線形計画問題をグラフィカルに解く、線形計画問題の正規形式も参照

このような問題の制約系は、2 つの変数の不等式で構成されます。
目的関数の形式は次のとおりです。 F = C 1 バツ + C 2 yそれを最大化する必要があります。

質問に答えてみましょう: どのような数字のペア ( バツ; y) は不等式系の解、つまりそれぞれの不等式を同時に満たすものですか? 言い換えれば、システムをグラフィカルに解くとはどういう意味でしょうか?
まず、2 つの未知数を持つ 1 つの線形不等式の解は何かを理解する必要があります。
2 つの未知数を含む線形不等式を解くことは、その不等式が成り立つ未知の値のすべてのペアを決定することを意味します。
たとえば、不等式 3 バツ – 5y≥ 42 のペアを満たす ( バツ , y) : (100, 2); (3、-10) など。タスクは、そのようなペアをすべて見つけることです。
2 つの不等式を考えてみましょう。 斧 + による≤ c, 斧 + による≥ c。 真っ直ぐ 斧 + による = c平面を 2 つの半平面に分割し、そのうちの 1 つの点の座標が不等式を満たすようにします。 斧 + による >c、および他の不等式 斧 + +による <c.
確かに、座標で点を取ってみましょう バツ = バツ 0 ; 次に、直線上にあり、横座標を持つ点 バツ 0、縦軸あり

確実に言っておきます ある<0、 b>0, c>0。 すべての点と横軸 バツ 0 上に横たわっている P(たとえば、ドット M）、 持っている yM>y 0 、およびその点より下のすべての点 P、横軸付き バツ 0 、持っています y N<y 0 。 なぜなら バツ 0 は任意の点です。その場合、線の片側には常に点が存在します。 斧+ による > c、半平面を形成し、反対側にある点 斧 + による< c.

写真1

半平面の不等号は数値によって異なります ある, b , c.
これは、2 変数の線形不等式系をグラフィカルに解くための次の方法を意味します。 このシステムを解決するには、次のものが必要です。

1. それぞれの不等式について、その不等式に対応する方程式を書きます。
2. 方程式で指定された関数のグラフである直線を作成します。
3. 各線について、不等式によって与えられる半平面を決定します。 これを行うには、直線上にない任意の点を取得し、その座標を不等式に代入します。 不等式が真の場合、選択した点を含む半平面が元の不等式の解になります。 不等式が偽の場合、線の反対側の半平面がこの不等式の解のセットになります。
4. 不等式系を解くには、系の各不等式の解となるすべての半平面の交差面積を見つける必要があります。

この領域は空であることが判明する可能性があり、その場合、不等式システムには解決策がなく、矛盾します。 それ以外の場合、システムは一貫していると言われます。
解は有限数または無限数存在する可能性があります。 領域は閉じた多角形または境界のないものにすることができます。

関連する 3 つの例を見てみましょう。

例 1. 系をグラフィカルに解きます。
バツ + はい – 1 ≤ 0;
–2バツ - 2y + 5 ≤ 0.

• 不等式に対応する方程式 x+y–1=0 および –2x–2y+5=0 を考えてみましょう。
• これらの方程式で与えられる直線を作図してみましょう。

不等式によって定義される半平面を定義しましょう。 任意の点を (0; 0) としましょう。 考えてみましょう バツ+ y– 1 0、点 (0; 0) を代入します: 0 + 0 – 1 ≤ 0。これは、点 (0; 0) が存在する半平面内で、 バツ + y – 1 ≤ 0、つまり 線の下にある半平面が最初の不等式の解になります。 この点 (0; 0) を 2 番目の点に代入すると、次のようになります: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0、つまり 点 (0; 0) が位置する半平面では、-2 バツ – 2y+ 5≥ 0、そして –2 がどこにあるか尋ねられました。 バツ – 2yしたがって、もう一方の半平面、つまり直線の上の半平面では + 5 ≤ 0 となります。
これら 2 つの半平面の交点を見つけてみましょう。 線は平行であるため、平面はどこでも交差しません。これは、これらの不等式の系には解がなく、矛盾していることを意味します。

例 2. 不等式系の解をグラフィカルに求めます。

図3
1. 不等式に対応する方程式を書き出して、直線を作成しましょう。
バツ + 2y– 2 = 0

結果として得られるシステムのソリューション ドメインが制限されない別の例を考えてみましょう。

不平等系未知の量を含む 2 つ以上の不等式の集合を「不等式」と呼ぶのが通例です。

この定式化は、たとえば次のように明確に示されます。 不平等の体系:

不平等システムを解決する - システムの各不等式が実現される未知の変数のすべての値を見つける、またはそのようなものが存在しないことを正当化することを意味します .

つまり、一人ひとりにとって、 不平等システム未知の変数を計算します。 次に、結果の値から、1 番目と 2 番目の不等式の両方に当てはまる値のみを選択します。 したがって、選択した値を代入すると、システムの両方の不等式が正しくなります。

いくつかの不等式の解を見てみましょう。

一対の数直線を上下に配置してみましょう。 値を上に置きます バツ、最初の 不平等お（ バツ> 1) true になり、一番下に値が表示されます。 バツ、これは 2 番目の不等式 ( バツ> 4).

のデータを比較すると、 数直線、両方の解決策に注意してください 不平等意思 バツ> 4. 答えます。 バツ> 4.

例2。

最初の計算 不平等-3 を取得します バツ< -6, или バツ> 2、2番目 - バツ> -8、または バツ < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения バツ、最初のことが実現されます 不平等制度、そして下の数直線に、これらすべての値が表示されます。 バツ、ここでシステムの 2 番目の不等式が実現されます。

データを比較すると、両方とも 不平等すべての値に対して実装されます バツ、2から8に配置されます。 値のセット バツ示す 二重不等式 2 < バツ< 8.

例 3.見つけます

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不等式を入力するためのルール

任意のラテン文字が変数として機能します。
例: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) など。

数値は整数または小数として入力できます。
また、小数は小数の形式だけでなく、普通の分数の形式でも入力できます。

小数部を入力するときのルール。
小数部では、小数部と整数部をピリオドまたはカンマで区切ることができます。
たとえば、次のように小数を入力できます: 2.5x - 3.5x^2

普通の分数を入力するときのルール。
分数の分子、分母、および整数部分として機能できるのは整数のみです。

分母を負にすることはできません。

分数を入力する場合、分子は除算記号によって分母から区切られます。 /
全体部分はアンパサンド記号によって分数から区切られます。 &
入力: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
結果: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

式を入力するときに括弧を使用できます。 この場合、不等式を解く際には、まず式を簡略化します。
例えば： 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0.6(a-2)(a+3)

選択する 正しい標識不等式を作成し、下のボックスに多項式を入力します。

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ちょっとした理論。

未知のものが 1 つある不平等系。 数値間隔

あなたは 7 年生で系の概念を知り、2 つの未知数を含む連立一次方程式を解く方法を学びました。 次に、未知数が 1 つある線形不等式の系を考えます。 不等式系の解のセットは、区間 (区間、半区間、セグメント、レイ) を使用して記述することができます。 数値間隔の表記にも慣れてきます。

不等式 \(4x > 2000\) と \(5x \leq 4000\) において未知の数 x が同じである場合、これらの不等式は一緒に考慮され、不等式系を形成すると言えます。 $$ \left\ (\begin( 配列)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right. $$

中括弧は、システムの両方の不等式が正しい数値不等式に変わる x の値を見つける必要があることを示しています。 この系は、未知数が 1 つある線形不等式系の例です。

未知数が 1 つある不等式系の解は、系のすべての不等式が真の数値的不等式に変わる未知数の値です。 不平等系を解決するということは、この系に対するすべての解を見つけるか、解が存在しないことを確立することを意味します。

不等式 \(x \geq -2 \) と \(x \leq 3 \) は、二重不等式 \(-2 \leq x \leq 3 \) として書くことができます。

未知数が 1 つある不等式系の解は、さまざまな数値セットです。 これらのセットには名前があります。 したがって、数値軸上では、 \(-2 \leq x \leq 3 \) となる数値 x の集合は、点 -2 と 3 を終点とする線分で表されます。

\(a がセグメントであり、[a; b] で表される場合

\(a が区間であり、(a; b) で表される場合

不等式 \(a \leq x を満たす数値の集合 \(x\) は半区間であり、それぞれ [a; b) および (a; b] と表されます。

セグメント、インターバル、ハーフインターバル、レイと呼ばれます。 数値間隔.

したがって、数値間隔を不等式の形式で指定できます。

2 つの未知数における不等式の解は、指定された不等式を真の数値不等式に変える数値のペア (x; y) です。 不等式を解くということは、そのすべての解のセットを見つけることを意味します。 したがって、\(5 \geq 3 \) と \(-1 \geq - であるため、不等式 x > y の解は、たとえば、数値のペア (5; 3)、(-1; -1) になります。 1\)

不平等の解決システム

あなたはすでに、未知の線形不等式を解く方法を学びました。 不平等システムとその解決策が何であるか知っていますか? したがって、未知の不等式を解くプロセスは、何ら困難を引き起こすことはありません。

ただし、不等式系を解くには、各不等式を個別に解き、これらの解の交点を見つける必要があることを思い出してください。

たとえば、元の不等式系は次の形式に縮小されました。
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

この不等式系を解くには、数直線上の各不等式の解をマークし、それらの交点を見つけます。

交差部分はセグメント [-2; 3] - これは元の不等式の解決策です。

不平等系。
例1。 式のドメインを見つける
解決。看板の下に 平方根負でない数が存在する必要があります。これは、2 つの不等式が同時に満たされる必要があることを意味します。 このような場合、問題は不平等系の解決に帰着すると彼らは言います。

しかし、私たちはまだそのような数学モデル（不等式）に出会っていません。 これは、この例の解決策をまだ完了できていないことを意味します。

システムを形成する不等式は中括弧で結合されます (連立方程式でも同じことが当てはまります)。 たとえば、記録します

不等式 2x - 1 > 3 および 3x - 2 を意味します< 11 образуют систему неравенств.

不等式系は二重不等式の形式で記述されることがあります。 たとえば、不平等系

二重不等式 3 として書くことができます<2х-1<11.

9年生の代数コースでは、2つの不等式の系のみを考えます。

不平等系を考える

特定のソリューションをいくつか選択できます (たとえば、x = 3、x = 4、x = 3.5)。 実際、x = 3 の場合、最初の不等式は 5 > 3 の形式をとり、2 番目の不等式は 7 の形式をとります。< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

同時に、値 x = 5 は不等式の解にはなりません。 x = 5 の場合、最初の不等式は 9 > 3 の形式をとり、これは正しい数値不等式であり、2 番目の不等式は 13 の形式になります。< 11- неверное числовое неравенство .
不平等系を解決するということは、その特定の解をすべて見つけることを意味します。 上記で示した推測が不平等系を解決する方法ではないことは明らかです。 次の例では、不平等系を解くときに人々が通常どのように推論するかを示します。

例 3.不等式系を解く：

解決。

A)この系の最初の不等式を解くと、2x > 4、x > 2 がわかります。 システムの 2 番目の不等式を解くと、3x がわかります。< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b)この系の最初の不等式を解くと、x > 2 がわかります。 システムの 2 番目の不等式を解くと、次のことがわかります。 最初の間隔には上のハッチングを使用し、2 番目の間隔には下のハッチングを使用して、これらの間隔を 1 つの座標線上にマークしましょう (図 23)。 不等式の系の解は、系の不等式の解の交点になります。 両方のハッチングが一致する間隔。 検討中の例では、ビームが得られます。

V)この系の最初の不等式を解くと、x が得られます。< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

検討した例で実行された推論を一般化しましょう。 不平等系を解決する必要があるとします。

たとえば、区間 (a, b) が不等式 fx 2 > g(x) の解であり、区間 (c, d) が不等式 f 2 (x) > s 2 (x) の解であるとします。 ）。 最初の間隔には上のハッチングを使用し、2 番目の間隔には下のハッチングを使用して、これらの間隔を 1 つの座標線上にマークしましょう (図 25)。 不平等系の解は、その系の不平等に対する解の交点です。 両方のハッチングが一致する間隔。 図では、 25 は区間 (c, b) です。

これで、上の例 1 で得た不等式系を簡単に解くことができます。

この系の最初の不等式を解くと、x > 2 がわかります。 システムの 2 番目の不等式を解くと、x が見つかります。< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

もちろん、これまでのように、不等式系は必ずしも線形不等式で構成される必要はありません。 合理的な (合理的なだけではなく) 不平等が発生する可能性があります。 技術的には、有理非線形不等式のシステムを扱うことはもちろんより複雑ですが、ここでは (線形不等式のシステムと比較して) 根本的に新しいことは何もありません。

例4.不平等システムを解決する

解決。

1) 私たちが抱えている不平等を解決する
数直線上の点 -3 と 3 をマークしましょう (図 27)。 これらは線を 3 つの区間に分割し、各区間で式 p(x) = (x- 3)(x + 3) は定数の符号を保持します。これらの符号は図に示されています。 27. 不等式 p(x) > 0 が成立する区間 (図 27 では影付き)、および等式 p(x) = 0 が成立する点、つまり 点 x = -3、x = 3 (図 2～7 では黒丸でマークされています)。 したがって、図では、 図 27 は、最初の不等式を解くための幾何学的モデルを示しています。

2) 私たちが抱えている不平等を解決する
数直線上の点 0 と 5 に印を付けてみましょう (図 28)。 線を 3 つの区間に分割し、それぞれの区間で式を表現します。<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (図 28 の影付き)、および等式 g (x) - O が満たされる点、つまり 点 x = 0、x = 5 (図 28 では黒丸でマークされています)。 したがって、図では、 図 28 は、システムの 2 番目の不等式を解くための幾何学的モデルを示しています。

3) 最初の不等式の解には上のハッチングを使用し、2 番目の不等式の解には下のハッチングを使用して、システムの最初と 2 番目の不等式に対する見つかった解を同じ座標線上にマークしましょう (図 29)。 不等式の系の解は、系の不等式の解の交点になります。 両方のハッチングが一致する間隔。 このような間隔がセグメントです。

例5。不等式系を解く：

解決：

A)最初の不等式から x >2 がわかります。 2 番目の不等式を考えてみましょう。 平方三項 x 2 + x + 2 には実根がなく、その主要係数 (x 2 の係数) は正です。 これは、すべての x に対して不等式 x 2 + x + 2>0 が成立し、したがって系の 2 番目の不等式には解がないことを意味します。 これは不平等システムにとって何を意味するのでしょうか? これは、システムに解決策がないことを意味します。

b)最初の不等式から x > 2 がわかり、2 番目の不等式は x の任意の値に対して満たされます。 これは不平等システムにとって何を意味するのでしょうか? これは、その解が x>2 の形式を持つことを意味します。つまり、 は最初の不等式の解と一致します。

答え：

a) 解決策がない。 b) x >2。

この例は、次の便利な機能を示しています。

1. 1 つの変数を持つ複数の不等式からなる系で、1 つの不等式に解がない場合、その系には解がありません。

2. 1 つの変数を持つ 2 つの不等式の系で、1 つの不等式が変数の任意の値に対して満たされる場合、その系の解はその系の 2 番目の不等式の解となります。

このセクションの結論として、最初に与えられた意図された数字に関する問題に戻り、彼らが言うように、すべてのルールに従ってそれを解決しましょう。

例 2（29ページ参照）。 自然数を対象としています。 意図した数値の 2 乗に 13 を加算すると、その合計は、意図した数値と数値 14 の積より大きくなることが知られています。意図した数値の 2 乗に 45 を加算すると、その合計は次のようになります。意図した数値と数値 18 の積より小さくなるようにしてください。どの数値が意図されていますか?

解決。

最初のステージ。 数学的モデルを作成します。
上で見たように、意図した数値 x は不等式を満たさなければなりません

第二段階。 コンパイルされた数学モデルを使用して、システムの最初の不等式を次の形式に変換しましょう。
x2- 14x+ 13 > 0。

三項式 x 2 - 14x + 13 の根を見つけてみましょう: x 2 = 1、x 2 = 13。放物線 y = x 2 - 14x + 13 (図 30) を使用すると、関心のある不等式は次のように結論付けられます。 ×で満足< 1 или x > 13.

システムの 2 番目の不等式を x2 - 18 2 + 45 の形式に変換しましょう。< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.