Wyznaczone przez Markowitza zasady konstruowania granicy portfeli efektywnych pozwalają na znalezienie optymalnego (z punktu widzenia inwestora) portfela dla dowolnej liczby papierów wartościowych wchodzących w skład portfela. Główną trudnością w zastosowaniu metody Markowitza jest duża ilość obliczeń wymaganych do określenia wag Wi każdego papieru wartościowego. Rzeczywiście, jeśli portfel się łączy P papierów wartościowych, to aby skonstruować granicę efektywnych portfeli, należy najpierw obliczyć P wartości oczekiwanych (średnich arytmetycznych) zwrotów mi(R i) każde zabezpieczenie, P wartości wariancji wszystkich zwrotów i P(P– 1)/2 wyrażenia kowariancji σi,j akcji w portfelu. Wraz ze wzrostem liczby papierów wartościowych w portfelu liczba wymaganych wartości kowariancji staje się zaporowo duża. Przykładowo, jeśli inwestor chce stworzyć portfel 30 akcji, to musi obliczyć 435 kowariancji, 30 oczekiwanych zwrotów i 30 wariancji, tj. tylko około 500 wartości! Jeśli liczba papierów wartościowych zostanie podwojona (do 60), inwestor będzie potrzebował 1770 wartości kowariancji plus 120 wartości mi(R i) i σ J. A przy 100 papierach wartościowych w portfelu wymagana liczba danych początkowych przekroczy 5000.

W 1963 roku amerykański ekonomista W. Sharp ( Williama Sharpe) zaproponował nową metodę konstruowania granicy efektywnych portfeli, która pozwala znacząco zmniejszyć ilość niezbędnych obliczeń. Metoda ta została następnie zmodyfikowana i obecnie znana jest jako jednoindeksowy model Sharpe’a. Poniżej przedstawiono główne etapy budowy tego modelu.

Ogólny opis modelu

Model Sharpe’a opiera się na metoda analizy regresji liniowej , umożliwiając powiązanie dwóch losowych zmiennych zależnych X I Y wyrażenie liniowe, np

W modelu Sharpe’a jako zmienna zależna Y brana jest rentowność R ja, niektórzy i-t udziały portfela mierzone w wybranych etapach obliczeniowych. Niezależna zmienna X Rozważana jest wartość jakiegoś wskaźnika rynkowego, który wpływa na zwrot z akcji portfela. Takim wskaźnikiem może być np. dynamika produktu krajowego brutto, stopa inflacji, wskaźnik cen towarów konsumpcyjnych itp. Sam Sharpe uważał zwrot z portfela rynkowego za zmienną niezależną. R t,t obliczone w tych samych krokach obliczeniowych na podstawie wskaźnika Standard i biedny "S (S&P500). Wyrażenie (3.12) nazywane jest równaniem regresji liniowej, a stałymi współczynnikami A i β są brane pod uwagę parametry regresji liniowej.

W warunkach rosyjskich rentowność R t,t portfela rynkowego można oszacować za pomocą krajowych indeksów RCB (np. indeksu MICEX czy indeksu RTS). Jeżeli określono czas trwania okresu utrzymywania i znane są wartości indeksów I najpierw I początek i koniec I okresu utrzymywania, wówczas zwrot z portfela rynkowego za ten okres oblicza się ze wzoru

Budowa modelu regresji

Dla jasnego przedstawienia treści modelu Sharpe’a załóżmy, że portfel tworzony jest z omawianych wcześniej akcji spółek A, B I Z. Podajmy długość przyszłego okresu utrzymywania (dla późniejszego porównania modelu Sharpe'a z modelem Markowitza założymy, że czas ten pokrywa się z czasem wybranym w modelu Markowitza). Ustalmy również N= 10 kroków obliczeniowych w przeszłości (co pokrywa się z warunkami początkowymi wprowadzonymi w ostatnim rozdziale dla przykładu wg G. Markowitza). Na podstawie danych o zmianach indeksu rynkowego (pozyskanych z otwartych źródeł) obliczamy rentowność R t, t portfel rynkowy dla wybranych N kroki obliczeniowe. Uzyskane dane wprowadzimy do tabeli. 3.5, który pokazuje również plony R s, t akcji Z, wcześniej obliczone.

Tabela 3.5

Warunkowe zwroty z portfela rynkowego i akcji Z

W tym przypadku za akcję Z równanie regresji liniowej (3.14) powinno mieć postać

Ściśle mówiąc, możesz wybrać dowolne wartości parametrów αC i βC, rozumiejąc, że teoretyczne wartości uzyskane z tego wyrażenia R C,t będzie się różnić od faktycznie obserwowanych wartości (patrz tabela 3.5).

Na przykład, jeśli wybierzesz αC = 0,1 i βC = 0,5, wówczas wartość teoretyczna R C,1teor będzie

czym różni się od wartości obserwowanej R C,1obs = 0,110. Aby zrównać wartości teoretyczne i obserwowane, należy skorygować wartość teoretyczną R C,1teoria. Osiąga się to poprzez dodanie wartości R C,1teoria błędu εС,1, która wynosi εС,1 = -0,0505, ponieważ (0,1605 – 0,0505 = 0,110).

Można to sprawdzić w drugim kroku obliczeń

również nie pokrywa się z obserwowaną wartością εС,2 = 0,320, dlatego należy skorygować R Przy2błąd teoretyczny εС,2 = + 0,074.

Ponieważ ilości R m, t i R C,t są losowe, to najprawdopodobniej pozostałe wartości teoretyczne również R C,t otrzymane za pomocą równania regresji liniowej będzie różnić się od wartości faktycznie zaobserwowanych R C,t, podane w tabeli. 3.5. W tym względzie wartości R Teorię C,t należy skorygować o błąd ε C,t na każdym etapie obliczeń. Ponieważ ilości R m, t i R C,t są losowe, podobnie jak wartości błędów ε C,t muszą być również zmiennymi losowymi. W rezultacie równanie regresji liniowej dla akcji Z powinno wyglądać tak:

Gdzie ε C,t – błąd losowy.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli portfel obejmuje P akcji, to dla dowolnej i-tej akcji w portfelu równanie regresji liniowej wygląda następująco:

Gdzie R i,t – rentowność I-akcje portfela na krok T;αi jest parametrem regresji liniowej tzw współczynnik „alfa”, pokazując, jaka część rentowności I- akcje portfela nie są powiązane ze zmianami zwrotu z portfela rynkowego R m, t; βi jest parametrem regresji liniowej, tzw współczynnik beta, charakteryzujący wrażliwość zwrotu i-tej akcji portfela na zmiany zwrotów rynkowych R m, t ; R m,t – rentowność portfela rynkowego w danej chwili T;εm,t – błąd losowy, wskazując te rzeczywiste, zaobserwowane wartości R nie odbiegają od wartości teoretycznych R i,tteor uzyskany za pomocą zależności liniowej (3.13).

Równanie (3.13) jest podstawą analizy regresji liniowej i stanowi podstawę modelu Sharpe’a. W analizie regresji liniowej przyjmuje się, że jest to średnia arytmetyczna (oczekiwana) wartość błędów obserwacji Ε (ε To) = 0, tj. rzeczywiste wartości R i,t są średnio równomiernie rozłożone powyżej i poniżej wartości uzyskanych z regresji liniowej.

Jak zauważono powyżej, model Markowitza nie pozwala na wybór optymalnego portfela, lecz raczej wyznacza zbiór portfeli efektywnych. Każdy z tych portfeli zapewnia najwyższy oczekiwany zwrot w celu określenia poziomu ryzyka. Jednak główną wadą modelu Markowitza jest to, że wymaga on bardzo dużej ilości informacji. Znacznie mniejszą ilość informacji wykorzystuje model W. Sharpe’a. Ten ostatni można uznać za uproszczoną wersję modelu Markowitza. O ile model Markowitza można nazwać modelem wieloindeksowym, o tyle model Sharpe’a nazywany jest modelem diagonalnym lub modelem jednoindeksowym.

Według Sharpa zyski przypadające na pojedynczą akcję są silnie skorelowane z ogólnym indeksem rynkowym, co znacznie ułatwia znalezienie efektywnego portfela. Zastosowanie modelu Sharpe'a wymagało znacznie mniej obliczeń, dlatego okazało się, że jest on bardziej odpowiedni do praktycznego zastosowania.

Analizując zachowanie akcji na rynku, Sharp doszedł do wniosku, że wcale nie jest konieczne określanie kowariancji każdej akcji ze sobą. Wystarczy ustalić, w jaki sposób poszczególne akcje oddziałują na cały rynek. A skoro mówimy o papierach wartościowych, wynika z tego, że musimy wziąć pod uwagę cały wolumen rynku papierów wartościowych. Trzeba jednak mieć na uwadze, że liczba papierów wartościowych, a przede wszystkim akcji w każdym kraju jest dość duża. Każdego dnia przeprowadza się za ich pośrednictwem ogromną liczbę transakcji zarówno na rynku giełdowym, jak i pozagiełdowym. Ceny akcji stale się zmieniają, dlatego prawie niemożliwe jest określenie jakichkolwiek wskaźników dla całego wolumenu rynku. Jednocześnie ustalono, że jeśli wybierzemy pewną liczbę określonych papierów wartościowych, będą one w stanie dość dokładnie scharakteryzować ruch całego rynku papierów wartościowych. Jako taki wskaźnik rynkowy można wykorzystać indeksy giełdowe.

Biorąc pod uwagę powyższą zależność między wzajemnym zachowaniem akcji, ustaliliśmy, że znalezienie takich akcji, których zwroty mają ujemną korelację, jest dość trudne lub prawie niemożliwe. Większość akcji rośnie na wartości, gdy gospodarka rośnie, i spada na wartości, gdy gospodarka się załamuje.

Oczywiście można znaleźć kilka akcji, których cena wzrosła w wyniku szczególnych okoliczności, gdy ceny innych akcji spadły. Trudniej jest znaleźć takie akcje i logicznie wytłumaczyć fakt, że w przyszłości te akcje będą zyskiwać na wartości, podczas gdy inne akcje będą tracić na wartości. Zatem nawet portfel składający się z bardzo dużej liczby akcji będzie obarczony wysokim stopniem ryzyka, choć ryzyko to będzie znacznie mniejsze, niż gdyby wszystkie środki zostały zainwestowane w akcje jednej spółki.

Aby dokładniej zrozumieć, jaki wpływ ma struktura portfela na ryzyko portfela, zwróćmy się do wykresu na ryc. 7, który pokazuje, jak ryzyko portfela maleje wraz ze wzrostem liczby akcji w portfelu. Odchylenie standardowe dla „przeciętnego portfela” składającego się z jednej akcji notowanej na nowojorskiej giełdzie wynosi około 28%. Przeciętny portfel składający się z dwóch losowo wybranych akcji będzie miał mniejsze odchylenie standardowe – około 25%. Zwiększenie liczby akcji w portfelu do 10 powoduje zmniejszenie ryzyka takiego portfela do około 18%. Wykres pokazuje, że ryzyko portfela ma tendencję do zmniejszania się i zbliża się do pewnego limitu wraz ze wzrostem wielkości portfela. Portfel składający się ze wszystkich akcji, powszechnie nazywany portfelem rynkowym, miałby odchylenie standardowe około 15,1%. Zatem prawie połowę ryzyka związanego z przeciętną pojedynczą akcją można wyeliminować, jeśli akcje te znajdują się w portfelu składającym się z 40 lub więcej akcji. Jednakże zawsze pozostaje pewne ryzyko, niezależnie od tego, jak szeroko zdywersyfikowany jest portfel.

Ta część ryzyka akcji, którą można wyeliminować poprzez dywersyfikację akcji w portfelu, nazywa się ryzykiem zdywersyfikowanym (synonimy: niesystematyczne, specyficzne, indywidualne); ta część ryzyka, której nie można wyeliminować, nazywana jest ryzykiem niezdywersyfikowalnym (synonimy: systematyczne ryzyko rynkowe).

Ryzyko specyficzne dla firmy wiąże się z takimi zjawiskami jak zmiany legislacyjne, strajki, udany lub nieudany program marketingowy, wygranie lub utrata ważnych kontraktów i inne zdarzenia mające konsekwencje dla konkretnej firmy. Wpływ takich zdarzeń na portfel akcji można wyeliminować poprzez dywersyfikację portfela. W takim przypadku niekorzystne zdarzenia w jednej firmie zostaną zrekompensowane korzystnym rozwojem sytuacji w innej firmie. Zasadniczą kwestią jest to, że znaczną część ryzyka poszczególnych akcji można wyeliminować poprzez dywersyfikację.

Ryzyko rynkowe wynika z czynników wpływających na wszystkie firmy. Czynniki takie obejmują wojnę, inflację, spadek produkcji, rosnące stopy procentowe itp. Ponieważ czynniki te wpływają na większość firm w tym samym kierunku, nie można wyeliminować ryzyka rynkowego ani systematycznego poprzez dywersyfikację.

Równanie modelu

Oczekiwany zwrot z aktywa można wyznaczyć nie tylko za pomocą równania SML, ale także w oparciu o tzw. modele indeksowe. Ich istota polega na tym, że zmiany rentowności i ceny aktywa zależą od szeregu wskaźników charakteryzujących stan rynku, czyli indeksów.

Prosty model indeksowy zaproponował W. Sharp w połowie lat 60. XX wieku. Często nazywany jest modelem rynkowym. Model Sharpe'a przedstawia związek pomiędzy oczekiwanym zwrotem z aktywa a oczekiwanym zwrotem z rynku. Zakłada się, że jest liniowy. Równanie modelu wygląda następująco:

gdzie: E(ri) – oczekiwany zwrot z aktywa;

Yi to rentowność składnika aktywów przy braku ekspozycji na czynniki rynkowe;

βi – współczynnik beta aktywa;

E(rm) - oczekiwany zwrot z portfela rynkowego;

εi jest niezależną zmienną losową (błądem): pokazuje specyficzne ryzyko składnika aktywów, którego nie można wytłumaczyć siłami rynkowymi. Jego średnia wartość wynosi zero. Ma stałą wariancję; kowariancja ze zwrotami rynkowymi równymi zero; kowariancja z nierynkowym składnikiem zwrotów z innych aktywów jest równa zeru.

Równanie (192) jest równaniem regresji. Jeżeli zastosuje się to do portfela szeroko zdywersyfikowanego, wówczas wartości zmiennych losowych (εi), ze względu na to, że zmieniają się one zarówno w kierunku dodatnim, jak i ujemnym, znoszą się wzajemnie, a wartość zmiennej losowej dla portfel jako całość zmierza do zera. Dlatego w przypadku portfela szeroko zdywersyfikowanego można pominąć ryzyko specyficzne. Wówczas model Sharpe'a przyjmuje następującą postać:

teczka;

βp – beta portfela;

ur - rentowność portfela przy braku wpływu czynników rynkowych na nią.

Graficznie model Sharpe’a przedstawiono na rys. 66 i 67. Pokazuje związek pomiędzy zwrotem rynkowym (rt) a zwrotem z aktywów (ri) i jest linią prostą. Nazywa się to linią charakterystyczną. Zmienną niezależną jest rentowność rynku. Nachylenie linii charakterystycznej określa współczynnik beta, a przecięcie z osią rzędnych określa wartość wskaźnika yi.

YI można wyznaczyć ze wzoru (193), biorąc średnie wartości stóp zwrotu z rynku i aktywów z poprzednich okresów. 1

Średni zwrot rynkowy.

Wyznacz równanie modelu rynku.

wzór ma postać:

pokazany na ryc. 66. Kropki pokazują konkretne wartości zwrotu i-tego aktywa i rynku dla różnych momentów w przeszłości.

Na ryc. 66 i ryc. 67 pokazuje przypadek, gdy beta jest dodatnia, w związku z czym wykres modelu rynku jest skierowany w górę w prawo, czyli w miarę wzrostu rynkowej stopy zwrotu, stopa zwrotu z aktywa będzie rosła, a jeśli będzie spadać, będzie spadać. Przy ujemnej wartości beta wykres jest skierowany w dół w prawo, co wskazuje na odwrotny ruch w rentowności rynku i aktywa. Bardziej strome nachylenie wykresu wskazuje na wyższą wartość beta i większe ryzyko instrumentu, mniej strome nachylenie wskazuje na niższą wartość beta i mniejsze ryzyko (patrz rys. 68). Gdy β = 1, zwrot z aktywa odpowiada zwrotowi z rynku, z wyjątkiem zmiennej losowej charakteryzującej określone ryzyko.

Jeśli wykreślimy model samego portfela rynkowego w odniesieniu do portfela rynkowego, wówczas wartość y dla niego będzie równa zeru, a współczynnik beta wynosi +1. Graficznie model ten przedstawiono na rys. 67.

15. 3. 2. Współczynnik determinacji

Model rynkowy można wykorzystać do podziału całego ryzyka składnika aktywów na dywersyfikowalne i niezdywersyfikowalne. Graficznie ryzyko specyficzne i rynkowe przedstawiono na ryc. 68. Według modelu Sharpe'a rozproszenie aktywów jest równe:

Aby obliczyć część wariancji składnika aktywów wyznaczaną przez rynek, stosuje się współczynnik determinacji (R2). Reprezentuje stosunek wyjaśnionej przez rynek wariancji składnika aktywów do jego całkowitej wariancji.

Podstawiając tę ​​wartość do wzoru (196) otrzymujemy wynik wskazujący, że współczynnikiem determinacji jest kwadrat współczynnika korelacji.

R2 = (Corri,m)2 (197)

R2 = (Corri,m)2 (197)

W ostatnim przykładzie R-kwadrat wynosi 0,1699. Oznacza to, że 16,99% zmiany stopy zwrotu z danego aktywa można wytłumaczyć zmianami stóp zwrotu na rynku, a 83,01% innymi czynnikami. Im wartość R-kwadrat jest bliższa jedności, tym bardziej ruch na rynku determinuje zmianę zwrotu z aktywa. Typowa wartość R-kwadrat w gospodarkach zachodnich wynosi około 0,3, co oznacza, że ​​o 30% zmiany stopy zwrotu decyduje rynek. R-kwadrat dla szeroko zdywersyfikowanego portfela może wynosić 0, 9 lub więcej.

Indeks giełdowy jest złożonym wskaźnikiem zmian cen określonej grupy papierów wartościowych – „koszyka indeksowego”. Z reguły wartości bezwzględne wskaźników nie są istotne. Zmiany indeksu w czasie są ważniejsze, ponieważ wskazują ogólny kierunek rynku, nawet jeśli ceny akcji w koszyku indeksu poruszają się w różnych kierunkach. W zależności od próby wskaźników indeks giełdowy może odzwierciedlać zachowanie określonej grupy papierów wartościowych (lub innych aktywów) lub rynku (sektora rynku) jako całości. . Według Dow Jones & Co. Inc. , na koniec 2003 roku na świecie istniało już 2315 indeksów giełdowych. Na końcu nazwy indeksów giełdowych może znajdować się liczba wskazująca liczbę spółek akcyjnych, na podstawie których wyliczany jest indeks: CAC 40, Nikkei 225, S&P 500.

Indeks RTS odzwierciedla bieżącą całkowitą kapitalizację rynkową (wyrażoną w dolarach amerykańskich) akcji określonej listy emitentów w jednostkach względnych. Łączną kapitalizację tych emitentów na dzień 1 września 1995 r. przyjęto jako 100. I tak np. wartość indeksu wynosząca 2400 (połowa 2008 r.) oznacza, że ​​w ciągu prawie 13 lat kapitalizacja rynkowa (w przeliczeniu na dolary amerykańskie) spółek znajdujących się na liście RTS wzrosła 24-krotnie. W każdym dniu roboczym Indeks RTS wyliczany jest w trakcie sesji giełdowej przy każdej zmianie ceny instrumentu zawartego na liście do jego wyliczenia. Pierwsza wartość indeksu jest wartością otwierającą, ostatnia wartość indeksu jest wartością zamykającą. Lista akcji w celu wyliczenia indeksów podlega przeglądowi co trzy miesiące. Istnieje również indeks RTS-2 (akcje drugiego poziomu), RTS Standard (15 blue chipów denominowanych w rublach), RTSVX (Indeks zmienności) i 7 indeksów branżowych.

Indeks MICEX obliczany jest jako stosunek łącznej kapitalizacji rynkowej akcji objętych podstawą wyliczenia indeksu do całkowitej kapitalizacji rynkowej tych akcji w dniu początkowym, pomnożony przez wartość indeksu w dniu początkowym. Przy obliczaniu kapitalizacji rynkowej uwzględnia się cenę i ilość odpowiednich akcji znajdujących się w wolnym obrocie na zorganizowanym rynku papierów wartościowych, które odpowiadają udziałowi w kapitale zakładowym emitenta, wyrażonym wartością współczynnika wolnego obrotu. Indeks wyliczany jest w czasie rzeczywistym w rublach, dlatego też wartość indeksu przeliczana jest przy każdej transakcji na Giełdzie Papierów Wartościowych MICEX akcjami wchodzącymi w skład podstawy wyliczenia indeksu. W 2009 roku do obliczenia indeksu dziennie wykorzystywano ponad 450 tysięcy transakcji o wartości ponad 60 miliardów rubli. , a łączna kapitalizacja akcji objętych podstawą obliczeniową Indeksu MICEX wynosi ponad 10 bilionów rubli. , co odpowiada 80% całkowitej kapitalizacji emitentów, których akcje notowane są na giełdzie. Podstawa kalkulacji Indeksu MICEX jest aktualizowana 2 razy w roku (25 kwietnia i 25 października) w oparciu o szereg kryteriów, z których głównymi są kapitalizacja akcji, płynność akcji, wartość współczynnika free-float oraz branża emitenta akcji.

Dynamika indeksu S&P

Na rynkach papierów wartościowych specjalne wskaźniki – indeksy giełdowe – służą do określenia ogólnego trendu zmian cen akcji. Indeks giełdowy (akcji) to ogólny wskaźnik zmian cen określonej grupy aktywów (papierów wartościowych, towarów lub pochodnych instrumentów finansowych). W zależności od próby wskaźników indeks giełdowy może odzwierciedlać zachowanie określonej grupy aktywów (papiery wartościowe) lub rynku (sektora rynku) jako całości. Aby zbadać charakter zależności zmian indeksów giełdowych od rentowności papierów wartościowych, budowane są modele rynkowe, za pomocą których możliwa jest ocena portfeli inwestycyjnych przedsiębiorstw.

C średni ważony dochód kapitałowy z papierów wartościowych Wzrost indeksu giełdowego za dany okres to średni ważony dochód kapitałowy z papierów wartościowych, których ceny. użyte do obliczenia wskaźnika Niech m r będzie średnioważonym dochodem kapitałowym dla grupy papierów wartościowych objętych indeksem I 0 - , wartością indeksu na początek okresu I 1 - . wartość indeksu na koniec okresu 0 01 I II K

Problemy ze stosowaniem indeksu Głównym problemem związanym ze stosowaniem indeksów jest to, jak dokładnie – indeks charakteryzuje portfel rynkowy, czyli absolutnie wszystkie aktywa finansowe występujące na rynku, a do obliczenia wykorzystuje się jedynie określoną próbkę. indeks z całości (zestaw papierów wartościowych, chociaż według: niektórych indeksów i dość duży, SP 500, więc przy obliczaniu stosuje się ceny 500). akcje największych amerykańskich spółek

Jeszcze kilka problemów. — , Pierwsza rentowność rządowych papierów wartościowych jako, . - i wszelkie inne podlegają wahaniom Druga stopa w modelu wyceny aktywów kapitałowych, wynosząca 0, to także stopa kredytów wolnych od ryzyka, co dodatkowo komplikuje problem doboru jej wartości. praktyczne obliczenia, zatem tutaj trzeba już sięgnąć do pewnych uproszczeń. Praktycznie, jako stopę wolną od ryzyka, wybiera się zwykle stopę () zwrotu w krótkim okresie od trzech miesięcy do roku (zobowiązania rządowe, stopa zwrotu). stopa dyskontowa), stopa refinansowania banku centralnego lub obliczona przez pewną średnią ważoną stopę kredytów (: na rynku międzybankowym najbardziej znanym przykładem LIBOR jest stopa oferowana przez London Interbank). oceń O

Jednoczynnikowy model Sharpe'a Przeanalizujmy związek pomiędzy rentownością określonego papieru wartościowego - mi a rynkową stopą zwrotu () indeksem rynkowym - mr w pewnym okresie czasu. w tym samym okresie zmiana indeksu rynkowego może spowodować odpowiednią zmianę ceny i-tego papieru wartościowego, a zmiany te mają charakter losowy i wzajemnie ze sobą powiązane, a dla ich odzwierciedlenia wykorzystuje się model rynkowy w postaci (równanie regresji linia charakterystyczna papieru wartościowego): m i = i + i m r +i

m i = i + i m r + i gdzie m i i m r oznaczają zwrot z papieru wartościowego i oraz z indeksu rynkowego za okres t; i jest współczynnikiem przesunięcia linii regresji, charakteryzującym oczekiwaną stopę zwrotu i-tego papieru wartościowego w warunkach zerowej stopy zwrotu indeksu rynkowego; i jest współczynnikiem nachylenia i jest cechą ryzyka; jestem przypadkowym błędem.

Współczynnik Beta - Współczynnik Beta ocenia zmiany stóp zwrotu poszczególnych akcji w porównaniu z dynamiką zwrotów rynkowych: jeśli >0, to stopy zwrotu z odpowiednich papierów wartościowych zmieniają się w tym samym kierunku, co stopy zwrotu z rynku, gdzie 1, 0 uważa się za agresywne i bardziej ryzykowne niż cały rynek; w przypadku mniej ryzykownych papierów wartościowych<1, 0. индекс систематического риска вследствие общих условий рынка. i

Według Sharpe’a efektywność papierów wartościowych wygodnie jest obliczyć na podstawie efektywności depozytu wolnego od ryzyka m f m i = m f + β i (m r – m f) + α i, m i – m f nazywa się premią za ryzyko. α = 0 – papiery wartościowe są wycenione godziwie; α > 0 – papiery wartościowe są niedowartościowane przez rynek; α< 0 – бумаги рынком переоценены. Аналогичные утверждения имеют место и для портфелей.

Różnica między liniowym modelem rynku a CAPM: 1) liniowy model rynku jest modelem jednoczynnikowym, w którym rolę czynnika pełni indeks rynkowy. W odróżnieniu od CAPM nie jest to model równowagi opisujący proces kształtowania się stawek bezpieczeństwa. 2) model rynkowy wykorzystuje indeks rynkowy (np. S&P 500), natomiast CAPM wykorzystuje portfel rynkowy. Portfel rynkowy obejmuje wszystkie papiery wartościowe będące przedmiotem obrotu na rynku, a indeks rynkowy zawiera tylko ograniczoną ich liczbę (na przykład 500 dla indeksu S&P 500). Porównanie modelu rynkowego rynku i modelu CAPM

Przykład. 5. 1. Według firmy inwestycyjnej „FINAM” w sprawie rzeczywistej stopy zwrotu z akcji oraz stopy zwrotu z indeksu RTS (RTSI) za okres od stycznia 2008 r. do maja 2009 r. patrz tabela 1, określić oczekiwaną stopę zwrotu, ryzyko i parametry modeli rynkowych (współczynniki alfa i beta) dla akcji Gazpromu (GAZP), Sbierbanku (SBER) i Rosniefti (ROSN). Na podstawie wyników obliczeń skonstruuj wykresy zależności stóp zwrotu z akcji od stóp zwrotu z indeksu RTS.

Dla akcji GAZP Dla akcji SBER Dla akcji ROSN WNIOSEK WYNIKÓW Statystyka regresji Wielokrotność R 0,894 Wielokrotność R 0,898 Wielokrotność R 0,903 R-kwadrat 0,799 R-kwadrat 0,806 R-kwadrat 0,816 Znormalizowany R-kwadrat 0,784 Znormalizowany R-kwadrat 0,792 Znormalizowany R-kwadrat 0,802 Błąd standardowy 6,540 Błąd standardowy 11,068 Błąd standardowy 6,677 Obserwacje 16 Współczynniki dla GAZP Współczynniki dla SBER Współczynniki dla ROSN Punkt przecięcia Y, - 0,56 Punkt przecięcia Y, 0, 72 Punkt przecięcia z Y, 3, 38 Zmienna X 1, 0, 72 Zmienna X 1, 23 Zmienna X 1, 0,

dla akcji Gazpromu m 1 = - 0,56 + 0,72 mr, dla akcji Sbierbanku m 2 = 0,72 + 1,23 mr, dla akcji Rosniefti m 3 = 3,38 + 0,76 Mr.

Niektóre wnioski. . Akcje Sbierbanku to agresywne papiery wartościowe od t do β = 1,23; Dla akcji Gazpromu β = 0,72 pokrywa się to praktycznie ze współczynnikiem beta dla akcji Rosniefti β = 0,76, ich charakterystycznymi liniami. prawie równolegle do siebie (Wraz ze wzrostem stóp zwrotu na giełdzie lub) indeksu rynku RTS oczekiwany zwrot ze wszystkich akcji wzrasta, a zwrot z akcji Sbierbanku rośnie intensywniej niż dalej. dla akcji Gazpromu i Rosniefti (Przy zerowej stopie zwrotu na giełdzie mr = 0) oczekiwany jest zysk 0,72% dla akcji Sbierbanku i 3,38% dla akcji Rosniefti i akcji Gazpromu. przyniesie stratę

Określenie udziału ryzyka rynkowego i nierynkowego aktywów Całkowite ryzyko papieru wartościowego i, mierzone jego rozproszeniem i 2, przedstawia się zwykle w postaci: dwóch składników: rynkowego () systematycznego lub niedywersyfikowalnego (ryzyko rynkowe) + własne () niesystematyczne lub dywersyfikowalne (ryzyko unikalne). i 2 = i 2 (m r) 2 + 2, gdzie 2 i m r 2 oznacza ryzyko rynkowe bezpieczeństwa i, 2 to własne ryzyko bezpieczeństwa i, którego miarą jest odchylenie standardowe błędu losowego i w równaniu

Ryzyko całkowite = Ryzyko rynkowe + Ryzyko własne (systematyczne) + (niesystematyczne) Zatem zmiana stopy zwrotu każdego papieru wartościowego składa się z dwóch elementów: „własnej” zmiany, niezależnej od rynku, oraz „rynkowej” części zmiany , zdeterminowany ogólnie losowym zachowaniem rynku. W tym przypadku współczynnik i 2 2 m r / 2 charakteryzuje udział ryzyka papierów wartościowych wnoszonych przez rynek; jest oznaczony przez R i 2 i nazywany jest współczynnikiem determinacji. Preferowane mogą być papiery wartościowe o większych wartościach R i 2, ponieważ ich zachowanie jest bardziej przewidywalne.

Ryzyko specyficzne wiąże się z takimi zjawiskami jak zmiany legislacyjne, strajki, skuteczna lub nieudana polityka marketingowa, zawarcie lub utrata ważnych kontraktów oraz inne zdarzenia mające konsekwencje dla firmy. Wpływ takich zdarzeń na portfel akcji można wyeliminować poprzez dywersyfikację portfela. Ryzyko rynkowe wynika z czynników wpływających na wszystkie akcje. Czynniki takie obejmują wojnę, inflację, spadek produkcji, rosnące stopy procentowe itp. Ponieważ czynniki te wpływają na większość akcji w jednym kierunku, ryzyka rynkowego i systematycznego nie można wyeliminować poprzez dywersyfikację.

Sharpe model n i iim n i iixx 1 222 2 1 2 minmin p n i iimxm 1 1 1 n i ix

Optymalizacja portfela według Sharpe'a

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 indeks rynkowy 10 9 9 10 10 11 11 12 10 8 akcja A 10 11 9 12 13 12 14 12 15 13 akcja B 23 21 20 22 23 24 25 27 25 20 Przykład. Znana jest stopa zwrotu dwóch akcji oraz stopa zwrotu indeksu rynkowego za 10 miesięcy: Ustal: 1. Charakterystyka każdego papieru wartościowego: współczynniki zależności od indeksu, ryzyko własne (lub niesystematyczne), ryzyko rynkowe i udział ryzyka wnoszonego przez sklep. 2. Utworzyć portfel o minimalnym ryzyku z dwóch rodzajów papierów wartościowych, pod warunkiem, że stopa zwrotu z portfela będzie nie mniejsza niż w przypadku papierów wolnych od ryzyka (5%), biorąc pod uwagę indeks rynkowy.

data indeks OFZ, % rok. Indeks RBC RTKM (Rostelecom) EESR (RAO UES) KMAZ (KAMAZ) SBER (Sbierbank) LKOH (LUKOIL) 1 listopada 07 6, 16 195, 93 112, 46 -27, 92 -24, 14 103, 14 551, 36 2 6 listopada 07, 12 -158, 76 -298, 98 501, 65 -230, 55 -397, 67 -268, 26 6 listopada 07 6, 13 228, 40 -435, 60 -97, 05 37, 90 460, 97 1071, 51 7 lis 07 6, 05 349, 90 -71, 70 -272, 71 -778, 55 17, 11 332, 93 14 sty 08 6, 01 -32, 50 494, 78 211, 67 689, 43 97, 81 -585, 93 15 08 sty 5, 98 310, 83 179, 85 301, 95 2254, 86 376, 25 -134, 32 16 sty 08 5, 94 -1, 68 -261, 76 -980, 08 576, 80 -1331, 03 -1717, 19 17 sty 08 5, 98 -1471, 25 -1087, 70 -289, 08 1254, 74 -440, 19 -854, 21 średnio 6, 14 39, 81 205, 36 59, 83 516, 15 33, 50 -104, 21 SKO ogółem. ryzyko 0,09 450, 60 556, 84 382, ​​06 1101, 37 501, 22 554, 98 korelacja 0,27 1,00 0, 51 0, 24 0, 11 0, 44 0, 51 alfa 6,14 0, 00 180, 31 51, 505 , 73 14, 05 -129, 20 beta 0, 00 1, 00 0, 63 0, 21 0, 26 0, 49 0, 63 własne. ryzyko 412, 51 359, 44 1088, 74 404, 51 410, 90 rynek. ryzyko 144, 34 22, 62 12, 63 96, 71 144, 08 udział w rynku. ryzyko 100, 00% 25, ​​​​92% 1, 15% 19, 30% 25, ​​​​96% Dynamika zwrotów z akcji i obligacji

portfel RTKM (Rostelecom) portfel KMAZ (KAMAZ) udział w rynku 44,31% 55,69% 100,00% śr. dochody 205, 36 516, 15 378, 43 39, 81 śr. ryzyko 556, 84 1101, 37 381, 81 450, 60 Portfel SML RTKMKMAZ

Wyznaczone przez Markowitza zasady konstruowania granicy portfeli efektywnych pozwalają na znalezienie optymalnego (z punktu widzenia inwestora) portfela dla dowolnej liczby papierów wartościowych wchodzących w skład portfela. Główną trudnością w zastosowaniu metody Markowitza jest duża ilość obliczeń wymaganych do wyznaczenia wag Wi każde zabezpieczenie. Rzeczywiście, jeśli portfel łączy n papierów wartościowych, to aby skonstruować granicę efektywnych portfeli, należy najpierw dokonać obliczeń N wartości oczekiwanych (średnich arytmetycznych) zwrotów E(ri) każde zabezpieczenie N wielkie ilości Z 2 ja rozproszenie wszystkich norm odrzutu i n(n1)/2 wyrażenia kowariancji parami a ja j papiery wartościowe w portfelu.

W 1963 roku amerykański ekonomista William Sharpe zaproponował nową metodę konstruowania granicy efektywnych portfeli, która może znacznie zmniejszyć ilość niezbędnych obliczeń. Metoda ta została później zmodyfikowana i obecnie jest znana jako jednoindeksowy model Sharpe’a ( model jednoindeksowy Sharpe’a).

Ogólny opis modelu. Model Sharpe'a opiera się na metodzie analizy regresji liniowej, która umożliwia połączenie dwóch zmiennych losowych, niezależnych X i zależnych Y, wyrażeniem liniowym typu Y = a + (ZxX. W modelu Sharpe'a wartość niektórych indeks rynkowy uważa się za niezależny. Mogą to być na przykład stopa wzrostu produktu krajowego brutto, stopa inflacji, wskaźnik cen towarów i usług konsumenckich itp. Sam Sharpe uważał rentowność za zmienną niezależną. rm, obliczony na podstawie indeksu Standard and Poor's (S&P 500). Rentowność jest traktowana jako zmienna zależna ri jakieś i-te zabezpieczenie. Ponieważ indeks S&P 500 jest często uważany za indeks charakteryzujący rynek papierów wartościowych jako całość, model Sharpe'a nazywany jest zwykle model rynku (Market Model), i rentowność rm rentowność rynek teczka.

Niech plon rm przyjmuje losowe wartości i wewnątrz N kroki obliczeniowe zaobserwowane wartości rm 1, rm 2, ... , rmN. Jednocześnie rentowność ri jakieś i-te zabezpieczenie miało wartość ri 1, ri 2, ..., riN. W tym przypadku model regresji liniowej pozwala przedstawić zależność pomiędzy wartościami rm i ri w dowolnym obserwowanym momencie w postaci:

A i parametr, stały składnik regresji liniowej, pokazujący, jaka część rentowności i-tego papieru wartościowego nie jest związana ze zmianami rentowności rynku papierów wartościowych rm;

P i jest parametrem regresji liniowej zwanym beta, pokazanie wrażliwości rentowności i-tego papieru wartościowego na zmiany rentowności rynkowej;

rm t to zwrot z portfela rynkowego w chwili t;

sit jest błędem losowym wskazującym, że rzeczywiste, efektywne wartości ri t i rm t czasami odbiegają od zależności liniowej.

Szczególną uwagę należy zwrócić na parametr pi, gdyż określa on wrażliwość rentowności i-tego papieru wartościowego na zmiany rentowności rynkowej.

Generalnie, jeśli d >1, to stopa zwrotu z danego papieru wartościowego jest bardziej wrażliwa i podlega większym wahaniom niż rynkowa stopa zwrotu rm. Odpowiednio, kiedy P J< 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности rj от средней арифметической (ожидаемой) величины E (r) j , чем рыночная доходность. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом R> 1 są klasyfikowane jako bardziej ryzykowne niż rynek jako całość, oraz R< 1 менее рискованными.

Badania pokazują, że w przypadku większości papierów wartościowych R> 0, chociaż mogą występować papiery wartościowe o wartości ujemnej

Ocena wyników regresji. Parametry α i β i modelu regresji dają wyobrażenie o ogólnych tendencjach w relacjach pomiędzy

Wyznaczanie parametrów ai i nr modelu regresji. Aby znaleźć parametry A ja i P i opiera się na wynikach obserwacji metoda najmniejszych kwadratów (LSM). Według tej metody jako parametry A ja i P i przyjmowane są wartości, które minimalizują sumę kwadratów błędów V. Jeśli przeprowadzimy niezbędne obliczenia, okaże się, że parametry A ja i P przyjmuję następujące wartości:

zmiany wskaźnika rynkowego rm i stopy zwrotu ri. Jednak wartości A ja i t nie pozwalają nam udzielić jednoznacznej odpowiedzi na temat stopni taki związek. Na dokładność modelu regresji istotny wpływ mają błędy tj. Oznacza to, że dokładność modelu regresji, czyli stopień związku między rm i ri, jest określony przez rozrzut błędów losowych, który można oszacować za pomocą wariancji błędu losowego.

Ponadto dokładność regresji można określić, oceniając, jak dokładnie model regresji uwzględnia wariancję A] papiery wartościowe, za

dla którego tworzony jest model regresji.

Odmiana zabezpieczeń A] można przedstawić za pomocą dwóch terminów:

W tym przypadku pierwszy termin pokaże który udział w ogólnym ryzyku papieru wartościowego można opisać za pomocą modelu regresji (ri t = A i + P irm t), a drugi człon to stopień niedokładności modelu regresji. Oznacza to, że im bliżej wartości ^a 2 /A] Im bliżej jedności, tym dokładniejszy jest model regresji.

Należy pamiętać, że kwadrat współczynnika korelacji jest ogólnie przyjętą miarą regresji liniowej, czyli miarą tego, jak dokładnie równanie regresji nadaje się do opisu zależności pomiędzy danymi rzeczywistymi rit i rm t.

Ponieważ do określenia optymalnego portfela za pomocą modelu Sharpe’a potrzebne będą wartości wariancji ^ losowy

błędy, obliczmy je. Ogólny wzór na obliczenie wariancji błędu losowego to:

W tym przypadku średnią arytmetyczną oblicza się, dzieląc przez (N 2), ponieważ w obliczeniach utracono dwa stopnie swobody A ja i Pi.

Wykorzystanie modelu rynku Sharpe’a do zbudowania granicy efektywnych portfeli. Jedną z głównych zalet modelu Sharpe'a jest to, że może on znacznie zmniejszyć ilość obliczeń wymaganych do określenia optymalnego portfela, dając jednocześnie wyniki bardzo zbliżone do uzyskanych za pomocą modelu Markowitza. Ponieważ model Sharpe'a opiera się na regresji liniowej, jego zastosowanie wymaga spełnienia szeregu warunków. Jeżeli założymy, że inwestor tworzy portfel papierów wartościowych, to założymy, że:

1) Średnia arytmetyczna (oczekiwana) wartość błędów losowych E (ε i) = 0 dla wszystkich papierów w portfelu, czyli dla i = 1, 2, ... , n.

2) Wariancja błędów losowych σ ε 2 , I dla każdego zabezpieczenia jest stała.

3) Dla każdego konkretnego papieru wartościowego nie ma korelacji pomiędzy wartościami błędów losowych obserwowanymi przez N lat.

4) Nie ma korelacji pomiędzy błędami losowymi dowolnych dwóch papierów wartościowych w portfelu.

5) Nie ma korelacji pomiędzy błędami losowymi ε i a zwrotami rynkowymi.

Korzystając z tych uproszczeń, możemy otrzymać wyrażenia E(ri), σ ja 2 i

σ i, j dla dowolnych papierów wartościowych w portfelu:

Podsumowując: jeśli inwestor tworzy portfel n papierów wartościowych, to stosując parametry regresji liniowej A ja i P i pozwala wyrazić za ich pomocą wszystkie elementy początkowe oczekiwany zwrot E(ri) każdego papieru wartościowego w portfelu, wariancję A 2 i kowaria

stóp zwrotu tych papierów wartościowych, niezbędnych do zbudowania granicy efektywnych portfeli. W takim przypadku inwestor musi najpierw dokonać obliczeń N wartości ja, N wartości P i , n wartości < , a także E (rm) i 2 m. Zatem wystarczy znaleźć: (n + n + n +2) = 3 n +2 danych początkowych, czyli znacznie mniej niż ilość obliczeń dla modelu Markowitza.

Wyznaczanie oczekiwanej stopy zwrotu i wariancji portfela.

Oczekiwaną stopę zwrotu z portfela składającego się z n papierów wartościowych oblicza się ze wzoru

Aby uczynić tę formułę zwięzłą, Sharp zaproponował rozważenie indeksu rynkowego jako cechy warunkowego (n + 1) papieru wartościowego w portfelu. W takim przypadku drugi wyraz równania można przedstawić jako:

Zwróćmy zatem uwagę na główne kroki, które należy wykonać, aby skonstruować granicę efektywnych portfeli w modelu Sharpe’a:

1) Wybierz n papierów wartościowych, z których tworzony jest portfel i określ historyczny okres N etapów obliczeniowych, podczas których będą obserwowane wartości rentowności ri, t każdego papieru wartościowego.

2) Używając indeksu rynkowego (na przykład AK i M), oblicz zwroty rynkowe rm, t dla tego samego okresu.

3) Określ wartości β i:

5) Oblicz wariancje σ ε 2 I błędy modelu regresji

6) Podstaw te wartości do równań (7.15 – 7.18)

Po takim podstawieniu okazuje się, że nieznanymi wielkościami są wagi Wi papierów wartościowych. Wybierając określoną wartość oczekiwanej stopy zwrotu z portfela E*, można znaleźć wagi papierów wartościowych w portfelu, skonstruować granicę efektywnych portfeli i określić optymalny portfel.