Lekce a prezentace na téma: "Číselné posloupnosti. Aritmetický postup"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, zpětnou vazbu, návrhy! Všechny materiály jsou kontrolovány antivirovým programem.

Učební pomůcky v internetovém obchodě "Integral" pro 9. ročník k učebnicím
Makarycheva Yu.N. Alimova Sh.A. Mordkovich A.G. Muravina G.K.

Co je tedy aritmetická progrese?

Číselná posloupnost, ve které se každý člen, počínaje druhým, rovná součtu předchozího a nějakého pevného čísla, se nazývá aritmetická posloupnost.

Aritmetický postup je rekurzivně daná číselná progrese.

Zapišme rekurzivní formu: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, číslo d je rozdíl postupu. a a d jsou určitá daná čísla.

Příklad. 1,4,7,10,13,16… Aritmetická posloupnost, kde $a=1, d=3$.

Příklad. 3,0,-3,-6,-9… Aritmetická posloupnost, kde $a=3, d=-3$.

Příklad. 5,5,5,5,5… Aritmetická posloupnost, kde $a=5, d=0$.

Aritmetická progrese má vlastnosti monotonie, je-li rozdíl progrese větší než nula, pak je posloupnost rostoucí, je-li rozdíl progrese menší než nula, pak je posloupnost klesající.

Pokud je počet prvků v aritmetické posloupnosti konečný, pak se průběh nazývá konečná aritmetická posloupnost.

Pokud je dána posloupnost $a_(n)$ a jedná se o aritmetickou posloupnost, pak je obvyklé označovat: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.

Vzorec n-tého členu aritmetické posloupnosti

Vraťme se k našim příkladům a zapišme si náš vzorec pro každý z příkladů.

Příklad. 1,4,7,10,13,16… Aritmetický průběh, kde a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.

Příklad. 3,0,-3,-6,-9… Aritmetický průběh, kde a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Příklad. Je dána aritmetická progrese: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
a) Je známo, že $a_(1)=5$, $d=3$. Najděte $a_(23)$.
b) Je známo, že $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$. Najít n.
c) Je známo, že $d=-1$, $a_(22)=15$. Najděte $a_(1)$.
d) Je známo, že $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$. Najít d.
Řešení.
a) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
b) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
c) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
d) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Příklad. Při dělení devátého členu aritmetické posloupnosti druhým členem zůstane podíl 7 a při dělení devátého členu pátým je podíl 2 a zbytek je 5. Najděte třicátý člen posloupnosti.
Řešení.
Zapišme si vzorce 2, 5 a 9 členů našeho postupu za sebou.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
Z podmínky také víme:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
Nebo:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
Udělejme soustavu rovnic:
$\začátek(případy)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\konec (případy)$.
$\začátek(případy)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\konec (případy)$.
Po vyřešení systému dostaneme: $d=6, a_(1)=1$.
Najděte $a_(30)$.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.

Součet konečné aritmetické posloupnosti

Nechte nás aritmetický průběh 1,2,3,4,5…100.
Součet jeho podmínek pak může být reprezentován takto:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Ale podobný vzorec platí pro jakýkoli aritmetický postup:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
Napišme náš vzorec v obecném případě: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, kde $k<1$.
Odvoďme vzorec pro výpočet součtu členů aritmetické posloupnosti, zapišme vzorec dvakrát v různém pořadí:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
Sečteme tyto vzorce dohromady:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
Na pravé straně naší rovnosti je n členů a víme, že každý z nich je roven $a_(1)+a_(n)$.
Pak:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
Náš vzorec lze také přepsat takto: protože $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
pak $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
Nejčastěji je výhodnější použít tento konkrétní vzorec, takže by bylo dobré si jej zapamatovat!

Příklad. Daný konečný aritmetický postup.
Nalézt:
a) $s_(22), pokud a_(1)=7, d=2$.
b) d pokud $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
Řešení.
a) Použijme druhý součtový vzorec $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 = 616 $.
b) V tomto příkladu použijeme první vzorec: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
$144=36+4a_(8)$.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.

Příklad. Najděte součet všech lichých dvouciferných čísel.
Řešení.
Podmínky našeho postupu jsou: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
Najdeme číslo posledního člena progrese:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$ n = 45 $.
Nyní najdeme součet: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.

Příklad. Kluci vyrazili na túru. Je známo, že za první hodinu ušli 500 m, poté začali chodit o 25 metrů méně než za první hodinu. Za kolik hodin urazí 2975 metrů?
Řešení.
Cesta ujetá v každé hodině může být reprezentována jako aritmetický postup:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$.
Rozdíl aritmetické progrese je roven $d=-25$.
Cesta ujetá v 2975 metrech je součtem členů aritmetického postupu.
$S_(n)=2975$, kde n - hodin strávených na cestě.
Pak:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
1000 n-25 (n-1) n=5 950 $.
Vydělte obě části 25.
$40n-(n-1)n=238 $.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
Je zřejmé, že logičtější je zvolit $n=7$.
Odpovědět. Kluci byli na cestě 7 hodin.

Charakteristická vlastnost aritmetické posloupnosti

Pokud je progrese konečná, pak tato rovnost platí pro všechny členy kromě prvního a posledního.
Pokud není předem známo, jaký typ sekvence má, ale je známo, že: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Pak můžeme s jistotou říci, že se jedná o aritmetický postup.

Číselná posloupnost je aritmetická posloupnost, kdy každý člen této posloupnosti je roven aritmetickému průměru dvou sousedních členů naší posloupnosti (nezapomeňte, že u konečné posloupnosti tato podmínka není splněna pro první a poslední člen posloupnosti) .

Příklad. Najděte x takové, že $3x+2$; $x-1$; $4x+3$ jsou tři po sobě jdoucí členy aritmetického postupu.
Řešení. Použijme náš vzorec:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1,4$.
Zkontrolujeme, naše výrazy budou mít tvar: -2,2; -2,4; -2.6.
Je zřejmé, že se jedná o členy aritmetické progrese a $d=-0,2$.

Úkoly pro samostatné řešení

Při studiu algebry na střední škole (9. ročník) je jedním z důležitých témat studium číselných posloupností, které zahrnují posloupnosti - geometrické a aritmetické. V tomto článku se budeme zabývat aritmetickým postupem a příklady s řešeními.

Co je to aritmetická progrese?

Abychom tomu porozuměli, je nutné uvést definici uvažovaného postupu a také uvést základní vzorce, které budou dále použity při řešení problémů.

Je známo, že v nějaké algebraické posloupnosti je 1. člen roven 6 a 7. člen je roven 18. Je nutné najít rozdíl a obnovit tuto posloupnost na 7. člen.

K určení neznámého členu použijeme vzorec: a n = (n - 1) * d + a 1 . Dosadíme do něj známá data z podmínky, tedy čísla a 1 a a 7, máme: 18 \u003d 6 + 6 * d. Z tohoto výrazu snadno spočítáte rozdíl: d = (18 - 6) / 6 = 2. Tím byla zodpovězena první část úlohy.

Chcete-li obnovit posloupnost na 7. člen, měli byste použít definici algebraické posloupnosti, tj. a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d atd. V důsledku toho obnovíme celou sekvenci: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 a 6 = 14 + 2 = 16 a 7 = 18.

Příklad č. 3: Progrese

Pojďme si stav problému ještě více zkomplikovat. Nyní musíte odpovědět na otázku, jak najít aritmetickou progresi. Můžeme uvést následující příklad: jsou dána dvě čísla, například 4 a 5. Je třeba udělat algebraický postup, aby se mezi ně vešly další tři členy.

Než se pustíte do řešení tohoto problému, je nutné pochopit, jaké místo budou daná čísla v budoucím postupu zaujímat. Protože mezi nimi budou další tři termíny, pak 1 \u003d -4 a 5 \u003d 5. Jakmile to zjistíme, přistoupíme k úloze, která je podobná té předchozí. Opět pro n-tý termín použijeme vzorec, dostaneme: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Zde rozdíl není celočíselná hodnota, ale je to racionální číslo, takže vzorce pro algebraický postup zůstávají stejné.

Nyní přičteme nalezený rozdíl k 1 a obnovíme chybějící členy progrese. Dostaneme: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u,0 která se shodovala se stavem problému.

Příklad č. 4: První člen progrese

Pokračujeme v uvádění příkladů aritmetického postupu s řešením. Ve všech předchozích úlohách bylo známo první číslo algebraické posloupnosti. Nyní uvažujme problém jiného typu: nechť jsou dána dvě čísla, kde a 15 = 50 a a 43 = 37. Je třeba zjistit, od kterého čísla tato posloupnost začíná.

Dosud používané vzorce předpokládají znalost 1 a d. Ve stavu problému není o těchto číslech nic známo. Přesto si vypišme výrazy pro každý termín, o kterém máme informace: a 15 = a 1 + 14 * d a a 43 = a 1 + 42 * d. Dostali jsme dvě rovnice, ve kterých jsou 2 neznámé veličiny (a 1 a d). To znamená, že problém je redukován na řešení soustavy lineárních rovnic.

Zadaný systém se nejsnáze vyřeší, pokud v každé rovnici vyjádříte 1 a poté výsledné výrazy porovnáte. První rovnice: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druhá rovnice: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Porovnáním těchto výrazů dostaneme: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, odkud je rozdíl d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (jsou uvedeny pouze 3 desetinná místa).

Když znáte d, můžete pro 1 použít kterýkoli z výše uvedených 2 výrazů. Například nejprve: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Pokud jsou o výsledku pochybnosti, můžete si jej zkontrolovat, například určit 43. člen progrese, který je uveden v podmínce. Dostaneme: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Malá chyba je způsobena tím, že při výpočtech bylo použito zaokrouhlování na tisíciny.

Příklad č. 5: Součet

Nyní se podívejme na několik příkladů s řešeními pro součet aritmetické posloupnosti.

Nechť je dána číselná posloupnost následujícího tvaru: 1, 2, 3, 4, ...,. Jak vypočítat součet 100 těchto čísel?

Díky rozvoji výpočetní techniky lze tento problém vyřešit, tedy postupně sečíst všechna čísla, což počítač udělá, jakmile člověk stiskne klávesu Enter. Problém však lze vyřešit myšlenkově, pokud si dáte pozor, že prezentovaná řada čísel je algebraická posloupnost a její rozdíl je 1. Aplikováním vzorce pro součet dostaneme: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Je zvláštní poznamenat, že tento problém se nazývá „gaussovský“, protože na začátku 18. století jej slavný Němec, ještě ve věku pouhých 10 let, dokázal vyřešit v mysli během několika sekund. Chlapec neznal vzorec pro součet algebraické posloupnosti, ale všiml si, že když sečtete dvojice čísel umístěných na okrajích posloupnosti, dostanete vždy stejný výsledek, tedy 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a protože tyto součty budou přesně 50 (100 / 2), pak pro správnou odpověď stačí vynásobit 50 101.

Příklad č. 6: součet členů od n do m

Dalším typickým příkladem součtu aritmetické posloupnosti je následující: daná řada čísel: 3, 7, 11, 15, ..., musíte zjistit, jaký bude součet jejích členů od 8 do 14.

Problém se řeší dvěma způsoby. První z nich zahrnuje nalezení neznámých výrazů od 8 do 14 a jejich následné sečtení. Vzhledem k tomu, že existuje málo termínů, není tato metoda dostatečně pracná. Přesto se navrhuje řešit tento problém druhou metodou, která je univerzálnější.

Cílem je získat vzorec pro součet algebraické posloupnosti mezi členy m an n, kde n > m jsou celá čísla. Pro oba případy napíšeme dva výrazy pro součet:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Protože n > m, je zřejmé, že součet 2 zahrnuje i první. Poslední závěr znamená, že pokud vezmeme rozdíl mezi těmito součty a přidáme k němu člen a m (v případě odečtení rozdílu od součtu S n), dostaneme potřebnou odpověď na problém. Máme: S mn \u003d Sn - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Do tohoto výrazu je nutné dosadit vzorce pro a n a a m. Pak dostaneme: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m/2) = a 1* (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m2 - 2) / 2.

Výsledný vzorec je poněkud těžkopádný, nicméně součet S mn závisí pouze na n, m, a 1 a d. V našem případě a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Dosazením těchto čísel dostaneme: S mn = 301.

Jak je vidět z výše uvedených řešení, všechny úlohy vycházejí ze znalosti výrazu pro n-tý člen a vzorce pro součet množiny prvních členů. Než začnete některý z těchto problémů řešit, doporučuje se pozorně si přečíst podmínku, jasně pochopit, co chcete najít, a teprve poté přistoupit k řešení.

Dalším tipem je usilovat o jednoduchost, to znamená, že pokud můžete odpovědět na otázku bez použití složitých matematických výpočtů, musíte udělat právě to, protože v tomto případě je pravděpodobnost, že uděláte chybu, menší. Například v příkladu aritmetického postupu s řešením č. 6 bychom se mohli zastavit u vzorce S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, a rozdělte obecný úkol na samostatné dílčí úkoly (v tomto případě nejprve najděte pojmy a n a a m).

Pokud existují pochybnosti o dosaženém výsledku, doporučuje se jej zkontrolovat, jak bylo provedeno v některých uvedených příkladech. Jak najít aritmetický postup, zjistil. Jakmile na to přijdete, není to tak těžké.

Než se začneme rozhodovat problémy s aritmetickým postupem, zvažte, co je číselná posloupnost, protože aritmetická posloupnost je speciální případ číselné posloupnosti.

Číselná posloupnost je číselná množina, jejíž každý prvek má svůj vlastní sériové číslo . Prvky této množiny se nazývají členy posloupnosti. Pořadové číslo prvku sekvence je označeno indexem:

První prvek sekvence;

Pátý prvek sekvence;

- "n-tý" prvek sekvence, tzn. prvek "stání ve frontě" u čísla n.

Existuje závislost mezi hodnotou prvku sekvence a jeho pořadovým číslem. Posloupnost tedy můžeme považovat za funkci, jejímž argumentem je pořadové číslo prvku posloupnosti. Jinými slovy, dá se to říct posloupnost je funkcí přirozeného argumentu:

Pořadí lze zadat třemi způsoby:

1 . Pořadí lze určit pomocí tabulky. V tomto případě jednoduše nastavíme hodnotu každého člena posloupnosti.

Někdo se například rozhodl udělat si osobní time management a pro začátek vypočítat, kolik času tráví na VKontakte během týdne. Zapsáním času do tabulky získá sekvenci sestávající ze sedmi prvků:

První řádek tabulky obsahuje číslo dne v týdnu, druhý - čas v minutách. Vidíme, že v pondělí Někdo strávil na VKontakte 125 minut, to znamená ve čtvrtek - 248 minut, a to znamená v pátek pouze 15.

2 . Posloupnost lze zadat pomocí vzorce pro n-tý člen.

V tomto případě je závislost hodnoty prvku sekvence na jeho čísle vyjádřena přímo vzorcem.

Například pokud , tak

Abychom našli hodnotu prvku sekvence s daným číslem, dosadíme číslo prvku do vzorce pro n-tý člen.

Totéž uděláme, pokud potřebujeme najít hodnotu funkce, pokud je známa hodnota argumentu. Do rovnice funkce místo toho dosadíme hodnotu argumentu:

Pokud např. , Že

Ještě jednou podotýkám, že v posloupnosti, na rozdíl od libovolné číselné funkce, může být argumentem pouze přirozené číslo.

3 . Posloupnost lze specifikovat pomocí vzorce, který vyjadřuje závislost hodnoty členu posloupnosti s číslem n na hodnotě předchozích členů. V tomto případě nám nestačí znát pouze číslo členu posloupnosti, abychom zjistili jeho hodnotu. Musíme určit první člen nebo několik prvních členů posloupnosti.

Zvažte například sekvenci ,

Můžeme najít hodnoty členů sekvence v pořadí, počínaje třetí:

To znamená, že pokaždé, když zjistíme hodnotu n-tého člena posloupnosti, vrátíme se k předchozím dvěma. Tento způsob sekvenování se nazývá opakující se, z latinského slova recurro- vrať se.

Nyní můžeme definovat aritmetickou progresi. Aritmetická progrese je jednoduchý speciální případ číselné posloupnosti.

Aritmetický postup se nazývá číselná posloupnost, jejíž každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, doplněnému stejným číslem.

Číslo se volá rozdíl aritmetického postupu. Rozdíl aritmetické progrese může být kladný, záporný nebo nulový.

Pokud title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} vzrůstající.

Například 2; 5; 8; jedenáct;...

Jestliže , pak je každý člen aritmetické progrese menší než předchozí a progrese je ubývající.

Například 2; -1; -4; -7;...

Jestliže , pak se všechny členy progrese rovnají stejnému číslu a progrese je stacionární.

Například 2;2;2;2;...

Hlavní vlastnost aritmetické progrese:

Podívejme se na obrázek.

To vidíme

, a současně

Sečtením těchto dvou rovností dostaneme:

.

Vydělte obě strany rovnice 2:

Takže každý člen aritmetické posloupnosti, počínaje druhým, se rovná aritmetickému průměru dvou sousedních:

Navíc od

, a současně

, Že

, a tedy

Každý člen aritmetické posloupnosti začínající title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

členský vzorec.

Vidíme, že pro členy aritmetické posloupnosti platí následující vztahy:

a nakonec

Máme formule n-tého členu.

DŮLEŽITÉ! Jakýkoli člen aritmetické posloupnosti lze vyjádřit pomocí a . Znáte-li první termín a rozdíl aritmetického postupu, můžete najít kteréhokoli z jeho členů.

Součet n členů aritmetické posloupnosti.

V libovolném aritmetickém postupu jsou součty členů stejně vzdálených od extrémních navzájem rovny:

Uvažujme aritmetickou progresi s n členy. Nechť součet n členů této posloupnosti je roven .

Uspořádejte členy progrese nejprve ve vzestupném pořadí čísel a poté v sestupném pořadí:

Pojďme to spárovat:

Součet v každé závorce je , počet párů je n.

Dostaneme:

Tak, součet n členů aritmetické posloupnosti lze najít pomocí vzorců:

Zvážit řešení problémů aritmetického postupu.

1 . Posloupnost je dána vzorcem n-tého členu: . Dokažte, že tato sekvence je aritmetickou progresí.

Dokažme, že rozdíl mezi dvěma sousedními členy posloupnosti je roven stejnému číslu.

Zjistili jsme, že rozdíl dvou sousedních členů posloupnosti nezávisí na jejich počtu a je konstantní. Z definice je tedy tato posloupnost aritmetickou progresí.

2 . Vzhledem k aritmetickému postupu -31; -27;...

a) Najděte 31 podmínek postupu.

b) Určete, zda je v tomto postupu zahrnuto číslo 41.

A) Vidíme to;

Zapišme si vzorec pro n-tý člen našeho postupu.

Obecně

V našem případě , Proto

Aritmetický postup pojmenovat posloupnost čísel (členy posloupnosti)

Ve kterém se každý následující člen liší od předchozího o ocelový člen, který se také nazývá krokový nebo postupový rozdíl.

Nastavením kroku progrese a jeho prvního členu tedy můžete pomocí vzorce najít kterýkoli z jeho prvků

Vlastnosti aritmetické posloupnosti

1) Každý člen aritmetické posloupnosti, počínaje druhým číslem, je aritmetickým průměrem předchozího a dalšího členu posloupnosti

Opak je také pravdou. Pokud je aritmetický průměr sousedních lichých (sudých) členů posloupnosti roven prvku, který stojí mezi nimi, pak je tato posloupnost čísel aritmetickou posloupností. Tímto tvrzením je velmi snadné zkontrolovat jakoukoli sekvenci.

Také díky vlastnosti aritmetické progrese lze výše uvedený vzorec zobecnit na následující

To lze snadno ověřit, pokud napíšeme výrazy napravo od rovnítka

Často se v praxi používá pro zjednodušení výpočtů v problémech.

2) Součet prvních n členů aritmetické posloupnosti se vypočte podle vzorce

Dobře si zapamatujte vzorec pro součet aritmetické progrese, je nepostradatelný při výpočtech a je zcela běžný v jednoduchých životních situacích.

3) Pokud potřebujete najít ne celý součet, ale část posloupnosti začínající od jejího k -tého člena, bude se vám hodit následující součtový vzorec

4) Je praktické najít součet n členů aritmetické posloupnosti od k-tého čísla. K tomu použijte vzorec

Zde teoretická látka končí a přecházíme k řešení problémů, které jsou v praxi běžné.

Příklad 1. Najděte čtyřicátý člen aritmetické posloupnosti 4;7;...

Řešení:

Podle stavu máme

Definujte krok postupu

Podle známého vzorce najdeme čtyřicátý člen progrese

Příklad2. Aritmetický postup je dán jeho třetím a sedmým členem. Najděte první člen postupu a součet deseti.

Řešení:

Dané prvky progrese zapisujeme podle vzorců

Odečteme první rovnici od druhé rovnice, jako výsledek najdeme krok postupu

Nalezená hodnota se dosadí do libovolné rovnice, aby se našel první člen aritmetické posloupnosti

Vypočítejte součet prvních deseti členů progrese

Bez použití složitých výpočtů jsme našli všechny požadované hodnoty.

Příklad 3. Aritmetický postup je dán jmenovatelem a jedním z jeho členů. Najděte první člen progrese, součet jeho 50 členů počínaje 50 a součet prvních 100.

Řešení:

Napišme vzorec pro stý prvek progrese

a najít první

Na základě prvního najdeme 50. termín progrese

Zjištění součtu části progrese

a součet prvních 100

Součet postupu je 250.

Příklad 4

Najděte počet členů aritmetické posloupnosti, pokud:

a3-al=8, a2+a4=14, Sn=111.

Řešení:

Rovnice napíšeme z hlediska prvního členu a kroku progrese a definujeme je

Získané hodnoty dosadíme do součtového vzorce, abychom určili počet členů v součtu

Provádění zjednodušení

a vyřešit kvadratickou rovnici

Ze dvou nalezených hodnot je pro stav problému vhodné pouze číslo 8. Součet prvních osmi členů progrese je tedy 111.

Příklad 5

řešit rovnici

1+3+5+...+x=307.

Řešení: Tato rovnice je součtem aritmetické posloupnosti. Vypíšeme jeho první termín a zjistíme rozdíl progrese

Například sekvence \(2\); \(5\); \(8\); \(jedenáct\); \(14\)… je aritmetický postup, protože každý další prvek se liší od předchozího o tři (od předchozího lze získat přidáním tří):

V tomto postupu je rozdíl \(d\) kladný (rovný \(3\)), a proto je každý další člen větší než ten předchozí. Takové progrese se nazývají vzrůstající.

\(d\) však může být také záporné číslo. Například, v aritmetickém postupu \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… rozdíl postupu \(d\) se rovná mínus šesti.

A v tomto případě bude každý další prvek menší než ten předchozí. Tyto progrese se nazývají klesající.

Zápis aritmetického postupu

Progrese je označena malým latinským písmenem.

Čísla, která tvoří průběh, se nazývají členů(nebo prvky).

Označují se stejným písmenem jako aritmetický postup, ale s číselným indexem rovným číslu prvku v pořadí.

Například aritmetická posloupnost \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\vpravo\)\) se skládá z prvků \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) a tak dále.

Jinými slovy, pro postup \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\vpravo\)\)

Řešení úloh na aritmetickém postupu

V zásadě jsou výše uvedené informace již dostatečné k vyřešení téměř jakéhokoli problému na aritmetickém postupu (včetně těch, které nabízí OGE).

Příklad (OGE). Aritmetický postup je dán podmínkami \(b_1=7; d=4\). Najít \(b_5\).
Řešení:

Odpovědět: \(b_5=23\)

Příklad (OGE). Jsou uvedeny první tři členy aritmetické posloupnosti: \(62; 49; 36…\) Najděte hodnotu prvního záporného členu této posloupnosti.
Řešení:

Odpovědět: \(-3\)

Příklad (OGE). Je dáno několik po sobě jdoucích prvků aritmetické posloupnosti: \(...5; x; 10; 12,5...\) Najděte hodnotu prvku označeného písmenem \(x\).
Řešení:

Odpovědět: \(7,5\).

Příklad (OGE). Je uveden aritmetický postup následující podmínky: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Najděte součet prvních šesti členů této posloupnosti.
Řešení:

Odpovědět: \(S_6=9\).

Příklad (OGE). V aritmetickém postupu \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Najděte rozdíl tohoto postupu.
Řešení:

Odpovědět: \(d=7\).

Důležité vzorce aritmetického postupu

Jak vidíte, mnoho problémů s aritmetickým postupem lze vyřešit jednoduše pochopením toho hlavního – že aritmetický postup je řetězec čísel a každý další prvek v tomto řetězci se získá přidáním stejného čísla k předchozímu (rozdíl progrese).

Někdy však nastanou situace, kdy je velmi nepohodlné řešit „na čelo“. Představte si například, že v úplně prvním příkladu potřebujeme najít nikoli pátý prvek \(b_5\), ale třistaosmdesátý šestý \(b_(386)\). Co je to, musíme \ (385 \)krát přidat čtyři? Nebo si představte, že v předposledním příkladu potřebujete najít součet prvních sedmdesáti tří prvků. Počítání je matoucí...

Proto v takových případech neřeší „na čelo“, ale používají speciální vzorce odvozené pro aritmetický postup. A hlavní jsou vzorec pro n-tý člen posloupnosti a vzorec pro součet \(n\) prvních členů.

Vzorec pro \(n\)-tý člen: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kde \(a_1\) je první člen posloupnosti;
\(n\) – číslo požadovaného prvku;
\(a_n\) je členem posloupnosti s číslem \(n\).

Tento vzorec nám umožňuje rychle najít alespoň tři setiny, dokonce i miliontý prvek, přičemž známe pouze první a progresivní rozdíl.

Příklad. Aritmetický postup je dán podmínkami: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Najděte \(b_(246)\).
Řešení:

Odpovědět: \(b_(246)=1850\).

Vzorec pro součet prvních n členů je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kde

\(a_n\) je poslední sečtený člen;

Příklad (OGE). Aritmetický postup je dán podmínkami \(a_n=3,4n-0,6\). Najděte součet prvních \(25\) členů této posloupnosti.
Řešení:

Odpovědět: \(S_(25)=1090\).

Pro součet \(n\) prvních členů můžete získat jiný vzorec: stačí \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) místo \(a_n\) dosaďte vzorec \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dostaneme:

Vzorec pro součet prvních n členů je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kde

\(S_n\) – požadovaný součet \(n\) prvních prvků;
\(a_1\) je první člen, který se má sečíst;
\(d\) – rozdíl progrese;
\(n\) - počet prvků v součtu.

Příklad. Najděte součet prvních \(33\)-ex členů aritmetické posloupnosti: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Řešení:

Odpovědět: \(S_(33)=-231\).

Složitější problémy aritmetického postupu

Nyní máte všechny informace, které potřebujete k vyřešení téměř jakéhokoli problému aritmetického postupu. Dokončíme téma zvážením problémů, ve kterých je potřeba nejen aplikovat vzorce, ale také trochu přemýšlet (v matematice se to může hodit ☺)

Příklad (OGE). Najděte součet všech záporných členů progrese: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Řešení:

Odpovědět: \(S_(65)=-630,5\).

Příklad (OGE). Aritmetický postup je dán podmínkami: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Najděte součet od \(26\)-tého do \(42\) prvku včetně.
Řešení:

Odpovědět: \(S=1683\).

Pro aritmetický postup existuje několik dalších vzorců, které jsme v tomto článku neuvažovali kvůli jejich nízké praktické užitečnosti. Můžete je však snadno najít.