Հանրահաշիվ 11-րդ դասարան

Թեմա՝ « Լուծման մեթոդներ լոգարիթմական հավասարումներ »

Դասի նպատակները.

կրթական: մասին գիտելիքների ձևավորում տարբեր ճանապարհներլոգարիթմական հավասարումների լուծում, յուրաքանչյուր կոնկրետ իրավիճակում դրանք կիրառելու և լուծման ցանկացած մեթոդ ընտրելու ունակություն.

զարգացող: Դիտարկելու, համեմատելու, նոր իրավիճակում գիտելիքները կիրառելու, օրինաչափությունները բացահայտելու, ընդհանրացնելու հմտությունների զարգացում. փոխադարձ վերահսկողության և ինքնատիրապետման հմտությունների ձևավորում.

կրթական: ուսումնական աշխատանքի նկատմամբ պատասխանատու վերաբերմունքի կրթություն, դասի նյութի մանրակրկիտ ընկալում, հաշվառման ճշգրտություն.

Դասի տեսակը նոր նյութին ծանոթանալու դաս.

«Լոգարիթմների գյուտը, կարճացնելով աստղագետի աշխատանքը, երկարացրել է նրա կյանքը»։
Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս և աստղագետ Պ.Ս. Լապլասը

Դասերի ժամանակ

I. Դասի նպատակի սահմանում

Լոգարիթմի ուսումնասիրված սահմանումը, լոգարիթմների հատկությունները և լոգարիթմական ֆունկցիան թույլ կտան լուծել լոգարիթմական հավասարումներ։ Բոլոր լոգարիթմական հավասարումները, անկախ նրանից, թե որքան բարդ են դրանք, լուծվում են նույն ալգորիթմների միջոցով: Այս ալգորիթմները մենք կդիտարկենք այսօր դասում: Դրանք քիչ են։ Եթե ​​դուք տիրապետում եք դրանց, ապա լոգարիթմների հետ ցանկացած հավասարում հնարավոր կլինի ձեզանից յուրաքանչյուրի համար:

Տետրումդ գրի՛ր դասի թեման՝ «Լոգարիթմական հավասարումների լուծման մեթոդներ»։ Բոլորին հրավիրում եմ համագործակցության։

II. Հիմնական գիտելիքների թարմացում

Եկեք պատրաստվենք ուսումնասիրելու դասի թեման: Յուրաքանչյուր առաջադրանք լուծում ես և պատասխանը գրում, պայմանը չես կարող գրել։ Աշխատանք զույգերով.

1) x-ի ո՞ր արժեքների համար է ֆունկցիան իմաստավորում.

Ա)

բ)

V)

ե)

(Պատասխանները ստուգվում են յուրաքանչյուր սլայդի համար, և սխալները դասավորված են)

2) Արդյո՞ք ֆունկցիաների գրաֆիկները համընկնում են:

ա) y = x և

բ)Եվ

3) Հավասարությունները վերագրեք որպես լոգարիթմական հավասարումներ.

4) Թվերը գրեք որպես լոգարիթմներ 2 հիմքով.

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Հաշվել :

6) Փորձեք վերականգնել կամ լրացնել այս հավասարություններում բացակայող տարրերը:

III. Ներածություն նոր նյութին

Հայտարարությունը ցուցադրվում է էկրանին.

«Հավասարումը ոսկե բանալին է, որը բացում է բոլոր մաթեմատիկական քնջութը»:
Ժամանակակից լեհ մաթեմատիկոս Ս.Կովալ

Փորձեք ձևակերպել լոգարիթմական հավասարման սահմանումը: (Լոգարիթմի նշանի տակ անհայտ պարունակող հավասարում ).

Հաշվի առեքամենապարզ լոգարիթմական հավասարումը. գերան Ա x = բ (որտեղ a>0, a ≠ 1): Քանի որ լոգարիթմական ֆունկցիան մեծանում է (կամ նվազում) դրական թվերի բազմության վրա և ընդունում է բոլոր իրական արժեքները, արմատի թեորեմից հետևում է, որ ցանկացած b-ի համար այս հավասարումն ունի, ընդ որում, միայն մեկ լուծում և դրական:

Հիշեք լոգարիթմի սահմանումը: (x թվի լոգարիթմը դեպի a հիմքը այն ցուցիչն է, որին պետք է բարձրացնել a հիմքը՝ x թիվը ստանալու համար: ) Լոգարիթմի սահմանումից անմիջապես հետեւում է, որԱ Վ այդպիսի լուծում է.

Վերնագիրը գրի՛ր.Լոգարիթմական հավասարումների լուծման մեթոդներ

1. Լոգարիթմի սահմանմամբ .

Այսպես են ձևի ամենապարզ հավասարումները.

Հաշվի առեքԹիվ 514 (ա ): Լուծե՛ք հավասարումը

Ինչպե՞ս եք առաջարկում լուծել այն: (Լոգարիթմի սահմանմամբ )

Լուծում . , Հետեւաբար 2x - 4 = 4; x = 4.

Պատասխան՝ 4.

Այս առաջադրանքում 2x - 4 > 0, քանի որ> 0, այնպես որ ոչ մի կողմնակի արմատ չի կարող հայտնվել, ևստուգումը անհրաժեշտ չէ . Այս առաջադրանքում 2x - 4 > 0 պայմանը պետք չէ դուրս գրել:

2. Հզորացում (տվյալ արտահայտության լոգարիթմից անցում հենց այս արտահայտությանը):

Հաշվի առեքԹիվ 519 (g): գերան 5 ( x 2 +8)- գերան 5 ( x+1)=3 գերան 5 2

Ի՞նչ հատկանիշ եք նկատել:(Հիմքերը նույնն են, և երկու արտահայտությունների լոգարիթմները հավասար են) . Ի՞նչ կարելի է անել:(ուժեղացնել):

Այս դեպքում պետք է հաշվի առնել, որ ցանկացած լուծում պարունակվում է բոլոր x-երի մեջ, որոնց համար լոգարիթմի արտահայտությունները դրական են։

Լուծում: ՕՁ:

X 2 +8>0 հավելյալ անհավասարություն

գերան 5 ( x 2 +8) = գերան 5 2 3 + գերան 5 ( x+1)

գերան 5 ( x 2 +8)= գերան 5 (8 x+8)

Հզորացրեք սկզբնական հավասարումը

x 2 +8= 8 x+8

մենք ստանում ենք հավասարումըx 2 +8= 8 x+8

Եկեք լուծենք.x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Պատասխան՝ 0; 8

Ընդհանուր առմամբանցում համարժեք համակարգի :

Հավասարումը

(Համակարգը պարունակում է ավելորդ պայման՝ անհավասարություններից մեկը կարելի է անտեսել):

Հարց դասարանին Այս երեք լուծումներից ո՞րն է ձեզ ամենաշատը դուր եկել: (Մեթոդների քննարկում):

Դուք իրավունք ունեք որոշելու ցանկացած ձևով:

3. Նոր փոփոխականի ներդրում .

Հաշվի առեքԹիվ 520 (գ) . .

Ի՞նչ նկատեցիք։ (Սա քառակուսի հավասարում է log3x-ի համար) Ձեր առաջարկները. (Ներկայացնել նոր փոփոխական)

Լուծում . ՕՁ՝ x > 0:

Թող, ապա հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.. Դրիմինանտ D > 0. Արմատները Վիետայի թեորեմով..

Վերադարձ դեպի փոխարինում՝կամ.

Լուծելով ամենապարզ լոգարիթմական հավասարումները՝ ստանում ենք.

; .

Պատասխանել : 27;

4. Հավասարման երկու կողմերի լոգարիթմ.

Լուծե՛ք հավասարումը..

Լուծում ODZ՝ x>0, 10 հիմքում վերցնում ենք հավասարման երկու կողմերի լոգարիթմը.

. Կիրառել աստիճանի լոգարիթմի հատկությունը.

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Թող lgx = y, ապա (y + 3)y = 4

, (D > 0) արմատներն ըստ Վիետայի թեորեմի՝ y1 = -4 և y2 = 1։

Եկեք վերադառնանք փոխարինմանը, մենք ստանում ենք. lgx = -4,; logx = 1,. . Դա հետեւյալն է: եթե գործառույթներից մեկը y = f(x) ավելանում է և մյուսը y = g(x) նվազում է X միջակայքում, ապա հավասարումը f(x)=g(x) ունի առավելագույնը մեկ արմատ X միջակայքում .

Եթե ​​արմատ կա, ուրեմն կարելի է կռահել։ .

Պատասխանել : 2

« Ճիշտ օգտագործումըմեթոդները կարելի է սովորել
միայն դրանք կիրառելով տարբեր օրինակների վրա:
Դանիացի մաթեմատիկայի պատմաբան G. G. Zeiten

Ի v. Տնային աշխատանք

P. 39 հաշվի առեք օրինակ 3-ը, լուծեք թիվ 514 (բ), թիվ 529 (բ), թիվ 520 (բ), թիվ 523 (բ)

V. Դասի ամփոփում

Լոգարիթմական հավասարումների լուծման ի՞նչ մեթոդներ ենք դիտարկել դասում:

Հաջորդ դասում մենք ավելին կանդրադառնանք բարդ հավասարումներ. Դրանք լուծելու համար օգտակար են ուսումնասիրված մեթոդները։

Ցուցադրվում է վերջին սլայդը.

«Ի՞նչն է ավելին, քան ամեն ինչ աշխարհում:
Տիեզերք.
Ո՞րն է ամենաիմաստունը:
Ժամանակը.
Ո՞րն է ամենահաճելին:
Հասնի՛ր քո ուզածին»։
Թալես

Ես ուզում եմ, որ յուրաքանչյուրը հասնի իր ուզածին։ Շնորհակալություն համագործակցության և փոխըմբռնման համար։

Այս տեսանյութով ես սկսում եմ դասերի երկար շարք լոգարիթմական հավասարումների մասին: Այժմ դուք ունեք միանգամից երեք օրինակ, որոնց հիման վրա մենք կսովորենք լուծել ամենապարզ խնդիրները, որոնք կոչվում են այսպես. նախակենդանիներ.

log 0.5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Հիշեցնեմ, որ ամենապարզ լոգարիթմական հավասարումը հետևյալն է.

log a f(x) = b

Կարևոր է, որ x փոփոխականը առկա է միայն արգումենտի ներսում, այսինքն՝ միայն f(x) ֆունկցիայում։ Իսկ a և b թվերը պարզապես թվեր են, և ոչ մի դեպքում x փոփոխական պարունակող ֆունկցիաներ չեն։

Լուծման հիմնական մեթոդները

Նման կառույցները լուծելու բազմաթիվ եղանակներ կան։ Օրինակ՝ դպրոցի ուսուցիչներից շատերն առաջարկում են այսպես. Անմիջապես արտահայտեք f ( x) ֆունկցիան՝ օգտագործելով բանաձևը. զ( x) = ա բ . Այսինքն՝ երբ հանդիպես ամենապարզ շինարարությանը, կարող ես անմիջապես անցնել լուծմանը՝ առանց լրացուցիչ գործողությունների ու կոնստրուկցիաների։

Այո, իհարկե, որոշումը ճիշտ կստացվի։ Այնուամենայնիվ, այս բանաձեւի խնդիրն այն է, որ ուսանողների մեծ մասը չեմ հասկանում, որտեղից է այն գալիս և ինչու հենց մենք a տառը բարձրացնում ենք բ տառին:

Արդյունքում, ես հաճախ նկատում եմ շատ վիրավորական սխալներ, երբ, օրինակ, այս տառերը փոխանակվում են: Այս բանաձևը կամ պետք է հասկանալ, կամ անգիր անել, իսկ երկրորդ մեթոդը հանգեցնում է սխալների ամենաանպատեհ և ամենակարևոր պահերին՝ քննությունների, թեստերի և այլն:

Այդ իսկ պատճառով ես իմ բոլոր աշակերտներին առաջարկում եմ հրաժարվել ստանդարտ դպրոցի բանաձևից և օգտագործել լոգարիթմական հավասարումներ լուծելու երկրորդ մոտեցումը, որը, ինչպես հավանաբար կռահեցիք անունից, կոչվում է. կանոնական ձև.

Կանոնական ձևի գաղափարը պարզ է. Եկեք նորից նայենք մեր առաջադրանքին՝ ձախ կողմում ունենք log a , մինչդեռ a տառը նշանակում է հենց թիվը, և ոչ մի դեպքում x փոփոխական պարունակող ֆունկցիան։ Հետևաբար, այս նամակը ենթակա է բոլոր սահմանափակումների, որոնք դրվում են լոգարիթմի հիմքի վրա: այսինքն:

1 ≠ a > 0

Մյուս կողմից, նույն հավասարումից տեսնում ենք, որ լոգարիթմը պետք է հավասար լինի b թվին, և այս տառի վրա որևէ սահմանափակում չի դրվում, քանի որ այն կարող է վերցնել ցանկացած արժեք՝ և՛ դրական, և՛ բացասական։ Ամեն ինչ կախված է նրանից, թե ինչ արժեքներ է վերցնում f(x) ֆունկցիան:

Եվ այստեղ մենք հիշում ենք մեր հրաշալի կանոնը, որ ցանկացած b թիվը կարող է ներկայացվել որպես լոգարիթմ a հիմքում a-ից մինչև b-ի հզորությունը.

b = log a a b

Ինչպե՞ս հիշել այս բանաձևը: Այո, շատ պարզ: Գրենք հետևյալ շինարարությունը.

b = b 1 = b log a a

Իհարկե, այս դեպքում առաջանում են այն բոլոր սահմանափակումները, որոնք մենք սկզբում գրել ենք։ Իսկ հիմա օգտագործենք լոգարիթմի հիմնական հատկությունը և b գործակիցը մուտքագրենք որպես a-ի ուժ։ Մենք ստանում ենք.

b = b 1 = b log a a = log a a b

Արդյունքում, սկզբնական հավասարումը կվերագրվի հետևյալ ձևով.

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Այսքանը: Նոր ֆունկցիան այլևս չի պարունակում լոգարիթմ և լուծվում է ստանդարտ հանրահաշվական տեխնիկայով։

Իհարկե, ինչ-որ մեկը հիմա կառարկի. ինչո՞ւ էր ընդհանրապես պետք գալ ինչ-որ կանոնական բանաձև, ինչո՞ւ կատարել երկու լրացուցիչ ավելորդ քայլ, եթե հնարավոր էր անմիջապես սկզբնական կառուցումից անցնել վերջնական բանաձևին: Այո, թեկուզ միայն այն պատճառով, որ ուսանողների մեծ մասը չի հասկանում, թե որտեղից է գալիս այս բանաձևը և, հետևաբար, պարբերաբար սխալներ են թույլ տալիս այն կիրառելիս:

Բայց գործողությունների նման հաջորդականությունը, որը բաղկացած է երեք քայլից, թույլ է տալիս լուծել սկզբնական լոգարիթմական հավասարումը, նույնիսկ եթե չես հասկանում, թե որտեղից է գալիս այդ վերջնական բանաձևը։ Ի դեպ, այս մուտքը կոչվում է կանոնական բանաձև.

log a f(x) = log a a b

Կանոնական ձևի հարմարավետությունը կայանում է նաև նրանում, որ այն կարող է օգտագործվել լոգարիթմական հավասարումների շատ լայն դասի լուծման համար, և ոչ միայն ամենապարզները, որոնք մենք այսօր դիտարկում ենք:

Լուծման օրինակներ

Իսկ հիմա դիտարկենք իրական օրինակներ. Այսպիսով, եկեք որոշենք.

log 0.5 (3x - 1) = -3

Եկեք վերաշարադրենք այն այսպես.

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Շատ ուսանողներ շտապում են և փորձում են անմիջապես բարձրացնել 0,5 թիվը այն հզորության, որը մեզ հասել է սկզբնական խնդրից: Եվ իսկապես, երբ դուք արդեն լավ պատրաստված եք նման խնդիրների լուծմանը, կարող եք անմիջապես կատարել այս քայլը։

Այնուամենայնիվ, եթե հիմա նոր եք սկսել ուսումնասիրել այս թեման, ապա ավելի լավ է ոչ մի տեղ չշտապել՝ վիրավորական սխալներ թույլ չտալու համար։ Այսպիսով, մենք ունենք կանոնական ձև: Մենք ունենք:

3x - 1 = 0,5 -3

Սա այլևս լոգարիթմական հավասարում չէ, այլ գծային x փոփոխականի նկատմամբ: Այն լուծելու համար նախ գործ ունենանք −3-ի 0,5 թվի հետ։ Նշենք, որ 0.5-ը 1/2 է:

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Լոգարիթմական հավասարումը լուծելիս բոլոր տասնորդականները փոխարկեք կոտորակների:

Մենք վերագրում ենք և ստանում.

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Այն ամենը, ինչ մենք ստացել ենք պատասխանը: Առաջին խնդիրը լուծված է.

Երկրորդ առաջադրանք

Անցնենք երկրորդ առաջադրանքին.

Ինչպես տեսնում եք, այս հավասարումն այլևս ամենապարզը չէ։ Եթե ​​միայն այն պատճառով, որ տարբերությունը ձախ կողմում է, և ոչ մի լոգարիթմ մեկ հիմքում:

Հետեւաբար, դուք պետք է ինչ-որ կերպ ձերբազատվեք այս տարբերությունից: Այս դեպքում ամեն ինչ շատ պարզ է. Եկեք մանրամասն նայենք հիմքերին. ձախ կողմում արմատի տակ գտնվող թիվը.

Ընդհանուր առաջարկություն. բոլոր լոգարիթմական հավասարումներում փորձեք ազատվել ռադիկալներից, այսինքն՝ արմատներով մուտքերից և անցնել ուժային ֆունկցիաներին, պարզապես այն պատճառով, որ այդ հզորությունների ցուցիչները հեշտությամբ դուրս են բերվում լոգարիթմի նշանից և, ի վերջո, այդպիսին. նշումը մեծապես պարզեցնում և արագացնում է հաշվարկները: Գրենք այսպես.

Հիմա մենք հիշում ենք հրաշալի գույքլոգարիթմ. փաստարկից, ինչպես նաև հիմքից կարող եք աստիճաններ հանել: Հիմքերի դեպքում տեղի է ունենում հետևյալը.

log a k b = 1/k լոգա բ

Այսինքն՝ այն թիվը, որը կանգնած էր հիմքի աստիճանում, առաջ է բերվում և միաժամանակ շրջվում, այսինքն՝ դառնում է թվի փոխադարձ։ Մեր դեպքում կար 1/2 ցուցիչով բազայի աստիճան։ Հետևաբար, մենք կարող ենք այն հանել որպես 2/1: Մենք ստանում ենք.

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. այս քայլով ոչ մի դեպքում չպետք է ձերբազատվեք լոգարիթմներից: Մտածեք մաթեմատիկայի 4-5-րդ դասարանի և գործողությունների հերթականության մասին՝ նախ կատարվում է բազմապատկում, հետո միայն գումարում և հանում: Այս դեպքում 10 տարրից հանում ենք նույն տարրերից մեկը.

9 log 5 x = 18
մատյան 5 x = 2

Այժմ մեր հավասարումը կարծես թե պետք է լինի: Սա ամենապարզ դիզայնը, և այն լուծում ենք կանոնական ձևով.

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Այսքանը: Երկրորդ խնդիրը լուծված է.

Երրորդ օրինակ

Անցնենք երրորդ առաջադրանքին.

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Հիշեք հետևյալ բանաձևը.

log b = log 10 b

Եթե ​​ինչ-ինչ պատճառներով ձեզ շփոթեցնում են lg b գրելով, ապա բոլոր հաշվարկներն անելիս կարող եք պարզապես գրել log 10 b ։ Դուք կարող եք աշխատել տասնորդական լոգարիթմների հետ այնպես, ինչպես մյուսների հետ՝ հանել ուժերը, ավելացնել և ցանկացած թիվ ներկայացնել որպես lg 10:

Հենց այս հատկություններն են, որոնք մենք այժմ կօգտագործենք խնդիրը լուծելու համար, քանի որ դա ամենապարզը չէ, որ մենք գրել ենք մեր դասի հենց սկզբում:

Սկզբից նշենք, որ lg 5-ից առաջ 2-րդ գործակիցը կարող է տեղադրվել և դառնում է 5-րդ հիմքի հզորություն: Բացի այդ, ազատ տերմինը 3-ը կարող է ներկայացվել նաև որպես լոգարիթմ. դա շատ հեշտ է դիտարկել մեր նշումից:

Ինքներդ դատեք. ցանկացած թիվ կարող է ներկայացվել որպես տեղեկամատյան 10 հիմքի վրա:

3 = մատյան 10 10 3 = մատյան 10 3

Ստացված փոփոխությունները հաշվի առնելով վերաշարադրենք սկզբնական խնդիրը.

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Մեր առջև կրկին կանոնական ձևն է, և մենք այն ստացել ենք՝ շրջանցելով փոխակերպումների փուլը, այսինքն՝ ամենապարզ լոգարիթմական հավասարումը մեզ մոտ ոչ մի տեղ չի առաջացել։

Դա այն է, ինչի մասին ես խոսում էի հենց դասի սկզբում: Կանոնական ձևը թույլ է տալիս լուծել խնդիրների ավելի լայն դաս, քան դպրոցի ստանդարտ բանաձևը, որը տրվում է դպրոցի ուսուցիչների մեծ մասի կողմից:

Այսքանը, մենք ազատվում ենք տասնորդական լոգարիթմի նշանից և ստանում ենք պարզ գծային կառուցվածք.

x + 3 = 25000
x = 24997

Բոլորը! Խնդիրը լուծված է.

Նշում շրջանակի մասին

Այստեղ ես կցանկանայի մի կարևոր նկատառում անել սահմանման տիրույթի վերաբերյալ. Իհարկե, հիմա կան ուսանողներ և ուսուցիչներ, ովքեր կասեն. «Երբ մենք լուծում ենք արտահայտությունները լոգարիթմներով, պարտադիր է հիշել, որ f (x) փաստարկը պետք է լինի զրոյից մեծ»: Այս առումով տրամաբանական հարց է ծագում՝ ինչո՞ւ դիտարկված խնդիրներից ոչ մեկում չպահանջեցինք, որ այդ անհավասարությունը բավարարվի։

Մի անհանգստացիր. Այս դեպքերում լրացուցիչ արմատներ չեն հայտնվի: Եվ սա եւս մեկ հիանալի հնարք է, որը թույլ է տալիս արագացնել լուծումը։ Պարզապես իմացեք, որ եթե խնդրի մեջ x փոփոխականը հանդիպում է միայն մեկ տեղում (ավելի ճիշտ՝ մեկ ու միակ լոգարիթմի միակ արգումենտում), իսկ մեր դեպքում ոչ մի այլ տեղ x փոփոխականը, ապա գրեք տիրույթը։ կարիք չկաքանի որ այն կաշխատի ավտոմատ կերպով:

Ինքներդ դատեք. առաջին հավասարման մեջ մենք ստացանք, որ 3x - 1, այսինքն՝ արգումենտը պետք է հավասար լինի 8-ի: Սա ինքնաբերաբար նշանակում է, որ 3x - 1-ը մեծ կլինի զրոյից:

Նույն հաջողությամբ կարող ենք գրել, որ երկրորդ դեպքում x-ը պետք է հավասար լինի 5 2-ի, այսինքն՝ անշուշտ զրոյից մեծ է։ Եվ երրորդ դեպքում, որտեղ x + 3 = 25,000, այսինքն, կրկին ակնհայտորեն մեծ է զրոյից: Այլ կերպ ասած, շրջանակը ավտոմատ է, բայց միայն այն դեպքում, եթե x-ը տեղի է ունենում միայն մեկ լոգարիթմի արգումենտում։

Դա այն ամենն է, ինչ դուք պետք է իմանաք պարզ խնդիրներ լուծելու համար: Միայն այս կանոնը փոխակերպման կանոնների հետ միասին թույլ կտա լուծել խնդիրների շատ լայն դաս։

Բայց եկեք անկեղծ լինենք. այս տեխնիկան վերջապես հասկանալու համար, որպեսզի սովորենք, թե ինչպես կիրառել լոգարիթմական հավասարման կանոնական ձևը, բավական չէ միայն մեկ տեսադաս դիտելը: Այսպիսով, ներբեռնեք ընտրանքները հենց հիմա անկախ լուծում, որոնք կցված են այս վիդեո ձեռնարկին և սկսում են լուծել այս երկու անկախ աշխատանքներից գոնե մեկը։

Ձեզանից ընդամենը մի քանի րոպե կպահանջվի: Բայց նման ուսուցման ազդեցությունը շատ ավելի մեծ կլինի, եթե դուք պարզապես դիտեք այս տեսանյութի ձեռնարկը:

Հուսով եմ, որ այս դասը կօգնի ձեզ հասկանալ լոգարիթմական հավասարումները: Կիրառեք կանոնական ձևը, պարզեցրեք արտահայտությունները՝ օգտագործելով լոգարիթմների հետ աշխատելու կանոնները, և դուք չեք վախենա որևէ առաջադրանքից: Եվ սա այն ամենն է, ինչ ես ունեմ այսօրվա համար:

Շրջանակի քննարկում

Այժմ խոսենք լոգարիթմական ֆունկցիայի տիրույթի մասին, ինչպես նաև այն մասին, թե ինչպես է դա ազդում լոգարիթմական հավասարումների լուծման վրա։ Դիտարկենք ձևի կառուցվածքը

log a f(x) = b

Նման արտահայտությունը կոչվում է ամենապարզը՝ այն ունի միայն մեկ ֆունկցիա, իսկ a և b թվերը պարզապես թվեր են, և ոչ մի դեպքում ֆունկցիա չեն, որը կախված է x փոփոխականից։ Այն լուծվում է շատ պարզ. Պարզապես պետք է օգտագործել բանաձևը.

b = log a a b

Այս բանաձևը լոգարիթմի հիմնական հատկություններից մեկն է, և մեր սկզբնական արտահայտության մեջ փոխարինելիս մենք ստանում ենք հետևյալը.

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Սա արդեն ծանոթ բանաձեւ է դպրոցական դասագրքերից։ Շատ ուսանողների մոտ, հավանաբար, հարց կառաջանա. քանի որ սկզբնական արտահայտության f ( x) ֆունկցիան գտնվում է log նշանի տակ, դրա վրա դրվում են հետևյալ սահմանափակումները.

f(x) > 0

Այս սահմանափակումը վավեր է, քանի որ բացասական թվերի լոգարիթմ գոյություն չունի: Այսպիսով, միգուցե այս սահմանափակման պատճառով դուք պետք է պատասխանների ստուգում մտցնե՞ք: Միգուցե դրանք պետք է փոխարինվեն սկզբնաղբյուրում:

Ոչ, ամենապարզ լոգարիթմական հավասարումների դեպքում լրացուցիչ ստուգումն ավելորդ է։ Եվ ահա թե ինչու։ Նայեք մեր վերջնական բանաձևին.

f(x) = a b

Փաստն այն է, որ a թիվը ամեն դեպքում 0-ից մեծ է, այս պահանջը նույնպես դրված է լոգարիթմի կողմից: Ա թիվը հիմքն է։ Այս դեպքում բ թվի նկատմամբ սահմանափակումներ չեն դրվում: Բայց սա նշանակություն չունի, քանի որ անկախ նրանից, թե ինչ աստիճանով բարձրացնենք դրական թիվ, միեւնույն է, արդյունքի դեպքում դրական թիվ ենք ստանալու։ Այսպիսով, f (x) > 0 պահանջը կատարվում է ավտոմատ կերպով:

Այն, ինչ իսկապես արժե ստուգել, ​​դա մատյան նշանի տակ գտնվող ֆունկցիայի շրջանակն է: Կարող են լինել բավականին բարդ ձևավորումներ, որոնց լուծման ընթացքում դուք անպայման պետք է հետևեք դրանց։ Եկեք նայենք:

Առաջին առաջադրանք.

Առաջին քայլ՝ փոխակերպեք աջ կողմում գտնվող կոտորակը: Մենք ստանում ենք.

Մենք ազատվում ենք լոգարիթմի նշանից և ստանում ենք սովորական իռացիոնալ հավասարումը.

Ստացված արմատներից մեզ միայն առաջինն է սազում, քանի որ երկրորդ արմատը զրոյից փոքր է։ Միակ պատասխանը կլինի 9 թիվը, վերջ, խնդիրը լուծված է։ Լոգարիթմի նշանի տակ արտահայտությունը 0-ից մեծ լինելու մասին լրացուցիչ ստուգումներ չեն պահանջվում, քանի որ այն ոչ միայն 0-ից մեծ է, այլ հավասարման պայմանով այն հավասար է 2-ի: Հետևաբար, «զրոյից մեծ» պահանջը ինքնաբերաբար է: կատարվել է.

Անցնենք երկրորդ առաջադրանքին.

Այստեղ ամեն ինչ նույնն է. Մենք վերագրում ենք շինարարությունը՝ փոխարինելով եռակի.

Մենք ազատվում ենք լոգարիթմի նշաններից և ստանում իռացիոնալ հավասարում.

Երկու մասերն էլ քառակուսի ենք դնում՝ հաշվի առնելով սահմանափակումները, և ստանում ենք.

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 -4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Ստացված հավասարումը լուծում ենք դիսկրիմինանտի միջոցով.

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Բայց x = −6 մեզ չի համապատասխանում, քանի որ եթե այս թիվը փոխարինենք մեր անհավասարությամբ, կստանանք.

−6 + 4 = −2 < 0

Մեր դեպքում պահանջվում է, որ այն լինի 0-ից մեծ կամ ծայրահեղ դեպքում հավասար։ Բայց x = −1 մեզ հարմար է.

−1 + 4 = 3 > 0

Մեր դեպքում միակ պատասխանը x = −1 է: Սա է ամբողջ լուծումը: Վերադառնանք մեր հաշվարկների հենց սկզբին։

Այս դասից հիմնական եզրակացությունն այն է, որ ամենապարզ լոգարիթմական հավասարումների մեջ ֆունկցիայի սահմանները ստուգելը պարտադիր չէ: Քանի որ լուծման գործընթացում բոլոր սահմանափակումները կատարվում են ավտոմատ կերպով:

Այնուամենայնիվ, սա ոչ մի կերպ չի նշանակում, որ դուք կարող եք ընդհանրապես մոռանալ ստուգման մասին: Լոգարիթմական հավասարման վրա աշխատելու գործընթացում այն ​​կարող է վերածվել իռացիոնալի, որը կունենա իր սահմանափակումներն ու պահանջները աջ կողմի համար, ինչը մենք այսօր տեսանք երկու տարբեր օրինակներով:

Ազատորեն լուծեք նման խնդիրները և հատկապես զգույշ եղեք, եթե վեճի մեջ արմատ կա:

Տարբեր հիմքերով լոգարիթմական հավասարումներ

Մենք շարունակում ենք ուսումնասիրել լոգարիթմական հավասարումները և վերլուծել ևս երկու բավականին հետաքրքիր հնարքներ, որոնցով մոդայիկ է ավելի բարդ կառուցվածքներ լուծելը։ Բայց նախ, եկեք հիշենք, թե ինչպես են լուծվում ամենապարզ խնդիրները.

log a f(x) = b

Այս նշումով a-ն և b-ն ընդամենը թվեր են, իսկ f (x) ֆունկցիայում x փոփոխականը պետք է ներկա լինի, և միայն այնտեղ, այսինքն՝ x-ը պետք է լինի միայն արգումենտում: Մենք կվերափոխենք նման լոգարիթմական հավասարումները՝ օգտագործելով կանոնական ձևը։ Դրա համար մենք նշում ենք, որ

b = log a a b

Իսկ b-ն ընդամենը փաստարկ է: Այս արտահայտությունը վերաշարադրենք հետևյալ կերպ.

log a f(x) = log a a b

Սա հենց այն է, ինչին մենք փորձում ենք հասնել, որպեսզի և՛ ձախ, և՛ աջ կողմում լինի a հիմքի լոգարիթմ: Այս դեպքում մենք կարող ենք, պատկերավոր ասած, խաչել լոգի նշանները, իսկ մաթեմատիկայի տեսակետից կարելի է ասել, որ փաստարկները պարզապես հավասարեցնում ենք.

f(x) = a b

Արդյունքում մենք ստանում ենք նոր արտահայտություն, որը շատ ավելի հեշտ կլուծվի։ Եկեք այս կանոնը կիրառենք մեր այսօրվա առաջադրանքների վրա։

Այսպիսով, առաջին դիզայնը.

Նախ նշեմ, որ աջ կողմում կոտորակ կա, որի հայտարարը լոգն է։ Երբ տեսնում եք այսպիսի արտահայտություն, արժե հիշել լոգարիթմների հրաշալի հատկությունը.

Ռուսերեն թարգմանված՝ սա նշանակում է, որ ցանկացած լոգարիթմ կարող է ներկայացվել որպես երկու լոգարիթմների քանորդ՝ ցանկացած հիմքով c: Իհարկե, 0< с ≠ 1.

Այսպիսով, այս բանաձևը ունի մեկ հիանալի հատուկ դեպք, երբ c փոփոխականը հավասար է փոփոխականին բ. Այս դեպքում մենք ստանում ենք ձևի կառուցվածք.

Հենց այս շինարարությունն է, որ մենք դիտարկում ենք մեր հավասարման աջ կողմի նշանից: Այս կոնստրուկցիան փոխարինենք log a b-ով, ստանում ենք.

Այլ կերպ ասած, սկզբնական առաջադրանքի համեմատ մենք փոխել ենք արգումենտը և լոգարիթմի հիմքը։ Փոխարենը, մենք ստիպված եղանք շրջել կոտորակը:

Հիշում ենք, որ ցանկացած աստիճան կարելի է հանել բազայից հետևյալ կանոնի համաձայն.

Այսինքն, k գործակիցը, որը հիմքի աստիճանն է, հանվում է որպես շրջված կոտորակ։ Դուրս բերենք որպես շրջված կոտորակ.

Կոտորակի գործոնը չի կարող առաջ մնալ, քանի որ այս դեպքում մենք չենք կարողանա այս մուտքը ներկայացնել որպես կանոնական ձև (ի վերջո, կանոնական ձևով երկրորդ լոգարիթմի դիմաց լրացուցիչ գործոն չկա): Հետևաբար, փաստարկի 1/4 կոտորակը դնենք որպես ուժ.

Այժմ մենք հավասարեցնում ենք այն փաստարկները, որոնց հիմքերը նույնն են (և մենք իսկապես ունենք նույն հիմքերը), և գրում ենք.

x + 5 = 1

x = −4

Այսքանը: Մենք ստացանք առաջին լոգարիթմական հավասարման պատասխանը. Ուշադրություն դարձրեք. սկզբնական խնդրի մեջ x փոփոխականը հանդիպում է միայն մեկ գրանցամատյանում և այն իր արգումենտում է: Հետևաբար, տիրույթը ստուգելու կարիք չկա, և մեր x = −4 թիվը իսկապես պատասխանն է։

Այժմ անցնենք երկրորդ արտահայտությանը.

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Այստեղ, բացի սովորական լոգարիթմներից, մենք ստիպված կլինենք աշխատել lg f (x) հետ։ Ինչպե՞ս լուծել նման հավասարումը: Անպատրաստ ուսանողին կարող է թվալ, թե սա ինչ-որ թիթեղ է, բայց իրականում ամեն ինչ տարրականորեն լուծված է։

Ուշադիր նայեք lg 2 log 2 7. Ի՞նչ կարող ենք ասել դրա մասին: log-ի և lg-ի հիմքերն ու փաստարկները նույնն են, և դա պետք է որոշ հուշումներ տա: Եվս մեկ անգամ հիշենք, թե ինչպես են աստիճանները հանվում լոգարիթմի նշանի տակից.

log a b n = nlog a b

Այլ կերպ ասած, արգումենտում b թվի հզորությունը դառնում է գործոն հենց լոգի դիմաց: Եկեք այս բանաձևը կիրառենք lg 2 log 2 7 արտահայտության վրա: Մի վախեցեք lg 2-ից. սա ամենատարածված արտահայտությունն է: Դուք կարող եք այն վերաշարադրել այսպես.

Նրա համար վավեր են բոլոր այն կանոնները, որոնք վերաբերում են ցանկացած այլ լոգարիթմի։ Մասնավորապես, առջևի գործոնը կարող է ներմուծվել փաստարկի ուժի մեջ։ Եկեք գրենք.

Շատ հաճախ ուսանողները դատարկ կետով չեն տեսնում այս գործողությունը, քանի որ լավ չէ մեկ գերան մուտքագրել մյուսի նշանի տակ: Իրականում սրա մեջ հանցավոր ոչինչ չկա։ Ավելին, մենք ստանում ենք մի բանաձև, որը հեշտ է հաշվարկել, եթե հիշում եք կարևոր կանոն.

Այս բանաձևը կարելի է համարել և՛ որպես սահմանում, և՛ որպես դրա հատկություններից մեկը։ Ամեն դեպքում, եթե փոխակերպում եք լոգարիթմական հավասարումը, դուք պետք է իմանաք այս բանաձևը այնպես, ինչպես ցանկացած թվի ներկայացումը լոգարի տեսքով:

Մենք վերադառնում ենք մեր առաջադրանքին. Մենք այն վերագրում ենք՝ հաշվի առնելով այն փաստը, որ հավասարության նշանի աջ կողմում գտնվող առաջին անդամը պարզապես հավասար է lg 7-ին: Մենք ունենք.

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Եկեք տեղափոխենք lg 7-ը դեպի ձախ, մենք ստանում ենք.

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

Մենք հանում ենք ձախ կողմում գտնվող արտահայտությունները, քանի որ դրանք ունեն նույն հիմքը.

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Հիմա եկեք ավելի սերտ նայենք մեր ստացած հավասարմանը: Այն գործնականում կանոնական ձևն է, բայց աջ կողմում կա −3 գործակից: Եկեք այն դնենք ճիշտ lg արգումենտում.

lg 8 = lg (x + 4) −3

Մեր առջև լոգարիթմական հավասարման կանոնական ձևն է, ուստի մենք հատում ենք lg-ի նշանները և հավասարեցնում փաստարկները.

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Այսքանը: Մենք լուծել ենք երկրորդ լոգարիթմական հավասարումը։ Այս դեպքում լրացուցիչ ստուգումներ չեն պահանջվում, քանի որ սկզբնական խնդրի մեջ x-ն առկա էր միայն մեկ արգումենտում։

Նորից թվարկեմ հիմնական կետերըայս դասը.

Հիմնական բանաձևը, որն ուսումնասիրվում է այս էջի բոլոր դասերում, որոնք նվիրված են լոգարիթմական հավասարումների լուծմանը, կանոնական ձևն է: Եվ մի վհատվեք այն փաստից, որ դպրոցական դասագրքերից շատերը սովորեցնում են, թե ինչպես լուծել նման խնդիրները այլ կերպ: Այս գործիքը շատ արդյունավետ է աշխատում և թույլ է տալիս լուծել խնդիրների շատ ավելի լայն դաս, քան ամենապարզները, որոնք մենք ուսումնասիրել ենք մեր դասի հենց սկզբում:

Բացի այդ, լոգարիթմական հավասարումներ լուծելու համար օգտակար կլինի իմանալ հիմնական հատկությունները: Այսինքն:

1. Մեկ բազա տեղափոխելու բանաձևը և հատուկ դեպք, երբ մենք մատը շրջում ենք (սա շատ օգտակար էր մեզ առաջին առաջադրանքում);
2. Լոգարիթմի նշանի տակից ուժեր բերելու և հանելու բանաձևը. Այստեղ շատ ուսանողներ խրված են և չեն տեսնում այն ​​կետը, որ հանված և բերված հոսանքը կարող է ինքնին պարունակել log f (x): Դրանում ոչ մի վատ բան չկա: Մենք կարող ենք մի գերան ներմուծել մյուսի նշանի համաձայն և միևնույն ժամանակ էապես պարզեցնել խնդրի լուծումը, ինչն էլ նկատում ենք երկրորդ դեպքում։

Եզրափակելով, ես կցանկանայի ավելացնել, որ այս դեպքերից յուրաքանչյուրում չի պահանջվում ստուգել շրջանակը, քանի որ ամենուր x փոփոխականը առկա է միայն մեկ լոգարի նշանով, և միևնույն ժամանակ գտնվում է իր փաստարկի մեջ: Արդյունքում, տիրույթի բոլոր պահանջները կատարվում են ավտոմատ կերպով:

Խնդիրներ փոփոխական բազայի հետ

Այսօր մենք կդիտարկենք լոգարիթմական հավասարումները, որոնք շատ ուսանողների համար թվում են ոչ ստանդարտ, եթե ոչ ամբողջովին անլուծելի: Խոսքը արտահայտությունների մասին է, որոնք հիմնված են ոչ թե թվերի, այլ փոփոխականների և նույնիսկ ֆունկցիաների վրա։ Մենք կլուծենք նման կոնստրուկցիաները՝ օգտագործելով մեր ստանդարտ տեխնիկան, այն է՝ կանոնական ձևի միջոցով։

Սկզբից հիշենք, թե ինչպես են լուծվում ամենապարզ խնդիրները, որոնք հիմնված են սովորական թվերի վրա։ Այսպիսով, ամենապարզ շինարարությունը կոչվում է

log a f(x) = b

Նման խնդիրներ լուծելու համար մենք կարող ենք օգտագործել հետևյալ բանաձևը.

b = log a a b

Մենք վերագրում ենք մեր սկզբնական արտահայտությունը և ստանում.

log a f(x) = log a a b

Այնուհետև մենք հավասարեցնում ենք փաստարկները, այսինքն՝ գրում ենք.

f(x) = a b

Այսպիսով, մենք ազատվում ենք գերանի նշանից և լուծում ենք սովորական խնդիրը։ Այս դեպքում լուծույթում ստացված արմատները կլինեն սկզբնական լոգարիթմական հավասարման արմատները։ Բացի այդ, գրառումը, երբ և՛ ձախը, և՛ աջը գտնվում են նույն հիմքով նույն լոգարիթմի վրա, կոչվում է կանոնական ձև։ Հենց այս ռեկորդով մենք կփորձենք նվազեցնել այսօրվա շինարարությունները։ Այսպիսով, եկեք գնանք:

Առաջին առաջադրանք.

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

1-ը փոխարինի՛ր լոգով x − 2 (x − 2) 1 ։ Այն աստիճանը, որը մենք դիտարկում ենք փաստարկում, իրականում b թիվը է, որը հավասարության նշանից աջ էր: Այսպիսով, եկեք վերաշարադրենք մեր արտահայտությունը: Մենք ստանում ենք.

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Ի՞նչ ենք մենք տեսնում։ Մեր առջև լոգարիթմական հավասարման կանոնական ձևն է, այնպես որ մենք կարող ենք ապահով կերպով հավասարեցնել փաստարկները: Մենք ստանում ենք.

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Բայց լուծումը դրանով չի ավարտվում, քանի որ այս հավասարումը համարժեք չէ սկզբնականին։ Ի վերջո, ստացված կոնստրուկցիան բաղկացած է ֆունկցիաներից, որոնք սահմանված են ամբողջ թվային տողի վրա, և մեր սկզբնական լոգարիթմները սահմանված չեն ամենուր և ոչ միշտ։

Հետեւաբար, մենք պետք է առանձին գրենք սահմանման տիրույթը։ Եկեք ավելի իմաստուն չլինենք և նախ գրենք բոլոր պահանջները.

Նախ, լոգարիթմներից յուրաքանչյուրի արգումենտը պետք է լինի 0-ից մեծ.

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Երկրորդ, հիմքը պետք է լինի ոչ միայն 0-ից մեծ, այլև տարբերվի 1-ից.

x − 2 ≠ 1

Արդյունքում մենք ստանում ենք համակարգը.

Բայց մի անհանգստացեք. լոգարիթմական հավասարումների մշակման ժամանակ նման համակարգը կարող է մեծապես պարզեցվել:

Ինքներդ դատեք՝ մի կողմից մեզանից պահանջում են, որ քառակուսի ֆունկցիան լինի զրոյից մեծ, իսկ մյուս կողմից՝ այս քառակուսի ֆունկցիան հավասարեցվի ինչ-որ գծային արտահայտության, որը նույնպես պահանջվում է, որ այն լինի զրոյից մեծ։

Այս դեպքում, եթե մենք պահանջում ենք, որ x − 2 > 0, ապա 2x 2 − 13x + 18 > 0 պահանջը նույնպես ինքնաբերաբար կբավարարվի, հետևաբար, մենք կարող ենք ապահով կերպով հատել քառակուսի ֆունկցիա պարունակող անհավասարությունը։ Այսպիսով, մեր համակարգում պարունակվող արտահայտությունների թիվը կնվազի երեքի։

Իհարկե, մենք կարող ենք նաև հատել գծային անհավասարություն, այսինքն՝ խաչեք x − 2 > 0 և պահանջեք, որ 2x 2 − 13x + 18 > 0: Բայց դուք պետք է համաձայնեք, որ ամենապարզ գծային անհավասարությունը լուծելը շատ ավելի արագ և հեշտ է, քան այս համակարգում մենք ստանում ենք նույն արմատները:

Ընդհանուր առմամբ, հնարավորության դեպքում փորձեք օպտիմալացնել հաշվարկները: Իսկ լոգարիթմական հավասարումների դեպքում գծեք ամենադժվար անհավասարությունները։

Եկեք վերաշարադրենք մեր համակարգը.

Ահա այսպիսի երեք արտահայտությունների համակարգ, որոնցից երկուսը մենք, փաստորեն, արդեն պարզել ենք։ Եկեք առանձին գրենք քառակուսի հավասարումը և լուծենք այն.

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 - 7x + 10 = 0

Մեր առջև կա կրճատված քառակուսի եռանկյուն և, հետևաբար, մենք կարող ենք օգտագործել Վիետայի բանաձևերը: Մենք ստանում ենք.

(x − 5) (x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Այժմ, վերադառնալով մեր համակարգին, մենք գտնում ենք, որ x = 2-ը մեզ չի համապատասխանում, քանի որ մեզանից պահանջվում է ունենալ x խիստ մեծ 2-ից:

Բայց x \u003d 5-ը մեզ բավականին հարմար է. 5 թիվը մեծ է 2-ից, և միևնույն ժամանակ 5-ը հավասար չէ 3-ի: Հետևաբար, այս համակարգի միակ լուծումը կլինի x \u003d 5-ը:

Ամեն ինչ, խնդիրը լուծված է, այդ թվում՝ հաշվի առնելով ODZ-ը։ Անցնենք երկրորդ հավասարմանը։ Այստեղ մենք սպասում ենք ավելի հետաքրքիր և բովանդակալից հաշվարկների.

Առաջին քայլը. ինչպես և անցյալ անգամ, մենք այս ամբողջ բիզնեսը հասցնում ենք կանոնական ձևի: Դա անելու համար մենք կարող ենք 9 թիվը գրել հետևյալ կերպ.

Արմատով հիմքը չի կարող դիպչել, բայց ավելի լավ է փոխակերպել փաստարկը: Արմատից ռացիոնալ ցուցիչով անցնենք իշխանությանը։ Եկեք գրենք.

Թույլ տվեք չվերագրել մեր ամբողջ մեծ լոգարիթմական հավասարումը, այլ ուղղակի անմիջապես հավասարեցնել փաստարկները.

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Մեր առջև կրկին կրճատված քառակուսի եռանկյունն է, մենք կօգտագործենք Վիետայի բանաձևերը և կգրենք.

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Այսպիսով, մենք ստացանք արմատները, բայց ոչ ոք մեզ երաշխավորեց, որ դրանք կհամապատասխանեն սկզբնական լոգարիթմական հավասարմանը: Ի վերջո, մատյանների նշանները լրացուցիչ սահմանափակումներ են դնում (այստեղ մենք պետք է գրենք համակարգը, բայց ամբողջ շինարարության ծանրաբեռնվածության պատճառով ես որոշեցի առանձին հաշվարկել սահմանման տիրույթը):

Նախ, հիշեք, որ արգումենտները պետք է լինեն 0-ից մեծ, մասնավորապես.

Սրանք այն պահանջներն են, որոնք դրվում են սահմանման տիրույթի կողմից:

Անմիջապես նշում ենք, որ քանի որ համակարգի առաջին երկու արտահայտությունները հավասարեցնում ենք միմյանց, կարող ենք հատել դրանցից որևէ մեկը։ Եկեք խաչ քաշենք առաջինը, քանի որ այն ավելի սպառնալից է թվում, քան երկրորդը:

Ի հավելումն, նշեք, որ երկրորդ և երրորդ անհավասարությունների լուծումները կլինեն նույն բազմությունները (ինչ-որ թվի խորանարդը մեծ է զրոյից, եթե այդ թիվն ինքնին մեծ է զրոյից. նմանապես երրորդ աստիճանի արմատի հետ՝ այս անհավասարությունները. ամբողջովին նման է, այնպես որ դրանցից մեկը մենք կարող ենք այն հատել):

Բայց երրորդ անհավասարության դեպքում սա չի աշխատի։ Ազատվենք ձախ կողմում գտնվող ռադիկալի նշանից, որի համար երկու մասերը բարձրացնում ենք խորանարդի։ Մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք հետևյալ պահանջները.

−2 ≠ x > −3

Մեր արմատներից որն է՝ x 1 = -3 կամ x 2 = -1 համապատասխանում է այս պահանջներին: Ակնհայտ է, որ միայն x = −1, քանի որ x = −3-ը չի բավարարում առաջին անհավասարությանը (քանի որ մեր անհավասարությունը խիստ է)։ Ընդհանուր առմամբ, վերադառնալով մեր խնդրին, ստանում ենք մեկ արմատ՝ x = −1: Վերջ, խնդիրը լուծված է։

Եվս մեկ անգամ, այս առաջադրանքի հիմնական կետերը.

1. Ազատորեն կիրառել և լուծել լոգարիթմական հավասարումներ՝ օգտագործելով կանոնական ձև: Ուսանողները, ովքեր կատարում են նման գրառում և չեն անցնում ուղղակիորեն սկզբնական խնդրից դեպի այնպիսի կառուցվածք, ինչպիսին է log a f ( x ) = b , շատ ավելի քիչ սխալներ են թույլ տալիս, քան նրանք, ովքեր ինչ-որ տեղ շտապում են՝ շրջանցելով հաշվարկների միջանկյալ քայլերը.
2. Հենց լոգարիթմում փոփոխական հիմք է հայտնվում, խնդիրը դադարում է ամենապարզը լինել։ Ուստի այն լուծելիս պետք է հաշվի առնել սահմանման տիրույթը՝ արգումենտները պետք է լինեն զրոյից մեծ, իսկ հիմքերը ոչ միայն 0-ից մեծ լինեն, այլև չպետք է հավասար լինեն 1-ի։

Վերջնական պատասխաններին կարող եք պարտադրել վերջին պահանջները տարբեր ձևերով։ Օրինակ, հնարավոր է լուծել տիրույթի բոլոր պահանջները պարունակող մի ամբողջ համակարգ։ Մյուս կողմից, դուք կարող եք նախ լուծել խնդիրը ինքնին, ապա հիշել սահմանման տիրույթի մասին, այն մշակել առանձին համակարգի տեսքով և կիրառել ստացված արմատներին։

Որ ճանապարհն ընտրել կոնկրետ լոգարիթմական հավասարումը լուծելիս՝ կախված է ձեզանից: Ամեն դեպքում պատասխանը նույնն է լինելու.

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տվյալները թույլ են տալիս կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների մասին:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդագրություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքով, դատական ​​կարգով, դատական ​​վարույթում և (կամ) հիմնված հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների վրա պետական ​​մարմիններՌուսաստանի Դաշնության տարածքում - բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային շահի այլ նկատառումներից ելնելով:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Լոգարիթմական արտահայտություններ, օրինակների լուծում. Այս հոդվածում մենք կքննարկենք լոգարիթմների լուծման հետ կապված խնդիրները: Առաջադրանքները բարձրացնում են արտահայտության արժեքը գտնելու հարցը: Հարկ է նշել, որ լոգարիթմի հասկացությունն օգտագործվում է բազմաթիվ առաջադրանքներում, և չափազանց կարևոր է հասկանալ դրա իմաստը։ Ինչ վերաբերում է USE-ին, ապա լոգարիթմն օգտագործվում է հավասարումների լուծման, կիրառական խնդիրների, ինչպես նաև ֆունկցիաների ուսումնասիրության հետ կապված առաջադրանքների մեջ։

Ահա օրինակներ՝ լոգարիթմի բուն իմաստը հասկանալու համար.

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը.

Լոգարիթմների հատկությունները, որոնք դուք միշտ պետք է հիշեք.

*Արտադրյալի լոգարիթմը հավասար է գործոնների լոգարիթմների գումարին։

* * *

* Քաղորդի (կոտորակի) լոգարիթմը հավասար է գործակիցների լոգարիթմների տարբերությանը։

* * *

* Աստիճանի լոգարիթմը հավասար է ցուցիչի և նրա հիմքի լոգարիթմի արտադրյալին:

* * *

*Անցում դեպի նոր բազա

* * *

Լրացուցիչ հատկություններ.

* * *

Լոգարիթմների հաշվարկը սերտորեն կապված է ցուցիչների հատկությունների օգտագործման հետ:

Մենք թվարկում ենք դրանցից մի քանիսը.

Այս հատկության էությունը կայանում է նրանում, որ համարիչը հայտարարի վրա և հակառակը փոխանցելիս ցուցիչի նշանը փոխվում է հակառակի վրա։ Օրինակ:

Այս հատկության հետևանքը.

* * *

Հզորությունը հզորության բարձրացնելիս հիմքը մնում է նույնը, բայց աստիճանները բազմապատկվում են:

* * *

Ինչպես տեսնում եք, լոգարիթմի գաղափարը պարզ է: Գլխավորն այն է, որ լավ պրակտիկա է պետք, որը տալիս է որոշակի հմտություն։ Իհարկե, բանաձևերի իմացությունը պարտադիր է։ Եթե ​​տարրական լոգարիթմները փոխակերպելու հմտություն չի ձևավորվել, ապա պարզ առաջադրանքներ լուծելիս հեշտությամբ կարելի է սխալվել։

Զբաղվե՛ք, նախ լուծե՛ք մաթեմատիկայի դասընթացից ամենապարզ օրինակները, ապա անցե՛ք ավելի բարդին: Հետագայում անպայման ցույց կտամ, թե ինչպես են լուծվում «տգեղ» լոգարիթմները, քննությանը նմաններ չեն լինի, բայց հետաքրքրություն են ներկայացնում, բաց մի՛ թողեք։

Այսքանը: Հաջողություն քեզ!

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր Կրուտիցկիխ

P.S. Շնորհակալ կլինեմ, եթե սոցիալական ցանցերում պատմեք կայքի մասին: