Znak modulo je možná jedním z nejzajímavějších jevů v matematice. V tomto ohledu má mnoho školáků otázku, jak sestavit grafy funkcí obsahující modul. Podívejme se na tento problém podrobně.

1. Vykreslování funkcí obsahujících modul

Příklad 1

Nakreslete funkci y = x 2 – 8|x| + 12.

Řešení.

Definujme paritu funkce. Hodnota pro y(-x) je stejná jako hodnota pro y(x), takže tato funkce je sudá. Pak je jeho graf symetrický vzhledem k ose Oy. Sestavíme graf funkce y \u003d x 2 - 8x + 12 pro x ≥ 0 a symetricky zobrazíme graf vzhledem k Oy pro záporné x (obr. 1).

Příklad 2

Další graf je y = |x 2 – 8x + 12|.

– Jaký je rozsah navrhované funkce? (y ≥ 0).

- Jak je na tom graf? (Nad nebo dotýkající se osy x).

To znamená, že graf funkce se získá následovně: vykreslí funkci y \u003d x 2 - 8x + 12, část grafu, která leží nad osou Ox, ponechá beze změny a část grafu, která leží pod osa úsečky je zobrazena symetricky vzhledem k ose Ox (obr. 2).

Příklad 3

K vykreslení funkce y = |x 2 – 8|x| + 12| provést kombinaci transformací:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Odpověď: obrázek 3.

Uvažované transformace jsou platné pro všechny typy funkcí. Udělejme tabulku:

2. Vykreslování funkcí obsahujících "vnořené moduly" ve vzorci

S příklady kvadratické funkce obsahující modul jsme se již seznámili, stejně jako s obecnými pravidly pro sestavení grafů funkcí tvaru y = f(|x|), y = |f(x)| a y = |f(|x|)|. Tyto transformace nám pomohou při zvažování následujícího příkladu.

Příklad 4

Uvažujme funkci tvaru y = |2 – |1 – |x|||. Výraz, který definuje funkci, obsahuje "vnořené moduly".

Řešení.

Používáme metodu geometrických transformací.

Zapišme si řetězec po sobě jdoucích transformací a zhotovíme odpovídající výkres (obr. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Uvažujme případy, kdy symetrie a paralelní translační transformace nejsou hlavní technikou vykreslování.

Příklad 5

Sestrojte graf funkce ve tvaru y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

Řešení.

Před sestavením grafu transformujeme vzorec, který funkci definuje, a získáme další analytickou definici funkce (obr. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2) (x + 2)/|x + 2|.

Rozbalme modul ve jmenovateli:

Pro x > -2 je y = x - 2 a pro x< -2, y = -(x – 2).

Doména D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Rozsah E(y) = (-4; +∞).

Body, ve kterých se graf protíná se souřadnicovou osou: (0; -2) a (2; 0).

Funkce klesá pro všechna x z intervalu (-∞; -2), zvyšuje se pro x z -2 na +∞.

Zde jsme museli odhalit znaménko modulu a vykreslit funkci pro každý případ.

Příklad 6

Uvažujme funkci y = |x + 1| – |x – 2|.

Řešení.

Při rozšíření znaménka modulu je nutné zvážit všechny možné kombinace znamének výrazů submodulu.

Existují čtyři možné případy:

(x + 1 - x + 2 = 3, přičemž x > -1 a x > 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, s x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, pro x ≥ -1 a x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, s x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Původní funkce pak bude vypadat takto:

(3, pro x > 2;

y = (-3, v x< -1;

(2x – 1, s -1 ≤ x< 2.

Dostali jsme po částech danou funkci, jejíž graf je na obrázku 6.

3. Algoritmus pro konstrukci grafů funkcí formuláře

y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + sekera + b.

V předchozím příkladu bylo dostatečně snadné rozbalit značky modulu. Pokud je součtů modulů více, pak je problematické uvažovat všechny možné kombinace znaků výrazů submodulů. Jak můžeme funkci v tomto případě zobrazit do grafu?

Všimněte si, že graf je křivka s vrcholy v bodech majících úsečky -1 a 2. Pro x = -1 a x = 2 jsou výrazy submodulu rovny nule. Praktickým způsobem jsme přistoupili k pravidlu pro konstrukci takových grafů:

Graf funkce tvaru y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b je přerušovaná čára s nekonečnými koncovými články. Ke konstrukci takové křivky stačí znát všechny její vrcholy (úsečky vrcholů jsou nuly výrazů submodulu) a po jednom řídicím bodu na levé a pravé nekonečné spojnici.

Úkol.

Nakreslete funkci y = |x| + |x – 1| + |x + 1| a najít jeho nejmenší hodnotu.

Řešení:

Nuly výrazů submodulu: 0; -1; 1. Vrcholy křivky (0; 2); (-13); (13). Kontrolní bod vpravo (2; 6), vlevo (-2; 6). Sestavíme graf (obr. 7). min f(x) = 2.

Máte nějaké dotazy? Nevíte, jak nakreslit graf funkce s modulem?
Chcete-li získat pomoc od lektora -.

blog.site, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu je vyžadován odkaz na zdroj.

Znak modulo je možná jedním z nejzajímavějších jevů v matematice. V tomto ohledu má mnoho školáků otázku, jak sestavit grafy funkcí obsahující modul. Podívejme se na tento problém podrobně.

1. Vykreslování funkcí obsahujících modul

Příklad 1

Nakreslete funkci y = x 2 – 8|x| + 12.

Řešení.

Definujme paritu funkce. Hodnota pro y(-x) je stejná jako hodnota pro y(x), takže tato funkce je sudá. Pak je jeho graf symetrický vzhledem k ose Oy. Sestavíme graf funkce y \u003d x 2 - 8x + 12 pro x ≥ 0 a symetricky zobrazíme graf vzhledem k Oy pro záporné x (obr. 1).

Příklad 2

Další graf je y = |x 2 – 8x + 12|.

– Jaký je rozsah navrhované funkce? (y ≥ 0).

- Jak je na tom graf? (Nad nebo dotýkající se osy x).

To znamená, že graf funkce se získá následovně: vykreslí funkci y \u003d x 2 - 8x + 12, část grafu, která leží nad osou Ox, ponechá beze změny a část grafu, která leží pod osa úsečky je zobrazena symetricky vzhledem k ose Ox (obr. 2).

Příklad 3

K vykreslení funkce y = |x 2 – 8|x| + 12| provést kombinaci transformací:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Odpověď: obrázek 3.

Uvažované transformace jsou platné pro všechny typy funkcí. Udělejme tabulku:

2. Vykreslování funkcí obsahujících "vnořené moduly" ve vzorci

S příklady kvadratické funkce obsahující modul jsme se již seznámili, stejně jako s obecnými pravidly pro sestavení grafů funkcí tvaru y = f(|x|), y = |f(x)| a y = |f(|x|)|. Tyto transformace nám pomohou při zvažování následujícího příkladu.

Příklad 4

Uvažujme funkci tvaru y = |2 – |1 – |x|||. Výraz, který definuje funkci, obsahuje "vnořené moduly".

Řešení.

Používáme metodu geometrických transformací.

Zapišme si řetězec po sobě jdoucích transformací a zhotovíme odpovídající výkres (obr. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Uvažujme případy, kdy symetrie a paralelní translační transformace nejsou hlavní technikou vykreslování.

Příklad 5

Sestrojte graf funkce ve tvaru y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

Řešení.

Před sestavením grafu transformujeme vzorec, který funkci definuje, a získáme další analytickou definici funkce (obr. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2) (x + 2)/|x + 2|.

Rozbalme modul ve jmenovateli:

Pro x > -2 je y = x - 2 a pro x< -2, y = -(x – 2).

Doména D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Rozsah E(y) = (-4; +∞).

Body, ve kterých se graf protíná se souřadnicovou osou: (0; -2) a (2; 0).

Funkce klesá pro všechna x z intervalu (-∞; -2), zvyšuje se pro x z -2 na +∞.

Zde jsme museli odhalit znaménko modulu a vykreslit funkci pro každý případ.

Příklad 6

Uvažujme funkci y = |x + 1| – |x – 2|.

Řešení.

Při rozšíření znaménka modulu je nutné zvážit všechny možné kombinace znamének výrazů submodulu.

Existují čtyři možné případy:

(x + 1 - x + 2 = 3, přičemž x > -1 a x > 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, s x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, pro x ≥ -1 a x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, s x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Původní funkce pak bude vypadat takto:

(3, pro x > 2;

y = (-3, v x< -1;

(2x – 1, s -1 ≤ x< 2.

Dostali jsme po částech danou funkci, jejíž graf je na obrázku 6.

3. Algoritmus pro konstrukci grafů funkcí formuláře

y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + sekera + b.

V předchozím příkladu bylo dostatečně snadné rozbalit značky modulu. Pokud je součtů modulů více, pak je problematické uvažovat všechny možné kombinace znaků výrazů submodulů. Jak můžeme funkci v tomto případě zobrazit do grafu?

Všimněte si, že graf je křivka s vrcholy v bodech majících úsečky -1 a 2. Pro x = -1 a x = 2 jsou výrazy submodulu rovny nule. Praktickým způsobem jsme přistoupili k pravidlu pro konstrukci takových grafů:

Graf funkce tvaru y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b je přerušovaná čára s nekonečnými koncovými články. Ke konstrukci takové křivky stačí znát všechny její vrcholy (úsečky vrcholů jsou nuly výrazů submodulu) a po jednom řídicím bodu na levé a pravé nekonečné spojnici.

Úkol.

Nakreslete funkci y = |x| + |x – 1| + |x + 1| a najít jeho nejmenší hodnotu.

Řešení:

Nuly výrazů submodulu: 0; -1; 1. Vrcholy křivky (0; 2); (-13); (13). Kontrolní bod vpravo (2; 6), vlevo (-2; 6). Sestavíme graf (obr. 7). min f(x) = 2.

Máte nějaké dotazy? Nevíte, jak nakreslit graf funkce s modulem?
Chcete-li získat pomoc tutora - zaregistrujte se.

stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.

Pískoviště

GIA - vykreslování funkcí se znaménkem modulo

Ahoj všichni! Dnes bych rád vysvětlil takové téma, jako je vykreslování grafů. Pravděpodobně většina lidí ví, jak vykreslit jednoduché grafy funkcí jako y=x^2 nebo y=1/x. A jak sestavit grafy se znaménkem modulu?

Úkol 1. Sestrojte grafy funkcí y=|x| y=|x-1|.
Řešení. Porovnejme to s grafem funkce y=|x|. Pro kladné x máme |x|=x. Pro kladné hodnoty argumentu je tedy graf y=|x| se shoduje s grafem y=x, to znamená, že tato část grafu je paprsek vycházející z počátku pod úhlem 45 stupňů k ose x. Pro x< 0 имеем |x|= -x; значит, для отрицательных x график y=|x| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.
Nicméně druhou polovinu grafu (pro záporné X) lze snadno získat z první, pokud si všimnete, že funkce y=|x| je sudé, protože |-a|=|a|. Tedy graf funkce y=|x| je symetrický kolem osy y a druhou polovinu grafu lze získat odrazem části nakreslené pro kladné x podél osy y. Výsledkem je graf:

Pro konstrukci si vezmeme body (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2).

Nyní je graf y=|x-1|. Jestliže A je bod grafu y=|x| se souřadnicemi (a;|a|), pak bod grafu y=|x-1| bod A1(a+1;|a|) bude mít stejnou hodnotu na ose Y. (Proč?) Tento bod druhého grafu lze získat z bodu A(a;|a|) prvního grafu posunutím rovnoběžně s osou Ox doprava. Celý graf funkce y=|x-1|získáme tedy z grafu funkce y=|x| posun rovnoběžně s osou Ox doprava o 1.

Pojďme sestavit grafy:

Y=|x-1|

Pro konstrukci si vezmeme body (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1).

Byl to jednoduchý úkol. Nyní věc, která děsí mnoho lidí.

Úkol 2. Nakreslete funkci y=3*|x-4| - x + |x+1|.
Řešení. Najděte body, ve kterých výrazy submodulu mizí, tzn. takzvané "kritické" body funkce. Tyto body budou x=-1 a x=4. V těchto bodech mohou výrazy submodulu změnit znaménko.

Nechte x<-1. Pak x+1<0, |x+1|=-x-1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(-х-1)= -5х+11.
Necháme -1< = x < = 4. Potom x+1>0, |x+1|=x+1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(х+1)= -3х+13.
Nechť x>4. Potom x+1>0, |x+1|=x+1, x-4>0; |x-4|=x-4; Proto y \u003d 3 (x-4) - x + x + 1 \u003d 3x-11.

Musíme tedy vytvořit graf funkce (přesně jeden)
( y \u003d -5x + 11, s x<-1
( y \u003d -3x + 13, při -1< = x < = 4.
( y \u003d 3x-11, přičemž x> 4

Abychom postavili první, vezmeme body (1; 6) (2; 1)
Pro konstrukci druhého vezmeme body (3; 4) (4; 1)
Chcete-li postavit třetí, vezměte body (3; -2) (4; 1)

No a poslední úkol pro dnešek, který si rozebereme.
Úkol 3. Vykreslete funkci y= |1/4 x^2 - |x| - 3|.
Řešení. Funkce y= |f(|x|)| dokonce. Je nutné sestavit funkční graf pro x>=0 y= f(x), poté jej odrazit symetricky kolem osy Oy (jedná se o graf y= |1/4 x^2 - x - 3|.), a konečně ta část výsledné grafiky, která se nachází ve spodní polorovině, se odráží symetricky kolem osy Ox (y= 1/4 x^2 - |x| - 3.).
Co z toho vzejde:

Y= |1/4 x^2 - |x| - 3|

Takže díky všem! Nyní máme znalostní základnu nezbytnou pro vykreslování grafů se znaménkem modulo! A všichni se ho tak bojí.

Štítky: matematika