対数の定義を使用して対数方程式を解きます。私

代数グレード 11

トピック: « 解決方法対数方程式 »

レッスンの目的:

教育的: ～についての知識を構築する違う方法対数方程式を解く能力、それをそれぞれの特定の状況に適用し、解くための任意の方法を選択する能力。

現像： 知識を観察、比較し、新しい状況に適用し、パターンを特定し、一般化するスキルの開発。相互制御と自制のスキルの形成。

教育的: 教育活動に対する責任ある態度の教育、授業内容の注意深い認識、記録管理の正確さ。

レッスンタイプ : 新しい教材に慣れるためのレッスン。

「対数の発明により、天文学者の仕事が短縮され、寿命が延びました。」
フランスの数学者、天文学者 P.S. ラプラス

授業中

I. レッスンの目標を設定する

対数の定義、対数の性質、対数関数を学習すると、対数方程式を解くことができます。すべての対数方程式は、どれほど複雑であっても、同じアルゴリズムを使用して解決されます。今日のレッスンではこれらのアルゴリズムを検討します。それらはほとんどありません。これらをマスターすれば、対数を使った方程式は誰でも実行可能になります。

授業のテーマ「対数方程式を解く方法」をノートに書きます。皆様のご協力をお願いいたします。

II. 基礎知識のアップデート

レッスンのテーマを勉強する準備をしましょう。それぞれの課題を解いて答えを書きますが、条件を書くことはできません。ペアで作業します。

1) x のどの値に対してこの関数は意味を持ちますか:

（スライドごとに解答をチェックし、間違いを整理します）

2) 関数グラフは一致していますか?

a) y = x および

b)と

3) 等式を対数等式として書き換えます。

4) 数値を底 2 の対数として書きます。

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) 計算する :

6) これらの等式に欠けている要素を復元または完成させてみてください。

Ⅲ．新素材のご紹介

ステートメントが画面に表示されます。

「方程式は、数学上のすべてのゴマを解く黄金の鍵です。」
現代ポーランドの数学者 S. コヴァル

対数方程式の定義を定式化してみてください。 (対数の符号の下に未知数を含む方程式 ).

検討最も単純な対数方程式: ログあ x = b (a>0、a ≠ 1)。対数関数は正の数のセットで増加 (または減少) し、すべての実数値を取るため、根定理から、任意の b に対して、この方程式の解は 1 つだけで、しかも正の解が 1 つだけ存在することがわかります。

対数の定義を思い出してください。 (数値 x の底 a に対する対数は、数値 x を得るために底 a を累乗する必要がある指数です。 ）。対数の定義からすぐに次のことがわかります。あ V そのような解決策です。

タイトルを書き留めます:対数方程式を解く方法

1. 対数の定義による .

次の形式の最も単純な方程式は次のようになります。.

検討No.514(a) ): 方程式を解きます

それを解決するにはどのように提案しますか？ (対数の定義により )

解決 . , したがって、2x - 4 = 4; x = 4。

答え: 4.

このタスクでは、2x - 4 > 0 です。> 0 であるため、無関係なルートは表示されません。検証は必要ありません 。このタスクの条件 2x - 4 > 0 は書き出す必要はありません。

2. 増強 (指定された式の対数からこの式自体への遷移)。

検討No.519(g): ログ 5 ( バツ 2 +8)- ログ 5 ( バツ+1)=3 ログ 5 2

どのような特徴に気づきましたか?(底が同じで、2 つの式の対数は等しい) 。何ができるでしょうか？（増強する）。

この場合、対数式が正となるすべての x には任意の解が含まれることを考慮する必要があります。

解決： ODZ:

バツ 2 +8>0 余分な不等号

ログ 5 ( バツ 2 +8) = ログ 5 2 3 + ログ 5 ( バツ+1)

ログ 5 ( バツ 2 +8)= ログ 5 (8 バツ+8)

元の方程式を強化する

バツ 2 +8= 8 バツ+8

方程式が得られますバツ 2 +8= 8 バツ+8

それを解決しましょう:バツ 2 -8 バツ=0

x=0、x=8

答え: 0; 8

一般に同等のシステムへの移行 :

方程式

(システムには冗長な条件が含まれています - 不等式の 1 つは無視できます)。

クラスへの質問 : これら 3 つのソリューションのうち、どれが一番気に入りましたか? （方法の議論）。

あなたにはどんな形であれ決定する権利があります。

3. 新しい変数の導入 .

検討No.520(g) . .

何に気づきましたか? (これはlog3xの二次方程式です) あなたの提案は？ (新しい変数の導入)

解決。 ODZ: x > 0。

させての場合、方程式は次の形式になります。。判別式 D > 0。ビエタの定理による根:.

交換作業に戻る:また.

最も単純な対数方程式を解くと、次の結果が得られます。

; .

答え : 27;

4. 方程式の両辺の対数。

方程式を解きます。.

解決 : ODZ: x>0、式の両辺の対数を底 10 で計算します。

。次の次の対数の特性を適用します。

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

lgx = y とすると、(y + 3)y = 4

, (D > 0) ビエタの定理による根: y1 = -4 および y2 = 1。

置換に戻りましょう。 lgx = -4 となります。; logx = 1、. . それは次のとおりです: いずれかの関数の場合 y = f(x) 増加し、もう一つは y = g(x) 区間 X で減少すると、方程式は次のようになります。 f(x)=g(x) 区間 X にはルートが最大 1 つあります .

ルートがある場合は、それを推測できます。 .

答え : 2

« 正しい使い方メソッドを学ぶことができる
それらをさまざまな例に適用するだけです。
デンマークの数学史家 G. G. ザイテン

私 v. 宿題

P.39 例題3を考えて、No.514(b)、No.529(b)、No.520(b)、No.523(b)を解く

V. レッスンのまとめ

対数方程式を解くためのどのような方法を授業で検討しましたか?

次のレッスンではさらに詳しく見ていきます複雑な方程式。それらを解決するには、研究された方法が役立ちます。

最後のスライドを表示します:

「この世で何よりも大切なものは何でしょうか？
空。
一番賢いのは何でしょうか？
時間。
何が一番楽しいですか？
望むものを達成してください。」
タレス

誰もが望むことを達成してほしいと思っています。ご理解とご協力をお願いいたします。

このビデオから、対数方程式に関する長い一連のレッスンを始めます。これで、一度に 3 つの例ができました。これに基づいて、いわゆる最も単純なタスクを解決する方法を学びます。 原生動物.

log 0.5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

最も単純な対数方程式は次のとおりであることを思い出してください。

ログ a f(x) = b

変数 x が引数内にのみ、つまり関数 f(x) 内にのみ存在することが重要です。そして、数値 a と b は単なる数値であり、変数 x を含む関数であることはありません。

基本的な解決方法

このような構造を解決するには多くの方法があります。たとえば、学校のほとんどの教師は次の方法を提案します。次の式を使用して関数 f ( x ) を直ちに表現します。 f( x ) = a b 。つまり、最も単純な構造に出会ったら、追加のアクションや構造を必要とせずに、すぐに解決策に進むことができます。

はい、もちろん、その決定は正しいことが判明します。しかし、この式の問題点は、ほとんどの生徒が 理解していない、それはどこから来たのか、そしてなぜ正確に文字aを文字bに上げるのか。

その結果、たとえばこれらの文字が入れ替わっている場合など、非常に不快な間違いをよく観察します。この公式は理解するか暗記する必要があり、2 番目の方法は、試験やテストなど、最も不適切で最も重要な瞬間にエラーを引き起こします。

だからこそ、私はすべての生徒に、標準的な学校の公式を放棄し、対数方程式を解く 2 番目のアプローチを使用することを提案します。これは、おそらく名前から推測できるように、と呼ばれます。 正規形.

正準形式の考え方は単純です。もう一度タスクを見てみましょう。左側には log a があり、文字 a は正確に数値を意味し、変数 x を含む関数を意味することはありません。したがって、この文字は対数の底に課せられるすべての制限の対象となります。つまり:

1 ≠ a > 0

一方、同じ方程式から、対数は数値 b に等しくなければならないことがわかります。この文字には、正と負の両方の任意の値を取ることができるため、制限はありません。それはすべて、関数 f(x) がどのような値を取るかによって異なります。

ここで、任意の数値 b は a の b 乗の底を a とした対数として表すことができるという素晴らしい規則を思い出します。

b = ログ a a b

この公式はどうやって覚えればいいのでしょうか？はい、とてもシンプルです。次の構造を書いてみましょう。

b = b 1 = b log a a

もちろん、この場合、最初に書いたすべての制限が発生します。次に、対数の基本特性を使用して、係数 b を a の累乗として入力してみましょう。我々が得る：

b = b 1 = b log a a = log a a b

その結果、元の方程式は次の形式に書き換えられます。

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

それで全部です。新しい関数には対数が含まれなくなり、標準的な代数手法によって解決されます。

もちろん、ここで誰かが反論するでしょう。そもそも、元の構築から最終的な公式にすぐに進むことができるのに、なぜ何らかの標準公式を考え出す必要があったのか、なぜさらに 2 つの不必要なステップを実行する必要があるのか、ということです。はい、それは、ほとんどの生徒がこの公式の出所を理解しておらず、その結果、それを適用するときに定期的に間違いを犯すという理由だけであれば、そうです。

しかし、このような 3 つのステップからなる一連の操作により、最終的な式がどこから来たのか理解できなくても、元の対数方程式を解くことができます。ちなみに、このエントリは正準公式と呼ばれます。

log a f(x) = log a a b

正準形式の利便性は、今日検討している最も単純なものだけでなく、非常に幅広いクラスの対数方程式を解くために使用できるという事実にもあります。

ソリューション例

そして今考えてみましょう実際の例。それでは、次のように決めましょう。

log 0.5 (3x - 1) = -3

次のように書き換えてみましょう。

log 0.5 (3x − 1) = log 0.5 0.5 −3

多くの学生は急いで、すぐに 0.5 という数値を元の問題から得られた乗数に上げようとします。実際、そのような問題を解決するための十分な訓練を受けている場合は、すぐにこのステップを実行できます。

ただし、このトピックを学び始めたばかりの場合は、攻撃的な間違いをしないように、どこにも急がないほうが良いでしょう。したがって、標準形式が得られます。我々は持っています：

3x - 1 = 0.5 -3

これはもはや対数方程式ではなく、変数 x に関する線形方程式です。これを解決するには、まず 0.5 の -3 乗という数値を処理しましょう。 0.5 は 1/2 であることに注意してください。

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

対数方程式を解くときは、すべての小数を分数に変換します。

書き直すと次のようになります。

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

すべて答えが出ました。最初の課題は解決されました。

2番目のタスク

2 番目のタスクに進みましょう。

ご覧のとおり、この方程式はもはや最も単純なものではありません。違いが左側にあり、1 つの底に単一の対数がないという理由だけであれば。

したがって、この差を何とかして解消する必要があります。この場合、すべては非常に簡単です。基底を詳しく見てみましょう。左側は根の下の番号です。

一般的な推奨事項: すべての対数方程式で、根号を取り除くようにしてください。つまり、ルートを持つエントリから根号を取り除き、べき乗関数に進むようにしてください。これは、これらのべき乗の指数が対数の符号から簡単に取り出されるためであり、最終的には次のようになります。表記法により計算が大幅に簡素化され、高速化されます。次のように書きましょう:

今、私たちは思い出します素晴らしい物件対数: 底からだけでなく引数からも度を取り出すことができます。塩基の場合、次のことが起こります。

log a k b = 1/k log a b

つまり、底の次数に立った数を前に出すと同時にひっくり返す、つまり数の逆数になります。私たちの場合、1/2の指標を持つ塩基度がありました。したがって、2/1として取り出すことができます。我々が得る：

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

注意してください: いかなる場合でも、このステップで対数を削除しないでください。 4 年生から 5 年生の算数と演算の順序を思い出してください。乗算が最初に実行され、その後に加算と減算が実行されます。この場合、10 個の要素から同じ要素の 1 つを減算します。

9 log 5 x = 18
対数5 x = 2

これで、方程式は正しくなりました。これ最もシンプルなデザインそして、正規形式でそれを解決します。

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

それで全部です。 2 番目の問題は解決されました。

3番目の例

3 番目のタスクに進みましょう。

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

次の式を思い出してください。

log b = log 10 b

何らかの理由で lg b と書くのが混乱する場合は、すべての計算を行うときに単純に log 10 b と書くことができます。 10 進対数は他のものと同じ方法で操作できます。累乗を取り出し、加算し、任意の数値を lg 10 として表します。

問題を解決するために使用するのはまさにこれらのプロパティです。これは、レッスンの最初に書き留めた最も単純なプロパティではないためです。

まず、lg 5 の前に因数 2 を挿入すると、底 5 のべき乗になることに注意してください。さらに、自由項 3 は対数としても表すことができます。これは、表記法から非常に簡単に観察できます。

自分で判断してください: 任意の数値は 10 を底とする対数として表すことができます。

3 = 対数 10 10 3 = 対数 10 3

受け取った変更を考慮して、元の問題を書き直してみましょう。

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25,000

私たちの前には再び正準形式があり、変換の段階を回避してそれを取得しました。つまり、最も単純な対数方程式はどこにも思いつきませんでした。

レッスンの最初にそんな話をしていました。標準形式を使用すると、ほとんどの学校教師が教える標準的な学校形式よりも幅広いクラスの問題を解くことができます。

これだけで、10 進対数の符号が削除され、単純な線形構造が得られます。

x + 3 = 25,000
x = 24997

全て！問題が解決しました。

範囲に関する注意事項

ここで、定義の領域について重要な点を述べておきたいと思います。「対数を使って式を解くときは、引数 f (x) が 0 より大きくなければならないことを覚えておく必要があります。」と言う生徒や教師がきっといます。この点に関して、論理的な疑問が生じます。なぜ検討した問題のどれにおいても、この不等式が満たされる必要がなかったのですか?

心配しないでください。この場合、余分なルートは表示されません。これは、解決を迅速化するためのもう 1 つの優れたトリックです。問題内で変数 x が 1 か所 (より正確には、唯一の対数の唯一の引数) でのみ出現し、このケースでは変数 x が他のどこにも出現しない場合は、次のドメインを書きます。 必要なし自動的に実行されるからです。

自分で判断してください。最初の方程式では、3x - 1 が得られました。つまり、引数は 8 に等しいはずです。これは自動的に、3x - 1 がゼロより大きいことを意味します。

同じ成功で、2 番目のケースでは、x は 5 2 に等しくなければならない、つまり、確実にゼロより大きいと書くことができます。そして 3 番目のケースでは、x + 3 = 25,000、つまり、やはり明らかにゼロより大きくなります。言い換えれば、スコープは自動ですが、x が 1 つの対数のみの引数にのみ出現する場合に限ります。

簡単な問題を解決するために知っておく必要があるのはこれだけです。このルールだけで、変換ルールと組み合わせることで、非常に幅広い種類の問題を解決できます。

しかし、正直に言うと、このテクニックを最終的に理解し、対数方程式の正準形式を適用する方法を学ぶには、ビデオレッスンを 1 つ視聴するだけでは十分ではありません。今すぐオプションをダウンロードしてください独立した決定、このビデオチュートリアルに添付されており、これら 2 つの独立した作品の少なくとも 1 つを解き始めます。

ほんの数分で完了します。ただし、このようなトレーニングの効果は、このビデオチュートリアルを視聴しただけの場合に比べてはるかに高くなります。

このレッスンが対数方程式の理解に役立つことを願っています。正規形式を適用し、対数を扱うためのルールを使用して式を簡素化すれば、どんな作業も恐れることはありません。今日はこれで終わりです。

範囲の考慮事項

次に、対数関数の定義域と、これが対数方程式の解にどのような影響を与えるかについて説明します。フォームの構築を検討する

ログ a f(x) = b

このような式は最も単純と呼ばれます。関数は 1 つだけあり、数値 a と b は単なる数値であり、変数 x に依存する関数ではありません。それは非常に簡単に解決されます。次の式を使用するだけです。

b = ログ a a b

この式は対数の重要な特性の 1 つであり、元の式に代入すると次のようになります。

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

これは学校の教科書でもおなじみの公式です。おそらく多くの学生は疑問を持つでしょう。元の式の関数 f ( x ) は対数記号の下にあるため、次の制限が課されます。

f(x) > 0

負の数の対数は存在しないため、この制限は有効です。この制限があるため、回答のチェックを導入する必要があるでしょうか? おそらくソース内で置き換える必要があるでしょうか?

いいえ、最も単純な対数方程式では、追加のチェックは不要です。だからこそ。最終的な式を見てください。

f(x) = a b

実際のところ、どのような場合でも数値 a は 0 より大きく、この要件は対数によっても課されます。数字aは基数です。この場合、ｂの数には制限はない。しかし、これは問題ではありません。正の数値をどの程度上げても、出力では依然として正の数値が得られるからです。したがって、要件 f (x) > 0 は自動的に満たされます。

本当に確認する価値があるのは、ログ記号の下にある関数のスコープです。非常に複雑な設計が存在する場合があり、それらを解決する過程では、必ずそれに従わなければなりません。見てみましょう。

最初のタスク:

最初のステップ: 右側の分数を変換します。我々が得る：

対数の符号を取り除き、通常の無理方程式を取得します。

2 番目のルートはゼロ未満であるため、取得されたルートのうち、最初のルートのみが適切です。唯一の答えは数字の 9 です。以上です。問題は解決されました。対数記号の下の式が 0 より大きいかどうかを追加でチェックする必要はありません。これは、単に 0 より大きいだけではなく、方程式の条件によって 2 に等しいためです。したがって、「ゼロより大きい」という要件は自動的に満たされます。満足。

2 番目のタスクに進みましょう。

全部ここは一緒。トリプルを置き換えて構造を書き直します。

対数の符号を取り除くと、無理数方程式が得られます。

制限を考慮して両方の部分を二乗すると、次のようになります。

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

結果として得られる方程式を判別式によって解きます。

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = −1

× 2 \u003d -6

しかし、x = −6 は私たちには適していません。なぜなら、この数値を不等式に代入すると次のようになります。

−6 + 4 = −2 < 0

この場合、0 より大きいか、極端な場合には等しいことが必要です。しかし、x = −1 が適切です。

−1 + 4 = 3 > 0

この場合の唯一の答えは x = −1 です。それがすべての解決策です。計算の最初に戻ってみましょう。

このレッスンの主な結論は、最も単純な対数方程式の関数の極限をチェックする必要はないということです。なぜなら、解決の過程ですべての制約が自動的に実行されるからです。

ただし、これは、検証を完全に忘れてよいという意味では決してありません。対数方程式に取り組む過程で、それが非合理的な方程式になる可能性が高く、それには右側に独自の制限と要件があり、それを今日 2 つの異なる例で見てきました。

このような問題は自由に解決してください。議論に根がある場合には特に注意してください。

底が異なる対数方程式

私たちは対数方程式の研究を続け、より複雑な構造を解くために流行している 2 つの興味深いトリックを分析します。しかしその前に、最も単純なタスクがどのように解決されるかを思い出してみましょう。

ログ a f(x) = b

この表記では、a と b は単なる数値であり、関数 f (x) には変数 x が存在し、そこにのみ存在する必要があります。つまり、x は引数にのみ存在する必要があります。このような対数方程式を正準形式を使用して変換します。このため、次のことに注意してください。

b = ログ a a b

そして a b は単なる引数です。この式を次のように書き換えてみましょう。

log a f(x) = log a a b

これはまさに私たちが達成しようとしていることであり、左側と右側の両方に底 a に対する対数が存在します。この場合、比喩的に言えば、対数の符号を取り消すことができ、数学の観点からは、単に引数を同等とみなすことができます。

f(x) = a b

その結果、はるかに簡単に解決できる新しい式が得られます。このルールを今日のタスクに適用してみましょう。

最初のデザインは次のようになります。

まず、右側に分母がlogであることに注目してください。このような式を見たときは、対数の素晴らしい性質を思い出してみる価値があります。

ロシア語に翻訳すると、これは、任意の対数は、任意の底 c を持つ 2 つの対数の商として表すことができることを意味します。もちろん、0< с ≠ 1.

つまり、この式には、変数 c が変数と等しいという素晴らしい特殊なケースが 1 つあります。 b. この場合、次のようなフォームの構造が得られます。

この構造は、方程式の右側の記号から観察できます。この構造を log a b に置き換えると、次のようになります。

言い換えれば、元のタスクと比較して、引数と対数の底を交換しました。代わりに、分数を反転する必要がありました。

次の規則に従って、任意の学位を基礎から取り出すことができることを思い出してください。

つまり、基底の次数である係数ｋを逆分数として取り出す。これを逆分数として取り出してみましょう。

この場合、このエントリを正規形式として表すことができないため、分数因数を前に残すことはできません (結局のところ、正規形式では、2 番目の対数の前に追加の因数はありません)。したがって、引数に小数 1/4 をべき乗として入れてみましょう。

ここで、基数が同じである引数を同等にして (実際に基数は同じです)、次のように書きます。

x + 5 = 1

x = −4

それで全部です。最初の対数方程式の答えが得られました。注意してください。元の問題では、変数 x は 1 つのログ内にのみ出現し、その引数内にあります。したがって、ドメインをチェックする必要はなく、数値 x = −4 が実際に答えになります。

次に、2 番目の式に移りましょう。

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

ここでは、通常の対数に加えて、lg f (x) を使用する必要があります。このような方程式を解くにはどうすればよいでしょうか? 準備ができていない学生には、これはある種のブリキであるように見えるかもしれませんが、実際にはすべてが基本的に解決されます。

lg 2 log 2 7 という用語をよく見てください。これについて何が言えるでしょうか? log と lg の基数と引数は同じなので、これがいくつかのヒントを与えるはずです。対数の符号の下から度がどのように取り出されるかをもう一度思い出してみましょう。

log a b n = nlog a b

つまり、引数内の数値 b の累乗が何であったかが、log 自体の前の因数になります。この式を lg 2 log 2 7 という式に適用してみましょう。lg 2 を恐れる必要はありません。これは最も一般的な式です。次のように書き換えることができます。

彼にとって、他の対数に適用されるすべての規則は有効です。特に、前にある要素を議論の力に組み込むことができます。かきましょう：

あるログを別のログの下に入力するのは良くないため、真っ白な生徒はこのアクションに気付かないことがよくあります。実際、これには何も犯罪性はありません。さらに、重要なルールを覚えていれば簡単に計算できる式が得られます。

この式は、定義としても、そのプロパティの 1 つとしても考えることができます。いずれにしても、対数方程式を変換する場合は、対数の形式で数値を表現する場合と同じように、この式を理解する必要があります。

タスクに戻ります。等号の右側の最初の項が単純に lg 7 に等しいという事実を考慮してこれを書き直します。次のようになります。

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

lg 7 を左に移動すると、次のようになります。

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

左側の式は基数が同じなので減算します。

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

ここで、得られた方程式を詳しく見てみましょう。これは実質的に標準形式ですが、右側に係数 -3 があります。それを右側の lg 引数に入れてみましょう。

lg 8 = lg (x + 4) −3

対数方程式の正準形式が目の前にあるので、lg の符号を取り消して引数を等しくします。

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0.5

それで全部です！ 2 番目の対数方程式を解きました。この場合、元の問題では x は 1 つの引数にのみ存在するため、追加のチェックは必要ありません。

もう一度列挙しますキーポイントこのレッスン。

対数方程式を解くことを目的としたこのページのすべてのレッスンで学習する主な公式は、正準形式です。また、ほとんどの学校の教科書では、この種の問題を別の方法で解決する方法が教えられているという事実を気にしないでください。このツールは非常に効率的に機能し、レッスンの最初に学習した最も単純な問題よりもはるかに幅広いクラスの問題を解決できます。

また、対数方程式を解くには、基本的な性質を知っておくと役立ちます。つまり:

1 つのベースに移動するための公式とログを反転するときの特殊なケース (これは最初のタスクで非常に役に立ちました)。
対数の符号の下からべき乗を出し入れする公式。ここで、多くの学生は行き詰まって、取り出したり持ち込んだ電力自体に log f (x) が含まれる可能性があるということをまったく理解していません。それは何の問題もありません。あるログを別のログの兆候に従って導入すると同時に、問題の解決を大幅に簡素化できます。これが 2 番目のケースで観察されたことです。

結論として、変数 x はログの 1 つの符号にのみ存在し、同時にその引数にも存在するため、これらの場合のそれぞれでスコープをチェックする必要はないことを付け加えておきたいと思います。その結果、すべてのドメイン要件が自動的に満たされます。

変数ベースの問題

今日は対数方程式について考えます。これは多くの生徒にとって、完全に解けないわけではないにしても、標準的ではないと思われます。ここで話しているのは、数値ではなく、変数や関数に基づいた式についてです。このような構造は、標準的な手法、つまり標準形式を使用して解決します。

まず、普通の数字に基づいた最も単純な問題がどのように解決されるかを思い出してみましょう。したがって、最も単純な構造は次のように呼ばれます。

ログ a f(x) = b

このような問題を解決するには、次の公式を使用できます。

b = ログ a a b

元の式を書き直すと、次のようになります。

log a f(x) = log a a b

次に、引数を同等にします。つまり、次のように書きます。

f(x) = a b

したがって、ログ記号を取り除き、通常の問題を解決します。この場合、解で得られた根が元の対数方程式の根になります。また、左と右が同じ底の同じ対数にあるときの記録を正準形式と呼びます。この記録をもとに、今日の建設を削減しようと努めます。じゃ、行こう。

最初のタスク:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

1 を log x − 2 (x − 2) 1 に置き換えます。引数で観察される次数は、実際には、等号の右側にある数値 b です。それでは、式を書き直してみましょう。我々が得る：

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

何が見えますか？対数方程式の正準形式が目の前にあるので、引数を安全に同等とみなすことができます。我々が得る：

2x2 - 13x + 18 = x - 2

しかし、この方程式は元のものと等価ではないため、解決策はそこで終わりません。結局のところ、結果として得られる構造は数直線全体で定義された関数で構成されており、元の対数はどこでも定義されているわけではなく、常に定義されているわけでもありません。

したがって、定義の領域を別に記述する必要があります。賢明ではなく、まずすべての要件を書き留めてみましょう。

まず、各対数の引数は 0 より大きくなければなりません。

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

次に、基数は 0 より大きいだけでなく、1 とも異なる必要があります。

x − 2 ≠ 1

結果として、次のシステムが得られます。

ただし、心配しないでください。対数方程式を処理する場合、そのようなシステムは大幅に簡略化できます。

自分で判断してください。一方で、二次関数はゼロより大きいことが要求され、他方では、この二次関数はある一次式と同等であり、これもゼロより大きいことが要求されます。

この場合、x − 2 > 0 を要求すると、2x 2 − 13x + 18 > 0 という要求が自動的に満たされるため、二次関数を含む不等式を安全に消すことができます。したがって、システムに含まれる式の数は 3 つに減ります。

もちろん、取り消し線を引いてもいいでしょう線形不等式つまり、x − 2 > 0 を取り消して、2x 2 − 13x + 18 > 0 であることを要求します。しかし、同じ根を得るこのシステムよりも、最も単純な線形不等式を解く方がはるかに速くて簡単であることに同意する必要があります。

一般に、可能な限り計算を最適化するようにしてください。また、対数方程式の場合は、最も難しい不等式を消してください。

システムを書き直してみましょう。

これは 3 つの式からなるシステムで、そのうちの 2 つは実際にすでに理解されています。二次方程式を個別に書き出して解いてみましょう。

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

私たちの前には縮小二乗三項式があるため、Vieta の公式を使用できます。我々が得る：

(x − 5)(x − 2) = 0

× 1 = 5

x2 = 2

さて、私たちのシステムに戻りますが、x は厳密に 2 より大きい必要があるため、x = 2 は私たちには適していないことがわかります。

しかし、x \u003d 5は私たちに非常に適しています。数字5は2より大きく、同時に5は3に等しくありません。したがって、このシステムの唯一の解決策はx \u003d 5になります。

ODZ を考慮することも含めて、タスクはすべて解決されます。 2 番目の方程式に移りましょう。ここでは、より興味深く意味のある計算を待っています。

最初のステップ: 前回と同様に、このすべてのビジネスを正規の形式にまとめます。これを行うには、次のように数字 9 を書くことができます。

根本的な部分には触れられませんが、議論を変形した方が良いでしょう。根から有理指数を使ったべき乗に移りましょう。かきましょう：

大きな対数方程式全体を書き直すのではなく、ただ単に引数を等価なものにします。

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

× 2 + 4x + 3 = 0

再び縮小された平方三項式の前に、Vieta の公式を使用して次のように書きます。

(x + 3)(x + 1) = 0

× 1 = -3

× 2 = -1

それで、根は得られましたが、それが元の対数方程式に適合することを誰も保証しませんでした。結局のところ、ログサインは追加の制限を課します（ここではシステムを書き留める必要がありますが、全体の構築が煩雑であるため、定義のドメインを個別に計算することにしました）。

まず、引数は 0 より大きくなければならないことに注意してください。

これらは定義領域によって課せられる要件です。

システムの最初の 2 つの式は互いに同等であるため、それらのいずれかを取り消すことができることがすぐにわかります。 2 番目のものよりも脅威的に見えるため、1 番目のものは取り消し線で消しましょう。

さらに、2 番目と 3 番目の不等式の解は同じ集合になることに注意してください (ある数自体が 0 より大きい場合、ある数の 3 乗は 0 より大きくなります。3 次の根も同様に、これらの不等式は次のようになります)完全に似ているので、そのうちの 1 つを取り消し線で消します)。

しかし、3 番目の不等式では、これは機能しません。左側の根号の符号を取り除き、両方の部分を立方体にします。我々が得る：

したがって、次の要件が得られます。

−2 ≠ x > −3

これらの要件を満たすのは、根 x 1 = -3 または x 2 = -1 のどちらですか? x = −3 は最初の不等式を満たさないため (不等式が厳密であるため)、明らかに x = −1 のみです。問題に戻ると、合計すると、根 x = −1 が 1 つ得られます。以上です、問題は解決しました。

もう一度言いますが、このタスクの重要なポイントは次のとおりです。

正準形式を使用して対数方程式を自由に適用して解いてください。このような記録を作成し、元の問題から log a f ( x ) = b のような構成に直接行かない生徒は、どこかで急いで計算の中間ステップをスキップしている生徒よりもはるかにエラーが少なくなります。
変数の底が対数に現れるとすぐに、問題は最も単純なものではなくなります。したがって、これを解くときは、定義域を考慮する必要があります。引数は 0 より大きい必要があり、基数は 0 より大きいだけでなく、1 であってはなりません。

さまざまな方法で、最終的な回答に最後の要件を課すことができます。たとえば、すべてのドメイン要件を含むシステム全体を解決することが可能です。一方、最初に問題自体を解決してから、定義領域について思い出し、それをシステムの形で個別に解決し、得られたルートに適用することもできます。

特定の対数方程式を解くときにどちらの方法を選択するかはあなた次第です。いずれにせよ、答えは同じでしょう。

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対数式、例題の解法。この記事では、対数を解くことに関連する問題について考えます。このタスクでは、式の値を見つけるという問題が生じます。対数の概念は多くのタスクで使用され、その意味を理解することが非常に重要であることに注意してください。 USE に関しては、対数は方程式を解くときや応用問題、さらには関数の学習に関連するタスクでも使用されます。

対数の意味そのものを理解するための例を次に示します。