Funkce inverzní ke kosinusu

Oborem funkce y=cos x (viz obr. 2) je segment. Na intervalu je funkce spojitá a monotónně klesající.

Rýže. 2

To znamená, že funkce je definována na intervalu, který je inverzní k funkci y=cos x. Tato inverzní funkce se nazývá arkosinus a označuje se y=arccos x .

Definice

Arkuskosinus čísla a, je-li |a|1, je úhel, jehož kosinus náleží úsečce; je označena arccos a.

Arccos a je tedy úhel, který splňuje následující dvě podmínky: cos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?r.

Například arccos, protože cos a; arccos, protože cos.

Funkce y = arccos x (obr. 3) je definována na segmentu, jeho rozsah je segment. Na segmentu je funkce y=arccos x spojitá a monotónně klesá z p na 0 (protože y=cos x je spojitá a monotónně klesající funkce na segmentu); na koncích segmentu dosahuje svých krajních hodnot: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Všimněte si, že arccos 0 = . Graf funkce y \u003d arccos x (viz obr. 3) je symetrický ke grafu funkce y \u003d cos x vzhledem k přímce y \u003d x.

Rýže. 3

Ukažme, že platí rovnost arccos(-x) = p-arccos x.

Opravdu, podle definice, 0? arccos x? R. Vynásobením (-1) všech částí poslední dvojité nerovnosti dostaneme - p? arccos x? 0. Přidáním p ke všem částem poslední nerovnosti zjistíme, že 0? p-arccos x? R.

Hodnoty úhlů arccos (-x) a p - arccos x tedy patří do stejného segmentu. Protože kosinus monotónně klesá na segmentu, nemohou na něm být dva různé úhly, které mají stejné kosinus. Najděte kosinus úhlů arccos(-x) a p-arccos x. Podle definice cos (arccos x) = - x, podle redukčních vzorců a podle definice máme: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Kosiny úhlů jsou tedy stejné, což znamená, že samotné úhly jsou stejné.

Funkce inverzní k sinusu

Uvažujme funkci y=sin x (obr. 6), která na segmentu [-p/2; p/2] je rostoucí, spojitá a nabývá hodnot ze segmentu [-1; 1]. Proto na segmentu [- p / 2; p/2] je definována funkce, která je inverzní k funkci y=sin x.

Rýže. 6

Tato inverzní funkce se nazývá arkussinus a označuje se y=arcsin x. Zavedeme definici arkussinusu čísla a.

Arkussinus čísla a, pokud nazývají úhel (nebo oblouk), jehož sinus je roven číslu a a který patří do segmentu [-p / 2; p/2]; je označen arcsin a.

Arcsin a je tedy úhel vyhovující následující podmínky: sin(arcsin a)=a, |a| A1; -r/2? arcsin co? p/2. Například od hříchu a [- p/2; p/2]; arcsin, protože sin = a [-p/2; p/2].

Funkce y=arcsin x (obr. 7) je definována na intervalu [- 1; 1], jeho rozsah je segment [-р/2;р/2]. Na segmentu [- 1; 1] funkce y=arcsin x je spojitá a monotónně rostoucí od -p/2 do p/2 (vyplývá to z toho, že funkce y=sin x na segmentu [-p/2; p/2] je spojitá a monotónně rostoucí). Má největší hodnotu při x \u003d 1: arcsin 1 \u003d p / 2 a nejmenší - při x \u003d -1: arcsin (-1) \u003d -r / 2. Při x \u003d 0 je funkce nula: arcsin 0 \u003d 0.

Ukažme, že funkce y = arcsin x je lichá, tzn. arcsin(-x)= - arcsin x pro libovolné x [ - 1; 1].

Skutečně, podle definice, pokud |x| ?1, máme: - р/2 ? arcsin x? ? p/2. Úhly jsou tedy arcsin(-x) a - arcsin x patří do stejného segmentu [ - p/2; p/2].

Najděte jejich sinusúhly: sin (arcsin (-x)) = - x (podle definice); protože funkce y=sin x je lichá, pak sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Takže sinus úhlů patřících do stejného intervalu [-p/2; p/2], jsou stejné, což znamená, že samotné úhly jsou stejné, tzn. arcsin (-x) = - arcsin x. Funkce y=arcsin x je tedy lichá. Graf funkce y=arcsin x je symetrický vzhledem k počátku.

Ukažme, že arcsin (sin x) = x pro libovolné x [-p/2; p/2].

Opravdu, podle definice -p/2? arcsin (sin x)? р/2, a podle podmínky -р/2 ? X? p/2. To znamená, že úhly x a arcsin (sin x) patří do stejného intervalu monotonie funkce y=sin x. Jsou-li sinusy takových úhlů stejné, pak jsou stejné i samotné úhly. Pojďme najít sinus těchto úhlů: pro úhel x máme sin x, pro úhel arcsin (sin x) máme sin (arcsin (sin x)) = sin x. Dostali jsme, že sinus úhlů je stejný, takže úhly jsou stejné, tj. arcsin (sin x) = x. .

Rýže. 7

Rýže. 8

Graf funkce arcsin (sin|x|) se získá obvyklými modulo transformacemi z grafu y=arcsin (sin x) (znázorněného přerušovanou čarou na obr. 8). Požadovaný graf y=arcsin (sin |x-/4|) z něj získáme posunutím /4 doprava podél osy x (na obr. 8 znázorněno plnou čarou)

Funkce inverzní k tečně

Funkce y=tg x na intervalu nabývá všech číselných hodnot: E (tg x)=. Na tomto intervalu je spojitý a monotónně rostoucí. Funkce je tedy definována na intervalu, který je inverzní k funkci y = tg x. Tato inverzní funkce se nazývá arkus tangens a označuje se y = arctg x.

Arkustangens čísla a je úhel z intervalu, jehož tangens je rovna a. Arctg a je tedy úhel, který splňuje následující podmínky: tg (arctg a) = a a 0 ? arctg a ? R.

Jakékoli číslo x tedy vždy odpovídá jediné hodnotě funkce y \u003d arctg x (obr. 9).

Je zřejmé, že D (arctg x) =, E (arctg x) =.

Funkce y = arctg x je rostoucí, protože funkce y = tg x na intervalu roste. Je snadné dokázat, že arctg(-x) = - arctgx, tzn. že arkus tangens je lichá funkce.

Rýže. 9

Graf funkce y = arctg x je symetrický s grafem funkce y = tg x vzhledem k přímce y = x, graf y = arctg x prochází počátkem (protože arctan 0 = 0) a je symetrický vzhledem k počátku (jako graf liché funkce).

Lze dokázat, že arctg (tg x) = x, jestliže x.

Kotangens inverzní funkce

Funkce y = ctg x na intervalu přebírá všechny číselné hodnoty z intervalu. Jeho rozsah hodnot se shoduje s množinou všech reálných čísel. V intervalu je funkce y = ctg x spojitá a monotónně rostoucí. Na tomto intervalu je tedy definována funkce, která je inverzní k funkci y = ctg x. Inverzní funkce kotangens se nazývá oblouk kotangens a označuje se y = arcctg x.

Arkustangens čísla a je úhel náležející intervalu, jehož kotangens je roven a.

Arcctg a je tedy úhel, který splňuje následující podmínky: ctg (arcctg a)=a a 0 ? arcctg a ? R.

Z definice inverzní funkce a definice arkus tangens vyplývá, že D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Arkus tangens je klesající funkce, protože funkce y = ctg x v intervalu klesá.

Graf funkce y \u003d arcctg x nekříží osu Ox, protože y\u003e 0 R. Při x \u003d 0 y \u003d arcctg 0 \u003d.

Graf funkce y = arcctg x je na obrázku 11.

Rýže. 11

Všimněte si, že pro všechny reálné hodnoty x platí identita: arcctg(-x) = p-arcctg x.

Lekce 32-33. Inverzní goniometrické funkce

Cílová: zvážit inverzní goniometrické funkce, jejich použití pro zápis řešení goniometrických rovnic.

I. Komunikace tématu a cílů lekcí

II. Učení nového materiálu

1. Inverzní goniometrické funkce

Začněme toto téma následujícím příkladem.

Příklad 1

Pojďme řešit rovnici: a) sin x = 1/2; b) hřích x \u003d a.

a) Na svislé ose odložte hodnotu 1/2 a vykreslete úhly x 1 a x2, pro které hřích x = 1/2. V tomto případě x1 + x2 = π, odkud x2 = π – x 1 . Podle tabulky hodnot goniometrických funkcí zjistíme hodnotu x1 = π/6, pakVezmeme v úvahu periodicitu funkce sinus a zapíšeme řešení této rovnice:kde k ∈ Z .

b) Je zřejmé, že algoritmus pro řešení rovnice hřích x = a je stejné jako v předchozím odstavci. Nyní je samozřejmě hodnota a vynesena podél osy y. Je potřeba nějak určit úhel x1. Dohodli jsme se, že takový úhel označíme symbolem obloukový hřích A. Potom lze řešení této rovnice zapsat jakoTyto dva vzorce lze spojit do jednoho: kde

Další inverzní goniometrické funkce jsou zavedeny podobně.

Velmi často je potřeba určit hodnotu úhlu ze známé hodnoty jeho goniometrické funkce. Takový problém je vícehodnotový – existuje nekonečný počet úhlů, jejichž goniometrické funkce se rovnají stejné hodnotě. Proto jsou na základě monotonie goniometrických funkcí zavedeny následující inverzní goniometrické funkce pro jednoznačné určení úhlů.

Arkussinus a (arcsin , jehož sinus je roven a, tzn.

Arc cosinus čísla a(arccos a) - takový úhel a z intervalu, jehož kosinus je roven a, tzn.

Arkustangens čísla a(arctg a) - takový úhel a z intervalujehož tečna je a, tzn.tg a = a.

Arkustangens čísla a(arctg a) - takový úhel a z intervalu (0; π), jehož kotangens je roven a, tzn. ctg a = a.

Příklad 2

Pojďme najít:

Vzhledem k definicím inverzních goniometrických funkcí dostáváme:

Příklad 3

Vypočítat

Nechť úhel a = arcsin 3/5, pak podle definice sin a = 3/5 a . Proto musíme najít cos A. Pomocí základní goniometrické identity získáme:Bere se v úvahu, že cos a ≥ 0.

Uveďme řadu typických příkladů souvisejících s definicemi a základními vlastnostmi inverzních goniometrických funkcí.

Příklad 4

Najděte doménu funkce

Aby byla funkce y definována, je nutné, aby nerovnostcož je ekvivalentní systému nerovnostíŘešením první nerovnosti je interval x∈ (-∞; +∞), druhý - Tento interval a je řešením systému nerovností, a tedy doménou funkce

Příklad 5

Najděte oblast změny funkce

Zvažte chování funkce z \u003d 2x - x2 (viz obrázek).

Je vidět, že z ∈ (-∞; 1]. Vzhledem k tomu, že argument z funkce inverzní tečny se pohybuje v zadaných mezích, z údajů v tabulce to získámeTedy oblast změny

Příklad 6

Dokažme, že funkce y = arctg x lichý. NechatPoté tg a \u003d -x nebo x \u003d - tg a \u003d tg (- a) a Proto - a \u003d arctg x nebo a \u003d - arctg X. Tak to vidímetj. y(x) je lichá funkce.

Příklad 7

Vyjadřujeme pomocí všech inverzních goniometrických funkcí

Nechat To je zřejmé Od té doby

Představme si úhel Protože Že

Podobně tedy A

Tak,

Příklad 8

Vytvořme graf funkce y \u003d cos (arcsin x).

Označte tedy \u003d arcsin x Bereme v úvahu, že x \u003d sin a a y \u003d cos a, tj. x 2 + y2 = 1 a omezení na x (x∈ [-1; 1]) a y (y ≥ 0). Potom graf funkce y = cos(arcsin x) je půlkruh.

Příklad 9

Vytvořme graf funkce y \u003d arccos (cosx).

Protože funkce cos x se změní na segmentu [-1; 1], pak je funkce y definována na celé reálné ose a mění se na intervalu . Budeme mít na paměti, že y = arccos (cosx) \u003d x na segmentu; funkce y je sudá a periodická s periodou 2π. Vzhledem k tomu, že funkce má tyto vlastnosti cos x, Nyní je snadné spiknutí.

Všimli jsme si některých užitečných rovností:

Příklad 10

Najděte nejmenší a největší hodnoty funkce Označit Pak Získejte funkci Tato funkce má v bodě minimum z = π/4 a rovná se V bodě je dosaženo maximální hodnoty funkce z = -π/2 a rovná se Tak a

Příklad 11

Pojďme řešit rovnici

To bereme v potaz Potom rovnice vypadá takto:nebo kde Definicí arkus tangens dostaneme:

2. Řešení nejjednodušších goniometrických rovnic

Podobně jako v příkladu 1 můžete získat řešení nejjednodušších goniometrických rovnic.

Příklad 12

Pojďme řešit rovnici

Protože je funkce sinus lichá, zapíšeme rovnici ve tvaruŘešení této rovnice:kde najdeme

Příklad 13

Pojďme řešit rovnici

Podle výše uvedeného vzorce zapíšeme řešení rovnice:a najít

Všimněte si, že v konkrétních případech (a = 0; ±1) při řešení rovnic sin x = a a cos x \u003d ale je snazší a pohodlnější používat nikoli obecné vzorce, ale psát řešení založená na jednotkovém kruhu:

pro rovnici sin x = 1 řešení

pro rovnici sin x \u003d 0 řešení x \u003d π k;

pro rovnici sin x = -1 řešení

pro rovnici cos x = 1 řešení x = 2π k;

pro rovnici cos x = 0 řešení

pro rovnici cos x = -1 řešení

Příklad 14

Pojďme řešit rovnici

Protože v tento příklad existuje speciální případ rovnice, pak zapíšeme řešení pomocí odpovídajícího vzorce:kde najdeme

III. Kontrolní otázky (frontální průzkum)

1. Definujte a vyjmenujte hlavní vlastnosti inverzních goniometrických funkcí.

2. Uveďte grafy inverzních goniometrických funkcí.

3. Řešení nejjednodušších goniometrických rovnic.

IV. Zadání v lekcích

§ 15, č. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12(b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, č. 4 (a, b); 7(a); 8(b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, č. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9(b); 10 (a, c).

V. Domácí úkol

§ 15, č. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8(b); 12(a); 13(b); 15 (d); 16(b); 18 (c, d); 19 (d); 22;

§ 16, č. 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18(b); 19 (a, b);

§ 17, č. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Kreativní úkoly

1. Najděte rozsah funkce:

Odpovědi:

2. Najděte rozsah funkce:

Odpovědi:

3. Graf funkce:

VII. Shrnutí lekcí

Jsou uvedeny definice inverzních goniometrických funkcí a jejich grafy. Stejně jako vzorce týkající se inverzních goniometrických funkcí, vzorce pro součty a rozdíly.

Definice inverzních goniometrických funkcí

Protože goniometrické funkce jsou periodické, funkce k nim inverzní nejsou jednohodnotové. Takže rovnice y = hřích x, pro daný , má nekonečně mnoho kořenů. Vzhledem k periodicitě sinusu, je-li x takový kořen, pak x + 2n(kde n je celé číslo) bude také kořenem rovnice. Tím pádem, inverzní goniometrické funkce jsou vícehodnotové. Pro usnadnění práce s nimi je představen koncept jejich hlavních hodnot. Uvažujme například sinus: y = hřích x. Pokud omezíme argument x na interval , pak na něm funkce y = hřích x monotónně narůstá. Proto má jednohodnotovou inverzní funkci, která se nazývá arkussinus: x = arcsin y.

Pokud není uvedeno jinak, inverzní goniometrické funkce znamenají jejich hlavní hodnoty, které jsou definovány následujícími definicemi.

Arcsine ( y= arcsin x) je inverzní funkce sinus ( x= hříšný

Arc cosinus ( y= arccos x) je inverzní funkce kosinus ( x= cos y), který má doménu definice a soubor hodnot.

Arktangens ( y= arctg x) je inverzní funkce tečny ( x= tg y), který má doménu definice a soubor hodnot.

Arkulární tangens ( y= arcctg x) je inverzní funkce kotangens ( x= ctg y), který má doménu definice a soubor hodnot.

Grafy inverzních goniometrických funkcí

Grafy inverzních goniometrických funkcí získáme z grafů goniometrických funkcí zrcadlovým odrazem vzhledem k přímce y = x. Viz sekce Sinus, kosinus, Tangent, kotangens.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

Základní vzorce

Zde je třeba věnovat zvláštní pozornost intervalům, pro které platí vzorce.

arcsin(sin x) = x na
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x na
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x na
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x na
ctg(arctg x) = x

Vzorce vztahující se k inverzním goniometrickým funkcím

Součtové a rozdílové vzorce

na nebo

v a

v a

na nebo

v a

v a

na

na

na

na

Inverzní goniometrické funkce jsou matematické funkce, které jsou inverzní k goniometrickým funkcím.

Funkce y=arcsin(x)

Arkussinus čísla α je takové číslo α z intervalu [-π/2; π/2], jehož sinus je roven α.
Graf funkcí
Funkce y \u003d sin⁡ (x) na intervalu [-π / 2; π / 2] je přísně rostoucí a spojitá; má tedy inverzní funkci, která je přísně rostoucí a spojitá.
Inverzní funkce pro funkci y= sin⁡(x), kde x ∈[-π/2;π/2], se nazývá arkussinus a značí se y=arcsin(x), kde x∈[-1;1 ].
Takže podle definice inverzní funkce je doménou definice arcsinus segment [-1; 1] a množinou hodnot je segment [-π/2; π/2].
Všimněte si, že graf funkce y=arcsin(x), kde x ∈[-1;1] je symetrický ke grafu funkce y= sin(⁡x), kde x∈[-π/2;π /2], s ohledem na osu souřadnicových úhlů první a třetí čtvrtiny.

Rozsah funkce y=arcsin(x).

Příklad číslo 1.

Najít arcsin(1/2)?

Protože rozsah funkce arcsin(x) patří do intervalu [-π/2;π/2], vyhovuje pouze hodnota π/6, arcsin(1/2) = π/6.
Odpověď: π/6

Příklad č. 2.
Najít arcsin(-(√3)/2)?

Protože rozsah arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] je vhodná pouze hodnota -π/3, arcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Funkce y=arccos(x)

Arkosinus čísla α je číslo α z intervalu, jehož kosinus je roven α.

Graf funkcí

Funkce y= cos(⁡x) na intervalu je striktně klesající a spojitá; má tedy inverzní funkci, která je přísně klesající a spojitá.
Je volána inverzní funkce pro funkci y= cos⁡x, kde x ∈ oblouk kosinus a označeno y=arccos(x), kde x ∈[-1;1].
Takže podle definice inverzní funkce je doménou definice arkosinus segment [-1; 1] a množinou hodnot je segment.
Všimněte si, že graf funkce y=arccos(x), kde x ∈[-1;1] je symetrický s grafem funkce y= cos(⁡x), kde x ∈, vzhledem k ose souřadnicové úhly prvního a třetího kvadrantu.

Rozsah funkce y=arccos(x).

Příklad č. 3.

Najít arccos(1/2)?

Protože obor funkce arccos(x) patří do intervalu , je vhodná pouze hodnota 3π/4, arccos(-(√2)/2) =3π/4.

Odpověď: 3π/4

Funkce y=arctg(x)

Arkus tangens čísla α je takové číslo α z intervalu [-π/2; π/2], jehož tangens je roven α.

Graf funkcí

Funkce tečny je spojitá a přísně rostoucí na intervalu (-π/2; π/2); má tedy inverzní funkci, která je spojitá a přísně rostoucí.
Inverzní funkce pro funkci y= tg⁡(x), kde x∈(-π/2;π/2); se nazývá arkustangens a označuje se y=arctg(x), kde x∈R.
Takže podle definice inverzní funkce je doménou definice arkustangens interval (-∞;+∞) a množinou hodnot je interval
(-π/2;π/2).
Všimněte si, že graf funkce y=arctg(x), kde x∈R, je symetrický ke grafu funkce y=tg⁡x, kde x ∈ (-π/2;π/2), vzhledem k osou souřadnicových úhlů první a třetí čtvrtiny.

Rozsah funkce y=arctg(x).

Příklad číslo 5?

Najít arctg((√3)/3).

Protože rozsah arctan(x) x ∈(-π/2;π/2), je vhodná pouze hodnota π/6, proto arctg((√3)/3) =π/6.
Příklad číslo 6.
Najít arctg(-1)?

Protože rozsah arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) je vhodná pouze hodnota -π/4, arctg(-1) = - π/4.

Funkce y=arctg(x)

Graf funkcí

Na intervalu (0;π) funkce kotangens striktně klesá; navíc je spojitý v každém bodě tohoto intervalu; proto má tato funkce na intervalu (0;π) inverzní funkci, která je striktně klesající a spojitá.
Inverzní funkce pro funkci y=ctg(x), kde x ∈(0;π), se nazývá arkus kotangens a značí se y=arcctg(x), kde x∈R.
Takže podle definice inverzní funkce bude doména definice arkus tangens R a množina hodnot bude interval (0; π). souřadnicové úhly první a třetí čtvrtiny.

Rozsah funkce y=arcctg(x).

Příklad číslo 8.
Najít arcctg(-(√3)/3)?

Protože rozsah arcctg(x) x∈(0;π) je vhodná pouze hodnota 2π/3, arccos(-(√3)/3) =2π/3.

Střih: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna