倍分数を約定するためのオンライン計算機。代数的な分数の約分

分数の約分方法を知らず、そのような例を解く安定したスキルがなければ、学校で代数を学ぶことは非常に困難です。さらに進めば進むほど、普通分数の約分に関する基本的な知識にさらに新しい情報が重ね合わされます。最初にべき乗が現れ、次に因数が現れ、後に多項式になります。

ここで混乱を避けるにはどうすればよいでしょうか? これまでのトピックのスキルを徹底的に定着させ、年々複雑になる分数の約定方法に関する知識を徐々に準備していきます。

基本知識

これらがなければ、どのレベルのタスクにも対処できません。理解するには、2 つの簡単な点を理解する必要があります。まず、要素を減らすことしかできません。このニュアンスは、多項式が分子または分母に現れる場合に非常に重要であることがわかります。次に、乗数がどこにあるのか、加数がどこにあるのかを明確に区別する必要があります。

2 番目の点は、任意の数値は因数の形式で表現できるということです。さらに、約分した結果は分子と分母がもう約分できない分数になります。

公用分数の約定規則

まず、分子が分母で割り切れるか、あるいはその逆かどうかを確認する必要があります。したがって、削減する必要があるのはまさにこの数です。これが最も簡単なオプションです。

2つ目は分析です外観数字。両方が 1 つ以上のゼロで終わる場合は、10、100、または 1,000 に短縮できます。ここで、数値が偶数であるかどうかを確認できます。「はい」の場合は、安全に 2 つにカットできます。

分数を減らすための 3 番目のルールは、分子と分母を素因数に因数分解することです。現時点では、数値の割り切れる記号に関するすべての知識を積極的に活用する必要があります。この分解の後、残っているのは、すべての繰り返しを見つけて、それらを乗算し、結果の数値で減算することだけです。

分数に代数式がある場合はどうなるでしょうか?

ここで最初の困難が現れます。なぜなら、ここでは因子と同一である可能性のある用語が登場するからです。本当は減らしたいのですが、減らすことができません。代数分数を約分する前に、因数が含まれるように変換する必要があります。

これを行うには、いくつかの手順を実行する必要があります。すべてを実行する必要がある場合もありますが、最初のオプションで適切なオプションが提供される場合もあります。

分子と分母、またはそれらの式が符号によって異なるかどうかを確認します。この場合、括弧内にマイナス 1 を入力するだけです。これにより、削減できる等しい係数が生成されます。

多項式から括弧内の共通因数を削除できるかどうかを確認してください。おそらく、これにより括弧が作成され、これも短縮できるか、単項式が削除されることになります。

単項式をグループ化して、共通因数を追加してみてください。この後、削減できる要素があることが判明するか、共通要素の括弧書きが再度繰り返される可能性があります。

省略した乗算公式を文章で検討してみてください。これらの助けを借りて、多項式を因数に簡単に変換できます。

べき乗付き分数の一連の演算

べき乗を使用して分数を約する方法の問題を簡単に理解するには、べき乗の基本的な操作をしっかりと覚えておく必要があります。これらの 1 つ目は、権力の乗算に関連しています。この場合、塩基が同じであれば指標を追加する必要があります。

2つ目は分割です。繰り返しますが、同じ理由があるものについては、指標を差し引く必要があります。さらに、配当に含まれる数値から減算する必要があり、その逆はできません。

3つ目は累乗です。この状況では、指標が乗算されます。

削減を成功させるには、パワーを等倍に削減する能力も必要です。つまり、4 は 2 の 2 乗であることがわかります。または 27 - 3 の立方体。 9の2乗と3の3乗を減らすのは難しいからです。しかし、最初の式を (3 2) 2 のように変換すると、リダクションは成功します。

これは、分数の分子と分母が同じ非ゼロ多項式で除算される場合、等しい分数が得られるという基本特性に基づいています。

乗数を減らすことしかできません。

多項式のメンバーは省略できません。

代数分数を約分するには、まず分子と分母の多項式を因数分解する必要があります。

分数を約定する例を見てみましょう。

分数の分子と分母には単項式が含まれています。それらは、仕事(数値、変数、およびそれらのべき乗)、乗数私たちは減らすことができます。

最大公約数、つまり、これらの各数値を割る最大の数で数値を減らします。 24 と 36 の場合、これは 12 です。削減後、24 からは 2 が残り、36 からは 3 が残ります。

インデックスが最も低い次数だけ次数を減らします。分数を減らすとは、分子と分母を同じ約数で割り、指数を引くことを意味します。

a² と a⁷ は a² に還元されます。この場合、a²の分子に1が残ります（1を書くのは、約分して他に因子が残っていない場合のみです。24からは2が残るので、a²から残る1は書きません）。 a⁷から、還元後、a⁵が残ります。

b と b は b だけ減算され、結果の単位は書き込まれません。

c3º と c5 は c5 に短縮されます。 c3º から残るのは c2⁵ で、c⁵ からは 1 になります (書きません)。したがって、

この代数分数の分子と分母は多項式です。多項式の項をキャンセルすることはできません。 (たとえば、8x² と 2x を減らすことはできません!)。この端数を減らすには、が必要です。分子の公約数は 4x です。それを括弧から外してみましょう:

分子と分母はどちらも同じ係数 (2x-3) を持ちます。この係数で端数を減らします。分子では 4x、分母では 1 が得られます。1 つのプロパティの場合代数分数、端数は 4 倍です。

因数を減らすことしかできません (この端数を 25x² で減らすことはできません!)。したがって、分数の分子と分母の多項式を因数分解する必要があります。

分子は和の完全な二乗であり、分母は二乗の差です。省略された乗算公式を使用して分解すると、次が得られます。

分数を (5x+1) で減らします (これを行うには、指数として分子の 2 を取り消し線で消し、(5x+1)² (5x+1) を残します)。

分子の共通因数は 2 なので、括弧から外してみましょう。分母は立方体の差の公式です。

展開の結果、分子と分母は同じ係数 (9+3a+a²) を受け取りました。それによって分数を減らします。

分子の多項式は 4 つの項で構成されます。最初の項と 2 番目の項、3 番目の項と 4 番目の項を結合し、最初の括弧から共通因数 x² を削除します。立方体の和の公式を使用して分母を分解します。

分子で括弧内の共通因数 (x+2) を取り出してみましょう。

分数を (x+2) で減らす：

497 を 4 で割る必要がある場合、割るときに 497 が 4 で均等に割り切れないことがわかります。部門の残りは残ります。このような場合は完了したと言われます 余りによる除算、解決策は次のように書かれています。
497: 4 = 124 (余り 1)。

等式の左側の除算コンポーネントは、剰余なしの除算と同じように呼び出されます。 497 - 配当, 4 - ディバイダー。剰余で割ったときの除算結果はと呼ばれます。 不完全なプライベート。私たちの場合、これは数値 124 です。そして最後に、通常の除算ではない最後の成分は次のとおりです。残り。余りがない場合は、ある数を別の数で割ったと言われます 跡形もなく、または完全に。このような除算では、剰余はゼロになると考えられています。この場合、余りは 1 です。

剰余は常に除数より小さくなります。

割り算は掛け算で確認できます。たとえば、64: 32 = 2 という等式がある場合、チェックは次のように行うことができます: 64 = 32 * 2。

剰余ありの除算を行う場合、等式を使用すると便利なことがよくあります。
a = b * n + r、
ここで、a は被除数、b は除数、n は部分商、r は剰余です。

自然数の商は分数として書くことができます。

分数の分子は被除数、分母は約数です。

分数の分子は被除数、分母は約数なので、 分数の線は割り算を意味すると信じている。「:」記号を使用せずに、割り算を分数として記述すると便利な場合があります。

自然数 m と n の除算の商は、分数 \(\frac(m)(n)\) として書くことができます。ここで、分子 m は被除数、分母 n は約数です。
\(m:n = \frac(m)(n) \)

次のルールが当てはまります。

分数 \(\frac(m)(n)\) を取得するには、単位を n 個の等しい部分 (シェア) に分割し、その部分を m 個取る必要があります。

分数 \(\frac(m)(n)\) を取得するには、数値 m を数値 n で割る必要があります。

全体の一部を求めるには、全体に対応する数値を分母で割り、その結果にこの部分を表す分数の分子を掛ける必要があります。

部分から全体を見つけるには、この部分に対応する数値を分子で割り、その結果にこの部分を表す分数の分母を掛ける必要があります。

分数の分子と分母の両方に同じ数値 (ゼロを除く) を掛けても、分数の値は変わりません。
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

分数の分子と分母の両方が同じ数 (ゼロを除く) で除算される場合、分数の値は変わりません。
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
このプロパティはと呼ばれます 分数の主な性質.

最後の 2 つの変換は次のように呼ばれます。 分数を減らす.

分数を同じ分母を持つ分数として表す必要がある場合、このアクションは呼び出されます。 分数を共通の分母に減らす.

適正分数と仮分数。帯分数

全体を等しい部分に分割し、その部分をいくつか取ると分数が得られることはすでにご存知でしょう。たとえば、分数 \(\frac(3)(4)\) は 1 の 4 分の 3 を意味します。前の段落の問題の多くでは、全体の一部を表すために分数が使用されていました。常識では、部分は常に全体より小さくなければなりませんが、\(\frac(5)(5)\) や \(\frac(8)(5)\) のような分数の場合はどうでしょうか。これがもはやユニットの一部ではないことは明らかです。おそらくこれが、分子が分母以上の分数と呼ばれる理由です。 仮分数。残りの分数、つまり分子が分母より小さい分数は、と呼ばれます。 正しい分数.

ご存知のとおり、公分数は、適正分数と不適正分数の両方で、分子を分母で割った結果と考えることができます。したがって、数学では、通常の言語とは異なり、「仮分数」という用語は、何か間違ったことをしたという意味ではなく、この分数の分子が分母以上であることだけを意味します。

数値が整数部と小数部で構成されている場合、そのような 分数は混合と呼ばれます.

例えば：
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 は整数部分、\(\frac(2)(3) \) は小数部分です。

分数 \(\frac(a)(b) \) の分子が自然数 n で割り切れる場合、この分数を n で割るためには、その分子を次の数で割る必要があります。
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

分数 \(\frac(a)(b)\) の分子が自然数 n で割り切れない場合、この分数を n で割るには、分母に次の数を掛ける必要があります。
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

2 番目のルールは、分子が n で割り切れる場合にも当てはまります。したがって、分数の分子がnで割り切れるかどうかが一見して判断しにくい場合に利用できます。

分数を使用したアクション。分数の加算。

自然数と同様に、小数を使った算術演算を実行できます。まずは分数の足し算を見てみましょう。分母が似ている分数の足し算は簡単です。たとえば、\(\frac(2)(7)\) と \(\frac(3)(7)\) の合計を求めてみましょう。 \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \) というのがわかりやすいですね。

同じ分母を持つ分数を加算するには、分母を同じにして分子を加算する必要があります。

文字を使用すると、分母が似ている分数を加算するルールは次のように記述できます。
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

分母の異なる分数を加算する必要がある場合は、まずそれらを共通の分母に減らす必要があります。例えば：
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

分数については、自然数と同様に、加算の可換性および結合性が有効です。

帯分数の加算

\(2\frac(2)(3)\) などの表記法が呼び出されます。 混合分数。この場合、数字の 2 が呼び出されます。全体帯分数、数値 \(\frac(2)(3)\) はその値です 小数部。エントリ \(2\frac(2)(3)\) は、「2 と 3 分の 2」と読み取られます。

数値 8 を数値 3 で割ると、\(\frac(8)(3)\) と \(2\frac(2)(3)\) の 2 つの答えが得られます。これらは同じ分数を表します。つまり \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

したがって、仮分数 \(\frac(8)(3)\) は帯分数 \(2\frac(2)(3)\) として表されます。このような場合、彼らは仮分数からと言います。 部分全体を強調表示した.

分数の引き算（小数）

自然数と同様、分数の減算は加算の作用に基づいて決定されます。ある数値から別の数値を引くということは、2 番目の数値に加算すると 1 番目の数値が得られる数値を見つけることを意味します。例えば：
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) 以来 \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

分母が似ている分数を減算するルールは、そのような分数を加算するルールと似ています。
同じ分母を持つ分数間の差を求めるには、最初の分数の分子から 2 番目の分数の分子を引き、分母は同じにしておく必要があります。

文字を使用すると、このルールは次のように記述されます。
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

分数の掛け算

分数と分数を掛けるには、分子と分母を掛けて、最初の積を分子として、2 番目の積を分母として書く必要があります。

文字を使用すると、分数の掛け算のルールは次のように記述できます。
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

定式化されたルールを使用すると、分数と自然数、帯分数を掛けたり、帯分数を掛けたりすることができます。これを行うには、分母が 1 の分数、帯分数、つまり仮分数として自然数を記述する必要があります。

乗算の結果は、分数を削減し、仮分数の部分全体を分離することによって (可能であれば) 単純化する必要があります。

分数については、自然数と同様に、乗算の可換性および結合性、ならびに加算に対する乗算の分配性が有効です。

分数の割り算

分数 \(\frac(2)(3)\) を「反転」して、分子と分母を入れ替えてみましょう。分数 \(\frac(3)(2)\) が得られます。この分数はと呼ばれます 逆行する分数 \(\frac(2)(3)\)。

ここで分数 \(\frac(3)(2)\) を「反転」すると、元の分数 \(\frac(2)(3)\) が得られます。したがって、 \(\frac(2)(3)\) や \(\frac(3)(2)\) などの分数は呼び出されます。 相互に反転.

たとえば、分数 \(\frac(6)(5) \) と \(\frac(5)(6) \)、\(\frac(7)(18) \) と \(\frac (18) ）（7）\）。

文字を使用すると、逆分数は次のように書くことができます: \(\frac(a)(b) \) および \(\frac(b)(a) \)

は明らかです 逆数の積は 1 に等しい。例: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

逆分数を使用すると、分数の割り算を掛け算に変換できます。

分数を分数で割る規則は次のとおりです。
ある分数を別の分数で割るには、被除数に除数の逆数を掛ける必要があります。

文字を使用すると、分数の除算ルールは次のように記述できます。
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

被除数または除数が自然数または帯分数の場合、分数の除算規則を使用するには、まず仮分数として表す必要があります。

オンライン計算機の実行 代数的な分数の換算分数の約定ルールに従って、元の分数を等しい分数で置き換えますが、より小さい分子と分母で置き換えます。分数の分子と分母を最大公約数 (GCD) で同時に除算します。計算機にも表示されます詳細な解決策これは、削減の順序を理解するのに役立ちます。

与えられる:

解決：

分数リダクションの実行

代数的分数縮約を実行できるかどうかを確認する

1) 分数の分子と分母の最大公約数 (GCD) の決定

代数分数の分子と分母の最大公約数 (GCD) を決定する

2) 分数の分子と分母を約分する

代数分数の分子と分母を減らす

3) 分数の全部分を選択する

代数分数の全体を分離する

4) 代数分数を小数分数に変換する

代数分数を小数に変換する

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I. オンライン計算機を使用して代数分数を約分する手順:

代数分数を約分するには、分数の分子と分母の値を適切なフィールドに入力します。分数が混合されている場合は、分数の全体部分に対応するフィールドにも入力します。分数が単純な場合は、全体の部分フィールドを空白のままにしておきます。
負の分数を指定するには、分数全体にマイナス記号を付けます。
指定された代数分数に応じて、次の一連のアクションが自動的に実行されます。

分数の分子と分母の最大公約数 (GCD) を求める;
gcd による分数の分子と分母の削減;
分数全体を強調表示する、最後の分数の分子が分母より大きい場合。
最終的な代数分数を小数に変換する百の位に四捨五入します。

リダクションにより、不適切な分数が発生する可能性があります。この場合、最終仮分数全体が強調表示され、最終分数が適正分数に変換されます。

II. 参考のために：

分数は、単位の 1 つ以上の部分 (分数) で構成される数値です。共通分数（単分数）は、割り算記号を示す横棒（分数バー）で区切られた 2 つの数値（分数の分子と分数の分母）として記述されます。分数の分子は分数線の上の数字です。分子は全体から何株取得したかを示します。分数の分母は分数線の下の数字です。分母は全体が何等分されるかを示します。単分数とは、整数部分をもたない分数のことです。単純な分数は適切な場合もあれば不適切な場合もあります。固有分数は分子が分母より小さい分数であるため、固有分数は常に 1 より小さくなります。適切な分数の例: 8/7、11/19、16/17。仮分数は、分子が分母以上である分数であるため、仮分数は常に 1 以上になります。例仮分数：7/6、8/7、13/13。帯分数とは、整数と固有分数を含む数で、その整数と固有分数の和を指します。あらゆる帯分数を仮分数に変換できます。帯分数の例: 1 1/4、2 1/2、4 3/4。

Ⅲ．注記：

強調表示されたソースデータブロック黄色 , 中間計算のブロックは青色で強調表示されます, ソリューションブロックは緑色で強調表示されます.
公分数または混合分数を加算、減算、乗算、除算するには、詳細な解法を備えたオンライン分数計算ツールを使用します。

そこで削減にたどり着きました。ここでは分数の基本的な性質が適用されます。しかし！そんなに単純ではありません。多くの分数（学校のコースの分数も含む）があれば、それでなんとかなる可能性は十分にあります。「より急な」分数を取るとどうなるでしょうか? もっと詳しく見てみましょう！分数のある資料を見ることをお勧めします。

したがって、分数の分子と分母は同じ数で乗算および除算でき、分数は変化しないことはすでにわかっています。 3 つのアプローチを考えてみましょう。

1つに近づきます。

減らすには、分子と分母を公約数で割ります。例を見てみましょう:

短くしましょう:

与えられた例では、削減のためにどの約数を採用すべきかがすぐにわかります。プロセスは簡単です。2、3、4、5 というように進みます。ほとんどの学校のコースの例では、これで十分です。しかし、それが分数の場合は次のようになります。

ここでは、約数を選択するプロセスに時間がかかることがあります;)。もちろん、そのような例は学校のカリキュラムの外にありますが、それに対処できる必要があります。以下では、これがどのように行われるかを見ていきます。ここでは、ダウンサイジングのプロセスに戻りましょう。

上で説明したように、分数を減らすために、決定した公約数で除算しました。すべてが正しいです！数値の割り切れる記号を追加するだけです。

- 数値が偶数の場合、2 で割り切れます。

- 最後の 2 桁の数値が 4 で割り切れる場合、その数値自体も 4 で割り切れます。

— 数値を構成する数字の合計が 3 で割り切れる場合、数値自体も 3 で割り切れます。たとえば、125031、1+2+5+0+3+1=12 となります。 12 は 3 で割り切れるので、123031 は 3 で割り切れます。

- 数値が 5 または 0 で終わる場合、その数値は 5 で割り切れます。

— 数値を構成する数字の合計が 9 で割り切れる場合、数値自体も 9 で割り切れます。たとえば、625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18 となります。 18 は 9 で割り切れます。つまり、623032 は 9 で割り切れます。

2番目のアプローチ。

簡単に言うと、実際、アクション全体は、分子と分母を因数分解し、次に分子と分母の等しい因数を減らすことになります (このアプローチは最初のアプローチの結果です)。

視覚的には、混乱や間違いを避けるために、等しい要素には単純に取り消し線が付けられています。質問 - 数値を因数分解する方法は? すべての約数を検索して決定する必要があります。これは別のトピックです。複雑ではありません。教科書またはインターネットで情報を調べてください。学校の分数に含まれる因数分解では、大きな問題は発生しません。

形式的には、削減原則は次のように書くことができます。