Pro úspěšné použití operace extrakce kořene v praxi je třeba se seznámit s vlastnostmi této operace.
Všechny vlastnosti jsou formulovány a prokázány pouze pro nezáporné hodnoty proměnných obsažených pod znaménky kořenů.

Věta 1. N-tá odmocnina (n=2, 3, 4,...) součinu dvou nezáporných žetonů se rovná součinu n-tých odmocnin těchto čísel:

Komentář:

1. Věta 1 zůstává platná pro případ, kdy je radikální výraz součinem více než dvou nezáporných čísel.

Věta 2.Li, a n je přirozené číslo větší než 1, pak je rovnost pravdivá

Věta 1 nám umožňuje t vynásobit pouze kořeny stejného stupně , tj. pouze kořeny se stejným indexem.

Věta 3.Pokud ,k je přirozené číslo a n je přirozené číslo větší než 1, pak platí rovnost

Jinými slovy, abychom pozdvihli kořen k přirozené síle, stačí k této síle pozvednout radikální výraz.
To je důsledek věty 1. Ve skutečnosti například pro k = 3 dostáváme: Úplně stejným způsobem můžeme uvažovat v případě jakékoli jiné přirozené hodnoty exponentu k.

Věta 4.Pokud ,k, n jsou přirozená čísla větší než 1, pak je rovnost pravdivá

Jinými slovy, k extrakci kořene z kořene stačí vynásobit ukazatele kořenů.
Například,

Buď opatrný! Dozvěděli jsme se, že s kořeny lze provádět čtyři operace: násobení, dělení, umocňování a extrakci odmocniny (z kořene). Ale co sčítání a odečítání odmocnin? V žádném případě.
Například místo psaní Opravdu, ale je zřejmé, že

Věta 5.Pokud ukazatele kořenového a radikálového vyjádření se vynásobí nebo vydělí stejným přirozeným číslem, pak se hodnota kořene nezmění, tzn.

Příklady řešení problémů

Příklad 2 Vypočítat
Řešení. Převeďte smíšené číslo na nesprávný zlomek.
Máme Použití druhé vlastnosti kořenů ( Věta 2 ), dostaneme:

Příklad 3 Vypočítat:

Řešení. Jakýkoli vzorec v algebře, jak dobře víte, se používá nejen „zleva doprava“, ale také „zprava doleva“. První vlastnost kořenů tedy znamená, že mohou být reprezentovány ve tvaru a naopak mohou být nahrazeny výrazem. Totéž platí pro druhou vlastnost kořenů. Vezmeme-li toto v úvahu, provedeme výpočty.

Gratulujeme: dnes se podíváme na kořeny - jedno z nejvíce ohromujících témat v 8. třídě. :)

Mnoho lidí je zmateno kořeny, ne proto, že jsou složité (co je na tom tak složitého – pár definic a pár dalších vlastností), ale protože ve většině školních učebnic jsou kořeny definovány v takové džungli, že jen autoři učebnic sami mohou tomuto psaní rozumět. A i to jen s lahví dobré whisky. :)

Proto nyní uvedu nejsprávnější a nejkompetentnější definici kořene - jedinou, kterou byste si opravdu měli pamatovat. A pak vysvětlím: proč je to všechno potřeba a jak to aplikovat v praxi.

Nejprve si však zapamatujte jeden důležitý bod, na který mnoho kompilátorů učebnic z nějakého důvodu „zapomíná“:

Kořeny mohou být sudého stupně (naše oblíbené $\sqrt(a)$, stejně jako všechny druhy $\sqrt(a)$ a sudé $\sqrt(a)$) a liché stupně (všechny druhy $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ atd.). A definice kořene lichého stupně je poněkud odlišná od sudého.

Pravděpodobně 95 % všech chyb a nedorozumění spojených s kořeny je skryto v tomto zasraném „poněkud jiném“. Pojďme si tedy jednou provždy ujasnit terminologii:

Definice. Dokonce i root n od čísla $a$ je libovolné nezápornéčíslo $b$ je takové, že $((b)^(n))=a$. A lichá odmocnina stejného čísla $a$ je obecně jakékoli číslo $b$, pro které platí stejná rovnost: $((b)^(n))=a$.

V každém případě je kořen označen takto:

\(A)\]

Číslo $n$ v takovém zápisu se nazývá kořenový exponent a číslo $a$ se nazývá radikální výraz. Konkrétně pro $n=2$ dostaneme naši „oblíbenou“ druhou odmocninu (mimochodem, toto je odmocnina sudého stupně) a pro $n=3$ dostaneme krychlovou odmocninu (lichý stupeň), což je také často nalezený v úlohách a rovnicích.

Příklady. Klasické příklady odmocnin:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(zarovnat)\]

Mimochodem, $\sqrt(0)=0$ a $\sqrt(1)=1$. To je celkem logické, protože $((0)^(2))=0$ a $((1)^(2))=1$.

Časté jsou také kostkové kořeny - není třeba se jich bát:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(zarovnat)\]

No, pár "exotických příkladů":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(zarovnat)\]

Pokud nechápete, jaký je rozdíl mezi sudým a lichým stupněm, přečtěte si definici znovu. Je to velmi důležité!

Mezitím se podíváme na jednu nepříjemnou vlastnost kořenů, kvůli které jsme potřebovali zavést samostatnou definici pro sudé a liché exponenty.

Proč jsou kořeny vůbec potřeba?

Po přečtení definice se mnoho studentů zeptá: „Co matematici kouřili, když na to přišli? A skutečně: proč jsou všechny tyto kořeny vůbec potřeba?

Abychom na tuto otázku odpověděli, vraťme se na chvíli do základní školy. Pamatujte: v oněch vzdálených časech, kdy byly stromy zelenější a knedlíky chutnější, nám šlo hlavně o správné vynásobení čísel. No, něco jako „pět na pět – dvacet pět“, to je vše. Čísla však můžete násobit nikoli ve dvojicích, ale v trojicích, čtveřicích a obecně celých množinách:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

O to však nejde. Trik je jiný: matematici jsou líní lidé, takže měli problém zapsat násobení deseti pěti takto:

Proto přišli s tituly. Proč nenapsat počet faktorů jako horní index místo dlouhého řetězce? Něco takového:

Je to velmi pohodlné! Všechny výpočty jsou výrazně zredukovány a nemusíte plýtvat hromadou listů pergamenu a sešitů, abyste si zapsali nějakých 5 183. Tomuto záznamu se říkalo síla čísla, našla se v něm spousta vlastností, ale ukázalo se, že štěstí bylo krátkodobé.

Po grandiózním pijáckém večírku, který byl zorganizován právě za účelem „objevení“ stupňů, se náhle nějaký zvlášť tvrdohlavý matematik zeptal: „Co když známe stupeň čísla, ale samotné číslo neznáme? Pokud tedy skutečně víme, že určité číslo $b$, řekněme, na 5. mocninu dává 243, jak pak můžeme hádat, čemu se rovná samotné číslo $b$?

Tento problém se ukázal být mnohem globálnější, než by se na první pohled mohlo zdát. Protože se ukázalo, že pro většinu „hotových“ mocností žádná taková „počáteční“ čísla neexistují. Posuďte sami:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Šipka doprava b=4\cdot 4\cdot 4\Šipka doprava b=4. \\ \end(zarovnat)\]

Co když $((b)^(3))=50 $? Ukazuje se, že potřebujeme najít určité číslo, které nám po vynásobení třikrát samo o sobě dá 50. Co je to ale za číslo? Je zřetelně větší než 3, protože 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. To je toto číslo leží někde mezi třemi a čtyřmi, ale nebudete rozumět, čemu se rovná.

To je přesně důvod, proč matematici přišli s $n$-tými kořeny. To je přesně důvod, proč byl zaveden radikální symbol $\sqrt(*)$. Označit samotné číslo $b$, které nám v uvedené míře dá dříve známou hodnotu

\[\sqrt[n](a)=b\Šipka doprava ((b)^(n))=a\]

Nehádám se: tyto kořeny se často dají snadno vypočítat - výše jsme viděli několik takových příkladů. Ale přesto, ve většině případů, když si vzpomenete na libovolné číslo a pak se z něj pokusíte extrahovat kořen libovolného stupně, čeká vás strašný průšvih.

Co je tam! Dokonce ani nejjednodušší a nejznámější $\sqrt(2)$ nelze reprezentovat v naší obvyklé podobě - ​​jako celé číslo nebo zlomek. A pokud toto číslo zadáte do kalkulačky, uvidíte toto:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Jak vidíte, za desetinnou čárkou je nekonečná posloupnost čísel, která se neřídí žádnou logikou. Toto číslo můžete samozřejmě zaokrouhlit a rychle porovnat s jinými čísly. Například:

\[\sqrt(2)=1,4142...\přibližně 1,4 \lt 1,5\]

Nebo zde je další příklad:

\[\sqrt(3)=1,73205...\přibližně 1,7 \gt 1,5\]

Ale všechna tato zaoblení jsou za prvé dost hrubá; a za druhé je potřeba umět pracovat i s přibližnými hodnotami, jinak můžete chytit hromadu nezjevných chyb (mimochodem, dovednost porovnávání a zaokrouhlování je potřeba vyzkoušet na profilu Jednotná státní zkouška).

V seriózní matematice se proto bez kořenů neobejdete - jsou to stejní rovní zástupci množiny všech reálných čísel $\mathbb(R)$, stejně jako zlomky a celá čísla, která jsou nám už dávno známá.

Neschopnost reprezentovat kořen jako zlomek tvaru $\frac(p)(q)$ znamená, že tento kořen není racionální číslo. Taková čísla se nazývají iracionální a nelze je přesně znázornit jinak než pomocí radikálu nebo jiných konstrukcí speciálně k tomu určených (logaritmy, mocniny, limity atd.). Ale o tom zase jindy.

Uvažujme několik příkladů, kdy po všech výpočtech zůstanou v odpovědi iracionální čísla.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\cca 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\cca -1,2599... \\ \end(align)\]

Přirozeně, ze vzhledu kořene je téměř nemožné odhadnout, jaká čísla budou následovat za desetinnou čárkou. Můžete se však spolehnout na kalkulačku, ale i ta nejpokročilejší datová kalkulačka nám poskytne pouze prvních pár číslic iracionálního čísla. Proto je mnohem správnější psát odpovědi ve tvaru $\sqrt(5)$ a $\sqrt(-2)$.

To je přesně důvod, proč byly vynalezeny. Pro pohodlné zaznamenávání odpovědí.

Proč jsou potřeba dvě definice?

Pozorný čtenář si již pravděpodobně všiml, že všechny odmocniny uvedené v příkladech jsou převzaty z kladných čísel. Tedy alespoň od nuly. Ale krychlové kořeny lze klidně extrahovat z absolutně jakéhokoli čísla - ať už pozitivního nebo negativního.

Proč se tohle děje? Podívejte se na graf funkce $y=((x)^(2))$:

Zkusme spočítat $\sqrt(4)$ pomocí tohoto grafu. K tomu je na grafu nakreslena vodorovná čára $y=4$ (označená červeně), která se protíná s parabolou ve dvou bodech: $((x)_(1))=2$ a $((x). )_(2)) = -2 $. To je celkem logické, protože

S prvním číslem je vše jasné - je kladné, takže je to kořen:

Ale co potom dělat s druhým bodem? Jako čtyři má dva kořeny najednou? Když totiž odmocníme číslo −2, dostaneme také 4. Proč tedy nenapsat $\sqrt(4)=-2$? A proč se učitelé na takové příspěvky dívají, jako by tě chtěli sežrat? :)

Problém je v tom, že pokud neuložíte žádné další podmínky, pak bude mít čtveřice dvě odmocniny - kladnou a zápornou. A každé kladné číslo bude mít také dvě z nich. Ale záporná čísla nebudou mít vůbec žádné kořeny - to lze vidět ze stejného grafu, protože parabola nikdy neklesne pod osu y, tj. nepřijímá záporné hodnoty.

Podobný problém nastává pro všechny kořeny se sudým exponentem:

1. Přísně vzato, každé kladné číslo bude mít dva kořeny se sudým exponentem $n$;
2. Ze záporných čísel není odmocnina se sudým $n$ vůbec extrahována.

Proto je v definici odmocniny sudého stupně $n$ specificky stanoveno, že odpověď musí být nezáporné číslo. Tím se zbavíme nejednoznačnosti.

Ale pro liché $n$ takový problém není. Abychom to viděli, podívejme se na graf funkce $y=((x)^(3))$:

Z tohoto grafu lze vyvodit dva závěry:

1. Větve kubické paraboly na rozdíl od běžné jdou do nekonečna oběma směry – nahoru i dolů. Proto ať nakreslíme vodorovnou čáru v jakékoli výšce, tato čára se jistě protne s naším grafem. V důsledku toho lze odmocninu vždy extrahovat z absolutně libovolného čísla;
2. Kromě toho bude taková křižovatka vždy jedinečná, takže nemusíte přemýšlet o tom, které číslo je považováno za „správný“ kořen a které ignorovat. Proto je určování kořenů pro lichý stupeň jednodušší než pro sudý stupeň (není zde požadavek na nezápornost).

Škoda, že tyto jednoduché věci nejsou ve většině učebnic vysvětleny. Místo toho náš mozek začne stoupat se všemi druhy aritmetických kořenů a jejich vlastností.

Ano, nehádám se: musíte také vědět, co je aritmetický kořen. A o tom budu podrobně mluvit v samostatné lekci. Dnes si o ní také povíme, protože bez ní by byly všechny úvahy o kořenech $n$-té násobnosti neúplné.

Nejprve však musíte jasně porozumět definici, kterou jsem uvedl výše. V opačném případě vám díky přemíru pojmů začne v hlavě takový nepořádek, že nakonec nebudete rozumět vůbec ničemu.

Vše, co musíte udělat, je pochopit rozdíl mezi sudými a lichými ukazateli. Pojďme si proto ještě jednou shromáždit vše, co opravdu potřebujete vědět o kořenech:

1. Odmocnina sudého stupně existuje pouze z nezáporného čísla a sama je vždy nezáporným číslem. Pro záporná čísla není takový kořen definován.
2. Odmocnina lichého stupně však existuje z libovolného čísla a sama o sobě může být libovolné číslo: pro kladná čísla je kladná a pro záporná čísla, jak naznačuje čepice, záporná.

Je to těžké? Ne, není to těžké. To je jasné? Ano, je to zcela zřejmé! Nyní si tedy trochu procvičíme s výpočty.

Základní vlastnosti a omezení

Kořeny mají mnoho podivných vlastností a omezení – o tom bude řeč v samostatné lekci. Proto nyní zvážíme pouze nejdůležitější „trik“, který se vztahuje pouze na kořeny se sudým indexem. Zapišme tuto vlastnost jako vzorec:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\vpravo|\]

Jinými slovy, pokud umocníme číslo na sudou mocninu a poté vyjmeme odmocninu stejné mocniny, nedostaneme původní číslo, ale jeho modul. Jedná se o jednoduchou větu, kterou lze snadno dokázat (stačí uvažovat zvlášť nezáporné $x$ a poté zvlášť záporné). Učitelé o tom neustále mluví, je to uvedeno v každé školní učebnici. Jakmile ale dojde na řešení iracionálních rovnic (tj. rovnic obsahujících radikálové znaménko), studenti tento vzorec jednomyslně zapomínají.

Abychom problému porozuměli podrobně, zapomeňme na minutu všechny vzorce a zkusme vypočítat dvě čísla rovnou:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Toto jsou velmi jednoduché příklady. Většina lidí vyřeší první příklad, ale mnoho lidí se zasekne u druhého. Chcete-li takové svinstvo vyřešit bez problémů, vždy zvažte postup:

1. Nejprve se číslo zvýší na čtvrtou mocninu. No, je to trochu snadné. Dostanete nové číslo, které najdete i v násobilce;
2. A nyní z tohoto nového čísla je nutné extrahovat čtvrtý kořen. Tito. nedochází k žádné „redukci“ odmocnin a mocnin – jedná se o sekvenční akce.

Podívejme se na první výraz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Je zřejmé, že nejprve musíte vypočítat výraz pod kořenem:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Potom vyjmeme čtvrtou odmocninu čísla 81:

Nyní udělejme totéž s druhým výrazem. Nejprve zvýšíme číslo −3 na čtvrtou mocninu, což vyžaduje vynásobení samo sebou 4krát:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ vlevo(-3 \vpravo)=81\]

Dostali jsme kladné číslo, protože celkový počet mínusů v součinu je 4 a všechna se navzájem vyruší (koneckonců mínus za mínus dává plus). Poté znovu extrahujeme kořen:

V zásadě tento řádek nemohl být napsán, protože není jasné, že odpověď bude stejná. Tito. sudý kořen stejné sudé síly „spálí“ mínusy a v tomto smyslu je výsledek k nerozeznání od běžného modulu:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \vpravo|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \vpravo|=3. \\ \end(zarovnat)\]

Tyto výpočty jsou v dobré shodě s definicí odmocniny sudého stupně: výsledek je vždy nezáporný a znaménko radikálu také vždy obsahuje nezáporné číslo. V opačném případě není kořenový adresář definován.

Poznámka k postupu

1. Zápis $\sqrt(((a)^(2)))$ znamená, že nejprve odmocníme číslo $a$ a poté vezmeme druhou odmocninu výsledné hodnoty. Proto si můžeme být jisti, že pod kořenovým znaménkem je vždy nezáporné číslo, protože $((a)^(2))\ge 0$ v každém případě;
2. Ale zápis $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ naopak znamená, že nejprve vezmeme odmocninu z určitého čísla $a$ a teprve potom výsledek odmocnime. Proto číslo $a$ nemůže být v žádném případě záporné - to je povinný požadavek zahrnutý v definici.

V žádném případě by se tedy nemělo bezmyšlenkovitě redukovat kořeny a stupně, a tím údajně „zjednodušit“ původní výraz. Protože pokud má odmocnina záporné číslo a jeho exponent je sudý, dostaneme spoustu problémů.

Všechny tyto problémy jsou však relevantní pouze pro sudé ukazatele.

Odstranění znaménka mínus z kořenového znaménka

Odmocniny s lichými exponenty mají přirozeně také svůj vlastní rys, který u sudých v zásadě neexistuje. A to:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Stručně řečeno, můžete odstranit mínus pod znaménkem kořenů lichého stupně. Toto je velmi užitečná vlastnost, která vám umožní „vyhodit“ všechny nevýhody:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(zarovnat)\]

Tato jednoduchá vlastnost značně zjednodušuje mnoho výpočtů. Nyní se nemusíte obávat: co kdyby byl pod kořenem skrytý negativní výraz, ale stupeň u kořene se ukázal být sudý? Stačí jen „vyhodit“ všechny mínusy mimo kořeny, načež se mohou navzájem násobit, dělit a celkově dělat mnoho podezřelých věcí, které nás v případě „klasických“ kořenů zaručeně dovedou k chyba.

A zde přichází na scénu další definice – stejná, se kterou na většině škol začínají studium iracionálních výrazů. A bez nichž by naše úvahy byly neúplné. Setkat!

Aritmetický kořen

Předpokládejme na chvíli, že pod kořenovým znaménkem mohou být pouze kladná čísla nebo v extrémních případech nula. Zapomeňme na sudé/liché ukazatele, zapomeňme na všechny výše uvedené definice – budeme pracovat pouze s nezápornými čísly. Co pak?

A pak dostaneme aritmetický kořen - částečně se překrývá s našimi „standardními“ definicemi, ale stále se od nich liší.

Definice. Aritmetický kořen $n$-tého stupně nezáporného čísla $a$ je nezáporné číslo $b$ takové, že $((b)^(n))=a$.

Jak vidíme, parita nás již nezajímá. Místo toho se objevilo nové omezení: radikální výraz je nyní vždy nezáporný a samotný kořen je také nezáporný.

Abyste lépe pochopili, jak se aritmetický kořen liší od obvyklého, podívejte se na grafy čtvercové a kubické paraboly, které již známe:

Jak vidíte, odteď nás zajímají pouze ty kousky grafů, které se nacházejí v první souřadnicové čtvrtině – kde jsou souřadnice $x$ a $y$ kladné (nebo alespoň nulové). Už se nemusíte dívat na indikátor, abyste pochopili, zda máme právo umístit záporné číslo pod kořen nebo ne. Protože se zápornými čísly se už v zásadě nepočítá.

Můžete se zeptat: "No, proč potřebujeme takovou kastrovanou definici?" Nebo: "Proč si nemůžeme vystačit se standardní definicí uvedenou výše?"

Uvedu jen jednu vlastnost, kvůli které se nová definice stává vhodnou. Například pravidlo pro umocňování:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Pozor: radikální výraz můžeme umocnit na libovolnou mocninu a zároveň vynásobit kořenový exponent stejnou mocninou – a výsledkem bude stejné číslo! Zde jsou příklady:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Takže o co jde? Proč jsme to nemohli udělat dříve? Zde je důvod. Uvažujme jednoduchý výraz: $\sqrt(-2)$ - toto číslo je v našem klasickém chápání zcela normální, ale z hlediska aritmetického kořene absolutně nepřijatelné. Zkusme to převést:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Jak vidíte, v prvním případě jsme odstranili mínus pod radikálem (máme plné právo, protože exponent je lichý) a ve druhém případě jsme použili výše uvedený vzorec. Tito. Z matematického hlediska se vše děje podle pravidel.

WTF?! Jak může být stejné číslo kladné i záporné? V žádném případě. Jde jen o to, že vzorec pro umocňování, který skvěle funguje pro kladná čísla a nulu, začíná v případě záporných čísel vytvářet úplnou herezi.

Právě proto, aby se zbavili takové nejednoznačnosti, byly vynalezeny aritmetické kořeny. Je jim věnována samostatná velká lekce, kde se podrobně zabýváme všemi jejich vlastnostmi. Takže se jimi teď nebudeme zabývat - lekce se již ukázala jako příliš dlouhá.

Algebraický kořen: pro ty, kteří chtějí vědět více

Dlouho jsem přemýšlel, zda dát toto téma do samostatného odstavce nebo ne. Nakonec jsem se rozhodl to tu nechat. Tento materiál je určen pro ty, kteří chtějí ještě lépe porozumět kořenům - již ne na průměrné „školní“ úrovni, ale na úrovni blízké olympiádě.

Takže: kromě „klasické“ definice $n$-té odmocniny čísla a souvisejícího dělení na sudé a liché exponenty existuje ještě „dospělejší“ definice, která vůbec nezávisí na paritě a dalších jemnostech. Tomu se říká algebraický kořen.

Definice. Algebraická $n$-tá odmocnina libovolného $a$ je množina všech čísel $b$ tak, že $((b)^(n))=a$. Pro takové kořeny neexistuje žádné zavedené označení, takže navrch dáme pomlčku:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \vpravo. \vpravo\) \]

Zásadní rozdíl oproti standardní definici uvedené na začátku lekce je v tom, že algebraický kořen není konkrétní číslo, ale množina. A protože pracujeme s reálnými čísly, tato sada se dodává pouze ve třech typech:

1. Prázdná sada. Vyskytuje se, když potřebujete najít algebraický kořen sudého stupně ze záporného čísla;
2. Sada skládající se z jednoho jediného prvku. Všechny kořeny lichých mocnin, stejně jako kořeny sudých mocnin nuly, spadají do této kategorie;
3. Nakonec může sada obsahovat dvě čísla – stejná čísla $((x)_(1))$ a $((x)_(2))=-((x)_(1))$, která jsme viděli na graf kvadratické funkce. Podle toho je takové uspořádání možné pouze při extrakci odmocniny sudého stupně z kladného čísla.

Poslední případ si zaslouží podrobnější zvážení. Pojďme si spočítat pár příkladů, abychom pochopili rozdíl.

Příklad. Vyhodnoťte výrazy:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Řešení. První výraz je jednoduchý:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Jedná se o dvě čísla, která jsou součástí sady. Protože každá z nich na druhou dává čtyřku.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Zde vidíme množinu skládající se pouze z jednoho čísla. To je celkem logické, protože kořenový exponent je lichý.

Konečně poslední výraz:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Dostali jsme prázdnou sadu. Protože neexistuje jediné reálné číslo, které nám po zvýšení na čtvrtou (tj. sudou!) mocninu dá záporné číslo −16.

Závěrečná poznámka. Pozor: ne náhodou jsem všude poznamenal, že pracujeme s reálnými čísly. Protože tam jsou i komplexní čísla - dá se tam docela dobře spočítat $\sqrt(-16)$ a spousta dalších divných věcí.

V moderních školních matematických kurzech se však komplexní čísla téměř nikdy neobjevují. Z většiny učebnic byly odstraněny, protože naši úředníci považují toto téma za „příliš obtížné na pochopení“.

To je vše. V další lekci se podíváme na všechny klíčové vlastnosti odmocnin a nakonec se naučíme, jak zjednodušit iracionální výrazy. :)

Zveřejněno na našem webu. Při různých výpočtech se často používá odmocnina z čísla a naše kalkulačka je pro takové matematické výpočty vynikajícím nástrojem.

Online kalkulačka s kořeny vám umožní rychle a snadno provádět jakékoli výpočty zahrnující extrakci kořenů. Třetí odmocninu lze vypočítat stejně snadno jako druhou odmocninu čísla, odmocninu záporného čísla, odmocninu komplexního čísla, odmocninu z pí atd.

Výpočet kořene čísla je možný ručně. Pokud je možné vypočítat celou odmocninu čísla, pak jednoduše zjistíme hodnotu radikálního výrazu pomocí tabulky odmocnin. V jiných případech přibližný výpočet odmocnin spočívá v rozkladu radikálního výrazu na součin jednodušších faktorů, kterými jsou mocniny a lze je odstranit znaménkem odmocniny, čímž se výraz pod odmocninou maximálně zjednoduší.

Ale neměli byste používat toto kořenové řešení. A právě proto. Za prvé, budete muset strávit spoustu času na takových výpočtech. Čísla v kořenu, nebo přesněji, výrazy mohou být poměrně složité a stupeň nemusí být nutně kvadratický nebo kubický. Za druhé, přesnost takových výpočtů není vždy uspokojivá. A do třetice existuje online kalkulačka kořenů, která za vás udělá jakoukoli extrakci kořenů během několika sekund.

Extrahovat odmocninu z čísla znamená najít číslo, které se po umocnění n bude rovnat hodnotě radikálního výrazu, kde n je mocnina odmocniny a samotné číslo je základem vykořenit. Odmocnina 2. stupně se nazývá jednoduchá nebo čtvercová a odmocnina třetího stupně se nazývá kubická, přičemž v obou případech se vynechává označení stupně.

Řešení kořenů v online kalkulačce spočívá v pouhém zápisu matematického výrazu do vstupního řádku. Extrahování odmocniny v kalkulačce je označeno jako sqrt a provádí se pomocí tří kláves - odmocnina sqrt(x), odmocnina sqrt3(x) a n-tá odmocnina sqrt(x,y). Podrobnější informace o ovládacím panelu jsou uvedeny na stránce.

Odmocnina

Kliknutím na toto tlačítko vložíte do vstupního řádku odmocninu: sqrt(x), stačí zadat radikální výraz a uzavřít závorku.

Příklad řešení odmocnin v kalkulačce:

Pokud je odmocnina záporné číslo a stupeň odmocniny je sudý, pak bude odpověď reprezentována jako komplexní číslo s imaginární jednotkou i.

Druhá odmocnina záporného čísla:

Třetí kořen

Tento klíč použijte, když potřebujete vzít krychli odmocninu. Do vstupního řádku vloží záznam sqrt3(x).

Kořen 3. stupně:

Kořen stupně n

Online kalkulačka odmocnin vám samozřejmě umožňuje extrahovat nejen druhou mocninu a třetí mocninu čísla, ale také odmocninu stupně n. Kliknutím na toto tlačítko zobrazíte položku jako sqrt(x x,y).

4. kořen:

Přesnou n-tou odmocninu čísla lze extrahovat pouze v případě, že samotné číslo je přesnou n-tou odmocninou. V opačném případě se výpočet ukáže jako přibližný, i když velmi blízký ideálu, protože přesnost výpočtů online kalkulačky dosahuje 14 desetinných míst.

5. odmocnina s přibližným výsledkem:

Kořen zlomku

Kalkulačka umí vypočítat odmocninu z různých čísel a výrazů. Nalezení kořene zlomku spočívá v samostatném extrahování kořene čitatele a jmenovatele.

Druhá odmocnina zlomku:

Kořen od kořene

V případech, kdy je kořen výrazu pod kořenem, mohou být vlastnostmi kořenů nahrazeny jedním kořenem, jehož stupeň se bude rovnat součinu stupňů obou. Jednoduše řečeno, k extrakci kořene z kořene stačí vynásobit ukazatele kořenů. V příkladu znázorněném na obrázku lze výraz kořen třetího stupně kořene druhého stupně nahradit jedním kořenem 6. stupně. Specifikujte výraz, jak si přejete. Kalkulačka každopádně vše spočítá správně.

Vzorce stupňů používá se v procesu redukce a zjednodušování složitých výrazů, při řešení rovnic a nerovnic.

Číslo C je n-tá mocnina čísla A Když:

Operace se stupni.

1. Vynásobením stupňů se stejným základem se jejich ukazatele sečtou:

a m·a n = a m + n .

2. Při dělení stupňů se stejným základem se jejich exponenty odečítají:

3. Stupeň součinu 2 nebo více faktorů se rovná součinu stupňů těchto faktorů:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stupeň zlomku se rovná poměru stupňů dividendy a dělitele:

(a/b) n = an/bn.

5. Zvýšením mocniny na mocninu se exponenty vynásobí:

(a m) n = a m n .

Každý výše uvedený vzorec platí ve směru zleva doprava a naopak.

Například. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operace s kořeny.

1. Kořen součinu několika faktorů se rovná součinu kořenů těchto faktorů:

2. Odmocnina poměru se rovná poměru dividendy a dělitele odmocnin:

3. Při zvýšení odmocniny na mocninu stačí zvýšit radikální číslo na tuto mocninu:

4. Pokud zvýšíte stupeň zakořenění v n jednou a zároveň zabudovat do n mocnina je radikální číslo, pak se hodnota odmocniny nezmění:

5. Pokud snížíte stupeň zakořenění v n současně extrahujte kořen n-tá mocnina radikálního čísla, pak se hodnota odmocniny nezmění:

Titul se záporným exponentem. Mocnina určitého čísla s nekladným (celým) exponentem je definována jako mocnina vydělená mocninou stejného čísla s exponentem rovným absolutní hodnotě nekladného exponentu:

Vzorec a m:a n =a m - n lze použít nejen pro m> n, ale také s m< n.

Například. A4:a7 = a4-7 = a-3.

Formulovat a m:a n =a m - n se stal spravedlivým, když m=n, je vyžadována přítomnost nulového stupně.

Titul s nulovým indexem. Mocnina libovolného čísla, které se nerovná nule s nulovým exponentem, je rovna jedné.

Například. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupeň se zlomkovým exponentem. Chcete-li zvýšit skutečné číslo A na míru m/n, musíte extrahovat kořen n tý stupeň m-tá mocnina tohoto čísla A.

Příklady:

\(\sqrt(16)=2\), protože \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) , protože \((-\frac(1)(5) ) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

Jak vypočítat n-tou odmocninu?

Chcete-li vypočítat odmocninu \(n\)té mocniny, musíte si položit otázku: jaké číslo k \(n\)té mocnině bude uvedeno pod odmocninou?

Například. Vypočítejte \(n\)-tou odmocninu: a)\(\sqrt(16)\); b) \(\sqrt(-64)\); c) \(\sqrt(0,00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); e) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).

a) Jaké číslo na \(4\)-tou mocninu dá \(16\)? Je zřejmé, že \(2\). Proto:

b) Jaké číslo na \(3\)-tou mocninu dá \(-64\)?

\(\sqrt(-64)=-4\)

c) Jaké číslo na \(5\)-tou mocninu dá \(0,00001\)?

\(\sqrt(0,00001)=0,1\)

d) Jaké číslo na \(3\)-tou mocninu dá \(8000\)?

\(\sqrt(8000)=20\)

e) Jaké číslo na \(4\)-tou mocninu dá \(\frac(1)(81)\)?

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

Podívali jsme se na nejjednodušší příklady s \(n\)-tým kořenem. Pro řešení složitějších problémů s kořeny \(n\)-tého stupně je životně důležité je znát.

Příklad. Vypočítat:

Souvisí n-tá odmocnina a druhá odmocnina?

V každém případě je jakýkoli kořen jakéhokoli stupně pouze číslo, i když napsané ve formě, která je vám neznámá.

n-tá kořenová singularita

Kořen \(n\)-tého stupně s lichým \(n\) lze získat z libovolného čísla, i záporného (viz příklady na začátku). Ale pokud je \(n\) sudé (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…), pak je takový kořen extrahován pouze tehdy, \( a ≥ 0\) (mimochodem, totéž platí pro druhou odmocninu). To je způsobeno skutečností, že vyjmutí kořene je opakem zvýšení na mocninu.

A zvýšením na sudou mocninu je sudé záporné číslo kladné. Opravdu, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Nemůžeme tedy získat sudou mocninu záporného čísla pod odmocninou. To znamená, že nemůžeme extrahovat takový kořen ze záporného čísla.

Lichá mocnina nemá taková omezení - záporné číslo umocněné na lichou mocninu zůstane záporné: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (- 2) \ cdot (-2)=-32\). Proto pod odmocninou liché mocniny můžete získat záporné číslo. To znamená, že je možné jej extrahovat i ze záporného čísla.