Լոգարիթմական անհավասարությունների ողջ բազմազանության մեջ առանձին ուսումնասիրվում են փոփոխական հիմքով անհավասարությունները։ Դրանք լուծվում են հատուկ բանաձեւով, որը ինչ-ինչ պատճառներով հազվադեպ են սովորեցնում դպրոցում։ Շնորհանդեսում ներկայացված են մաթեմատիկայի C3 USE - 2014 առաջադրանքների լուծումներ:

Ներբեռնել:

Նախադիտում:

Ներկայացումների նախադիտումն օգտագործելու համար ստեղծեք Google հաշիվ (հաշիվ) և մուտք գործեք՝ https://accounts.google.com

Սլայդների ենթագրեր.

Լոգարիթմի հիմքում փոփոխական պարունակող լոգարիթմական անհավասարությունների լուծում՝ մեթոդներ, տեխնիկա, համարժեք անցումներ մաթեմատիկայի MBOU միջնակարգ դպրոցի թիվ 143 Կնյազկինա Տ.Վ.

Լոգարիթմական անհավասարությունների ողջ բազմազանության մեջ առանձին ուսումնասիրվում են փոփոխական հիմքով անհավասարությունները։ Դրանք լուծվում են հատուկ բանաձևի միջոցով, որը ինչ-ինչ պատճառներով հազվադեպ է դասավանդվում դպրոցում՝ log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 «∨» վանդակի փոխարեն կարող եք տեղադրել ցանկացած անհավասարության նշան՝ քիչ թե շատ։ Գլխավորն այն է, որ երկու անհավասարություններում էլ նշանները նույնն են։ Այսպիսով, մենք ազատվում ենք լոգարիթմներից և խնդիրը հասցնում ռացիոնալ անհավասարության: Վերջինս շատ ավելի հեշտ է լուծել, բայց լոգարիթմները դեն նետելիս կարող են առաջանալ լրացուցիչ արմատներ։ Դրանք կտրելու համար բավական է գտնել տարածքը թույլատրելի արժեքներ. Մի մոռացեք լոգարիթմի ODZ-ի մասին: Ընդունելի արժեքների տիրույթի հետ կապված ամեն ինչ պետք է դուրս գրվի և լուծվի առանձին՝ f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k (x) ≠ 1. Այս չորս անհավասարությունները կազմում են համակարգ և պետք է կատարվեն միաժամանակ: Երբ հայտնաբերվում է ընդունելի արժեքների շրջանակը, մնում է այն հատել լուծման հետ ռացիոնալ անհավասարություն- և պատասխանը պատրաստ է։

Լուծեք անհավասարությունը. Լուծում Սկսենք, եկեք դուրս գրենք լոգարիթմի ODZ-ը, առաջին երկու անհավասարությունները կատարվում են ավտոմատ կերպով, իսկ վերջինը պետք է նկարվի: Քանի որ թվի քառակուսին հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ թիվն ինքնին հավասար է զրոյի, մենք ունենք՝ x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0. Ստացվում է, որ լոգարիթմի ODZ-ը բոլոր թվերն են, բացի զրոյից՝ x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞): Այժմ լուծում ենք հիմնական անհավասարությունը. Կատարում ենք անցում լոգարիթմական անհավասարությունից ռացիոնալին: Սկզբնական անհավասարության մեջ կա «պակաս» նշան, հետևաբար ստացված անհավասարությունը պետք է լինի նաև «պակաս» նշանով։

Մենք ունենք՝ (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)

Լոգարիթմական անհավասարությունների փոխակերպում Հաճախ սկզբնական անհավասարությունը տարբերվում է վերը նշվածից: Սա հեշտ է շտկել՝ օգտագործելով լոգարիթմների հետ աշխատելու ստանդարտ կանոնները: Այսինքն՝ ցանկացած թիվ կարող է ներկայացվել որպես տրված հիմքով լոգարիթմ; Նույն հիմքով լոգարիթմների գումարն ու տարբերությունը կարելի է փոխարինել մեկ լոգարիթմով։ Առանձին-առանձին, ես ուզում եմ ձեզ հիշեցնել ընդունելի արժեքների շրջանակի մասին: Քանի որ սկզբնական անհավասարության մեջ կարող են լինել մի քանի լոգարիթմներ, անհրաժեշտ է գտնել դրանցից յուրաքանչյուրի DPV-ն: Այսպիսով, ընդհանուր սխեմանԼոգարիթմական անհավասարությունների լուծումները հետևյալն են. Գտե՛ք անհավասարության մեջ ներառված յուրաքանչյուր լոգարիթմի ODZ-ը. Կրճատել անհավասարությունը ստանդարտին` օգտագործելով լոգարիթմների գումարման և հանման բանաձևերը. Ստացված անհավասարությունը լուծեք վերը նշված սխեմայի համաձայն:

Լուծե՛ք անհավասարությունը. Լուծում Գտնենք առաջին լոգարիթմի սահմանման տիրույթը (ՕԶ)՝ լուծում ենք ընդմիջումների մեթոդով։ Գտե՛ք համարիչի զրոները՝ 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Այնուհետեւ - հայտարարի զրոներ՝ x − 1 = 0; x = 1. Կոորդինատային գծի վրա նշում ենք զրոներ և նշաններ.

Մենք ստանում ենք x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞): ODZ-ի երկրորդ լոգարիթմը կլինի նույնը: Եթե ​​ինձ չեք հավատում, կարող եք ստուգել։ Հիմա եկեք փոխակերպենք երկրորդ լոգարիթմը այնպես, որ հիմքում լինի երկու. Ինչպես տեսնում եք, եռապատիկները հիմքում և լոգարիթմի դիմաց կրճատվել են: Ստացեք նույն հիմքով երկու լոգարիթմ: Գումարե՛ք դրանք՝ log 2 (x − 1) 2

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)

Մեզ հետաքրքրում է բազմությունների խաչմերուկը, ուստի մենք ընտրում ենք երկու սլաքների վրա ստվերավորված միջակայքերը: Ստանում ենք՝ x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - բոլոր կետերը ծակված են: Պատասխան՝ x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Միասնական պետական ​​քննություն-2014 C3 տիպի առաջադրանքների լուծում

Լուծել անհավասարությունների համակարգը Լուծում. ՕՁ՝  1) 2)

Լուծե՛ք 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − անհավասարությունների համակարգը (շարունակություն)

Լուծե՛ք անհավասարությունների համակարգը 4) Ընդհանուր լուծում՝ և -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (շարունակություն)

Լուծե՛ք անհավասարությունը (շարունակություն) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4.

Լուծել անհավասարությունը Լուծում. ՕՁ՝ 

Լուծե՛ք անհավասարությունը (շարունակություն)

Լուծել անհավասարությունը Լուծում. ՕՁ՝  -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2.

Մեկ անհավասարության դասը ձևավորում է հետազոտական ​​աշխատանքի հմտություն, արթնացնում է ուսանողների միտքը, զարգացնում հնարամտությունը և մեծացնում ուսանողների հետաքրքրությունը աշխատանքի նկատմամբ։ Ավելի լավ է այն իրականացնել, երբ ուսանողները տիրապետեն անհրաժեշտ հասկացություններին և վերլուծեն լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման մի շարք կոնկրետ մեթոդներ: Այս դասին ուսանողները լուծման որոնման ակտիվ մասնակիցներ են:

• կրթական
: զարգացնել լուծելու հմտություններ և կարողություններ լոգարիթմական անհավասարություններնշված տեսակը տարբեր ճանապարհներ; ինքնուրույն սովորեցնել գիտելիքներ ձեռք բերելու համար (ուսանողների սեփական գործունեությունը բովանդակության ուսումնասիրման և յուրացման գործում ուսումնական նյութ);
• զարգացող
աշխատել խոսքի զարգացման վրա; սովորեցնել վերլուծել, ընդգծել հիմնականը, ապացուցել և հերքել տրամաբանական եզրակացությունները.
• կրթական
բարոյական որակների ձևավորում, մարդկային հարաբերություններ, ճշգրտություն, կարգապահություն, ինքնագնահատական, նպատակին հասնելու պատասխանատու վերաբերմունք:

բանավոր աշխատանք.

Մաթեմատիկական լեզվով գրի՛ր նախադասություններ՝ «a և b թվերը միասնության նույն կողմում են», «a և b թվերը միասնության հակառակ կողմերում են» և ապացուցի՛ր ստացված անհավասարությունները: (Գրատախտակին աշակերտներից մեկը նախապես լուծում էր պատրաստել):

Վերլուծելով մաթեմատիկայի ընդունելության քննությունների տարբերակները, դուք կարող եք տեսնել, որ քննությունների լոգարիթմների տեսությունից հաճախ առաջանում են լոգարիթմական անհավասարություններ, որոնք պարունակում են փոփոխական լոգարիթմի տակ և լոգարիթմի հիմքում:

Մեր դասն է դաս մեկ անհավասարության մեջ, որը պարունակում է փոփոխական լոգարիթմի տակ և լոգարիթմի հիմքում,լուծվում է տարբեր ձևերով. Ասում են, որ ավելի լավ է լուծել մեկ անհավասարություն, բայց տարբեր ձևերով, քան մի քանի անհավասարություններ նույն ձևով։ Իսկապես, դուք պետք է կարողանաք ստուգել ձեր որոշումները: Չկա ավելի լավ ստուգում, քան խնդիրը այլ կերպ լուծելն ու նույն պատասխանը ստանալը (կարող ես տարբեր կերպ գալ նույն համակարգերին, նույն անհավասարություններին, հավասարումներին)։ Բայց ոչ միայն այս նպատակն է հետապնդվում տարբեր ձևերով առաջադրանքները լուծելիս։ Փնտրելով տարբեր լուծումներ՝ հաշվի առնելով բոլոր հնարավոր դեպքերը, Քննադատական ​​գնահատումդրանք ընդգծելու համար առավել ռացիոնալը, գեղեցիկը, կարևոր գործոն է մաթեմատիկական մտածողության զարգացման գործում, տանել հեռու կաղապարից: Ուստի այսօր մենք կլուծենք միայն մեկ անհավասարություն, բայց կփորձենք գտնել այն լուծելու մի քանի եղանակ։

Ահա այս անհավասարության լուծումը՝ վերցված մեկ քննական թերթիկից։ Ուշադիր նայեք դրան և փորձեք վերլուծել լուծումը: (Անհավասարության լուծումը նախապես գրված է գրատախտակին)

log x (x 2 - 2x - 3)< log x 1;

ա) x 2 – 2x – 3 > 0; բ) x 2 - 2x - 3< 1;

x 2 - 2x - 3 = 0; x 2 - 2x - 4< 0;

x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3; x 2 - 2x - 4 = 0;

գ) համակարգի լուծում

Ուսանողների հնարավոր բացատրությունները.

Սա հավասարում չէ, այլ անհավասարություն, հետևաբար լոգարիթմական անհավասարությունից ռացիոնալին անցնելիս անհավասարության նշանը կախված կլինի լոգարիթմի հիմքից և լոգարիթմական ֆունկցիայի միապաղաղությունից։

Նման որոշմամբ կարելի է ձեռք բերել կողմնակի լուծումներ, կամ կորցնել լուծումները, իսկ սխալ որոշմամբ հնարավոր է ճիշտ պատասխան ստացվի։

Այսպիսով, ինչպե՞ս էր անհրաժեշտ լուծել այս անհավասարությունը, որի դեպքում փոփոխականը գտնվում է լոգարիթմի նշանի տակ և լոգարիթմի հիմքում։

Այս անհավասարությունը համարժեք է երկու անհավասարությունների համակարգերի համակցությանը։

Անհավասարությունների առաջին համակարգը լուծումներ չունի։

Անհավասարությունների համակարգի լուծումը կլինի

Քննական թերթիկից անհավասարության առաջարկված լուծման մեջ պատասխանը ճիշտ էր. Ինչո՞ւ։

Ուսանողների հնարավոր պատասխանները.

Քանի որ անհավասարության ձախ կողմում գտնվող ֆունկցիայի տիրույթը բաղկացած է 3-ից մեծ թվերից, հետևաբար, y = log x t ֆունկցիան մեծանում է։ Այսպիսով, պատասխանը ճիշտ է:

Ինչպե՞ս կարելի է քննական թերթում գրել մաթեմատիկորեն ճիշտ լուծում:

Անհավասարության ձախ կողմում գտնում ենք ֆունկցիայի տիրույթը, այնուհետև, հաշվի առնելով սահմանման տիրույթը, դիտարկում ենք միայն մեկ դեպք.

Այլապես ինչպե՞ս կարելի է լուծել այս անհավասարությունը։ Ի՞նչ բանաձևեր կարող են կիրառվել:

Նոր հիմքի անցնելու բանաձևը a > 0, a 1

Հնարավո՞ր է արդյոք բուն անհավասարության վրա կիրառել այն փաստը, որ լոգարիթմը զրոյից փոքր է:

Այո՛։ Լոգարիթմի ստորին արտահայտությունը և լոգարիթմի հիմքը գտնվում են միասնության հակառակ կողմերում, բայց դրական:

Այսինքն՝ մենք կրկին ստանում ենք անհավասարությունների երկու համակարգերի նույն բազմությունը.

Բոլոր դիտարկված մեթոդները հանգեցնում են անհավասարությունների երկու համակարգերի մի շարքի: Բոլոր դեպքերում ստացվում է նույն պատասխանը. Բոլոր մեթոդները տեսականորեն արդարացված են:

Հարց ուսանողներին՝ ի՞նչ եք կարծում, ինչո՞ւ տնային առաջադրանքում տրվեց հարց, որը կապ չուներ 11-րդ դասարանում ուսումնասիրված նյութի հետ։

Իմանալով լոգարիթմի հատկությունները, որ մուտք ա բ< 0 , Եթե աԵվ բ 1-ի հակառակ կողմերում

log a b > 0, եթե աԵվ բ 1-ի մի կողմում դուք կարող եք ստանալ անհավասարությունը լուծելու շատ հետաքրքիր և անսպասելի ձև: Այս մեթոդը նկարագրված է «Որոշ օգտակար լոգարիթմական հարաբերություններ» հոդվածում Kvant No. 10 ամսագրում, 1990 թ.

log g(x) f(x) > 0 եթե

գրանցամատյան g(x) f(x)< 0, если

(Ինչու է պայմանը g(x) 1 պետք չէ՞ գրել:

Անհավասարության լուծում log x (x 2 - 2x - 3)< 0 կարծես այսպես.

ա) x 2 – 2x – 3 > 0; բ) (x - 1) (x 2 - 2x - 4)< 0;

գ) անհավասարության համակարգի լուծում

ինտերվալ մեթոդ. («Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծումը միջակայքի մեթոդով» հաջորդ դասի թեման է):

1. Ի՞նչ եղանակներով է լուծվել անհավասարությունը: Սա լուծելու քանի եղանակ

մենք գտանք անհավասարությունը.

2. Ո՞րն է ամենառացիոնալը: Գեղեցիկ?

3. Ի՞նչ հիմք է հանդիսացել յուրաքանչյուր դեպքում անհավասարությունը լուծելու համար:

4. Ինչու՞ է այս անհավասարությունը հետաքրքիր:

Ուսուցչի կողմից դասի աշխատանքի որակական բնութագրերը.

Կարելի՞ է արդյոք այս անհավասարությունը դիտարկել որպես ավելի ընդհանուր խնդրի հատուկ դեպք։

Ձևի անհավասարություն գրանցամատյան g(x) f(x)<(>) log g(x) h(x)կարելի է հասցնել անհավասարության log g(x)p(x)<(>) 0 օգտագործելով լոգարիթմների և անհավասարությունների հատկությունները:

Լուծե՛ք անհավասարությունը

log x (x 2 + 3x - 3) > 1

վերը նշված մեթոդներից որևէ մեկով:

1. Լուծե՛ք անհավասարությունները (մաթեմատիկայի ընդունելության քննությունների տարբերակներից).

2. Հաջորդ դասին կդիտարկենք լոգարիթմական անհավասարությունները, որոնք լուծվում են ինտերվալ մեթոդով։ Կրկնել անհավասարությունները ինտերվալ մեթոդով լուծելու ալգորիթմը:

3. Թվերը դասավորի՛ր աճման կարգով (բացատրի՛ր, թե ինչու է այս դասավորությունը).

մատյան 0,35; ; ; մատյան 0.5 3 (կրկնել հաջորդ դասի համար):

Լոգարիթմական անհավասարությունների ողջ բազմազանության մեջ առանձին ուսումնասիրվում են փոփոխական հիմքով անհավասարությունները։ Դրանք լուծվում են հատուկ բանաձևի համաձայն, որը ինչ-ինչ պատճառներով հազվադեպ է սովորեցնում դպրոցում.

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

«∨»-ի փոխարեն կարելի է անհավասարության ցանկացած նշան դնել՝ քիչ թե շատ։ Գլխավորն այն է, որ երկու անհավասարություններում էլ նշանները նույնն են։

Այսպիսով, մենք ազատվում ենք լոգարիթմներից և խնդիրը հասցնում ռացիոնալ անհավասարության: Վերջինս շատ ավելի հեշտ է լուծել, բայց լոգարիթմները դեն նետելիս կարող են առաջանալ լրացուցիչ արմատներ։ Դրանք կտրելու համար բավական է գտնել թույլատրելի արժեքների միջակայքը։ Եթե ​​մոռացել եք լոգարիթմի ODZ-ը, ես խստորեն խորհուրդ եմ տալիս կրկնել այն՝ տես «Ինչ է լոգարիթմը»։

Ընդունելի արժեքների շրջանակի հետ կապված ամեն ինչ պետք է դուրս գրվի և լուծվի առանձին.

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Այս չորս անհավասարությունները կազմում են համակարգ և պետք է կատարվեն միաժամանակ: Երբ գտնվի ընդունելի արժեքների միջակայքը, մնում է այն հատել ռացիոնալ անհավասարության լուծմամբ, և պատասխանը պատրաստ է։

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Նախ, եկեք գրենք լոգարիթմի ODZ.

Առաջին երկու անհավասարությունները կատարվում են ավտոմատ կերպով, իսկ վերջինը պետք է գրվի։ Քանի որ թվի քառակուսին զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ թիվն ինքնին զրո է, մենք ունենք.

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Ստացվում է, որ լոգարիթմի ODZ-ը բոլոր թվերն են, բացի զրոյից՝ x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞): Այժմ մենք լուծում ենք հիմնական անհավասարությունը.

Կատարում ենք անցում լոգարիթմական անհավասարությունից ռացիոնալին։ Սկզբնական անհավասարության մեջ կա «պակաս» նշան, հետևաբար ստացված անհավասարությունը պետք է լինի նաև «պակաս» նշանով։ Մենք ունենք:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Այս արտահայտության զրոները՝ x = 3; x = -3; x = 0. Ընդ որում x = 0-ը երկրորդ բազմակի արմատն է, ինչը նշանակում է, որ նրա միջով անցնելիս ֆունկցիայի նշանը չի փոխվում։ Մենք ունենք:

Ստանում ենք x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞): Այս բազմությունը ամբողջությամբ պարունակվում է լոգարիթմի ODZ-ում, ինչը նշանակում է, որ սա է պատասխանը։

Լոգարիթմական անհավասարությունների փոխակերպում

Հաճախ սկզբնական անհավասարությունը տարբերվում է վերը նշվածից: Սա հեշտ է շտկել լոգարիթմների հետ աշխատելու ստանդարտ կանոնների համաձայն. տե՛ս «Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները»: Այսինքն:

1. Ցանկացած թիվ կարող է ներկայացվել որպես տրված հիմքով լոգարիթմ;
2. Նույն հիմքով լոգարիթմների գումարն ու տարբերությունը կարելի է փոխարինել մեկ լոգարիթմով։

Առանձին-առանձին, ես ուզում եմ ձեզ հիշեցնել ընդունելի արժեքների շրջանակի մասին: Քանի որ սկզբնական անհավասարության մեջ կարող են լինել մի քանի լոգարիթմներ, անհրաժեշտ է գտնել դրանցից յուրաքանչյուրի DPV-ն: Այսպիսով, լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման ընդհանուր սխեման հետևյալն է.

1. Գտե՛ք անհավասարության մեջ ներառված յուրաքանչյուր լոգարիթմի ODZ-ը.
2. Կրճատել անհավասարությունը ստանդարտին` օգտագործելով լոգարիթմների գումարման և հանման բանաձևերը.
3. Ստացված անհավասարությունը լուծեք վերը նշված սխեմայի համաձայն:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Գտեք առաջին լոգարիթմի սահմանման տիրույթը (ODZ).

Մենք լուծում ենք ինտերվալ մեթոդով. Գտնելով համարիչի զրոները.

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Այնուհետև - հայտարարի զրոները.

x − 1 = 0;
x = 1.

Կոորդինատների սլաքի վրա նշում ենք զրոներ և նշաններ.

Մենք ստանում ենք x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞): ODZ-ի երկրորդ լոգարիթմը կլինի նույնը: Եթե ​​ինձ չեք հավատում, կարող եք ստուգել։ Այժմ մենք փոխակերպում ենք երկրորդ լոգարիթմը, որպեսզի հիմքը լինի երկու.

Ինչպես տեսնում եք, հիմքում և լոգարիթմից առաջ եռապատիկները փոքրացել են: Ստացեք նույն հիմքով երկու լոգարիթմ: Եկեք դրանք միասին հավաքենք.

մատյան 2 (x − 1) 2< 2;
մատյան 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Մենք ստացել ենք ստանդարտ լոգարիթմական անհավասարություն: Բանաձևով ազատվում ենք լոգարիթմներից. Քանի որ սկզբնական անհավասարության մեջ պակաս նշան կա, արդյունքում ստացված ռացիոնալ արտահայտությունը նույնպես պետք է զրոյից փոքր լինի: Մենք ունենք:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Մենք ստացանք երկու հավաքածու.

1. ՕՁ՝ x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Պատասխան թեկնածու՝ x ∈ (−1; 3):

Մնում է հատել այս հավաքածուները. մենք ստանում ենք իրական պատասխանը.

Մեզ հետաքրքրում է բազմությունների խաչմերուկը, ուստի մենք ընտրում ենք երկու սլաքների վրա ստվերավորված միջակայքերը: Մենք ստանում ենք x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - բոլոր կետերը ծակված են:

Ի՞նչ եք կարծում, քննությանը դեռ ժամանակ կա՞, և պատրաստվելու ժամանակ կունենա՞ք։ Թերևս այդպես է։ Բայց ամեն դեպքում, որքան շուտ ուսանողը սկսի պարապել, այնքան ավելի հաջող է հանձնում քննությունները։ Այսօր մենք որոշեցինք հոդված նվիրել լոգարիթմական անհավասարություններին։ Սա այն առաջադրանքներից է, որը նշանակում է լրացուցիչ միավոր ստանալու հնարավորություն։

Դուք արդեն գիտե՞ք, թե ինչ է լոգարիթմը (լոգարիթմը): Մենք իսկապես հույս ունենք: Բայց եթե նույնիսկ այս հարցի պատասխանը չունեք, դա խնդիր չէ։ Շատ հեշտ է հասկանալ, թե ինչ է լոգարիթմը։

Ինչու հենց 4: 81-ը ստանալու համար 3 ​​թիվը պետք է բարձրացնես նման հզորության: Երբ հասկանաս սկզբունքը, կարող ես անցնել ավելի բարդ հաշվարկների:

Մի քանի տարի առաջ դուք անցել եք անհավասարությունների միջով: Եվ այդ ժամանակից ի վեր նրանց անընդհատ հանդիպում ես մաթեմատիկայի մեջ։ Եթե ​​դժվարանում եք լուծել անհավասարությունները, ստուգեք համապատասխան բաժինը:
Հիմա, երբ առանձին-առանձին ծանոթանանք հասկացություններին, կանցնենք ընդհանուր առմամբ դրանց դիտարկմանը։

Ամենապարզ լոգարիթմական անհավասարությունը.

Ամենապարզ լոգարիթմական անհավասարությունները չեն սահմանափակվում այս օրինակով, կան ևս երեքը, միայն տարբեր նշաններով։ Ինչու է սա անհրաժեշտ: Ավելի լավ հասկանալու համար, թե ինչպես լուծել անհավասարությունը լոգարիթմներով: Հիմա ավելի կիրառելի օրինակ ենք տալիս, դեռ բավականին պարզ, բարդ լոգարիթմական անհավասարությունները թողնում ենք հետագայի համար։

Ինչպե՞ս լուծել այն: Ամեն ինչ սկսվում է ODZ-ից: Դուք պետք է ավելին իմանաք դրա մասին, եթե ցանկանում եք միշտ հեշտությամբ լուծել ցանկացած անհավասարություն:

Ի՞նչ է ODZ-ը: DPV լոգարիթմական անհավասարությունների համար

Հապավումը նշանակում է վավեր արժեքների տիրույթ: Քննության առաջադրանքների ժամանակ այս ձևակերպումը հաճախ հայտնվում է: DPV-ն ձեզ օգտակար է ոչ միայն լոգարիթմական անհավասարությունների դեպքում:

Կրկին նայեք վերը նշված օրինակին: Մենք դրա հիման վրա կդիտարկենք ODZ-ը, որպեսզի դուք հասկանաք սկզբունքը, իսկ լոգարիթմական անհավասարությունների լուծումը հարցեր չառաջացնի։ Լոգարիթմի սահմանումից բխում է, որ 2x+4-ը պետք է զրոյից մեծ լինի։ Մեր դեպքում սա նշանակում է հետեւյալը.

Այս թիվն ըստ սահմանման պետք է լինի դրական։ Լուծե՛ք վերը ներկայացված անհավասարությունը։ Դա կարելի է անել նույնիսկ բանավոր, այստեղ պարզ է, որ X-ը չի կարող 2-ից փոքր լինել։ Անհավասարության լուծումը կլինի ընդունելի արժեքների միջակայքի սահմանումը։
Այժմ անցնենք ամենապարզ լոգարիթմական անհավասարության լուծմանը։

Մենք հեռացնում ենք լոգարիթմներն անհավասարության երկու մասերից: Ի՞նչ է մեզ մնում արդյունքում։ պարզ անհավասարություն.

Հեշտ է լուծել: X-ը պետք է լինի -0,5-ից մեծ: Այժմ մենք միավորում ենք ստացված երկու արժեքները համակարգում: Այսպիսով,

Սա կլինի թույլատրելի արժեքների շրջանը դիտարկված լոգարիթմական անհավասարության համար:

Ինչու՞ է ընդհանրապես անհրաժեշտ ODZ-ը: Սա սխալ և անհնար պատասխանները վերացնելու հնարավորություն է: Եթե ​​պատասխանն ընդունելի արժեքների միջակայքում չէ, ապա պատասխանն ուղղակի իմաստ չունի։ Սա արժե երկար հիշել, քանի որ քննության ժամանակ հաճախ անհրաժեշտություն է առաջանում փնտրել ODZ, և դա վերաբերում է ոչ միայն լոգարիթմական անհավասարություններին:

Լոգարիթմական անհավասարության լուծման ալգորիթմ

Լուծումը բաղկացած է մի քանի քայլից. Նախ, անհրաժեշտ է գտնել ընդունելի արժեքների շրջանակը: ODZ-ում կլինի երկու արժեք, մենք սա համարեցինք վերևում: Հաջորդ քայլը հենց անհավասարության լուծումն է: Լուծման մեթոդները հետևյալն են.

• բազմապատկիչ փոխարինման մեթոդ;
• տարրալուծում;
• ռացիոնալացման մեթոդ.

Կախված իրավիճակից, պետք է օգտագործվի վերը նշված մեթոդներից մեկը: Եկեք անմիջապես անցնենք լուծմանը: Մենք կբացահայտենք ամենատարածված մեթոդը, որը հարմար է USE առաջադրանքները լուծելու համար գրեթե բոլոր դեպքերում: Հաջորդը, մենք կքննարկենք տարրալուծման մեթոդը: Դա կարող է օգնել, եթե հանդիպեք հատկապես «բարդ» անհավասարության: Այսպիսով, լոգարիթմական անհավասարության լուծման ալգորիթմը.

Լուծման օրինակներ :

Իզուր չէ, որ մենք վերցրինք հենց այսպիսի անհավասարություն։ Ուշադրություն դարձրեք հիմքին. Հիշեք. եթե այն մեկից մեծ է, նշանը մնում է նույնը վավեր արժեքների միջակայքը գտնելիս. հակառակ դեպքում անհավասարության նշանը պետք է փոխվի։

Արդյունքում մենք ստանում ենք անհավասարություն.

Այժմ մենք ձախ կողմը բերում ենք զրոյի հավասարման ձևի: «Քիչ քան» նշանի փոխարեն դնում ենք «հավասար», լուծում ենք հավասարումը։ Այսպիսով, մենք կգտնենք ODZ-ը: Հուսով ենք, որ դուք խնդիրներ չեք ունենա լուծելու նման պարզ հավասարումը: Պատասխաններն են -4 և -2: Սա դեռ ամենը չէ: Դուք պետք է ցուցադրեք այս կետերը գծապատկերում, տեղադրեք «+» և «-»: Ի՞նչ է պետք անել սրա համար։ Ինտերվալներից թվերը փոխարինի՛ր արտահայտության մեջ: Այնտեղ, որտեղ արժեքները դրական են, այնտեղ դնում ենք «+»:

Պատասխանել x-ը չի կարող լինել -4-ից մեծ և -2-ից փոքր:

Մենք գտանք վավեր արժեքների միջակայքը միայն ձախ կողմի համար, այժմ մենք պետք է գտնենք վավեր արժեքների միջակայքը աջ կողմի համար: Սա ոչ մի կերպ ավելի հեշտ չէ: Պատասխան՝ -2. Մենք հատում ենք երկու ստացված տարածքները։

Եվ միայն հիմա մենք սկսում ենք ինքնուրույն լուծել անհավասարությունը:

Եկեք հնարավորինս պարզեցնենք այն, որպեսզի ավելի հեշտ լինի որոշում կայացնելը:

Լուծման մեջ կրկին օգտագործում ենք միջակայքի մեթոդը։ Բաց թողնենք հաշվարկները, նրա մոտ ամեն ինչ արդեն պարզ է նախորդ օրինակից։ Պատասխանել.

Բայց այս մեթոդը հարմար է, եթե լոգարիթմական անհավասարությունն ունի նույն հիմքերը։

Լուծում լոգարիթմական հավասարումներև անհավասարություններ հետ տարբեր հիմքերենթադրում է նախնական կրճատում մեկ հիմքի վրա։ Այնուհետեւ օգտագործեք վերը նշված մեթոդը: Բայց կա ավելին դժվար դեպք. Դիտարկենք լոգարիթմական անհավասարությունների ամենաբարդ տեսակներից մեկը:

Փոփոխական հիմքով լոգարիթմական անհավասարություններ

Ինչպե՞ս լուծել անհավասարությունները նման բնութագրերով: Այո, և այդպիսիք կարելի է գտնել քննության մեջ։ Հետևյալ ձևով անհավասարությունների լուծումը բարենպաստ ազդեցություն կունենա նաև ձեր ուսումնական գործընթացի վրա. Եկեք մանրամասն նայենք հարցին։ Եկեք մի կողմ դնենք տեսությունը և անմիջապես անցնենք պրակտիկային: Լոգարիթմական անհավասարությունները լուծելու համար բավական է մեկ անգամ ծանոթանալ օրինակին։

Ներկայացված ձևի լոգարիթմական անհավասարությունը լուծելու համար անհրաժեշտ է աջ կողմը կրճատել նույն հիմքով լոգարիթմին։ Սկզբունքը նման է համարժեք անցումների. Արդյունքում անհավասարությունը կունենա այսպիսի տեսք.

Փաստորեն, մնում է ստեղծել անհավասարությունների համակարգ առանց լոգարիթմների։ Օգտագործելով ռացիոնալացման մեթոդը՝ անցնում ենք անհավասարությունների համարժեք համակարգի։ Դուք կհասկանաք կանոնն ինքնին, երբ փոխարինեք համապատասխան արժեքները և հետևեք դրանց փոփոխություններին: Համակարգը կունենա հետևյալ անհավասարությունները.

Օգտագործելով ռացիոնալացման մեթոդը անհավասարություններ լուծելիս պետք է հիշել հետևյալը. հիմքից պետք է հանել մեկը, x-ը, ըստ լոգարիթմի սահմանման, հանվում է անհավասարության երկու մասերից (աջը՝ ձախից), երկուսը. արտահայտությունները բազմապատկվում են և դրվում սկզբնական նշանի տակ՝ զրոյի հարաբերությամբ:

Հետագա լուծումն իրականացվում է ինտերվալային մեթոդով, այստեղ ամեն ինչ պարզ է։ Ձեզ համար կարևոր է հասկանալ լուծման մեթոդների տարբերությունները, այնուհետև ամեն ինչ հեշտությամբ կսկսի ընթանալ։

Լոգարիթմական անհավասարությունների մեջ կան բազմաթիվ նրբերանգներ: Դրանցից ամենապարզը բավականին հեշտ է լուծել: Ինչպե՞ս անել այնպես, որ դրանցից յուրաքանչյուրը լուծվի առանց խնդիրների: Այս հոդվածում դուք արդեն ստացել եք բոլոր պատասխանները: Հիմա ձեզ երկար պրակտիկա է սպասվում։ Անընդհատ զբաղվեք քննության շրջանակներում տարբեր խնդիրներ լուծելով, և դուք կկարողանաք ստանալ ամենաբարձր միավորը: Հաջողություն ձեր դժվարին աշխատանքում: