Uvod

Logaritmi su izmišljeni da ubrzaju i pojednostave proračune. Ideja logaritma, odnosno ideja izražavanja brojeva kao stepena iste baze, pripada Mihailu Stifelu. Ali u vrijeme Stiefela, matematika nije bila toliko razvijena i ideja logaritma nije našla svoj razvoj. Logaritme su kasnije istovremeno i nezavisno izmislili škotski naučnik Džon Napier (1550-1617) i Švajcarac Jobst Burgi (1552-1632).Napier je prvi objavio to delo 1614. godine. pod naslovom "Opis nevjerovatne tablice logaritama", Napierova teorija logaritama data je u prilično cjelovitom obimu, metoda za izračunavanje logaritama je data na najjednostavniji način, stoga su Napierove zasluge u pronalasku logaritama veće od Burgijevih. Bürgi je radio na stolovima u isto vrijeme kada i Napier, ali dugo vremena držao ih u tajnosti i objavio tek 1620. Napier je savladao ideju logaritma oko 1594. iako su tabele objavljene 20 godina kasnije. U početku je svoje logaritme nazvao "umjetnim brojevima", a tek onda je predložio da se ti "vještački brojevi" nazovu jednom riječju "logaritam", što na grčkom znači "korelirani brojevi", uzeti jedan iz aritmetičke progresije, a drugi iz aritmetičke progresije. geometrijska progresija posebno odabrana za to. Prve tabele na ruskom jeziku objavljene su 1703. uz učešće izuzetnog učitelja 18. veka. L. F. Magnitsky. U razvoju teorije logaritama veliki značaj imao je rad peterburškog akademika Leonarda Ojlera. On je bio prvi koji je logaritam smatrao inverzom eksponencijacije, uveo je pojmove "baza logaritma" i "mantisa" Briggs je sastavio tabele logaritama sa bazom 10. Decimalne tabele su pogodnije za praktičnu upotrebu, njihova teorija je jednostavnija od onaj Napierovih logaritama. Stoga se decimalni logaritmi ponekad nazivaju brigovi. Termin "karakteristika" uveo je Briggs.

U tim dalekim vremenima, kada su mudraci prvi put počeli razmišljati o jednakostima koje sadrže nepoznate količine, vjerovatno još nije bilo kovanica ili novčanika. Ali s druge strane, postojale su gomile, kao i lonci, korpe, koje su bile savršene za ulogu keš-prodavnica u kojima se nalazio nepoznat broj predmeta. U drevnim matematičkim problemima Mesopotamije, Indije, Kine, Grčke, nepoznate količine izražavale su broj paunova u vrtu, broj bikova u stadu, ukupnost stvari koje se uzimaju u obzir prilikom podjele imovine. Pisari, službenici i svećenici upućeni u tajno znanje, dobro obučeni u nauci brojanja, prilično su se uspješno nosili s takvim zadacima.

Izvori koji su došli do nas ukazuju na to da su neki posedovali drevni naučnici uobičajeni trikovi rješavanje zadataka s nepoznatim količinama. Međutim, niti jedan papirus, niti jedna glinena ploča ne daje opis ovih tehnika. Autori su svoje numeričke proračune samo povremeno opskrbljivali podlim komentarima poput: "Pogledaj!", "Uradi to!", "Utvrdili ste da je ispravno". U tom smislu izuzetak je "Aritmetika" grčkog matematičara Diofanta Aleksandrijskog (III vek) - zbirka zadataka za sastavljanje jednačina sa sistematskim prikazom njihovih rešenja.

Međutim, rad bagdadskog učenjaka iz 9. stoljeća postao je prvi priručnik za rješavanje problema koji je postao široko poznat. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Riječ "al-jabr" iz arapskog naslova ove rasprave - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Knjiga o restauraciji i kontrastiranju") - vremenom se pretvorila u riječ "algebra" svima dobro poznatu, a sam rad al-Khwarizmija poslužio je kao polazna tačka u razvoju nauke o rješavanju jednačina.

Logaritamske jednačine i nejednakosti

1. Logaritamske jednadžbe

Jednačina koja sadrži nepoznatu pod znakom logaritma ili u svojoj osnovi naziva se logaritamska jednačina.

Najjednostavnija logaritamska jednadžba je jednadžba oblika

log a x = b . (1)

Izjava 1. Ako a > 0, a≠ 1, jednačina (1) za bilo koju realnu b ima jedino rešenje x = a b .

Primjer 1. Riješite jednačine:

a) dnevnik 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)

Rješenje. Koristeći iskaz 1, dobijamo a) x= 2 3 ili x= 8; b) x= 3 -1 ili x= 1/3; c)

Predstavljamo glavna svojstva logaritma.

P1. Osnovni logaritamski identitet:

Gdje a > 0, a≠ 1 i b > 0.

P2. Logaritam proizvoda pozitivnih faktora jednak je zbiru logaritama ovih faktora:

log a N 1 · N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentar. Ako N 1 · N 2 > 0, tada svojstvo P2 poprima oblik

log a N 1 · N 2 = log a |N 1 | +log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Logaritam količnika dva pozitivna broja jednak je razlici između logaritama dividende i djelitelja

Komentar. Ako

P4. Logaritam stepena pozitivnog broja jednak je umnošku eksponenta i logaritma ovog broja:

log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Komentar. Ako k- čak broj ( k = 2s), To

log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Formula za prelazak u drugu bazu je:

posebno ako N = b, dobijamo

Koristeći svojstva P4 i P5, lako je dobiti sljedeća svojstva

i ako u (5) c- čak broj ( c = 2n), javlja se

Navodimo glavna svojstva logaritamske funkcije f (x) = log a x :

1. Domen logaritamske funkcije je skup pozitivnih brojeva.

2. Opseg vrijednosti logaritamske funkcije je skup realnih brojeva.

3. Kada a> 1 logaritamska funkcija je striktno rastuća (0< x 1 < x 2 log a x 1 < loga x 2), i na 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 log a x 1 > log a x 2).

4 log a 1 = 0 i log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Ako a> 1, tada je logaritamska funkcija negativna za x(0;1) i pozitivan je za x(1;+∞), a ako je 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) i negativan je za x (1;+∞).

6. Ako a> 1, tada je logaritamska funkcija konveksna prema gore, i ako a(0;1) - konveksno nadole.

Sljedeći iskazi (vidi, na primjer, ) se koriste u rješavanju logaritamskih jednačina.

Svi smo upoznati sa jednačinama. osnovna škola. Čak smo i tamo naučili rješavati najjednostavnije primjere, a mora se priznati da svoju primjenu nalaze i u višoj matematici. Sve je jednostavno sa jednadžbama, uključujući i kvadratne. Ako imate problema s ovom temom, toplo preporučujemo da je pokušate ponovo.

I logaritmi koje ste vjerovatno već položili. Ipak, smatramo važnim reći šta je to za one koji još ne znaju. Logaritam je jednak stepenu na koji se baza mora podići da bi se dobio broj desno od predznaka logaritma. Dajemo primjer na osnovu kojeg će vam sve postati jasno.

Ako povisite 3 na četvrti stepen, dobićete 81. Sada zamijenite brojeve po analogiji i konačno ćete shvatiti kako se logaritmi rješavaju. Sada ostaje samo kombinirati dva razmatrana koncepta. U početku se situacija čini izuzetno teškom, ali nakon detaljnijeg razmatranja, težina dolazi na svoje mjesto. Sigurni smo da nakon ovog kratkog članka nećete imati problema u ovom dijelu ispita.

Danas postoji mnogo načina za rješavanje takvih struktura. Govorit ćemo o najjednostavnijim, najefikasnijim i najprimjenjivijim u slučaju USE zadataka. Rješavanje logaritamskih jednadžbi mora početi od samog početka. jednostavan primjer. Najjednostavnije logaritamske jednadžbe se sastoje od funkcije i jedne varijable u njoj.

Važno je napomenuti da je x unutar argumenta. A i b moraju biti brojevi. U ovom slučaju, možete jednostavno izraziti funkciju u smislu broja u stepenu. To izgleda ovako.

Naravno, rješavanje logaritamske jednadžbe na ovaj način će vas dovesti do tačnog odgovora. Ali problem velike većine studenata u ovom slučaju je što ne razumiju šta i odakle dolazi. Kao rezultat toga, morate podnijeti greške i ne dobiti željene bodove. Najuvredljivija greška bit će ako pomiješate slova na mjestima. Da biste na ovaj način riješili jednačinu, morate zapamtiti ovu standardnu ​​školsku formulu, jer ju je teško razumjeti.

Da biste to olakšali, možete pribjeći drugoj metodi - kanonskom obliku. Ideja je krajnje jednostavna. Ponovo obratite pažnju na zadatak. Zapamtite da je slovo a broj, a ne funkcija ili varijabla. A nije jednako jedan i veće je od nule. Nema ograničenja za b. Sada od svih formula, prisjećamo se jedne. B se može izraziti na sljedeći način.

Iz ovoga slijedi da se sve originalne jednadžbe sa logaritmima mogu predstaviti kao:

Sada možemo odbaciti logaritme. Ispostavilo se jednostavan dizajn, koje smo ranije vidjeli.

Pogodnost ove formule leži u činjenici da se može koristiti u raznim slučajevima, a ne samo za najjednostavnije dizajne.

Ne brinite za OOF!

Mnogi iskusni matematičari će primijetiti da nismo obratili pažnju na domen definicije. Pravilo se svodi na činjenicu da je F(x) nužno veći od 0. Ne, nismo propustili ovaj trenutak. Sada govorimo o još jednoj ozbiljnoj prednosti kanonskog oblika.

Ovdje neće biti dodatnih korijena. Ako će se varijabla pojaviti samo na jednom mjestu, tada opseg nije neophodan. Pokreće se automatski. Da biste potvrdili ovu prosudbu, razmotrite rješavanje nekoliko jednostavnih primjera.

Kako riješiti logaritamske jednadžbe sa različitim bazama

To su već složene logaritamske jednadžbe, a pristup njihovom rješavanju trebao bi biti poseban. Ovdje je rijetko moguće ograničiti se na ozloglašeni kanonski oblik. Počnimo sa našim detaljna priča. Imamo sledeću konstrukciju.

Obratite pažnju na razlomak. Sadrži logaritam. Ako to vidite u zadatku, vrijedi zapamtiti jedan zanimljiv trik.

Šta to znači? Svaki logaritam se može izraziti kao količnik dva logaritma sa pogodnom bazom. I ova formula ima poseban slučaj koji je primjenjiv na ovaj primjer (mislimo ako je c=b).

Upravo to vidimo u našem primjeru. Dakle.

U stvari, okrenuli su razlomak i dobili zgodniji izraz. Zapamtite ovaj algoritam!

Sada nam je potrebno da logaritamska jednadžba ne sadrži različite baze. Predstavimo bazu kao razlomak.

U matematici postoji pravilo na osnovu kojeg se stepen može izvući iz baze. Ispada sljedeća konstrukcija.

Čini se, šta nas sada sprečava da svoj izraz pretvorimo u kanonski oblik i elementarno ga riješimo? Nije tako jednostavno. Prije logaritma ne bi trebalo biti razlomaka. Popravimo ovu situaciju! Razlomak je dozvoljeno uzeti kao stepen.

Odnosno.

Ako su baze iste, možemo ukloniti logaritme i izjednačiti same izraze. Tako će situacija postati mnogo puta lakša nego što je bila. Biće elementarna jednačina koju je svako od nas znao da reši još u 8. ili čak 7. razredu. Možete sami da izvršite proračune.

Dobili smo jedini pravi korijen ove logaritamske jednadžbe. Primjeri rješavanja logaritamske jednadžbe su prilično jednostavni, zar ne? Sada ćete moći samostalno da se nosite i sa većinom izazovni zadaci za pripremu i polaganje ispita.

Šta je rezultat?

U slučaju bilo koje logaritamske jednadžbe, polazimo od jedne vrlo važno pravilo. Potrebno je djelovati tako da se ekspresija dovede do maksimuma običan prizor. U tom slučaju ćete imati više šansi ne samo da ispravno riješite problem, već i da to učinite na najjednostavniji i najlogičniji način. Tako matematičari uvijek rade.

Izričito ne preporučujemo da tražite teške puteve, posebno u ovom slučaju. Zapamtite nekoliko jednostavnih pravila koja će vam omogućiti da transformišete bilo koji izraz. Na primjer, dovedite dva ili tri logaritma na istu bazu, ili uzmite potenciju iz baze i pobijedite na njoj.

Također je vrijedno zapamtiti da u rješavanju logaritamskih jednadžbi morate stalno trenirati. Postepeno ćete prelaziti na sve složenije strukture, a to će vas dovesti do samopouzdanog rješavanja svih opcija za probleme na ispitu. Pripremite se za ispite unaprijed i sretno!

Rješenje logaritamskih jednadžbi. Dio 1.

Logaritamska jednadžba naziva se jednačina u kojoj je nepoznato sadržano pod znakom logaritma (posebno u bazi logaritma).

Protozoa logaritamska jednačina izgleda kao:

Rješavanje bilo koje logaritamske jednadžbe uključuje prijelaz sa logaritama na izraze pod znakom logaritama. Međutim, ova radnja proširuje opseg dozvoljene vrijednosti jednadžbi i može dovesti do pojave stranih korijena. Da biste izbjegli pojavu stranih korijena možete to učiniti na jedan od tri načina:

1. Napravite ekvivalentan prelaz od originalne jednadžbe do sistema uključujući

ovisno o kojoj nejednakosti ili lakše.

Ako jednadžba sadrži nepoznanicu u osnovi logaritma:

onda idemo na sistem:

2. Odvojeno pronađite raspon dopuštenih vrijednosti jednadžbe, zatim riješite jednadžbu i provjerite da li pronađena rješenja zadovoljavaju jednačinu.

3. Riješite jednačinu, a zatim provjerite: zamijenimo pronađena rješenja u originalnu jednadžbu i provjerimo da li smo dobili tačnu jednakost.

Logaritamska jednačina bilo kojeg nivoa složenosti uvijek se na kraju svodi na najjednostavniju logaritamsku jednačinu.

Sve logaritamske jednadžbe se mogu podijeliti u četiri tipa:

1 . Jednačine koje sadrže logaritme samo na prvi stepen. Uz pomoć transformacija i upotrebe, svode se na formu

Primjer. Rešimo jednačinu:

Izjednačite izraze pod znakom logaritma:

Provjerimo da li naš korijen jednadžbe zadovoljava:

Da, zadovoljava.

Odgovor: x=5

2 . Jednačine koje sadrže logaritme na stepen različit od 1 (posebno u nazivniku razlomka). Ove jednačine se rješavaju pomoću uvođenje promjene varijable.

Primjer. Rešimo jednačinu:

Nađimo ODZ jednačinu:

Jednačina sadrži logaritme na kvadrat, pa se rješava promjenom varijable.

Bitan! Prije uvođenja zamjene, potrebno je da logaritme koji su dio jednadžbe "uvučete" u "cigle" koristeći svojstva logaritama.

Prilikom "povlačenja" logaritama, važno je vrlo pažljivo primijeniti svojstva logaritama:

Osim toga, ovdje postoji još jedno suptilnije mjesto, a da bismo izbjegli uobičajenu grešku, koristit ćemo srednju jednakost: stepen logaritma zapisujemo u ovom obliku:

Isto tako,

Dobijene izraze zamjenjujemo u originalnu jednačinu. Dobijamo:

Sada vidimo da je nepoznata sadržana u jednadžbi kao dio . Predstavljamo zamjenu: . Budući da može uzeti bilo koju realnu vrijednost, ne namećemo nikakva ograničenja varijabli.

Logaritamske jednadžbe. Nastavljamo sa razmatranjem zadataka iz dijela B Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Već smo razmatrali rješenja nekih jednačina u člancima "", "". U ovom članku ćemo razmotriti logaritamske jednadžbe. Moram odmah reći da neće biti složenih transformacija pri rješavanju takvih jednadžbi na USE. One su jednostavne.

Dovoljno je poznavati i razumjeti osnovni logaritamski identitet, poznavati svojstva logaritma. Obratite pažnju na to da je nakon odluke OBAVEZNO izvršiti provjeru - dobijenu vrijednost zamijeniti u originalnu jednačinu i izračunati, kao rezultat treba dobiti ispravnu jednakost.

Definicija:

Logaritam broja a prema bazi b je eksponent,na koji se mora podići b da bi se dobilo a.

Na primjer:

Dnevnik 3 9 = 2 jer je 3 2 = 9

Svojstva logaritama:

Posebni slučajevi logaritama:

Mi rješavamo probleme. U prvom primjeru izvršit ćemo provjeru. Uradite sljedeću provjeru sami.

Pronađite korijen jednačine: log 3 (4–x) = 4

Pošto je log b a = x b x = a, onda

3 4 \u003d 4 - x

x = 4 - 81

x = -77

pregled:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Tačno.

Odgovor: - 77

Odlučite sami:

Pronađite korijen jednačine: log 2 (4 - x) = 7

Pronađite korijen log 5 jednadžbe(4 + x) = 2

Koristimo osnovni logaritamski identitet.

Pošto log a b = x b x = a, onda

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x=21

pregled:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Tačno.

Odgovor: 21

Pronađite korijen jednačine log 3 (14 - x) = log 3 5.

Događa se sljedeće svojstvo, njegovo značenje je sljedeće: ako na lijevoj i desnoj strani jednačine imamo logaritme sa istom osnovom, onda možemo izjednačiti izraze pod predznacima logaritma.

14 - x = 5

x=9

Provjeri.

Odgovor: 9

Odlučite sami:

Pronađite korijen jednačine log 5 (5 - x) = log 5 3.

Pronađite korijen jednačine: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).

Ako je log c a = log c b, onda je a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

Provjeri.

Odgovor: 6

Pronađite korijen jednačine log 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 \u003d 13 - x

x = 13 - 64

x = -51

Provjeri.

Mali dodatak - ovdje se koristi nekretnina

stepen().

Odgovor: - 51

Odlučite sami:

Pronađite korijen jednačine: log 1/7 (7 - x) = - 2

Pronađite korijen jednačine log 2 (4 - x) = 2 log 2 5.

Transformirajmo desnu stranu. koristiti nekretninu:

log a b m = m∙ log a b

log 2 (4 - x) = log 2 5 2

Ako je log c a = log c b, onda je a = b

4 – x = 5 2

4 - x = 25

x = -21

Provjeri.

Odgovor: - 21

Odlučite sami:

Pronađite korijen jednačine: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

Riješite jednačinu log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Ako je log c a = log c b, onda je a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x=2,75

Provjeri.

Odgovor: 2,75

Odlučite sami:

Pronađite korijen jednačine log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Riješite jednačinu log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1.

Na desnoj strani jednačine trebate dobiti izraz oblika:

dnevnik 2 (......)

Predstavljanje 1 kao logaritma osnove 2:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) + log 2 2

Dobijamo:

log 2 (2 - x) = log 2 2 (2 - 3x)

Ako je log c a = log c b, onda je a = b, onda

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x=0,4

Provjeri.

Odgovor: 0.4

Odlučite sami: Zatim morate riješiti kvadratnu jednačinu. Između ostalog,

korijeni su 6 i -4.

Root"-4" nije rješenje, jer baza logaritma mora biti veća od nule, a sa "– 4" je jednako " – 5". Rješenje je korijen 6.Provjeri.

Odgovor: 6.

R jedite sami:

Riješite log x –5 49 = 2. Ako jednačina ima više od jednog korijena, odgovorite na manji.

Kao što vidite, nema složenih transformacija sa logaritamskim jednačinamabr. Dovoljno je poznavati svojstva logaritma i znati ih primijeniti. U zadacima USE koji se odnose na transformaciju logaritamskih izraza izvode se ozbiljnije transformacije i potrebne su dublje vještine u rješavanju. Razmotrit ćemo takve primjere, nemojte ih propustiti!Želim ti uspjeh!!!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.