Pochodne wyższych rzędów

W tej lekcji nauczymy się, jak znaleźć pochodne wyższego rzędu, a także napisać ogólny wzór na „n-tą” pochodną. Ponadto rozważymy wzór Leibniza na taką pochodną i, na powszechne żądanie, pochodne wyższego rzędu funkcja niejawna. Sugeruję natychmiastowe wykonanie mini-testu:

Oto funkcja: a oto jego pierwsza pochodna:

W przypadku jakichkolwiek trudności/nieporozumień dotyczących tego przykładu, proszę zacząć od dwóch podstawowych artykułów z mojego kursu: Jak znaleźć pochodną? I Pochodna funkcji zespolonej. Po opanowaniu elementarnych pochodnych polecam przeczytanie lekcji Najprostsze problemy z pochodną, którymi zajmowaliśmy się w szczególności druga pochodna.

Nietrudno nawet zgadnąć, że druga pochodna jest pochodną pierwszej pochodnej:

W zasadzie druga pochodna jest już uważana za pochodną wyższego rzędu.

Podobnie: trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej:

Czwarta pochodna jest pochodną trzeciej pochodnej:

Piąta pochodna: , i jest oczywiste, że wszystkie pochodne wyższych rzędów również będą równe zeru:

Oprócz numeracji rzymskiej w praktyce często stosuje się następujące oznaczenia:
, natomiast pochodna „n-tego” rzędu oznaczana jest przez . W takim przypadku indeks górny musi być ujęty w nawiasy kwadratowe.- odróżnić pochodną od „y” w stopniu.

Czasem jest taki wpis: - odpowiednio trzecia, czwarta, piąta, ..., "n-ta" pochodna.

Naprzód bez strachu i wątpliwości:

Przykład 1

Biorąc pod uwagę funkcję. Znajdować .

Rozwiązanie: co można powiedzieć ... - naprzód dla czwartej pochodnej :)

Nie ma już zwyczaju umieszczania czterech kresek, więc przechodzimy do indeksów numerycznych:

Odpowiedź:

Dobra, zastanówmy się teraz nad tym pytaniem: co zrobić, jeśli zgodnie z warunkiem wymagane jest znalezienie nie czwartej, ale na przykład dwudziestej pochodnej? Jeśli dla pochodnej 3-4-5 (maksymalnie, 6-7) porządku, rozwiązanie rysuje się dość szybko, wtedy „dojdziemy” do pochodnych wyższych rzędów, oj, jak nieprędko. Nie zapisuj w rzeczywistości 20 wierszy! W takiej sytuacji trzeba przeanalizować kilka znalezionych pochodnych, zobaczyć wzór i sporządzić wzór na „n-tą” pochodną. Tak więc w przykładzie nr 1 łatwo zrozumieć, że przy każdym kolejnym różniczkowaniu dodatkowa „potrójna” „wyskoczy” przed wykładnikiem, a na każdym kroku stopień „potrójnej” jest równy liczbie pochodna, zatem:

Gdzie jest dowolna liczba naturalna.

I rzeczywiście, jeśli , to otrzymujemy dokładnie pierwszą pochodną: , jeśli - to 2: itd. W ten sposób dwudziesta pochodna jest ustalana natychmiast: - i żadnych „arkuszy kilometrowych”!

Rozgrzewka we własnym zakresie:

Przykład 2

Znajdź funkcje. Napisz pochodną rzędu

Rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Po orzeźwiającej rozgrzewce, spójrzmy na więcej złożone przykłady, w którym opracujemy powyższy algorytm rozwiązania. Dla tych, którzy przeczytali lekcję Granica sekwencji, będzie trochę łatwiej:

Przykład 3

Znajdź dla funkcji .

Rozwiązanie: aby wyjaśnić sytuację, znajdujemy kilka pochodnych:

Nie spieszymy się z pomnożeniem otrzymanych liczb! ;-)


Być może wystarczy. ... Nawet trochę przesadziłem.

W kolejnym kroku najlepiej napisać wzór na „n-tą” pochodną (jak tylko warunek tego nie wymaga, możesz sobie poradzić z wersją roboczą). W tym celu przyglądamy się uzyskanym wynikom i identyfikujemy wzorce, według których uzyskuje się każdą kolejną pochodną.

Najpierw podpisują. Przeplatanie zapewnia „migacz”, a ponieważ pierwsza pochodna jest dodatnia, do ogólnego wzoru wejdzie następujący czynnik: . Równoważna opcja wystarczy, ale osobiście, jako optymista, uwielbiam znak plus =)

Po drugie, w liczniku „wiatry” silnia, i „pozostaje” w stosunku do liczby pochodnej o jedną jednostkę:

I po trzecie, potęga „dwa” rośnie w liczniku, który jest równy liczbie pochodnej. To samo można powiedzieć o stopniu mianownika. Wreszcie:

W celu weryfikacji zastąpmy na przykład kilka wartości „en” i:

Świetnie, teraz popełnić błąd to tylko grzech:

Odpowiedź:

Prostsza funkcja dla niezależne rozwiązanie:

Przykład 4

Znajdź funkcje.

I trudniejszy problem:

Przykład 5

Znajdź funkcje.

Powtórzmy procedurę jeszcze raz:

1) Najpierw znajdujemy kilka pochodnych. Zwykle wystarczą trzy lub cztery, aby złapać wzorce.

2) W takim razie zdecydowanie polecam kompilację (przynajmniej w wersji roboczej)"n-ta" pochodna - gwarantuje ochronę przed błędami. Ale można obejść się bez, tj. oszacuj w myślach i od razu zapisz na przykład dwudziestą lub ósmą pochodną. Co więcej, niektóre osoby są na ogół w stanie rozwiązać rozważane problemy ustnie. Należy jednak pamiętać, że „szybkie” metody są najeżone i lepiej grać ostrożnie.

3) Na ostatnim etapie sprawdzamy pochodną „n-tą” - bierzemy parę wartości „en” (lepszych od sąsiednich) i dokonujemy podstawienia. Jeszcze bardziej wiarygodne jest sprawdzenie wszystkich znalezionych wcześniej pochodnych. Następnie zastępujemy żądaną wartość, na przykład lub, i ostrożnie przeczesujemy wynik.

Szybkie rozwiązanie Przykłady 4 i 5 na końcu lekcji.

W niektórych zadaniach, aby uniknąć problemów, musisz trochę zaczarować funkcję:

Przykład 6

Rozwiązanie: Nie chcę w ogóle różniczkować zaproponowanej funkcji, ponieważ okaże się, że jest to „zły” ułamek, co bardzo utrudni znalezienie kolejnych pochodnych.

W związku z tym wskazane jest wykonanie wstępnych przekształceń: używamy wzór na różnicę kwadratów I właściwość logarytmu :

Całkiem inna sprawa:

I starzy znajomi:

Myślę, że wszystko jest badane. Zauważ, że druga część jest podpisana, ale pierwsza nie. Konstruujemy pochodną rzędu:

Kontrola:

Cóż, dla urody, usuwamy silnię z nawiasów:

Odpowiedź:

Ciekawe zadanie do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 7

Napisz wzór pochodnej rzędu dla tej funkcji

A teraz o niezachwianej wzajemnej gwarancji, która nawet włoskiej mafii:

Przykład 8

Biorąc pod uwagę funkcję. Znajdować

Osiemnasta pochodna w punkcie . Tylko.

Rozwiązanie: najpierw oczywiście musisz znaleźć . Iść:

Zaczęli od sinusa i doszli do sinusa. Oczywiste jest, że przy dalszym różniczkowaniu cykl ten będzie ciągnął się w nieskończoność i nasuwa się pytanie: jak najlepiej „dostać się” do osiemnastej pochodnej?

Metoda „amatorska”: szybko zapisujemy numery kolejnych pochodnych z prawej strony w kolumnie:

Zatem:

Ale działa, jeśli rząd pochodnej nie jest zbyt duży. Jeśli chcesz znaleźć, powiedzmy, setną pochodną, ​​powinieneś użyć podzielności przez 4. Sto jest podzielne przez 4 bez reszty i łatwo zauważyć, że takie liczby znajdują się w dolnej linii, więc: .

Nawiasem mówiąc, 18. pochodną można również wyznaczyć z podobnych rozważań:
Drugi wiersz zawiera liczby podzielne przez 4 z resztą równą 2.

Inna, bardziej akademicka metoda opiera się na okresowość sinusoidalna I formuły redukcyjne. Korzystamy z gotowego wzoru „n-ta” pochodna sinusa , w którym żądana liczba jest po prostu podstawiana. Na przykład:
(formuła redukcyjna ) ;
(formuła redukcyjna )

W naszym przypadku:

(1) Ponieważ sinus jest funkcją okresową z kropką, argument można bezboleśnie „odkręcić” o 4 okresy (tj.).

Pochodną rzędu iloczynu dwóch funkcji można znaleźć za pomocą wzoru:

W szczególności:

Nie musisz niczego specjalnie zapamiętywać, ponieważ im więcej formuł znasz, tym mniej rozumiesz. O wiele lepiej wiedzieć Dwumian Newtona, ponieważ formuła Leibniza jest do niego bardzo, bardzo podobna. Cóż, ci szczęśliwcy, którzy dostaną pochodną 7. lub wyższych rzędów (co jest naprawdę mało prawdopodobne) będzie do tego zmuszony. Kiedy jednak przychodzi pora kombinatoryka- jeszcze musisz =)

Znajdźmy trzecią pochodną funkcji. Korzystamy ze wzoru Leibniza:

W tym przypadku: . Instrumenty pochodne można łatwo kliknąć ustnie:

Teraz ostrożnie i OSTROŻNIE wykonujemy podstawienie i upraszczamy wynik:

Odpowiedź:

Podobne zadanie dla niezależnego rozwiązania:

Przykład 11

Znajdź funkcje

Jeśli w poprzednim przykładzie rozwiązanie „na czole” nadal konkurowało z formułą Leibniza, to tutaj będzie już naprawdę nieprzyjemnie. A jeszcze bardziej nieprzyjemne – w przypadku pochodnej wyższego rzędu:

Przykład 12

Znajdź pochodną podanego rzędu

Rozwiązanie: pierwsza i zasadnicza uwaga - aby zdecydować w ten sposób, prawdopodobnie nie jest to konieczne =) =)

Zapiszmy funkcje i znajdźmy ich pochodne do piątego rzędu włącznie. Zakładam, że pochodne z prawej kolumny stały się dla Ciebie ustne:

W lewej kolumnie „żywe” pochodne szybko „skończyły się” i to bardzo dobrze - we wzorze Leibniza trzy wyrazy zostaną wyzerowane:

Zastanowię się ponownie nad dylematem, który pojawił się w artykule pt złożone pochodne: aby uprościć wynik? W zasadzie możesz to tak zostawić - nauczycielowi będzie jeszcze łatwiej sprawdzić. Ale może wymagać, aby pamiętać o decyzji. Z drugiej strony uproszczenie z własnej inicjatywy jest obarczone błędami algebraicznymi. Mamy jednak odpowiedź uzyskaną w sposób „pierwotny” =) (patrz link na początku) i mam nadzieję, że poprawnie:

Super, wszystko się udało.

Odpowiedź:

Szczęśliwe zadanie do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 13

Dla funkcji:
a) znaleźć przez bezpośrednie zróżnicowanie;
b) znaleźć według wzoru Leibniza;
c) obliczyć.

Nie, wcale nie jestem sadystą - punkt „a” tutaj jest dość prosty =)

Ale tak na poważnie, rozwiązanie „bezpośrednie” przez kolejne różniczkowanie również ma „prawo do życia” – w niektórych przypadkach jego złożoność jest porównywalna ze złożonością zastosowania formuły Leibniza. Użyj według własnego uznania - jest mało prawdopodobne, aby był to powód do nieliczenia zadania.

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Aby podnieść ostatni akapit, musisz być w stanie rozróżnić funkcje ukryte:

Pochodne wyższego rzędu funkcji uwikłanych

Wielu z nas spędziło długie godziny, dni i tygodnie swojego życia na nauce kręgi, parabola, hiperbola– a czasem nawet wydawało się to prawdziwą karą. Zemścijmy się więc i rozróżnijmy je odpowiednio!

Zacznijmy od „szkolnej” paraboli w jej obrębie stanowisko kanoniczne:

Przykład 14

Podano równanie. Znajdować .

Rozwiązanie: pierwszy krok jest znajomy:

To, że funkcja i jej pochodna są wyrażone implicite nie zmienia istoty sprawy, druga pochodna jest pochodną pierwszej pochodnej:

Istnieją jednak zasady gry: zwykle wyraża się pochodne drugiego i wyższego rzędu tylko przez „x” i „y”. Dlatego podstawiamy do wynikowej drugiej pochodnej:

Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej:

Podobnie podstawiamy:

Odpowiedź:

„Szkoła” hiperbola w stanowisko kanoniczne- Dla niezależna praca:

Przykład 15

Podano równanie. Znajdować .

Powtarzam, że drugą pochodną i wynik należy wyrazić tylko przez „x” / „y”!

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Po psikusach dla dzieci spójrzmy na niemiecką pornografię @fia, spójrzmy na bardziej dorosłe przykłady, z których uczymy się jeszcze jednego ważna sztuczka rozwiązania:

Przykład 16

Elipsa samego siebie.

Rozwiązanie: znajdź pierwszą pochodną:

Teraz zatrzymajmy się i przeanalizujmy następna chwila: teraz musimy rozróżnić ułamek, co wcale nie jest przyjemne. W tym przypadku jest to oczywiście proste, ale w rzeczywistych problemach jest tylko kilka takich darów. Czy istnieje sposób na uniknięcie znalezienia kłopotliwej pochodnej? istnieje! Bierzemy równanie i stosujemy tę samą technikę, co przy znajdowaniu pierwszej pochodnej - „zawieszamy” pociągnięcia na obu częściach:

Druga pochodna musi być wyrażona tylko przez i , więc teraz (już teraz) wygodnie jest pozbyć się pierwszej pochodnej. Aby to zrobić, podstawiamy do otrzymanego równania:

Aby uniknąć niepotrzebnych trudności technicznych, obie części mnożymy przez:

I dopiero na ostatnim etapie sporządzamy ułamek:

Teraz patrzymy na oryginalne równanie i zauważamy, że uzyskany wynik można uprościć:

Odpowiedź:

Jak znaleźć wartość drugiej pochodnej w pewnym momencie (co oczywiście należy do elipsy) na przykład w punkcie ? Bardzo łatwe! Motyw ten był już spotykany w lekcji nt normalne równanie: w wyrażeniu drugiej pochodnej musisz podstawić :

Oczywiście we wszystkich trzech przypadkach możesz otrzymać jawnie podane funkcje i je rozróżnić, ale potem mentalnie przygotuj się do pracy z dwiema funkcjami zawierającymi pierwiastki. Moim zdaniem rozwiązanie jest wygodniejsze do przeprowadzenia „w sposób dorozumiany”.

Ostatni przykład samodzielnego rozwiązania:

Przykład 17

Znajdź funkcję niejawną

Tekst pracy jest umieszczony bez obrazów i formuł.
Pełna wersja praca jest dostępna w zakładce "Pliki pracy" w formacie PDF

"Ja też, dwumian Newtona!»

z Mistrza i Małgorzaty

„Trójkąt Pascala jest tak prosty, że nawet dziesięcioletnie dziecko może go napisać. Jednocześnie kryje w sobie niewyczerpane skarby i łączy ze sobą różne aspekty matematyki, które na pierwszy rzut oka nie mają ze sobą nic wspólnego. Takie niezwykłe właściwości pozwalają nam uważać trójkąt Pascala za jeden z najbardziej eleganckich schematów w całej matematyce.

Marcina Gardnera.

Cel pracy: uogólnić wzory skróconego mnożenia, pokazać ich zastosowanie do rozwiązywania problemów.

Zadania:

1) studiować i systematyzować informacje na ten temat;

2) analizować przykłady problemów z wykorzystaniem dwumianu Newtona oraz wzorów na sumę i różnicę stopni.

Obiekty badawcze: Dwumian Newtona, wzory na sumę i różnicę stopni.

Metody badawcze:

Praca z literaturą edukacyjną i popularnonaukową, zasobami Internetu.

Obliczenia, porównania, analizy, analogie.

Znaczenie. Osoba często ma do czynienia z problemami, w których trzeba policzyć wszystkich możliwe sposoby położenie niektórych obiektów lub liczbę wszystkich możliwych sposobów wykonania jakiejś czynności. różne ścieżki lub opcje, które dana osoba musi wybrać, składają się na szeroką gamę kombinacji. A cała gałąź matematyki, zwana kombinatoryką, jest zajęta poszukiwaniem odpowiedzi na pytania: ile jest kombinacji w tym czy innym przypadku.

Z wielkościami kombinatorycznymi mają do czynienia przedstawiciele wielu specjalności: naukowiec-chemik, biolog, projektant, dyspozytor itp. Rosnące w ostatnich latach zainteresowanie kombinatoryką wynika z szybkiego rozwoju cybernetyki i techniki komputerowej.

Wstęp

Kiedy chcą podkreślić, że rozmówca wyolbrzymia złożoność zadań, przed którymi stanął, mówią: „Ja też potrzebuję dwumianu Newtona!” Powiedz, oto dwumian Newtona, to trudne, ale jakie masz problemy! Nawet ci ludzie, których zainteresowania nie mają nic wspólnego z matematyką, słyszeli o dwumianie Newtona.

Słowo „dwumian” oznacza dwumian, tj. suma dwóch wyrazów. Z kursu szkolnego znane są tak zwane skrócone formuły mnożenia:

( A+ b) 2 = za 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 = za 3 +3a 2 b+3ab 2 + b 3 .

Uogólnieniem tych wzorów jest formuła zwana formułą dwumianową Newtona. W szkole stosuje się również wzory na faktoring różnicy kwadratów, sumy i różnicy sześcianów. Czy mają uogólnienie dla innych stopni? Tak, istnieją takie formuły, są one często używane do rozwiązywania różnych problemów: udowodnienia podzielności, redukcji ułamków, obliczeń przybliżonych.

Badanie formuł uogólniających rozwija myślenie dedukcyjno-matematyczne i ogólne zdolności umysłowe.

ROZDZIAŁ 1. FORMUŁA DWOMIONOWA NEWTONA

Kombinacje i ich właściwości

Niech X będzie zbiorem składającym się z n elementów. Każdy podzbiór Y zbioru X zawierający k elementów nazywany jest kombinacją k elementów z n , oraz k ≤ n .

Numer różne kombinacje k elementów spośród n oznaczamy C n k . Jednym z najważniejszych wzorów kombinatoryki jest następujący wzór na liczbę C n k:

Można to zapisać po oczywistych skrótach w następujący sposób:

W szczególności,

Jest to całkiem zgodne z faktem, że w zbiorze X istnieje tylko jeden podzbiór 0 elementów - podzbiór pusty.

Liczby C n k mają wiele niezwykłych właściwości.

Formuła С n k = С n - k n jest ważna, (3)

Znaczenie wzoru (3) jest takie, że istnieje relacja jeden do jednego między zbiorem wszystkich k-członowych podzbiorów z X a zbiorem wszystkich (n - k)-członowych podzbiorów z X: aby ustalić tę zgodność, wystarczy, aby każdy k-członowy podzbiór Y pasował do swojego uzupełnienia w zbiorze X.

Formuła С 0 n + С 1 n + С 2 n + ... + С n n = 2 n jest ważna (4)

Suma po lewej stronie wyraża liczbę wszystkich podzbiorów zbioru X (C 0 n to liczba podzbiorów 0-członowych, C 1 n to liczba podzbiorów jednoczłonowych itd.).

Dla dowolnego k, 1≤ k≤ n , równość

do k n \u003d do n -1 k + do n -1 k -1 (5)

Równość tę łatwo uzyskać za pomocą wzoru (1). Rzeczywiście,

1.2. Wyprowadzenie wzoru dwumianowego Newtona

Rozważ potęgi dwumianu +B .

n = 0, (a +B ) 0 = 1

n = 1, (a +B ) 1 = 1a+1B

n = 2(+B ) 2 = 1a 2 + 2aB +1 B 2

n = 3(+B ) 3 = 1 za 3 + 3a 2 B + 3aB 2 +1 B 3

n = 4(+B ) 4 = 1a 4 + 4a 3 B + 6a 2 B 2 +4aB 3 +1 B 4

n=5(+B ) 5 = 1a 5 + 5a 4 B + 10a 3 B 2 + 10a 2 B 3 + 5aB 4 + 1 B 5

Zwróć uwagę na następujące prawidłowości:

Liczba wyrazów wynikowego wielomianu jest o jeden większa niż wykładnik dwumianu;

Wykładnik pierwszego członu maleje od n do 0, wykładnik drugiego członu rośnie od 0 do n;

Stopnie wszystkich jednomianów są równe stopniom dwumianu w warunku;

Każdy jednomian jest iloczynem pierwszego i drugiego wyrażenia w różnych potęgach i pewnej liczby - współczynnika dwumianu;

Współczynniki dwumianowe w równej odległości od początku i końca rozwinięcia są równe.

Uogólnieniem tych wzorów jest następujący wzór, zwany dwumianowym wzorem Newtona:

(A + B ) N = C 0 N A N B 0 + C 1 N A N -1 B + C 2 N A N -2 B 2 + ... + C N -1 N Ab N -1 + C N N A 0 B N . (6)

W tej formule N może być dowolną liczbą naturalną.

Wyprowadzamy wzór (6). Przede wszystkim napiszmy:

(A + B ) N = (A + B )(A + B ) ... (A + B ), (7)

gdzie liczba nawiasów do pomnożenia wynosi N. Ze zwykłej reguły mnożenia sumy przez sumę wynika, że ​​wyrażenie (7) jest równe sumie wszystkich możliwych iloczynów, które można złożyć w następujący sposób: dowolny wyraz w pierwszej z sum a + b pomnożona przez dowolny składnik drugiej sumy a+b, na dowolnym warunku trzeciej sumy itp.

Z tego, co zostało powiedziane, jasno wynika, że ​​termin w wyrażeniu for (A + B ) N dopasowuje (jeden do jednego) łańcuchy o długości n, złożone z liter a i b. Wśród warunków będą podobne warunki; jest oczywiste, że takie elementy odpowiadają ciągom zawierającym tę samą liczbę liter A. Ale liczba linii zawierających dokładnie k razy literę A, jest równe C n k . Stąd suma wszystkich wyrazów zawierających literę a ze współczynnikiem dokładnie k razy jest równa С n k A N - k B k . Ponieważ k może przyjmować wartości 0, 1, 2, ..., n-1, n, to z naszego rozumowania wynika wzór (6). Zauważ, że (6) można zapisać krócej: (8)

Chociaż formuła (6) nazywana jest imieniem Newtona, w rzeczywistości została odkryta jeszcze przed Newtonem (znał ją np. Pascal). Zasługa Newtona polega na tym, że znalazł uogólnienie tego wzoru na przypadek wykładników niecałkowitych. Był to I. Newton w latach 1664-1665. wyprowadził wzór wyrażający stopień dwumianu dla dowolnych wykładników ułamkowych i ujemnych.

Liczby C 0 n , C 1 n , ..., C n n , zawarte we wzorze (6), są zwykle nazywane współczynnikami dwumianowymi, które definiuje się następująco:

Ze wzoru (6) można otrzymać szereg własności tych współczynników. Na przykład zakładając A=1, b = 1, otrzymujemy:

2 n = do 0 n + do 1 n + do 2 n + do 3 n + ... + do n n ,

te. wzór (4). Jeśli postawimy A= 1, b = -1, to będziemy mieli:

0 \u003d do 0 n - do 1 n + do 2 n - do 3 n + ... + (-1) n do n n

lub C 0 n + do 2 n + do 4 n + ... = do 1 n + do 3 n + + do 5 n + ... .

Oznacza to, że suma współczynników parzystych wyrazów rozwinięcia jest równa sumie współczynników nieparzystych wyrazów rozwinięcia; każdy z nich jest równy 2 n -1 .

Współczynniki wyrazów równoodległych od końców rozwinięcia są równe. Ta właściwość wynika z relacji: С n k = С n n - k

Ciekawy przypadek specjalny

(x + 1) n = do 0 n x n + do 1 n x n-1 + ... + do k n x n - k + ... + do n n x 0

lub krócej (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Twierdzenie o wielomianach

Twierdzenie.

Dowód.

Aby uzyskać jednomian po otwarciu nawiasów, należy wybrać te nawiasy, z których jest pobierany, te nawiasy, z których jest pobierany itp. i te nawiasy, z których jest wzięty. Współczynnik tego jednomianu po redukcji wyrazów podobnych jest równy liczbie sposobów, na jakie można dokonać takiego wyboru. Pierwszy krok sekwencji wyborów można wykonać na sposoby, drugi krok - , trzeci - itd., -ty krok - na sposoby. Żądany współczynnik jest równy iloczynowi

SEKCJA 2. Pochodne wyższych rzędów.

Pojęcie pochodnych wyższych rzędów.

Niech funkcja będzie różniczkowalna w pewnym przedziale. Wtedy jego pochodna, ogólnie mówiąc, zależy od X, czyli jest funkcją X. Dlatego w odniesieniu do niego możemy ponownie postawić pytanie o istnienie pochodnej.

Definicja . Nazywa się pochodną pierwszej pochodnej pochodna drugiego rzędu lub druga pochodna i jest oznaczana symbolem lub, tj.

Definicja . Pochodna drugiej pochodnej nazywana jest pochodną trzeciego rzędu lub pochodną trzeciego rzędu i jest oznaczona symbolem lub .

Definicja . pochodnaN zamówienie Funkcje nazywa się pierwszą pochodną pochodnej (N -1)-ty rząd tej funkcji i jest oznaczony symbolem lub:

Definicja . Nazywa się pochodne rzędu wyższego niż pierwszy wyższe pochodne.

Komentarz. Podobnie można otrzymać formułę N-ta pochodna funkcji:

Druga pochodna funkcji zdefiniowanej parametrycznie

Jeżeli funkcja jest dana parametrycznie za pomocą równań, to aby znaleźć pochodną drugiego rzędu, należy zróżnicować wyrażenie na jej pierwszą pochodną jako funkcję zespoloną zmiennej niezależnej.

Od tego czasu

i biorąc to pod uwagę,

Rozumiemy, tzn.

Podobnie możemy znaleźć trzecią pochodną.

Różniczka sumy, iloczynu i ilorazu.

Ponieważ różniczkę otrzymuje się z pochodnej mnożąc ją przez różniczkę zmiennej niezależnej, to znając pochodne podstawowych funkcji elementarnych, a także zasady znajdowania pochodnych, można dojść do podobnych zasad znajdowania różniczek.

1 0 . Różniczka stałej wynosi zero.

2 0 . Różniczka sumy algebraicznej skończonej liczby funkcji różniczkowalnych jest równa sumie algebraicznej różniczek tych funkcji .

3 0 . Różniczka iloczynu dwóch funkcji różniczkowalnych jest równa sumie iloczynów pierwszej funkcji i różniczki drugiej i drugiej funkcji oraz różniczki pierwszej .

Konsekwencja. Stały czynnik można wyjąć ze znaku różniczki.

2.3. Funkcje dane parametrycznie, ich różniczka.

Definicja . Mówimy, że funkcja jest zdefiniowana parametrycznie, jeśli obie zmienne X I y definiowane są każda z osobna jako jednowartościowe funkcje tej samej zmiennej pomocniczej – parametruT :

GdzieT zmiany wewnątrz.

Komentarz . Przedstawiamy równania parametryczne okręgu i elipsy.

a) Okrąg o środku w początku i promieniu R ma równania parametryczne:

b) Napiszmy równania parametryczne dla elipsy:

Wyłączając parametr T Z równań parametrycznych rozpatrywanych linii można dojść do ich równań kanonicznych.

Twierdzenie . Jeśli funkcja y od argumentu x jest dane parametrycznie za pomocą równań, gdzie i są różniczkowalne względemT funkcje i wtedy.

2.4. Formuła Leibniza

Aby znaleźć pochodną N rząd iloczynu dwóch funkcji jest duży wartość praktyczna ma wzór Leibniza.

Pozwalać u I w- niektóre funkcje ze zmiennej X mające pochodne dowolnego rzędu i y = UV. Wyrazić N-ta pochodna przez pochodne funkcji u I w .

Mamy konsekwentnie

Łatwo zauważyć analogię między wyrażeniami na drugą i trzecią pochodną oraz rozwinięciem dwumianu Newtona odpowiednio w drugiej i trzeciej potędze, ale zamiast wykładników są liczby określające rząd pochodnej, a same funkcje można uznać za „pochodne rzędu zerowego”. Biorąc to pod uwagę, otrzymujemy wzór Leibniza:

Wzór ten można udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.

ROZDZIAŁ 3. ZASTOSOWANIE FORMUŁY LEIBNIZA.

Aby obliczyć pochodną dowolnego rzędu z iloczynu dwóch funkcji, pomijając kolejne zastosowanie wzoru do obliczania pochodnej iloczynu dwóch funkcji, używamy Formuła Leibniza.

Korzystając z tego wzoru, rozważ przykłady obliczania n-tej pochodnej iloczynu dwóch funkcji.

Przykład 1

Znajdź drugą pochodną funkcji

Z definicji druga pochodna jest pierwszą pochodną pierwszej pochodnej, tj.

Dlatego najpierw znajdujemy pochodną pierwszego rzędu danej funkcji zgodnie z reguły różnicowania i za pomocą tabela pochodna:

Teraz znajdujemy pochodną pochodnej pierwszego rzędu. To będzie pożądana pochodna drugiego rzędu:

Odpowiedź:

Przykład 2

Znajdź pochodną trzeciego rzędu funkcji

Rozwiązanie.

Będziemy kolejno znajdować pochodne pierwszej, drugiej, trzeciej itd. rzędów danej funkcji, aby ustalić wzór, który można uogólnić na -tą pochodną.

Znajdujemy pochodną pierwszego rzędu jako pochodna ilorazu:

Tutaj wyrażenie nazywa się silnią liczby. Silnia liczby jest równa iloczynowi liczb od jednego do, to znaczy

Druga pochodna jest pierwszą pochodną pierwszej pochodnej, tj

Pochodna trzeciego rzędu:

Czwarta pochodna:

Zwróć uwagę na prawidłowość: licznik zawiera silnię liczby równej rzędowi pochodnej, a mianownik zawiera wyrażenie w potędze o jeden większe niż rząd pochodnej, czyli

Odpowiedź.

Przykład 3

Znajdź wartość trzeciej pochodnej funkcji w punkcie.

Rozwiązanie.

Według tablica pochodnych wyższego rzędu, mamy:

W tym przykładzie, to znaczy, otrzymujemy

Należy zauważyć, że podobny wynik można również uzyskać, znajdując kolejno pochodne.

W dany punkt trzecia pochodna to:

Odpowiedź:

Przykład 4

Znajdź drugą pochodną funkcji

Rozwiązanie. Najpierw znajdźmy pierwszą pochodną:

Aby znaleźć drugą pochodną, ​​ponownie różnicujemy wyrażenie na pierwszą pochodną:

Odpowiedź:

Przykład 5

Znajdź jeśli

Ponieważ podana funkcja jest iloczynem dwóch funkcji, wskazane byłoby zastosowanie wzoru Leibniza do znalezienia pochodnej czwartego rzędu:

Znajdujemy wszystkie pochodne i obliczamy współczynniki terminów.

1) Oblicz współczynniki dla wyrazów:

2) Znajdź pochodne funkcji:

3) Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedź:

Przykład 6

Dana jest funkcja y=x 2 cos3x. Znajdź pochodną trzeciego rzędu.

Niech u=cos3x , v=x 2 . Następnie, zgodnie ze wzorem Leibniza, znajdujemy:

Pochodne w tym wyrażeniu to:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′′=2,

(x2)′′′′′′′′′′=0.

Zatem trzecią pochodną danej funkcji jest

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Przykład 7

Znajdź pochodną N -ta funkcja rzędu y=x 2 cosx.

Korzystamy ze wzoru Leibniza, ustawienieu=cosx, v=x 2 . Następnie

Pozostałe wyrazy szeregu są równe zeru, ponieważ(x2)(i)=0 dla i>2.

pochodna rz funkcja cosinus -tego rzędu:

Zatem pochodna naszej funkcji wynosi

WNIOSEK

Szkoła uczy się i stosuje tzw. skrócone wzory mnożenia: kwadraty i sześciany sumy i różnicy dwóch wyrażeń oraz wzory na faktoring różnicy kwadratów, sumy i różnicy sześcianów dwóch wyrażeń. Uogólnieniem tych wzorów jest wzór zwany dwumianem Newtona oraz wzory na faktoring sumy i różnicy potęg. Wzory te są często używane do rozwiązywania różnych problemów: udowodnienia podzielności, redukcji ułamków, obliczeń przybliżonych. Rozważane są interesujące własności trójkąta Pascala, które są ściśle związane z dwumianem Newtona.

Praca systematyzuje informacje na ten temat, podaje przykłady zadań z wykorzystaniem dwumianu Newtona oraz wzory na sumę i różnicę stopni. Praca może być wykorzystana w pracy koła matematycznego, jak również do samokształcenie tych, którzy interesują się matematyką.

WYKAZ WYKORZYSTYWANYCH ŹRÓDEŁ

1. Vilenkin N. Ya. Kombinatoryka - wyd. "Nauka". - M., 1969

2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov NN, Shevkin A.V. Algebra i początki analizy matematycznej. Klasa 10: podręcznik. dla edukacji ogólnej organizacje poziom podstawowy i zaawansowany - M.: Edukacja, 2014. - 431 s.

3. Rozwiązywanie problemów w statystyce, kombinatoryce i rachunku prawdopodobieństwa. 7-9 komórek / autor - kompilator V.N. Studenetskaja. - wyd. 2., poprawione, - Wołgograd: Nauczyciel, 2009

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Równania algebraiczne wyższych stopni / zestaw narzędzi dla studentów międzyuczelnianego wydziału przygotowawczego. - Petersburg, 2001.

5. Sharygin I.F. Przedmiot fakultatywny z matematyki: Rozwiązywanie problemów. Instruktaż na 10 komórek. Liceum. - M.: Oświecenie, 1989.

6.Nauka i życie, dwumian Newtona i trójkąt Pascala[Zasób elektroniczny]. - Tryb dostępu: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Rozwiązanie zastosowanych problemów sprowadza się do obliczenia całki, ale nie zawsze jest to możliwe do wykonania dokładnie. Czasami konieczne jest poznanie wartości całki oznaczonej z pewnym stopniem dokładności, na przykład do części tysięcznej.

Są zadania, w których konieczne byłoby znalezienie przybliżonej wartości pewnej całki z wymaganą dokładnością, wtedy stosuje się całkowanie numeryczne, takie jak metoda Simposna, trapezy, prostokąty. Nie wszystkie przypadki pozwalają nam obliczyć to z pewną dokładnością.

Artykuł dotyczy zastosowania wzoru Newtona-Leibniza. Jest to konieczne do dokładnego obliczenia całki oznaczonej. Otrzyma szczegółowe przykłady, rozważamy zmianę zmiennej w całce oznaczonej i znajdujemy wartości całki oznaczonej podczas całkowania przez części.

Formuła Newtona-Leibniza

Gdy funkcja y = y (x) jest ciągła z odcinka [ a ; b ], a F(x) jest zatem jedną z funkcji pierwotnych funkcji tego odcinka Formuła Newtona-Leibniza uważane za sprawiedliwe. Zapiszmy to tak ∫ a b fa (x) re x = fa (b) - fa (a) .

Ta formuła jest brana pod uwagę podstawowa formuła rachunku całkowego.

Aby udowodnić ten wzór, konieczne jest użycie pojęcia całki z dostępną górną granicą zmiennej.

Gdy funkcja y = f (x) jest ciągła z odcinka [ a ; b ] , to wartość argumentu x ∈ a ; b , a całka ma postać ∫ a x f (t) d t i jest uważana za funkcję górnej granicy. Należy przyjąć zapis, że funkcja przyjmie postać ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , jest ciągła, a nierówność postaci ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) jest dla niego ważne.

Ustaliliśmy, że przyrost funkcji Φ (x) odpowiada przyrostowi argumentu ∆ x , należy skorzystać z piątej własności głównej całki oznaczonej i otrzymać

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ za x + ∆ x fa (t) re t - ∫ za x fa (t) re t = = ∫ za x + ∆ x fa (t) re t = fa (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x

gdzie wartość c ∈ x ; x + ∆x .

Ustalamy równość w postaci Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Z definicji pochodnej funkcji należy przejść do granicy jako ∆ x → 0, wówczas otrzymujemy formułę postaci znajdującej się na [ a ; b ] W przeciwnym razie wyrażenie można zapisać

fa (x) = Φ (x) + do = ∫ za x fa (t) re t + do , gdzie wartość do jest stała.

Obliczmy F (a) używając pierwszej własności całki oznaczonej. Wtedy to rozumiemy

fa (za) = Φ (za) + do = ∫ za za fa (t) re t + do = 0 + do = do , stąd do = fa (za) . Wynik ma zastosowanie przy obliczaniu F (b) i otrzymujemy:

fa (b) = Φ (b) + do = ∫ za b fa (t) re t + do = ∫ za b fa (t) re t + fa (a) , innymi słowy, fa (b) = ∫ za b fa (t) re t + fa (a) . Równość dowodzi wzoru Newtona-Leibniza ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Przyrost funkcji przyjmuje się jako F x a b = F (b) - F (a) . Za pomocą notacji wzór Newtona-Leibniza staje się ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Aby zastosować wzór, konieczna jest znajomość jednej z funkcji pierwotnych y = F (x) podcałki y = f (x) z odcinka [ a ; b ] , oblicz przyrost funkcji pierwotnej z tego segmentu. Rozważ kilka przykładów obliczeń z wykorzystaniem wzoru Newtona-Leibniza.

Przykład 1

Oblicz całkę oznaczoną ∫ 1 3 x 2 d x korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza.

Rozwiązanie

Rozważmy, że całka postaci y = x 2 jest ciągła z przedziału [ 1 ; 3 ] , to i jest całkowalne na tym przedziale. Zgodnie z tabelą całek nieoznaczonych widzimy, że funkcja y \u003d x 2 ma zestaw funkcji pierwotnych dla wszystkich rzeczywistych wartości x, co oznacza, że ​​​​x ∈ 1; 3 zapiszemy jako F (x) = ∫ x 2 re x = x 3 3 + do . Konieczne jest przyjęcie funkcji pierwotnej z C \u003d 0, wtedy otrzymamy to F (x) \u003d x 3 3.

Skorzystajmy ze wzoru Newtona-Leibniza i otrzymajmy, że obliczenie całki oznaczonej przyjmie postać ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

Odpowiedź:∫ 1 3 x 2 re x = 26 3

Przykład 2

Oblicz całkę oznaczoną ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza.

Rozwiązanie

Podana funkcja jest ciągła od odcinka [ - 1 ; 2 ], co oznacza, że ​​jest na nim całkowalny. Konieczne jest znalezienie wartości całki nieoznaczonej ∫ x e x 2 + 1 d x metodą sumowania pod znakiem różniczkowym, wtedy otrzymujemy ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ mi x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 1 2 mi x 2+1+C.

Stąd mamy zbiór funkcji pierwotnych funkcji y = x · e x 2 + 1 , które są ważne dla wszystkich x , x ∈ - 1 ; 2.

Konieczne jest przyjęcie funkcji pierwotnej przy C = 0 i zastosowanie wzoru Newtona-Leibniza. Otrzymujemy wtedy wyrażenie postaci

∫ - 1 2 x mi x 2 + 1 re x = 1 2 mi x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 mi 2 2 + 1 - 1 2 mi (- 1) 2 + 1 = 1 2 mi (- 1) 2 + 1 = 1 2 mi 2 (mi 3 - 1)

Odpowiedź:∫ - 1 2 x mi x 2 + 1 re x = 1 2 mi 2 (e 3 - 1)

Przykład 3

Oblicz całki ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x i ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Rozwiązanie

Segment - 4; - 1 2 mówi, że funkcja pod znakiem całki jest ciągła, co oznacza, że ​​jest całkowalna. Stąd znajdujemy zbiór funkcji pierwotnych funkcji y = 4 x 3 + 2 x 2 . Rozumiemy to

∫ 4 x 3 + 2 x 2 re x = 4 ∫ x re x + 2 ∫ x - 2 re x = 2 x 2 - 2 x + do

Konieczne jest przyjęcie funkcji pierwotnej F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, a następnie stosując wzór Newtona-Leibniza otrzymujemy całkę, którą obliczamy:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 re x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Przechodzimy do obliczania drugiej całki.

Z segmentu [ - 1 ; 1 ] mamy, że całkę uważa się za nieograniczoną, ponieważ lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , to wynika, że warunek konieczny całkowalność z segmentu. Wtedy F (x) = 2 x 2 - 2 x nie jest funkcją pierwotną dla y = 4 x 3 + 2 x 2 z przedziału [ - 1 ; 1 ] , ponieważ punkt O należy do odcinka, ale nie jest objęty dziedziną definicji. Oznacza to, że istnieje całka oznaczona Riemanna i Newtona-Leibniza dla funkcji y = 4 x 3 + 2 x 2 z przedziału [ - 1 ; 1 ] .

Odpowiedź: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, istnieje całka oznaczona Riemanna i Newtona-Leibniza dla funkcji y = 4 x 3 + 2 x 2 z przedziału [ - 1 ; 1 ] .

Przed użyciem wzoru Newtona-Leibniza musisz dokładnie wiedzieć o istnieniu całki oznaczonej.

Zmiana zmiennej w całce oznaczonej

Gdy funkcja y = f (x) jest zdefiniowana i ciągła z odcinka [ a ; b ] , następnie istniejący zestaw [ a ; b ] jest uważane za zakres funkcji x = g (z) określony na przedziale α ; β z istniejącą pochodną ciągłą, gdzie g (α) = a i g β = b , stąd otrzymujemy, że ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Wzór ten stosuje się, gdy konieczne jest obliczenie całki ∫ a b f (x) d x , gdzie całka nieoznaczona ma postać ∫ f (x) d x , obliczamy metodą podstawiania.

Przykład 4

Oblicz całkę oznaczoną postaci ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Rozwiązanie

Całka jest uważana za ciągłą w przedziale całkowania, co oznacza, że ​​istnieje całka oznaczona. Podajmy zapis, że 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Wartość x \u003d 9 oznacza, że ​​z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, a dla x \u003d 18 otrzymujemy to z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3, a następnie g α \ u003d sol (3) \u003d 9 sol β = g 3 3 = 18 . Podstawiając otrzymane wartości do wzoru ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z, otrzymujemy, że

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 re x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Zgodnie z tablicą całek nieoznaczonych mamy, że jedna z funkcji pierwotnych funkcji 2 z 2 + 9 przyjmuje wartość 2 3 a r c t g z 3 . Następnie, stosując wzór Newtona-Leibniza, otrzymujemy to

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 re z = 2 3 za r do t sol z 3 3 3 3 = 2 3 za r do t sol 3 3 3 - 2 3 za r do t sol 3 3 = 2 3 za r do t sol 3 - a r do t sol 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

Ustalenia można dokonać bez użycia wzoru ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Jeżeli metoda zastępcza wykorzystuje całkę postaci ∫ 1 x 2 x - 9 d x , to możemy otrzymać wynik ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Stąd będziemy wykonywać obliczenia za pomocą wzoru Newtona-Leibniza i obliczać całkę oznaczoną. Rozumiemy to

∫ 9 18 2 z 2 + 9 re z = 2 3 za r do t sol z 3 9 18 = = 2 3 za r do t sol 2 18 - 9 3 - za r do t sol 2 9 - 9 3 = = 2 3 za r do t sol 3 - a r do t sol 1 = 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18

Wyniki się zgadzały.

Odpowiedź: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 re x = π 18

Całkowanie przez części w obliczaniu całki oznaczonej

Jeśli na odcinku [ a ; b ] funkcje u (x) i v (x) są określone i ciągłe, to ich pochodne pierwszego rzędu v " (x) u (x) są całkowalne, więc z tego przedziału dla funkcji całkowalnej u " (x) v ( x) równość ∫ a b v " (x) u (x) re x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x jest prawdziwa.

Można więc skorzystać ze wzoru, trzeba było obliczyć całkę ∫ a b f (x) d x , a ∫ f (x) d x trzeba było ją znaleźć za pomocą całkowania przez części.

Przykład 5

Oblicz całkę oznaczoną ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Rozwiązanie

Funkcja x sin x 3 + π 6 jest całkowalna na odcinku - π 2; 3 π 2 , więc jest ciągła.

Niech u (x) \u003d x, następnie d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d grzech x 3 + π 6 d x, i d (u (x)) \u003d u "(x) re x \u003d re x i v (x) = - 3 sałata π 3 + π 6 . Ze wzoru ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x otrzymujemy, że

∫ - π 2 3 π 2 x grzech x 3 + π 6 re x = - 3 x sałata x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 sałata x 3 + π 6 d x \u003d \u003d - 3 3 π 2 sałata π 2 + π 6 - - 3 - π 2 sałata - π 6 + π 6 + 9 grzech x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 grzech π 2 + π 6 - grzech - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Rozwiązanie przykładu można wykonać w inny sposób.

Znajdź zbiór funkcji pierwotnych funkcji x sin x 3 + π 6 za pomocą całkowania przez części za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

∫ x grzech x x 3 + π 6 re x = u = x, re v = grzech x 3 + π 6 re x ⇒ re u = re x , v = - 3 sałata x 3 + π 6 = = - 3 sałata x 3 + π 6 + 3 ∫ sałata x 3 + π 6 re x = = - 3 x sałata x 3 + π 6 + 9 grzech x 3 + π 6 + do ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x grzech x 3 + π 6 re x = - 3 sałata x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 sałata - π 6 + π 6 + 9 grzech - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Odpowiedź: ∫ x grzech x x 3 + π 6 re x = 3 π 4 + 9 3 2

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter