տես նաև Գծային ծրագրավորման խնդրի գրաֆիկական լուծում, Գծային ծրագրավորման խնդիրների կանոնական ձև

Նման խնդրի համար սահմանափակումների համակարգը բաղկացած է երկու փոփոխականների անհավասարություններից.
իսկ օբյեկտիվ ֆունկցիան ունի ձև Ֆ = Գ 1 x + Գ 2 yորը պետք է առավելագույնի հասցվի:

Պատասխանենք հարցին՝ ի՞նչ զույգ թվեր ( x; y) արդյո՞ք անհավասարությունների համակարգի լուծումները, այսինքն՝ բավարարում են անհավասարություններից յուրաքանչյուրը միաժամանակ: Այսինքն՝ ի՞նչ է նշանակում համակարգը գրաֆիկորեն լուծել։
Նախ պետք է հասկանալ, թե որն է երկու անհայտով մեկ գծային անհավասարության լուծումը:
Երկու անհայտներով գծային անհավասարություն լուծելը նշանակում է որոշել անհայտ արժեքների բոլոր զույգերը, որոնց համար գործում է անհավասարությունը:
Օրինակ՝ անհավասարություն 3 x – 5y≥ 42 բավարարող զույգ ( x , y) : (100, 2); (3, –10) և այլն: Խնդիրն է գտնել բոլոր այդպիսի զույգերը:
Դիտարկենք երկու անհավասարություն. կացին + կողմից≤ գ, կացին + կողմից≥ գ. Ուղիղ կացին + կողմից = գհարթությունը բաժանում է երկու կիսհարթությունների, որպեսզի դրանցից մեկի կետերի կոորդինատները բավարարեն անհավասարությունը. կացին + կողմից >գ, և մյուս անհավասարությունը կացին + +կողմից <գ.
Իսկապես, եկեք մի կետ վերցնենք կոորդինատով x = x 0 ; ապա մի կետ, որը ընկած է գծի վրա և ունի աբսցիսսա x 0, ունի օրդ

Թող հաստատ ա< 0, բ>0, գ>0. Բոլոր կետերը աբսցիսով x 0 վերևում ընկած Պ(օրինակ, կետ Մ), ունեն y Մ>y 0, և բոլոր կետերը կետից ցածր Պ, աբսցիսով x 0, ունեն y Ն<y 0 . Քանի որ x 0-ը կամայական կետ է, ապա գծի մի կողմում միշտ կլինեն կետեր, որոնց համար կացին+ կողմից > գ, կազմելով կիսահալթ, իսկ մյուս կողմից՝ կետեր, որոնց համար կացին + կողմից< գ.

Նկար 1

Անհավասարության նշանը կիսահարթության մեջ կախված է թվերից ա, բ , գ.
Սա ենթադրում է երկու փոփոխականներում գծային անհավասարությունների համակարգերի գրաֆիկական լուծման հետևյալ մեթոդը. Համակարգը լուծելու համար ձեզ հարկավոր է.

1. Յուրաքանչյուր անհավասարության համար գրե՛ք այս անհավասարությանը համապատասխան հավասարումը:
2. Կառուցեք ուղիղ գծեր, որոնք հավասարումներով սահմանված ֆունկցիաների գրաֆիկներ են:
3. Յուրաքանչյուր տողի համար որոշեք կիսահավասարությունը, որը տրված է անհավասարությամբ: Դա անելու համար վերցրեք կամայական կետ, որը չի գտնվում գծի վրա և փոխարինեք դրա կոորդինատները անհավասարությամբ: եթե անհավասարությունը ճշմարիտ է, ապա ընտրված կետը պարունակող կես հարթությունը սկզբնական անհավասարության լուծումն է: Եթե ​​անհավասարությունը կեղծ է, ապա գծի մյուս կողմի կիսահավասարությունը այս անհավասարության լուծումների բազմությունն է:
4. Անհավասարությունների համակարգը լուծելու համար անհրաժեշտ է գտնել բոլոր կիսահարթությունների հատման տարածքը, որոնք լուծում են համակարգի յուրաքանչյուր անհավասարությանը:

Այս տարածքը կարող է դատարկ դուրս գալ, ապա անհավասարությունների համակարգը լուծումներ չունի և անհետևողական է։ Հակառակ դեպքում, ասում են, որ համակարգը հետևողական է:
Կարող է լինել վերջավոր թիվ կամ անսահման թվով լուծումներ: Տարածքը կարող է լինել փակ բազմանկյուն կամ անսահմանափակ:

Դիտարկենք երեք համապատասխան օրինակներ։

Օրինակ 1. Լուծեք համակարգը գրաֆիկորեն.
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

• հաշվի առնենք անհավասարություններին համապատասխան x+y–1=0 և –2x–2y+5=0 հավասարումները;
• Կառուցենք ուղիղ գծեր, որոնք տրված են այս հավասարումներով:

Սահմանենք անհավասարություններով սահմանված կիսահարթությունները։ Վերցնենք կամայական կետ, թող (0; 0): Եկեք դիտարկենք x+ y– 1 0, փոխարինի՛ր կետը (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0: Սա նշանակում է, որ կիսահարթության մեջ, որտեղ գտնվում է (0; 0) կետը, x + y – 1 ≤ 0, այսինքն. Գծի տակ ընկած կես հարթությունը առաջին անհավասարության լուծումն է։ Այս կետը (0; 0) փոխարինելով երկրորդով, մենք ստանում ենք՝ –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, այսինքն. կես հարթությունում, որտեղ գտնվում է (0; 0) կետը, –2 x – 2y+ 5≥ 0, և մեզ հարցրին, թե որտեղ է –2 x – 2y+ 5 ≤ 0, հետևաբար, մյուս կես հարթությունում՝ ուղիղ գծից վերևում։
Գտնենք այս երկու կիսահարթությունների հատումը։ Ուղիները զուգահեռ են, ուստի հարթությունները ոչ մի տեղ չեն հատվում, ինչը նշանակում է, որ այդ անհավասարությունների համակարգը լուծումներ չունի և անհամապատասխան է։

Օրինակ 2. Գտե՛ք անհավասարությունների համակարգի գրաֆիկական լուծումները.

Նկար 3
1. Դուրս գրենք անհավասարություններին համապատասխան հավասարումները և կառուցենք ուղիղներ։
x + 2y– 2 = 0

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ, որի արդյունքում համակարգի լուծման տիրույթը սահմանափակված չէ:

Անհավասարությունների համակարգԸնդունված է անվանել անհայտ մեծություն պարունակող երկու կամ ավելի անհավասարությունների ցանկացած բազմություն։

Այս ձևակերպումը հստակ պատկերված է, օրինակ, հետևյալով անհավասարությունների համակարգեր:

Լուծե՛ք անհավասարությունների համակարգը - նշանակում է գտնել անհայտ փոփոխականի բոլոր արժեքները, որոնց դեպքում իրականացվում է համակարգի յուրաքանչյուր անհավասարություն, կամ հիմնավորել, որ այդպիսիք գոյություն չունեն .

Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր անհատի համար անհավասարություններհամակարգերՄենք հաշվարկում ենք անհայտ փոփոխականը: Հաջորդը, ստացված արժեքներից ընտրում է միայն նրանք, որոնք ճշմարիտ են և՛ առաջին, և՛ երկրորդ անհավասարությունների համար: Հետևաբար, ընտրված արժեքը փոխարինելիս համակարգի երկու անհավասարություններն էլ ճիշտ են դառնում։

Դիտարկենք մի քանի անհավասարությունների լուծումը.

Եկեք մի զույգ թվային գծեր տեղադրենք մեկը մյուսի տակ; արժեքը դրեք վերևում x, որի համար առաջին անհավասարություններՕ ( x> 1) դառնալ ճշմարիտ, իսկ ներքևում` արժեքը Xորոնք երկրորդ անհավասարության լուծումն են ( X> 4).

Համեմատելով տվյալները թվային գծեր, նշենք, որ լուծումը երկուսի համար էլ անհավասարություններկամք X> 4. Պատասխան, X> 4.

Օրինակ 2.

Առաջինի հաշվարկը անհավասարությունմենք ստանում ենք -3 X< -6, или x> 2, երկրորդ - X> -8, կամ X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, որով իրականացվում է առաջինը անհավասարության համակարգ, իսկ ներքևի թվային տողում՝ բոլոր այդ արժեքները X, որի դեպքում իրականացվում է համակարգի երկրորդ անհավասարությունը։

Համեմատելով տվյալները՝ մենք գտնում ենք, որ երկուսն էլ անհավասարություններկիրականացվի բոլոր արժեքների համար X, տեղադրված 2-ից 8-ը: Արժեքների հավաքածու Xնշանակել կրկնակի անհավասարություն 2 < X< 8.

Օրինակ 3.Մենք կգտնենք

Գծային, քառակուսի և կոտորակային անհավասարությունների լուծման ծրագիրը ոչ միայն տալիս է խնդրի պատասխանը, այլ տալիս է մանրամասն լուծում՝ բացատրություններով, այսինքն. ցուցադրում է լուծման գործընթացը մաթեմատիկայի և/կամ հանրահաշիվից գիտելիքները ստուգելու համար:

Ընդ որում, եթե անհավասարություններից մեկի լուծման գործընթացում անհրաժեշտ է լուծել, օրինակ, քառակուսի հավասարումը, ապա ցուցադրվում է նաև դրա մանրամասն լուծումը (այն պարունակվում է սփոյլերի մեջ)։

Այս ծրագիրը կարող է օգտակար լինել ավագ դպրոցի աշակերտների համար՝ թեստերին նախապատրաստվելիս, և ծնողների համար՝ վերահսկելու, թե ինչպես են իրենց երեխաները լուծում անհավասարությունները:

Այս ծրագիրը կարող է օգտակար լինել հանրակրթական դպրոցների ավագ դպրոցի աշակերտներին՝ թեստերին և քննություններին նախապատրաստվելիս, մինչև միասնական պետական ​​քննությունը գիտելիքները ստուգելիս, և ծնողների համար՝ վերահսկելու մաթեմատիկայի և հանրահաշվի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը: Կամ գուցե ձեզ համար չափազանց թանկ է դաստիարակ վարձելը կամ նոր դասագրքեր գնելը: Թե՞ պարզապես ցանկանում եք դա անել հնարավորինս արագ: Տնային աշխատանքմաթեմատիկայի՞ն, թե՞ հանրահաշիվին։ Այս դեպքում կարող եք նաև օգտվել մեր ծրագրերից՝ մանրամասն լուծումներով։

Այսպիսով, դուք կարող եք անցկացնել ձեր սեփական ուսուցումը և/կամ վերապատրաստումը ձեր կրտսեր եղբայրների կամ քույրերի համար, մինչդեռ բարձրանում է կրթության մակարդակը խնդիրների լուծման ոլորտում:

Անհավասարությունների մուտքագրման կանոններ

Ցանկացած լատինատառ կարող է հանդես գալ որպես փոփոխական։
Օրինակ՝ \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) և այլն:

Թվերը կարող են մուտքագրվել որպես ամբողջական կամ կոտորակային թվեր:
Ընդ որում, կոտորակային թվերը կարող են մուտքագրվել ոչ միայն տասնորդականի, այլև սովորական կոտորակի տեսքով։

Տասնորդական կոտորակների մուտքագրման կանոններ.
Տասնորդական կոտորակներում կոտորակային մասը կարող է անջատվել ամբողջ մասից կամ կետով կամ ստորակետով:
Օրինակ, դուք կարող եք մուտքագրել տասնորդական կոտորակներ այսպես՝ 2.5x - 3.5x^2

Սովորական կոտորակներ մուտքագրելու կանոններ.
Միայն ամբողջ թիվը կարող է լինել կոտորակի համարիչ, հայտարար և ամբողջ թիվ:

Հայտարարը չի կարող բացասական լինել:

Թվային կոտորակ մուտքագրելիս համարիչը հայտարարից բաժանվում է բաժանման նշանով. /
Ամբողջ մասը բաժանված է կոտորակից ամպերսանդ նշանով. &
Մուտք՝ 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Արդյունք՝ \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

Արտահայտություններ մուտքագրելիս կարող եք օգտագործել փակագծեր: Այս դեպքում անհավասարությունները լուծելիս նախ արտահայտությունները պարզեցվում են։
Օրինակ: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0.6(a-2)(a+3)

Ընտրել ճիշտ նշանանհավասարություններ և մուտքագրեք ներքևի վանդակների բազմանդամները:

Պարզվել է, որ այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ որոշ սցենարներ չեն բեռնվել, և ծրագիրը կարող է չաշխատել:
Հնարավոր է, որ դուք միացված եք AdBlock-ին:
Այս դեպքում անջատեք այն և թարմացրեք էջը։

Որովհետեւ Խնդիրը լուծելու պատրաստ շատ մարդիկ կան, ձեր հարցումը հերթագրված է։
Մի քանի վայրկյանից լուծումը կհայտնվի ստորև։
Խնդրում ենք սպասել վրկ...

Եթե ​​դու լուծման մեջ սխալ է նկատել, ապա այս մասին կարող եք գրել Հետադարձ կապի ձևաթղթում։
Չմոռանաս նշեք, թե որ առաջադրանքըդուք որոշեք ինչ մտնել դաշտերում.

Մեր խաղերը, հանելուկները, էմուլյատորները.

Մի փոքր տեսություն.

Մեկ անհայտով անհավասարությունների համակարգեր: Թվային ընդմիջումներ

Համակարգ հասկացությանը ծանոթացաք 7-րդ դասարանում և սովորեցիք լուծել գծային հավասարումների համակարգեր երկու անհայտներով։ Հաջորդիվ կդիտարկենք մեկ անհայտով գծային անհավասարությունների համակարգեր: Անհավասարությունների համակարգերի լուծումների հավաքածուները կարող են գրվել ընդմիջումների միջոցով (ինտերվալներ, կիսինտերվալներ, հատվածներ, ճառագայթներ): Դուք կծանոթանաք նաև թվերի միջակայքերի նշումին։

Եթե ​​\(4x > 2000\) և \(5x \leq 4000\) անհավասարություններում x անհայտ թիվը նույնն է, ապա այս անհավասարությունները միասին դիտարկվում են և ասում են, որ կազմում են անհավասարությունների համակարգ՝ $$ \left\: (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\ right. $$

Գանգուր փակագիծը ցույց է տալիս, որ դուք պետք է գտնեք x-ի արժեքներ, որոնց դեպքում համակարգի երկու անհավասարությունները վերածվում են ճիշտ թվային անհավասարությունների: Այս համակարգը մեկ անհայտով գծային անհավասարությունների համակարգի օրինակ է:

Մեկ անհայտով անհավասարությունների համակարգի լուծումը անհայտի արժեքն է, որի դեպքում համակարգի բոլոր անհավասարությունները վերածվում են իրական թվային անհավասարությունների: Անհավասարությունների համակարգի լուծումը նշանակում է գտնել այս համակարգի բոլոր լուծումները կամ հաստատել, որ դրանք չկան:

\(x \geq -2 \) և \(x \leq 3 \) անհավասարությունները կարելի է գրել որպես կրկնակի անհավասարություն՝ \(-2 \leq x \leq 3 \):

Մեկ անհայտով անհավասարությունների համակարգերի լուծումները տարբեր թվային բազմություններ են: Այս հավաքածուները ունեն անուններ. Այսպիսով, թվային առանցքի վրա x թվերի բազմությունն այնպիսին է, որ \(-2 \leq x \leq 3 \) ներկայացված է -2 և 3 կետերում ծայրերով հատվածով:

Եթե ​​\(a-ն հատված է և նշանակվում է [a; b]-ով:

Եթե ​​\(a-ն միջակայք է և նշանակվում է (a; b)-ով

\(x\) անհավասարությունները բավարարող \(a \leq x-ը կիսատ միջակայք են և նշանակվում են համապատասխանաբար [a; b) և (a; b)

Սեգմենտները, ինտերվալները, կիսատ միջակայքերը և ճառագայթները կոչվում են թվային ընդմիջումներով.

Այսպիսով, թվային միջակայքերը կարող են սահմանվել անհավասարությունների տեսքով:

Երկու անհայտների անհավասարության լուծումը թվերի զույգն է (x; y), որը տվյալ անհավասարությունը վերածում է իրական թվային անհավասարության: Անհավասարություն լուծելը նշանակում է գտնել դրա բոլոր լուծումների բազմությունը: Այսպիսով, x > y անհավասարության լուծումները կլինեն, օրինակ, թվերի զույգերը (5; 3), (-1; -1), քանի որ \(5 \geq 3 \) և \(-1 \geq - 1\)

Անհավասարությունների համակարգերի լուծում

Դուք արդեն սովորել եք, թե ինչպես լուծել գծային անհավասարությունները մեկ անհայտով: Գիտե՞ք ինչ է անհավասարությունների համակարգն ու համակարգի լուծումը։ Հետևաբար, մեկ անհայտով անհավասարությունների համակարգերի լուծման գործընթացը ձեզ որևէ դժվարություն չի առաջացնի։

Եվ այնուամենայնիվ, հիշեցնենք՝ անհավասարությունների համակարգը լուծելու համար անհրաժեշտ է յուրաքանչյուր անհավասարություն լուծել առանձին, այնուհետև գտնել այս լուծումների խաչմերուկը։

Օրինակ, անհավասարությունների սկզբնական համակարգը կրճատվել է ձևի.
$$ \ձախ\(\սկիզբ(զանգված)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \վերջ (զանգված)\աջ. $$

Անհավասարումների այս համակարգը լուծելու համար թվային տողի վրա նշե՛ք յուրաքանչյուր անհավասարության լուծումը և գտե՛ք դրանց հատումը.

Խաչմերուկը [-2; 3] - սա անհավասարությունների սկզբնական համակարգի լուծումն է:

Անհավասարությունների համակարգ.
Օրինակ 1. Գտեք արտահայտության տիրույթը
Լուծում.Նշանի տակ քառակուսի արմատպետք է լինի ոչ բացասական թիվ, ինչը նշանակում է, որ երկու անհավասարություն պետք է բավարարվեն միաժամանակ. Նման դեպքերում ասում են, որ խնդիրը հանգում է անհավասարությունների համակարգի լուծմանը

Բայց նման մաթեմատիկական մոդելի (անհավասարությունների համակարգ) մենք դեռ չենք հանդիպել։ Սա նշանակում է, որ մենք դեռ չենք կարողանում ավարտին հասցնել օրինակի լուծումը։

Համակարգ կազմող անհավասարությունները զուգակցվում են գանգուր փակագծով (նույնը ճիշտ է հավասարումների համակարգերում)։ Օրինակ, ձայնագրեք

նշանակում է, որ անհավասարությունները 2x - 1 > 3 և 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Երբեմն անհավասարությունների համակարգը գրվում է կրկնակի անհավասարության տեսքով։ Օրինակ՝ անհավասարությունների համակարգ

կարելի է գրել որպես կրկնակի անհավասարություն 3<2х-1<11.

9-րդ դասարանի հանրահաշիվ դասընթացում դիտարկելու ենք միայն երկու անհավասարությունների համակարգեր։

Դիտարկենք անհավասարությունների համակարգը

Դուք կարող եք ընտրել դրա որոշակի լուծումներից մի քանիսը, օրինակ x = 3, x = 4, x = 3.5: Փաստորեն, x = 3-ի համար առաջին անհավասարությունը ստանում է 5 > 3 ձևը, իսկ երկրորդը՝ 7:< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Միևնույն ժամանակ, x = 5 արժեքը անհավասարությունների համակարգի լուծում չէ: Երբ x = 5, առաջին անհավասարությունը ստանում է 9 > 3 ձևը՝ ճիշտ թվային անհավասարություն, իսկ երկրորդը՝ 13:< 11- неверное числовое неравенство .
Լուծել անհավասարությունների համակարգը նշանակում է գտնել դրա բոլոր կոնկրետ լուծումները: Հասկանալի է, որ վերը ցուցադրված գուշակությունը անհավասարությունների համակարգի լուծման մեթոդ չէ։ Հետևյալ օրինակում մենք ցույց կտանք, թե ինչպես են մարդիկ սովորաբար տրամաբանում անհավասարությունների համակարգը լուծելիս:

Օրինակ 3.Լուծե՛ք անհավասարությունների համակարգը.

Լուծում.

Ա)Լուծելով համակարգի առաջին անհավասարությունը՝ գտնում ենք 2x > 4, x > 2; լուծելով համակարգի երկրորդ անհավասարությունը՝ գտնում ենք 3x< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
բ)Լուծելով համակարգի առաջին անհավասարությունը՝ գտնում ենք x > 2; լուծելով համակարգի երկրորդ անհավասարությունը՝ գտնում ենք Եկեք նշենք այս միջակայքերը մեկ կոորդինատային գծի վրա՝ օգտագործելով վերին ելուստը առաջին ինտերվալի համար, իսկ ստորին՝ երկրորդի համար (նկ. 23): Անհավասարությունների համակարգի լուծումը կլինի համակարգի անհավասարությունների լուծումների հատումը, այսինքն. այն միջակայքը, որտեղ երկու լյուկները համընկնում են: Քննարկվող օրինակում մենք ստանում ենք ճառագայթ

V)Լուծելով համակարգի առաջին անհավասարությունը՝ գտնում ենք x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Եկեք ընդհանրացնենք դիտարկված օրինակում բերված հիմնավորումը։ Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք անհավասարությունների համակարգը

Օրինակ, (a, b) միջակայքը լինի fx 2 > g(x) անհավասարության լուծումը, իսկ (c, d) միջակայքը լինի f 2 (x) > s 2 (x) անհավասարության լուծում։ ) Եկեք նշենք այս միջակայքերը մեկ կոորդինատային գծի վրա, օգտագործելով վերին ելուստը առաջին ինտերվալի համար, իսկ ստորին ելքը երկրորդի համար (նկ. 25): Անհավասարությունների համակարգի լուծումը համակարգի անհավասարությունների լուծումների հատումն է, այսինքն. այն միջակայքը, որտեղ երկու լյուկները համընկնում են: Նկ. 25-ը (c, b) միջակայքն է:

Այժմ մենք կարող ենք հեշտությամբ լուծել անհավասարությունների համակարգը, որը մենք ստացել ենք վերևում օրինակ 1-ում.

Լուծելով համակարգի առաջին անհավասարությունը՝ գտնում ենք x > 2; լուծելով համակարգի երկրորդ անհավասարությունը՝ գտնում ենք x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Իհարկե, անհավասարությունների համակարգը պարտադիր չէ, որ բաղկացած լինի գծային անհավասարություններից, ինչպես եղել է մինչ այժմ. Ցանկացած ռացիոնալ (և ոչ միայն ռացիոնալ) անհավասարություն կարող է առաջանալ։ Տեխնիկապես ռացիոնալ ոչ գծային անհավասարությունների համակարգի հետ աշխատելը, իհարկե, ավելի բարդ է, բայց այստեղ սկզբունքորեն նոր բան չկա (համեմատած գծային անհավասարությունների համակարգերի հետ):

Օրինակ 4.Լուծե՛ք անհավասարությունների համակարգը

Լուծում.

1) Լուծե՛ք մեր ունեցած անհավասարությունը
Թվային տողի վրա նշենք -3 և 3 կետերը (նկ. 27): Նրանք գիծը բաժանում են երեք միջակայքի, և յուրաքանչյուր ինտերվալի վրա p(x) = (x- 3)(x + 3) արտահայտությունը պահպանում է հաստատուն նշան - այս նշանները նշված են Նկ. 27. Մեզ հետաքրքրում են այն միջակայքերը, որոնց դեպքում գործում է p(x) > 0 անհավասարությունը (դրանք ստվերված են նկ. 27-ում), և այն կետերը, որոնցում գործում է p(x) = 0 հավասարությունը, այսինքն. կետեր x = -3, x = 3 (նկար 2 7-ում նշված են մուգ շրջանակներով): Այսպիսով, Նկ. Նկար 27-ում ներկայացված է առաջին անհավասարությունը լուծելու երկրաչափական մոդելը:

2) Լուծե՛ք մեր ունեցած անհավասարությունը
Թվային տողի վրա նշենք 0 և 5 կետերը (նկ. 28): Նրանք տողը բաժանում են երեք միջակայքի, իսկ յուրաքանչյուր ինտերվալի վրա՝ արտահայտությունը<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (ստվերված է Նկար 28-ում), և այն կետերը, որոնցում բավարարվում է g (x) - O հավասարությունը, այսինքն. կետեր x = 0, x = 5 (նկար 28-ում դրանք նշված են մուգ շրջանակներով): Այսպիսով, Նկ. Նկար 28-ում ներկայացված է համակարգի երկրորդ անհավասարությունը լուծելու երկրաչափական մոդելը:

3) Համակարգի առաջին և երկրորդ անհավասարությունների հայտնաբերված լուծումները նշենք նույն կոորդինատային գծի վրա՝ օգտագործելով վերին ելուստը առաջին անհավասարության լուծումների համար, իսկ ստորին՝ երկրորդի լուծումները (նկ. 29): Անհավասարությունների համակարգի լուծումը կլինի համակարգի անհավասարությունների լուծումների հատումը, այսինքն. այն միջակայքը, որտեղ երկու լյուկները համընկնում են: Նման միջակայքը հատված է:

Օրինակ 5.Լուծե՛ք անհավասարությունների համակարգը.

Լուծում:

Ա)Առաջին անհավասարությունից գտնում ենք x >2. Դիտարկենք երկրորդ անհավասարությունը. x 2 + x + 2 քառակուսի եռանկյունը չունի իրական արմատներ, և դրա առաջատար գործակիցը (x 2 գործակիցը) դրական է։ Սա նշանակում է, որ x բոլորի համար գործում է x 2 + x + 2>0 անհավասարությունը, և հետևաբար համակարգի երկրորդ անհավասարությունը լուծումներ չունի: Ի՞նչ է սա նշանակում անհավասարությունների համակարգի համար: Սա նշանակում է, որ համակարգը լուծումներ չունի։

բ)Առաջին անհավասարությունից մենք գտնում ենք x > 2, իսկ երկրորդ անհավասարությունը բավարարվում է x-ի ցանկացած արժեքի համար: Ի՞նչ է սա նշանակում անհավասարությունների համակարգի համար: Սա նշանակում է, որ դրա լուծումն ունի x>2 ձև, այսինքն. համընկնում է առաջին անհավասարության լուծման հետ։

Պատասխան.

ա) լուծումներ չկան. բ) x > 2.

Այս օրինակը հետևյալ օգտակարի օրինակն է

1. Եթե մեկ փոփոխականով մի քանի անհավասարությունների համակարգում մեկ անհավասարություն չունի լուծումներ, ապա համակարգը չունի լուծումներ:

2. Եթե մեկ փոփոխականով երկու անհավասարությունների համակարգում փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար բավարարվում է մեկ անհավասարություն, ապա համակարգի լուծումը համակարգի երկրորդ անհավասարության լուծումն է:

Ավարտելով այս հատվածը՝ վերադառնանք սկզբում տրված նախատեսված թվի խնդրին և լուծենք այն, ինչպես ասում են՝ բոլոր կանոններով։

Օրինակ 2(տե՛ս էջ 29): Նախատեսված է բնական թիվ. Հայտնի է, որ եթե նախատեսված թվի քառակուսուն գումարեք 13, ապա գումարը մեծ կլինի նախատեսված թվի և 14 թվի արտադրյալից: Եթե նախատեսված թվի քառակուսուն գումարեք 45, ապա գումարը կլինի. փոքր լինի նախատեսված թվի և 18 թվի արտադրյալից: Ի՞նչ թիվ է նախատեսված:

Լուծում.

Առաջին փուլ. Մաթեմատիկական մոդելի կազմում:
Նախատեսված x թիվը, ինչպես տեսանք վերևում, պետք է բավարարի անհավասարությունների համակարգին

Երկրորդ փուլ. Աշխատում ենք կազմված մաթեմատիկական մոդելի հետ:Վերափոխենք համակարգի առաջին անհավասարությունը ձևի.
x2- 14x+ 13 > 0:

Գտնենք x 2 - 14x + 13 եռանդամի արմատները՝ x 2 = 1, x 2 = 13: Օգտագործելով y = x 2 - 14x + 13 պարաբոլը (նկ. 30) եզրակացնում ենք, որ մեզ հետաքրքրող անհավասարությունը. գոհ է x< 1 или x > 13.

Համակարգի երկրորդ անհավասարությունը փոխակերպենք x2 - 18 2 + 45 ձևի< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.