Dost často se při řešení problémů potýkáme s velkými čísly, ze kterých je třeba vytěžit Odmocnina. Mnoho studentů usoudí, že jde o chybu, a začnou celý příklad znovu řešit. V žádném případě to nedělejte! Důvody jsou dva:

1. V problémech se objevují kořeny velkých čísel. Zejména v textových;
2. Existuje algoritmus, kterým se tyto kořeny počítají téměř ústně.

Tento algoritmus dnes zvážíme. Možná se vám některé věci budou zdát nepochopitelné. Ale pokud budete této lekci věnovat pozornost, dostanete proti tomu mocnou zbraň odmocniny.

Takže algoritmus:

1. Omezte požadovaný kořen nad a pod na čísla, která jsou násobky 10. Zmenšíme tedy rozsah hledání na 10 čísel;
2. Z těchto 10 čísel vyřaďte ty, které rozhodně nemohou být kořeny. V důsledku toho zůstanou 1-2 čísla;
3. Odmocni tato 1-2 čísla. Ten, jehož druhá mocnina se rovná původnímu číslu, bude odmocninou.

Před uvedením tohoto algoritmu do praxe se podívejme na každý jednotlivý krok.

Omezení kořene

Nejprve musíme zjistit, mezi kterými čísly se nachází náš kořen. Je velmi žádoucí, aby čísla byla násobky deseti:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Dostaneme řadu čísel:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Co nám tato čísla říkají? Je to jednoduché: dostáváme hranice. Vezměme si například číslo 1296. Leží mezi 900 a 1600. Proto jeho kořen nemůže být menší než 30 a větší než 40:

[Popis k obrázku]

Totéž platí pro jakékoli jiné číslo, ze kterého můžete najít druhou odmocninu. Například 3364:

Místo nesrozumitelného čísla tak dostáváme zcela konkrétní rozsah, ve kterém leží původní kořen. Chcete-li dále zúžit oblast hledání, přejděte k druhému kroku.

Eliminace zjevně zbytečných čísel

Máme tedy 10 čísel - kandidátů na kořen. Získali jsme je velmi rychle, bez složitého přemýšlení a násobení v kolonce. Je čas jít dál.

Věřte nebo ne, ale nyní snížíme počet kandidátních čísel na dvě – opět bez složitých výpočtů! Dost vědět zvláštní pravidlo. Tady to je:

Poslední číslice čtverce závisí pouze na poslední číslici původní číslo.

Jinými slovy, stačí se podívat na poslední číslici čtverce a hned pochopíme, kde končí původní číslo.

Na posledním místě může být pouze 10 číslic. Zkusme zjistit, v co se promění při umocnění. Podívejte se na tabulku:

Tato tabulka je dalším krokem k výpočtu kořene. Jak vidíte, čísla ve druhém řádku se ukázala být symetrická vzhledem k pěti. Například:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Jak vidíte, poslední číslice je v obou případech stejná. To znamená, že například kořen 3364 musí končit 2 nebo 8. Na druhou stranu si pamatujeme omezení z předchozího odstavce. Dostaneme:

Červené čtverečky naznačují, že tento údaj ještě neznáme. Ale kořen leží v rozsahu od 50 do 60, na kterém jsou pouze dvě čísla končící na 2 a 8:

To je vše! Ze všech možných kořenů jsme nechali jen dvě možnosti! A to je v nejtěžším případě, protože poslední číslice může být 5 nebo 0. A pak bude jen jeden kandidát na kořeny!

Závěrečné výpočty

Zbývají nám tedy 2 kandidátní čísla. Jak víte, který z nich je kořen? Odpověď je zřejmá: odmocni obě čísla. Ten, který umocňuje původní číslo, bude odmocninou.

Například pro číslo 3364 jsme našli dvě kandidátní čísla: 52 a 58. Udělejme je na druhou:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

To je vše! Ukázalo se, že kořen je 58! Zároveň jsem pro zjednodušení výpočtů použil vzorec pro druhé mocniny součtu a rozdílu. Díky tomu jsem ani nemusel násobit čísla do sloupce! Toto je další úroveň optimalizace výpočtu, ale je samozřejmě zcela volitelná :)

Příklady výpočtu kořenů

Teorie je samozřejmě dobrá. Pojďme si to ale ověřit v praxi.

[Popis k obrázku]

Nejprve zjistíme, mezi kterými čísly leží číslo 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Nyní se podívejme na poslední číslo. Je roven 6. Kdy se to stane? Pouze pokud kořen končí na 4 nebo 6. Dostaneme dvě čísla:

Zbývá pouze odmocnit každé číslo a porovnat je s originálem:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Skvělý! Ukázalo se, že první čtverec se rovná původnímu číslu. Takže toto je kořen.

Úkol. Vypočítejte druhou odmocninu:

[Popis k obrázku]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Podívejme se na poslední číslici:

1369 → 9;
33; 37.

Rozdělte to:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Zde je odpověď: 37.

Úkol. Vypočítejte druhou odmocninu:

[Popis k obrázku]

Omezujeme počet:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Podívejme se na poslední číslici:

2704 → 4;
52; 58.

Rozdělte to:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Dostali jsme odpověď: 52. Druhé číslo již nebude třeba odmocňovat.

Úkol. Vypočítejte druhou odmocninu:

[Popis k obrázku]

Omezujeme počet:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Podívejme se na poslední číslici:

4225 → 5;
65.

Jak vidíte, po druhém kroku zbývá pouze jedna možnost: 65. Toto je požadovaný kořen. Ale ještě to srovnáme a zkontrolujeme:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Všechno je správně. Odpověď zapisujeme.

Závěr

Bohužel, o nic lepší. Podívejme se na důvody. Jsou dva z nich:

• Při jakékoli normální zkoušce z matematiky, ať už jde o státní zkoušku nebo jednotnou státní zkoušku, je používání kalkulaček zakázáno. A pokud si do třídy přinesete kalkulačku, můžete být ze zkoušky snadno vyhozeni.
• Nebuďte jako hloupí Američané. Které nejsou jako odmocniny – neumí sečíst dvě prvočísla. A když vidí zlomky, obvykle se stanou hysterickými.

Zvýšení čísla na mocninu je zkrácená forma zápisu operace násobení, ve které se všechny faktory rovnají původnímu číslu. A vyjmutí odmocniny znamená inverzní operaci – určení faktoru, který se musí zapojit do operace vícenásobného násobení, aby výsledkem bylo radikální číslo. Exponent i kořenový exponent udávají totéž – kolik faktorů by mělo být v takové operaci násobení.

Budete potřebovat

• Přístup k internetu.

Instrukce

• Pokud potřebujete použít jak operaci extrahování odmocniny, tak i jeho umocnění na číslo nebo výraz, snižte obě operace do jedné – umocnění na mocninu se zlomkovým exponentem. Čitatel zlomku musí obsahovat exponent a jmenovatel musí obsahovat kořen. Například pokud potřebujete umocnit krychli vykořenit, pak tyto dvě operace budou ekvivalentní jednomu zvýšení čísla na ⅔ mocninu.
• Pokud podmínky vyžadují kvadraturu vykořenit s exponentem rovným dvěma se nejedná o výpočetní úlohu, ale o test vašich znalostí. Použijte metodu z prvního kroku a dostanete zlomek 2/2, tzn. 1. To znamená, že výsledek kvadratury odmocnina z libovolného čísla bude toto číslo samotné.
• V případě potřeby čtverec vykořenit se sudým exponentem vždy existuje možnost zjednodušení operace. Protože dvojka (čitatel zlomkového exponentu) a libovolné sudé číslo (jmenovatel) mají společného dělitele, pak po zjednodušení zlomku zůstane v čitateli jednička, což znamená, že při výpočtech není potřeba mocninu, stačí vytěžit vykořenit s polovičním exponentem. Například odmocnění šesté odmocniny z osmi lze redukovat na extrakci odmocniny z ní, protože 2/6 = 1/3.
• Chcete-li vypočítat výsledek pro jakýkoli kořenový exponent, použijte například kalkulačku zabudovanou do vyhledávače Google. Tohle je snad nejvíc lehká cesta výpočty, pokud máte ze svého počítače přístup k internetu. Obecně přijímanou náhradou za znak operace umocňování je toto „víko“: ^. Použijte jej při zadávání vyhledávacího dotazu do Google. Například pokud chcete čtverec vykořenit pátá mocnina od čísla 750, formulujte dotaz takto: 750^(2/5). Po jeho zadání vyhledávač i bez stisknutí tlačítka odeslat na server zobrazí výsledek výpočtu s přesností na sedm desetinných míst: 750^(2 / 5) = 14,1261725.

Před kalkulačkami počítali studenti a učitelé odmocniny ručně. Existuje několik způsobů, jak ručně vypočítat druhou odmocninu čísla. Některé z nich nabízejí pouze přibližné řešení, jiné dávají přesnou odpověď.

Kroky

Prvočíselný rozklad

Rozdělte radikální číslo na faktory, které jsou čtvercovými čísly. V závislosti na radikálním čísle získáte přibližnou nebo přesnou odpověď. Čtvercová čísla jsou čísla, ze kterých lze vzít celou druhou odmocninu. Faktory jsou čísla, která po vynásobení dávají původní číslo. Například faktory čísla 8 jsou 2 a 4, protože 2 x 4 = 8, čísla 25, 36, 49 jsou čtvercová čísla, protože √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Čtvercové faktory jsou faktory , což jsou čtvercová čísla. Nejprve se pokuste rozdělit radikální číslo na čtvercové faktory.

• Vypočítejte například druhou odmocninu ze 400 (ručně). Nejprve zkuste faktorizovat 400 na čtvercové faktory. 400 je násobek 100, to znamená dělitelné 25 - to je čtvercové číslo. Vydělením 400 25 získáte 16. Číslo 16 je také čtvercové číslo. Takže 400 lze rozdělit na čtvercové faktory 25 a 16, tedy 25 x 16 = 400.
• To lze zapsat následovně: √400 = √(25 x 16).

1. Druhá odmocnina součinu některých členů se rovná součinu odmocnin každého členu, tj. √(a x b) = √a x √b. Pomocí tohoto pravidla odeberte druhou odmocninu každého čtvercového faktoru a vynásobte výsledky, abyste našli odpověď.

   • V našem příkladu vezměte odmocninu z 25 a 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Pokud se radikální číslo nerozdělí na dva čtvercové faktory (a to se ve většině případů stává), nebudete schopni najít přesnou odpověď ve formě celého čísla. Problém ale můžete zjednodušit tak, že radikální číslo rozložíte na čtverec a obyčejný činitel (číslo, ze kterého nelze vzít celou odmocninu). Potom vezmete druhou odmocninu čtvercového činitele a vezmete odmocninu společného činitele.

   • Vypočítejte například druhou odmocninu z čísla 147. Číslo 147 nelze rozdělit na dva čtvercové faktory, ale lze jej rozložit na následující faktory: 49 a 3. Úlohu vyřešte následovně:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. V případě potřeby odhadněte hodnotu kořene. Nyní můžete odhadnout hodnotu odmocniny (najít přibližnou hodnotu) jejím porovnáním s hodnotami odmocnin čtvercových čísel, které jsou nejblíže (na obou stranách číselné osy) radikálnímu číslu. Odmocninu obdržíte jako desetinný zlomek, který je třeba vynásobit číslem za odmocninou.

   • Vraťme se k našemu příkladu. Radikálové číslo je 3. Čtvercová čísla nejblíže k němu budou čísla 1 (√1 = 1) a 4 (√4 = 2). Hodnota √3 se tedy nachází mezi 1 a 2. Protože hodnota √3 je pravděpodobně blíže 2 než 1, náš odhad je: √3 = 1,7. Tuto hodnotu vynásobíme číslem u kořenového znaménka: 7 x 1,7 = 11,9. Pokud si to spočítáte na kalkulačce, dostanete 12,13, což je docela blízko naší odpovědi.
     • Tato metoda funguje i s velkými čísly. Uvažujme například √35. Radikální číslo je 35. Nejbližší čtvercová čísla k němu budou čísla 25 (√25 = 5) a 36 (√36 = 6). Hodnota √35 se tedy nachází mezi 5 a 6. Protože hodnota √35 je mnohem blíže 6 než 5 (protože 35 je pouze o 1 menší než 36), můžeme říci, že √35 je o něco méně než 6 Kontrola na kalkulačce nám dává odpověď 5,92 - měli jsme pravdu.

4. Dalším způsobem je faktor radikálního čísla do prvočinitelů. Prvočísla jsou čísla, která jsou dělitelná pouze 1 a sami sebou. Zapište prvočinitele do řady a najděte dvojice stejných činitelů. Takové faktory lze vyjmout z kořenového znaku.

   • Například vypočítejte druhou odmocninu z 45. Radikálové číslo rozložíme na prvočinitele: 45 = 9 x 5 a 9 = 3 x 3. Tedy √45 = √(3 x 3 x 5). 3 lze vyjmout jako kořenové znaménko: √45 = 3√5. Nyní můžeme odhadnout √5.
   • Podívejme se na další příklad: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Obdrželi jste tři násobiče 2; vezměte jich pár a přesuňte je za kořenové znamení.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Nyní můžete vyhodnotit √2 a √11 a najít přibližnou odpověď.

   Ruční výpočet druhé odmocniny

   Použití dlouhého dělení

   1. Tato metoda zahrnuje proces podobný dlouhému dělení a poskytuje přesnou odpověď. Nejprve nakreslete svislou čáru rozdělující list na dvě poloviny a poté vpravo a mírně pod horní okraj listu nakreslete vodorovnou čáru ke svislé čáře. Nyní rozdělte radikální číslo na dvojice čísel, počínaje zlomkovou částí za desetinnou čárkou. Takže číslo 79520789182.47897 je zapsáno jako "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Vypočítejme například druhou odmocninu z čísla 780,14. Nakreslete dvě čáry (jak je znázorněno na obrázku) a zapište dané číslo ve tvaru „7 80, 14“ vlevo nahoře. Je normální, že první číslice zleva je nepárová číslice. Odpověď (kořen tohoto čísla) napíšete vpravo nahoře.

   2. Pro první dvojici čísel (nebo jediné číslo) zleva najděte největší celé číslo n, jehož druhá mocnina je menší nebo rovna příslušné dvojici čísel (nebo jedinému číslu). Jinými slovy, najděte druhé číslo, které je nejbližší, ale menší než první pár čísel (nebo jediné číslo) zleva, a vezměte druhou odmocninu tohoto druhého čísla; dostanete číslo n. Napište n, které jste našli vpravo nahoře, a zapište druhou mocninu n vpravo dole.

      • V našem případě bude první číslo vlevo 7. Dále 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Odečtěte druhou mocninu čísla n, které jste právě našli, od první dvojice čísel (nebo jediného čísla) vlevo. Výsledek výpočtu zapište pod subtrahend (druhou mocninu čísla n).

      • V našem příkladu odečtěte 4 od 7 a dostanete 3.

   4. Sejměte druhou dvojici čísel a zapište ji vedle hodnoty získané v předchozím kroku. Potom zdvojnásobte číslo vpravo nahoře a výsledek zapište vpravo dole s přidáním "_×_=".

      • V našem příkladu je druhá dvojice čísel "80". Za 3 napište "80". Potom zdvojnásobte číslo vpravo nahoře a dostanete 4. Napište "4_×_=" vpravo dole.

   5. Vyplňte prázdná místa vpravo.

      • Pokud v našem případě dáme místo pomlček číslo 8, pak 48 x 8 = 384, což je více než 380. Proto je 8 příliš velké číslo, ale 7 bude stačit. Napište 7 místo pomlček a dostanete: 47 x 7 = 329. Napište 7 vpravo nahoře - to je druhá číslice v požadované druhé odmocnině čísla 780,14.

   6. Odečtěte výsledné číslo od aktuálního čísla vlevo. Výsledek z předchozího kroku zapiš pod aktuální číslo vlevo, najdi rozdíl a zapiš ho pod subtrahend.

      • V našem příkladu odečtěte 329 od 380, což se rovná 51.

   7. Opakujte krok 4. Pokud je přenášená dvojice čísel zlomková část původního čísla, vložte oddělovač (čárku) mezi celé číslo a zlomkovou část v požadované druhé odmocnině vpravo nahoře. Vlevo stáhněte další dvojici čísel. Zdvojnásobte číslo vpravo nahoře a výsledek zapište vpravo dole s přidáním "_×_=".

      • V našem příkladu bude další dvojicí čísel, která mají být odstraněna, zlomková část čísla 780,14, takže umístěte oddělovač celého čísla a zlomkové části do požadované druhé odmocniny vpravo nahoře. Sundejte 14 a napište to vlevo dole. Dvojité číslo vpravo nahoře (27) je 54, takže vpravo dole napište "54_×_=".

   8. Opakujte kroky 5 a 6. Najděte největší číslo na místě pomlček vpravo (místo pomlček je třeba dosadit stejné číslo), aby výsledek násobení byl menší nebo roven aktuálnímu číslu vlevo.

      • V našem příkladu je 549 x 9 = 4941, což je méně než aktuální číslo vlevo (5114). Vpravo nahoře napište 9 a od aktuálního čísla vlevo odečtěte výsledek násobení: 5114 - 4941 = 173.

   9. Pokud potřebujete najít více desetinných míst pro druhou odmocninu, napište několik nul nalevo od aktuálního čísla a opakujte kroky 4, 5 a 6. Opakujte kroky, dokud nezískáte přesnost odpovědi (počet desetinných míst). potřeba.

   Pochopení procesu

   Pro asimilaci tato metoda zamyslete se nad číslem, jehož druhou odmocninu chcete najít, jako plochu čtverce S. V tomto případě budete hledat délku strany L takového čtverce. Hodnotu L vypočítáme tak, že L² = S.

   Ke každému číslu v odpovědi uveďte písmeno. Označme A první číslici hodnoty L (požadovanou druhou odmocninu). B bude druhá číslice, C třetí a tak dále.

   Zadejte písmeno pro každou dvojici prvních číslic. Označme S a první dvojici číslic v hodnotě S, S b druhou dvojici číslic a tak dále.

   Pochopte souvislost mezi touto metodou a dlouhým dělením. Stejně jako při dělení, kde nás pokaždé zajímá pouze další číslice čísla, které dělíme, při výpočtu druhé odmocniny postupujeme přes dvojici číslic (abychom získali další číslici v hodnotě odmocniny ).

   1. Zvažte první dvojici číslic Sa čísla S (v našem příkladu Sa = 7) a najděte jeho druhou odmocninu. V tomto případě bude první číslicí A požadované druhé odmocniny číslice, jejíž druhá mocnina je menší nebo rovna S a (to znamená, že hledáme A takové, že nerovnost A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Řekněme, že potřebujeme vydělit 88962 7; zde bude první krok podobný: vezmeme v úvahu první číslici dělitelného čísla 88962 (8) a vybereme největší číslo, které po vynásobení 7 dá hodnotu menší nebo rovnou 8. To znamená, že hledáme číslo d, pro které platí nerovnost: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. V duchu si představte čtverec, jehož plochu musíte vypočítat. Hledáte L, tedy délku strany čtverce, jehož obsah se rovná S. A, B, C jsou čísla v čísle L. Můžete to napsat různě: 10A + B = L (pro dvoumístné číslo) nebo 100A + 10B + C = L (pro třímístné číslo) a tak dále.

      • Nechat (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Pamatujte, že 10A+B je číslo, ve kterém číslice B znamená jednotky a číslice A znamená desítky. Pokud například A=1 a B=2, pak 10A+B se rovná číslu 12. (10A+B)² je plocha celého náměstí, 100A²- plocha velkého vnitřního náměstí, B²- plocha malého vnitřního čtverce, 10A×B- plocha každého ze dvou obdélníků. Sečtením ploch popsaných obrazců zjistíte plochu původního čtverce.

Volá se nezáporná druhá odmocnina kladného čísla aritmetická odmocnina a označuje se pomocí radikálního znaménka.

Komplexní čísla

Nad oborem komplexních čísel existují vždy dvě řešení, lišící se pouze znaménkem (s výjimkou druhé odmocniny nuly). Kořen komplexního čísla se často označuje jako , ale tento zápis je třeba používat opatrně. Častá chyba:

Pro extrakci druhé odmocniny komplexního čísla je vhodné použít exponenciální formu zápisu komplexního čísla: if

kde kořen modulu je chápán ve smyslu aritmetické hodnoty a k může nabývat hodnot k=0 a k=1, takže odpověď končí dvěma různými výsledky.

Zobecnění

Odmocniny jsou zavedeny jako řešení rovnic tvaru pro další objekty: matice, funkce, operátory atd. Jako operaci lze použít zcela libovolné multiplikativní operace, například superpozici.

Druhá odmocnina v informatice

V mnoha programovacích jazycích na úrovni funkcí (stejně jako ve značkovacích jazycích, jako je LaTeX) se funkce druhé odmocniny zapisuje jako sqrt(z angličtiny odmocnina"Odmocnina").

Algoritmy pro hledání druhé odmocniny

Zavolá se nalezení nebo výpočet druhé odmocniny daného čísla těžba(odmocnina.

Rozšíření Taylorovy řady

Aritmetická druhá odmocnina

Pro druhé mocniny čísel platí následující rovnosti:

To znamená, že můžete zjistit celočíselnou část druhé odmocniny čísla tak, že od ní odečtete všechna lichá čísla v pořadí, dokud není zbytek menší než další odečtené číslo nebo se rovná nule, a spočítáte počet provedených akcí. Například takto:

Jsou dokončeny 3 kroky, druhá odmocnina z 9 je 3.

Nevýhodou této metody je, že pokud extrahovaný kořen není celé číslo, pak můžete zjistit pouze jeho celou část, ale ne přesněji. Zároveň je tato metoda docela dostupná dětem, které řeší jednoduché matematické úlohy vyžadující extrakci odmocniny.

Hrubý odhad

Mnoho algoritmů pro výpočet druhých odmocnin kladného reálného čísla S vyžadují nějakou počáteční hodnotu. Pokud je počáteční hodnota příliš daleko od skutečné hodnoty odmocniny, výpočty se zpomalí. Proto je užitečné mít hrubý odhad, který může být velmi nepřesný, ale lze jej snadno vypočítat. Li S≥ 1, let D bude počet číslic S nalevo od desetinné čárky. Li S < 1, пусть D bude počet po sobě jdoucích nul napravo od desetinné čárky se znaménkem mínus. Hrubý odhad pak vypadá takto:

Li D zvláštní, D = 2n+ 1, pak použijte Li D dokonce, D = 2n+ 2, pak použijte

Dva a šest se používají, protože A

Při práci v binárním systému (jako uvnitř počítačů) by se mělo použít jiné vyhodnocení (zde D je počet binárních číslic).

Geometrická druhá odmocnina

Pro ruční extrakci kořene se používá zápis podobný dlouhému dělení. Číslo, jehož kořen hledáme, se zapíše. Napravo od něj postupně získáme čísla požadovaného kořene. Vezměme odmocninu čísla s konečným počtem desetinných míst. Pro začátek, mentálně nebo se značkami, rozdělíme číslo N do skupin po dvou číslicích vlevo a vpravo od desetinné čárky. V případě potřeby jsou skupiny doplněny nulami - celočíselná část je doplněna vlevo, zlomková část vpravo. Takže 31234.567 může být reprezentováno jako 03 12 34. 56 70. Na rozdíl od dělení se demolice provádí v takových skupinách po 2 číslicích.

Vizuální popis algoritmu:

Fakt 1.
\(\bullet\) Vezměme nějaké nezáporné číslo \(a\) (tj. \(a\geqslant 0\) ). Potom (aritmetika) odmocnina z čísla \(a\) se nazývá takové nezáporné číslo \(b\) , při umocnění dostaneme číslo \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(stejné jako )\quad a=b^2\] Z definice vyplývá, že \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Tato omezení jsou důležitou podmínkou existence odmocniny a je třeba si je pamatovat!
Pamatujte si, že každé číslo na druhou dává nezáporný výsledek. To znamená, \(100^2=10000\geqslant 0\) a \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Čemu se rovná \(\sqrt(25)\)? Víme, že \(5^2=25\) a \((-5)^2=25\) . Protože podle definice musíme najít nezáporné číslo, pak \(-5\) není vhodné, proto \(\sqrt(25)=5\) (protože \(25=5^2\) ).
Nalezení hodnoty \(\sqrt a\) se nazývá převzetí druhé odmocniny čísla \(a\) a číslo \(a\) se nazývá radikální výraz.
\(\bullet\) Na základě definice výraz \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) atd. nedávají smysl.

Fakt 2.
Pro rychlé výpočty bude užitečné naučit se tabulku druhých mocnin přirozených čísel od \(1\) do \(20\) : \[\begin(pole)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(pole)\]

Fakt 3.
Jaké operace můžete dělat s odmocninami?
\(\kulka\) Součet nebo rozdíl odmocnin NENÍ ROVNÝ odmocnině součtu nebo rozdílu, tzn \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Pokud tedy potřebujete vypočítat například \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , musíte nejprve najít hodnoty \(\sqrt(25)\) a \(\ sqrt(49)\ ) a poté je složte. Proto, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Pokud při přidávání \(\sqrt a+\sqrt b\) nelze najít hodnoty \(\sqrt a\) nebo \(\sqrt b\), pak se takový výraz dále netransformuje a zůstane tak, jak je. Například v součtu \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) můžeme najít \(\sqrt(49)\) je \(7\) , ale \(\sqrt 2\) nelze transformovat do v žádném případě, proto \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Bohužel tento výraz nelze dále zjednodušit\(\bullet\) Součin/podíl odmocnin se rovná druhé odmocnině součinu/podílu, tzn. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (za předpokladu, že obě strany rovnosti dávají smysl)
Příklad: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Pomocí těchto vlastností je vhodné najít druhé odmocniny velkých čísel jejich rozkladem.
Podívejme se na příklad. Pojďme najít \(\sqrt(44100)\) . Od \(44100:100=441\) , pak \(44100=100\cdot 441\) . Podle kritéria dělitelnosti je číslo \(441\) dělitelné \(9\) (protože součet jeho číslic je 9 a je dělitelný 9), proto \(441:9=49\), tedy \(441=9\ cdot 49\) .
Tak jsme dostali: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Podívejme se na další příklad: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Ukažme si, jak zadávat čísla pod odmocninu na příkladu výrazu \(5\sqrt2\) (krátký zápis pro výraz \(5\cdot \sqrt2\)). Protože \(5=\sqrt(25)\) , tak \ Všimněte si také, že např.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

proč tomu tak je? Vysvětlíme na příkladu 1). Jak již chápete, nemůžeme nějak transformovat číslo \(\sqrt2\). Představme si, že \(\sqrt2\) je nějaké číslo \(a\) . V souladu s tím výraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) není nic jiného než \(a+3a\) (jedno číslo \(a\) plus tři další stejná čísla \(a\)). A víme, že se to rovná čtyřem takovým číslům \(a\) , tedy \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Často říkají „nemůžete extrahovat kořen“, když se při hledání hodnoty čísla nemůžete zbavit znaménka \(\sqrt () \ \) kořene (radikálu) . Například můžete vzít odmocninu čísla \(16\), protože \(16=4^2\) , tedy \(\sqrt(16)=4\) . Je však nemožné extrahovat odmocninu čísla \(3\), tedy najít \(\sqrt3\), protože neexistuje žádné číslo, které by umocněno dalo \(3\) .
Taková čísla (nebo výrazy s takovými čísly) jsou iracionální. Například čísla \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) a tak dále. jsou iracionální.
Iracionální jsou také čísla \(\pi\) (číslo „pi“, přibližně rovno \(3,14\)), \(e\) (toto číslo se nazývá Eulerovo číslo, je přibližně rovno \(2,7) \)) atd.
\(\bullet\) Upozorňujeme, že jakékoli číslo bude buď racionální, nebo iracionální. A dohromady všechna racionální a všechna iracionální čísla tvoří množinu tzv množina reálných čísel. Tato množina je označena písmenem \(\mathbb(R)\) .
To znamená, že všechna čísla, která v současnosti známe, se nazývají reálná čísla.

Fakt 5.
\(\bullet\) Modul reálného čísla \(a\) je nezáporné číslo \(|a|\) rovné vzdálenosti od bodu \(a\) do \(0\) na skutečná čára. Například \(|3|\) a \(|-3|\) se rovnají 3, protože vzdálenosti od bodů \(3\) a \(-3\) do \(0\) jsou stejné a rovné \(3 \) .
\(\bullet\) Jestliže \(a\) je nezáporné číslo, pak \(|a|=a\) .
Příklad: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jestliže \(a\) je záporné číslo, pak \(|a|=-a\) .
Příklad: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Říká se, že pro záporná čísla modul „sežere“ mínus, zatímco kladná čísla a také číslo \(0\) modul ponechá beze změny.
ALE Toto pravidlo platí pouze pro čísla. Pokud je pod vaším znaménkem modulu neznámá \(x\) (nebo nějaká jiná neznámá), například \(|x|\) , o které nevíme, zda je kladná, nulová nebo záporná, pak se zbavte modulu nemůžeme. V tomto případě tento výraz zůstává stejný: \(|x|\) . \(\bullet\) Platí následující vzorce: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(poskytováno) a\geqslant 0\] Velmi často dochází k následující chybě: říkají, že \(\sqrt(a^2)\) a \((\sqrt a)^2\) jsou jedno a totéž. To platí pouze v případě, že \(a\) je kladné číslo nebo nula. Ale pokud je \(a\) záporné číslo, pak je to nepravda. Stačí vzít v úvahu tento příklad. Vezměme místo \(a\) číslo \(-1\) . Potom \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ale výraz \((\sqrt (-1))^2\) vůbec neexistuje (koneckonců, není možné použít kořenový znak dejte záporná čísla!).
Proto upozorňujeme na skutečnost, že \(\sqrt(a^2)\) se nerovná \((\sqrt a)^2\) ! Příklad: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), protože \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Protože \(\sqrt(a^2)=|a|\) , pak \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (výraz \(2n\) označuje sudé číslo)
To znamená, že když vezmeme odmocninu čísla, které je do určité míry, tento stupeň se zmenší na polovinu.
Příklad:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (všimněte si, že pokud modul není dodán, ukáže se, že kořen čísla je roven \(-25\) ); ale pamatujeme si, že podle definice kořene se to nemůže stát: při extrakci kořene bychom měli vždy dostat kladné číslo nebo nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (protože jakékoli číslo na sudou mocninu není záporné)

Fakt 6.
Jak porovnat dvě odmocniny?
\(\bullet\) Pro odmocniny platí: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPříklad:
1) porovnejte \(\sqrt(50)\) a \(6\sqrt2\) . Nejprve transformujme druhý výraz na \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Takže od \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Mezi jakými celými čísly se nachází \(\sqrt(50)\)?
Protože \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) a \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Porovnejme \(\sqrt 2-1\) a \(0,5\) . Předpokládejme, že \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(zarovnáno) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((přidejte jednu na obě strany))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((zarovnání na obě strany)\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(zarovnáno)\] Vidíme, že jsme dostali nesprávnou nerovnost. Náš předpoklad byl tedy nesprávný a \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Všimněte si, že přidání určitého čísla na obě strany nerovnosti neovlivní její znaménko. Násobení/dělení obou stran nerovnosti kladným číslem také neovlivní její znaménko, ale násobení/dělení záporným číslem znaménko nerovnosti obrátí!
Obě strany rovnice/nerovnice můžete odmocnit POUZE POKUD jsou obě strany nezáporné. Například v nerovnosti z předchozího příkladu můžete odmocnit obě strany, v nerovnosti \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Je třeba si to zapamatovat \[\začátek(zarovnáno) &\sqrt 2\přibližně 1,4\\ &\sqrt 3\přibližně 1,7 \konec (zarovnáno)\] Znalost přibližného významu těchto čísel vám pomůže při porovnávání čísel! \(\bullet\) Abyste mohli extrahovat odmocninu (pokud ji lze extrahovat) z nějakého velkého čísla, které není v tabulce čtverců, musíte nejprve určit, mezi kterými „stovkami“ se nachází, poté – mezi kterými „ desítky“ a poté určete poslední číslici tohoto čísla. Ukažme si, jak to funguje na příkladu.
Vezměme \(\sqrt(28224)\) . Víme, že \(100^2=10\000\), \(200^2=40\000\) atd. Všimněte si, že \(28224\) je mezi \(10\,000\) a \(40\,000\) . Proto je \(\sqrt(28224)\) mezi \(100\) a \(200\) .
Nyní určíme, mezi kterými „desítkami“ se naše číslo nachází (tedy například mezi \(120\) a \(130\)). Také z tabulky čtverců víme, že \(11^2=121\) , \(12^2=144\) atd., pak \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ), \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Vidíme tedy, že \(28224\) je mezi \(160^2\) a \(170^2\) . Proto je číslo \(\sqrt(28224)\) mezi \(160\) a \(170\) .
Zkusme určit poslední číslici. Připomeňme si, jaká jednociferná čísla po odmocnění dávají na konci \(4\)? Jsou to \(2^2\) a \(8^2\) . Proto \(\sqrt(28224)\) skončí buď 2, nebo 8. Pojďme to zkontrolovat. Pojďme najít \(162^2\) a \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Proto \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

K adekvátnímu vyřešení Jednotné státní zkoušky z matematiky je nutné nejprve prostudovat teoretický materiál, který vás seznámí s mnoha větami, vzorci, algoritmy atd. Na první pohled se může zdát, že je to docela jednoduché. Najít zdroj, ve kterém by byla teorie pro Jednotnou státní zkoušku z matematiky prezentována jednoduchým a srozumitelným způsobem pro studenty jakékoli úrovně vzdělání, je však ve skutečnosti poměrně obtížný úkol. Školní učebnice nelze mít vždy po ruce. A najít základní vzorce pro Jednotnou státní zkoušku z matematiky může být obtížné i na internetu.

Proč je tak důležité studovat teorii v matematice nejen pro ty, kteří skládají jednotnou státní zkoušku?

1. Protože vám to rozšíří obzory. Studium teoretického materiálu v matematice je užitečné pro každého, kdo chce získat odpovědi na širokou škálu otázek souvisejících se znalostí okolního světa. Vše v přírodě je uspořádané a má jasnou logiku. Právě to se odráží ve vědě, jejímž prostřednictvím je možné porozumět světu.
2. Protože rozvíjí inteligenci. Studiem referenčních materiálů k jednotné státní zkoušce z matematiky a řešením různých problémů se člověk učí logicky myslet a uvažovat, kvalifikovaně a jasně formulovat myšlenky. Rozvíjí schopnost analyzovat, zobecňovat a vyvozovat závěry.

Zveme vás k osobnímu posouzení všech výhod našeho přístupu k systematizaci a prezentaci vzdělávacích materiálů.