Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության գործելակերպը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք հարցում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տեղեկությունները մեզ թույլ են տալիս կապ հաստատել ձեզ հետ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների հետ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին, դատական ​​ընթացակարգին, դատական ​​վարույթին համապատասխան և/կամ հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա պետական ​​մարմիններՌուսաստանի Դաշնության տարածքում - բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Հրահանգներ

Կոորդինատներ գագաթներըպարաբոլներ են հայտնաբերվել. Գրե՛ք դրանք որպես մեկ կետի կոորդինատներ (x0,y0):

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Բարձրություն եռանկյունկոչվում է գագաթից ընկած ուղղահայաց եռանկյունդեպի հակառակ կողմը կամ դրա շարունակությունը: Կետ խաչմերուկներերեք բարձունքները կոչվում են «օրթոկենտրոն»: Օրթոկենտրոնի հայեցակարգը և հատկությունները օգտակար են երկրաչափական կառուցվածքների հետ կապված խնդիրներ լուծելիս:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• եռանկյունի, քանոն, գրիչ, մատիտ եռանկյան գագաթների կոորդինատները

Հրահանգներ

Որոշեք առկա տեսակի մասին եռանկյուն. Ամենապարզ դեպքը ուղղանկյուն եռանկյունին է, քանի որ նրա ոտքերը միաժամանակ ծառայում են որպես երկու բարձրություններ: Երրորդը եռանկյունգտնվում է հիպոթենուսի վրա: Այս դեպքում ուղղանկյունի ուղղանկյունը եռանկյունհամընկնում է վերևի հետ Աջ անկյունը.

Սուր դեպքում եռանկյունկետ խաչմերուկներկլինի գործչի ներսում: Սահեցրեք յուրաքանչյուր գագաթից եռանկյունտրված գագաթին հակառակ կողմին ուղղահայաց ուղիղ. Այս բոլոր գծերը հատվելու են մի կետում: Սա կլինի ցանկալի օրթոկենտրոնը:

Կետ խաչմերուկներբութ բարձրությունները եռանկյունկլինի գործիչից դուրս: Նախքան ուղղահայացները գագաթներից բարձրություններ են, նախ ձեզ անհրաժեշտ են բութ անկյուն կազմող գծեր եռանկյուն. Ուղղահայացը այս դեպքում չի ընկնում դեպի կողմը եռանկյուն, բայց այս կողմը պարունակող գծին։ Հաջորդը, բարձրությունները և դրանց կետը իջեցվում են խաչմերուկներ, ինչպես նկարագրված է վերևում:

Եթե ​​գագաթների կոորդինատները հայտնի են եռանկյունկամ տարածության մեջ դժվար չէ գտնել կետի կոորդինատները խաչմերուկներբարձունքները Եթե ​​A, B, C անկյունների նշանակումներն են, O-ն ուղղանկյունն է, ապա AO հատվածը ուղղահայաց է BC հատվածին, իսկ BO-ն ուղղահայաց է AC-ին, այսպիսով ստացվում է AO-BC=0, BO-AC=: 0. Այս գծային համակարգը բավարար է հարթության վրա O կետի կոորդինատները գտնելու համար։ Հաշվի՛ր BC և AC վեկտորների կոորդինատները՝ հանելով առաջին կետի համապատասխան կոորդինատները կետի կոորդինատներից։ Ենթադրենք, որ O կետն ունի x և y կոորդինատներ (O(x,y)), ապա լուծել երկու անհայտ երկու հավասարումներից: Եթե ​​խնդիրը տրված է տարածության մեջ, ապա համակարգին պետք է ավելացնել AO-a=0 հավասարումները, որտեղ վեկտորը a=AB*AC է:

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Նշում

Մի շփոթեք բարձրությունների հատման կետը (ուղղանկյուն) միջնագծերի հատման կետի հետ (ցենտրոիդ), բիսեկտորների կամ ուղղահայաց կիսորդների (գծված եռանկյան յուրաքանչյուր կողմի միջով):

Օգտակար խորհուրդ

Ուղղանկյունը որոշելու համար բավական է գտնել երեք բարձրություններից երկուսի հատման կետը, քանի որ ցանկացած եռանկյան բարձրությունները միշտ հատվում են մի կետում։

Աղբյուրներ:

• Բանաձևերի ինտերակտիվ տեղեկատու գիրք:
• բարձրության հատում

Հրահանգներ

Նախ անհրաժեշտ է քննարկել խնդրի լուծման համար հարմար կոորդինատային համակարգի ընտրությունը։ Սովորաբար, նման խնդիրների դեպքում եռանկյուններից մեկը տեղադրվում է 0X առանցքի վրա այնպես, որ մի կետը համընկնում է սկզբնավորման հետ: Հետևաբար, չպետք է շեղվել լուծման ընդհանուր ընդունված կանոններից և անել նույնը (տե՛ս նկ. 1): Եռանկյունի սահմանման մեթոդն ինքնին հիմնարար դեր չի խաղում, քանի որ դուք միշտ կարող եք անցնել դրանցից մեկին (ինչպես հետագայում կկարողանաք ստուգել):

Պահանջվող եռանկյունը նշենք համապատասխանաբար AC և AB a(x1, y1) և b(x2, y2) կողմերի երկու վեկտորներով: Ընդ որում, ըստ կառուցման՝ y1=0։ BC-ի երրորդ կողմը համապատասխանում է c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), ըստ այս նկարազարդման։ Ա կետը տեղադրված է կոորդինատների սկզբնաղբյուրում, այսինքն՝ այն կոորդինատները A(0, 0): Դա նույնպես հեշտ է նկատել կոորդինատները B (x2, y2), a C (x1, 0): Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ երկու վեկտորներով եռանկյունի սահմանումն ինքնաբերաբար համընկել է այն երեք կետով սահմանելու հետ։

Հաջորդը, դուք պետք է լրացնեք պահանջվող եռանկյունը համապատասխան ABDC զուգահեռագծի չափով: Ընդ որում, որ կետում խաչմերուկներզուգահեռագծի անկյունագծերը բաժանված են այնպես, որ AQ-ն ABC եռանկյան միջինն է, իջնում ​​է A-ից BC կողմ: s անկյունագծային վեկտորը պարունակում է այս մեկը և, ըստ զուգահեռագծի կանոնի, a-ի և b-ի երկրաչափական գումարն է։ Այնուհետև s = a + b, և դրա կոորդինատները s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2): Նույնը կոորդինատներըկլինի նաև D(x1+x2, y2) կետում։

Այժմ դուք կարող եք անցնել ուղիղ գծի հավասարման կազմմանը, որը պարունակում է s, միջին AQ և, ամենակարևորը, ցանկալի կետը: խաչմերուկներմիջին H. Քանի որ s վեկտորն ինքնին ուղեցույց է տրված ուղիղի համար, և հայտնի է նաև նրան պատկանող A(0, 0) կետը, ամենապարզը հարթ ուղիղի հավասարումն օգտագործելն է կանոնական ձևով. (x. -x0)/m =(y-y0)/n: Այստեղ (x0, y0) կոորդինատներըուղիղի կամայական կետ (կետ A(0, 0)), և (m, n) – կոորդինատները s (վեկտոր (x1+x2, y2): Եվ այսպես, ցանկալի ուղիղ l1 տեսքը կունենա՝ x/(x1+x2)=y/ y2:

Այն գտնելու լավագույն միջոցը խաչմերուկում է: Հետևաբար, դուք պետք է գտնեք ևս մեկ ուղիղ գիծ, ​​որը պարունակում է այսպես կոչված N: Դա անելու համար Նկ. Մեկ այլ APBC զուգահեռագծի 1 կոնստրուկցիա, որի g=a+c =g(2x1-x2, -y2) անկյունագիծը պարունակում է երկրորդ միջին CW-ն՝ իջեցված C-ից AB կողմ: Այս անկյունագիծը պարունակում է C կետ (x1, 0), կոորդինատներըորը կխաղա (x0, y0) դերը, իսկ ուղղության վեկտորն այստեղ կլինի g(m, n)=g(2x1-x2, -y2): Ուստի l2-ը տրված է հավասարմամբ՝ (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2):

l1-ի և l2-ի հավասարումները միասին լուծելով՝ հեշտ է գտնել կոորդինատներըմիավորներ խաչմերուկներմիջին H:H((x1+x1)/3, y2/3):

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Հուշում 5. Ինչպես գծել երկու եռանկյունների հատման գիծը

Նկարագրական երկրաչափությունը հիմք է հանդիսանում տեխնիկական գծագրության ոլորտում տեսական բազմաթիվ զարգացումների։ Այս տեսության իմացությունը երկրաչափական օբյեկտների պատկերներ կառուցելիս անհրաժեշտ է, որպեսզի վստահորեն արտահայտեք ձեր գաղափարները գծանկարի միջոցով:

Հրահանգներ

Գծի գծագրման առաջադրանք խաչմերուկներ 2-ի համար տեխնիկական գծագրության մեջ կարելի է անվանել հիմնական: Ձևավորել տող խաչմերուկներ 2-ի համար եռանկյուններ, անհրաժեշտ է որոշել երկու հարթ թվերին պատկանող կետերը։

Լուծելու համար կառուցեք երկու եռանկյուն ABC և EDK ճակատային և հորիզոնական պրոյեկցիայում: Այնուհետև AB ABC-ի միջով նկարեք Pn օժանդակ հարթությունը, դրա հորիզոնական պրոյեկցիան: Այս հորիզոնական հարթությունը ձևավորվում է տող խաչմերուկներ 1-2 EDK երկրորդ եռանկյան հարթության հետ, որտեղ 1-ին և 2-րդ կետերը գտնվում են ED և EK կողմերի վրա:

Գտեք նույն ձևով տող խաչմերուկներ 1′-2′ հորիզոնական ելուստ Pn, գծված A′B′ կողմի միջով ABC եռանկյան ճակատային ելուստում: Ճակատային ելուստները 1′-2′ և A′B′ հատվում են և տալիս կետ խաչմերուկներ M′, նրա ճակատային պրոյեկցիան:

Սահեցրեք տողմիացում ճակատային պրոյեկցիայից դեպի հորիզոնական պրոյեկցիան և դրանով իսկ գտնել M կետի հորիզոնական պրոյեկցիան։

Որոշեք երկրորդ կետը խաչմերուկներ ABC EDK եռանկյան հարթությունները, որոնց համար EDK-ում DK կողմի միջով գծեք Qv օժանդակ հարթությունը, նրա ճակատային ելուստը: Գիծ խաչմերուկներ ABC եռանկյան հարթության հետ Qv հարթությունը դառնում է 3-4 և 3'-4' ուղիղ իր ճակատային պրոյեկցիայում: Հորիզոնական ելուստները 3-4 և DK հատվում են միմյանց հետ և տալիս միավոր խաչմերուկներ N, դրա հորիզոնական պրոյեկցիան:

Սահեցրեք տողմիացում հորիզոնական պրոյեկցիայից դեպի ճակատային պրոյեկցիա և այդպիսով գտնել N′ կետը՝ նրա ճակատային պրոյեկցիան:

Միացրեք նախագծման գծի կետերը խաչմերուկներ MN և գծեր խաչմերուկներ M′N′. Արդյունքում դուք կստանաք երկու տող խաչմերուկներ եռանկյուններ EDK-ն և ABC-ն իրենց ճակատային և հորիզոնական պրոյեկցիայում:

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Աղբյուրներ:

• եռանկյունների հարթությունների հատում

Հուշում 6. Ինչպես գտնել եռանկյան բարձրությունը, եթե տրված են կետերի կոորդինատները

Բարձրությունը ուղիղ գծի հատվածն է, որը կապում է նկարի գագաթը հակառակ կողմի հետ: Այս հատվածը պետք է լինի կողքին ուղղահայաց, այնպես որ յուրաքանչյուր գագաթից կարելի է նկարել միայն մեկը բարձրությունը. Քանի որ այս նկարում կան երեք գագաթներ, կան նույն թվով բարձրություններ: Եթե ​​եռանկյունը տրված է նրա գագաթների կոորդինատներով, ապա յուրաքանչյուր բարձրության երկարությունը կարելի է հաշվարկել, օրինակ՝ օգտագործելով մակերեսը գտնելու և կողմերի երկարությունները հաշվելու բանաձևը։

Հրահանգներ

Սկսեք հաշվարկելով կողմերի երկարությունները եռանկյուն. Նշանակել կոորդինատներըայսպիսի թվեր՝ A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) և C(X3,Y3,Z3): Այնուհետև կարող եք հաշվարկել AB կողմի երկարությունը՝ օգտագործելով AB = √((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1-Z2)² բանաձևը: Մյուս երկու կողմերի համար սրանք

Թեմա՝ շրջան

Դաս. Եռանկյան բարձրությունների հատման կետ

Եռանկյան երեք բարձրությունները հատվում են մի կետում, այս կետը կոչվում է orthocenter.

Հաշվի առնելով եռանկյունը, որոշակիության համար ասենք, որ այն սուր է (տե՛ս նկ. 1): Ոչինչ չի փոխվի, եթե վերցնենք բութ եռանկյունին:

Ապացուցեք դա

Բրինձ. 1

Ապացույց:

Մենք ուզում ենք ապացույցը կրճատել նախկին թեորեմների վրա, որոնք արդեն ապացուցված են, օրինակ՝ ուղղահայաց կիսորդների հատման թեորեմը։

Դա անելու համար եռանկյան գագաթների միջով ուղիղ գծեր գծեք՝ դրանց հակառակ կողմերին զուգահեռ (տես նկ. 2):

A գագաթի միջոցով - ուղիղ գիծ,

B գագաթի միջոցով - ուղիղ գիծ,

C գագաթի միջոցով - ուղիղ գիծ:

Բրինձ. 2

Մենք ստացել ենք նոր եռանկյուն, եկեք դիտարկենք դրա հատկությունները:

Նշանակում է, . Նմանապես. Այսպիսով, քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

Զուգահեռագծի հակառակ կողմերը զույգերով հավասար են, հետևաբար՝ .

Նմանապես, շինարարությամբ. Քառանկյունը զուգահեռագիծ է: Այստեղից, .

Այստեղից։ Այսպիսով, A կետը հատվածի միջնակետն է, ինչը նշանակում է, որ փոքր եռանկյան AA 1 բարձրությունը մեծ եռանկյան ուղղահայաց կիսորդն է:

Նմանատիպ գործողություններ կարող են կատարվել B և C գագաթների համար: Մենք ստանում ենք, որ B-ն հատվածի միջնակետն է, BB 1-ը մեծ եռանկյունու կողմի ուղղահայաց կիսորդն է. C - միջնակետ, СС 1 - մեծ եռանկյան կողմին ուղղահայաց կիսորդ:

Մենք գիտենք, որ AA 1, BB 1, CC 1 մեծ եռանկյան ուղղահայաց կիսորդները հատվելու են մի կետում՝ H կետում: Մենք նաև գիտենք, որ այս ուղղահայաց կիսորդները փոքր եռանկյան բարձրություններն են, հետևաբար՝ եռանկյան բարձրությունները: հատվում են մի կետում H, Q.E.D.

Մենք ապացուցել ենք սուր եռանկյունու բարձրությունների հատման թեորեմը, դուք ինքներդ կարող եք նույն թեորեմն ապացուցել, եթե եռանկյունը սուր չէ: Օրինակ, եթե եռանկյունը ուղղանկյուն է, ապա ուղղանկյունը համընկնում է այն գագաթի հետ, որի վրա անկյունն ուղիղ է, քանի որ. բարձրություններից երկուսը համընկնում են ոտքերի հետ, իսկ երրորդը դուրս է գալիս այս գագաթից (տես նկ. 3):

Բրինձ. 3

Դիտարկենք մի հումորային առաջադրանք, որը թույլ կտա հիշել շատ կարևոր փաստեր։

Առաջադրանք

Տրվում է O կետի կենտրոնով և AB տրամագծով շրջան: C կետը շրջանագծից դուրս է: Օգտագործելով միայն քանոն, C կետից իջեցրեք AB ուղղահայաց գծին (տե՛ս նկ. 4):

Բրինձ. 4

Եկեք գծենք AC ուղիղ գիծ և ստանանք գծված ուղիղ գծի շրջանագծի հետ հատման կետը:

Եկեք գծենք BC ուղիղ գիծ և ստանանք գծված ուղիղ գծի շրջանագծի հետ հատման N կետը:

Եկեք գծենք ուղիղ գծեր AN և BM և ստանանք դրանց հատման կետը H (տես նկ. 5):

Ապացուցեք դա.

Բրինձ. 5

Ապացույց:

Մենք ուսումնասիրեցինք թեորեմներ ներգծված անկյունների և դրանց հետևանքների մասին: Համաձայն այս հետևություններից մեկի՝ տրամագծով թեքված ներգծված անկյունը ուղիղ անկյուն է, հետևաբար.

Հիշեցնենք, որ ներգծված անկյունը չափվում է այն աղեղի կեսով, որի վրա այն հենվում է:

Այսպիսով, այստեղից VM-ն եռանկյունու բարձրությունն է: Նաև AN-ը եռանկյան բարձրությունն է:

Եռանկյան երկու բարձրությունները հատվում են H կետում, մենք գիտենք, որ եռանկյան բոլոր երեք բարձրությունները հատվում են մի կետում, ինչը նշանակում է, որ երրորդ բարձրությունը կանցնի H կետով: Հետևաբար CK-ն եռանկյան բարձրությունն է՝ CK⊥AB, որը դա այն է, ինչ մենք պետք է ապացուցեինք:

Այսպիսով, այս դասում մենք նայեցինք եռանկյան բարձրությունների հատման թեորեմին և լուծեցինք կատակային խնդիր, որում հիշեցինք մի քանի կարևոր երկրաչափական փաստեր:

Մատենագիտություն

1. Ալեքսանդրով Ա.Դ. եւ այլն Երկրաչափություն 8-րդ դաս. - Մ.: Կրթություն, 2006 թ.
2. Բուտուզով Վ.Ֆ., Կադոմցև Ս.Բ., Պրասոլով Վ.Վ. Երկրաչափություն, 8-րդ դաս. - Մ.: Կրթություն, 2011:
3. Մերզլյակ Ա.Գ., Պոլոնսկի Վ.Բ., Յակիր Ս.Մ. Երկրաչափություն, 8-րդ դաս. - M.: VENTANA-GRAF, 2009 թ.

1. Home-edu.ru ().
2. Mat.1september.ru ().

Տնային աշխատանք

1. Առաջադրանք 1 - ապացուցել ուղղանկյուն եռանկյունու համար բարձրությունների հատման թեորեմը:
2. Առաջադրանք 2 - ապացուցել թեորեմը սուր եռանկյունու համար բարձրությունների հատման մասին:
3. Առաջադրանք 3 - տրված է O կենտրոնով և AB շառավղով շրջան: C կետը գտնվում է շրջանագծի ներսում: Օգտագործելով միայն քանոն, կառուցիր C կետից դեպի AB ուղիղ ուղղահայաց: