コサインの逆関数

関数 y=cos x (図 2 を参照) の範囲はセグメントです。 区間上では、関数は連続的で単調減少します。

米。 2

これは、関数 y=cos x の逆区間で関数が定義されることを意味します。 この逆関数はアークコサインと呼ばれ、 y=arccos x と表されます。

意味

|a|1 の場合、数値 a の逆余弦は、その余弦がセグメントに属する角度です。 それは arccos a と指定されます。

したがって、arccos a は、次の 2 つの条件を満たす角度です。 cos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?r.

たとえば、arccos、since cos and; アークコス、コス以来。

関数 y = arccos x (図 3) はセグメント上で定義されており、その範囲はセグメントです。 セグメント上では、関数 y=arccos x は連続であり、p から 0 まで単調減少します (y=cos x はセグメント上で連続かつ単調減少する関数であるため)。 セグメントの終端では、arccos(-1)= p、arccos 1= 0 という極値に達します。arccos 0 = であることに注意してください。 関数y \u003d arccos xのグラフ（図3を参照）は、直線y \u003d xに関して関数y \u003d cos xのグラフと対称です。

米。 3

arccos(-x) = p-arccos x が成り立つことを示しましょう。

確かに、定義上、0 ? アーコスX? R. 最後の二重不等式のすべての部分に (-1) を掛けると、 - p? が得られます。 アーコスX? 0. 最後の不等式のすべての部分に p を追加すると、0? P-アルコスX? R.

したがって、角度 arccos (-x) と p - arccos x の値は同じセグメントに属します。 セグメント上のコサインは単調減少するため、等しいコサインを持つ 2 つの異なる角度がセグメント上に存在することはできません。 角度 arccos(-x) と p-arccos x の余弦を求めます。 定義により、cos (arccos x) = - x、換算式および定義により、次のようになります: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x。 したがって、角度の余弦は等しい、つまり角度自体が等しいことを意味します。

正弦関数の逆関数

関数 y=sin x (図 6) を考えてみましょう。この関数は、セグメント [-p/2; p/2] 上で増加し、連続しており、セグメント [-1; p/2] から値を取得します。 1]。 したがって、セグメント [- p / 2; p/2] 関数 y=sin x の逆関数が定義されます。

米。 6

この逆関数は逆正弦と呼ばれ、y=arcsin x と表されます。 数値aの逆正弦の定義を紹介します。

数値 a の逆正弦を角度 (または円弧) と呼ぶ場合、その正弦は数値 a に等しく、セグメント [-p / 2; p/2]; それは arcsin a と指定されます。

したがって、arcsin a は次を満たす角度です。 以下の条件: sin(arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? アークシン、あれ？ p/2。 たとえば、sin と [- p/2; p/2]; sin = および [-p/2; なので arcsin p/2]。

関数 y=arcsin x (図 7) は、セグメント [- 1; 1]、その範囲はセグメント [-р/2;р/2] です。 セグメント上 [-1; 1] 関数 y=arcsin x は連続的で、-p/2 から p/2 まで単調増加します (これは、セグメント [-p/2; p/2] 上の関数 y=sin x が連続的であるという事実から導き出されます)そして単調増加)。 x \u003d 1: arcsin 1 \u003d p / 2で最大値をとり、x \u003d -1: arcsin (-1) \u003d -r / 2で最小値をとります。 x \u003d 0では、関数はゼロです：arcsin 0 \u003d 0。

関数 y = arcsin x が奇数であることを示しましょう。 arcsin(-x)= - 任意の x に対する arcsin x [ - 1; 1].

実際、定義により、|x| の場合、 ?1、次のようになります: - р/2 ? アークシン×？ ? p/2。 したがって、角度は arcsin(-x) と - arcsin x は同じセグメントに属します [ - p/2; p/2]。

これらの正弦を見つけてください角度: sin (arcsin (-x)) = - x (定義による); 関数 y=sin x は奇数なので、sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x となります。 したがって、同じ区間に属する角度の正弦 [-p/2; p/2] は等しい、つまり角度自体が等しいことを意味します。 arcsin (-x) = - arcsin x。 したがって、関数 y=arcsin x は奇数になります。 関数 y=arcsin x のグラフは原点に対して対称です。

任意の x に対して arcsin (sin x) = x [-p/2; p/2]。

確かに、定義上、 -p/2 ? arcsin (罪 x) ? р/2、条件によると -р/2 ? バツ？ p/2。 これは、角度 x とアークサイン (sin x) が、関数 y=sin x の単調性の同じ区間に属することを意味します。 このような角度のサインが等しい場合、角度自体は等しいことになります。 これらの角度の正弦を求めてみましょう。角度 x の場合は sin x、角度 arcsin (sin x) の場合は sin (arcsin (sin x)) = sin x となります。 角度のサインが等しいことが分かりました。したがって、角度は等しいです。 arcsin (sin x) = x。 。

米。 7

米。 8

arcsin (sin|x|) 関数のグラフは、グラフ y=arcsin (sin x) (図 8 の破線で示されている) から通常のモジュロ変換によって取得されます。 目的のグラフ y=arcsin (sin |x-/4|) は、x 軸に沿って右に /4 シフトすることによって得られます (図 8 の実線で示されています)。

正接の逆関数

区間に関する関数 y=tg x はすべての数値を取ります: E (tg x)=。 この間隔では、連続的かつ単調増加します。 したがって、関数は関数 y = tg x の逆区間で定義されます。 この逆関数は逆正接と呼ばれ、y = arctg x と表されます。

数値 a の逆正接は、タンジェントが a に等しい間隔からの角度です。 したがって、ａｒｃｔｇ ａ は、次の条件を満たす角度である。ｔ ｇ （ａｒｃｔｇ ａ）＝ａかつ０？ アークトガ？ R.

したがって、任意の数値xは常に関数y \u003d arctg xの唯一の値に対応します（図9）。

明らかに、D (arctg x) = 、E (arctg x) = です。

関数 y = arctg x は区間上で増加しているため、関数 y = arctg x は増加しています。 arctg(-x) = - arctgx、つまり、 arctg(-x) = - arctgx であることを証明するのは簡単です。 逆正接が奇関数であること。

米。 9

関数 y = arctg x のグラフは、関数 y = tg x のグラフと直線 y = x に関して対称であり、グラフ y = arctg x は原点を通り (arctan 0 = 0 であるため)、原点に対して対称です（奇関数のグラフとして）。

arctg (tg x) = x if x であることが証明できます。

コタンジェント逆関数

間隔の関数 y = ctg x は、間隔からすべての数値を取得します。 その値の範囲はすべての実数のセットと一致します。 区間内では、関数 y = ctg x は連続で単調増加します。 したがって、関数 y = ctg x の逆関数がこの区間で定義されます。 コタンジェントの逆関数はアークコタンジェントと呼ばれ、y = arcctg x と表されます。

数値 a の逆正接は、その余接が a に等しい区間に属する角度です。

したがって、ａｒｃｃｔｇ ａ は、次の条件を満たす角度である。ｃｔｇ（ａｒｃｃｔｇ ａ）＝ａかつ０？ arcctg は ? R.

逆関数の定義と逆正接の定義から、D (arcctg x) = 、E (arcctg x) = ということがわかります。 関数 y = ctg x は区間内で減少するため、逆正接は減少関数です。

関数y \u003d arcctg xのグラフは、y\u003e 0 Rであるため、Ox軸と交差しません。x \u003d 0 y \u003d arcctg 0 \u003dで。

関数 y = arcctg x のグラフを図 11 に示します。

米。 11

x のすべての実数値について、恒等式は true、arcctg(-x) = p-arcctg x であることに注意してください。

レッスン 32 ～ 33。 逆三角関数

目標： 逆三角関数、三角方程式の解を書くための逆三角関数の使用について考えてみましょう。

I. レッスンのトピックと目的の伝達

II. 新しい教材の学習

1. 逆三角関数

このトピックを次の例から始めましょう。

例1

方程式を解いてみましょう: a) sin x = 1/2; b）sin x \u003d a。

a) 縦軸では、値 1/2 を脇に置き、角度をプロットします。×1 x2、つまり罪× = 1/2。 この場合、x1 + x2 = π、したがって x2 = π –×1 。 三角関数の値の表によると、値 x1 = π/6 がわかります。サイン関数の周期性を考慮して、この方程式の解を書き留めます。ここで k ∈ Z です。

b) 方程式を解くためのアルゴリズムは明らかです。罪 x = a は前の段落と同じです。 もちろん、ここでは a の値が y 軸に沿ってプロットされています。 角度x1を何らかの方法で指定する必要がある。 私たちはそのような角度を記号で表すことに同意しました。アークシン A. この場合、この方程式の解は次のように書くことができます。これら 2 つの式は 1 つに組み合わせることができます。ここで

他の逆三角関数も同様に導入されます。

多くの場合、既知の三角関数の値から角度の値を決定する必要があります。 このような問題は多値です。三角関数が同じ値に等しい角度は無数にあります。 そこで、三角関数の単調性を利用して、角度を一意に求めるために次の逆三角関数を導入します。

a の逆正弦 (arcsin 、そのサインは a に等しい、つまり

数値の逆余弦 a(アルコス a) - 区間からの角度 a、そのコサインが a に等しい、つまり

数値の逆正接 a(arctg a) - 間隔からの角度 aそのタンジェントは a です、つまりtg a = a.

数値の逆正接 a(arctg a) - 区間 (0; π) からの角度 a、その余接が a に等しい、つまり ctg a = a.

例 2

見つけよう：

逆三角関数の定義を考えると、次のようになります。

例 3

コンピューティング

角度 a = arcsin とします 3/5、つまり定義上 sin a = 3/5 および 。 したがって、次のことを見つける必要があります。コス A. 基本的な三角関数恒等式を使用すると、次の結果が得られます。cos a ≥ 0 が考慮されます。

逆三角関数の定義と基本的な性質に関する典型的な例をいくつか挙げてみましょう。

例 4

関数のドメインを見つける

関数 y を定義するには、次の不等式が必要です。これは不等式系と等価です最初の不等式の解は区間 x です。∈ (-∞; +∞)、2 番目の -このギャップ これは不等式系の解であり、したがって関数の領域です。

例5

関数の変化領域を見つける

関数の動作を考える z \u003d 2x - x2（図を参照）。

z ∈ であることがわかります。 (-∞; 1]。引数を考慮すると、 z 逆正接の関数は、示された制限内で変化します。得られた表のデータから、したがって、変化の領域は、

例6

関数 y = であることを証明しましょう。 arctg ×奇数。 させて次に、tg a \u003d -x または x \u003d - tg a \u003d tg (-a)、および したがって、 - a \u003d arctg x または \u003d - arctg バツ。 したがって、次のことがわかります。つまり、y(x) は奇関数です。

例 7

すべての逆三角関数で表現します。

させて それは明らかです それ以来

アングルを紹介しましょう なぜなら それ

したがって、同様に、 そして

それで、

例8

関数 y のグラフを作成しましょう \u003d cos (アークサイン x)。

\u003d arcsin x を表すと、 x \u003d sin a および y \u003d cos a、つまり x 2 を考慮します。 + y2 = 1、および x に関する制限 (x∈ [-1; 1]) と y (y ≥ 0)。 次に、関数 y = のグラフ cos(アークサイン x) は半円です。

例9

関数 y のグラフを作成しましょう \u003dアークコス(cosx)。

関数cosなので、 セグメント上の x の変化 [-1; 1] の場合、関数 y は実軸全体で定義され、区間 で変化します。 y = であることに留意しましょう。アークコス(cosx) \u003d セグメント上の x。 関数 y は偶数であり、周期が 2π です。 関数がこれらの性質を持っていることを考慮すると、 cos x 、 これでプロットが簡単になりました。

いくつかの有用な等式に注目します。

例 10

関数の最小値と最大値を見つけます示す それから 関数を取得する この関数は次の点で最小値を持ちます。 z = π/4、次と等しい この時点で関数の最大値に達します。 z = -π/2、そしてそれは次と等しい したがって、そして

例 11

方程式を解いてみましょう

私たちはそれを考慮しています 方程式は次のようになります。または どこ 逆正接の定義により、次のようになります。

2. 最も単純な三角方程式の解法

例 1 と同様に、最も単純な三角方程式の解を得ることができます。

例 12

方程式を解いてみましょう

サイン関数は奇数なので、次の形式で方程式を書きます。この方程式の解:どこで見つけますか

例 13

方程式を解いてみましょう

上の式に従って、方程式の解を書きます。見つけて

方程式を解くとき、特定の場合 (a = 0; ±1) に注意してください。 sin x = a および cos x \u003d しかし、一般的な数式を使用するのではなく、単位円に基づいて解決策を記述する方が簡単で便利です。

方程式 sin x = 1 の解の場合

方程式の場合、sin x \u003d 0 solutions x \u003d π k;

方程式 sin x = -1 の解の場合

方程式cosについて x = 1 解 x = 2π k;

方程式 cos x = 0 の解の場合

方程式 cos x = -1 の解の場合

例 14

方程式を解いてみましょう

以来 この例方程式には特殊なケースがあるため、対応する式を使用して解を記述します。どこで見つけますか

Ⅲ． 対照質問（正面調査）

1. 逆三角関数の主なプロパティを定義してリストします。

2. 逆三角関数のグラフを与えてください。

3. 最も単純な三角方程式の解。

IV. レッスンでの課題

§ 15、no. 3 (a、b); 4 (c、d); 7(a); 8(a); 12(b); 13(a); 15(c); 16(a); 18 (a、b); 19(c); 21;

§ 16、no. 4 (a、b); 7(a); 8(b); 16 (a、b); 18(a); 19 (c、d);

§ 17、no. 3 (a、b); 4 (c、d); 5 (a、b); 7 (c、d); 9(b); １０（ａ、ｃ）。

V. 宿題

§ 15、no. 3 (c、d); 4 (a、b); 7(c); 8(b); 12(a); 13(b); 15(d); 16(b); 18(c、d); １９（ｄ）； 22;

§ 16、no. 4 (c、d); 7(b); 8(a); 16 (c、d); 18(b); 19 (a、b);

§ 17、no. 3 (c、d); 4 (a、b); 5 (c、d); 7 (a、b); 9(d); １０（ｂ、ｄ）。

VI. クリエイティブなタスク

1. 関数のスコープを見つけます。

答え:

2. 関数の範囲を求めます。

答え:

3. 関数をグラフ化します。

VII. 教訓をまとめると

逆三角関数の定義とそのグラフを示します。 逆三角関数に関する公式だけでなく、和や差の公式も。

逆三角関数の定義

三角関数は周期的であるため、三角関数の逆関数は単一値ではありません。 したがって、方程式 y = 罪×与えられた には、無限に多くの根があります。 実際、サインの周期性により、x がそのような根である場合、 x + 2n(n は整数) も方程式の根になります。 したがって、 逆三角関数は多値です。 彼らとの連携を容易にするために、彼らの主な価値観の概念が導入されています。 たとえば、正弦を考えてみましょう: y = 罪×。 引数 x を間隔に限定すると、関数 y = 罪×単調に増加します。 したがって、これには逆正弦と呼ばれる単一値の逆関数があります。 x = アークシンイ.

特に明記しない限り、逆三角関数はその主値を意味し、次の定義によって定義されます。

逆正弦 ( y= 逆正弦×) は正弦の逆関数です ( x= 罪深い

逆余弦 ( y= アーコスX) はコサインの逆関数です ( x= 居心地の良い) 定義ドメインと一連の値があります。

逆正接 ( y= arctgx) は正接の逆関数です ( x= てぃー) 定義ドメインと一連の値があります。

逆正接 ( y= アーククトグx) コタンジェントの逆関数です ( x= ctgy) 定義ドメインと一連の値があります。

逆三角関数のグラフ

逆三角関数のグラフは、直線 y = x に対する鏡面反射によって三角関数のグラフから得られます。 サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントのセクションを参照してください。

y= 逆正弦×

y= アーコスX

y= arctgx

y= アーククトグx

基本的な公式

ここでは、式が有効な間隔に特別な注意を払う必要があります。

arcsin(sin x) = xで
sin(アークサイン x) = x
arccos(cos x) = xで
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = xで
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xで
ctg(arctg x) = x

逆三角関数に関する公式

和と差の公式

または

と

と

または

と

と

で

で

で

で

逆三角関数は、三角関数の逆関数である数学関数です。

関数 y=arcsin(x)

数値 α の逆正弦は、区間 [-π/2; π/2] からの数値 α であり、その正弦は α に等しい。
関数グラフ
区間 [-π / 2; π / 2] 上の関数 y \u003d sin⁡ (x) は厳密に増加し、連続的です。 したがって、厳密に増加し連続する逆関数を持ちます。
関数 y= sin⁡(x) (x ∈[-π/2;π/2]) の逆関数は逆正弦と呼ばれ、y=arcsin(x) と表されます (x∈[-1;1)。 ]。
したがって、逆関数の定義によれば、逆正弦の定義域はセグメント [-1; 1] であり、値のセットはセグメント [-π/2; π/2] です。
関数 y=arcsin(x) (x ∈[-1;1]) のグラフは、関数 y= sin(⁡x) (x∈[-π/2;π) のグラフと対称であることに注意してください。 /2]、座標角の第 1 四半期と第 3 四半期の二等分線に関して。

関数 y=arcsin(x) のスコープ。

例その1。

arcsin(1/2) を見つけますか?

関数 arcsin(x) の範囲は区間 [-π/2;π/2] に属するため、値 π/6 のみが適切であるため、arcsin(1/2) = π/6 となります。
答え: π/6

例2。
arcsin(-(√3)/2) を求めますか?

arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] の範囲では、値 -π/3 のみが適切であるため、arcsin(-(√3)/2) =- π/3 となります。

関数 y=arccos(x)

数値 α の逆余弦は、余弦が α に等しい区間からの数値 α です。

関数グラフ

区間上の関数 y= cos(⁡x) は厳密に減少し、連続的です。 したがって、厳密に減少し続ける逆関数になります。
関数 y= cos⁡x (x ∈) の逆関数は次のように呼ばれます。 逆余弦 y=arccos(x) で表され、x ∈[-1;1] となります。
したがって、逆関数の定義によれば、逆余弦の定義域はセグメント [-1; 1] であり、値のセットはセグメントです。
関数 y=arccos(x) (x ∈[-1;1]) のグラフは、関数 y= cos(⁡x) (x ∈) のグラフと対称であることに注意してください。第 1 四半期と第 3 四半期の角度を調整します。

関数 y=arccos(x) のスコープ。

例3。

アークコス(1/2)を見つけますか?

関数 arccos(x) の範囲は区間 に属しているため、値 3π/4 のみが適切です。したがって、arccos(-(√2)/2) =3π/4 となります。

答え: 3π/4

関数 y=arctg(x)

数値 α の逆正接は、区間 [-π/2; π/2] からの数値 α であり、そのタンジェントは α に等しい。

関数グラフ

正接関数は連続的であり、区間 (-π/2; π/2) 上で厳密に増加します。 したがって、連続的かつ厳密に増加する逆関数を持ちます。
関数 y= tg⁡(x) の逆関数。ここで、x∈(-π/2;π/2); は逆正接と呼ばれ、y=arctg(x) (x∈R) で表されます。
したがって、逆関数の定義によれば、逆正接の定義域は区間 (-∞;+∞) であり、値の集合は区間です
(-π/2;π/2)。
関数 y=arctg(x) (x∈R) のグラフは、関数 y=tg⁡x (x ∈ (-π/2;π/2)) のグラフと対称であることに注意してください。第 1 四半期と第 3 四半期の座標角の二等分線。

関数 y=arctg(x) のスコープ。

例5?

arctg((√3)/3) を求めます。

arctan(x) x ∈(-π/2;π/2) の範囲では、値 π/6 のみが適切であるため、arctg((√3)/3) =π/6 となります。
例番号6。
arctg(-1) を見つけますか?

arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) の範囲では、値 -π/4 のみが適切であるため、arctg(-1) = - π/4 となります。

関数 y=arctg(x)

関数グラフ

区間 (0;π) では、コタンジェント関数は厳密に減少します。 さらに、この間隔のすべての点で連続的です。 したがって、区間 (0;π) では、この関数は厳密に減少し連続する逆関数を持ちます。
関数 y=ctg(x) (x ∈(0;π)) の逆関数はアークコタンジェントと呼ばれ、y=arcctg(x) (x∈R) と表されます。
したがって、逆関数の定義によれば、逆正接の定義域は R となり、値のセットは、次の二等分線に関する区間 (0; π) になります。;π)第 1 四半期と第 3 四半期の座標角。

関数 y=arcctg(x) のスコープ。

例番号8。
arcctg(-(√3)/3) を見つけますか?

arcctg(x) x∈(0;π) の範囲では、値 2π/3 のみが適切であるため、arccos(-(√3)/3) =2π/3 となります。

編集者: アゲエワ・リュボフ・アレクサンドロヴナ、ガブリリーナ・アンナ・ヴィクトロヴナ