Ovaj članak će govoriti o jednom od osnovnih geometrijskih oblika - kutu. Nakon opšteg uvoda u ovaj koncept, fokusiraćemo se na konkretan tip takve figure. Pravi ugao je važan koncept u geometriji, što će biti glavna tema ovog članka.

Uvod u geometrijski ugao

U geometriji postoji niz objekata koji čine osnovu svake nauke. Ugao se odnosi na njih i definira se pomoću koncepta zraka, pa počnimo s njim.

Također, prije nego što počnete određivati ​​sam ugao, morate zapamtiti nekoliko jednako važnih objekata u geometriji - ovo je tačka, ravna linija na ravni i sama ravnina. Prava linija je najjednostavniji geometrijski lik koji nema ni početak ni kraj. Ravan je površina koja ima dvije dimenzije. Pa, zraka (ili poluprava) u geometriji je dio linije koja ima početak, ali nema kraj.

Koristeći ove koncepte, možemo dati izjavu da je ugao geometrijska figura koja u potpunosti leži u određenoj ravni i sastoji se od dvije divergentne zrake sa zajedničkim ishodištem. Takve zrake nazivaju se stranicama ugla, a zajednički početak stranica je njegov vrh.

Vrste uglova i geometrija

Znamo da uglovi mogu biti potpuno različiti. Stoga će malo ispod biti mala klasifikacija koja će vam pomoći da bolje razumijete vrste uglova i njihove glavne karakteristike. Dakle, postoji nekoliko vrsta uglova u geometriji:

1. Pravi ugao. Karakterizira ga vrijednost od 90 stepeni, što znači da su njegove strane uvijek okomite jedna na drugu.
2. Oštar ugao. Ovi uglovi uključuju sve njihove predstavnike koji su manji od 90 stepeni.
3. Tupi ugao. Ovdje mogu biti svi uglovi u rasponu od 90 do 180 stepeni.
4. Rasklopljen ugao. Ima veličinu od striktno 180 stepeni i spolja njegove strane čine jednu pravu liniju.

Koncept pravog ugla

Pogledajmo sada rotirani ugao detaljnije. To je slučaj kada obje strane leže na istoj pravoj liniji, što se jasno vidi na slici malo niže. To znači da možemo sa sigurnošću reći da je u obrnutom kutu jedna od njegovih strana u suštini nastavak druge.

Vrijedno je zapamtiti činjenicu da se takav kut uvijek može podijeliti pomoću zraka koji izlazi iz njegovog vrha. Kao rezultat, dobijamo dva ugla, koji se u geometriji nazivaju susjednim.

Takođe, rasklopljeni ugao ima nekoliko karakteristika. Da biste razgovarali o prvom od njih, morate zapamtiti koncept "simetrale ugla". Podsjetimo da je ovo zraka koja dijeli bilo koji ugao tačno na pola. Što se tiče rasklopljenog ugla, njegova simetrala ga dijeli na način da se formiraju dva prava ugla od 90 stepeni. Ovo je vrlo lako matematički izračunati: 180˚ (stepen rotiranog ugla): 2 = 90˚.

Ako rotirani ugao podijelimo potpuno proizvoljnom zrakom, tada uvijek dobijemo dva ugla, od kojih će jedan biti oštar, a drugi tup.

Svojstva rotiranih uglova

Biće zgodno razmotriti ovaj ugao, okupljajući sva njegova glavna svojstva, što smo i uradili na ovoj listi:

1. Stranice rotiranog ugla su antiparalelne i čine pravu liniju.
2. Rotirani ugao je uvek 180˚.
3. Dva susedna ugla zajedno uvek formiraju pravi ugao.
4. Pun ugao, koji iznosi 360˚, sastoji se od dva rasklopljena i jednak je njihovom zbiru.
5. Polovina pravog ugla je pravi ugao.

Dakle, poznavajući sve ove karakteristike ove vrste uglova, možemo ih koristiti za rješavanje niza geometrijskih problema.

Problemi sa rotiranim uglovima

Da biste vidjeli jeste li shvatili koncept pravog ugla, pokušajte odgovoriti na sljedećih nekoliko pitanja.

1. Kolika je veličina pravog ugla ako njegove stranice čine okomitu liniju?
2. Hoće li dva ugla biti susjedna ako je prvi 72˚, a drugi 118˚?
3. Ako se potpuni ugao sastoji od dva obrnuta ugla, koliko onda ima pravih uglova?
4. Pravi ugao je zrakom podijeljen na dva ugla tako da su njihove mjere stepena u omjeru 1:4. Izračunajte rezultirajuće uglove.

Rješenja i odgovori:

1. Bez obzira na to kako se rotirani ugao nalazi, on je uvijek, po definiciji, jednak 180˚.
2. Susedni uglovi imaju jednu zajedničku stranu. Stoga, da biste izračunali veličinu ugla koji zajedno čine, trebate samo dodati vrijednost njihovih mjera stepena. To znači 72 +118 = 190. Ali po definiciji, obrnuti ugao je 180˚, što znači da dva data ugla ne mogu biti susedna.
3. Pravi ugao sadrži dva prava ugla. A pošto ceo jedan ima dve rasklopljene, to znači da će biti 4 prave linije.
4. Ako željene uglove nazovemo a i b, onda je x koeficijent proporcionalnosti za njih, što znači da je a=x, odnosno b=4x. Rotirani ugao u stepenima je 180˚. A prema njegovim svojstvima da je stepenasta mera ugla uvek jednaka zbiru stepenastih mera onih uglova na koje ga deli bilo koja proizvoljna zraka koja prolazi između njegovih stranica, možemo zaključiti da je x + 4x = 180˚ , što znači 5x = 180˚ . Odavde nalazimo: x = a = 36˚ i b = 4x = 144˚. Odgovor: 36˚ i 144˚.

Ako ste bili u mogućnosti da odgovorite na sva ova pitanja bez upita i bez zavirivanja u odgovore, onda ste spremni da pređete na sljedeću lekciju geometrije.

Počnimo tako što ćemo definisati šta je ugao. Prvo, to je Drugo, formiraju ga dvije zrake, koje se nazivaju strane ugla. Treće, potonji izlaze iz jedne tačke, koja se naziva vrh ugla. Na osnovu ovih karakteristika možemo kreirati definiciju: ugao je geometrijska figura koja se sastoji od dvije zrake (stranice) koje izlaze iz jedne tačke (temena).

Klasificirani su po vrijednosti stepena, po lokaciji u odnosu jedan na drugi i u odnosu na krug. Počnimo s vrstama uglova prema njihovoj veličini.

Ima ih nekoliko varijanti. Pogledajmo pobliže svaku vrstu.

Postoje samo četiri glavne vrste uglova - pravi, tupi, oštri i pravi uglovi.

Pravo

izgleda ovako:

Njegova mjera stepena je uvijek 90 o, drugim riječima, pravi ugao je ugao od 90 stepeni. Imaju ih samo četverouglovi kao što su kvadrat i pravougaonik.

Blunt

izgleda ovako:

Mera stepena je uvek veća od 90 o, ali manja od 180 o. Može se naći u četvorouglovima kao što su romb, proizvoljni paralelogram i u poligonima.

Začinjeno

izgleda ovako:

Mera stepena oštrog ugla je uvek manja od 90°. Nalazi se u svim četverokutima osim u kvadratu i bilo kojem paralelogramu.

Prošireno

Rasklopljeni ugao izgleda ovako:

Ne javlja se u poligonima, ali nije ništa manje važno od svih ostalih. Pravi ugao je geometrijska figura čija je mjera stepena uvijek 180º. Možete graditi na njemu crtanjem jedne ili više zraka s njegovog vrha u bilo kojem smjeru.

Postoji nekoliko drugih manjih vrsta uglova. Ne izučavaju se u školama, ali je potrebno barem znati za njihovo postojanje. Postoji samo pet sekundarnih tipova uglova:

1. Nula

izgleda ovako:

Već sam naziv ugla ukazuje na njegovu veličinu. Njegova unutrašnja površina je 0°, a stranice leže jedna na drugu kao što je prikazano na slici.

2. Kosi

Kosi ugao može biti ravan ugao, tup ugao, oštar ugao ili ravan ugao. Njegov glavni uslov je da ne bude jednak 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Konveksna

Konveksni uglovi su nula, ravni, tupi, oštri i pravi uglovi. Kao što ste već shvatili, stepen stepena konveksnog ugla je od 0° do 180°.

4. Nekonveksan

Uglovi sa stepenom od 181° do 359° uključujući i nisu konveksni.

5. Pun

Potpuni ugao je 360 ​​stepeni.

To su sve vrste uglova prema njihovoj veličini. Pogledajmo sada njihove tipove prema njihovoj lokaciji u ravnini jedan u odnosu na drugi.

1. Dodatni

To su dva oštra ugla koji čine jednu pravu liniju, tj. njihov zbir je 90 o.

2. Susedni

Susjedni uglovi nastaju ako se zrak prođe kroz nesavijeni ugao, odnosno kroz njegov vrh, u bilo kojem smjeru. Njihov zbir je 180 o.

3. Vertikalno

Vertikalni uglovi nastaju kada se sijeku dvije prave. Njihove mjere stepena su jednake.

Sada pređimo na vrste uglova koji se nalaze u odnosu na krug. Ima ih samo dva: centralna i upisana.

1. Central

Centralni ugao je ugao čiji je vrh u centru kružnice. Njegova mjera stepena jednaka je mjeri stepena manjeg luka savijenog stranicama.

2. Upisano

Upisani ugao je ugao čiji vrh leži na kružnici i čije stranice ga sijeku. Njegova mjera stepena jednaka je polovini luka na kojem počiva.

To je to za uglove. Sada znate da pored najpoznatijih - akutnih, tupih, ravnih i raspoređenih - postoje mnoge druge vrste njih u geometriji.

Ugao je geometrijska figura koja se sastoji od dvije različite zrake koje izlaze iz jedne tačke. U ovom slučaju, ove zrake se nazivaju stranicama ugla. Tačka koja je početak zraka naziva se vrh ugla. Na slici možete vidjeti ugao sa vrhom u tački O, i stranke k I m.

Na stranama ugla su označene tačke A i C. Ovaj ugao se može označiti kao ugao AOC. U sredini mora biti naziv tačke u kojoj se nalazi vrh ugla. Postoje i druge oznake, ugao O ili ugao km. U geometriji se umjesto riječi ugao često ispisuje poseban simbol.

Razvijen i neprošireni ugao

Ako obje strane ugla leže na istoj pravoj liniji, onda se takav ugao naziva proširena ugao. To jest, jedna strana ugla je nastavak druge strane ugla. Slika ispod prikazuje prošireni ugao O.

Treba napomenuti da bilo koji ugao dijeli ravan na dva dijela. Ako ugao nije rasklopljen, tada se jedan od dijelova naziva unutrašnjim područjem ugla, a drugi vanjskim područjem ovog ugla. Slika ispod prikazuje nerazvijeni ugao i označava spoljašnje i unutrašnje regione ovog ugla.

U slučaju razvijenog ugla, bilo koji od dva dijela na koje dijeli ravan može se smatrati vanjskim područjem ugla. Možemo govoriti o položaju tačke u odnosu na ugao. Tačka može ležati izvan ugla (u vanjskom području), može se nalaziti na jednoj od njegovih strana ili može ležati unutar ugla (u unutrašnjem području).

Na slici ispod, tačka A leži izvan ugla O, tačka B leži na jednoj strani ugla, a tačka C leži unutar ugla.

Mjerenje uglova

Za mjerenje uglova postoji uređaj koji se zove kutomjer. Jedinica za ugao je stepen. Treba napomenuti da svaki ugao ima određenu mjeru stepena, koja je veća od nule.

U zavisnosti od stepena, uglovi se dele u nekoliko grupa.

Učenici se u osnovnoj školi upoznaju sa pojmom ugla. Ali kao geometrijsku figuru koja ima određena svojstva, počinju je učiti od 7. razreda iz geometrije. izgleda, prilično jednostavna figura, šta reći o njoj. Ali, stječući nova znanja, školarci sve više shvaćaju da o tome mogu naučiti prilično zanimljive činjenice.

U kontaktu sa

Kada se proučava

Školski predmet geometrije podijeljen je u dva dijela: planimetrija i stereometrija. U svakom od njih pridaje se značajna pažnja se daje uglovima:

• U planimetriji je dat njihov osnovni koncept i napravljen je uvod u njihove vrste po veličini. Osobine svake vrste trougla se detaljnije proučavaju. Za učenike se pojavljuju nove definicije - to su geometrijske figure nastale presjekom dviju pravih jedna s drugom i presjekom nekoliko pravih s transverzalama.
• U stereometriji se proučavaju prostorni uglovi - diedarski i triedarski.

Pažnja! Ovaj članak govori o svim vrstama i svojstvima uglova u planimetriji.

Definicija i mjerenje

Kada krenete učiti, prvo odredite šta je ugao u planimetriji.

Ako uzmemo određenu tačku na ravnini i iz nje izvučemo dvije proizvoljne zrake, dobićemo geometrijsku figuru - ugao, koji se sastoji od sljedećih elemenata:

• vrh - tačka iz koje su izvučene zrake, označena velikim slovom latinice;
• strane su poluravne linije povučene iz vrha.

Svi elementi koji formiraju figuru koju razmatramo dijele ravan na dva dela:

• unutrašnji - u planimetriji ne prelazi 180 stepeni;
• vanjski.

Princip mjerenja uglova u planimetriji objašnjeno na intuitivnoj osnovi. Za početak, učenici se upoznaju sa konceptom zakrenutog ugla.

Bitan! Kaže se da je ugao razvijen ako poluprave koje izlaze iz njegovog vrha čine pravu liniju. Nerazvijeni ugao je u svim ostalim slučajevima.

Ako se podijeli na 180 jednakih dijelova, tada je uobičajeno smatrati da je mjera jednog dijela jednaka 10. U ovom slučaju kažu da se mjerenje vrši u stepenima, a mjera stepena takve figure je 180 stepeni.

Glavni tipovi

Tipovi uglova su podeljeni prema kriterijumima kao što su stepeni, priroda njihovog formiranja i kategorije koje su predstavljene u nastavku.

Po veličini

Uzimajući u obzir veličinu, uglovi se dijele na:

• prošireno;
• ravno;
• tup;
• ljuto.

Koji se ugao naziva rasklopljenim je predstavljen gore. Hajde da definišemo pojam direktnog.

Može se dobiti dijeljenjem proširenog na dva jednaka dijela. U ovom slučaju, lako je odgovoriti na pitanje: koliko stepeni je pravi ugao?

Podijelite 180 stepeni rasklopljenog sa 2 i dobijemo to pravi ugao je 90 stepeni. Ovo je divna figura, jer su mnoge činjenice u geometriji povezane s njom.

Također ima svoje karakteristike u oznaci. Da bi se na slici prikazao pravi ugao, on nije označen lukom, već kvadratom.

Uglovi koji se dobiju dijeljenjem prave linije proizvoljnim zrakom nazivaju se oštri. Logično, slijedi da je oštar ugao manji od pravog ugla, ali njegova mjera se razlikuje od 0 stepeni. Odnosno, ima vrijednost od 0 do 90 stepeni.

Tupi ugao je veći od pravog ugla, ali manji od pravog ugla. Njena mera stepena varira od 90 do 180 stepeni.

Ovaj element se može podijeliti na različite vrste figura koje se razmatraju, isključujući prošireni.

Bez obzira na to kako se dijeli nerotirani ugao, uvijek se koristi osnovni aksiom planimetrije - "osnovno svojstvo mjerenja".

At dijeljenje ugla jednim snopom ili nekoliko, stepen stepena date figure je jednak zbiru mera uglova na koje je podeljena.

Na nivou 7. razreda, tu se završavaju vrste uglova prema njihovoj veličini. Ali da bismo povećali erudiciju, možemo dodati da postoje i druge varijante koje imaju stepen stepena veću od 180 stepeni.Zovu se konveksne.

Slike na preseku linija

Sljedeće vrste uglova sa kojima se učenici upoznaju su elementi formirani presjekom dvije prave. Figure koje su postavljene jedna naspram druge nazivaju se vertikalne. Njihova karakteristična karakteristika je da su jednaki.

Elementi koji su susjedni istoj liniji nazivaju se susjedni. Teorema koja odražava njihovu osobinu to kaže zbir susjednih uglova iznosi 180 stepeni.

Elementi u trouglu

Ako figuru smatramo elementom u trokutu, onda se uglovi dijele na unutrašnje i vanjske. Trougao je omeđen sa tri segmenta i sastoji se od tri vrha. Uglovi koji se nalaze unutar trougla na svakom vrhu su naziva internim.

Ako uzmemo bilo koji unutrašnji element na bilo kojem vrhu i produžimo bilo koju stranu, tada se ugao koji se formira i koji je u susjedstvu unutarnjeg naziva vanjskim. Ovaj par elemenata ima sljedeće svojstvo: njihov zbir je jednak 180 stepeni.

Presjek dvije prave linije

Presjek linija

Kada se dvije prave linije seku sa transverzalom, formiraju se i uglovi., koji su obično raspoređeni u parovima. Svaki par elemenata ima svoje ime. izgleda ovako:

• unutrašnji poprečno ležeći: ∟4 i ∟6, ∟3 i ∟5;
• unutrašnje jednostrano: ∟4 i ∟5, ∟3 i ∟6;
• odgovaraju: ∟1 i ∟5, ∟2 i ∟6, ∟4 i ∟8, ∟3 i ∟7.

U slučaju kada sekansa siječe dvije prave, svi ovi parovi uglova imaju određena svojstva:

1. Unutrašnje poprečno ležeće i odgovarajuće figure su međusobno jednake.
2. Zbir unutrašnjih jednosmjernih elemenata dostiže 180 stepeni.

Proučavamo uglove u geometriji, njihova svojstva

Vrste uglova u matematici

Zaključak

Ovaj članak predstavlja sve glavne vrste uglova koji se nalaze u planimetriji i izučavaju se u sedmom razredu. U svim narednim kursevima, svojstva koja se odnose na sve razmatrane elemente predstavljaju osnovu za dalje proučavanje geometrije. Na primjer, kada proučavate, morat ćete zapamtiti sva svojstva uglova koji nastaju kada se dvije paralelne prave sijeku s transverzalom. Prilikom proučavanja karakteristika trouglova, potrebno je zapamtiti koji su susjedni uglovi. Prelazeći na stereometriju, sve volumetrijske figure će se proučavati i konstruisati na osnovu planimetrijskih figura.