Pravila za konstruisanje granice efikasnih portfolija koja je izveo Markowitz omogućavaju pronalaženje optimalnog (sa tačke gledišta investitora) portfelja za bilo koji broj hartija od vrednosti u portfelju. Glavna poteškoća u primjeni Markowitz metode je velika količina proračuna potrebnih za određivanje težine Wi svake hartije od vrijednosti. Zaista, ako se portfolio kombinuje P vrijednosnih papira, onda je za konstruiranje granice efikasnih portfelja potrebno prvo izračunati P vrijednosti očekivanih (aritmetičkih prosjeka) prinosa E(r i) svaka hartija od vrijednosti, P vrijednosti varijansi svih prinosa i P(P– 1)/2 izraza kovarijansi σi,j akcija u portfelju. Kako se broj vrijednosnih papira u portfelju povećava, broj potrebnih vrijednosti kovarijanse postaje pretjerano velik. Na primjer, ako investitor želi kreirati portfolio od 30 dionica, onda treba izračunati 435 kovarijansi, 30 očekivanih prinosa i 30 varijansi, tj. samo oko 500 vrijednosti! Ako se broj vrijednosnih papira udvostruči (na 60), tada će investitoru trebati 1770 vrijednosti kovarijanse plus 120 vrijednosti E(r i) i σ j. A sa 100 vrijednosnih papira u portfelju, potreban broj početnih podataka će premašiti 5000.

Godine 1963. američki ekonomista W. Sharp ( William Sharpe) je predložio novu metodu za izgradnju granice efikasnih portfelja, koja omogućava značajno smanjenje količine potrebnih proračuna. Ova metoda je naknadno modificirana i trenutno je poznata kao Sharpeov model s jednim indeksom. U nastavku su glavne faze konstruisanja ovog modela.

Opšti opis modela

Sharpe model je zasnovan na metoda linearne regresijske analize , što vam omogućava da povežete dvije nasumične zavisne varijable X I Y linearni izraz kao

U Sharpeovom modelu, kao zavisna varijabla Y uzima se profitabilnost r ja, t neke i-th dionice u portfelju mjerene u odabranim koracima izračunavanja. Nezavisna varijabla X Razmatra se vrijednost nekog tržišnog indikatora koji utiče na prinos na dionice portfelja. Takav pokazatelj može biti, na primjer, stopa rasta bruto domaćeg proizvoda, stopa inflacije, indeks cijena robe široke potrošnje itd. Sam Sharpe je smatrao prinos na tržišni portfelj kao nezavisnu varijablu. r t,t izračunato u istim koracima izračuna na osnovu indeksa Standard i jadno "s (S&P500). Izraz (3.12) naziva se jednadžba linearne regresije, a konstantni koeficijenti A i β se razmatraju parametri linearne regresije.

U ruskim uslovima, profitabilnost r t,t tržišnog portfelja može se proceniti korišćenjem domaćih RCB indeksa (na primer, MICEX indeks ili RTS indeks). Ako je navedeno trajanje perioda držanja i poznate su vrijednosti indeksa I kao prvo I početak i kraj I con holding period, onda se prinos na tržišni portfolio za ovaj period nalazi po formuli

Izgradnja regresijskog modela

Za jasnu prezentaciju sadržaja Sharpe modela, pretpostavimo da je portfelj formiran od prethodno razmatranih dionica kompanija A, B I WITH. Neka bude dato trajanje budućeg perioda držanja (za naknadno poređenje Sharpeovog modela sa Markowitzovim modelom, pretpostavićemo da se ovo trajanje poklapa sa odabranim trajanjem u Markowitz modelu). Hajdemo i postaviti N= 10 proračunskih koraka u prošlosti (što se poklapa sa početnim uslovima uvedenim u poslednjem poglavlju za primer prema G. Markowitzu). Na osnovu podataka o promjenama tržišnog indeksa (dobijenih iz otvorenih izvora) izračunavamo profitabilnost r t,t tržišni portfolio za odabrano N korake izračunavanja. Dobijene podatke ćemo unijeti u tabelu. 3.5, koji takođe pokazuje prinose r s,t dionice SA, prethodno izračunato.

Tabela 3.5

Uvjetni prinosi tržišnog portfelja i dionica WITH

U ovom slučaju, za akciju WITH jednačina linearne regresije (3.14) treba da ima oblik

Strogo govoreći, možete odabrati bilo koju vrijednost parametara αC i βC, shvatajući da su teorijske vrijednosti dobivene iz ovog izraza r C,t će se razlikovati od stvarno uočenih vrijednosti (vidi tabelu 3.5).

Na primjer, ako odaberete αC = 0,1 i βC = 0,5, tada će teoretska vrijednost r C,1teor će biti

šta se razlikuje od posmatrane vrednosti r C,1obs = 0,110. Za izjednačavanje teorijske i posmatrane vrijednosti potrebno je korigirati teorijsku vrijednost r C,1theor. To se postiže dodavanjem vrijednosti r C,1teor greške εS,1, što je εS,1 = -0,0505, budući da (0,1605 – 0,0505 = 0,110).

To možete provjeriti u drugom koraku izračunavanja

takođe se ne poklapa sa posmatranom vrednošću εS,2 = 0,320, pa je potrebno korigovati r Sa,2teorijska greška εS,2 = + 0,074.

Pošto količine r m,t i r C,t su nasumične, onda su, najvjerovatnije, i ostale teorijske vrijednosti r C,t dobiven korištenjem jednadžbe linearne regresije će se razlikovati od stvarno uočenih vrijednosti r C,t, dato u tabeli. 3.5. U tom smislu, vrijednosti r C,t teorija mora biti ispravljena greškom ε C,t u svakom koraku proračuna. Pošto količine r m,t i r C,t su nasumične, a onda su i vrijednosti greške ε C,t također moraju biti slučajne varijable. Kao rezultat, jednačina linearne regresije za dionicu WITH trebalo bi izgledati ovako:

Gdje ε C,t – slučajna greška.

Općenito, ako portfolio uključuje P dionice, tada za bilo koju i-tu dionicu u portfelju jednačina linearne regresije izgleda ovako:

Gdje r i,t – profitabilnost i-portfolio dionica po koraku t;αi je parametar linearne regresije tzv koeficijent "alfa", pokazujući koji je dio profitabilnosti i- dionice u portfelju nisu povezane sa promjenama prinosa tržišnog portfelja r m,t; βi je parametar linearne regresije tzv beta koeficijent, karakterizirajući osjetljivost povrata i-te dionice portfelja na promjene tržišnih prinosa r m,t ; r m,t – profitabilnost tržišnog portfelja u ovom trenutku t;εm,t – slučajna greška, što ukazuje na stvarne, posmatrane vrednosti r ne odstupam od teorijskih vrijednosti r i,ttheor dobiven korištenjem linearne zavisnosti (3.13).

Jednačina (3.13) je osnovna u analizi linearne regresije i uzeta je kao osnova u Sharpeovom modelu. U analizi linearne regresije, pretpostavlja se da je aritmetička srednja (očekivana) vrijednost grešaka u posmatranju Ε (ε i,t) = 0, tj. stvarne vrijednosti r i,t su u prosjeku ravnomjerno raspoređeni iznad i ispod vrijednosti dobijenih linearnom regresijom.

Kao što je već navedeno, Markowitzov model ne omogućava izbor optimalnog portfelja, već određuje skup efikasnih portfelja. Svaki od ovih portfelja pruža najveći očekivani prinos za određivanje nivoa rizika. Međutim, glavni nedostatak Markowitzovog modela je to što zahtijeva vrlo veliku količinu informacija. U W. Sharpeovom modelu koristi se mnogo manja količina informacija. Potonji se može smatrati pojednostavljenom verzijom Markowitzovog modela. Dok se Markowitzov model može nazvati višeindeksnim modelom, Sharpeov model se naziva dijagonalnim modelom ili modelom s jednim indeksom.

Prema Sharp-u, zarada po pojedinačnoj dionici je u velikoj korelaciji sa ukupnim tržišnim indeksom, što čini mnogo lakšim pronalaženje efikasnog portfelja. Upotreba Sharpeovog modela zahtijeva znatno manje proračuna, pa se pokazalo da je pogodniji za praktičnu upotrebu.

Analizirajući ponašanje dionica na tržištu, Sharp je došao do zaključka da uopće nije potrebno određivati ​​kovarijansu svake dionice među sobom. Sasvim je dovoljno utvrditi kako svaka akcija stupa u interakciju sa cijelim tržištem. A pošto je riječ o hartijama od vrijednosti, proizilazi da treba uzeti u obzir cjelokupni obim tržišta hartija od vrijednosti. Međutim, treba imati na umu da je broj vrijednosnih papira i prije svega dionica u svakoj zemlji prilično velik. Sa njima se svakodnevno obavlja ogroman broj transakcija kako na berzanskom tako i na vanberzanskom tržištu. Cijene akcija se konstantno mijenjaju, tako da je gotovo nemoguće odrediti bilo koji pokazatelj za cjelokupni obim tržišta. Istovremeno, utvrđeno je da ukoliko odaberemo određeni broj određenih hartija od vrijednosti, oni će moći prilično precizno okarakterizirati kretanje cjelokupnog tržišta hartija od vrijednosti. Berzanski indeksi se mogu koristiti kao takav tržišni indikator.

Razmatrajući iznad odnos između ponašanja dionica među sobom, ustanovili smo da je prilično teško ili gotovo nemoguće pronaći takve dionice čiji prinosi imaju negativnu korelaciju. Većina dionica ima tendenciju rasta vrijednosti kada privreda raste i pada u vrijednosti kada je ekonomija u padu.

Naravno, možete pronaći nekoliko dionica koje su poskupjele zbog posebnog spleta okolnosti kada su ostale dionice pojeftinile. Teže je pronaći takve dionice i dati logično objašnjenje za činjenicu da će te dionice u budućnosti rasti u vrijednosti, dok će ostale akcije padati. Tako će čak i portfolio koji se sastoji od veoma velikog broja akcija imati visok stepen rizika, iako će rizik biti mnogo manji nego da su sva sredstva uložena u akcije jedne kompanije.

Da bismo preciznije razumjeli kakav uticaj struktura portfolija ima na rizik portfelja, okrenimo se grafikonu na Sl. 7, koji pokazuje kako se rizik portfelja smanjuje ako se broj dionica u portfelju povećava. Standardna devijacija za "prosječni portfelj" sastavljen od jedne dionice koja je kotirana na njujorškoj berzi iznosi približno 28%. Prosječan portfolio sastavljen od dvije nasumično odabrane dionice imat će manju standardnu ​​devijaciju – oko 25%. Ako se broj dionica u portfelju poveća na 10, onda se rizik takvog portfelja smanjuje na približno 18%. Grafikon pokazuje da rizik portfelja ima tendenciju smanjenja i približava se određenoj granici kako se veličina portfelja povećava. Portfolio koji se sastoji od svih akcija, koji se obično naziva tržišni portfolio, imao bi standardnu ​​devijaciju od oko 15,1%. Dakle, gotovo polovina rizika svojstvenog prosječnoj pojedinačnoj dionici može biti eliminisana ako se dionica drži u portfelju od 40 ili više dionica. Međutim, određeni rizik uvijek ostaje, bez obzira na to koliko je portfolio široko diverzificiran.

Taj dio rizika dionica koji se može eliminisati diverzifikacijom dionica u portfelju naziva se rizik diverzifikacije (sinonimi: nesistematičan, specifičan, individualan); onaj dio rizika koji se ne može eliminisati naziva se rizik koji se ne može diverzifikovati (sinonimi: sistematski tržišni rizik).

Rizik specifičan za firmu povezan je sa pojavama kao što su promene u zakonodavstvu, štrajkovi, uspešan ili neuspešan marketinški program, dobijanje ili gubitak važnih ugovora i drugi događaji koji imaju posledice za određenu firmu. Uticaj takvih događaja na portfolio akcija može se eliminisati diverzifikacijom portfelja. U ovom slučaju, nepovoljni događaji u jednoj kompaniji biće nadoknađeni povoljnim dešavanjima u drugoj kompaniji. Suštinska stvar je da se značajan dio rizika svake pojedinačne dionice može eliminisati kroz diversifikaciju.

Tržišni rizik proizilazi iz faktora koji utiču na sve firme. Takvi faktori uključuju rat, inflaciju, pad proizvodnje, rastuće kamatne stope, itd. Pošto takvi faktori utiču na većinu firmi u istom pravcu, tržišni ili sistematski rizik ne može se eliminisati kroz diversifikaciju.

Jednačina modela

Očekivani prinos sredstva može se odrediti ne samo pomoću SML jednačine, već i na osnovu takozvanih indeksnih modela. Njihova suština je da promjene u profitabilnosti i cijeni imovine zavise od niza pokazatelja koji karakteriziraju stanje na tržištu, odnosno indeksa.

Jednostavan model indeksa predložio je W. Sharp sredinom 60-ih. Često se naziva tržišni model. Sharpe model predstavlja odnos između očekivanog povrata imovine i očekivanog povrata na tržištu. Pretpostavlja se da je linearan. Jednačina modela je sljedeća:

gdje je: E(ri) - očekivani prinos na imovinu;

Yi je profitabilnost sredstva u odsustvu izloženosti tržišnim faktorima;

βi - koeficijent beta imovine;

E(rm) - očekivani prinos tržišnog portfelja;

εi je nezavisna slučajna varijabla (greška): pokazuje specifičan rizik imovine koji se ne može objasniti tržišnim silama. Njegova prosječna vrijednost je nula. Ima konstantnu varijansu; kovarijansa sa tržišnim prinosima jednakim nuli; kovarijansa sa netržišnom komponentom prinosa ostalih sredstava jednaka je nuli.

Jednačina (192) je jednačina regresije. Ako se primjenjuje na široko raznolik portfelj, tada se vrijednosti slučajnih varijabli (εi), zbog činjenice da se mijenjaju u pozitivnom i negativnom smjeru, međusobno poništavaju, a vrijednost slučajne varijable za portfolio kao celina teži nuli. Stoga, za široko diversifikovan portfolio, specifični rizik se može zanemariti. Tada Sharpeov model poprima sljedeći oblik:

portfolio;

βp - portfolio beta;

ur - profitabilnost portfelja u odsustvu uticaja tržišnih faktora na njega.

Grafički, Sharpeov model je predstavljen na Sl. 66 i 67. Prikazuje odnos između tržišnog prinosa (rt) i prinosa na imovinu (ri) i predstavlja pravu liniju. Zove se karakteristična linija. Nezavisna varijabla je tržišna profitabilnost. Nagib karakteristične linije je određen beta koeficijentom, a presek sa ordinatnom osom određen je vrednošću indikatora yi.

YI se može odrediti iz formule (193), uzimajući prosječne vrijednosti tržišnog i prinosa na imovinu za prethodne periode vremena. 1

Prosječan tržišni povrat.

Odredite jednadžbu tržišnog modela.

model ima oblik:

prikazano na sl. 66. Tačke pokazuju specifične vrijednosti povrata i-te imovine i tržišta za različite trenutke u prošlosti.

Na sl. 66 i sl. 67 prikazuje slučaj kada je beta pozitivna, pa je graf tržišnog modela usmjeren prema gore udesno, tj. kako se tržišni prinos povećava, prinos sredstva će se povećati, a ako se smanji, on će pasti. Sa negativnom beta vrijednošću, graf je usmjeren prema dolje udesno, što ukazuje na suprotno kretanje profitabilnosti tržišta i imovine. Strmiji nagib grafikona ukazuje na visoku beta vrijednost i veći rizik sredstva, manji nagib ukazuje na nižu beta vrijednost i manji rizik (vidi sliku 68). Kada je β = 1, prinos sredstva odgovara prinosu na tržištu, sa izuzetkom slučajne varijable koja karakteriše određeni rizik.

Ako nacrtamo model za sam tržišni portfelj u odnosu na tržišni portfelj, tada je vrijednost y za njega jednaka nuli, a beta je +1. Grafički, ovaj model je predstavljen na Sl. 67.

15. 3. 2. Koeficijent determinacije

Tržišni model se može koristiti za podjelu cjelokupnog rizika aktive na diverzifikabilnu i nediverzifikaciju.Grafički su specifični i tržišni rizici prikazani na Sl. 68. Prema Sharpeovom modelu, disperzija sredstava je jednaka:

Za izračunavanje dijela varijanse sredstva koji je određen tržištem, koristi se koeficijent determinacije (R2). Predstavlja omjer tržišno objašnjene varijanse sredstva i njegove ukupne varijanse.

Zamjenom ove vrijednosti u formulu (196) dobijamo rezultat koji pokazuje da je koeficijent determinacije kvadrat koeficijenta korelacije.

R2 = (Corri,m)2 (197)

R2 = (Corri,m)2 (197)

U posljednjem primjeru, R-kvadrat je 0,1699. To znači da se 16,99% promjene prinosa predmetne imovine može objasniti promjenama tržišnih prinosa, a 83,01% drugim faktorima. Što je vrijednost R-kvadrata bliža jedinici, to više kretanje tržišta određuje promjenu prinosa sredstva. Tipična vrijednost R-kvadrata u zapadnoj ekonomiji je oko 0,3, što znači da je 30% promjene prinosa određeno tržištem. R-kvadrat za široko diversifikovani portfelj može biti 0, 9 ili više.

Berzanski indeks je kompozitni indikator promjene cijena za određenu grupu hartija od vrijednosti – „indeksnu korpu“. Po pravilu, apsolutne vrijednosti indeksa nisu važne. Promjene indeksa tokom vremena su važnije jer daju indikaciju ukupnog smjera tržišta, čak i kada se cijene akcija unutar indeksne korpe kreću u različitim smjerovima. U zavisnosti od uzorka indikatora, berzanski indeks može odražavati ponašanje određene grupe hartija od vrijednosti (ili druge imovine) ili tržišta (tržišnog sektora) u cjelini. . Prema Dow Jones & Co. Inc. , na kraju 2003. godine u svijetu je bilo već 2.315 berzanskih indeksa. Na kraju naziva berzanskih indeksa može se nalaziti broj koji označava broj akcionarskih društava na osnovu kojih se izračunava indeks: CAC 40, Nikkei 225, S&P 500.

Indeks RTS-a odražava trenutnu ukupnu tržišnu kapitalizaciju (izraženu u američkim dolarima) akcija određene liste emitenata u relativnim jedinicama. Ukupna kapitalizacija ovih emitenata na dan 1. septembra 1995. godine uzeta je kao 100. Tako, na primer, vrednost indeksa od 2400 (sredina 2008.) znači da je za skoro 13 godina tržišna kapitalizacija (preračunata u američke dolare) kompanija na listi RTS-a porasla 24 puta. Indeks RTS-a se svakog radnog dana obračunava u toku trgovačke sesije sa svakom promenom cene instrumenta koji se nalazi na listi za njegov obračun. Prva vrijednost indeksa je početna vrijednost, zadnja vrijednost indeksa je vrijednost na zatvaranju. Lista dionica za izračunavanje indeksa pregledava se svaka tri mjeseca. Tu su i indeks RTS-2 (akcije drugog reda), RTS Standard (15 plavih čipova denominiranih u rubljama), RTSVX (indeks volatilnosti) i 7 industrijskih indeksa.

Indeks MICEX-a se izračunava kao omjer ukupne tržišne kapitalizacije dionica uključenih u bazu za obračun indeksa i ukupne tržišne kapitalizacije ovih dionica na datum početka, pomnožene vrijednošću indeksa na datum početka. Prilikom izračunavanja tržišne kapitalizacije uzimaju se u obzir cijena i količina odgovarajućih akcija kojima se slobodno trguje na organizovanom tržištu hartija od vrijednosti, a koje odgovaraju udjelu akcijskog kapitala emitenta, izraženom vrijednošću koeficijenta free-float-a. Indeks se izračunava u realnom vremenu u rubljama, tako da se vrijednost indeksa preračunava kada se svaka transakcija obavi na MICEX berzi sa dionicama uključenim u bazu za obračun indeksa. U 2009. za izračunavanje indeksa dnevno je korišteno više od 450 hiljada transakcija u vrijednosti od preko 60 milijardi rubalja. , a ukupna kapitalizacija dionica uključenih u obračunsku bazu MICEX indeksa iznosi više od 10 triliona rubalja. , što odgovara 80% ukupne kapitalizacije emitenata čijim se akcijama trguje na berzi. Osnova za obračun MICEX indeksa revidira se 2 puta godišnje (25. aprila i 25. oktobra) na osnovu niza kriterijuma, od kojih su glavni kapitalizacija akcija, likvidnost akcija, vrednost koeficijenta free-float-a i industrija emitent akcija.

Dinamika S&P indeksa

Na tržištima hartija od vrijednosti koriste se posebni indikatori – berzanski indeksi za određivanje opšteg trenda promjena cijena dionica. Berzanski (berzanski) indeks je opšti pokazatelj promjene cijena određene grupe sredstava (hartije od vrijednosti, roba ili derivativni finansijski instrumenti). U zavisnosti od uzorka indikatora, berzanski indeks može odražavati ponašanje određene grupe sredstava (hartija od vrijednosti) ili tržišta (tržišnog sektora) u cjelini. Za proučavanje prirode odnosa u promjenama berzanskih indeksa i profitabilnosti hartija od vrijednosti grade se tržišni modeli uz pomoć kojih je moguće procijeniti investicione portfelje preduzeća.

C ponderisani prosječni kapitalni prihod na hartije od vrijednosti Povećanje berzanskog indeksa za određeni period je prosječni ponderisani kapitalni prihod na hartije od vrijednosti čije cijene. koji se koristi za izračunavanje indeksa Neka je m r prosječni ponderirani kapitalni prihod za grupu vrijednosnih papira uključenih u, I indeks 0 - , vrijednost indeksa na početku perioda I 1 - . vrijednost indeksa na kraju perioda 0 01 I II K

Problemi korišćenja indeksa Glavni problem vezan za korišćenje indeksa je koliko tačno – indeks karakteriše tržišni portfolio, odnosno apsolutno svu finansijsku imovinu koja je prisutna na tržištu, dok se samo određeni uzorak koristi za izračunavanje indeks iz cijelog (skup hartija od vrijednosti, iako prema: nekim indeksima i prilično velikim, SP 500 pa se pri obračunu koriste cijene od 500). dionice najvećih američkih kompanija

Još nekoliko problema. — , Prvi prinos državnih hartija od vrijednosti kao, . - i svi ostali su podložni fluktuacijama.Druga stopa u modelu vrednovanja kapitalne imovine, 0, takođe je stopa na nerizične kredite, što dodatno otežava problem izbora njene vrednosti. praktične kalkulacije, Dakle, ovdje je već potrebno pribjeći određenim pojednostavljenjima. Praktično se kao bezrizična stopa najčešće bira stopa () prinosa na kratkoročni period od tri mjeseca do godinu dana, (državne obaveze, diskontna stopa ili), stopa refinansiranja centralne banke ili izračunata po određenoj Tako je prosječna ponderisana stopa na kredite na (: na međubankarskom tržištu najpoznatiji primjer LIBOR-a je Londonska međubankarska ponuđena stopa). stopa O

Jednofaktorski Sharpe model Proučimo odnos između profitabilnosti određene hartije od vrijednosti - mi i tržišnog prinosa () tržišnog indeksa - mr u određenom vremenskom periodu. u istom periodu, promjena tržišnog indeksa može uzrokovati odgovarajuću promjenu cijene i-te hartije od vrijednosti, a takve promjene su slučajne i međusobno povezane i da ih odrazi koristi se tržišni model u obliku (regresiona jednačina karakteristična linija vrijednosnog papira): m i = i + i m r +i

m i = i + i m r + i gdje su m i i m r prinos na hartiju od vrijednosti i i na tržišni indeks za vremenski period t; i je koeficijent pomaka linije regresije, koji karakteriše očekivani prinos i-te hartije od vrednosti pod uslovom nultog prinosa tržišnog indeksa; i je koeficijent nagiba i karakteristika rizika; ja sam slučajna greška.

Beta koeficijent - Beta koeficijent procjenjuje promjene prinosa pojedinačnih dionica u odnosu na dinamiku tržišnih prinosa: ako je >0, tada se prinosi odgovarajućih vrijednosnih papira mijenjaju u istom smjeru kao i tržišni prinosi, sa 1, 0 smatraju se agresivnim i rizičnije od tržišta u cjelini; za manje rizične hartije od vrijednosti<1, 0. индекс систематического риска вследствие общих условий рынка. i

Prema Šarpu, zgodno je izračunati efikasnost hartija od vrednosti iz efikasnosti nerizičnog depozita m f m i = m f + β i (m r – m f) + α i, m i – m f se zove premija rizika. α = 0 – hartije od vrednosti su fer vrednovane; α > 0 – hartije od vrednosti su potcenjene na tržištu; α< 0 – бумаги рынком переоценены. Аналогичные утверждения имеют место и для портфелей.

Razlika između modela linearnog tržišta i CAPM: 1) linearni tržišni model je jednofaktorski model, gdje tržišni indeks djeluje kao faktor. Za razliku od CAPM-a, on nije ravnotežni model koji opisuje proces formiranja sigurnosnih stopa. 2) tržišni model koristi tržišni indeks (na primjer, S&P 500), dok CAPM koristi tržišni portfolio. Tržišni portfolio kombinuje sve hartije od vrednosti kojima se trguje na tržištu, a tržišni indeks sadrži samo ograničen broj njih (na primer, 500 za S&P 500 indeks). Poređenje tržišnog modela tržišta i CAPM modela

Primjer. 5. 1. Prema investicionom društvu „FINAM“ o stvarnom prinosu na akcije i prinosu na RTS indeks (RTSI) za period od januara 2008. do maja 2009. godine. vidi tabelu 1, odrediti očekivani prinos, rizik i parametre tržišnih modela (alfa i beta koeficijenti) za akcije Gazproma (GAZP), Sberbanke (SBER) i Rosnjefta (ROSN). Na osnovu rezultata proračuna konstruisati grafikone zavisnosti prinosa akcija od prinosa na RTS indeks.

Za dionice GAZP Za dionice SBER Za dionice ROSN ZAKLJUČAK REZULTATA Statistika regresije Višestruko R 0,894 Višestruko R 0,898 Višestruko R 0,903 R-kvadrat 0,799 R-kvadrat 0,806 R-kvadrat 0,806 R-kvadrat 0,816 Normalizirano R-squad 0,816 Normalizirano R-squad 0,802 Standardna greška 6.540 Standardna greška 11.068 Standardna greška 6.677 Opažanja 16 Koeficijenti za GAZP Koeficijenti za SBER Koeficijenti za ROSN Y-presjek, - 0. 56 Y-presjek, 0, 72 Y-presjek, 3, 38 Varijabla X 1, Varijabla, 0 X 1, 23 Varijabla X 1, 0,

za akcije Gazproma m 1 = - 0,56 + 0,72 mr, za akcije Sberbanke m 2 = 0,72 + 1,23 mr, za akcije Rosnjefta m 3 = 3,38 + 0,76 Mr.

Neki zaključci. . Akcije Sberbanke su agresivne hartije od vrijednosti t do β = 1,23; Za akcije Gazproma β = 0,72, to se praktično poklapa sa beta koeficijentom za akcije Rosnjefta β = 0,76, njihovim karakterističnim linijama. gotovo paralelno jedna sa drugom (sa povećanjem prinosa na berzi ili) tržišnog indeksa RTS-a, očekivani prinos na sve akcije raste, a prinos na akcije Sberbanke raste intenzivnije nego na. za akcije Gazproma i Rosnjefta (sa nultim prinosom na berzi mr = 0) očekuje se 0,72% profita za akcije Sberbanke i 3,38% za akcije Rosnjefta i akcije Gazproma. doneće gubitak

Određivanje udjela tržišnog i netržišnog rizika imovine Ukupan rizik vrijednosnog papira i, mjeren njegovom disperzijom i 2, obično se predstavlja u obliku: dvije komponente tržišne () sistematske ili nediverzibilne (tržišni rizik) + sopstveni () nesistematski ili diverzifikujući (jedinstveni rizik). i 2 = i 2 (m r) 2 + 2, gdje 2 i m r 2 označava tržišni rizik sigurnosti i, 2 je vlastiti rizik sigurnosti i, čija je mjera standardna devijacija slučajne greške i u jednačini

Ukupni rizik = Tržišni rizik + Vlastiti rizik (sistematski) + (nesistematski) Dakle, varijacija prinosa svake hartije od vrijednosti se sastoji od dva pojma: „sopstvena“ varijacija, neovisna o tržištu, i „tržišni“ dio varijacije , određen slučajnim ponašanjem tržišta u cjelini. U ovom slučaju, odnos i 2 2 m r / 2 karakteriše udio rizika vrijednosnih papira koji doprinosi tržište, označava se sa R ​​i 2 i naziva se koeficijent determinacije. Hartije od vrijednosti sa većim R i 2 vrijednostima mogu biti poželjnije jer je njihovo ponašanje predvidljivije.

Specifičan rizik je povezan sa pojavama kao što su promene u zakonodavstvu, štrajkovi, uspešne ili neuspešne marketinške politike, zaključivanje ili gubitak važnih ugovora i drugi događaji koji imaju posledice po kompaniju. Uticaj takvih događaja na portfolio akcija može se eliminisati diverzifikacijom portfelja. Tržišni rizik proizilazi iz faktora koji utiču na sve akcije. Takvi faktori uključuju rat, inflaciju, pad proizvodnje, rastuće kamatne stope, itd. Budući da takvi faktori utiču na većinu dionica u jednom smjeru, tržišni i sistematski rizik se ne mogu eliminisati diverzifikacijom.

Sharpe model n i iim n i iipxx 1 222 2 1 2 minmin p n i iimxm 1 1 1 n i ix

Optimizacija portfelja prema Sharpu

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tržišni indeks 10 9 9 10 10 11 11 12 10 8 dionica A 10 11 9 12 13 12 14 12 15 13 dionica B 23 21 20 2 5 2 5 2 5 2 Poznati su prinosi dve akcije i prinos tržišnog indeksa za 10 meseci: Odredite: 1. Karakteristike svake hartije od vrednosti: koeficijenti zavisnosti od indeksa, sopstveni (ili nesistematski) rizik, tržišni rizik i udeo rizika koji doprinosi market. 2. Kreirati portfolio minimalnog rizika od dve vrste hartija od vrednosti, pod uslovom da prinosi portfolija nisu manji nego kod nerizičnih hartija od vrednosti (5%) uzimajući u obzir tržišni indeks.

datum OFZ indeks, % god. RBC indeks RTKM (Rostelecom) EESR (RAO UES) KMAZ (KAMAZ) SBER (Sberbank) LKOH (LUKOIL) 1 Nov 07 6, 16 195, 93 112, 46 -27, 92 -24, 14 103, 14 52 Nov 07 6, 12 -158, 76 -298, 98 501, 65 -230, 55 -397, 67 -268, 26 6 Nov 07 6, 13 228, 40 -435, 60 -97, 05 37 97 1071, 51 7 Nov 07 6, 05 349, 90 -71, 70 -272, 71 -778, 55 17, 11 332, 93 14 Jan 08 6, 01 -32, 50 494, 38, 49 97, 81 -585, 93 15 Jan 08 5, 98 310, 83 179, 85 301, 95 2254, 86 376, 25 -134, 32 16 Jan 08 5, 94 -1, 68 - 8 576, 80 -1331, 03 -1717, 19 17 Jan 08 5, 98 -1471, 25 -1087, 70 -289, 08 1254, 74 -440, 19 -854, 21 prosječno 6, 14, 21 39, 16 59, 83 516, 15 33, 50 -104, 21 SKO ukupno. rizik 0.09 450. 60 556. 84 382. 06 1101. 37 501. 22 554. 98 korelacija 0.27 1.00 0. 51 0. 24 0. 11 0. 44 0. 0 . 62 505 , 73 14, 05 -129, 20 beta 0, 00 1, 00 0, 63 0, 21 0, 26 0, 49 0, 63 vl. rizik 412, 51,359, 44,1088, 74,404, 51,410, 90 tržište. rizik 144, 34 22, 62 12, 63 96, 71 144, 08 tržišni udio. rizik 100, 00% 25, ​​92% 1, 15% 19, 30% 25, ​​96% Dinamika prinosa na dionice i obveznice

portfolio RTKM (Rostelecom) KMAZ (KAMAZ) portfolio tržišni udio 44,31% 55,69% 100,00% prosj. prihod 205, 36 516, 15 378, 43 39, 81 avg. rizik 556, 84 1101, 37 381, 81 450, 60 SML portfolio RTKMKMAZ

Pravila za konstruisanje granice efikasnih portfolija koja je izveo Markowitz omogućavaju pronalaženje optimalnog (sa tačke gledišta investitora) portfelja za bilo koji broj hartija od vrednosti u portfelju. Glavna poteškoća u primjeni Markowitzove metode je velika količina proračuna potrebnih za određivanje pondera Wi svaku hartiju od vrednosti. Zaista, ako portfolio kombinuje n hartija od vrijednosti, tada je za konstruiranje granice efikasnih portfelja potrebno prvo izračunati n vrijednosti očekivanih (aritmetičkih prosjeka) prinosa E(ri) svaku hartiju od vrednosti n količine With 2 i disperzija svih normi trzanja i n(n1)/2 izrazi parnih kovarijansi a i j hartije od vrijednosti u portfelju.

Američki ekonomista William Sharpe je 1963. godine predložio novu metodu za konstruisanje granice efikasnih portfelja, koja može značajno smanjiti količinu potrebnih proračuna. Ova metoda je kasnije modificirana i trenutno je poznata kao model s jednim indeksom Sharpe ( Sharpe singleindex model).

Opšti opis modela. Sharpeov model je baziran na metodi linearne regresione analize, koja omogućava povezivanje dvije slučajne varijable, nezavisne X i zavisne Y, sa linearnim izrazom kao što je Y = a + (ZxX. U Sharpeovom modelu, vrijednost neke tržišni indeks se smatra nezavisnim.To mogu biti, na primjer, stope rasta bruto domaćeg proizvoda, stopa inflacije, indeks potrošačkih cijena, itd. Sam Sharpe je smatrao profitabilnost nezavisnom varijablom rm, izračunato na osnovu Standard and Poor's indeksa (S&P 500). Profitabilnost se uzima kao zavisna varijabla ri neko i-to obezbeđenje. Budući da se S&P 500 indeks često smatra indeksom koji karakterizira tržište vrijednosnih papira u cjelini, Sharpeov model se obično naziva tržišni model (Market Model), i profitabilnost rm profitabilnost tržište portfolio.

Neka prinos rm uzima nasumične vrijednosti, i unutar N korake proračuna uočene vrijednosti rm 1, rm 2, ... , rmN. Istovremeno, profitabilnost ri neka i-ta sigurnost je imala vrijednost ri 1, ri 2, ... , riN. U ovom slučaju, model linearne regresije nam omogućava da predstavimo odnos između vrijednosti rm i ri u bilo kojem promatranom trenutku u obliku:

a i parametar, konstantna komponenta linearne regresije, koji pokazuje koji deo prinosa i-te hartije od vrednosti nije povezan sa promenama prinosa na tržištu hartija od vrednosti rm;

P i je parametar linearne regresije tzv beta, pokazivanje osetljivosti prinosa i-te hartije od vrednosti na promene tržišnog prinosa;

rm t je prinos na tržišni portfelj u trenutku t;

sit je slučajna greška koja ukazuje da stvarne, efektivne vrijednosti ri t i rm t ponekad odstupaju od linearnog odnosa.

Posebnu pažnju treba obratiti na parametar p i, jer on određuje osjetljivost prinosa i-te hartije od vrijednosti na promjene tržišnog prinosa.

Općenito, ako je d >1, tada je prinos na datu hartiju od vrijednosti osjetljiviji i podložan većim fluktuacijama od tržišnog prinosa rm. Shodno tome, kada P j< 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности rj от средней арифметической (ожидаемой) величины E (r) j , чем рыночная доходность. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом R> 1 su klasifikovani kao rizičniji od tržišta u cjelini i sa R< 1 менее рискованными.

Istraživanja pokazuju da za većinu vrijednosnih papira R> 0, iako mogu postojati vrijednosni papiri sa negativnom vrijednošću

Evaluacija rezultata regresije. Parametri α i i β i regresijskog modela daju ideju o općim trendovima u odnosima između

Određivanje parametara ai i br. regresionog modela. Da biste pronašli parametre a ja i P i na osnovu rezultata opservacije koristi se metoda najmanjih kvadrata (LSM). Prema ovoj metodi, kao parametri a ja i P i uzimaju se vrijednosti koje minimiziraju zbir grešaka na kvadrat V. Ako izvršimo potrebne proračune, ispada da su parametri a ja i P uzimam sljedeće vrijednosti:

promjene tržišnog indikatora rm i stope prinosa ri. Međutim, vrijednosti a ja i th ne dozvoljavaju nam da damo definitivan odgovor o stepeni takav odnos. Na tačnost regresionog modela značajno utiču greške e i . To znači da je tačnost regresionog modela, stepen veze između rm i ri, određen širenjem slučajnih grešaka, koje se mogu procijeniti korištenjem varijanse slučajne greške.

Dodatno, tačnost regresije može se odrediti procjenom koliko precizno regresijski model uzima u obzir varijansu A] vrijednosne papire, za

koji se sastavlja regresijski model.

Varijanca sigurnosti A] može se predstaviti kao dva pojma:

U ovom slučaju, prvi termin će pokazati koji dijeliti u ukupnom riziku hartije od vrijednosti može se opisati korištenjem regresijskog modela (ri t = a i + P irm t), a drugi član je stepen netačnosti regresionog modela. To znači da je bliža vrijednost ^a 2 /A] Što je bliže jedinici, to je tačniji model regresije.

Treba imati na umu da je kvadrat koeficijenta korelacije općeprihvaćena mjera linearne regresije, odnosno mjera koliko je tačna jednačina regresije pogodna za opisivanje odnosa između realnih podataka ri t i rm t.

Budući da će se za određivanje optimalnog portfelja pomoću Sharpe modela, biti potrebne vrijednosti varijanse ^ nasumično

greške, hajde da ih izračunamo. Opća formula za izračunavanje varijanse slučajne greške je:

U ovom slučaju, aritmetička sredina se izračunava dijeljenjem sa (N 2), pošto su u proračunu izgubljena dva stepena slobode a i i Pi.

Korištenje Sharpe tržišnog modela za izgradnju granice efikasnih portfelja. Jedna od glavnih prednosti Sharpeovog modela je da može značajno smanjiti količinu izračunavanja koja je potrebna za određivanje optimalnog portfelja, dok daje rezultate koji se usko podudaraju s onima dobivenim Markowitzovim modelom. Budući da je Sharpe model zasnovan na linearnoj regresiji, za njegovu primjenu mora se uvesti niz preduslova. Ako pretpostavimo da investitor formira portfelj vrijednosnih papira, onda ćemo pretpostaviti da:

1) Prosečna aritmetička (očekivana) vrednost slučajnih grešaka E (ε i) = 0 za sve hartije od vrednosti u portfelju, odnosno za i = 1, 2, ... , n.

2) Varijanca slučajnih grešaka σ ε 2 , i za svaku hartiju je konstantna.

3) Za svaku određenu hartiju od vrijednosti ne postoji korelacija između vrijednosti slučajne greške uočene tokom N godina.

4) Ne postoji korelacija između slučajnih grešaka bilo koje dvije hartije od vrijednosti u portfelju.

5) Ne postoji korelacija između slučajnih grešaka ε i i tržišnih prinosa.

Koristeći ova pojednostavljenja, možemo dobiti izraze E(ri), σ i 2 i

σ i, j za bilo koje vrijednosne papire u portfelju:

Da rezimiramo: ako investitor formira portfolio od n vrijednosnih papira, tada koristeći parametre linearne regresije a ja i P i omogućava vam da uz njihovu pomoć svim početnim elementima izrazite očekivani prinos E(ri) svake hartije od vrijednosti u portfelju, varijansu A 2 i covaria

cije b i j stopa prinosa ovih hartija od vrijednosti, neophodne za izgradnju granice efikasnih portfelja. U tom slučaju investitor prvo treba da izračuna n vrijednosti i, n vrijednosti P i , n vrijednosti < , kao i E (rm) i a 2 m. Dakle, sve što treba da nađete je: (n + n + n +2) = 3 n +2 početnih podataka, što je znatno manje od količine proračuna za Markowitzov model.

Određivanje očekivanog prinosa i disperzije portfelja.

Očekivani prinos portfelja koji se sastoji od n hartija od vrijednosti izračunava se pomoću formule

Da bi ova formula bila kompaktna, Sharp je predložio da se tržišni indeks uzme u obzir kao karakteristika uslovne (n + 1) hartije od vrednosti u portfelju. U ovom slučaju, drugi član jednačine se može predstaviti kao:

Dakle, napomenimo glavne korake koji se moraju izvršiti da bi se konstruisala granica efikasnih portfelja u Sharpeovom modelu:

1) Izaberite n hartija od vrednosti od kojih se formira portfolio i odredite istorijski period od N koraka izračunavanja tokom kojeg će se posmatrati vrednosti prinosa ri, t svake hartije od vrednosti.

2) Koristeći tržišni indeks (na primjer, AK & M), izračunajte tržišne prinose rm, t za isti vremenski period.

3) Odredite vrijednosti β i:

5) Izračunajte varijanse σ ε 2 i greške regresijskog modela

6) Zamijenite ove vrijednosti u jednačine (7.15 – 7.18)

Nakon takve zamjene, ispada da su nepoznate količine težine Wi hartija od vrijednosti. Odabirom određene vrijednosti očekivanog prinosa portfelja E*, možete pronaći težine vrijednosnih papira u portfelju, konstruirati granicu efikasnih portfelja i odrediti optimalni portfolio.