Typ lekce: lekce učení nového materiálu.

Účel lekce: Vytvoření pojmu aritmetické posloupnosti jako jednoho z typů posloupností, odvození vzorce pro n-tý člen, seznámení s charakteristickou vlastností členů aritmetické posloupnosti. Řešení problému.

Cíle lekce:

• Vzdělávací- představit pojem aritmetické progrese; vzorce n-tého členu; charakteristická vlastnost, kterou mají členové aritmetických posloupností.
• Vzdělávací- rozvíjet schopnost porovnávat matematické pojmy, nacházet podobnosti a rozdíly, schopnost pozorovat, všímat si zákonitostí, uvažovat podle analogie; formovat schopnost sestavit a interpretovat matematický model nějaké reálné situace.
• Vzdělávací- podporovat rozvoj zájmu o matematiku a její aplikace, aktivitu, schopnost komunikovat a rozumně obhajovat své názory.

Vybavení: počítač, multimediální projektor, prezentace (příloha 1)

Učebnice: Algebra 9, Yu.N.

Plán lekce:

1. Organizační moment, zadání úkolu
2. Aktualizace znalostí, ústní práce
3. Učení nového materiálu
4. Primární upevnění
5. Shrnutí lekce
6. Domácí práce

Pro zvýšení viditelnosti a pohodlí práce s materiálem je lekce doplněna prezentací. Není to však podmínkou a stejná výuka může probíhat i v učebnách, které nejsou vybaveny multimediálním zařízením. K tomu lze potřebné údaje připravit na tabuli nebo ve formě tabulek a plakátů.

Během vyučování

I. Organizační moment, zadání úkolu.

Pozdravy.

Tématem dnešní lekce je aritmetický postup. V této lekci se naučíme, co je to aritmetická posloupnost, jakou má obecnou formu, zjistíme, jak odlišit aritmetickou posloupnost od jiných posloupností, a budeme řešit problémy využívající vlastnosti aritmetických posloupností.

II. Aktualizace znalostí, ústní práce.

Posloupnost () je dána vzorcem: =. Jaké je číslo člena této posloupnosti, pokud se rovná 144? 225? 100? Jsou čísla 48 členy této posloupnosti? 49? 168?

O posloupnosti () je známo, že , . Jak se tento druh sekvenování nazývá? Najděte první čtyři členy této posloupnosti.

O posloupnosti () je známo, že . Jak se tento druh sekvenování nazývá? Najít jestli?

III. Učení nového materiálu.

Progrese - posloupnost hodnot, z nichž každá je v nějaké společné celé progresi v závislosti na té předchozí. Termín je nyní do značné míry zastaralý a vyskytuje se pouze v kombinacích „aritmetické progrese“ a „geometrické progrese“.

Termín „progrese“ je latinského původu (progression, což znamená „pohyb vpřed“) a zavedl jej římský autor Boethius (6. století). Tento termín v matematice označoval jakoukoli posloupnost čísel sestavenou podle takového zákona, který umožňuje, aby tato posloupnost pokračovala donekonečna jedním směrem. V současné době je termín "progrese" v původně široký smysl nepoužívá. Dva důležité konkrétní typy posloupností – aritmetické a geometrické – si zachovaly svá jména.

Zvažte posloupnosti čísel:

• 2, 6, 10, 14, 18, :.
• 11, 8, 5, 2, -1, :.
• 5, 5, 5, 5, 5, :.

Jaký je třetí člen první řady? Další člen? Předchozí člen? Jaký je rozdíl mezi druhým a prvním termínem? Třetí a druhý člen? Čtvrtý a třetí?

Je-li posloupnost sestavena podle jednoho zákona, jaký bude rozdíl mezi šestým a pátým členem první posloupnosti? Mezi sedmou a šestou?

Pojmenujte další dva členy každé sekvence. Proč si to myslíš?

(odpovědi studentů)

Jak společný majetek mají tyto sekvence? Uveďte tuto vlastnost.

(odpovědi studentů)

Číselné posloupnosti, které mají tuto vlastnost, se nazývají aritmetické posloupnosti. Vyzvěte studenty, aby se sami pokusili formulovat definici.

Definice aritmetické posloupnosti: Aritmetická posloupnost je posloupnost, ve které je každý člen, počínaje druhým, roven předchozímu, doplněný stejným číslem:

( je aritmetický postup if , kde je nějaké číslo.

Číslo d, který ukazuje, jak moc se následující člen posloupnosti liší od předchozího, se nazývá rozdíl progrese: .

Podívejme se znovu na sekvence a povíme si o rozdílech. Jaké vlastnosti má každá sekvence a s čím jsou spojeny?

Pokud je v aritmetické progresi rozdíl kladný, pak se progrese zvyšuje: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

Pokud je v aritmetické progresi rozdíl záporný ( , pak se progrese snižuje: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

Pokud je rozdíl nula () a všechny členy posloupnosti se rovnají stejnému číslu, posloupnost se nazývá stacionární: 5, 5, 5, 5, :.

Jak nastavit aritmetický postup? Zvažte následující problém.

Úkol. Ve skladu bylo 1. 50 tun uhlí. Každý den po dobu jednoho měsíce přijíždí do skladu kamion se 3 tunami uhlí. Kolik uhlí bude na skladě 30., pokud se uhlí ze skladu během této doby nespotřebovalo.

Pokud ke každému číslu vypíšeme množství uhlí ve skladu, dostaneme aritmetický průběh. Jak tento problém vyřešit? Je opravdu nutné počítat množství uhlí na každý den v měsíci? Dá se bez toho nějak obejít? Podotýkáme, že před 30. přijede do skladu 29 kamionů s uhlím. 30. tedy bude na skladě 50+329=137 tun uhlí.

Když tedy známe pouze první člen aritmetické posloupnosti a rozdíl, můžeme najít jakýkoli člen posloupnosti. Je to takhle vždycky?

Pojďme analyzovat, jak každý člen posloupnosti závisí na prvním členu a rozdílu:

Tak jsme získali vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti.

Příklad 1 Posloupnost () je aritmetický postup. Najděte, zda a .

Použijeme vzorec pro n-tý člen ,

Odpověď: 260.

Zvažte následující problém:

V aritmetickém postupu se ukázalo, že sudé členy byly přepsány: 3, :, 7, :, 13: Je možné obnovit ztracená čísla?

Studenti pravděpodobně nejprve vypočítají rozdíl progrese a poté najdou neznámé členy progrese. Pak je můžete vyzvat, aby našli vztah mezi neznámým členem sekvence, předchozím a následujícím.

Řešení: Využijme toho, že v aritmetickém postupu je rozdíl mezi sousedními členy konstantní. Dovolit být požadovaným členem posloupnosti. Pak

Komentář. Tato vlastnost aritmetické progrese je její charakteristickou vlastností. To znamená, že v jakékoli aritmetické progresi se každý člen, počínaje druhým, rovná aritmetickému průměru předchozího a následujícího ( . A naopak jakákoliv posloupnost, ve které je každý člen počínaje druhým roven aritmetickému průměru předchozího a následujícího členu, je aritmetickou progresí.

IV. Primární upevnění.

• č. 575 ab - ústně
• č. 576 awd - ústně
• č. 577b - samostatně s ověřením

Posloupnost (- aritmetický postup. Najděte, zda a

Použijme vzorec n-tého členu,

Odpověď: -24.2.

Najděte 23. a n-tý člen aritmetické posloupnosti -8; -6,5; :

Řešení: První člen aritmetické progrese je -8. Najdeme rozdíl aritmetické posloupnosti, k tomu je nutné odečíst předchozí od dalšího člena posloupnosti: -6,5-(-8)=1,5.

Použijme vzorec n-tého členu.

Lekce a prezentace na téma: "Číselné posloupnosti. Aritmetický postup"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, zpětnou vazbu, návrhy! Všechny materiály jsou kontrolovány antivirovým programem.

Učební pomůcky v internetovém obchodě "Integral" pro 9. ročník k učebnicím
Makarycheva Yu.N. Alimova Sh.A. Mordkovich A.G. Muravina G.K.

Co je tedy aritmetická progrese?

Číselná posloupnost, ve které se každý člen, počínaje druhým, rovná součtu předchozího a nějakého pevného čísla, se nazývá aritmetická posloupnost.

Aritmetický postup je rekurzivně daná číselná progrese.

Zapišme rekurzivní formu: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, číslo d je rozdíl postupu. a a d jsou určitá daná čísla.

Příklad. 1,4,7,10,13,16… Aritmetická posloupnost, kde $a=1, d=3$.

Příklad. 3,0,-3,-6,-9… Aritmetická posloupnost, kde $a=3, d=-3$.

Příklad. 5,5,5,5,5… Aritmetická posloupnost, kde $a=5, d=0$.

Aritmetická progrese má vlastnosti monotonie, je-li rozdíl progrese větší než nula, pak je posloupnost rostoucí, je-li rozdíl progrese menší než nula, pak je posloupnost klesající.

Pokud je počet prvků v aritmetické posloupnosti konečný, pak se průběh nazývá konečná aritmetická posloupnost.

Pokud je dána posloupnost $a_(n)$ a jedná se o aritmetickou posloupnost, pak je obvyklé označovat: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.

Vzorec n-tého členu aritmetické posloupnosti

Vraťme se k našim příkladům a zapišme si náš vzorec pro každý z příkladů.

Příklad. 1,4,7,10,13,16… Aritmetický průběh, kde a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.

Příklad. 3,0,-3,-6,-9… Aritmetický průběh, kde a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Příklad. Je dána aritmetická progrese: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
a) Je známo, že $a_(1)=5$, $d=3$. Najděte $a_(23)$.
b) Je známo, že $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$. Najít n.
c) Je známo, že $d=-1$, $a_(22)=15$. Najděte $a_(1)$.
d) Je známo, že $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$. Najít d.
Řešení.
a) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
b) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
c) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
d) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Příklad. Při dělení devátého členu aritmetické posloupnosti druhým členem zůstane podíl 7 a při dělení devátého členu pátým je podíl 2 a zbytek je 5. Najděte třicátý člen posloupnosti.
Řešení.
Zapišme si vzorce 2, 5 a 9 členů našeho postupu za sebou.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
Z podmínky také víme:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
Nebo:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
Udělejme soustavu rovnic:
$\začátek(případy)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\konec (případy)$.
$\začátek(případy)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\konec (případy)$.
Po vyřešení systému dostaneme: $d=6, a_(1)=1$.
Najděte $a_(30)$.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.

Součet konečné aritmetické posloupnosti

Nechte nás aritmetický průběh 1,2,3,4,5…100.
Součet jeho podmínek pak může být reprezentován takto:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Ale podobný vzorec platí pro jakýkoli aritmetický postup:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
Napišme náš vzorec v obecném případě: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, kde $k<1$.
Odvoďme vzorec pro výpočet součtu členů aritmetické posloupnosti, zapišme vzorec dvakrát v různém pořadí:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
Sečteme tyto vzorce dohromady:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
Na pravé straně naší rovnosti je n členů a víme, že každý z nich je roven $a_(1)+a_(n)$.
Pak:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
Náš vzorec lze také přepsat takto: protože $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
pak $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
Nejčastěji je výhodnější použít tento konkrétní vzorec, takže by bylo dobré si jej zapamatovat!

Příklad. Daný konečný aritmetický postup.
Nalézt:
a) $s_(22), pokud a_(1)=7, d=2$.
b) d pokud $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
Řešení.
a) Použijme druhý součtový vzorec $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 = 616 $.
b) V tomto příkladu použijeme první vzorec: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
$144=36+4a_(8)$.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.

Příklad. Najděte součet všech lichých dvouciferných čísel.
Řešení.
Podmínky našeho postupu jsou: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
Najdeme číslo posledního člena progrese:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$ n = 45 $.
Nyní najdeme součet: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.

Příklad. Kluci vyrazili na túru. Je známo, že za první hodinu ušli 500 m, poté začali chodit o 25 metrů méně než za první hodinu. Za kolik hodin urazí 2975 metrů?
Řešení.
Cesta ujetá v každé hodině může být reprezentována jako aritmetický postup:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$.
Rozdíl aritmetické progrese je roven $d=-25$.
Cesta ujetá v 2975 metrech je součtem členů aritmetického postupu.
$S_(n)=2975$, kde n - hodin strávených na cestě.
Pak:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
1000 n-25 (n-1) n=5 950 $.
Vydělte obě části 25.
$40n-(n-1)n=238 $.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
Je zřejmé, že logičtější je zvolit $n=7$.
Odpovědět. Kluci byli na cestě 7 hodin.

Charakteristická vlastnost aritmetické posloupnosti

Pokud je progrese konečná, pak tato rovnost platí pro všechny členy kromě prvního a posledního.
Pokud není předem známo, jaký typ sekvence má, ale je známo, že: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Pak můžeme s jistotou říci, že se jedná o aritmetický postup.

Číselná posloupnost je aritmetická posloupnost, kdy každý člen této posloupnosti je roven aritmetickému průměru dvou sousedních členů naší posloupnosti (nezapomeňte, že u konečné posloupnosti tato podmínka není splněna pro první a poslední člen posloupnosti) .

Příklad. Najděte x takové, že $3x+2$; $x-1$; $4x+3$ jsou tři po sobě jdoucí členy aritmetického postupu.
Řešení. Použijme náš vzorec:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1,4$.
Zkontrolujeme, naše výrazy budou mít tvar: -2,2; -2,4; -2.6.
Je zřejmé, že se jedná o členy aritmetické progrese a $d=-0,2$.

Úkoly pro samostatné řešení

Pozornost!
Existují další
materiál ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří silně "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc...“)

Aritmetický postup je řada čísel, ve kterých je každé číslo větší (nebo menší) než předchozí o stejnou hodnotu.

Toto téma je často obtížné a nepochopitelné. Písmenné indexy, n-tý člen progrese, rozdíl progrese - to vše je nějak matoucí, ano ... Pojďme přijít na význam aritmetické progrese a vše bude fungovat hned.)

Pojem aritmetické progrese.

Aritmetická progrese je velmi jednoduchý a jasný koncept. Pochybovat? Marně.) Přesvědčte se sami.

Napíšu nedokončenou řadu čísel:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Můžete prodloužit tuto řadu? Jaká čísla budou následovat po pětce? Každý ... ehm ..., zkrátka každý přijde na to, že čísla 6, 7, 8, 9 atd. půjdou dál.

Pojďme si úkol zkomplikovat. Uvádím nedokončenou řadu čísel:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Můžete zachytit vzor, ​​rozšířit řadu a pojmenovat sedmýčíslo řádku?

Pokud jste zjistili, že toto číslo je 20 - gratuluji vám! Nejenže jste cítili klíčové body aritmetického postupu, ale také je úspěšně využíval v podnikání! Pokud nerozumíte, čtěte dál.

Nyní přeložme klíčové body z pocitů do matematiky.)

První klíčový bod.

Aritmetický postup se zabývá řadou čísel. To je zpočátku matoucí. Jsme zvyklí řešit rovnice, sestavovat grafy a tak dále ... A pak rozšířit řadu, najít číslo řady ...

To je v pořádku. Prostě progrese jsou prvním seznámením s novým odvětvím matematiky. Sekce se nazývá "Řady" a pracuje s řadami čísel a výrazů. Zvyknout si na to.)

Druhý klíčový bod.

V aritmetickém postupu se libovolné číslo liší od předchozího o stejnou částku.

V prvním příkladu je tento rozdíl jeden. Ať si vezmete jakékoli číslo, je o jedno více než to předchozí. Ve druhém - tři. Jakékoli číslo je třikrát větší než předchozí. Ve skutečnosti je to tento okamžik, který nám dává příležitost zachytit vzorec a vypočítat následující čísla.

Třetí klíčový bod.

Tento okamžik není nápadný, ano... Ale velmi, velmi důležitý. Tady je: každé číslo postupu je na svém místě. Je tam první číslo, je tam sedmé, je tam čtyřicáté páté a tak dále. Pokud je náhodně spletete, vzor zmizí. Aritmetický postup také zmizí. Je to jen řada čísel.

To je celá podstata.

V novém tématu se samozřejmě objevují nové termíny a notace. Potřebují to vědět. Jinak úkol nepochopíte. Musíte se například rozhodnout něco jako:

Zapište prvních šest členů aritmetické posloupnosti (a n), jestliže a 2 = 5, d = -2,5.

Inspiruje?) Dopisy, nějaké rejstříky... A úkol, mimochodem, nemůže být jednodušší. Musíte jen pochopit význam pojmů a zápisu. Nyní tuto záležitost zvládneme a vrátíme se k úkolu.

Termíny a označení.

Aritmetický postup je řada čísel, ve kterých se každé číslo liší od předchozího o stejnou částku.

Tato hodnota se nazývá . Pojďme se tímto pojmem zabývat podrobněji.

Rozdíl aritmetického postupu.

Rozdíl aritmetického postupu je částka, o kterou jakékoli progresivní číslo více předchozí.

Jeden důležitý bod. Věnujte prosím pozornost slovu "více". Matematicky to znamená, že se získá každé číslo postupu přidávání rozdíl aritmetického postupu k předchozímu číslu.

Pro výpočet, řekněme druhýčísla řádku, je nutné Prvníčíslo přidat právě tento rozdíl aritmetického postupu. Pro výpočet pátý- rozdíl je nutný přidat Na Čtvrtý dobře, atd.

Rozdíl aritmetického postupu Možná pozitivní pak se každé číslo série ukáže jako skutečné více než předchozí. Tato progrese se nazývá vzrůstající. Například:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Zde je každé číslo přidávání kladné číslo, +5 k předchozímu.

Rozdíl může být negativní pak bude každé číslo v řadě méně než předchozí. Tato progrese se nazývá (nebudete tomu věřit!) klesající.

Například:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Zde se také získá každé číslo přidávání na předchozí, ale již záporné číslo, -5.

Mimochodem, při práci s progresí je velmi užitečné okamžitě určit její povahu – zda ​​se zvyšuje nebo snižuje. Hodně pomáhá zorientovat se v rozhodování, odhalit své chyby a napravit je, než bude pozdě.

Rozdíl aritmetického postupu obvykle označeno písmenem d.

Jak najít d? Velmi jednoduché. Je nutné odečíst z libovolného čísla řady předchozíčíslo. Odčítat. Mimochodem, výsledek odčítání se nazývá "rozdíl".)

Definujme např. d pro rostoucí aritmetický postup:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Vezmeme libovolné číslo řádku, které chceme, například 11. Odečtěte od něj předchozí číslo těch. 8:

Toto je správná odpověď. Pro tento aritmetický postup je rozdíl tři.

Můžete si jen vzít libovolný počet progresí, protože pro konkrétní postup d-vždy to samé. Alespoň někde na začátku řady, alespoň uprostřed, alespoň kdekoli. Nemůžete vzít jen úplně první číslo. Už jen kvůli prvnímu číslu žádné předchozí.)

Mimochodem, vědět to d=3, nalezení sedmého čísla této progrese je velmi jednoduché. K pátému číslu přidáme 3 - dostaneme šesté, bude to 17. K šestému číslu přidáme tři, dostaneme sedmé číslo - dvacet.

Pojďme definovat d pro klesající aritmetický postup:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Připomínám, že bez ohledu na znamení určit d potřebné z libovolného čísla odebrat předchozí. Zvolíme libovolný počet progresí, například -7. Jeho předchozí číslo je -2. Pak:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Rozdíl aritmetické progrese může být libovolné číslo: celé číslo, zlomek, iracionální, libovolné.

Jiné termíny a označení.

Každé číslo v řadě je voláno člen aritmetické progrese.

Každý člen progrese má své číslo.Čísla jsou striktně v pořádku, bez jakýchkoliv triků. První, druhý, třetí, čtvrtý atd. Například v progresi 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je první člen, pět je druhý, jedenáct je čtvrtý, dobře, rozumíte ...) Pochopte prosím jasně - samotná čísla může být absolutně jakýkoli, celý, zlomkový, negativní, jakýkoli, ale číslování- přísně v pořádku!

Jak napsat progresi v obecné formě? Žádný problém! Každé číslo v řadě je zapsáno jako písmeno. K označení aritmetického postupu se zpravidla používá písmeno A. Číslo člena je označeno indexem vpravo dole. Členové se píší oddělené čárkami (nebo středníky), takto:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

1 je první číslo a 3- třetí atd. Nic složitého. Tuto sérii můžete napsat stručně takto: (a n).

Existují progrese konečný a nekonečný.

Ultimátni progrese má omezený počet členů. Pět, třicet osm, cokoliv. Ale je to konečné číslo.

Nekonečný progrese – má nekonečný počet členů, jak asi tušíte.)

Můžete napsat konečný postup sérií, jako je tato, všechny členy a tečku na konci:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Nebo takto, pokud je členů mnoho:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

V krátkém záznamu budete muset dodatečně uvést počet členů. Například (pro dvacet členů) takto:

(a n), n = 20

Nekonečnou progresi lze rozpoznat podle elipsy na konci řádku, jako v příkladech v této lekci.

Nyní již můžete řešit úkoly. Úkoly jsou jednoduché, čistě pro pochopení významu aritmetického postupu.

Příklady úloh pro aritmetický postup.

Podívejme se blíže na výše uvedený úkol:

1. Zapište prvních šest členů aritmetické posloupnosti (a n), jestliže a 2 = 5, d = -2,5.

Úkol překládáme do srozumitelného jazyka. Daný nekonečný aritmetický postup. Druhé číslo tohoto postupu je známé: a 2 = 5. Známý rozdíl v postupu: d = -2,5. Musíme najít prvního, třetího, čtvrtého, pátého a šestého člena tohoto postupu.

Pro názornost napíšu řadu podle stavu problému. Prvních šest členů, kde druhý člen je pět:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

a 3 = a 2 + d

Ve výrazu dosadíme a 2 = 5 A d = -2,5. Nezapomeňte na mínus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Třetí termín je menší než druhý. Všechno je logické. Pokud je číslo větší než předchozí negativní hodnotu, takže samotné číslo bude menší než předchozí. Progrese se snižuje. Dobře, vezmeme to v úvahu.) Zvažujeme čtvrtého člena naší série:

4 = a 3 + d

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + d

5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Takže termíny od třetího do šestého byly vypočteny. To vedlo k sérii:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Zbývá najít první termín 1 podle známého druhého. Toto je krok opačným směrem, doleva.) Proto je rozdíl v aritmetickém postupu d by se nemělo přidávat a 2, A odnést:

1 = a 2 - d

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je všechno. Odpověď na úkol:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Mimochodem podotýkám, že jsme tento úkol vyřešili opakující se cesta. Toto hrozné slovo znamená pouze hledání člena progrese o předchozí (sousední) číslo. O dalších způsobech práce s progresí bude řeč později.

Z tohoto jednoduchého úkolu lze vyvodit jeden důležitý závěr.

Pamatovat si:

Známe-li alespoň jeden člen a rozdíl aritmetické posloupnosti, můžeme najít libovolný člen této posloupnosti.

Pamatovat si? Tento jednoduchý závěr nám umožňuje vyřešit většinu problémů školního kurzu na toto téma. Všechny úkoly se točí kolem tří hlavních parametrů: člen aritmetické progrese, rozdíl progrese, číslo člena progrese. Všechno.

Veškerá předchozí algebra samozřejmě není zrušena.) Nerovnice, rovnice a další věci jsou připojeny k postupu. Ale podle progrese- vše se točí kolem tří parametrů.

Zvažte například některé oblíbené úkoly na toto téma.

2. Napište konečnou aritmetickou posloupnost jako řadu, pokud n=5, d=0,4 a a 1=3,6.

Všechno je zde jednoduché. Vše je již dáno. Musíte si pamatovat, jak se počítají, počítají a zapisují členy aritmetické posloupnosti. Je vhodné nepřeskakovat slova v podmínce úkolu: „konečný“ a „ n=5". Abyste nepočítali, dokud nebudete úplně modrý v obličeji.) V tomto postupu je pouze 5 (pět) členů:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

5 = 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Zbývá napsat odpověď:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Další úkol:

3. Určete, zda číslo 7 bude členem aritmetické posloupnosti (a n), pokud a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kdo ví? Jak něco definovat?

Jak-jak ... Ano, zapište si postup ve formě série a uvidíte, zda bude sedmička nebo ne! Věříme:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Nyní je jasně vidět, že je nás teprve sedm proklouzl mezi 6,5 a 7,7! Sedmička se nedostala do naší číselné řady, a proto sedmička nebude členem daného postupu.

Odpověď: ne.

A zde je úkol založený na skutečné verzi GIA:

4. Vypíše se několik po sobě jdoucích členů aritmetické posloupnosti:

...; 15; X; 9; 6; ...

Zde je série bez konce a začátku. Žádná členská čísla, žádný rozdíl d. To je v pořádku. K vyřešení problému stačí pochopit význam aritmetického postupu. Podívejme se a uvidíme, co můžeme vědět z tohoto řádku? Jaké parametry mají tři hlavní?

Čísla členů? Není zde ani jedno číslo.

Ale jsou tam tři čísla a - pozor! - slovo "po sobě" ve stavu. To znamená, že čísla jsou přísně v pořádku, bez mezer. Jsou v této řadě dva? sousední známá čísla? Ano mám! Toto je 9 a 6. Můžeme tedy vypočítat rozdíl aritmetické posloupnosti! Odečítáme od šesti předchozíčíslo, tzn. devět:

Zbývají volná místa. Jaké číslo bude předchozí pro x? Patnáct. Takže x lze snadno najít jednoduchým sčítáním. K 15 přidejte rozdíl aritmetické progrese:

To je vše. Odpovědět: x=12

Následující problémy řešíme sami. Poznámka: tyto hádanky nejsou určeny pro vzorce. Čistě pro pochopení významu aritmetické posloupnosti.) Prostě zapíšeme řadu čísel-písmen, díváme se a přemýšlíme.

5. Najděte první kladný člen aritmetické posloupnosti, jestliže a 5 = -3; d = 1,1.

6. Je známo, že číslo 5,5 je členem aritmetické posloupnosti (a n), kde a 1 = 1,6; d = 1,3. Určete číslo n tohoto členu.

7. Je známo, že v aritmetickém postupu a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Najděte 3.

8. Je zapsáno několik po sobě jdoucích členů aritmetické posloupnosti:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Najděte člen průběhu, označený písmenem x.

9. Vlak se dal ze stanice do pohybu a postupně zvyšoval rychlost o 30 metrů za minutu. Jaká bude rychlost vlaku za pět minut? Svou odpověď uveďte v km/h.

10. Je známo, že v aritmetickém postupu a 2 = 5; a 6 = -5. Najděte 1.

Odpovědi (v nepořádku): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Všechno vyšlo? Úžasný! V následujících lekcích se můžete naučit aritmetický postup na vyšší úrovni.

Nepovedlo se všechno? Žádný problém. Ve Zvláštní části 555 jsou všechny tyto hádanky rozebrány kousek po kousku.) A samozřejmě je popsána jednoduchá praktická technika, která řešení takových úkolů okamžitě zvýrazňuje jasně, srozumitelně, jako na dlani!

Mimochodem, v hádance o vlaku jsou dva problémy, o které lidé často klopýtnou. Jedna – čistě progresivní, a druhá – společná pro všechny úlohy z matematiky a fyziky. Jedná se o překlad dimenzí z jedné do druhé. Ukazuje, jak by se tyto problémy měly řešit.

V této lekci jsme zkoumali elementární význam aritmetické posloupnosti a její hlavní parametry. To stačí k vyřešení téměř všech problémů na toto téma. Přidat d k číslům napište řadu, o všem se rozhodne.

Prstové řešení funguje dobře pro velmi krátké kusy série, jako v příkladech v této lekci. Pokud je řada delší, výpočty se zkomplikují. Například, pokud v problému 9 v otázce, nahraďte "pět minut" na "třicet pět minut" problém bude mnohem horší.)

A existují i ​​úlohy, které jsou ve své podstatě jednoduché, ale z hlediska výpočtů naprosto absurdní, například:

Je dána aritmetická progrese (a n). Najděte 121, pokud a 1 = 3 a d = 1/6.

A co, přidáme 1/6 mnohokrát, mnohokrát?! Je možné se zabít!?

Můžete.) Pokud neznáte jednoduchý vzorec, podle kterého takové úkoly vyřešíte za minutu. Tento vzorec bude v další lekci. A tam je problém vyřešen. V minutě.)

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Dobře, přátelé, pokud čtete tento text, pak mi vnitřní uzávěrový důkaz říká, že stále nevíte, co je aritmetická progrese, ale opravdu (ne, takhle: TÁÁÁÁÁÁÁÁ!) to chcete vědět. Nebudu vás proto mučit dlouhým představováním a hned se pustím do věci.

Na začátek pár příkladů. Zvažte několik sad čísel:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Co mají všechny tyto sady společného? Na první pohled nic. Ale ve skutečnosti tam něco je. A to: každý další prvek se liší od předchozího o stejné číslo.

Posuďte sami. První sada jsou jen po sobě jdoucí čísla, každé je více než to předchozí. Ve druhém případě je rozdíl mezi sousedními čísly již roven pěti, ale tento rozdíl je stále konstantní. Ve třetím případě existují kořeny obecně. Nicméně $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, zatímco $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tzn. v takovém případě se každý další prvek jednoduše zvýší o $\sqrt(2)$ (a nebojte se, že toto číslo je iracionální).

Takže: všechny takové posloupnosti se nazývají aritmetické posloupnosti. Uveďme přesnou definici:

Definice. Posloupnost čísel, ve kterých se každé další liší od předchozího přesně o stejnou hodnotu, se nazývá aritmetická posloupnost. Samotná částka, o kterou se čísla liší, se nazývá progresní rozdíl a označuje se nejčastěji písmenem $d$.

Zápis: $\left(((a)_(n)) \right)$ je samotný průběh, $d$ je jeho rozdíl.

A jen pár důležitých poznámek. Zaprvé se bere v úvahu pouze progrese spořádaný posloupnost čísel: je dovoleno je číst přísně v pořadí, v jakém jsou napsány – a nic jiného. Čísla nelze přeskupit ani vyměnit.

Za druhé, posloupnost samotná může být buď konečná, nebo nekonečná. Například množina (1; 2; 3) je zjevně konečná aritmetická posloupnost. Ale pokud napíšete něco jako (1; 2; 3; 4; ...) - to už je nekonečný postup. Elipsa za čtyřkou jakoby napovídá, že poměrně hodně čísel jde dále. Například nekonečně mnoho. :)

Rád bych také poznamenal, že progrese se zvyšují a snižují. Už jsme viděli ty rostoucí - stejná sada (1; 2; 3; 4; ...). Zde jsou příklady klesajících progresí:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Dobře, dobře: poslední příklad se může zdát příliš komplikovaný. Ale zbytek, myslím, chápeš. Proto zavádíme nové definice:

Definice. Aritmetický postup se nazývá:

1. rostoucí, pokud je každý další prvek větší než předchozí;
2. klesající, pokud je naopak každý následující prvek menší než předchozí.

Kromě toho existují tzv. „stacionární“ sekvence – skládají se ze stejného opakujícího se čísla. Například (3; 3; 3; ...).

Zbývá jen jedna otázka: jak rozlišit rostoucí progresi od klesající? Naštěstí zde vše závisí pouze na znaménku čísla $d$, tzn. rozdíly v postupu:

1. Jestliže $d \gt 0$, pak progrese roste;
2. Je-li $d \lt 0$, pak je progrese zjevně klesající;
3. Nakonec je tu případ $d=0$ — v tomto případě je celý postup redukován na stacionární posloupnost identických čísel: (1; 1; 1; 1; ...) atd.

Zkusme vypočítat rozdíl $d$ pro tři klesající průběhy výše. K tomu stačí vzít libovolné dva sousední prvky (například první a druhý) a odečíst od čísla vpravo číslo vlevo. Bude to vypadat takto:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Jak vidíte, ve všech třech případech se rozdíl skutečně ukázal jako negativní. A teď, když už jsme víceméně přišli na definice, je čas přijít na to, jak se progrese popisují a jaké mají vlastnosti.

Členové progrese a rekurentní formule

Protože prvky našich sekvencí nelze zaměňovat, lze je očíslovat:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \že jo\)\]

Jednotlivé prvky této množiny se nazývají členy progrese. Označují se tímto způsobem pomocí čísla: první člen, druhý člen atd.

Navíc, jak již víme, sousední členy progrese jsou příbuzné vzorcem:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Šipka doprava ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Stručně řečeno, abyste našli $n$-tý člen progrese, musíte znát $n-1$-tý člen a rozdíl $d$. Takový vzorec se nazývá rekurentní, protože s jeho pomocí můžete najít libovolné číslo, pouze když znáte to předchozí (a ve skutečnosti všechny předchozí). To je velmi nepohodlné, takže existuje složitější vzorec, který redukuje jakýkoli výpočet na první člen a rozdíl:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

S tímto vzorcem jste se již pravděpodobně setkali. Rádi to dávají do všech možných příruček a reshebniků. A v každé rozumné učebnici matematiky je jednou z prvních.

Nicméně doporučuji si trochu zacvičit.

Úkol číslo 1. Zapište první tři členy aritmetické posloupnosti $\left(((a)_(n)) \right)$, pokud $((a)_(1))=8,d=-5$.

Řešení. Známe tedy první člen $((a)_(1))=8$ a rozdíl progrese $d=-5$. Použijme právě uvedený vzorec a dosaďte $n=1$, $n=2$ a $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(zarovnat)\]

Odpověď: (8; 3; -2)

To je vše! Všimněte si, že náš postup se snižuje.

Samozřejmě, že $n=1$ nemohlo být nahrazeno - první termín již známe. Dosazením jednotky jsme se však ujistili, že i na první termín náš vzorec funguje. V jiných případech se vše sešlo na banální aritmetiku.

Úkol číslo 2. Vypište první tři členy aritmetické posloupnosti, pokud je její sedmý člen −40 a sedmnáctý člen je −50.

Řešení. Stav problému zapíšeme obvyklými výrazy:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(zarovnat) \vpravo.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \že jo.\]

Označil jsem systém, protože tyto požadavky musí být splněny současně. A nyní si všimneme, že pokud odečteme první rovnici od druhé rovnice (máme na to právo, protože máme systém), dostaneme toto:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(zarovnat)\]

Právě tak jsme našli rozdíl v postupu! Zbývá dosadit nalezené číslo do libovolné rovnice soustavy. Například v prvním:

\[\begin(matice) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \konec(matice)\]

Nyní, když známe první termín a rozdíl, zbývá najít druhý a třetí termín:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(zarovnat)\]

Připraveno! Problém je vyřešen.

Odpověď: (-34; -35; -36)

Všimněte si zajímavé vlastnosti progrese, kterou jsme objevili: pokud vezmeme $n$tý a $m$tý člen a odečteme je od sebe, dostaneme rozdíl progrese vynásobený číslem $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Jednoduchá, ale velmi užitečná vlastnost, kterou byste rozhodně měli znát – s její pomocí můžete výrazně urychlit řešení mnoha progresivních problémů. Zde je ukázkový příklad:

Úkol číslo 3. Pátý člen aritmetické progrese je 8,4 a jeho desátý člen je 14,4. Najděte patnáctý termín tohoto postupu.

Řešení. Protože $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ a my potřebujeme najít $((a)_(15)))$, poznamenáváme následující:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(zarovnat)\]

Ale podle podmínky $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, takže $5d=6$, odkud máme:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(zarovnat)\]

Odpověď: 20.4

To je vše! Nepotřebovali jsme skládat žádné soustavy rovnic a počítat první člen a rozdíl – vše bylo rozhodnuto na pouhých pár řádcích.

Nyní uvažujme o jiném typu problému – hledání negativních a pozitivních členů progrese. Není žádným tajemstvím, že pokud se progrese zvyšuje, zatímco její první termín je negativní, pak se v něm dříve nebo později objeví pozitivní termíny. A naopak: podmínky klesající progrese se dříve nebo později stanou negativními.

Zároveň není zdaleka vždy možné najít tento okamžik „na čele“, který postupně třídí prvky. Často jsou problémy navrženy tak, že bez znalosti vzorců by výpočty zabraly několik listů – prostě bychom usnuli, dokud bychom nenašli odpověď. Proto se pokusíme tyto problémy vyřešit rychlejším způsobem.

Úkol číslo 4. Kolik záporných členů v aritmetickém postupu -38,5; -35,8; …?

Řešení. Takže $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, z čehož okamžitě najdeme rozdíl:

Všimněte si, že rozdíl je kladný, takže progrese se zvyšuje. První člen je záporný, takže v určitém okamžiku skutečně narazíme na kladná čísla. Jedinou otázkou je, kdy se tak stane.

Zkusme zjistit: jak dlouho (tj. do jakého přirozeného čísla $n$) se zachovává negativita pojmů:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \vpravo)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \vpravo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Šipka doprava ((n)_(\max ))=15. \\ \end(zarovnat)\]

Poslední řádek potřebuje upřesnění. Takže víme, že $n \lt 15\frac(7)(27)$. Na druhou stranu nám budou vyhovovat pouze celočíselné hodnoty čísla (navíc: $n\in \mathbb(N)$), takže největší povolené číslo je přesně $n=15$ a v žádném případě ne 16.

Úkol číslo 5. V aritmetickém postupu $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Najděte číslo prvního kladného členu této progrese.

To by byl úplně stejný problém jako ten předchozí, ale nevíme $((a)_(1))$. Ale sousední termíny jsou známé: $((a)_(5))$ a $((a)_(6))$, takže můžeme snadno najít rozdíl v postupu:

Kromě toho se pokusme vyjádřit pátý člen z hlediska prvního a rozdílu pomocí standardního vzorce:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(zarovnat)\]

Nyní postupujeme analogicky s předchozím problémem. Zjistíme, ve kterém bodě naší sekvence se objeví kladná čísla:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Šipka doprava ((n)_(\min ))=56. \\ \end(zarovnat)\]

Minimální celočíselné řešení této nerovnosti je číslo 56.

Upozorňujeme, že v poslední úloze bylo vše zredukováno na striktní nerovnost, takže volba $n=55$ nám nebude vyhovovat.

Nyní, když jsme se naučili řešit jednoduché problémy, přejděme ke složitějším. Nejprve se ale naučíme další velmi užitečnou vlastnost aritmetických posloupností, která nám v budoucnu ušetří spoustu času a nerovných buněk. :)

Aritmetický průměr a stejné odsazení

Zvažte několik po sobě jdoucích členů rostoucí aritmetické progrese $\left(((a)_(n)) \right)$. Zkusme je označit na číselné ose:

Konkrétně jsem zaznamenal libovolné členy $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a ne žádné $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ atd. Protože pravidlo, které vám nyní řeknu, funguje stejně pro jakékoli „segmenty“.

A pravidlo je velmi jednoduché. Zapamatujme si rekurzivní vzorec a zapišme jej pro všechny označené členy:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(zarovnat)\]

Tyto rovnosti však mohou být přepsány odlišně:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(zarovnat)\]

No, tak co? Ale skutečnost, že výrazy $((a)_(n-1))$ a $((a)_(n+1))$ leží ve stejné vzdálenosti od $((a)_(n)) $ . A tato vzdálenost je rovna $d$. Totéž lze říci o výrazech $((a)_(n-2))$ a $((a)_(n+2))$ - jsou také odstraněny z $((a)_(n) )$ o stejnou vzdálenost rovnou $2d$. Můžete pokračovat donekonečna, ale obrázek dobře ilustruje význam

Co to pro nás znamená? To znamená, že můžete najít $((a)_(n))$, pokud jsou známá sousední čísla:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Vydedukovali jsme velkolepé tvrzení: každý člen aritmetického postupu se rovná aritmetickému průměru sousedních členů! Navíc se můžeme odchýlit od našeho $((a)_(n))$ doleva a doprava ne o jeden krok, ale o $k$ kroků – a vzorec bude stále správný:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tito. můžeme snadno najít nějaké $((a)_(150))$, pokud známe $((a)_(100))$ a $((a)_(200))$, protože $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na první pohled se může zdát, že nám tato skutečnost nic užitečného nedává. V praxi je však mnoho úloh speciálně „nabroušených“ pro použití aritmetického průměru. Podívej se:

Úkol číslo 6. Najděte všechny hodnoty $x$ tak, že čísla $-6((x)^(2))$, $x+1$ a $14+4((x)^(2))$ jsou po sobě jdoucí členy aritmetický postup (v určeném pořadí).

Řešení. Protože tato čísla jsou členy progrese, je pro ně splněna podmínka aritmetického průměru: centrální prvek $x+1$ lze vyjádřit pomocí sousedních prvků:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(zarovnat)\]

Výsledkem je klasická kvadratická rovnice. Jeho kořeny: $x=2$ a $x=-3$ jsou odpověďmi.

Odpověď: -3; 2.

Úkol číslo 7. Najděte hodnoty $$ tak, aby čísla $-1;4-3;(()^(2))+1$ tvořila aritmetickou posloupnost (v tomto pořadí).

Řešení. Opět vyjadřujeme prostřední člen pomocí aritmetického průměru sousedních členů:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\vpravo.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(zarovnat)\]

Další kvadratická rovnice. A opět dva kořeny: $x=6$ a $x=1$.

Odpověď: 1; 6.

Pokud v procesu řešení problému získáte brutální čísla nebo si nejste zcela jisti správností nalezených odpovědí, pak existuje skvělý trik, který vám umožní zkontrolovat: vyřešili jsme problém správně?

Řekněme, že v problému 6 jsme dostali odpovědi -3 a 2. Jak můžeme zkontrolovat, zda jsou tyto odpovědi správné? Prostě je zapojíme do původního stavu a uvidíme, co se stane. Dovolte mi připomenout, že máme tři čísla ($-6(()^(2))$, $+1$ a $14+4(()^(2))$), která by měla tvořit aritmetickou posloupnost. Nahraďte $x=-3$:

\[\začátek(zarovnání) & x=-3\šipka doprava \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(zarovnat)\]

Dostali jsme čísla -54; -2; 50, které se liší o 52, je nepochybně aritmetický postup. Totéž se stane pro $x=2$:

\[\začátek(zarovnání) & x=2\šipka doprava \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(zarovnat)\]

Opět progrese, ale s rozdílem 27. Tím je úloha vyřešena správně. Kdo chce, může si druhý úkol zkontrolovat sám, ale hned řeknu: i tam je vše správně.

Obecně jsme při řešení posledních problémů narazili na další zajímavý fakt, který je také třeba mít na paměti:

Jsou-li tři čísla taková, že druhé je průměrem prvního a posledního, pak tato čísla tvoří aritmetickou posloupnost.

Pochopení tohoto tvrzení nám v budoucnu umožní doslova „konstruovat“ potřebné postupy na základě stavu problému. Než se ale do takové „stavby“ pustíme, měli bychom věnovat pozornost ještě jedné skutečnosti, která přímo vyplývá z již zvažovaného.

Seskupování a součet prvků

Vraťme se znovu k číselné řadě. Zaznamenáváme tam několik členů progrese, mezi nimiž, možná. stojí za spoustu dalších členů:

Zkusme vyjádřit „levý ocas“ pomocí $((a)_(n))$ a $d$ a „pravý ocas“ pomocí $((a)_(k))$ a $ d$. Je to velmi jednoduché:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(zarovnat)\]

Nyní si všimněte, že následující součty jsou stejné:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(zarovnat)\]

Jednoduše řečeno, vezmeme-li jako začátek dva prvky progrese, které se v součtu rovnají nějakému číslu $S$, a pak začneme od těchto prvků krokovat opačnými směry (k sobě nebo naopak se vzdalovat), pak součty prvků, o které zakopneme, budou také stejné$ S $. To lze nejlépe znázornit graficky:

Pochopení této skutečnosti nám umožní řešit problémy zásadně vyšší úrovně složitosti, než jaké jsme uvažovali výše. Například tyto:

Úkol číslo 8. Určete rozdíl aritmetické posloupnosti, ve které je první člen 66 a součin druhého a dvanáctého členu je nejmenší možný.

Řešení. Zapišme si vše, co víme:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(zarovnat)\]

Neznáme tedy rozdíl v progresi $d$. Ve skutečnosti bude celé řešení postaveno na rozdílu, protože součin $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ lze přepsat následovně:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(zarovnat)\]

Pro ty v nádrži: Vybral jsem společný faktor 11 z druhé závorky. Požadovaný součin je tedy kvadratická funkce vzhledem k proměnné $d$. Uvažujme tedy funkci $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - její graf bude parabola s větvemi nahoru, protože pokud otevřeme závorky, dostaneme:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Jak vidíte, koeficient s nejvyšším členem je 11 - to je kladné číslo, takže máme skutečně co do činění s parabolou s větvemi nahoru:

graf kvadratické funkce - parabola

Poznámka: tato parabola má svou minimální hodnotu ve svém vrcholu s úsečkou $((d)_(0))$. Tuto úsečku samozřejmě můžeme vypočítat podle standardního schématu (existuje vzorec $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ale mnohem rozumnější by bylo všimněte si, že požadovaný vrchol leží na osové symetrii paraboly, takže bod $((d)_(0))$ je stejně vzdálený od kořenů rovnice $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(zarovnat)\]

Proto jsem s otevíráním závorek nespěchal: v původní podobě byly kořeny velmi, velmi snadné najít. Proto se úsečka rovná aritmetickému průměru čísel −66 a −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Co nám dává objevené číslo? S ním požadovaný produkt nabývá nejmenší hodnoty (mimochodem, nepočítali jsme $((y)_(\min ))$ - to se po nás nevyžaduje). Toto číslo je zároveň rozdílem počáteční progrese, tzn. našli jsme odpověď. :)

Odpověď: -36

Úkol číslo 9. Mezi čísla $-\frac(1)(2)$ a $-\frac(1)(6)$ vložte tři čísla tak, aby spolu s danými čísly tvořila aritmetickou posloupnost.

Řešení. Ve skutečnosti musíme vytvořit posloupnost pěti čísel, přičemž první a poslední číslo již známe. Chybějící čísla označte proměnnými $x$, $y$ a $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Všimněte si, že číslo $y$ je "střed" naší posloupnosti - je stejně vzdálené od čísel $x$ a $z$ a od čísel $-\frac(1)(2)$ a $-\frac (1) (6) $. A pokud v tuto chvíli nemůžeme získat $y$ z čísel $x$ a $z$, pak je situace s konci progrese jiná. Pamatujte na aritmetický průměr:

Nyní, když víme $y$, najdeme zbývající čísla. Všimněte si, že $x$ leží mezi $-\frac(1)(2)$ a $y=-\frac(1)(3)$ právě nalezený. Proto

Pokud budeme argumentovat podobně, zjistíme zbývající číslo:

Připraveno! Našli jsme všechna tři čísla. Zapišme je do odpovědi v pořadí, v jakém se mají vkládat mezi původní čísla.

Odpověď: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Úkol číslo 10. Mezi čísla 2 a 42 vložte několik čísel, která spolu s danými čísly tvoří aritmetickou posloupnost, pokud je známo, že součet prvního, druhého a posledního z vložených čísel je 56.

Řešení. Ještě obtížnější úkol, který se však řeší stejně jako ty předchozí – aritmetickým průměrem. Problém je v tom, že přesně nevíme, kolik čísel vložit. Proto pro jednoznačnost předpokládáme, že po vložení bude přesně $n$ čísel a první z nich je 2 a poslední je 42. V tomto případě lze požadovanou aritmetickou progresi reprezentovat jako:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \vpravo\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Všimněte si však, že čísla $((a)_(2))$ a $((a)_(n-1))$ jsou získána z čísel 2 a 42 stojících na hranách o krok k sobě. , tj. do středu sekvence. A to znamená, že

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ale výše uvedený výraz lze přepsat takto:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(zarovnat)\]

Když známe $((a)_(3))$ a $((a)_(1))$, můžeme snadno najít rozdíl v postupu:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Šipka doprava d=5. \\ \end(zarovnat)\]

Zbývá pouze najít zbývající členy:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(zarovnat)\]

Již v 9. kroku se tedy dostaneme na levý konec sekvence - číslo 42. Celkem bylo potřeba vložit pouze 7 čísel: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odpověď: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Textové úkoly s postupem

Na závěr bych se rád zamyslel nad několika relativně jednoduchými problémy. No, jako jednoduché: pro většinu studentů, kteří studují matematiku ve škole a nečetli, co je napsáno výše, se tyto úkoly mohou zdát jako gesto. Nicméně právě s takovými úlohami se v OGE a USE v matematice setkáte, proto doporučuji se s nimi seznámit.

Úkol číslo 11. Tým v lednu vyrobil 62 dílů a v každém následujícím měsíci vyrobil o 14 dílů více než v předchozím. Kolik dílů vyrobila brigáda v listopadu?

Řešení. Je zřejmé, že počet dílů, namalovaných podle měsíců, se bude zvyšovat aritmetickým postupem. A:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Listopad je 11. měsíc v roce, takže musíme najít $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

V listopadu se tedy vyrobí 202 dílů.

Úkol číslo 12. Knihařská dílna svázala v lednu 216 knih a každý měsíc svázala o 4 knihy více než měsíc předchozí. Kolik knih svázal workshop v prosinci?

Řešení. Pořád to samé:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Prosinec je poslední, 12. měsíc v roce, takže hledáme $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

To je odpověď – v prosinci bude svázáno 260 knih.

Pokud jste dočetli až sem, spěchám vám poblahopřát: úspěšně jste dokončili „kurz mladého bojovníka“ v aritmetických postupech. Můžeme klidně přejít k další lekci, kde budeme studovat vzorec progresního součtu a také důležité a velmi užitečné důsledky z něj.

Než se začneme rozhodovat problémy s aritmetickým postupem, zvažte, co je číselná posloupnost, protože aritmetická posloupnost je speciální případ číselné posloupnosti.

Číselná posloupnost je číselná množina, jejíž každý prvek má své pořadové číslo. Prvky této množiny se nazývají členy posloupnosti. Pořadové číslo prvku sekvence je označeno indexem:

První prvek sekvence;

Pátý prvek sekvence;

- "n-tý" prvek sekvence, tzn. prvek "stání ve frontě" u čísla n.

Existuje závislost mezi hodnotou prvku sekvence a jeho pořadovým číslem. Posloupnost tedy můžeme považovat za funkci, jejímž argumentem je pořadové číslo prvku posloupnosti. Jinými slovy, dá se to říct posloupnost je funkcí přirozeného argumentu:

Pořadí lze zadat třemi způsoby:

1 . Pořadí lze určit pomocí tabulky. V tomto případě jednoduše nastavíme hodnotu každého člena posloupnosti.

Někdo se například rozhodl udělat si osobní time management a pro začátek vypočítat, kolik času tráví na VKontakte během týdne. Zapsáním času do tabulky získá sekvenci sestávající ze sedmi prvků:

První řádek tabulky obsahuje číslo dne v týdnu, druhý - čas v minutách. Vidíme, že v pondělí Někdo strávil na VKontakte 125 minut, to znamená ve čtvrtek - 248 minut, a to znamená v pátek pouze 15.

2 . Posloupnost lze zadat pomocí vzorce pro n-tý člen.

V tomto případě je závislost hodnoty prvku sekvence na jeho čísle vyjádřena přímo vzorcem.

Například pokud , tak

Abychom našli hodnotu prvku sekvence s daným číslem, dosadíme číslo prvku do vzorce pro n-tý člen.

Totéž uděláme, pokud potřebujeme najít hodnotu funkce, pokud je známa hodnota argumentu. Do rovnice funkce místo toho dosadíme hodnotu argumentu:

Pokud např. , Že

Ještě jednou podotýkám, že v posloupnosti, na rozdíl od libovolné číselné funkce, může být argumentem pouze přirozené číslo.

3 . Posloupnost lze specifikovat pomocí vzorce, který vyjadřuje závislost hodnoty členu posloupnosti s číslem n na hodnotě předchozích členů. V tomto případě nám nestačí znát pouze číslo členu posloupnosti, abychom zjistili jeho hodnotu. Musíme určit první člen nebo několik prvních členů posloupnosti.

Zvažte například sekvenci ,

Můžeme najít hodnoty členů sekvence v pořadí, počínaje třetí:

To znamená, že pokaždé, když zjistíme hodnotu n-tého člena posloupnosti, vrátíme se k předchozím dvěma. Tento způsob sekvenování se nazývá opakující se, z latinského slova recurro- vrať se.

Nyní můžeme definovat aritmetickou progresi. Aritmetická progrese je jednoduchý speciální případ číselné posloupnosti.

Aritmetický postup se nazývá číselná posloupnost, jejíž každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, doplněnému stejným číslem.

Číslo se volá rozdíl aritmetického postupu. Rozdíl aritmetické progrese může být kladný, záporný nebo nulový.

Pokud title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} vzrůstající.

Například 2; 5; 8; jedenáct;...

Jestliže , pak je každý člen aritmetické progrese menší než předchozí a progrese je ubývající.

Například 2; -1; -4; -7;...

Jestliže , pak se všechny členy progrese rovnají stejnému číslu a progrese je stacionární.

Například 2;2;2;2;...

Hlavní vlastnost aritmetické progrese:

Podívejme se na obrázek.

To vidíme

, a současně

Sečtením těchto dvou rovností dostaneme:

.

Vydělte obě strany rovnice 2:

Takže každý člen aritmetické posloupnosti, počínaje druhým, se rovná aritmetickému průměru dvou sousedních:

Navíc od

, a současně

, Že

, a tedy

Každý člen aritmetické posloupnosti začínající title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

členský vzorec.

Vidíme, že pro členy aritmetické posloupnosti platí následující vztahy:

a nakonec

Máme formule n-tého členu.

DŮLEŽITÉ! Jakýkoli člen aritmetické posloupnosti lze vyjádřit pomocí a . Znáte-li první termín a rozdíl aritmetického postupu, můžete najít kteréhokoli z jeho členů.

Součet n členů aritmetické posloupnosti.

V libovolném aritmetickém postupu jsou součty členů stejně vzdálených od extrémních navzájem rovny:

Uvažujme aritmetickou progresi s n členy. Nechť součet n členů této posloupnosti je roven .

Uspořádejte členy progrese nejprve ve vzestupném pořadí čísel a poté v sestupném pořadí:

Pojďme to spárovat:

Součet v každé závorce je , počet párů je n.

Dostaneme:

Tak, součet n členů aritmetické posloupnosti lze najít pomocí vzorců:

Zvážit řešení problémů aritmetického postupu.

1 . Posloupnost je dána vzorcem n-tého členu: . Dokažte, že tato sekvence je aritmetickou progresí.

Dokažme, že rozdíl mezi dvěma sousedními členy posloupnosti je roven stejnému číslu.

Zjistili jsme, že rozdíl dvou sousedních členů posloupnosti nezávisí na jejich počtu a je konstantní. Z definice je tedy tato posloupnost aritmetickou progresí.

2 . Daný aritmetický postup -31; -27;...

a) Najděte 31 podmínek postupu.

b) Určete, zda je v tomto postupu zahrnuto číslo 41.

A) Vidíme to;

Zapišme si vzorec pro n-tý člen našeho postupu.

Obecně

V našem případě , Proto