate veličine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sistema linearnih jednačina.

Najlakši način da se riješi ovaj sistem je izraziti 1 u svakoj jednačini i zatim uporediti rezultirajuće izraze. Prva jednadžba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Izjednačavanjem ovih izraza dobijamo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, odakle je razlika d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (date su samo 3 decimale).

Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvo: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ako sumnjate u dobijeni rezultat, možete ga provjeriti, na primjer, odrediti 43. član progresije, koji je naveden u uvjetu. Dobijamo: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Mala greška je zbog činjenice da je u proračunima korišteno zaokruživanje na hiljaditi dio.

Primjer br. 5: iznos

Pogledajmo sada nekoliko primjera s rješenjima za zbir aritmetičke progresije.

Neka je data numerička progresija sljedećeg oblika: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbir 100 ovih brojeva?

Zahvaljujući razvoju računarske tehnologije, moguće je riješiti ovaj problem, odnosno sabrati sve brojeve uzastopno, što će računar učiniti čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti mentalno ako obratite pažnju da je prikazani niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je jednaka 1. Primjenom formule za zbir dobijamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Zanimljivo je napomenuti da je ovaj problem nazvan “Gausov” jer je početkom 18. vijeka slavni Nijemac, još uvijek samo 10-godišnjak, mogao da ga riješi u svojoj glavi za nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbir algebarske progresije, ali je primijetio da ako dodate brojeve na krajevima niza u parovima, uvijek dobijete isti rezultat, odnosno 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a pošto će ovi zbroji biti tačno 50 (100 / 2), onda je za tačan odgovor dovoljno pomnožiti 50 sa 101.

Primjer br. 6: zbir članova od n do m

Još jedan tipičan primjer zbira aritmetičke progresije je sljedeći: dajući niz brojeva: 3, 7, 11, 15, ..., morate pronaći koliko će biti jednak zbir njegovih članova od 8 do 14 .

Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih pojmova od 8 do 14, a zatim njihovo sumiranje uzastopno. Budući da postoji malo termina, ova metoda nije baš radno intenzivna. Ipak, predlaže se rješavanje ovog problema korištenjem druge metode, koja je univerzalnija.

Ideja je dobiti formulu za zbir algebarske progresije između pojmova m i n, gdje su n > m cijeli brojevi. Za oba slučaja pišemo dva izraza za zbir:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Pošto je n > m, očigledno je da 2. zbir uključuje prvi. Posljednji zaključak znači da ako uzmemo razliku između ovih zbira i dodamo joj pojam a m (u slučaju uzimanja razlike, ona se oduzme od zbira S n), dobićemo neophodan odgovor na problem. Imamo: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). U ovaj izraz potrebno je zamijeniti formule za n i a m. Tada dobijamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rezultirajuća formula je pomalo glomazna, međutim, zbir S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Zamjenom ovih brojeva dobijamo: S mn = 301.

Kao što se vidi iz gornjih rješenja, svi problemi se zasnivaju na poznavanju izraza za n-ti član i formule za zbir skupa prvih članova. Prije nego počnete rješavati bilo koji od ovih problema, preporučuje se da pažljivo pročitate uvjet, jasno shvatite šta trebate pronaći i tek onda nastaviti s rješavanjem.

Još jedan savjet je da težite jednostavnosti, odnosno, ako možete odgovoriti na pitanje bez korištenja složenih matematičkih proračuna, onda morate učiniti upravo to, jer je u ovom slučaju vjerovatnoća da ćete pogriješiti manja. Na primjer, u primjeru aritmetičke progresije sa rješenjem br. 6, moglo bi se zaustaviti na formuli S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, i podijeliti cjelokupni problem na zasebne podzadatke (u ovom slučaju prvo pronađite pojmove a n i a m).

Ako sumnjate u dobijeni rezultat, preporučuje se da ga provjerite, kao što je to učinjeno u nekim od navedenih primjera. Saznali smo kako pronaći aritmetičku progresiju. Ako to shvatite, nije tako teško.

Prije nego počnemo odlučivati problemi aritmetičke progresije, hajde da razmotrimo šta je niz brojeva, pošto je aritmetička progresija poseban slučaj niza brojeva.

Brojčani niz je skup brojeva čiji svaki element ima svoj vlastiti serijski broj . Elementi ovog skupa nazivaju se članovima niza. Serijski broj elementa sekvence označen je indeksom:

Prvi element niza;

Peti element niza;

- "n-ti" element niza, tj. element "stoji u redu" na broju n.

Postoji odnos između vrijednosti elementa sekvence i njegovog redni broj. Stoga, sekvencu možemo smatrati funkcijom čiji je argument redni broj elementa niza. Drugim riječima, možemo to reći niz je funkcija prirodnog argumenta:

Redoslijed se može postaviti na tri načina:

1 . Redoslijed se može odrediti pomoću tabele. U ovom slučaju, jednostavno postavljamo vrijednost svakog člana niza.

Na primjer, Neko je odlučio da se bavi osobnim upravljanjem vremenom i za početak računa koliko vremena provodi na VKontakteu tokom sedmice. Upisivanjem vremena u tabelu, on će dobiti niz koji se sastoji od sedam elemenata:

Prvi red tabele označava broj dana u sedmici, drugi - vrijeme u minutama. Vidimo da je u ponedeljak Neko proveo 125 minuta na VKontakteu, odnosno u četvrtak - 248 minuta, a to je u petak samo 15.

2 . Redoslijed se može specificirati korištenjem formule n-tog pojma.

U ovom slučaju, ovisnost vrijednosti elementa niza o njegovom broju izražava se direktno u obliku formule.

Na primjer, ako , onda

Da bismo pronašli vrijednost elementa niza sa datim brojem, zamjenjujemo broj elementa u formulu n-tog člana.

Istu stvar radimo ako trebamo pronaći vrijednost funkcije ako je vrijednost argumenta poznata. Zamjenjujemo vrijednost argumenta u jednadžbu funkcije:

ako npr. , To

Dozvolite mi da još jednom primijetim da u nizu, za razliku od proizvoljne numeričke funkcije, argument može biti samo prirodan broj.

3 . Niz se može specificirati pomoću formule koja izražava ovisnost vrijednosti broja člana niza n o vrijednostima prethodnih članova. U ovom slučaju, nije nam dovoljno znati samo broj člana niza da bismo pronašli njegovu vrijednost. Moramo navesti prvog člana ili prvih nekoliko članova niza.

Na primjer, razmotrite slijed ,

Možemo pronaći vrijednosti članova niza u nizu, počevši od trećeg:

To jest, svaki put, da bismo pronašli vrijednost n-tog člana niza, vraćamo se na prethodna dva. Ova metoda specificiranja niza se zove ponavljajuća, od latinske riječi recurro- vrati se.

Sada možemo definirati aritmetičku progresiju. Aritmetička progresija je jednostavan poseban slučaj niza brojeva.

Aritmetička progresija je numerički niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom dodanom istom broju.

Broj je pozvan razlika aritmetičke progresije. Razlika aritmetičke progresije može biti pozitivna, negativna ili jednaka nuli.

Ako title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} povećanje.

Na primjer, 2; 5; 8; jedanaest;...

Ako je , tada je svaki član aritmetičke progresije manji od prethodnog, a progresija je opadajući.

Na primjer, 2; -1; -4; -7;...

Ako , tada su svi članovi progresije jednaki istom broju, a progresija je stacionarno.

Na primjer, 2;2;2;2;...

Glavno svojstvo aritmetičke progresije:

Pogledajmo crtež.

Vidimo to

, i istovremeno

Sabiranjem ove dvije jednakosti dobijamo:

.

Podijelimo obje strane jednakosti sa 2:

Dakle, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini dva susjedna:

Štaviše, pošto

, i istovremeno

, To

, i zbog toga

Svaki član aritmetičke progresije, koji počinje sa title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula th člana.

Vidimo da termini aritmetičke progresije zadovoljavaju sljedeće odnose:

i na kraju

Imamo formula n-tog člana.

BITAN! Bilo koji član aritmetičke progresije može se izraziti kroz i. Znajući prvi član i razliku aritmetičke progresije, možete pronaći bilo koji od njegovih pojmova.

Zbir n članova aritmetičke progresije.

U proizvoljnoj aritmetičkoj progresiji, sumi članova jednako udaljeni od ekstremnih jednaki su jedan drugom:

Razmotrimo aritmetičku progresiju sa n članova. Neka je zbir n članova ove progresije jednak .

Rasporedimo pojmove progresije prvo rastućim redoslijedom brojeva, a zatim opadajućim redoslijedom:

Dodajmo u parovima:

Zbir u svakoj zagradi je , broj parova je n.

Dobijamo:

dakle, zbir n članova aritmetičke progresije može se naći pomoću formula:

Hajde da razmotrimo rješavanje problema aritmetičke progresije.

1 . Niz je dat formulom n-tog člana: . Dokažite da je ovaj niz aritmetička progresija.

Dokažimo da je razlika između dva susjedna člana niza jednaka istom broju.

Otkrili smo da razlika između dva susjedna člana niza ne ovisi o njihovom broju i da je konstanta. Stoga je po definiciji ovaj niz aritmetička progresija.

2 . S obzirom na aritmetičku progresiju -31; -27;...

a) Pronađite 31 termin progresije.

b) Odredite da li je broj 41 uključen u ovu progresiju.

A) Vidimo to;

Zapišimo formulu za n-ti član za našu progresiju.

Uglavnom

U našem slučaju , Zbog toga

Aritmetička progresija imenovati niz brojeva (uslovi progresije)

U kojoj se svaki sljedeći pojam razlikuje od prethodnog po novom pojmu koji se također naziva razlika koraka ili progresije.

Stoga, specificiranjem koraka progresije i njegovog prvog člana, možete pronaći bilo koji njegov element koristeći formulu

Svojstva aritmetičke progresije

1) Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog broja, je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana progresije

I obrnuto je tačno. Ako je aritmetička sredina susjednih neparnih (parnih) članova progresije jednaka terminu koji stoji između njih, onda je ovaj niz brojeva aritmetička progresija. Koristeći ovu izjavu, vrlo je lako provjeriti bilo koji niz.

Također, svojstvom aritmetičke progresije gornja formula se može generalizirati na sljedeće

Ovo je lako provjeriti ako napišete pojmove desno od znaka jednakosti

Često se koristi u praksi za pojednostavljenje proračuna u problemima.

2) Zbir prvih n članova aritmetičke progresije izračunava se pomoću formule

Dobro zapamtite formulu za zbir aritmetičke progresije; ona je neophodna u proračunima i često se nalazi u jednostavnim životnim situacijama.

3) Ako trebate pronaći ne cijeli zbir, već dio niza počevši od njegovog k-tog člana, tada će vam biti korisna sljedeća formula sume

4) Od praktičnog interesa je pronalaženje zbira n članova aritmetičke progresije počevši od k-tog broja. Da biste to učinili, koristite formulu

Ovim se završava teorijski materijal i prelazi se na rješavanje uobičajenih problema u praksi.

Primjer 1. Pronađite četrdeseti član aritmetičke progresije 4;7;...

Rješenje:

Prema stanju koje imamo

Odredimo korak napredovanja

Koristeći dobro poznatu formulu, nalazimo četrdeseti član progresije

Primjer 2. Aritmetička progresija data je trećim i sedmim članom. Pronađite prvi član progresije i zbir deset.

Rješenje:

Zapišimo date elemente progresije koristeći formule

Od druge jednačine oduzimamo prvu, kao rezultat nalazimo korak progresije

Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u bilo koju od jednadžbi kako bismo pronašli prvi član aritmetičke progresije

Izračunavamo zbir prvih deset članova progresije

Bez složenih proračuna, pronašli smo sve potrebne količine.

Primjer 3. Aritmetička progresija data je imeniocem i jednim od njegovih članova. Pronađite prvi član progresije, zbir njegovih 50 članova počevši od 50 i zbir prvih 100.

Rješenje:

Zapišimo formulu za stoti element progresije

i pronađite prvu

Na osnovu prvog nalazimo 50. član progresije

Pronalaženje zbroja dijela progresije

i zbir prvih 100

Iznos progresije je 250.

Primjer 4.

Pronađite broj članova aritmetičke progresije ako:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Rješenje:

Napišimo jednačine u terminima prvog člana i koraka progresije i odredimo ih

Dobijene vrijednosti zamjenjujemo u formulu sume kako bismo odredili broj članova u zbroju

Vršimo pojednostavljenja

i riješi kvadratnu jednačinu

Od dvije pronađene vrijednosti, samo broj 8 odgovara uslovima problema. Dakle, zbir prvih osam članova progresije je 111.

Primjer 5.

Riješite jednačinu

1+3+5+...+x=307.

Rješenje: Ova jednačina je zbir aritmetičke progresije. Hajde da napišemo njegov prvi član i pronađemo razliku u progresiji

Na primjer, niz \(2\); \(5\); \(8\); \(jedanaest\); \(14\)... je aritmetička progresija, jer se svaki sljedeći element razlikuje od prethodnog za tri (može se dobiti od prethodnog dodavanjem tri):

U ovoj progresiji, razlika \(d\) je pozitivna (jednaka \(3\)), i stoga je svaki sljedeći član veći od prethodnog. Takve progresije se nazivaju povećanje.

Međutim, \(d\) može biti i negativan broj. Na primjer, u aritmetičkoj progresiji \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... razlika u progresiji \(d\) jednaka je minus šest.

I u ovom slučaju, svaki sljedeći element bit će manji od prethodnog. Ove progresije se nazivaju opadajući.

Zapis aritmetičke progresije

Napredak je označen malim latiničnim slovom.

Zovu se brojevi koji formiraju progresiju članovi(ili elemenata).

Označavaju se istim slovom kao aritmetička progresija, ali s numeričkim indeksom jednakim broju elementa po redu.

Na primjer, aritmetička progresija \(a_n = \lijevo\( 2; 5; 8; 11; 14...\desno\)\) se sastoji od elemenata \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tako dalje.

Drugim riječima, za progresiju \(a_n = \lijevo\(2; 5; 8; 11; 14...\desno\)\)

Rješavanje problema aritmetičke progresije

U principu, gore predstavljene informacije su već dovoljne za rješavanje gotovo svakog problema aritmetičke progresije (uključujući one koje se nude na OGE-u).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je određena uslovima \(b_1=7; d=4\). Pronađite \(b_5\).
Rješenje:

odgovor: \(b_5=23\)

Primjer (OGE). Prva tri člana aritmetičke progresije su data: \(62; 49; 36…\) Pronađite vrijednost prvog negativnog člana ove progresije..
Rješenje:

odgovor: \(-3\)

Primjer (OGE). Dato je nekoliko uzastopnih elemenata aritmetičke progresije: \(…5; x; 10; 12,5...\) Pronađite vrijednost elementa označenog slovom \(x\).
Rješenje:

odgovor: \(7,5\).

Primjer (OGE). Zadata je aritmetička progresija sledeće uslove: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Pronađite zbir prvih šest članova ove progresije.
Rješenje:

odgovor: \(S_6=9\).

Primjer (OGE). U aritmetičkoj progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Pronađite razliku ove progresije.
Rješenje:

odgovor: \(d=7\).

Važne formule za aritmetičku progresiju

Kao što vidite, mnogi problemi s aritmetičkom progresijom mogu se riješiti jednostavnim razumijevanjem glavne stvari - da je aritmetička progresija lanac brojeva, a svaki sljedeći element u ovom lancu se dobija dodavanjem istog broja prethodnom ( razlika u progresiji).

Međutim, ponekad se dešavaju situacije kada je odlučivanje o "čelnom" vrlo nezgodno. Na primjer, zamislite da u prvom primjeru ne trebamo pronaći peti element \(b_5\), već trista osamdeset šesti \(b_(386)\). Trebamo li sabrati četiri \(385\) puta? Ili zamislite da u pretposljednjem primjeru trebate pronaći zbir prva sedamdeset tri elementa. Bićete umorni od brojanja...

Stoga, u takvim slučajevima ne rješavaju stvari „iz glave“, već koriste posebne formule izvedene za aritmetičku progresiju. A glavne su formula za n-ti član progresije i formula za zbir \(n\) prvih članova.

Formula \(n\)-tog člana: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdje je \(a_1\) prvi član progresije;
\(n\) – broj potrebnog elementa;
\(a_n\) – termin progresije sa brojem \(n\).

Ova formula nam omogućava da brzo pronađemo čak i tristoti ili milioniti element, znajući samo prvi i razliku progresije.

Primjer. Aritmetička progresija je određena uslovima: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Pronađite \(b_(246)\).
Rješenje:

odgovor: \(b_(246)=1850\).

Formula za zbir prvih n članova: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdje je

\(a_n\) – posljednji zbrojeni član;

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je određena uslovima \(a_n=3.4n-0.6\). Pronađite zbroj prvih \(25\) članova ove progresije.
Rješenje:

odgovor: \(S_(25)=1090\).

Za zbir \(n\) prvih članova možete dobiti drugu formulu: samo trebate \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) umjesto \(a_n\) zamijenite formulu za to \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobijamo:

Formula za zbir prvih n članova: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdje je

\(S_n\) – traženi zbir \(n\) prvih elemenata;
\(a_1\) – prvi zbrojeni član;
\(d\) – razlika u progresiji;
\(n\) – ukupan broj elemenata.

Primjer. Pronađite zbir prvih \(33\)-ex članova aritmetičke progresije: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Rješenje:

odgovor: \(S_(33)=-231\).

Složeniji problemi aritmetičke progresije

Sada imate sve informacije koje su vam potrebne da riješite gotovo svaki problem aritmetičke progresije. Hajde da završimo temu razmatranjem problema u kojima ne samo da treba da primenite formule, već i malo razmislite (u matematici to može biti korisno ☺)

Primjer (OGE). Pronađite zbir svih negativnih članova progresije: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Rješenje:

odgovor: \(S_(65)=-630,5\).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je određena uslovima: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Pronađite zbroj od \(26\)-og do \(42\) elementa uključujući.
Rješenje:

odgovor: \(S=1683\).

Za aritmetičku progresiju postoji još nekoliko formula koje nismo razmatrali u ovom članku zbog njihove niske praktične korisnosti. Međutim, lako ih možete pronaći.