§ 2. Projevy identity, identita. Identitní transformace výrazu. Důkazy totožnosti

Najdeme hodnoty výrazů 2(x - 1) 2x - 2 pro dané hodnoty proměnné x. Výsledky zapíšeme do tabulky:

Lze usuzovat, že hodnoty výrazů 2(x - 1) 2x - 2 pro každou danou hodnotu proměnné x jsou si navzájem rovny. Podle distributivní vlastnosti násobení s ohledem na odečítání 2(x - 1) = 2x - 2. Proto pro jakoukoli jinou hodnotu proměnné x bude také hodnota výrazu 2(x - 1) 2x - 2 sobě rovné. Takové výrazy se nazývají identicky rovné.

Například výrazy 2x + 3x a 5x jsou synonyma, protože pro každou hodnotu proměnné x nabývají tyto výrazy stejné hodnoty (vyplývá to z distributivní vlastnosti násobení s ohledem na sčítání, protože 2x + 3x \u003d 5x).

Uvažujme nyní výrazy 3x + 2y a 5xy. Pokud x \u003d 1 a b \u003d 1, pak se odpovídající hodnoty těchto výrazů navzájem rovnají:

3x + 2 roky \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Můžete však zadat hodnoty x a y, pro které se hodnoty těchto výrazů nebudou navzájem rovnat. Například, pokud x = 2; y = 0, tedy

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

V důsledku toho existují takové hodnoty proměnných, pro které se odpovídající hodnoty výrazů 3x + 2y a 5xy navzájem nerovnají. Proto výrazy 3x + 2y a 5xy nejsou shodně stejné.

Na základě výše uvedeného jsou identity zejména rovností: 2(x - 1) = 2x - 2 a 2x + 3x = 5x.

Identita je každá rovnost, která zaznamenává známé vlastnosti akcí na číslech. Například,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Existují také takové rovnosti, jako jsou identity:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Pokud zmenšíme podobné členy ve výrazu -5x + 2x - 9, dostaneme, že 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. V tomto případě říkají, že výraz 5x + 2x - 9 byl nahrazen výrazem 7x - 9, který je s ním shodný.

Identické transformace výrazů s proměnnými se provádějí aplikací vlastností operací s čísly. Zejména shodné transformace s otevíráním závorek, konstrukcí podobných pojmů a podobně.

Při zjednodušování výrazu je třeba provádět identické transformace, tedy nahrazení nějakého výrazu výrazem, který je mu shodně roven, který by měl být kratší.

Příklad 1. Zjednodušte výraz:

1) -0,3 m∙ 5n;

2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m∙ 5n = -0,3 ∙ 5 mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 X - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - A + 2 b + 3 b - A= 3a + 5b + 2.

K prokázání, že rovnost je identita (jinými slovy, k prokázání identity se používá identitní transformace výrazů.

Totožnost můžete prokázat jedním z následujících způsobů:

• provádět identické transformace jeho levé strany, čímž ji zmenší do podoby pravé strany;
• provádět identické transformace její pravé strany, čímž ji zmenší do podoby levé strany;
• provést identické transformace obou jeho částí, čímž obě části povýší na stejné výrazy.

Příklad 2. Prokažte totožnost:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206-4a = 5(2a-3b)-7(2a-5b);

3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.

Rozvoj

1) Transformujme levou stranu této rovnosti:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Identickými transformacemi byl výraz na levé straně rovnosti zredukován do podoby pravé strany a byl tak prokázán, že tato rovnost je identitou.

2) Transformujme pravou stranu této rovnosti:

5(2a-3b)-7(2a-5b)= 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Identickými transformacemi byla pravá strana rovnosti zredukována do podoby levé strany a byla tak prokázána, že tato rovnost je identitou.

3) V tomto případě je vhodné zjednodušit levou i pravou část rovnosti a porovnat výsledky:

2(3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Identickými transformacemi byla levá a pravá část rovnosti zredukována do stejné podoby: 26x - 44. Proto je tato rovnost identitou.

Jaké výrazy se nazývají identické? Uveďte příklad shodných výrazů. Co se nazývá rovnost identita? Uveďte příklad identity. Co se nazývá transformace identity výrazu? Jak prokázat totožnost?

1. (Ústně) Nebo jsou výrazy shodně stejné:

1) 2a + a a 3a;

2) 7x + 6 a 6 + 7x;

3) x + x + x a x 3;

4) 2 (x - 2) a 2x - 4;

5) m - n a n - m;

6) 2a ∙ ra 2p ∙ a?

1. Jsou výrazy identicky stejné:

1) 7x - 2x a 5x;

2) 5a - 4 a 4 - 5a;

3) 4m + n a n + 4m;

4) a + a a a 2;

5) 3(a-4) a 3a-12;

6) 5 m ∙ n a 5 m + n?

1. (verbálně) Je identita rovnosti:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

1. Otevřená závorka:

1. Otevřená závorka:

1. Zmenšit podobné výrazy:

1. Pojmenujte několik výrazů, které jsou shodné s výrazy 2a + 3a.
2. Zjednodušte výraz pomocí permutačních a konjunktivních vlastností násobení:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

1. Zjednodušte výraz:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

1. (verbálně) Zjednodušte výraz:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

1. Zmenšit podobné výrazy:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7-9a)-(4-18a);

3) 3(2p-7)-2(g-3);

4) - (3 m - 5) + 2 (3 m - 7).

1. Otevřete závorky a zredukujte podobné výrazy:

1) 3(8a-4) + 6a;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3 (5 m - 7) - (15 m - 2).

1) 0,6x + 0,4(x - 20), pokud x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, pokud a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), pokud m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, pokud x = -1, y = 1.

1. Zjednodušte výraz a zjistěte jeho hodnotu:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), pokud x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, pokud v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), pokud a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, pokud m = 1,8; n = -0,9.

1. Prokázat totožnost:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2 (x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;

4) s - 2 \u003d 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

1. Prokázat totožnost:

1) - (m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);

4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7 m - 3.

1. Délka jedné ze stran trojúhelníku je cm a délka každé z dalších dvou stran je o 2 cm větší. Napište obvod trojúhelníku jako výraz a výraz zjednodušte.
2. Šířka obdélníku je x cm a délka je o 3 cm větší než šířka. Napište obvod obdélníku jako výraz a výraz zjednodušte.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a - b) - (4a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

1. Rozbalte závorky a zjednodušte výraz:

1) a-(a-(3a-1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (la - lb).

1. Prokázat totožnost:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5 (3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3 (a - b - c) + 5 (a - b) + 3c = 8 (a - b).

1. Prokázat totožnost:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Dokažte, že hodnota výrazu

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) nezávisí na hodnotě proměnné.

1. Dokažte, že pro jakoukoli hodnotu proměnné je hodnota výrazu

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

je stejné číslo.

1. Dokažte, že součet tří po sobě jdoucích sudých čísel je dělitelný 6.
2. Dokažte, že je-li n přirozené číslo, pak hodnota výrazu -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) je sudé číslo.

Cvičení k opakování

1. Slitina o hmotnosti 1,6 kg obsahuje 15 % mědi. Kolik kg mědi obsahuje tato slitina?
2. Kolik procent je číslo 20 z toho:

1) čtverec;

1. Turista šel 2 hodiny pěšky a 3 hodiny jel na kole. Celkem turista urazil 56 km. Najděte rychlost, jakou jel turista na kole, pokud je o 12 km/h vyšší než rychlost, kterou šel.

Zajímavé úkoly pro líné žáky

1. Městského fotbalového přeboru se účastní 11 týmů. Každý tým hraje jeden zápas s ostatními. Dokažte, že v každém okamžiku soutěže existuje tým, který odehrál sudý počet zápasů nebo ještě žádný nehrál.

Začněme mluvit o identitách, uveďme definici pojmu, zaveďme notaci, uvažujme o příkladech identit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Co je identita

Začněme definicí pojmu identita.

Definice 1

Identita je rovnost, která platí pro všechny hodnoty proměnných. Ve skutečnosti je identita jakákoli číselná rovnost.

Jak je téma analyzováno, můžeme tuto definici upřesnit a doplnit. Pokud si například vzpomeneme na koncepty přípustných hodnot proměnných a ODZ, lze definici identity uvést následovně.

Definice 2

Identita- toto je skutečná číselná rovnost a také rovnost, která bude platit pro všechny platné hodnoty proměnných, které jsou její součástí.

Jakékoli hodnoty proměnných při určování identity jsou diskutovány v matematických příručkách a učebnicích pro 7. ročník, protože školní osnovy pro sedmé ročníky zahrnují provádění akcí výhradně s celočíselnými výrazy (jedno- a polynomy). Dávají smysl pro jakékoli hodnoty proměnných, které jsou jejich součástí.

Program Grade 8 je rozšířen o zohlednění výrazů, které mají smysl pouze pro hodnoty proměnných z DPV. V tomto ohledu se mění i definice identity. Ve skutečnosti se identita stává zvláštním případem rovnosti, protože ne každá rovnost je identitou.

Identifikační znamení

Záznam o rovnosti předpokládá přítomnost znaménka rovná se " = ", od kterého jsou některá čísla nebo výrazy umístěny vpravo a vlevo. Identifikační znak vypadá jako tři rovnoběžné čáry "≡". Říká se mu také znak identické rovnosti.

Obvykle se záznam totožnosti neliší od záznamu běžné rovnosti. Znakem identity lze zdůraznit, že nemáme co do činění s jednoduchou rovností, ale s identitou.

Příklady identity

Pojďme k příkladům.

Příklad 1

Numerické rovnosti 2 ≡ 2 a - 3 ≡ - 3 jsou příklady identit. Podle výše uvedené definice je jakákoli skutečná číselná rovnost z definice identitou a dané rovnosti jsou pravdivé. Mohou být také zapsány následovně 2 ≡ 2 a -3=-3.

Příklad 2

Identity mohou obsahovat nejen čísla, ale i proměnné.

Příklad 3

Vezměme si rovnost 3 (x + 1) = 3 x + 3. Tato rovnost platí pro jakoukoli hodnotu x. Tuto skutečnost potvrzuje distributivní vlastnost násobení vzhledem ke sčítání. To znamená, že daná rovnost je identita.

Příklad 4

Vezměme si identitu y (x − 1) ≡ (x − 1) x: x y 2: y . Uvažujme oblast přijatelných hodnot pro proměnné x a y . Jsou to jakákoli čísla jiná než nula.

Příklad 5

Vezměte rovnosti x + 1 = x − 1 , a + 2 b = b + 2 a A | x | = x. Existuje řada proměnných hodnot, pro které tyto rovnosti neplatí. Například kdy x=2 rovnost x + 1 = x − 1 přejde do špatné rovnice 2 + 1 = 2 − 1 . Opravdu, rovnost x + 1 = x − 1 není dosaženo pro žádné hodnoty x .

V druhém případě rovnost a + 2 b = b + 2 a je nepravdivý v každém případě, kdy proměnné aab mají různé hodnoty. Pojďme vzít a = 0 A b = 1 a dostaneme špatnou rovnost 0 + 2 1 = 1 + 2 0.

rovnost, která | x |- modul proměnné x také není identita, protože neplatí pro záporné hodnoty x.

To znamená, že dané rovnosti nejsou identity.

Příklad 6

V matematice se neustále zabýváme identitami. Když zaznamenáváme akce prováděné na číslech, pracujeme s identitami. Identity jsou záznamy vlastností stupňů, vlastností kořenů a dalších.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Výkladový slovník ruského jazyka. S.I. Ozhegov, N.Yu Shvedova.

identita

A a IDENTITA. -a, srov.

Úplná podobnost, náhoda. G. pohledy.

(identita). V matematice: rovnost, která platí pro jakékoli číselné hodnoty jejích základních veličin. || adj. shodný, -tý, -tý a shodný, -tý, -tý (do 1 hodnoty). Identitní algebraické výrazy. TAKÉ [nesměšujte s kombinací zájmena "že" a částice "stejný"].

1. adv. Stejně jako kdokoli jiný. Jsi unavená, já

   svaz. Stejné jako také. Odcházíš, bratře? - T.

částice. Vyjadřuje nedůvěřivý nebo negativní, ironický postoj (prostý). *T. našel se chytrák! Je to básník. - Básníku soudruhu (mně)!

Nový výkladový a odvozovací slovník ruského jazyka, T. F. Efremova.

identita

1. Naprostá shoda s čím, čím jak ve své podstatě, tak ve vnějších znameních a projevech.

   Přesná shoda. něco

srov. Rovnost, která platí pro všechny číselné hodnoty písmen v ní obsažených (v matematice).

Encyklopedický slovník, 1998

identita

vztah mezi objekty (předměty reality, vnímání, myšlení) považovanými za „jedno a totéž“; „omezujícím“ případem vztahu rovnosti. V matematice je identita rovnice, která je splněna shodně, tzn. platí pro všechny přípustné hodnoty proměnných v něm obsažených.

Identita

základní pojmy logiky, filozofie a matematiky; používá se v jazycích vědeckých teorií k formulaci definujících vztahů, zákonů a teorémů. V matematice je T. ≈ rovnice, která je splněna identicky, to znamená, že platí pro všechny přípustné hodnoty proměnných v ní obsažených. Z logického hlediska je T. ≈ predikát reprezentovaný vzorcem x \u003d y (čti: „x je totožné s y“, „x je stejné jako y“), což odpovídá logické funkci, která je true, když proměnné x a y znamenají různé výskyty "stejné" položky, a false jinak. Z filozofického (epistemologického) hlediska je T. postoj založený na představách nebo úsudcích o tom, co je „jeden a tentýž“ předmět reality, vnímání, myšlení. Logické a filozofické aspekty T. jsou doplňkové: první dává formální model konceptu T., druhý - základ pro aplikaci tohoto modelu. První aspekt zahrnuje pojem „jeden a tentýž“ subjekt, ale význam formálního modelu nezávisí na obsahu tohoto pojmu: postupy identifikace a závislost výsledků identifikace na podmínkách či metodách identifikace na abstrakcích explicitně nebo implicitně akceptovaných v tomto případě jsou ignorovány. Ve druhém (filosofickém) aspektu úvahy jsou důvody pro aplikaci logických modelů T. spojeny s tím, jak jsou předměty identifikovány, jakými znaky, a závisí již na úhlu pohledu, na podmínkách a prostředcích identifikace. Rozlišení mezi logickými a filozofickými aspekty T. se vrací ke známému postoji, že úsudek o identitě předmětů a T. jako pojmu není totéž (viz Platon, Soch., sv. 2, M ., 1970, str. 36). Je však nezbytné zdůraznit nezávislost a konzistenci těchto aspektů: pojem logika je vyčerpán významem logické funkce, která mu odpovídá; není dedukována ze skutečné identity předmětů, „není z ní extrahována“, ale je abstrakcí doplňovanou za „vhodných“ podmínek zkušenosti nebo teoreticky předpoklady (hypotézami) o skutečně přípustných identifikacích; zároveň, když je v odpovídajícím intervalu abstrakce identifikace splněna substituce (viz axiom 4 níže), „uvnitř“ tohoto intervalu se aktuální T. objektů přesně shoduje s T. v logickém smyslu. Význam pojmu T. vedl k potřebě speciálních teorií T. Nejběžnějším způsobem konstrukce těchto teorií je axiomatická. Jako axiomy můžete zadat například následující (ne nutně všechny):

x = y É y = x,

x = y & y = z É x = z,

A (x) É (x = y É A (y)),

kde A (x) ≈ libovolný predikát obsahující x volně a volně pro y a A (x) a A (y) se liší pouze výskytem (alespoň jedné) z proměnných x a y.

Axiom 1 postuluje vlastnost reflexivity T. V tradiční logice byl považován za jediný logický zákon T., ke kterému se obvykle (v aritmetice, algebře, geometrii) přidávaly axiomy 2 a Z jako „nelogické postuláty“. Axiom 1 lze považovat za epistemologicky oprávněný, protože je jakýmsi logickým vyjádřením individuace, na níž je zase založena „dánost“ objektů ve zkušenosti, možnost je rozpoznat: abychom mluvili o předmět „jako daný“, je třeba jej nějak vyčlenit, odlišit od jiných předmětů a v budoucnu s nimi nezaměňovat. V tomto smyslu je T. na základě axiomu 1 zvláštním vztahem „sebe-identity“, který spojuje každý objekt pouze se sebou samým ≈ as žádným jiným objektem.

Axiom 2 postuluje vlastnost symetrie T. Prosazuje nezávislost výsledku identifikace na pořadí ve dvojicích identifikovaných objektů. Tento axiom má také určité opodstatnění ve zkušenosti. Například pořadí závaží a zboží na váze je odlišné, zleva doprava, pro kupujícího a prodávajícího proti sobě, ale výsledek - v tomto případě rovnováha - je pro oba stejný.

Axiomy 1 a 2 společně slouží jako abstraktní vyjádření T. jako nerozlišitelnost, teorie, ve které je myšlenka „stejného“ objektu založena na faktech nepozorovatelnosti rozdílů a v podstatě závisí na kritériích rozlišitelnosti , na prostředcích (zařízeních), které odlišují jeden objekt od druhého, v konečném důsledku ≈ z abstrakce nerozlišitelnosti. Protože závislost na „prahu rozlišitelnosti“ nelze v praxi v zásadě odstranit, je myšlenka teploty splňující axiomy 1 a 2 jediným přirozeným výsledkem, který lze experimentálně získat.

Axiom 3 postuluje tranzitivitu T. Uvádí, že superpozice T. je také T. a je prvním netriviálním tvrzením o identitě objektů. Tranzitivita T. je buď „idealizací zkušenosti“ za podmínek „klesající přesnosti“, nebo abstrakcí, která doplňuje zkušenost a „vytváří“ nový, od nerozlišitelnosti, význam T.: nerozlišitelnost zaručuje pouze T. v interval abstrakce nerozlišitelnosti, a to poslední nesouvisí s naplněním axiomu 3. Axiomy 1, 2 a 3 dohromady slouží jako abstraktní vyjádření teorie T. jako ekvivalence.

Axiom 4 postuluje, že nezbytnou podmínkou pro typologii objektů je shoda jejich charakteristik. Z logického hlediska je tento axiom zřejmý: „jeden a tentýž“ objekt má všechny své atributy. Ale protože pojem „stejné“ věci je nevyhnutelně založen na určitých druzích předpokladů nebo abstrakcí, není tento axiom triviální. Nelze to ověřit „obecně“ – podle všech myslitelných znaků, ale pouze v určitých pevných intervalech abstrakcí identifikace či nerozlišitelnosti. Přesně tak se to používá v praxi: předměty se porovnávají a identifikují ne podle všech myslitelných znaků, ale jen podle některých - hlavních (počátečních) znaků teorie, ve které chtějí mít pojem "stejný" objekt založený na těchto znacích a na axiomu 4. V těchto případech je schéma axiomů 4 nahrazeno konečným seznamem jeho aloforem ≈ "smysluplných" axiomů T, které jsou s ním shodné. Například v axiomatické teorii množin Zermela ≈ Frenkel ≈ axiomy:

4,1 z О x О (x = y О z О y),

4,2 x Î z É (x = y É y Î z),

definující za předpokladu, že vesmír obsahuje pouze množiny, interval abstrakce identifikace množin podle jejich „členství v nich“ a podle „vlastního členství“, s povinným doplněním axiomů 1≈3, definující T. jako rovnocennost.

Axiomy 1≈4 uvedené výše odkazují na takzvané zákony T. Z nich lze pomocí logických pravidel odvodit mnoho dalších zákonů, které jsou v předmatematické logice neznámé. Rozlišování mezi logickým a epistemologickým (filosofickým) aspektem teorie je irelevantní, pokud mluvíme o obecných abstraktních formulacích zákonů teorie, ale věc se výrazně mění, když jsou tyto zákony použity k popisu reality. Definováním pojmu „jednoho a téhož“ předmětu axiomatika teorie nutně ovlivňuje formování vesmíru „uvnitř“ odpovídající axiomatické teorie.

Lit .: Tarsky A., Úvod do logiky a metodologie deduktivních věd, přel. z angličtiny, M., 1948; Novoselov M., Identita, v knize: Filosofická encyklopedie, v. 5, M., 1970; jeho, K některým koncepcím teorie vztahů, v knize: Kybernetika a moderní vědecké poznání, M., 1976; Shreyder Yu.A., Rovnost, podobnost, řád, M., 1971; Klini S. K., Matematická logika, přel. z angličtiny, M., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, B., 1973.

M. M. Novoselov.

Wikipedie

identita (matematika)

Identita(v matematice) - rovnost, která je splněna na celé množině hodnot proměnných v ní obsažených, například:

atd. Někdy se identitě říká také rovnost, která neobsahuje žádné proměnné; např. 25 = 625.

Identická rovnost, když ji chtějí zvláště zdůraznit, je označena symbolem " ≡ ".

Identita

Identita, identita- polysémantické pojmy.

• Identita je rovnost, která platí pro celou sadu hodnot proměnných, které ji tvoří.
• Identita je úplná shoda vlastností předmětů.
• Identita ve fyzice je charakteristika objektů, ve kterých nahrazení jednoho z objektů jiným nemění stav systému při zachování těchto podmínek.
• Zákon identity je jedním ze zákonů logiky.
• Princip identity je princip kvantové mechaniky, podle kterého nelze v žádném experimentu rozlišit stavy systému částic, získané od sebe přeskupením identických částic na místech, a takové stavy je třeba považovat za jeden fyzikální stav. .
• "Identita a realita" - kniha E. Meyersona.

Identita (filozofie)

Identita- filozofická kategorie vyjadřující rovnost, totožnost předmětu, jevu se sebou samým nebo rovnost více předmětů. O objektech A a B se říká, že jsou totožné, stejné, právě tehdy, když všechny vlastnosti. To znamená, že identita je neoddělitelně spojena s odlišností a je relativní. Jakákoli identita věcí je dočasná, přechodná, zatímco jejich vývoj, změna je absolutní. V exaktních vědách se však abstraktní identita, tedy abstrahovaná od vývoje věcí v souladu s Leibnizovým zákonem, používá proto, že v procesu poznání je za určitých podmínek možná a nezbytná idealizace a zjednodušování reality. S podobnými omezeními je formulován i logický zákon identity.

Identita by měla být odlišena od podobnosti, podobnosti a jednoty.

Podobně nazýváme objekty, které mají jednu nebo více společných vlastností; čím více objektů má společné vlastnosti, tím více se jejich podobnost blíží identitě. Dva objekty jsou považovány za identické, pokud jsou jejich vlastnosti naprosto stejné.

Je však třeba mít na paměti, že v objektivním světě nemůže existovat žádná identita, protože dva objekty, bez ohledu na to, jak jsou si podobné kvalitou, se stále liší počtem a prostorem, který zabírají; pouze tam, kde hmotná příroda stoupá k duchovnosti, se objevuje možnost identity.

Nezbytnou podmínkou identity je jednota: kde není jednota, nemůže být ani identita. Hmotný svět, dělitelný do nekonečna, nemá jednotu; jednota přichází se životem, zvláště s duchovním životem. O identitě organismu mluvíme v tom smyslu, že jeho jeden život přetrvává i přes neustálou změnu částic, které organismus tvoří; kde je život, tam je jednota, ale v pravém smyslu slova stále není žádná identita, protože život přibývá a ubývá a zůstává neměnný pouze v myšlence.

Totéž lze říci o osobnosti- nejvyšší projev života a vědomí; a v osobnosti identitu pouze předpokládáme, ale ve skutečnosti žádná neexistuje, protože samotný obsah osobnosti se neustále mění. Skutečná identita je možná pouze v myšlení; správně vytvořený pojem má věčnou hodnotu bez ohledu na podmínky času a prostoru, ve kterých je počat.

Leibniz se svým principium indiscernibilium prosadil myšlenku, že nemohou existovat dvě věci, které jsou si zcela podobné v kvalitativních a kvantitativních ohledech, protože taková podobnost by nebyla ničím jiným než identitou.

Filozofie identity je ústřední myšlenkou v dílech Friedricha Schellinga.

Příklady použití slova identita v literatuře.

Právě v tom spočívá velká psychologická zásluha starověkého i středověkého nominalismu, že důkladně rozpustil primitivní magický či mystický identita slova s ​​předmětem jsou příliš důkladná i pro typ, jehož základem není pevně lpět na věcech, ale abstrahovat myšlenku a klást ji nad věci.

Tento identita subjektivitu a objektivitu a tvoří právě univerzalitu, jíž nyní dosáhlo sebeuvědomění, které se povznáší nad dvě výše uvedené stránky či zvláštnosti a rozpouští je v sobě.

V této fázi se sebevědomé subjekty, které spolu korelují, postoupily odstraněním své nestejné singularity individuality k vědomí své skutečné univerzality – své inherentní svobody – a tím ke kontemplaci určitého identity je mezi sebou.

O století a půl později Inta, pra-pra-pravnučka ženy, které Sarp poskytl místo ve vesmírné lodi, ohromená svými nevysvětlitelnými identita s Vellou.

Když se ale ukázalo, že před smrtí dobrý spisovatel Kamanin četl rukopis KRASNOGOROVA a zároveň ten, o jehož kandidatuře diskutoval divoký fyzik Šerstněv vteřinu před svou, Šerstněvovou, PODOBNOU smrtí, - pak, Víš, vonělo to na mě ne prostou náhodou, voní to IDENTITA!

Klossowského zásluha spočívá v tom, že ukázal, že tyto tři formy jsou nyní navždy spojeny, ale ne kvůli dialektické transformaci a identita protiklady, ale prostřednictvím jejich rozptýlení po povrchu věcí.

V těchto dílech Klossowski rozvíjí teorii znaku, významu a nesmyslu a také podává hluboce originální interpretaci Nietzscheho myšlenky věčného návratu, chápané jako excentrická schopnost prosazovat divergence a disjunkce, nenechávající žádný prostor pro identita já také ne identita mír nebo identita Bůh.

Stejně jako u každého jiného typu identifikace osoby podle vzhledu je i při fotoportrétové prohlídce identifikovaným objektem ve všech případech konkrétní jedinec, identita který se instaluje.

Nyní se ze studenta vyklubal učitel, který se především jako učitel vypořádal s velkým úkolem prvního období svého magisterského studia, když vyhrál boj o autoritu a plnou moc. identita osoba a pozice.

Ale v rané klasice to identita myšlení a myslitelné bylo vykládáno pouze intuitivně a pouze deskriptivně.

Pro Schellinga identita Příroda a duch je přírodně-filosofický princip, který předchází empirickému poznání a určuje chápání jeho výsledků.

Na základě toho identity minerálními rysy a dochází se k závěru, že tato skotská formace je současná s nejnižšími formacemi Wallis, protože množství dostupných paleontologických dat je příliš malé na to, aby mohla potvrdit nebo vyvrátit tento druh polohy.

Nyní to již není původ, který dává místo historicitě, ale samotná struktura historicity odhaluje potřebu původu, který by byl vnitřní i vnější, jako nějaký hypotetický vrchol kužele, kde by všechny rozdíly, všechny rozptyly, všechny nespojitosti jsou stlačeny do jediného bodu. identity, do toho netělesného obrazu Identického, schopného se však rozdělit a proměnit v Jiné.

Je známo, že často nastávají případy, kdy objekt, který má být identifikován z paměti, nemá dostatečný počet znatelných znaků, které by umožnily jeho identifikaci. identita.

Je tedy jasné, že veche neboli povstání v Moskvě proti lidem, kteří chtěli uprchnout před Tatarem, v Rostově proti Tatarům, v Kostromě, Nižném, Toržoku proti bojarům, veche svolaným všemi zvony, by neměla, jeden za druhým. identita jména, smíšená s vechami novgorodskými a jinými starými městy: Smolensk, Kyjev, Polotsk, Rostov, kde se obyvatelé podle kronikáře sbíhali jako na myšlenku, na veča, a že starší rozhodli, předměstí souhlasila. k tomu.

že jedna věc je absolutně podobná druhé. Porozumění obvykle zahrnuje začlenění („identifikace“) nových znalostí pod to, co již známe. V tomto smyslu je identita formou veškerého porozumění. Meyerson viděl v syntéze všech znalostí o vesmíru, v jejich redukci na identitu, ideál vědy: ve skutečnosti by věda měla dospět k jedinému vzorci (dnes reprezentovanému vzorcem relativity), z něhož můžeme odvodit všechny zvláštní zákony vědy. Tento ideál se jeví spíše filozofický než vědecký, protože vědecký pokrok vede spíše k nekonečné diverzifikaci metod vědy (specializace) a jeho bezprostředním cílem je spíše věčná možnost poznávání nových předmětů než sjednocování metod (toto sjednocující dílo je tzv. cílové úvahy o vědě, epistemologii).

Skvělá definice

Neúplná definice ↓

IDENTITA

Pojem T. je hlavní. pojem filozofie, logiky a matematiky, tedy zahrnuje všechny obtíže spojené s objasňováním a definováním výchozích (základních, fundamentálních) pojmů vědy. V komplexu otázek souvisejících s pojmem T. si zvláštní pozornost zaslouží dvě: otázka T. "... sama o sobě. Uznáváme, že existuje, nebo ji neuznáváme?" (Platón, Phaed. 74 b; ruský překlad Soch., sv. 2, 1970) a otázka T. věcí. (T. věci jsou obvykle vyjádřeny symbolem "=", s nímž se poprvé setkává R. Record ve svém "The Wwwstone of witte", L., 1557.) První z těchto otázek je součástí otázky ontologické. status abstraktních objektů (viz např. Relation, Universals), druhý je nezávislý. význam. Bez ohledu na to, jak jsou tyto otázky řešeny ve filozofii, pro logiku a matematiku je jejich řešení vždy ekvivalentní řešení otázky definice pojmu T. T.“ a nějak definoval "koncept T." - to není totéž. Myšlenka T. předchází jakékoli definici pojmu (predikátu) T., stejně jako pojmu „identické věci“ zavedené definicí. A to z toho důvodu, že rozsudek T. k. objekt vždy předpokládá, že již byly (nebo by měly být) splněny nějaké další, pomocné, ale nezbytné – pro tento soud nikoli nijak cizí – identifikace. Právě v souvislosti s problémem „přípustných ztotožnění“ se philos. analýza může sloužit jako užitečný předpoklad pro logiku a matematiku. rozbor konceptu T. Princip individuace. V souladu s filozofií t. sp. je třeba rozlišovat mezi ontologickým, epistemologickým. a sémantické. problémy t. věcí. Ontologický problém T. je problémem T. věcí „samých o sobě“ nebo v se – podle jejich „vnitřní situace“ (G. Kantor). Je stanoveno a rozhodnuto na základě principu principium individuationis: každá věc ve vesmíru je jednota. věc; dvě různé věci, z nichž každá by byla stejná jako druhá, neexistují. Je to „... v souladu s principy individuace, které vycházejí z hmoty“ přijímáme, že „... každá samostatně existující věc, složená z hmoty a formy, je složena z individuální formy a individuální hmoty“ (Tomáš Akvinský, citováno z knihy .: "Anthology of World Philosophy", sv. 1, část 2, M., 1969, str. 847, 862). Princip individuace neobsahuje žádný údaj o tom, jak individualizovat objekty vesmíru nebo jak jsou individualizovány „sami o sobě“, protože už tomu tak je; pouze postuluje abstraktní možnost takové individualizace. A to je přirozené, pokud to chápeme jako čistě ontologický princip. Otázka, jak individualizovat objekty vesmíru, je již epistemologická. otázka. Ale v tomto případě nás žádná možná individualizace nezavede za interval abstrakce, který definuje vesmír uvažování (viz Vesmír). I když princip individuace je antickou filozofií. výpověď o světě, jeho analogy najdeme i v (moderních) přísně vědeckých (matematických, fyzikálních atd.) teoriích. V tomto ohledu můžeme odkázat na myšlenku „podstatného“, neboli světa, bodů (prostorových bodů v určitém časovém bodě) ve čtyřrozměrném (abstraktním) „Minkowského světě“ a související myšlenku časoprostorový model fyziky. realitu, která umožňuje individualizovat každý její objekt, nebo Pauliho princip, nebo konečně hypotézu G. Cantora, že libovolné dva prvky libovolné množiny jsou od sebe odlišitelné. Lze dokonce uvažovat, že princip individuace je základem celé klasiky matematika se svým – v jistém smyslu ontologickým – „samozřejmým“ postulátem uspořádaného (ve velikosti) numerického kontinua. Princip T. nerozeznatelný. Přijetím principu individuace však v každodenní praxi i v teorii neustále identifikujeme různé předměty, tzn. mluvit o různých věcech, jako by to byla jedna a ta samá věc. Výslednou abstrakci identifikace odlišného poprvé jasně zaznamenal Leibniz ve svém slavném principu T. nerozlišitelný (Principium identitatis indiscernibilium). Zdánlivý rozpor mezi principem individuace a principem T. nerozlišitelný lze snadno vysvětlit. Rozpor vzniká pouze tehdy, když za předpokladu, že např. x a y jsou různé věci, myslí při formulaci principu T. o nerozlišitelnosti jejich absolutní neboli ontologickou nerozlišitelnost, totiž když se domnívají, že nerozlišitelnost x a y znamená, že x a y "samo o sobě" jsou nerozlišitelné v žádném případě. Pokud však budeme mít na paměti relativní neboli epistemologickou nerozlišitelnost například x a y. jejich nerozlišitelnost „pro nás“, alespoň ta, se kterou se můžeme setkat v důsledku prakticky proveditelného srovnání x a y (viz o tom v čl. Srovnání), pak žádný rozpor nevzniká. Rozlišujeme-li pojmy „věc“ nebo subjekt vesmíru „sám o sobě“ a „předmět“, neboli subjekt vesmíru v poznání, v praxi ve vztahu k jiným objektům, pak kompatibilita princip T. nerozlišitelné a princip individuace by měl znamenat, že neexistují identické věci, ale existují identické předměty. Pochopitelně s ontologickým T. sp., vyjádřený v principu individuace, se T. jeví jako abstrakce, a tedy idealizace. Přesto má objektivní základ v podmínkách existence věcí: praxe nás přesvědčuje, že existují situace, kdy se „různé“ věci chovají jako „jedna a táž“. Princip teorie nerozlišitelných v tomto smyslu vyjadřuje empiricky potvrzený fakt, založený na zkušenosti, naší abstrahující činnosti. „Identifikace odlišného“ podle principu Leibnize by proto neměla být chápána jako zjednodušení či zhrubnutí reality, která obecně řečeno neodpovídá skutečnému řádu přírody. Interval abstrakce identifikace. Nerozlišitelnost objektů identifikovaných podle principu T. nerozlišitelný lze vyjádřit operativně – v jejich „chování“, interpretovaném pomocí vlastností, obecně určených souborem určitých oprav. podmínky nerozlišitelnosti. Tento soubor podmínek (funkcí nebo predikátů), vztažených ke k-rykh k.-l. objekty vesmíru jsou k nerozeznání, určuje interval abstrakce od identifikace těchto objektů. Pokud je tedy vlastnost A definována na množině objektů a objekt x ji má, pak k identifikaci x a y v intervalu abstrakce určeném vlastností A je nutné a postačující, aby objekt y měl také vlastnost A , který lze symbolicky vyjádřit následujícím axiomem: A( x)?((x=y)?A(y)). Všimněte si, že za přítomnosti „nadměrných“ informací o známé (přirozeně – „mimo“ daný interval abstrakce) odlišnosti objektů se jejich identifikace „uvnitř“ daného intervalu abstrakce může zdát až paradoxní. Typickým příkladem z teorie množin je Skolemův paradox. Pokud se podíváte „zevnitř“ na interval abstrakce definovaný vlastností A, pak x a y jsou přesně stejný objekt, a nikoli dva objekty, jak je navrženo ve výše uvedené úvaze. Faktem je, že uvažování o T. dvou a následně i různých x objektů je možné pouze v určitém metaintervalu, což také ukazuje na možnost individualizace x a y. Je zřejmé, že nerozlišitelnost x a y je zde ekvivalentní jejich zaměnitelnosti s ohledem na vlastnost A, ale samozřejmě ne s ohledem na jakoukoli vlastnost. V tomto ohledu poukážu na abstrakci aktuální odlišnosti, která vyplývá z principu individuace a je spojena s takovým výkladem tohoto principu, v němž se redukuje na tvrzení o existenci podmínek, v nichž je individualizace vždy proveditelné (např. , podmínky, kdy x a y již nejsou zaměnitelné, což nám přirozeně umožňuje mluvit o jejich individualitě). V tomto smyslu má princip individuace stejný charakter jako tzv. „čisté“ postuláty existence v matematice a lze je považovat za abstrakci individualizace. O "abstraktní" matematice ani nemluvě. objektů, je zřejmé, že pro „konkrétní“ fyzické. objektů přírody, podmínky pro individualizaci některého z nich nelze v žádném případě vždy nalézt nebo výslovně uvést v c.-l. konstruktivní smysl. Úkol jejich hledání je navíc někdy zásadně nerealizovatelný, o čemž svědčí například princip „nedělitelnosti kvantových stavů“ a jím způsobená nejistota, předepsaná samotnou přírodou, v našem popisu „chování jednotlivce“ elementárních částic. Přidání. Interval abstrakce identifikace může být tak (ale ne libovolně) široký, že bude zahrnovat všechny (počáteční) pojmy (funkce či predikáty) teorie uvažované v tom či onom případě. Pak říkají, že x = y pro libovolný pojem A. V tomto případě mají kvantifikátor "pro jakýkoli" i T. relativní charakter - ty, které jsou zase omezeny smysluplností těchto pojmů (intervalem významu) ve vztahu k objektům vesmíru této teorie. Například predikát „červený“ není definován na množině přirozených čísel, a proto na něj slova „pro jakýkoli predikát“ nemohou odkazovat, když mluvíme o T. v aritmetice. Taková sémantická omezení se v aplikacích teorie de facto vždy odehrávají a tím se eliminují rozpory spojené s porušením intervalu abstrakce identifikace. Protože v identifikacích jsou míněny pouze predikáty dané teorie, je interval abstrakce identifikace pevný. Objekty vesmíru, které jsou nerozlišitelné s ohledem na každý predikát teorie, jsou v dané intervalové abstrakci absolutně nerozlišitelné a lze je považovat za „jeden a tentýž“ objekt, což přesně odpovídá obvyklé interpretaci T. Jsou-li vzhledem ke každému takovému predikátu všechny objekty vesmíru nerozeznatelné, pak ten druhý se nám v tomto případě bude jevit jako jednočlenná sbírka, i když v jiném intervalu abstrakce tomu tak být nemusí. Pokud je tedy podmínka A tautologie, pak v implikované předmětové oblasti jsou všechny objekty totožné v intervalu A. Jinými slovy, tautologie nemohou sloužit jako kritérium rozlišitelnosti objektů, zdá se, že promítají vesmír do bodu, vytváří abstrakci identifikace prvků množiny jakékoli moci, "transformuje" různé prvky do "stejného" abstraktního objektu. Není proto překvapivé, že lze vzorec přidat bez rozporu Tato neúplnost čistého predikátového kalkulu (elementární logiky) je zřejmě způsobena právě jeho neontologickým charakterem. V těchto případech může být teorie, protože mluvíme o identifikacích pouze v daném systému pojmů, zavedena konečným seznamem axiomů teorie pro konkrétní funkce a predikáty uvažované teorie. Ale takto to postuluje určité identifikace, my jakoby tvoříme vesmír v souladu s principem T. nerozlišitelný. Vesmír je tedy v tomto smyslu epistemologický. koncept závislý na našich abstrakcích. Otázka, co se počítá jako „stejný“ objekt, jaký je počet „různých“ jedinců v doméně (jaká je síla domény jednotlivců), je v jistém smyslu otázkou, jak aplikujeme naše abstrakce a které a také jaká je cílová oblast jejich použitelnosti. Zejména jde vždy o interval abstrakce. Proto s naší t. sp. uvedení intervalu abstrakce identifikace v definici T. je třeba považovat za nezbytnou podmínku pro smysluplnou aplikaci "pojmu T.". Koncept „identifikace intervalové abstrakce“ je epistemologický. doplnění pojmu abstrakce identifikace a v určitém smyslu (smysluplném) její zpřesnění. Zavedením pojmu T. v intervalu abstrakce navíc snadno dosáhneme potřebné obecnosti při konstrukci teorie T., vyhneme se obvyklému „množení pojmů“ spojenému s rozlišováním pojmů „totožný“ , "podobný", "rovný", "ekvivalentní" atd. V souvislosti s výše uvedeným je definice predikátu T. ve formulaci Hilberta-Bernayse daná, jak víte, podmínkami: 1) x= x 2) x=y? (A(x)? A(y)), lze interpretovat tak, že podmínka 2) bude vyjadřovat T. objektů vesmíru v intervalu abstrakce určeném množinou axiomů daných schématem axiomů. 2). Pokud jde o podmínku 1), vyjadřující reflexivní vlastnost teorie, odpovídá v jistém smyslu principu individuace. Přinejmenším je zřejmé, že popření podmínky x=x nevyplývá z principu individuace, protože mezi principem individuace a tradicemi. princip T. (abstraktní T. - lex identitatis), vyjádřený vzorcem x = x, existuje tato jednoznačná „významová souvislost“: pokud by individuální objekt vesmíru nebyl totožný sám se sebou, pak by být sám sebou, ale byl by dalším subjektem, což ovšem vede k popření principu individuace (srov. Engels F.: „... identita sama se sebou má od samého počátku svůj nezbytný doplněk, odlišnost ode všeho jinak" - Marx K. a Engels F., Soch., 2. vyd., sv. 20, str. 530). Princip individuace tedy předpokládá tvrzení x = x, které je jeho nutnou podmínkou – logickým základem pojmu individua. Stačí uvést slučitelnost x=x s principem individuace, abychom na základě slučitelnosti 1) a 2) potvrdili slučitelnost principu individuace s principem T. nerozlišitelný a vzali v úvahu vzít v úvahu nezávislost 1) a 2), dospět k závěru o nezávislosti těchto stejných principů, alespoň v tomto případě. Skutečnost, že princip individuace ve výše uvedeném smyslu odpovídá tradičnímu. právo T. (viz. Právo identity), je zvláště zajímavé s t. sp. problémy „realizovatelnosti“ abstraktního T. v přírodě, což znamená. a ontologické. stav abstrakcí obecně. Princip T. nerozlišitelný ve své interpretaci, který je uveden výše - jako princip T. v intervalu abstrakce - v podstatě vyjadřuje filozofickou epistemologickou myšlenku T., založenou na konceptu praxe. Pokud jde o matematiku, kde se tak či onak operuje s predikátem T. s podmínkou, že totožné lze nahradit shodným (viz Pravidlo pro nahrazování rovného rovným), pak zde při přijetí principu individuace, tzn. za předpokladu, že každá mat. předmět ve vesmíru uvažování je individuální, zdá se, že je snadné uniknout epistemologickému řešení. problémy T., protože ve větách mat. teorie matematiky. předměty se neobjevují „samo od sebe“, ale prostřednictvím svých zástupců – symbolů, které je označují. Odtud možnost konstrukcí, které podmínku individuality těchto objektů v podstatě ignorují; Takže známá konstrukce korespondence jedna ku jedné mezi množinou přirozených čísel a její částí - množina všech sudých čísel (Galileův paradox) ignoruje jedinečnost každého přirozeného čísla, spokojí se s T. její zástupci: jak jinak je naznačená konstrukce možná? Podobných konstrukcí je v matematice mnoho. Výroku „objekt x je totožný s objektem y“ přisuzuje matematik obvykle tento význam: „symboly x a y označují stejný objekt“ nebo „symbol x označuje stejný objekt, který je označen symbolem y". Je zřejmé, že takto chápaný T. odkazuje spíše k jazyku odpovídajícího kalkulu (obecně k formalizovanému jazyku) a vyjadřuje v podstatě případ jazykové synonymie, a vůbec ne filozofické epistemologické. význam T. Je však příznačné, že ani v tomto případě se nelze vyhnout odkazování. identifikace na základě uplatnění principu abstrakce, neboť synonyma vznikají jako výsledek abstrakce identifikace označením (viz Synonyma v logice). Navíc při interpretaci kalkulu musí být každá taková sémantická definice T. jako „vztahy mezi výrazy jazyka“ doplněna vysvětlením čeho? v této sémantice formulace T. znamenají slova "jeden a tentýž předmět." V tomto ohledu formulace principu T., známého jako Leibniz-Russellian (viz Rovnost v logice a matematice), sotva odpovídá filozofii. t. sp. Leibniz sám. Je známo, že Leibniz přijal zásadu individuace: „Kdyby dva jedinci byli zcela...nerozlišitelní sami o sobě, pak...v tomto případě by neexistoval žádný individuální rozdíl ani různí jedinci“ („Nové experimenty na lidské mysli“ , M .–L., 1936, s. 202). Je také známo, že jakékoli netriviální použití T., odpovídající principu T. nerozlišitelné, předpokládá, že x a y jsou různé objekty, které jsou pouze relativně nerozlišitelné, nerozlišitelné v určitém intervalu abstrakce, určeném buď pomocí řešení našich rozlišovacích prostředků nebo námi akceptovaná abstrakce identifikace nebo konečně daná samotnou přírodou. Ale v Russellově formulaci přítomnost neomezeného kvantifikátor obecnosti s ohledem na predikátovou proměnnou, který dává definici absolutní charakter („absolutní“ zde je třeba chápat jako opak „relativity“ ve výše uvedeném smyslu), vnucuje myšlenku abs. nerozlišitelnost x a y, což odporuje principu individuace, ačkoli vzorec x = x je odvoditelný z Russellovy definice, která, jak bylo uvedeno výše, je kompatibilní jak s principem T. nerozlišitelný, tak s principem individuace. Ve světle myšlenky T. v intervalu abstrakce se objasňuje ještě jeden epistemologický. role principu abstrakce: jestliže v definici T. predikát (byť libovolný) charakterizuje abstraktní třídu objektu x a y je prvkem této třídy, pak identita x a y na základě princip abstrakce neznamená, že x a y musí být v ontologii jeden a tentýž subjekt. smysl. Z tohoto hlediska jsou dva objekty vesmíru, patřící do stejné třídy abstrakce, považovány za „jeden a tentýž“ objekt nikoli v ontologickém, ale epistemologickém. smyslu: jsou totožné pouze jako abstraktní představitelé jedné třídy abstrakce a pouze v tomto smyslu jsou nerozlišitelné. To je ve skutečnosti dialektika pojmu T., stejně jako odpověď na otázku: "Jak mohou být různé předměty totožné?". lit.: Zhegalkin I. I., Aritmetizace symbolické logiky, "Mat. So.", 1929, v. 36, no. 3–4; Yanovskaya S. ?., O takzvaných „definicích prostřednictvím abstrakce“, v knize: So. články o filozofii matematiky, M., 1936; Lazarev F.V., Výstup od abstraktního ke konkrétnímu, v knize: So. práce postgraduálních studentů a studentů filozofické fakulty Moskevské státní univerzity, M., 1962; Weil G., Doplňky, in: Aplikovaná kombinatorická matematika, přel. z angličtiny, M., 1968. M. Novoselov. Moskva.

V průběhu studia algebry jsme se setkali s pojmy polynom (například ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ a tak dále) a algebraický zlomek (například $\frac(x+5)(x )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ atd.) Podobnost těchto pojmů spočívá v tom, že jak v polynomech, tak v algebraických zlomcích existují proměnné a číselné hodnoty, aritmetické úkony: sčítání, odčítání, násobení, umocňování Rozdíl mezi těmito pojmy je v tom, že v polynomech se dělení proměnnou neprovádí au algebraických zlomků lze dělení proměnnou provádět.

Jak polynomy, tak algebraické zlomky se v matematice nazývají racionální algebraické výrazy. Ale polynomy jsou celočíselné racionální výrazy a algebraické zlomkové výrazy jsou zlomkové racionální výrazy.

Z zlomkově-racionálního výrazu je možné pomocí identické transformace získat celý algebraický výraz, což bude v tomto případě hlavní vlastnost zlomku – redukce zlomků. Pojďme si to ověřit v praxi:

Příklad 1

Transformace:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Řešení: Tuto zlomkově-racionální rovnici lze transformovat použitím základní vlastnosti zlomku-zrušení, tzn. dělení čitatele a jmenovatele stejným číslem nebo výrazem jiným než $0$.

Tento zlomek nelze hned zmenšit, je nutné převést čitatel.

Transformujeme výraz v čitateli zlomku, k tomu použijeme vzorec pro druhou mocninu rozdílu: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Zlomek má tvar

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\vlevo(x-2\vpravo)(x-2))(x-2)\]

Nyní vidíme, že v čitateli a jmenovateli je společný faktor – jedná se o výraz $x-2$, na kterém zlomek zmenšíme

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\levý(x-2\vpravo)(x-2))(x-2)=x-2\]

Po redukci jsme dostali, že z původního zlomkově-racionálního výrazu $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ se stal polynom $x-2$, tzn. celý racionální.

Nyní věnujme pozornost skutečnosti, že výrazy $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ a $x-2\ $ lze považovat za shodné ne pro všechny hodnoty proměnné, protože aby existoval zlomkově-racionální výraz a byla možná redukce polynomem $x-2$, neměl by být jmenovatel zlomku roven $0$ (stejně jako faktor, kterým redukujeme. V v tomto příkladu jsou jmenovatel a faktor stejné, ale není tomu tak vždy).

Proměnné hodnoty, pro které bude existovat algebraický zlomek, se nazývají platné proměnné.

Na jmenovatel zlomku dáme podmínku: $x-2≠0$, pak $x≠2$.

Takže výrazy $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ a $x-2$ jsou identické pro všechny hodnoty proměnné kromě $2$.

Definice 1

identicky rovné Výrazy jsou ty, které jsou stejné pro všechny možné hodnoty proměnné.

Identická transformace je jakékoli nahrazení původního výrazu shodně rovným. Mezi takové transformace patří provádění akcí: sčítání, odčítání, násobení, vyjímání společného činitele ze závorky, přivádění algebraických zlomků na společného jmenovatele, snižování algebraických zlomků, přivádění jako termíny atd. Je třeba vzít v úvahu, že řada transformací, jako je redukce, redukce podobných podmínek, může změnit přípustné hodnoty proměnné.

Techniky používané k prokázání totožnosti

Převeďte levou stranu identity na pravou stranu nebo naopak pomocí transformací identity

Zredukujte obě části na stejný výraz pomocí identických transformací

Přeneste výrazy v jedné části výrazu do druhé a dokažte, že výsledný rozdíl je roven $0$

Kterou z výše uvedených metod prokázat danou identitu, závisí na původní identitě.

Příklad 2

Prokažte identitu $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Řešení: K prokázání této identity použijeme první z výše uvedených metod, totiž levou stranu identity transformujeme, dokud se nebude rovnat pravé straně.

Uvažujme levou stranu identity: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- je to rozdíl dvou polynomů. V tomto případě je první polynom druhou mocninou součtu tří členů. K odmocnění součtu několika členů použijeme vzorec:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Abychom to udělali, musíme vynásobit číslo polynomem. Připomeňme si, že k tomu musíme vynásobit společný faktor mimo závorky každým členem polynomu v závorkách. Pak dostaneme:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Nyní zpět k původnímu polynomu, bude mít tvar:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Všimněte si, že před závorkou je znak „-“, což znamená, že když jsou závorky otevřeny, všechny značky, které byly v závorkách, jsou obráceny.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Přineseme-li podobné termíny, pak dostaneme, že monomiály $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ a $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ se navzájem ruší, tzn. jejich součet se rovná 0 $.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Shodnými transformacemi jsme tedy získali shodný výraz na levé straně původní identity

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Všimněte si, že výsledný výraz ukazuje, že původní identita je pravdivá.

Všimněte si, že v původní identitě jsou povoleny všechny hodnoty proměnné, což znamená, že identitu jsme prokázali pomocí identických transformací, a to platí pro všechny povolené hodnoty proměnné.