Բոլոր B7 խնդիրները, որոնք ես երբևէ տեսել եմ, ձևակերպվել են մոտավորապես նույն կերպ՝ լուծել հավասարումը: Այս դեպքում հավասարումները ինքնին պատկանում են երեք տեսակներից մեկին.

1. Լոգարիթմական;
2. Ինդիկատիվ;
3. Իռացիոնալ.

Ընդհանուր առմամբ, յուրաքանչյուր տեսակի հավասարումների ամբողջական ուղեցույցը կպահանջի ավելի քան մեկ տասնյակ էջ, որը շատ դուրս կգա միասնական պետական ​​քննության շրջանակներից: Ուստի մենք կդիտարկենք միայն պարզագույն պատճառաբանություններ և հաշվարկներ պահանջող ամենապարզ դեպքերը։ Այս գիտելիքները լիովին բավարար կլինեն ցանկացած B7 խնդիր լուծելու համար:

Մաթեմատիկայի մեջ «լուծել հավասարում» տերմինը նշանակում է գտնել տվյալ հավասարման բոլոր արմատների բազմությունը կամ ապացուցել, որ այդ բազմությունը դատարկ է: Բայց դուք կարող եք միայն թվեր մուտքագրել Պետական ​​միասնական քննության ձևաթղթում` առանց հավաքածուների: Հետևաբար, եթե B7 առաջադրանքում մեկից ավելի արմատ կար (կամ, ընդհակառակը, ոչ մեկը), ապա լուծման մեջ սխալ է տեղի ունեցել:

Լոգարիթմական հավասարումներ

Լոգարիթմական հավասարումը ցանկացած հավասարում է, որը վերածվում է ձևի լոգարի ա զ(x) = կ, Որտեղ ա > 0, ա≠ 1 - լոգարիթմի հիմք, զ(x) կամայական ֆունկցիա է, կ- որոշակի հաստատուն:

Այս հավասարումը լուծվում է k հաստատունը լոգարիթմի նշանի տակ ներմուծելով. կ=log ա ա կ. Նոր լոգարիթմի հիմքը հավասար է սկզբնականի հիմքին։ Մենք ստանում ենք հավասարումների մատյան ա զ(x) = գերան ա ա կ, որը լուծվում է լոգարիթմը գցելով։

Նշենք, որ պայմանով ա> 0, հետևաբար զ(x) = ա կ> 0, այսինքն. սկզբնական լոգարիթմը գոյություն ունի:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք հավասարումը log 7 (8 − x) = 2.

Լուծում. մատյան 7 (8 − x) = 2 ⇔ log 7 (8 − x) = log 7 7 2 ⇔ 8 − x = 49 ⇔ x = −41.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք հավասարումը log 0,5 (6 − x) = −2.

Լուծում. լոգ 0,5 (6 − x) = −2 ⇔ log 0,5 (6 − x) = log 0,5 0,5 −2 ⇔ 6 − x = 4 ⇔ x = 2.

Բայց ինչ անել, եթե սկզբնական հավասարումը պարզվի, որ ավելի բարդ է, քան ստանդարտ մատյանը ա զ(x) = կ? Այնուհետև մենք նվազեցնում ենք այն ստանդարտին, հավաքելով բոլոր լոգարիթմները մի կողմից, իսկ թվերը՝ մյուս կողմից:

Եթե ​​սկզբնական հավասարման մեջ կա մեկից ավելի լոգարիթմ, դուք պետք է փնտրեք լոգարիթմի տակ գտնվող յուրաքանչյուր ֆունկցիայի թույլատրելի արժեքների (ADV) միջակայքը: Հակառակ դեպքում, լրացուցիչ արմատներ կարող են հայտնվել:

Առաջադրանք. Լուծեք հավասարումը. log 5 ( x+ 1) + մատյան 5 ( x + 5) = 1.

Քանի որ հավասարման մեջ կա երկու լոգարիթմ, մենք գտնում ենք ODZ.

1. x + 1 > 0 ⇔ x > −1
2. x + 5 > 0 ⇔ x > −5

Մենք գտնում ենք, որ ODZ-ը միջակայքն է (−1, +∞): Այժմ լուծում ենք հավասարումը.

մատյան 5 ( x+ 1) + մատյան 5 ( x+ 5) = 1 ⇒ մատյան 5 ( x + 1)(x+ 5) = 1 ⇔ մատյան 5 ( x + 1)(x+ 5) = մատյան 5 5 1 ⇔ ( x + 1)(x + 5) = 5 ⇔ x 2 + 6x + 5 = 5 ⇔ x (x + 6) = 0 ⇔ x 1 = 0, x 2 = −6.

Բայց x 2 = -6-ը չի համապատասխանում DL-ին: Մնում է արմատը x 1 = 0.

Էքսպոնենցիալ հավասարումներ

Էքսպոնենցիալ հավասարումը ցանկացած հավասարում է, որը վերածվում է ձևի ա զ(x) = կ, Որտեղ ա > 0, ա≠ 1 - աստիճանի հիմք, զ(x) կամայական ֆունկցիա է, կ- որոշակի հաստատուն:

Այս սահմանումը գրեթե բառացի կրկնում է սահմանումը լոգարիթմական հավասարում. Էքսպոնենցիալ հավասարումները նույնիսկ ավելի հեշտ են լուծել, քան լոգարիթմականները, քանի որ այստեղ գործառույթը չի պահանջվում. զ(x) դրական էր։

Դա լուծելու համար մենք կկատարենք փոխարինում կ = ա տ, Որտեղ տ- ընդհանուր առմամբ, լոգարիթմը ( տ=log ա կ), բայց միասնական պետական ​​քննությունում թվերը աԵվ կկընտրվի այնպես, որ դուք գտնեք տհեշտ կլինի։ Ստացված հավասարման մեջ ա զ(x) = ա տհիմքերը հավասար են, ինչը նշանակում է, որ ցուցանիշները հավասար են, այսինքն. զ(x) = տ. Վերջին հավասարումը լուծելը սովորաբար խնդիրներ չի առաջացնում։

Առաջադրանք. Լուծեք հավասարումը: 7 x − 2 = 49.

Լուծում. 7 x − 2 = 49 ⇔ 7 x − 2 = 7 2 ⇔ x − 2 = 2 ⇔ x = 4.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք հավասարումը` 6 16 − x = 1/36.

Լուծում. 6 16 − x = 1/36 ⇔ 6 16 − x = 6 −2 ⇔ 16 − x = −2 ⇔ x = 18.

Մի քիչ էքսպոնենցիալ հավասարումների փոխակերպման մասին: Եթե ​​սկզբնական հավասարումը տարբերվում է ա զ(x) = k , մենք կիրառում ենք աստիճանների հետ աշխատելու կանոնները.

1. ա n · ա մ = ա n + մ ,
2. ա n / ա մ = ա n − մ ,
3. (ա n) մ = ա n · մ .

Բացի այդ, դուք պետք է իմանաք արմատները և կոտորակները ռացիոնալ ցուցիչով ուժերով փոխարինելու կանոնները.

Նման հավասարումները չափազանց հազվադեպ են պետական ​​միասնական քննության ժամանակ, բայց առանց դրանց B7 խնդրի վերլուծությունը թերի կլիներ:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք հավասարումը (5/7) x− 2 · (7/5) 2 x − 1 = 125/343

Ուշադրություն դարձրեք, որ.

1. (7/5) 2x − 1 = ((5/7) −1) 2x − 1 = (5/7) 1 − 2x ,
2. 125/343 = (5 3) /(7 3) = (5/7) 3 .

Մենք ունենք՝ (5/7) x− 2 · (7/5) 2 x − 1 = 125/343 ⇔ (5/7) x− 2 · (5/7) 1 − 2 x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) x − 2 + 1 − 2x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) −x − 1 = (5/7) 3 ⇔ −x − 1 = 3 ⇔ x = −4.

Իռացիոնալ հավասարումներ

Իռացիոնալ ասելով հասկանում ենք արմատային նշան պարունակող ցանկացած հավասարում։ Իռացիոնալ հավասարումների ամբողջ բազմազանությունից մենք կքննարկենք միայն ամենապարզ դեպքը, երբ հավասարումը ունի ձևը.

Այս հավասարումը լուծելու համար մենք երկու կողմերն էլ քառակուսի ենք դնում: Մենք ստանում ենք հավասարումը զ(x) = ա 2. Այս դեպքում ODZ-ի պահանջը ավտոմատ կերպով կատարվում է. զ(x) ≥ 0, քանի որ ա 2 ≥ 0. Մնում է լուծել պարզ հավասարումը զ(x) = ա 2 .

Առաջադրանք. Լուծե՛ք հավասարումը.

Երկու կողմերն էլ քառակուսի ենք դնում և ստանում՝ 5 x − 6 = 8 2 ⇔ 5x − 6 = 64 ⇔ 5x = 70 ⇔ x = 14.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք հավասարումը.

Նախ, ինչպես նախորդ անգամ, մենք երկու կողմերն էլ քառակուսի ենք դնում: Եվ հետո համարիչին ավելացրեք մինուս նշան: Մենք ունենք:

Նշենք, որ երբ x= −4 արմատի տակ կլինի դրական թիվ, այսինքն. ODZ-ի պահանջը բավարարվել է.

Իռացիոնալ անհավասարություններ

Իռացիոնալ անհավասարությունը անհավասարություն է, որի դեպքում անհայտ մեծությունները գտնվում են արմատական ​​նշանի տակ: Նման անհավասարությունների լուծումը սովորաբար բաղկացած է որոշ փոխակերպումների օգնությամբ դրանք փոխարինել համարժեք ռացիոնալ հավասարումներով, անհավասարություններով կամ հավասարումների և անհավասարությունների համակարգերով (հաճախ խառը համակարգեր, այսինքն՝ նրանք, որոնք ներառում են և՛ հավասարումներ, և՛ անհավասարություններ), և հետագայում լուծումը կարող է հետևել հետևյալին. վերը նշված քայլերը: Այս փոխակերպումները, բացի փոփոխականների փոխարինումից (նոր փոփոխականների ներմուծում) և ֆակտորիզացիայից, նույն աստիճանի են բարձրացնում նաև անհավասարության երկու մասերը։ Այնուամենայնիվ, անհրաժեշտ է վերահսկել մի անհավասարությունից մյուսին անցումների համարժեքությունը: Երբ անհավասարության արմատները անմտածված կերպով արտահայտվում են, կարող են կորցնել և ձեռք բերել: Օրինակ՝ ճիշտ անհավասարության քառակուսում -1<2, мы получим верное неравенство 1<4; из верного неравенства -5<2 получается уже неверное неравенство 25<4;из неверного неравенства 1<-2 получим верное неравенство 1<4; наконец, из неверного неравенства 5<2 получим неверное неравенство 25<4. Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств!

Այնուամենայնիվ, այստեղ օգտագործված հիմնական պնդումը ճշմարիտ է. եթե անհավասարության երկու կողմերն էլ ոչ բացասական են, ապա այն համարժեք է այն անհավասարությանը, որը ստացվում է դրանից տերմին առ տերմին աստիճանավորմամբ։

Անհավասարություններն այս կերպ լուծելիս պետք է զգույշ լինել, որպեսզի ավելորդ լուծումներ չստանաք։ Հետևաբար, հնարավորության դեպքում օգտակար է գտնել անհավասարության սահմանման տիրույթը, ինչպես նաև լուծումների հնարավոր արժեքների շրջանակը:

Էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական անհավասարություններ

Լուծելով էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական անհավասարություններնախորդում է համապատասխան գործառույթների հատկությունների ուսումնասիրությունը. էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական արտահայտությունների փոխակերպման բազմաթիվ առաջադրանքներ կատարելը. լոգարիթմներ և փոփոխականներ պարունակող հավասարումների լուծում ցուցիչներով. Լուծելով ամենապարզ անհավասարությունները, որոնք դիտարկվում են

որտեղ նշանակում է անհավասարություններից մեկը<,>,.

Փաստն այն է, որ սովորաբար այս թեման ներկայացվում է որպես բոլորովին նոր՝ հիմնվելով միայն այդ ֆունկցիաների նախկինում ուսումնասիրված հատկությունների վրա։ Ցանկալի է, իմ կարծիքով, դա կապել ընդհանրապես անհավասարությունների լուծման հետ (այսինքն արդեն հայտնի ալգորիթմի հետ): Հարկ է նշել, որ միջակայքի մեթոդը չի կարող ուղղակիորեն օգտագործվել: Բայց տարբեր էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական անհավասարությունների լուծումը կատարվում է հետևյալ կանոնների հիման վրա.

Եթե ​​a>1, ապա

Եթե ​​0

Եթե ​​a>1, ապա

Եթե ​​0

Որտեղ նշանը նշանակում է նշանի հակառակ իմաստը:

Օգտագործելով որ էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական անհավասարությունները սովորաբար կրճատվում են ռացիոնալների, որոնք արդեն կարելի է լուծել՝ օգտագործելով վերը նկարագրված ընդմիջումների մեթոդը:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող անհավասարություններ

Այս թեման վատ է լուսաբանվում ուսումնական գրականության մեջ, և որոշ դասագրքերում այն ​​հիմնականում վերցված է ուսումնասիրվող դասընթացի շրջանակներից դուրս (ինչպես արդեն քննարկվել է այս աշխատանքի I գլխում): Եռանկյունաչափական անհավասարություններից, որպես կանոն, դիտարկվում են միայն ամենապարզ տեսակները

Մինչդեռ այս կետին առնչվող գործնական մասում ներկայացված առաջադրանքները հանդիպում են մրցակցային խնդիրների ժողովածուներում, դիմորդների համար նախատեսված ժողովածուներում և բուհերի տեխնիկական ֆակուլտետների ընդունելության քննությունների համար նախատեսված նյութերում։ Նրանք. Այս նյութը պարտադիր չէ տարրական և ավագ դպրոցներում սովորելու համար, սակայն օգտակար է:

Ինտերվալ մեթոդը հատկապես արդյունավետ է եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով անհավասարությունների լուծման համար։ Այս մեթոդով զուտ եռանկյունաչափական անհավասարություններ լուծելիս, թվային առանցքի փոխարեն, հարմար է օգտագործել թվային շրջանագիծը, որը համապատասխան եռանկյունաչափական հավասարումների արմատներով (համար և հայտարար) բաժանվում է աղեղների, որոնք նույն դերն են խաղում, ինչ ինտերվալները։ թվային առանցքի վրա. Այս կամարների վրա լուծվող անհավասարությանը համապատասխանող եռանկյունաչափական արտահայտությունն ունի հաստատուն նշաններ, որոնք որոշելու համար կարող եք օգտագործել առանձին «հարմար» կետի կանոնը և արմատների բազմակի հատկությունը։ Հաճախ աղեղները որոշելու համար ամենևին էլ անհրաժեշտ չէ գտնել համապատասխան հավասարումների արմատների ամբողջ (անսահման) բազմությունը. Բավական է օգտագործել այս հավասարումները՝ գտնելու հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները (սինուս, կոսինուս, տանգենս, կոտանգենս) և նշել թվերի շրջանակի այն կետերը, որոնք համապատասխանում են այդ արժեքներին:

Դուք կարող եք ուղղակիորեն օգտագործել թվային շրջանագիծը սկզբնական եռանկյունաչափական անհավասարությունը լուծելու համար՝ օգտագործելով ինտերվալ մեթոդը, եթե բոլոր ֆունկցիաները, որոնցում գրված է անհավասարությունը, ունեն հիմնարար (ամենափոքր դրական) պարբերություն, կամ որտեղ m-ն ինչ-որ դրական ամբողջ թիվ է: Եթե ​​այս ֆունկցիաների հիմնական ժամանակաշրջանը կամ-ից մեծ է, ապա նախ պետք է փոխել փոփոխականները, այնուհետև օգտագործել թվերի շրջանակը:

Եթե ​​անհավասարությունը ներառում է և՛ եռանկյունաչափական, և՛ այլ ֆունկցիաներ, ապա այն լուծելու համար պետք է օգտագործել թվային գիծը՝ օգտագործելով միջակայքի մեթոդը:

Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության գործելակերպը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլ.փոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տեղեկությունները մեզ թույլ են տալիս կապ հաստատել ձեզ հետ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների հետ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​գործընթացներում և/կամ Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հրապարակային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա՝ բացահայտել ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան: